第二章 2.1.5 平面上两点间的距离

平面上两点间的距离公式勾股定理是一个基本的几何定理，它指出在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。

根据这个定理，我们可以得到以下两点间的距离公式：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，d表示两点之间的距离。

这个公式的推导非常简单，下面我们来进行推导过程。

假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以将这两个点看作是直角三角形的两个顶点。

两条直角边分别是垂直于x轴和y轴的线段。

假设这两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，根据勾股定理有：a²+b²=c²其中，a=x2-x1，b=y2-y1代入上述表达式，我们得到：(x2-x1)²+(y2-y1)²=c²那么，c就是A点和B点之间的距离。

将c²开方，我们得到：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式就是平面上两点间的距离公式。

例如，假设有两个点A(1,2)和B(4,6)，我们可以使用上述公式来计算这两个点之间的距离：d=√((4-1)²+(6-2)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以，点A和点B之间的距离为5个单位。

此外，还有其他更简洁的方式来表示两点之间的距离。

例如，我们可以使用矢量的减法来计算两点之间的距离，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)=√((x2-x1)(x2-x1)+(y2-y1)(y2-y1))=√(x2²-2x1x2+x1²+y2²-2y1y2+y1²)=√(x2²+y2²+x1²+y1²-2x1x2-2y1y2)这个公式可以更方便地用于计算两点之间的距离。

总结起来，平面上两点间的距离公式是通过应用勾股定理得出的。

金湖二中高二数学教学案 主备：王吉明 审核：严永平第9课时 §2.1.5 平面上两点间的距离教学目标1．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式；2．能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题．教学过程：（一）课前准备 （自学课本P85～89）设两点111222(,),(,)P x y P x y1． 两点12P P 间的距离公式2．线段12P P 中点坐标公式3．已知点(8,10),(4,4)A B -则线段A B 的长为 ，线段A B 中点坐标为 .4．已知()()0,10,,5A B a -两点之间的距离为17，则实数a 的值为 ．5. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是 ．（二）例题剖析例1：已知A B C ∆的顶点坐标为(1,5),(2,1),(4,7)A B C ---，求B C 边上的中线A M 的长和A M 所在的直线方程．例2：已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：AM=21BC 。

例3： 一条直线l ：121-=x y ，求点)4,3(P 关于l 对称的点Q 的坐标．（三）课堂练习1.式子可以理解为 的距离2.已知点(4,12)A ，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为 .3.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为4．已知点)2,1(-P ，则点P 关于原点对称的坐标为_______，关于x 轴对称的坐标为_____关于y 轴对称的坐标为___________，点P 关于点（0，4）对称的坐标为_______．（四）归纳总结1.两点间的距离公式2．中点坐标公式．（五）教学反思（六）课后作业 班级 学号 姓名1．已知两点)5,8(),0(-B m A ，之间的距离是17，则实数m 的值为_______________．2．已知两点)2,3()4,1(A P ，-，则A 关于点P 的对称点B 的坐标为_______________．3．已知点)9,4()3,8()2,5(-C B A ，，，则点A 与BC 中点间的距离为______________．4．若直线l 过点)2,3(P ，且P 是直线l 被坐标轴截得线段的中点，则直线l 的方程为_______5．已知两点)4,1()3,2(-B A ，，点)(y x P ，到点B A ，的距离相等，则实数y x ，满足的条件是_________．6．在ABC ∆中，点F E ，分别为AC AB ，的中点，建立适当的直角坐标系，证明：EF //BC 且BC EF 21=．7．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求AP 最小值．8．已知直线l：3=xy，求：3+（1）直线l关于点)2,3(M对称的直线的方程；（2）点)2,3(M关于直线l对称的点的坐标；（3）直线02=x关于l对称的直线的方程．-y-★9．已知定点(2,2),(8,4),,-∈A B x R。

1.5平面直角坐标系中的距离公式第1课时两点间的距离公式学习目标 1.掌握两点间距离公式，并能简单应用.2.初步体会解析法研究几何问题.3.会解决简单的对称问题．知识点两点间的距离公式已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，思考1当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？答案|P1P2|＝|x2－x1|.思考2当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？答案|P1P2|＝|y2－y1|.思考3当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？答案|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2梳理两点间的距离公式如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝z(x2－x1)2＋(y2－y1)2.1．点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.(×)2．点P(x1，y1)关于点M(x0，y0)的对称点是P′(2x0－x1，2y0－y1)．(√)类型一 两点间的距离问题例1 如图，已知△ABC 的三顶点A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用 解 (1)方法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，∴k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪训练1 已知点A (－1，2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用 解 设P (x ，0)，|P A |＝(x ＋1)2＋(－2)2，|PB |＝(x －2)2＋(－7)2，∵|P A |＝|PB |， ∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7，得x ＝1，∴P (1，0)， ∴|P A |＝(1＋1)2＋4＝2 2.类型二 对称问题命题角度1 关于点对称问题例2 (1)求点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程． 考点 对称问题的求法 题点 直线关于点的对称问题解 (1)根据题意可知，点A (a ，b )为线段PP ′的中点， 设P ′点的坐标为(x ，y )，则根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋x02，b ＝y ＋y 02，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 0，y ＝2b －y 0.所以点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0)．(2)方法一 设直线l 上任意一点M 的坐标为(x ，y )， 则M 点关于点(2，－1)的对称点为M 1(4－x ，－2－y )，且M 1在直线3x －y －4＝0上， 所以3(4－x )－(－2－y )－4＝0， 即3x －y －10＝0.所以所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.方法二 在直线3x －y －4＝0上取两点A (0，－4)，B (1，－1)， 则点A (0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A 1(4，2)， 点B (1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B 1(3，－1)． 可得直线A 1B 1的方程为3x －y －10＝0， 即所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.反思与感悟 (1)点关于点的对称问题：若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则点P 是线段AB 的中点，并且⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于点P 对称，则：①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上；②若l 1∥l 2，则点P 到直线l 1，l 2的距离相等；③过点P 作一直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练2 与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0考点 对称问题的求法 题点 直线关于点的对称问题 答案 D解析 由平面几何知识易知，所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3，0)， 关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 命题角度2 关于轴对称问题例3 点P (－3，4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2，1) B ．(－2，5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)考点 对称问题的求法 题点 点关于直线对称 答案 B解析 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎨⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2，5)．反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题求点P (x 0，y 0)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P ′(x ，y )时，利用⎩⎨⎧y －y 0x －x·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·x 0＋x 2＋B ·y 0＋y2＋C ＝0可以求P ′点的坐标．(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于直线l 对称，①l 1上任意一点关于直线l 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于直线l 的对称点必在l 1上；②过直线l 上的一点P 且垂直于直线l 作一直线与l 1，l 2分别交于点A ，B ，则点P 是线段AB 的中点． 跟踪训练3 一束光线从原点O (0，0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4，3)，求反射光线的方程．考点 对称问题的求法 题点 光路可逆问题解 设原点关于直线l 的对称点A 的坐标为(a ，b )， 由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在直线l 上，得⎩⎨⎧b a ×⎝⎛⎭⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴点A 的坐标为(4，3)．∵反射光线的反向延长线过点A (4，3)， 又反射光线过点P (－4，3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x ≤78. 类型三 运用坐标法解决平面几何问题例4 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)． 考点 题点证明 设BC 所在边为x 轴，以D 为原点，建立直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．(2)用坐标表示有关的量．(3)将几何关系转化为坐标运算．(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪训练4已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 考点题点证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)，∴|AC|＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，|BD|＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.故|AC|＝|BD|.1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为()A ．1B ．－5C ．1或－5D ．－1或5 考点 两点间的距离公式题点 已知两点间的距离求参数的值 答案 C 解析 |AB |＝(a ＋2)2＋42＝5，解得a ＝1或a ＝－5.2．已知点A (x ，5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．2 B ．4 C ．5D.17考点 两点间的距离公式 题点 求两点间的距离 答案 D解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴P (4，1)， 则|OP |＝42＋12＝17.3．已知△ABC 的三个顶点是A (－a ，0)，B (a ，0)和C ⎝⎛⎭⎫a 2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形考点 题点 答案 C解析 ∵|AB |＝2|a |，|AC |＝⎝⎛⎭⎫a 2＋a 2＋⎝⎛⎭⎫32a －02＝3|a |，|BC |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＋⎝⎛⎭⎫32a －02＝|a |， ∴|AB |2＝|AC |2＋|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形．4．点A 在第四象限，点A 到x 轴的距离为3，到原点的距离为5，则点A 的坐标为____________． 考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用 答案 (4，－3)解析 由题意得，A 点的纵坐标为－3，设A (x ，－3)， 则(x －0)2＋(－3－0)2＝5，x ＝±4.又点A 在第四象限，∴x ＝4，∴A (4，－3)．5．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为________． 考点 对称问题的求法 题点 点关于直线对称 答案 x －y ＋1＝0解析 线段PQ 的垂直平分线就是直线l ，则k l ·k PQ ＝k l ·4－21－3＝－1，得k l ＝1，PQ 的中点坐标为(2，3)，在直线l 上，∴直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.1．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想． 2．有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称：①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称：①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a ·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.一、选择题1．已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)三点，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2 考点 两点间的距离公式 题点 求两点间的距离 答案 D解析 由两点间的距离公式， 得|AC |＝[3－(－1)]2＋(4－0)2＝42，|CB |＝(3－5)2＋(4－6)2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2. 2．已知两直线l 1：x ＋y －2＝0，l 2：2x －y －1＝0相交于点P ，则点P 到原点的距离为( ) A. 5 B ．5 C. 2D ．2考点 两点间的距离公式 题点 求两点间的距离 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，2x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴点P 的坐标为(1，1)，故到原点的距离为(1－0)2＋(1－0)2＝ 2.3．光线从点A (－3，5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2，10)，则光线从A 到B 的距离是( ) A ．5 2 B ．2 5 C ．510D ．10 5考点 对称问题的求法题点 光路可逆问题答案 C解析 点A (－3，5)关于x 轴的对称点的坐标为A ′(－3，－5)．光线从A 到B 的距离是|A ′B |＝[2－(－3)]2＋[10－(－5)]2＝510.4．已知点M (－1，3)，N (5，1)，P (x ，y )到M ，N 的距离相等，则x ，y 满足的条件是( )A ．x ＋3y －8＝0B ．x －3y ＋8＝0C ．x －3y ＋9＝0D ．3x －y －4＝0 考点 两点间的距离公式题点 两点间距离公式的综合应用答案 D解析 由|PM |＝|PN |，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝(x －5)2＋(y －1)2，化简得3x －y －4＝0.5．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175C.135D.115 考点 恒过定点的直线题点 恒过定点的直线的应用答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0考点 两点间的距离公式题点 两点间距离公式的综合应用答案 A解析 由已知，得A (－1，0)，P (2，3)，由|P A |＝|PB |，得B (5，0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.7．直线x ＋y －1＝0上与点P (－2，3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4，5)B ．(－3，4)C ．(－3，4)或(－1，2)D ．(－4，5)或(0，1)考点 两点间的距离公式题点 两点间距离公式的综合应用答案 C解析 设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有x 0＋y 0－1＝0，且(x 0＋2)2＋(y 0－3)2＝2， 两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝2.故选C. 8．点P (a ，b )关于直线l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．0考点 对称问题的求法题点 点关于直线对称答案 A解析 ∵点P (a ，b )关于直线l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，∴点P (a ，b )在直线l 上，∴a ＋b ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.二、填空题9．点P (2，5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________．考点 对称问题的求法题点 点关于直线对称答案 (－4，－1)解析 设对称点坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0－5x 0－2×(－1)＝－1，x 0＋22＋y 0＋52＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－1. 10．等腰△ABC 的顶点是A (3，0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5，4)，则此三角形的腰长为________．考点 两点间的距离公式题点 求两点间的距离答案 2 6解析 |BD |＝12|BC |＝2， |AD |＝(5－3)2＋(4－0)2＝2 5.在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长|AB |＝22＋(25)2＝2 6. 11．在直线x －y ＋4＝0上取一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4，6)的距离相等，则点P 的坐标为________．考点 两点间的距离公式题点 两点间距离公式的综合应用答案 ⎝⎛⎭⎫－32，52 解析 设P 点的坐标是(a ，a ＋4)，由题意可知，|PM |＝|PN |，即(a ＋2)2＋(a ＋4＋4)2＝(a －4)2＋(a ＋4－6)2，解得a ＝－32， 故P 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，52. 三、解答题12．在△ABC 中，点A (1，1)，B (3，1)，若△ABC 是等边三角形，求点C 的坐标． 考点 两点间的距离公式题点 两点间距离公式的综合应用解 设点C 的坐标为(x ，y )，因为△ABC 为等边三角形，所以|AC |＝|BC |， 即(x －1)2＋(y －1)2＝(x －3)2＋(y －1)2. ①又|AC |＝|AB |， 即(x －1)2＋(y －1)2＝(1－3)2＋(1－1)2. ②由①得x ＝2，代入②，得y ＝1±3.故所求点C 的坐标为(2，1＋3)或(2，1－3)．13．已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AB 边的中点，DE ，CF 交于点G ，求证：|AG |＝|AD |.考点 两点间的距离公式题点 两点间距离公式的综合应用证明 建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B (0，0)，C (2，0)，A (0，2)，E (1，0)，F (0，1)，D (2，2)．直线DE 的方程为y ＝2x －2，直线CF 的方程为y ＝－12x ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －2，y ＝－12x ＋1，得⎩⎨⎧ x ＝65，y ＝25，即点G ⎝⎛⎭⎫65，25.从而|AG |＝ ⎝⎛⎭⎫65－02＋⎝⎛⎭⎫25－22＝2＝|AD |. 四、探究与拓展14．已知点A (1，3)，B (5，－2)，点P 在x 轴上，则使|AP |－|BP |取最大值的点P 的坐标是( )A ．(4，0)B ．(13，0)C ．(5，0)D ．(1，0)考点 两点间的距离公式题点 两点间距离公式的综合应用答案 B解析 点A (1，3)关于x 轴的对称点为A ′(1，－3)，连接A ′B 并延长交x 轴于点P ，即为所求．直线A ′B 的方程是y ＋3＝－2＋35－1·(x －1)， 即y ＝14x －134.令y ＝0，得x ＝13. 即点P 坐标为(13，0)．15．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于点B ，且|AB |＝5，求直线l 的方程．考点 两点间的距离公式题点 两点间距离公式的综合应用解 当直线l 的斜率不存在时，过点A (1，－1)的直线为x ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标为(1，4)，此时|AB |＝5，x ＝1即为所求． 当直线l 的斜率存在时，设过点A (1，－1)的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则与已知直线平行)，则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，得k ＝－34， ∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可知，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.。

求两点间的距离公式在数学中，求两点间的距离是一种基本的计算方法。

无论是在平面上还是在空间中，我们都会使用这个公式进行计算。

在本文中，我们将探讨如何求两点间的距离公式，以及其应用。

一、平面上的两点间距离平面上两个点之间的距离，可以通过勾股定理来计算。

在坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]其中，√ 表示平方根。

例如，若点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,7)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)²]= √[3² + 4²]= √(9+16)= √25= 5这代表点A和点B之间的距离为5个单位长度。

二、空间中的两点间距离与平面上不同，空间中的两点之间的距离需要使用三维勾股定理来计算。

在三维坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]例如，若点A的坐标为(2,3,4)，点B的坐标为(5,7,2)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)² + (2-4)²]= √[3² + 4² + (-2)²]= √(9+16+4)= √29这代表点A和点B之间的距离为√29个单位长度。

三、应用求两点间距离的公式，可以广泛应用于各个领域。

以下是一些例子：1. 道路建设：在规划道路时，需要计算两个建筑物之间的距离，以确定最佳道路位置。

2. GPS导航：GPS系统利用卫星定位技术来计算用户当前位置和目的地之间的距离。

3. 机器人设计：在设计机器人的路径规划系统时，需要计算机器人当前位置和目标位置之间的距离，以决定机器人的运动路径。

2.1．5 平面直角坐标系中的距离公式（1）教学分析在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性．课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生去主动地发现问题和解决问题，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，采用如下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法．三维目标1．使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．2．能灵活运用此公式解决一些简单问题，使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．重点难点教学重点：①平面内两点间的距离公式．②如何建立适当的直角坐标系．教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题．课时安排1课时教学过程导入新课已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.提出问题①如果A，B是x轴上两点，C，D是y轴上两点，它们坐标分别是x A，x B，y C，y D，那么|AB|，|CD|又怎样求？②求B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家总结一下我们是怎样推导出来的(回忆过程).活动：①可由图形观察得出．②通过观察图1，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到距离．图1 图2③在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如图2从P1，P2分别向x轴和y 轴作垂线P1M1，P1N1和P2M2，P2N2，垂足分别为M1(x1,0)，N2(0，y1)，M2(x2,0)，N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2.因为|P1Q|＝|M1M2|＝|x2－x1|，|OP2|＝|N1N2|＝|y2－y1|，所以|P1P2|2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2.由此得到两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离公式为|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.④我们先计算在x轴和y轴两点间的距离；又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形；猜想了任意两点距离公式；最后得到平面上任意两点间的距离公式．这种由特殊到一般、由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法．同学们在做数学题中可以采用！讨论结果：①|AB |＝|x B －x A |，|CD |＝|y D －y C |.②B 到原点距离是5.③|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.④略．应用示例例1 求下列两点间的距离：(1)A (－1,0)，B (2,3)；(2)A (4,3)，B (7，－1)．解：(1)|AB |＝(2＋1)2＋(3－0)2＝32；(2)|AB |＝(7－4)2＋(－1－3)2＝5.例2 已知△ABC 的三个顶点是A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，试判断△ABC 的形状．图3解：如图3，因为|BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1＋34＝1， |AB |＝2，|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3， 有|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以△ABC 是直角三角形．例3 △ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，求证：△ABC 为等腰三角形．解：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．如图4.图4设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由距离公式可得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．点评：根据图形特点，建立适当的直角坐示系，利用坐标解决有关问题，这种方法叫坐标的方法，也称为解析法．课堂练习：P74练习1课堂小结通过本节学习，要求大家：①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程．②能灵活运用此公式解决一些简单问题．③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题．④通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．⑤培养勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．课后作业：P77习题2—1 A 组10,11,12.2.1．5 平面直角坐标系中的距离公式（2）教学分析点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具．点到直线的距离的公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离．”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想、化归思想和分类方法，由浅入深、由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．三维目标1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．3．培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 重点难点教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．课时安排1课时教学过程导入新课点P (0,5)到直线y ＝2x 的距离是多少？更进一步，在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为(x 0，y 0)，直线l 的方程是Ax ＋By ＋C ＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢？这节课我们就来专门研究这个问题．提出问题①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 均不为0)，求点P 到直线l 的距离．你最容易想到的方法是什么？各种做法的优缺点是什么？②前面我们是在A ，B 均不为零的假设下推导出公式的，若A ，B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法1的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察下面三种特殊情形中的结论：(Ⅰ)x 0＝0，y 0＝0时，d ＝|C |A 2＋B2； (Ⅱ)x 0≠0，y 0＝0时，d ＝|Ax 0＋C |A 2＋B2； (Ⅲ)x 0＝0，y 0≠0时，d ＝|By 0＋C |A 2＋B2. 观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P (x 0，y 0)，d ＝？学生应能猜想：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 求点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离的一般步骤，其算法可用如下流程图表示：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，用上述方法，我们可以得到 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 这就是点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式．今后我们将用向量的方法证明这个公式． ②可以验证，当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③引导学生得到两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离：d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. 证明：设P 0(x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C 2＝0上任一点，则点P 0到直线Ax ＋By ＋C 1＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C 1|A 2＋B 2. 又Ax 0＋By 0＋C 2＝0，即Ax 0＋By 0＝－C 2，∴d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 讨论结果：①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. ②当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. 应用示例例1 (1)求原点到直线l 1：5x －12y －9＝0的距离；(2)求点P (－1,2)到直线l 2：2x ＋y －10＝0的距离．解：(1)原点到直线l 1的距离d ＝|5×0－12×0－9|52＋(－12)2＝913； (2)点P 到直线l 2的距离d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝2 5. 例2 用解析法证明等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高．图1证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为BC 延长线上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB于F .以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系(如图1)．设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0，b ＞0)，则直线AB 方程为bx －ay ＋ab ＝0，直线AC 方程为bx ＋ay －ab ＝0，取P (x 0,0)，使x 0＞a ，则点P 到直线AB ，AC 的距离分别为|PD |＝|bx 0－0＋ab |a 2＋b 2＝bx 0＋ab a 2＋b2， |PE |＝|bx 0＋0－ab |a 2＋b 2＝bx 0－ab a 2＋b2 . 点C 到直线AB 的距离为|CF |＝|ab ＋ab |a 2＋b 2＝2ab a 2＋b 2， 则|PD |－|PE |＝2ab a 2＋b2＝|CF |. 点评：有条件的话可以选用数学软件或图形计算器动态呈现例2的图形的变化过程，体会在变化中的不变的数量关系．例3 两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)与B (0,5)．若l 1与l 2的距离为5，求这两直线方程．解：显然，直线l 1，l 2均不与x 轴垂直．设l 1的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，则点B 到l 1的距离为|5＋k |k 2＋1＝5，所以k ＝0或k ＝512. l 1的方程为y ＝0或5x －12y －5＝0，可得l 2的方程为y ＝5或y ＝512x ＋5. 故所求两直线方程分别为l 1：y ＝0，l 2：y ＝5；或l 1：5x －12y －5＝0，l 2：5x －12y ＋60＝0.知能训练1．求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x ＋y －10＝0；(2)3x ＝2.2．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，求△ABC 的面积．3．求平行线2x －7y ＋8＝0和2x －7y －6＝0的距离．4．求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0的距离．解答：1.(1)根据点到直线的距离公式得d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝105＝2 5. (2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－(－1)＝53. 点评：(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握．课堂练习：P76练习2课堂小结1．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新，培养学生勇于探索、善于研究的精神．3．本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用．课后作业：P77习题2—1 A 组第13题；B 组第1,2题．。

两点间的距离在几何学中，计算两点间的距离是一个常见的问题。

无论是在平面上还是在三维空间中，计算两点之间的距离都是基础的几何概念之一。

在本文中，我将介绍一些常见的计算两点间距离的方法。

1. 平面上两点的距离假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，要计算这两点之间的距离，我们可以使用勾股定理。

根据勾股定理，两点之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)举例来说，假设A(2, 3)和B(5, 7)是平面上的两个点。

根据上述公式，我们可以计算出它们之间的距离为：d = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。

2. 三维空间中两点的距离如果我们将问题扩展到三维空间中，计算两点之间的距离的方法也有所不同。

假设空间中有两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，我们可以使用三维直角坐标系中的公式来计算它们之间的距离。

根据三维空间中两点之间的距离公式，我们可以得到以下计算公式：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)例如，我们有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)。

通过代入上述公式，我们可以计算出它们之间的距离为：d = √((4 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (6 - 3)^2)= √(3^2 + 3^2 + 3^2)= √(9 + 9 + 9)= √27≈ 5.196因此，点A和点B之间的距离约为5.196个单位。

3. 特殊情况下的距离计算除了平面和三维空间外，还存在其他特殊情况下的距离计算。

例如，在球面上计算两点之间的距离需要采用球面三角学的方法。

在球面上，我们使用球面三角学中的定律来计算两点之间的距离。

其中一个著名的定律是球面余弦定律，它可以用以下公式表示：cos(d) = sin(θ1)sin(θ2) + cos(θ1)cos(θ2)cos(Δλ)其中，d表示两点之间的距离，θ1和θ2表示两点的纬度，Δλ表示两点经度的差值。