九年级数学全等三角形的识别4

初中数学公式之全等三角形的判定最新初中数学公式之全等三角形的判定最新全等三角形的判定公式1边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等2 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等3 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等5斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等6 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等7 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上8角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初中数学几何公式大全之全等三角形的判定公式，看过的同学请认真记忆了。

接下来还有更多更全的初中数学知识讯息尽在。

初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。

初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。

平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。

初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。

2017中考数学全等三角形的识别2doc全等三角形的识别（二）重点：⑴掌握三角形全等的识别方法（一）：如果一个三角形的三边与另一个三角形三边对应相等那么这两个三角形全等。

简称：“S.S.S.”⑵掌握三角形全等的识别方法（二）：如果一个三角形的两边和它们的夹角与另一个三角形的两边和它们的交角对应相等，那么这两个三角形全等。

简称：“S.A.S.”难点：“S.S.S.”、“S.A.S.”识别方法的应用。

【学习方法】1．我们知道一个三角形有六个元素，即三边a、b、c和三角∠A、∠B、∠C。

运用这六个元素来识别两个三角形的全等，根据全等三角形的概念，三角形的三边对应相等并且三个角也对应相等，那么这两个三角形才能全等。

通过此办法来说明两三角形全等较为复杂。

做一实验观察发现如果两个三角形的一个或两个元素（边或角）对应相等，这两个三角形不一定能完全重合（即全等）甚至其形状都不尽相同。

三个元素对应相等呢？答案是肯定的，你能找出哪几种可能的情况？2. 鉴于课本上做一做，已知三条线段为边画一个三角形，这个三角形不会改变。

即通过已知三条线段画出的所有三角形都能够完全重合。

可感性地认识到全等三角形识别方法（一），即有三边对应相等的两个三角形全等。

3.在运用“S.A.S.”来识别两个三角形全等的问题中，要注意的是两边和它们的夹角．．对应相等。

一般在问题中，如果出现有两边对应相等，则可考虑第三边或它们的夹角是否会相等，从这里找突破口来论证问题。

4.运用所学的识别方法识别两个三角形全等来解决线段或角相等的问题。

【典型例题分析】例1.如图，点D 是△ABC 中BC 边上的一点，E 是AD 上一点，EB ＝EC,∠ABE ＝∠ACE ，试说明：∠BAE=∠CAE.分析: 要识别∠BAE=∠CAE.关键是找这两个角在哪两个三角形中，从图中可看出若△ABE 和△ACE 、△ABD 和△ACD 全等则结论成立，本题以此为突破口来证明。

EDCBA解: 在△BEC 中，∵BE=CE, ∴∠EBC=∠ECB 。

初三数学全等图形判定方法全等图形是初中数学中的重要概念，它在实际生活和几何学中具有广泛的应用。

全等图形的判定方法则是我们学习的重点之一。

本文将介绍几种常用的初三数学全等图形判定方法，帮助同学们深入理解和掌握这一内容。

一、SAS判定法SAS判定法是指两个三角形的边、角和边对应相等时，这两个三角形全等。

具体判定步骤如下：1. 比较两个三角形的两边是否相等，如果两个三角形的两边相等，则条件一成立。

2. 比较两个三角形的夹角是否相等，如果两个三角形的夹角相等，则条件二成立。

3. 比较两个三角形的另一边是否相等，如果两个三角形的另一边相等，则条件三成立。

如果以上三个条件同时满足，那么可以判断这两个三角形全等。

需要注意的是，SAS判定法判断的是两个三角形全等，而不是其他图形的全等。

二、SSS判定法SSS判定法是指两个三角形的三边长度相等时，这两个三角形全等。

具体判定步骤如下：1. 比较两个三角形的第一条边是否相等，如果两个三角形的第一条边相等，则条件一成立。

2. 比较两个三角形的第二条边是否相等，如果两个三角形的第二条边相等，则条件二成立。

3. 比较两个三角形的第三条边是否相等，如果两个三角形的第三条边相等，则条件三成立。

如果以上三个条件同时满足，那么可以判断这两个三角形全等。

三、ASA判定法ASA判定法是指两个三角形的两角和一边分别相等时，这两个三角形全等。

具体判定步骤如下：1. 比较两个三角形的第一角是否相等，如果两个三角形的第一角相等，则条件一成立。

2. 比较两个三角形的第二角是否相等，如果两个三角形的第二角相等，则条件二成立。

3. 比较两个三角形的一边是否相等，如果两个三角形的一边相等，则条件三成立。

如果以上三个条件同时满足，那么可以判断这两个三角形全等。

四、其他判定法除了SAS、SSS和ASA判定法之外，还有一些其他的判定法，比如AAS判定法、RHS判定法等。

这些判定法都是通过特定的条件来判断两个三角形是否全等，同学们可以根据具体题目的条件选择合适的判定法进行判断。

初三数学全等图形判定方法详解全等图形是初中数学中一个非常重要的概念，在几何学中有着广泛的应用。

它不仅有助于我们理解和解决各种几何问题，还可以帮助我们培养逻辑思维和观察问题的能力。

本文将详细介绍初三数学中全等图形的判定方法。

全等图形定义：两个图形，如果形状、大小、内部结构完全相同，即每一边和每一角都一一对应相等，则这两个图形称为全等图形。

判定全等图形的方法主要有以下几种：1. SSS判定法（边边边相等法）：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

2. SAS判定法（边角边相等法）：如果两个三角形中有两个边与夹角相等，且这两个边之间的夹角也相等，则这两个三角形全等。

3. ASA判定法（角边角相等法）：如果两个三角形中有两个角相等，且这两个角之间的边长也相等，则这两个三角形全等。

4. RHS判定法（直角边边相等法）：如果两个直角三角形中，两个直角的边长相等，且一边的长度也相等，则这两个直角三角形全等。

5. SAA判定法（边角角相等法）：如果两个三角形中有对应的两边与一个角相等，则这两个三角形可能全等，但需要进一步判断其他对应边长是否相等。

通过上述全等图形的判定方法，我们可以在解决几何问题时快速判断两个图形是否全等。

下面通过几个例题来进一步说明判定方法的应用。

例题1：已知△ABC，CE⊥AB，且CE=BC，证明△ABC全等于△BCE。

解析：首先，根据题意可得AC⊥EB，AE⊥BC，且∠ACB=∠BCE。

根据RHS判定法可知，AC=BC，∠ACB=∠BCE，AB=BE。

根据ASA判定法，可以判定△ABC全等于△BCE。

例题2：已知两个平行四边形ABCD和EFGH，且AB=EF，AD=EG，证明平行四边形ABCD全等于平行四边形EFGH。

解析：首先，可以通过移动平行四边形ABCD使得AB与EF重合，并且以D为起点，将平行四边形ABCD移动到平行四边形EFGH的位置。

这样就得到了以DFA'H为顶点的四边形，根据RHS判定法可知，∠DAF=∠EA'F，AD=EA'，AD⊥AC，DF⊥EA'，且两组对边平行。

12.2 三角形全等的判定1.理解和掌握边边边、边角边的方法判断三角形全等；2.理解和掌握角边角和角角边的方法判断三角形全等；3.理解和掌握直角三角形的判定方法。

一、判定方法一：边边边（SSS ）1.边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边“或“SSS “)。

2.书写格式①先写出所要判定的两个三角形。

②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出。

③得出结论：两个三角形全等。

如下图，在△ABC 和 △A ′B ′C ′中，∵AB =A ′B ′,BC =B ′C ′,AC =A ′C ′,∴△ABC≅△A ′B ′C ′(SSS ).书写判定两个三角形全等的条件：在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量。

如上图，等号左边表示△ABC 的量，等号右边表示 △A ′B ′C ′的量。

3.作一个角等于已知角已知：∠AOB 。

求作： ∠A ′O ′B ′,使 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .作法：如上图所示，①以点O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交 OA ，OB 于点 C ，D 。

②画一条射线( O ′A ′,以点 O ′为圆心、OC 长为半径画弧，交( O ′A ′于点 C ′.③以点C ′为圆心、CD 长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点 D ′.④过点。

D ′画射线 O ′B ′,则 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .题型一 利用SSS 直接证明三角形全等如图，已知AC DB =，要用“SSS ”判定ABC DCB @V V ，则只需添加一个适当的条件是_____．【答案】AB DC=【分析】根据全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等，即可．【详解】∵全等三角形的判定“SSS ”：三边对应相等的两个三角形全等，∴当ABC V 和DCB △中，AC DB BC BC AB DC =ìï=íï=î，∴()SSS ABC DCB @V V ，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定()SSS ：三边对应相等的两个三角形全等．1．如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB @V V ，根据“SSS ”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】AB DC=【分析】要使ABC DCB @V V ，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC V 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =ìï=íï=î，∴()ABC DCB SSS @△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．2．如图，AB DC =，若要用“SSS ”证明ABC DCB △△≌，需要补充一个条件，这个条件是__________．【答案】AC BD=【分析】由图形可知BC 为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．【详解】解：∵AB DC =，BC CB =，∴可补充AC DB =，在ABC V 和DCB V 中，AB DC BC CB AC DB =ìï=íï=î，∴ABC V ≌()SSS DCB V ；故答案为：AC DB =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．题型二 全等三角形的性质与SSS 综合如图，点E 、点F 在BD 上，且AB CD =，BF DE =，AE CF =，求证：AB CD ∥．【分析】根据全等三角形的判定得出ABE CDF △≌△，推出B D Ð=Ð，利用平行线的判定解答即可．【详解】证明：∵BF DE =，∴BE DF =，在ABE V 和CDF V 中，AB DC AE CF BE DF =ìï=íï=î，∴()SSS ABE CDF V V ≌，∴B D Ð=Ð，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．1．已知：如图，RPQ D 中，RP RQ =，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分PRQ Ð．【分析】先根据M 为PQ 的中点得出PM QM =，再由SSS 定理得出PRM QRM V V ≌，由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：M Q 为PQ 的中点（已知），PM QM \=，在RPM △和RQM V 中，RP RQ PM QM RM RM =ìï=íï=î，(SSS)RPM RQM \V V ≌，PRM QRM \Ð=Ð（两三角形全等，对应角相等）即RM 平分PRQ Ð．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．2．已知如图，四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，求证：A C Ð=Ð．【分析】连接BD ，已知两边对应相等，加之一个公共边BD ，则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD ，AB CB =Q ，BD BD =，AD CD =，SSS ABD CBD \≌（）V V ．A C \Ð=Ð．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS ，SAS ，ASA ，HL 等．题型三 作一个角等于已知角如图：(1)在A Ð的内部利用尺规作CED A Ð=Ð（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断直线DE AB 与的位置关系【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法在；A Ð的内部作CED A Ð=Ð，即可求解．（2）根据图形及平行线的判定定理可直接得到答案．【详解】（1）解：如图所示，在A Ð的内部作CED A Ð=Ð， 则CED Ð即为所求；（2）∵CED A ÐÐ＝，∴DE AB ∥．故答案为：DE AB ∥．【点睛】本题主要考查角的尺规作图及平行线的判定，熟练掌握基本作图以及平行线的判定定理是解题的关键．1．如图，已知Ðb 和线段a ，求作ABC V ，使B b Ð=Ð，2,AB a BC a==【分析】先画射线BP ，以B 为圆心，a 为半径画弧，与射线BP 交于点D ，再画DA a =，再以b 的顶点为圆心，a 为半径画弧，交b 的两边分别为E ，F ，再以D 为圆心，EF 为半径画弧，交前弧于C ，再连接AC ，从而可得答案．【详解】解：如图，ABC V 即为所求；【点睛】本题考查的是作三角形，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，熟练掌握基本作图是解本题的关键．2．已知a Ð．求作CAB a Ð=Ð．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】按照作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．【详解】解：如图，CAB Ð为所作．【点睛】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．二、判定方法二：边角边（SAS ）1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边“或“SAS “)。

全等三角形全等三角形的概念：经过翻转、平移、旋转后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 全等三角形的性质：1. 对应边和对应角完全相等2. 能完全重合的顶点叫做对应顶点3. 全等三角形的周长和面积相等（反之不成立）4. 对应边上的高对应相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等 三角形全等判定定理1. 三边对应相等的三角形是全等三角形（SSS 边边边）2. 两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形（SAS 边角边)3. 两角及其夹边对应相等的三角形是全等三角形（ASA 角边角)4. 两角及其一角的对边对应相等的三角形是全等三角形（AAS 角角边)5. 在一对直角三角形中，斜边及一条直角边对应相等是全等三角形（HL) 备注：1）判定三角形全等必须有一组对应边相等2）三角形全等中，两边对应相等，一角，必须是夹角才全等 全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边专题一考点一 全等图形识别略定义：经过翻转 平移可以完全重合的图形才是全等图形考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和例题1：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）A．30°B．45°C．60°D．135°+= 2.（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在44⨯的正方形网格中，求αβ______度．3.（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．考点三全等三角形的概念略考点四全等三角形的性质1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-12，5），过点A作AB∠x轴于B，C是x轴负半轴上一动点，D是y轴正半轴上一动点，若始终保持CD=OA，且使∠ABO与∠OCD全等，则点D坐标为__________________．2.（2022·云南昭通·八年级期末）如图，把∠ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若∥，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（）AC DEA．55°B．60°C．65°D．70°3.（2022·广西·西林县民族初中八年级期末）如图，△ABC∠∠ADE，若∠BAE=135°，∠DAC=55°，那么∠CFE的度数是_________．4.（2022·辽宁·东北育才学校七年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE∠l于E，QF∠l于F．若要△PEC 与△QFC全等，则点P的运动时间为_______．专题二 全等三角形的判定（证明） 考点一 用SAS 证明三角形全等1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B 、C 、E 、F 共线，AB =DC ，∠B =∠C ，BF =CE ．求证：∠ABE ∠∠DCF ．考点二 用ASA 证明三角形全等1.（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ，AC 和DB 相交于点O ，OA ＝OD ．(1)AB ＝DC ； (2)△ABC ∠∠DCB ．2.（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知AB DE ∥，ACB D ∠=∠，AC DE =．(1)求证：ABC EAD ≅．(2)若60BCE ∠=︒，求BAD ∠的度数．考点三 用AAS 证明三角形全等1.（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∠CD ，∠ABE =∠CDF ，AF =CE ．求证：AB =CD ．考点四 用SSS 证明三角形全等1.（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，且满足AB CD =，AE DF =，CE BF =，连接AF ；(1)B 与C ∠相等吗？请说明理由．(2)若40B ∠=︒，20∠=DFC °，AF 平分BAE ∠时，求BAF ∠的度数．2.（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．考点五 用HL 证明三角形全等1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB =CD ，AE ∠BC 于E ，DF ∠BC 于F ，且BF =CE ．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．2.（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：∠ACB∠∠BDA；(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．2.（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在∠ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F 为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt∠ABE∠Rt∠CBF；(2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．全等三角形综合和常见全等模型汇总1.全等三角形中的平移模型几种常见全等三角形基本图形（平移）1.如图所示，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求证AB=DE.2.如图，点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC，已知∠ADO=34°，∠B=67°，求∠A的度数．2.全等三角形中的轴对称模型1.如图，过等边△ABC的顶点A作线段AD，若∠DAB=20°，则∠COD的度数是（）A,100°B,80°C,60°D,40°2.在等边△ABC,点E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED。

九年级数学全等三角形的识别华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 全等三角形的识别知识回顾：全等三角形的识别方法：1. 边边边公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SSS ”。

2. 边角边公理：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS ”。

3. 角边角公理：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA ”。

4. 角角边定理：如果两个三角形中有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“AAS ”。

5. 斜边、直角边公理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为“HL ”。

【典型例题】例1. AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠=∠BAC DAE ，求证：BD ＝CE 。

AEDB C分析：若BD ＝CE ，因为已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，则∆∆ABD ACE ≅，结合∠=∠BAC DAE ，易得∠=∠BAD CAE ，于是建立了已知条件与求证结论间的联系。

证明：因为∠=∠BAC DAE ，所以∠-∠=∠-∠BAC DAC DAE DAC ，即∠=∠BAD CAE ，又因为AB AC =，AD AE =，所以∆∆BAD CAE ≅（SAS ） 所以BD ＝CE例2. A 、C 、E 在同一直线上，∆ABC 和∆CDE 都是等边三角形，M 、N 分别为AD 、BE 的中点，求证：∆CMN 是等边三角形。

BD N13A C E4M2分析：要想证明一个三角形是等边三角形，一般思路是先证明这个三角形的两边相等，即等腰三角形，然后再证它的一个角等于60，那么这个三角形就是等边三角形。

证明：因为AC ＝BC ，CD ＝CE ，且∠=+∠=∠ACD BCD BCE 60则∆∆ACD BCE SAS ≅()，所以AD ＝BE ，∠=∠12 又因为AM AD BN BE ==1212,，所以AM ＝BN 所以∆∆CAM CBN SAS ≅()，所以CM CN =∠=∠,34 因为∠=∠+∠=∠+∠=∠=MCN MCB MCB ACB 4360 故∆CMN 是等边三角形例3. ∠=∠12，要使∆∆ABE ACE ≅，还需要添加一个条件（只需添加一个条件）___________。

12.2 《三角形全等的判定（四）（HL）》【课标内容】1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度.4.掌握基本事实：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等.【教材分析】本节课的主要内容是探索两个直角三角形全等的条件和如何利用“直角边斜边”的条件证明三角形全等，是在学生学习了线段、角、相交线、平行线和三角形的有关知识之后展开的.“HL”是证明两个三角形全等的重要方法之一，也是证明线段相等、角相等的重要依据.在【教学过程】中，我让学生充分体验到动手操作、剪拼、翻折平移、推理证明的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力.整节课让学生从画几何图形，剪拼，翻折平移，起到了较好的作用，学生更加清楚直观，以及学习推理证明的方法.【学情分析】本节是人教版八年级上册第十二章第二节的第四课时，全等三角形的判定（HL）是学生学习了图形的全等的概念及特征后的一节内容，它不仅是后面学习平行四边形性质与判定的基础，而且也是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据.因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用.【教学目标】1.经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2.掌握直角三角形全等的判定，并能运用其解决一些实际问题．3.在探索直角三角形全等的判定及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．【教学重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL【教学难点】熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等【教学方法】五步教学法、引导探究法【课前准备】三角板、多媒体【课时设置】一课时【教学过程】一、预学自检互助点拨（阅读教材P41-43，完成以下问题）1.判定三角形全等：、、、 .2.如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是 .（【设计意图】复习旧知，可更快更准确地解答下面的两个直角三角形全等的条件.）二、合作互学探究新知（动手操作）：1.已知线段a，c ，和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c，CB= a.2.与同桌重叠比较，是否重合？3.从中你发现了什么？（【设计意图】比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点，感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件.激发学生挑战新问题的积极性，培养学生的分析、作图能力.画法直接由教师蛤出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.）三、自我检测成果展示1.如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）∴∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）在Rt△和Rt△中⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌ （ ）∴∠ = ∠ （ ）∴ （内错角相等，两直线平行）【设计意图】 让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL ”这一条件，自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心.2.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等3.如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( )A. 30°B. 60°C. 30°和60°之间D. 以上都不对4.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，求DE 的长.四、应用提升挑战自我在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC 上,且AE=CF.(1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.（【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.）五、经验总结反思收获本节课你学到了什么？写出来【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.教师引导学生总结今天学习的主要内容，关键是区别两种情况，判断哪一种情况可以判断两个三角形全等，在学习后进行适当总结有助于学生更加深刻理解内容.【板书设计】全等三角形判定HL【备课反思】本节数学课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定（除了定义外，已经学了四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS、）的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解.探索“HL公理”中，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程.数学教学应努力体现“从问题情景出发，建立模型、寻求结论、解决问题”.纵观整个教学，不足的方面：第一，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机；第二，在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会.这些我在今后的教学中会争取改进.。

第4课时三角形全等的判定（四）（HL）1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.（重点）2.选择合适的判定方法判定两个直角三角形全等.（难点）一、新课导入【复习导入】教师带领学生复习全等三角形的四个判定定理SSS，SAS，ASA和AAS的相关知识，为本节课做准备.二、新知探究知识点“HL”证全等【提出问题】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？【学生思考】给学生思考的时间，可同桌之间讨论.提醒学生可以结合刚才复习的判定三角形全等的方法想一想！教师利用多媒体展示如下四种情况，学生对照自己的思考结果，对不同的结果举手发言，教师给予纠正.1.在两个直角三角形中，满足一直角边及其相对的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定依据是什么？全等，依据“AAS”.2.在两个直角三角形中，满足一直角边及其相邻的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定依据是什么？全等，依据“ASA”.3.在两个直角三角形中，满足两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定依据是什么？全等，依据“SAS”.4.在两个直角三角形中，满足斜边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定依据是什么？全等，依据“AAS”.【提出问题】在两个直角三角形中，满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？【学生回答】学生根据图示，大部分学生可能会回答“不全等”，因为没有“SSA”，教师接着追问，以求探索.【提出问题】任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A'B'C'，使得∠C'＝90°，B'C'＝BC，A'B'＝AB.把画好的Rt△A'B'C'剪下来，放在Rt△ABC上，它们全等吗？【动手操作】学生根据老师的要求，在准备好的卡纸上作图，试一试作出来的两个三角形是否全等.教师可提醒学生：如果两个三角形能够重合，那么两者就是全等三角形.【学生回答】教师点名学生回答是如何制作△A'B'C'的，对于回答不完整的，请另一名学生补充.教师利用多媒体展示画△A'B'C'的作法，学生检查自己的作法是否正确：作法：（1）画∠MC'N＝90°；（2）在射线C'M上截取B'C'＝BC；（3）以点B'为圆心，AB长为半径画弧，交射线C'N于点A'；（4）连接A'B'.【提出问题】△A'B'C' 与△ABC 全等吗？教师利用多媒体展示画△A'B'C'与△ABC 的重合过程.很明显两者是全等的.【提出问题】这两个三角形全等满足的是哪三个条件？教师利用多媒体展示满足的三个条件，从而得到答案：直角、斜边和一条直角边.【归纳总结】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.该判定定理的几何语言：在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'中，{AC ＝A 'C ',BC ＝B 'C ',∴Rt △ABC ≌Rt △A'B'C'（HL ）.用“HL”证明两个直角三角形全等的注意事项：①应用“HL” 的前提条件是在直角三角形中；②书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”；③书写条件时，先写斜边（H ） ，再写直角边（L ）.教师利用多媒体展示以下例题：例 如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD .求证：BC ＝AD .证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠C 与∠D 都是直角. 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，{AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）.∴BC ＝AD .【跟踪训练】如图，∠ACB＝∠BDA＝90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）BC＝AD （HL）；（2）AC＝BD（HL）；（3）∠CBA＝∠DAB（AAS）；（4）∠CAB＝∠DBA（AAS）.三、课堂小结三角形全等的判定{斜边、直角边（HL）{内容➡斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等注意事项➡{前提条件是在直角三角形中书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”书写条件时，先写斜边（H),再写直角边（L）根据已知条件选择适合证明两个直角三角形全等的方法➡隐含条件：两直角相等四、课堂训练1.已知在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A'B'C'的是（C）A. BC＝B'C'B.∠A＝∠A'C.∠C＝∠C'D.∠B＝∠B'＝90°2.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，分别过点A，C向EF 作垂线，垂足分别为G，H，且AG＝CH.求证：AB∥CD.证明：∵AG⊥GH，CH⊥GH，∴∠G＝∠H＝90°.在Rt△AGE和Rt△CHF中，{AE＝CF，AG＝CH，∴Rt△AGE≌Rt△CHF（HL）.∴∠AEG＝∠CFH.又∠AEG＝∠BEF，∴∠BEF＝∠CFH.∴AB∥CD.提醒学生：“HL”是直角三角形独有的判定方法，但直角三角形的判定方法很多，判定时，应抓住“直角”这个隐含条件，选择合适的方法求证.。

全等三角形的识别（5）知识技能目标1. 掌握识别三角形全等的四种方法；2. 能够灵活运用这四种识别，选择适当的方法来说明三角形的全等；3. 进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，培养多动手、多思考的习惯.过程性目标帮助学生总结一般三角形全等的识别条件，使他们自觉运用各种全等识别法进行说理.情感态度目标总结识别三角形全等的四种方法，学习如何选择适当的方法来说明两个三角形全等，体会理论来源于实践又反过来为实践服务的辨证思想，以及几何证明的语言关系和思维美.重点和难点重点：让学生识别三角形的哪些元素能用来确定三角形的形状与大小，因而可用来识别三角形全等；难点：灵活应用各种识别法识别全等三角形.教学过程一、创设情境你能说出识别三角形全等的方法有几种？具体内容是什么？二、探究归纳问题1已知，E、F分别为线段AC上的两个动点，且BF // DE，若/ A =Z C, AF = CE , BD 交AC于M点.试说明ME = MF.分析要证明ME= MF ,需先证明厶MED◎△ MFB .在这对三角形中，可直接应用的相等条件只有一对对顶角相等，而由已知条件BF // DE，又可得到一对角相等，但还缺一对等边•分析已知条件，易证△ ABF◎△ CDE ,根据全等三角形对应边相等，可知BF =DE.至此△ MED◎△ MFB所需条件已具备，问题得到解决.解因为BF // DE ,所以/ BFA=Z DEC（两直线平行，内错角相等），又因为AF = CE, / A =Z C,所以由（A.S. A.）全等识别法，可知△ ABF ◎△ CDE .所以BF = DE （全等三角形对应边相等）.在厶MED和厶MFB中，/ EMD =/ FMB （对顶角相等），/ DEM = / BFM , DE = BF , 所以由（A.A. S.）全等识别法，可知△ MED ◎△ MFB .所以ME= MF（全等三角形对应边相等）.通过上例，我们可以知道，要证明两个三角形全等，有时不一定能从已知条件中直接得到结论，而需要借助于另一对三角形的全等.在解题时要仔细分析，灵活运用我们所知道的全等识别法，选取适当的方法来解决问题.问题2在问题1中，如果我们把图形作如下改变，其余条件不变，请问结论还成立吗？三、实践应用例1已知，如图，AB 、CD 互相平分于点 0,过点0引直线EF 分别与AD 、BC 相交于E 、F 两点.试 说明AE = BF .解因为AB 、CD 互相平分于点 0,所以 A0= BO , DO = CO ,又因为/ AOD = Z BOC （对顶角相等），所以由（S.A. S.）全等识别法，可知△ AOD ◎△ BOC .所以/ A =Z B （全等三角形的对应角相等）.在厶 AOE 和厶 BOF 中，/ A =Z B , AO = BO ,所以由（A. S.A.）全等识别法，可知 △ AOE ^A BOF .所以AE = BF （全等三角形的对应边相等 ）.例2已知，CA = CB , AD = BD , M 、N 分别是 CA 、CB 的中点，试说明 DM = DN . 分析 要证明DM = DN ，需先证明△ ADM BDN •而由已知条件，我们发现还缺少对应角相等，所以需要构造全等三角形. 解连结CD ,因为CA = CB , AD = BD , CD 是公共边，所以由（S.S.S.）全等识别法，可知△ ACD ◎△ BCD .所以/ A =Z B （全等三角形的对应角相等）.因为M 、N 分别是CA 、CB 的中点，且 CA = CB , 所以AM = BN .在厶 ADM 和厶 BDN 中，AM = BN ，/ A =Z B , AD = BD ,所以由（S.A. S.）全等识别法，可得△ ADM ◎△ BDN .所以DM = DN （全等三角形的对应边相等 ）.四、交流反思通过本节课的学习，我们要学会灵活运用四种全等识别法，选择适当的方法来说明三角形的全 等.同时，在证明过程中，还要注意运用两次全等及添加辅助线的方法来帮助解题.五、检测反馈1. 要使下列各对三角形全等，需要增加什么条件？2. 已知，AB = AC , DB = DC , F 是AD 的延长线上一点.试说明 BF = CF ./ 1 = Z 2（对顶角相等）,(1)AA F1 :C E 7 B ，//A =Z D ,/ B =Z F , ;D / A =Z D , AB = DE,3. 如图，AB = AE , / B =Z E , BC = ED ,点F 是CD 的中点，则AF 丄CD .你能说出其中的道理吗?CDAC。

中考数学一轮复习专题解析—全等三角形判定与性质定理复习目标1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；考点梳理一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.特别提醒：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).例1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP△AQ．【答案】证明：（1）△BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，△△1+△CAE=90°，△2+△CAE=90°．△△1=△2,△在△AQC和△PAB中，△△AQC△△PAB．△ AP=AQ.(2)△ AP=AQ，△QAC=△P，△△PAD+△P=90°，△△PAD+△QAC=90°，即△PAQ=90°．△AP△AQ．二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例2．如图，已知AD为△ABC的中线，且△1＝△2,△3＝△4,求证：BE＋CF＞EF.【答案】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF,在△BDE和△CDM中，△△BDE△△CDM（SAS）．△BE=CM.又△△1＝△2，△3＝△4 ，△1＋△2＋△3＋△4＝180°，△△3＋△2=90°，即△EDF＝90°，△△FDM＝△EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中△△EDF△△MDF（SAS）,△EF＝MF （全等三角形对应边相等）,△在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,△BE＋CF＞EF.三、常见的几种辅助线添加△遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；△遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；△遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；△过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；△截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．例3．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，△ D为BC中点，△ BD=DC，在△ADC和△HDB中，△ △ADC△△HDB(SAS)，△ AC=BH, △H=△HAC，△ EA=EF，△ △HAE=△AFE，又△ △BFH=△AFE，△ BH=BF，△ BF=AC．综合训练1．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SSA C．ASA D．SAS【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：画一个三角形A′B′C′，使△A′=△A，A′B′=AB，△B′=△B，符合全等三角形的判定定理ASA，故选：C．2．（2022·全国九年级专题练习）如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行．若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED 的面积：四边形ADGF的面积＝（）A．1：2B．2：1C．2：3D．3：2【答案】D【分析】根据重心的概念得出D，F分别是三角形边的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF＝CG：GD，可求得△CGF 的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE△△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．【详解】解：设三角形ABC的面积是2，△三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1，△BG：GF＝CG：GD＝2，△三角形CGF的面积是13，△四边形ADGF的面积是2−1−13＝23，△//l BC,△EAD CBD∠=∠,△,=∠=∠,BD AD ADE BDC△△ADE△△BDC（ASA）△△ADE的面积是1△△AED的面积：四边形ADGF的面积＝1：2＝3：2．3故选：D．3．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）如图，在正方形ABCD中，210AB=﹐E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、BF，AE交BF于点G，将BCF△沿BF△的面积是（）翻折得到BPF△，延长FP交BA延长线于点Q，连接QG，则QGFA．25B．25C．20D．15 2【答案】D【分析】由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得QB，可求出S△BQF=25，再证明△ABE△△BCF（SAS），△BGE△△BCF，由此得BF，GE，BG，过点G作GN△AB交AB于N，可证明△ANG△△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根据S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解．【详解】解：将BCF△，△沿BF翻折得到BPF∴PF =FC ，△PFB =△CFB ，四边形ABCD 是正方形∴△FPB =90°，CD △AB ，,90AB BC ABE BCF =∠=∠=︒△△CFB =△ABF ， △△ABF =△PFB ， △QF =QB ，△PF =FC =12CD 12AB =PB =AB 在Rt △BPQ 中，222QB BP PQ =+，△222(QB QB =+，△QB△S△BQF =1252=，△AB =BC ，BE =CF ，△ABE =△BCF =90°， △△ABE △△BCF （SAS ）， △△AEB =△BFC ， 又△△EBG =△CBF ， △△BGE △△BCF ，GE BG BECF BC BF∴==， △CF，BC △BF△GEBG ， 过点G 作GN △AB 交AB 于N ，△△GAN=△EAB，△ANG=△ABE=90°，△△ANG△△ABE，△GN GABE EA=△GA=AE-GE =42△GN=4105△S△BQG=12×QB×GN=1510410225⨯⨯=10，△S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故选：D．4．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，以ABC的三边为边分别作等边ACD△、ABE△、BCF△，则下列结论正确的是（）A．EBF DFC≌B．四边形ADFE为矩形C．四边形ADFE为菱形D ．当AB AC =，120BAC ∠=︒时，四边形ADFE 是正方形【答案】A【分析】利用SAS 得到△EBF 与△DFC 全等，利用全等三角形对应边相等得到EF ＝AC ，再由△ADC 为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF ＝AD ，AE ＝DF ，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD 为平行四边形，若AB ＝AC ，△BAC ＝120°，只能得到AEFD 为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．【详解】解：△△ABE 、△BCF 为等边三角形，△AB ＝BE ＝AE ，BC ＝CF ＝FB ，△ABE ＝△CBF ＝60°，△△ABE −△ABF ＝△FBC −△ABF ，即△CBA ＝△FBE ，在△ABC 和△EBF 中，AB EB CBA FBE BC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ABC △△EBF （SAS ），△EF ＝AC ，又△△ADC 为等边三角形，△CD ＝AD ＝AC ，△EF ＝AD ＝DC ，同理可得△ABC △△DFC ，△DF ＝AB ＝AE ＝DF ，△四边形AEFD 是平行四边形，故B 、C 选项错误；△△FEA ＝△ADF ，△△FEA ＋△AEB ＝△ADF ＋△ADC ，即△FEB ＝△CDF ，在△FEB 和△CDF 中，EF DC FEB CDF EB FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩． △△FEB △△CDF （SAS ），故选项A 正确；若AB ＝AC ，△BAC ＝120°，则有AE ＝AD ，△EAD ＝120°，此时AEFD 为菱形，选项D 错误故选A ．5．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图在四边形ABEC 中，BEC ∠和BAC ∠都是直角，且AB AC =．现将BEC ∆沿BC 翻折，点E 的对应点为E '，BE '与AC 边相交于D 点，恰好BE '是ABC ∠的角平分线，若1CE =，则BD 的长为（ ）A ．1.5B 2C ．2D 3【答案】C【分析】 如图，延长CE '和BA 相交于点F ，根据翻折的性质可以证明△BE′C △△BE′F ，可得CF =2，再证明△FCA △△DBA ，可得BD =CF =2．【详解】解：如图，延长CE '和BA 相交于点F ，由翻折可知：90BE C E ∠'=∠=︒，1CE CE '==，BE '是ABC ∠的角平分线，CBE FBE ∴∠'=∠'，BE BE '='，∴()BE C BE F ASA '≅'，1E F CE ∴'='=，2CF ∴=，90FCA F ∠+∠=︒，90DBA F ∠+∠=︒，FCA DBA ∴∠=∠，90FAC DAB ∠=∠=︒，AB AC =，()FCA DBA ASA ∴≅，2BD CF ∴==．故选：C ．6．（2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级三模）如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，利用尺规在BA ，BC 上分别截取BD ，BE ，使BD BE =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点F ；作射线BF 交AC于点H．若2HA=，P为BC上一动点，则HP的最小值是（）A．12B．2C．1D．无法确定【答案】B【分析】根据作图过程可得BH平分△ABC，当HP△BC时，HP最小，根据角平分线的性质即可得HP的最小值．【详解】解：根据作图过程可知：BH平分△ABC，当HP△BC时，HP最小，△HP＝HA＝2．故选：B．7．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，在Rt ABC中，90C∠=︒，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于12MN的长度为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若54B∠=︒，则CDA∠=______度．【答案】72°利用三角形内角和180°，解得36CAB ∠=︒，由角平分线性质解得18CAD ∠=︒的度数，最后根据三角形外角性质解题即可．【详解】解：90,54C B ∠=︒∠=︒905436CAB ∴∠=︒-︒=︒ AD 平分CAB ∠ 1182CAD DAB CAB ∴∠=∠=∠=︒ 185472CDA DAB B ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：72．8．（2022·广东深圳市南山外国语学校九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 中，3OA =，6OC =，将ABC 沿对角线AC 翻折，使点B 落在B '处，AB '与y 轴交于点D ，则点D 的坐标为______．【答案】9(0,)4-【分析】设OD m =，则6CD m =-，由题意可以求证AOD CB D '△≌△，从而得到6AD CD m ==-，再根据勾股定理即可求解．解：由题意可知：3OA BC B C '===，6OC AB ==，90B B AOD '∠=∠=∠=︒ 设OD m =，则6CD m =-，又△B DC ADO '∠=∠△()AOD CB D AAS '△≌△△6AD CD m ==-在Rt AOD △中，222AD AO OD =+，即222(6)3m m -=+ 解得：94m =△点D 的坐标为9(0,)4-故答案为9(0,)4-9．（2022·广东实验中学九年级三模）已知，ABC DCB ∠=∠，ACB DBC ∠=∠，求证：ABC DCB △≌△．【答案】证明见解析【分析】由条件△ABC ＝△DCB ，△ACB ＝△DBC ，根据ASA 证明△ABC △△DCB 即可．【详解】证明：在△ABC 和△DCB 中，ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ABC △△DCB （ASA ）；10．（2022·厦门市湖滨中学）如图，在△ABE 和△CDF 中，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，BF ＝CE ，若AB △CD ，△A ＝△D ．求证：AB ＝CD ．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质可得△B ＝△C ，根据已知条件可得BE ＝CD ，结合已知条件△A ＝△D ，即可证明△ABE △△DCF ，进而即可得证AB ＝CD ．【详解】解：△AB △CD ，△△B ＝△C ．△BF ＝CE ，△BF ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF ．△△A ＝△D ，△B ＝△C ，BE ＝CF△△ABE △△DCF （AAS ）．△AB ＝CD ．。