平面上两点间的距离

两点间的距离公式两点间的距离是指在数学上，即几何空间中两点之间的直线距离。

在二维平面中，两点间的距离可以使用勾股定理来计算。

而在三维空间中，两点间的距离可以通过空间中的坐标来计算。

这篇文章将会详细介绍两点间距离的公式以及它们的推导过程。

首先，我们从二维平面开始讨论。

假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离记为d。

根据勾股定理d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式也可以写成：d=√(Δx²+Δy²)其中，Δx=x2-x1，Δy=y2-y1这个公式是由勾股定理推导而来，只需将点A和点B的坐标代入公式即可计算出两点之间的距离。

在计算机、几何学和物理学中，这个公式被广泛使用。

接下来我们来看三维空间中两点间距离的计算。

假设有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，它们之间的距离记为d。

我们可以使用三维空间中的向量来推导计算公式。

首先，我们可以将A和B的坐标表示为向量形式：A=(x1,y1,z1)B=(x2,y2,z2)然后，我们可以定义从A到B的向量为V：V=B-AV=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)注意，这个向量的起点是A，终点是B。

根据向量的定义，我们可以使用向量的模长来计算A和B之间的距离。

向量的模可以表示为：V，=√(Δx²+Δy²+Δz²)其中，Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，Δz=z2-z1这个公式给出了三维空间中两点间距离的计算方法。

与二维平面的情况一样，只需将点A和点B的坐标代入公式即可计算出两点之间的距离。

最后，我们来看一些与两点间距离有关的常见应用。

在数学中，这个公式常常用于计算平面上两点的距离，或者计算线段、直线的长度。

同样，在几何学和物理学中，这个公式也被广泛应用。

在计算机图形学中，这个公式用于计算点之间的距离，从而实现线段、多边形之间的相交判断、碰撞检测等。

平面上两点间的距离公式在平面上，两点之间的距离可以通过使用勾股定理或坐标公式来计算。

一、勾股定理勾股定理适用于直角三角形，根据该定理，直角三角形斜边的长度可以通过其两条直角边的长度计算得出。

在平面上，两点之间的直线可以看做是直角三角形的斜边，因此我们可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。

设两点的坐标分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则PQ的距离为d。

根据勾股定理，d的计算公式为：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)其中，^表示乘方运算，√表示开方运算。

这个公式代表了将两点之间的直线看作斜边，利用两条直角边的长度计算斜边的长度。

二、坐标公式坐标公式是通过计算两点间的水平和垂直距离，然后应用勾股定理来求得两点之间的距离。

这种方法适用于不确定两点坐标的直角坐标系。

假设P(x1,y1)和Q(x2,y2)是两点，横坐标之间的差为Δx，纵坐标之间的差为Δy，d是两点之间的距离，则d的计算公式如下：d=√(Δx^2+Δy^2)=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)这个公式表示了通过计算两点之间的水平和垂直距离，然后应用勾股定理来求得两点之间的距离。

无论使用勾股定理还是坐标公式，最终的计算结果都是两点之间的距离。

这个距离表示了两点之间的直线长度。

这些公式在计算机图形学、几何学和物理学等领域都有广泛的应用。

它们提供了一种简单而有效的方法来计算平面上两点之间的距离。

最后，值得注意的是，上述的距离公式适用于平面上的欧几里得距离。

在一些特殊情况下，如曼哈顿距离或切比雪夫距离等，计算方法可能会有所不同。

这些距离公式适用于特定的应用场景，根据实际情况选择合适的距离公式进行计算。

§ 2.8 两点间的距离公式课前自主预习［新知梳理］1、平面上两点间距离公式：已知Rd,%) , P2(x2,y2),则PP2 =J(N-汀+(% - y?)2•在如图所示的坐标系中，|RQ|= M - yd ,p2 (x2,y2)Q(x1,y2)| F2QH |x2 -x i | ;在RtARQP2 中，I PP2 l= J(x i —X2)2+(力—y2)2•特殊地，0(0,0) , P(x, y)之间的距离 |OP|二■ Xi2y2［思考讨论］1 . (1)已知x轴上两点A(X i,0)、BgO)，贝U I AB 戶|x^x1 |(2)已知 y 轴上两点A(0,yJ、B(0, y2)，则 |AB|= | y^ yy |2.(1)已知两点A(x，y)、B(x,,y)，则 |AB 卜凫-为| .(2)已知两点A(x, %)、B(x, y2)，则 | AB 戶| y2 - % | .3.直线与坐标轴的两交点之间的距离是洁+b2.4.在坐标系中作出两点R(1,3)，P2(5,6)，构造直角三角形，求得|PP2|= 5课堂互动学习［名师点津］1.记住两点间的距离公式的结构特征，会用公式求出三角形的边长等距离问题.2.利用三角形的边长判断三角形的等腰三角形还是直角三角形.3.利用对称性可以解决两类类似问题：①在定直线上求一点到两定点的距离之和最小；②在定直线上求一点到两定点的距离之差的绝对值最大.4.利用坐标法解决平面几何问题，首先要建立恰当的直角坐标系.建立坐标系的原则是：①以题目中的已知直线为坐标轴，以已知点为原点；②让尽可能多的点处在坐标系中的特殊位置，这样方便计算；③如果条件中有互相垂直的两条直线，可以考虑把它们昨晚坐标轴，如果图形为中心对称图形，可以将中心作为原点，如果图形为轴对称图形，可以将对称轴作为对称轴.典例精析：［典型例题1］已知A(0,1)，B(2,7)，C(4,3)，求三边的长，并判断 ABC的形状.［点拨］由距离公式求出三边的长，再由边长判断形状.［解答］由两点间距离公式得| AB |「- (2一0)2(7 一1)2=2帀，| BC 匸；(2匚4)2—(7匚3)2〉2 .. 5，| AC |= .(4 -0)2 (3 -1)2 =2 ,5，因为I ACI2• |BC|2=|AB|2, |AC|=|BC|，所以厶ABC是等腰直角三角形.［变式训练1］已知A(a,2)，B(-2,-3)，C(1,1)且AB =| AC|，求a 的值.［解答］| AB =. (a 2)2 (2 3)2二.a2 4a 29，| AC H--'：(a -1)2 (2 -1)2=J；a2 -2a 2，=AC，所以J a2 +4a 十29 = J a2 -2a +2，解得［典型例题2］在x轴上取一点P，使它与两点A(1,2)，B(5,3)的距离之和最小，并求出最小距离.| PA'I+I PB闰AB|，当P是AB与x轴交点P时，取等号, 因为 | A B F •. (1 -5)2* ( -2 -3)2二 41 为定值, 所以当P是AB与x轴交点P时，|PA［+|PB|有最小值.因为直线AB的斜率为一脊违，经过点B(5,3)，因为AB［点拨］作A关于x轴的对称点A，连AB与x轴交于点P，则F0为所求.［解答］作A关于x轴的对称点A，则A坐标为(1,-2)，设P 是x轴上的任一点，连PA ；PB、AB，则有所有直线AB的方程为y 一3 (x 一5),4令y =0，得x仝，即P的坐标为(空,0).5 5［变式训练2］x轴上的一点到定点A(0,2) , B(1,1)距离之和的最小值为(D )A.2B. 、、5C. 2、2D. .10［典型例题3］已知P为等腰 ABC的底边BC上的任意一点，求证：2 2|AB| =|AP| |BP| |PC| .［点拨］以底边所在的直线为x轴，底边的垂直平分线为y轴建立坐标系，再设出有关点的坐标，表示出有关线段的长度即可得证.［解析］取BC的中点O为原点，OA所在直线为y轴，建立坐标系.设A(0,a)，C(b,0)，则B(-b,0)，由两点间距离公式得| AB|2二a2 b2，|AP |2二a2 x2，| BP^x b，| PC |二 b-x，所以| AP |2 | BP | | PC | 二a2 x2 (x b)(b - x)二a2 b2.所以| AB |2 =| AP |2| BP | | PC |.［变式训练3］如图，D为BC中点，求证：AB2+ AC2二 D 6 吃D A^ D C证明：以D为原点，BC所在直线为x轴建立坐标系，设 A(a,b)，C(c,0)，则 B(-c,0).于是| AB|^(a c)2 b2，|AC|2= (a-c)2 b2，| BD |^| CD |2-c2，|DAf = a2 b2.所以| AB|2| AC |2 = (a c)2 b2(a -c)2b2二2a22b22c2，2 . 2 . 2 2 , 2 , 2DB +2 DA +DC| =2a +2b +2c，所以 AB + AC = DB +2 DA + DC .课后分层练习反馈练习:1•以A(；,0) , B(3, 2) , C(_1,2)为顶点的三角形的形状是(C )A •等腰B •等边C •直角D .锐角三角形2.已知M(x,二)到N(1,2)的距离为5,则x二(D )A. -4B. -2C. -4 或2D. 4或 -23.已知A(-1,2) , B(3,6) , C(5, -5)，贝L ABC 的边 AB 上的中线长为.97 .4.点P在直线y =x上，且P到Q(4,；)的距离为5,则P点坐标为(0,0)或(1,1)5.已知正 ABC的边长为a,在平面上求一点P，使得|PA|2 | PB|2 | PC |2取得最小值，并求最小值.［点拨］建立直角坐标系，设P(x,y)，和A、B、C的坐标，用两点间距离公式得出函数关系.［解析］以AB边所在直线为x轴，边AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，如图所示.设点A(| ,0),则B(-, c(o, ；a).设P(x, y)，则|PA|2 | PB|2 I PCf= (x—|")2 y2 (x |)2 y2 x2 (y 一一|^)2=3x2 3(y 乎)2 a2 _a2.当且仅当x =0 , y二冬时，等号成立，此时点P坐标为6),是正 ABC 的中心，所求最小值为a26.在y轴上找一点M ,使得M到两定点A(2,1)、B(4,5)的距离之差的绝对值最大，并求出最大值.［点拨］连结AB延长交y轴于M。

平面上两点间的距离和点到直线的距离公式平面几何是几何学中的一个重要分支，它研究了平面上点、直线、圆等的性质和相互关系。

在平面上，我们经常需要计算两点之间的距离以及点到直线的距离，这些计算方法在实际生活中有着很广泛的应用。

下面我们将分别介绍两点间的距离和点到直线的距离的计算公式。

首先，考虑两点间的距离。

假设平面上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们想要计算这两个点之间的距离d。

根据勾股定理，我们知道两点之间的距离可以通过点与坐标轴的距离的平方和来计算，即：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。

这个公式的理解非常直观，我们可以将两点之间的直线看作是直角三角形的斜边，而点与坐标轴的距离就是直角三角形的两个直角边的长度。

因此，我们可以通过计算两个直角边的长度，然后应用勾股定理来求解斜边的长度，即两点之间的距离。

接下来，我们来讨论点到直线的距离的计算方法。

给定平面上一条直线L和一点C(x0,y0)，我们想要计算点C到直线L的距离d。

为了方便计算，我们需要确定直线L的方程。

在平面几何中，常见的直线方程形式有一般式、斜截式和点斜式。

这里我们以一般式方程为例，一般式方程的形式为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。

点到直线的距离的计算方法有多种，下面我们介绍其中的一种方法，即点到直线的投影方法。

我们可以将问题转化为求点C到直线L的垂直投影点D，然后计算点C到点D的距离d。

首先，我们可以利用点斜式确定直线L的斜率k。

假设直线L经过点P(x1, y1)，斜率为k，则直线L的点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)。

进一步化简，我们得到直线L的一般式方程Ax + By + C = 0，其中A =-k，B = 1，C = kx1 - y1接下来，我们需要求点C到直线L的垂直投影点D(xd, yd)的坐标。

根据垂直投影的性质，我们知道点D在直线L上，且点CD垂直于直线L。

因此，点D与直线L的斜率之积为-1，即k * kd = -1、由此，我们可以得到点D的坐标：xd = (B^2 * x0 - A * B * y0 - A * C) / (A^2 + B^2)yd = (A * B * x0 - A * A * y0 - B * C) / (A^2 + B^2)最后，我们可以计算点C到点D的距离d，即：d = √[(x0 - xd)^2 + (y0 - yd)^2]这个公式可以通过将点C到点D的距离看作直角三角形的斜边来进行解释。

两点间的距离公式【教学目标】1、掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算【教学重点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【教学难点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【教学过程】引入：(如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 21=-5 0 7 X在直角三角形中，怎样求出斜边的长度在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|=xy平面直角坐已知两点1P P P 21=说明(1) 如果P 12是x x 12-(2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离是y y 12-试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB .试一试2：求下列两点间的距离：（1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A（3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A -试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。

线段的中点公式点),(111y x P ，),(222y x P 之间所连线段的中点P 坐标为221x x x +=，221y y y +=。

说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的试一试3：求下列两点的中点坐标（1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A -（二）典型例题：已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度（解题过程在书240页）【自我检测】1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(222y x P ，两点距离公式为2、点),(111y x P ，),(222y x P 之间所连线段的中点P 坐标为3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标（1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2）4、已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7）6、已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b.7、已知A在y轴上，B（4，-6），且两点间的距离AB=5，求点A的坐标8、已知A（a,-5），点B在y轴上，点B的纵坐标为10，AB=17，求a。

两点间的距离公式
欧几里得距离公式
在平面上，如果给定两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，那么可以使用欧几
里得距离公式来计算这两个点之间的距离。

欧几里得距离公式如下：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)
其中d表示两点之间的距离。

曼哈顿距离公式
曼哈顿距离公式是另一种计算两点之间距离的方法。

在平面上，给定
两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，曼哈顿距离公式可以表示为：
d=，x₂-x₁，+，y₂-y₁
曼哈顿距离公式的计算方法是将两点间的直线路径分解为水平和垂直
方向上的距离，并将它们相加。

在三维空间中，两点之间的距离可以通过类似的方法进行计算。

给定
两个点A(x₁,y₁,z₁)和B(x₂,y₂,z₂)，我们可以使用欧几里得距离公式来计算它们之间的距离。

欧几里得距离公式在三维空间中如下：
d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)
此外，还有其他一些计算两点距离的公式。

例如，切比雪夫距离公式
可用于计算两点之间的最大绝对差异。

在平面上，切比雪夫距离公式如下：
d = max(，x₂ - x₁，, ，y₂ - y₁，)
在三维空间中，切比雪夫距离公式如下：
d = max(，x₂ - x₁，, ，y₂ - y₁，, ，z₂ - z₁，)
以上所述的公式都是用来计算点之间的直线距离的。

它们在几何学、物理学、计算机图形学和许多其他领域都有广泛的应用。

无论是在平面上还是在空间中，选择哪个公式取决于具体的问题和应用。

求平面上两点的距离平面上两点的距离是数学中一个基本的概念，也是计算几何中一个重要的问题。

在平面上，任意两个点之间的距离可以使用距离公式来计算。

本文将详细介绍平面上两点的距离的计算方法及其应用。

平面上任意两点的距离可以用直线距离来表示。

假设平面上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么可以使用勾股定理来计算它们之间的距离。

根据勾股定理，即斜边平方等于两直角边平方和，我们有以下公式：d = √(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2其中，d表示两点之间的距离。

在计算平面上两点的距离时，我们需要知道两点的坐标。

通过这个公式，我们可以得到两点之间的直线距离。

除了使用勾股定理，我们还可以使用其他方法来计算两点之间的距离。

例如，我们可以将平面上的两点A和B连接起来，将得到的线段分割成若干小段，然后使用勾股定理计算每个小段的长度之和。

这种方法被称为分段近似，可以更精确地计算两点之间的距离。

当我们需要计算非常长的直线距离时，分段近似可以提供更准确的结果。

在实际应用中，计算平面上两点之间的距离具有广泛的用途。

例如，在地理信息系统中，我们可以使用距离计算来测量两个地点之间的实际距离。

这对于规划路线、测量土地面积和监测地理数据非常重要。

在建筑设计中，计算两点之间的距离可以帮助我们确定建筑物的尺寸和形状，确保在有限的土地上合理安排空间。

在计算机图形学中，我们可以使用距离计算来确定图形的位置和大小，从而实现图像的渲染和变换。

另外，我们还可以通过两点间的距离来解决几何中的一些问题。

例如，在平面上给定三个点A、B和C，如果我们知道点A到点C的距离和点B到点C的距离，我们可以使用这些信息来确定点C的位置。

同样地，如果我们知道一个点和几个已知点的距离，我们可以使用这些距离关系来确定这个点的位置。

这在地理定位、航行和三角测量中都有应用。

最后，在现实生活中，计算平面上两点之间的距离还可以根据需要扩展到三维空间。

我们可以将上述公式和方法应用于空间中的点之间的距离计算。

平面上两点间的距离公式勾股定理是一个基本的几何定理，它指出在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。

根据这个定理，我们可以得到以下两点间的距离公式：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，d表示两点之间的距离。

这个公式的推导非常简单，下面我们来进行推导过程。

假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以将这两个点看作是直角三角形的两个顶点。

两条直角边分别是垂直于x轴和y轴的线段。

假设这两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，根据勾股定理有：a²+b²=c²其中，a=x2-x1，b=y2-y1代入上述表达式，我们得到：(x2-x1)²+(y2-y1)²=c²那么，c就是A点和B点之间的距离。

将c²开方，我们得到：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式就是平面上两点间的距离公式。

例如，假设有两个点A(1,2)和B(4,6)，我们可以使用上述公式来计算这两个点之间的距离：d=√((4-1)²+(6-2)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以，点A和点B之间的距离为5个单位。

此外，还有其他更简洁的方式来表示两点之间的距离。

例如，我们可以使用矢量的减法来计算两点之间的距离，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)=√((x2-x1)(x2-x1)+(y2-y1)(y2-y1))=√(x2²-2x1x2+x1²+y2²-2y1y2+y1²)=√(x2²+y2²+x1²+y1²-2x1x2-2y1y2)这个公式可以更方便地用于计算两点之间的距离。

总结起来，平面上两点间的距离公式是通过应用勾股定理得出的。

平面内两点间的距离公式首先，让我们考虑平面上的两点A和B，分别表示为A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)。

这两点之间的距离d可以通过三角形的勾股定理来计算。

根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两腿的平方和。

在这种情况下，我们可以利用这一定理推导出平面内两点间的距离公式。

首先，我们可以利用两点之间的水平距离和垂直距离来计算斜边的长度。

水平距离即为两点的x坐标之差，记为Δx。

垂直距离即为两点的y坐标之差，记为Δy。

根据勾股定理，斜边的平方等于水平距离的平方加上垂直距离的平方，即d²=Δx²+Δy²。

然后，我们可以将上述公式开方，得到平面内两点间的距离公式：d=√(Δx²+Δy²)这就是平面内两点间的距离公式。

这个公式的几何意义非常明确。

它表示的是平面上两点之间连线的长度，可以看作是直线的长度。

这个长度既可以是有向的，也可以是无向的，因为两点之间的距离不依赖于路径选择。

平面内两点间的距离公式不仅仅是一个数学定义，在实际问题中也有广泛的应用。

比如，计算机图形学中，我们经常需要计算两点之间的距离来确定图像的位置。

此外，在物理学中，平面内两点间的距离公式也用于计算力的大小和方向。

在几何学中，该公式被广泛用于计算线段的长度。

此外，平面内两点间的距离公式还可以推广到三维空间中。

在三维空间中，点不仅有x和y坐标，还有z坐标。

三维空间中两点之间的距离可以由类似的公式推导出来。

总结起来，平面内两点间的距离公式是数学中的一个基本概念，用于描述平面上两点之间的直线距离。

这个公式可以通过三角形的勾股定理推导出来，并具有清晰的几何意义。

这个公式在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

求两点间的距离公式在数学中，求两点间的距离是一种基本的计算方法。

无论是在平面上还是在空间中，我们都会使用这个公式进行计算。

在本文中，我们将探讨如何求两点间的距离公式，以及其应用。

一、平面上的两点间距离平面上两个点之间的距离，可以通过勾股定理来计算。

在坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]其中，√ 表示平方根。

例如，若点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,7)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)²]= √[3² + 4²]= √(9+16)= √25= 5这代表点A和点B之间的距离为5个单位长度。

二、空间中的两点间距离与平面上不同，空间中的两点之间的距离需要使用三维勾股定理来计算。

在三维坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]例如，若点A的坐标为(2,3,4)，点B的坐标为(5,7,2)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)² + (2-4)²]= √[3² + 4² + (-2)²]= √(9+16+4)= √29这代表点A和点B之间的距离为√29个单位长度。

三、应用求两点间距离的公式，可以广泛应用于各个领域。

以下是一些例子：1. 道路建设：在规划道路时，需要计算两个建筑物之间的距离，以确定最佳道路位置。

2. GPS导航：GPS系统利用卫星定位技术来计算用户当前位置和目的地之间的距离。

3. 机器人设计：在设计机器人的路径规划系统时，需要计算机器人当前位置和目标位置之间的距离，以决定机器人的运动路径。

平面上两点间的距离【基础回顾】平面内两点11(,)A x y ，22(,)B x y 间的距离公式：||AB =【典型例题】例1 已知❒ABC 的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，1(,22C ，试判断❒ABC 的形状.思考：表达式表示哪两个点间的距离？和例2 已知(5,21)A a -，(1,4)B a a +-，当||AB 取得最小值时，实数a = . 练习：与两点(2,2)A -，(2,4)B 等距离，且在坐标轴上的点的坐标为 ，由这些店构成的轨迹方程是 .例3 函数y =的最小值为 .练习：函数()f x =的最小值为 ，此时x = . 【夯实基础】1.已知点(,5)A x 关于点(1,)P y 的对称点是(2,3)B --，则点(,)x y 到原点的距离是（ ）A. B. 4 C. D.2.在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A ︒︒，(cos 20,sin 20)B ︒︒，则||AB =（ ）A. 12B. C. D. 1 3.已知两点(0,10)A ，(,5)B a -之间的距离为17，则a 的值为（ ）A. 8B. 8-C. 8-或8D. 64.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 中点M 的坐标为(2,1)-，则线段AB 的长为（ ）A. B. C. D.5.❒ABC 的三个顶点坐标分别是(3,7)A ，(5,1)B -，(2,5)C --，则AB 边的中线CD 的长是 .6.与两点(2,2)A -，(2,4)B 等距离，且在坐标轴上的点的坐标是 .7.已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使222||||||PA PB PC ++最小，并求此最小值.8.过点(0,1)P 作直线l ，交直线1l ：3100x y -+=于点A ，交直线2l ：280x y +-=于点B . 若点P 平分线段AB ，试求直线l 的方程.9.已知两点(8,6)A ，(4,0)B -在直线l ：320x y -+=，求点P ，使||PA PB -最大.。

平面点到点的距离公式
平面上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离可以使用以下公式来计算：
d = √((x2 x1)^2 + (y2 y1)^2)。

其中，d表示点A和点B之间的距离。

这个公式也被称为欧几里得距离公式，它描述了两点之间的直线距离。

现在，我们来探讨一下这个公式在实际生活中的应用。

在日常生活中，我们经常会遇到需要计算两点之间距离的情况。

比如，当我们开车或步行到一个目的地时，我们可能需要计算起点和终点之间的距离，以便选择最佳的路线。

这个距离公式也在数学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。

在数学上，这个公式可以用于计算两个点之间的距离，从而帮助我们理解和解决各种几何问题。

在物理学中，这个公式可以用于描述物体之间的距离和位置关系。

在工程学领域，这个公式可以用于设计和建造各种工程结构，如桥梁、建筑物等。

总之，平面点到点的距离公式是一个非常有用的工具，它在各个领域都有着重要的应用。

通过理解和运用这个公式，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，从而提高我们的生活质量和工作效率。

平面上两点间的距离和点到直线的距离公式江苏省沛县第二中学数学组 张驰 2216001.平面上两点间的距离公式⑴设1P 11()x y ，，2P 22()x y ，，则12PP =特别地，当12P P ⊥x轴时，1221||PP y y ===-； 当12P P ⊥y轴时，1221||PP x x ===-。

⑵设1P 11()x y ，，2P 22()x y ，在直线y kx b =+上时，则12PP ==21|x x -= 或12PP ==21|y y -= 点评：求距离（长度）和参数的值等。

2.线段的中点坐标公式⑴设1P 11()x y ，，2P 22()x y ，，线段12P P 的中点M ()x y ，，则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩。

⑵设ABC ∆的顶点坐标为A 11()x y ，，B 22()x y ，，C 33()x y ，，重心G ()x y ，，则12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩。

点评：利用线段的中点坐标公式可研究图形的轴对称和中心对称以及三角形等问题。

如：曲线()0f x y =，关于点a b （，）中心对称的曲线方程是(22)0f a x b y --=，；曲线()0f x y =，关于点00（，）中心对称的曲线方程是()0f x y --=，；曲线()0f x y =，关于y 轴对称的曲线方程是()0f x y -=，；曲线()0f x y =，关于x 轴对称的曲线方程是()0f x y -=，等。

3.点到直线的距离⑴点P 00()x y ，到直线220(0)Ax by c A B ++=+≠的距离是d =；⑵点P 00()x y ，到直线y kx b =+的距离是d =。

点评：点P 00()x y ，到直线x a =的距离是0||d x a =-；点P 00()x y ，到直线的y b =距离是0||d y b =-；特别地，点P 00()x y ，到直线0x =（y 轴）距离是0||d x =；点P 00()x y ，到直线0y =（x 轴）距离是0||d y =。

平面上两点间的距离和点到直线的距离公式在平面上，假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以使用勾股定理来计算这两个点之间的距离。

勾股定理表述为：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

根据这个定理，我们可以得出两个点之间的距离公式：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，d表示两点之间的距离。

点到直线的距离公式：在平面上，假设有一条直线L，以及一个点P(x,y)不在直线上。

我们可以使用点到直线的距离公式来计算点P到直线L的距离。

点到直线的距离可以表示为该点到直线上的垂直线段的长度。

为了计算点P到直线L的距离，我们可以通过以下步骤进行：1.首先，我们需要确定直线的方程。

直线可以用一般式方程Ax+By+C=0来表示，其中A、B和C是常数。

2.然后，我们可以使用以下公式来计算点P到直线L的距离：d=，Ax+By+C，/√(A²+B²)其中，d表示点P到直线L的距离，Ax+By+C，表示点P带入直线方程后的结果的绝对值，√(A²+B²)是直线方程中A和B的平方和的平方根。

这个公式的推导过程可以通过垂直距离的性质证明。

假设直线L的方程是Ax+By+C=0，点P的坐标是(x,y)，以及点Q是直线L上离点P最近的点。

我们可以通过求点P和点Q的连线与直线L的交点来找到点Q的坐标。

然后，我们可以证明向量PQ与直线L的法向量是垂直的。

根据向量的性质，我们可以得出以下等式：(A,B)·(x-xQ,y-yQ)=0化简上述等式得到：Ax-AxQ+By-ByQ=0其中，(A,B)表示直线L的法向量，(xQ,yQ)表示点Q的坐标。

最后，我们可以得出以下等式：Ax+By=AxQ+ByQ将点P的坐标代入上述等式得到：Ax+By=AxP+ByP进一步化简得到：Ax+By+C，=，AxP+ByP+C因此，点P到直线L的距离可以表示为：d=，Ax+By+C，/√(A²+B²)这就是点到直线的距离公式。