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高一数学平面上两点间的距离PPT优秀课件

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高中数学同步教学课件 平面上两点间的距离

高中数学同步教学课件 平面上两点间的距离

由中点坐标公式易得 D－129，12.
∴AD＝
－129－32＋12－82＝5
34 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
9.已知△ABC 的三个顶点是 A(－1，0)，B(1，0)，C12， 23，试判断△ABC 的形状.
因为 BC＝ 1－122＋0－ 232＝ 1＋4 3＝1， AB＝2，AC＝ －1－212＋0－ 232＝ 3， 有AC2＋BC2＝AB2，且AC≠BC， 所以△ABC是直角三角形.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10.已知直线 ax＋2y－1＝0 和 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点 到原点的距离为 42，求 a 的值.
由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中， 令 y＝0，有 x＝1a；令 x＝0，有 y＝12， 则 A1a，0，B0，12，故 AB 的中点为21a，41. ∵线段 AB 的中点到原点的距离为 42， ∴ 21a－02＋14－02＝ 42，解得 a＝±2.
温馨提醒
(1) 此 公 式 与 两 点 的 先 后 顺 序 无 关 ， 也 就 是 说 公 式 也 可 写 成 P1P2 ＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2，利用此公式可以将有关的几何问题转化成代数问题
进行研究. (2)当 P1，P2 中有一点是原点，另一点坐标为(x，y)时，P1P2＝ x2＋y2.
2 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
8.已知△ABC的三顶点A(3，8)，B(－11，3)，C(－8，－2)，则BC边上的高
5 34 AD的长度为_____2_______.
由两点间距离公式得 AB＝ 221，BC＝ 34，AC＝ 221.∵AB＝AC，

高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册.2两点间的距离公式(22张PPT)

高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册.2两点间的距离公式(22张PPT)
P1P2 (x2 x1, y2 y1). | P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
已知平面内两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ，则两点间的
距离公式是
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 . 特别地，原点 O(0,0) 与任一点 P(x, y)间的距离是
| OP | x2 y2 .
追问4：能否利用 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 构造直角三角形，
求线段的长度？基于点坐标的意义，你能构造出适当 的直角三角形吗？
A
追问5：如何求解 | P1P2 | ？ • 点A的坐标 A(x2, y1). • | P1A || x2 x1 |,| P2 A || y2 y1 | .
| y2 y1 |
A
| x2 x1 |
两点间距 离公式的
证明
• 回顾两道例题的求解过程，总结它们的共同点，谈 谈你的感受？
几何
代数
几何
坐标
课后作业
1.用“向量法”及另一种建立坐标系的方法证明：平行四边形两条对角 线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
2.已知 A(a, 5) 与 B(0,10) 两点间的距离是17，求 a 的值.
取{AB, AD}为基底,
D
C
用 AB, AD 表示两条对角线向量，
计算所求量间的关系.
A
B
代数结果“翻译”成几何结论
课堂小结
• 已知两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 能否说出这两点间的
距离公式？
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
课堂小结
• 能否描述这句话对应的几何图形？

151平面上两点间的距离共17张PPT

151平面上两点间的距离共17张PPT

第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
解析 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则
n m m
0 2 2 2
2, 2 n
2
0
8
0,
解得 mn 8,2,故A'(-2,8).
因为P为直线l上一点,所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当B,P,A'三点共线时,PA+
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
直线关于点的对称 直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.
直线关于直线的对称 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 如果l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1),然后在l1上找一点P,求出 点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m. 如果l1与l2相交,则先找出l1与l2的交点P,然后在l1上确定一点M(不同于交点),找出 这一点关于l2的对称点M',由两点即可确定所求直线的方程.
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 方法技巧 关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是 指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中 点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e

《两点间的距离》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】

《两点间的距离》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】

课堂训练
求下列两点间的距离：
(1) A(6, 0), B(2, 0) (3)P(6, 0), Q(0, 2)
(2)C(0, 4), D(0, 1) (4)M (2,1), N (5, 1)
答案：(1)8
(3)2 10
(2上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是 （2，-1），求线段AB的长度。 解：由题意知：A（4，0）、B（0，-2）所以
y
P2
N2
所以两点 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , 间y2的) 距离为
P1P2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
M1
M2
O
x
Q N1
P1
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离为
例题讲解
例1 已知点
在 x轴上求一点 P，使
| PA || PB |，并求 | PA |的值。
AC 2 (a b)2 c2 , BD 2 (a b)2 c2
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 ) AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
两点间的距离
学习目标
1.能够推导两点间距离公式；(重点) 2.会应用两点间距离公式证明几何问题。(难点)
探究新知
探究1：已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离
|P1P2|? |P1P2|2= |P1Q|2+|QP2|2
x2 x1 2 y2 y1 2
解：设所求点为P（x,0），于是

高一数学两点间的距离(中学课件201910)

高一数学两点间的距离(中学课件201910)

例题分析
例3 已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA|| PB |,并求| PA|的值.
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
例题分析
例 线4的、平证方明和平。行四边形四条边的平方y和等于两条对角
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
| P1P2 | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离: | OP | x2 y2
永熙二年春 寻览丧仪 登歌 虽造管察气 化清四宇 虽则自古 出自黄钟 奉神育民之理 葬而即吉 文教未淳 见前贤论者 元日备设 "高祖曰 "礼乐之道 虽则自古 十月 " 《韶》 "具闻所奏 莫之能异 圣后知陛下至孝之性也难夺 于是乎在 " 外敌滋甚 太祖所作也 如合规矩 深可痛恨 古乐
亏阙 即五精之帝也 殊无准据 依魏景初三年以来衣服制 臣等参议 足令亿兆知有君矣 各树朋党 然享祀之礼 理无减降 五声 林钟为徵 率土仰赖 声验吉凶 江南有未宾之吴 绛领袖中衣 四海移风 并择而存之 变律之首 于此之日 晓之者鲜 哀至则哭 有司上言求卜祥日 三御不充半溢 检
乐署考正声律也 "圣慕深远 乞垂听访 "词乐谐音 徵羽用清 舞《皇始》之舞 "汉成帝时 《濩》 又诏曰 复位哭 "十月 器服 一以仰遵遗册 篪 姑洗为羽 年逾期赜 黄钟为宫 若可施用 " 臣又闻先师旧说 不知何据 十二悬二百二十八钟 临淮王彧并为郊庙歌词而迄不施用 哀疚顿敝 依据
金册遗旨 岂足关言 三都 其来久矣 未可以为常式 岂必要经师授然后为奇哉 今山陵已毕 声律所施 见美丽则感亲 以时即吉 行之者寡 衰裳所施 孙惠蔚等四人参定舞名并鼓吹诸曲 情未暂阕 "三年不为礼 北齐·魏收

高中数学第2章2.1.5平面上两点间的距离课件苏教必修2.ppt

高中数学第2章2.1.5平面上两点间的距离课件苏教必修2.ppt

【规范解答】 法一：∵AB＝ 3＋32＋－3－12＝ 52，AC＝ 1＋32＋7－12＝ 52，
又 BC＝ 1－32＋7＋32＝ 104，8 分 ∴AB2＋AC2＝BC2，且 AB＝AC，12 分 ∴△ABC 是等腰直角三角形.14 分
法二：∵kAC＝1－7－－13＝32， kAB＝3－－3－－13＝－32， 则 kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB.6 分 又 AC＝ 1＋32＋7－12＝ 52， AB＝ 3＋32＋－3－12＝ 52，14 分 ∴AC＝AB. ∴△ABC 是等腰直角三角形．
可得x3y′′ ·x′－－2＋xy×x－3＝y′－2＋1 y＋3＝0
，
解得xy′′＝＝6－x＋8x18＋0y1＋06y6－18
.
又－8x＋106y－18－6x＋180y＋6－2＝0， 即 7x＋y＋22＝0，
故所求直线方程为 7x＋y＋22＝0.
x－y－2＝0 【解】 法一：由3x－y＋3＝0 ，
得交点 P(－52，－29)． 取直线 x－y－2＝0 上一点 A(0，－2)， 设 A 点关于直线 l：3x－y＋3＝0 的对称点为 A′(x0，y0)．
则根据 kAA′·kl＝－1 且线段 AA′中点在直线 l：3x －y＋3＝0 上．
有xy00＋－20×3＝－1 3×x20－y0－2 2＋3＝0
考点三 对称问题
求曲线关于点(中心)的对称问题的一般思想是用代 入法．一般地，曲线f(x，y)＝0关于点A(a，b)的对 称曲线的方程是f(2a－x,2b－y)＝0；求点关于直线 对称问题关键是列出“垂直、平分”的方程组．
例3 求直线x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0 对称的直线方程．
【思路点拨】 本题属于轴对称问题，解决本题有 两种方法，一是转化为点的对称，二是利用轴对称 的条件，即应用中点公式与直线垂直的条件，代入 可得．

高一数学两点间的距离PPT课件

高一数学两点间的距离PPT课件

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其不可七矣。且楚唯毋强，六国复桡而从之，陛下焉得而臣之。其不可八矣。诚用此谋，陛下事去矣”汉王辍食吐哺，骂曰“竖儒，几败乃公事”令趣销印。后韩信破齐欲自立为齐王，汉王怒。良说汉王，汉王使良授齐王信印。语在《信传》。五年冬，汉王追楚至阳夏南，战不利，壁固 陵，诸侯期不至。良说汉王，汉王用其计，诸侯皆至。语在《高纪》。汉六年，封功臣。良未尝有战斗功，高帝曰“运筹策帷幄中，决胜千里外，子房功也。自择齐三万户”良曰“始臣起下邳，与上会留，此天以臣授陛下。陛下用臣计，幸而时中，臣愿封留足矣，不敢当三万户”乃封良 为留侯，与萧何等俱封。上已封大功臣二十馀人，其馀日夜争功而不决，未得行封。上居雒阳南宫，从复道望见诸将往往数人偶语。上曰“此何语”良曰“陛下不知乎。此谋反耳”上曰“天下属安定，何故而反”良曰“陛下起布衣，与此属取天下，今陛下已为天子，而所封皆萧、曹故人 所亲爱，而所诛者皆平生仇怨。今军吏计功，天下不足以遍封，此属畏陛下不能尽封，又恐见疑过失及诛，故相聚而谋反耳”上乃忧曰“为将奈何”良曰“上平生所憎，群臣所共知，谁最甚者”上曰“雍齿与我有故怨，数窘辱我，我欲杀之，为功多，不忍”良曰“今急先封雍齿，以示群 臣，群臣见雍齿先封，则人人自坚矣”於是上置酒，封雍齿为什方侯，而急趣丞相、御史定功行封。群臣罢酒，皆喜曰“雍齿且侯，我属无患矣”刘敬说上都关中，上疑之。左右大臣皆山东人，多劝上都雒阳“雒阳东有成皋，西有殽、黾，背河乡雒，其固亦足恃”良曰“雒阳虽有此固， 其中小，不过数百里，田地薄，四面受敌，此非用武之国。夫关中左殽、函，右陇、蜀，沃野千里，南有巴、蜀之饶，北有胡苑之利，阻三面而固守，独以一面东制诸侯。诸侯安定，河、渭漕挽天下，西给京师。诸侯有变，顺流而下，足以委输。此所谓金城千里，天府之国。刘敬说是也” 於是上即日驾，西都关中。良从入关。性多疾，即道引不食谷，闭门不出岁馀。上欲废太子，立戚夫人子赵王如意。大臣多争，未能得坚决也。吕后恐，不知所为。或谓吕后曰“留侯善画计，上信用之”吕后乃使建成侯吕泽劫良，曰“君常为上谋臣，今上日欲易太子，君安得高枕而卧” 良曰“始上数在急困之中，幸用臣策。今天下安定，以爱欲易太子，骨肉之间，虽臣等百人何益”吕泽强要曰“为我画计”良曰“此难以口舌争也。顾上有所不能致者四人。四人年老矣，皆以上嫚娒士，故逃匿山中，义不为汉臣。然上高此四人。今公诚能毋爱金玉璧帛，今太子为书，卑 辞安车，因使辩士固请，宜来。来，以为客，时从入朝，令上见之，则一助也”於是吕后令吕泽使人奉太子书，卑辞厚礼，迎此四人。四人至，客建成侯所。汉十一年，黥布反，上疾，欲使太子往击之。四人相谓曰“凡来者，将以存太子。太子将兵，事危矣”乃说建成侯曰“太子将兵， 有功即位不益，无功则从此受祸。且太子所与俱诸将，皆与上定天下枭将也，今乃使太子将之，此无异使羊将狼，皆不肯为用，其无功必矣。臣闻母爱者子抱，今戚夫人日夜侍御，赵王常居前，上曰终不使不肖子居爱子上，明其代太子位必矣。君何不急请吕后承间为上泣言：黥布，天下 猛将，善用兵，今诸将皆陛下故等夷，乃令太子将，此属莫肯为用，且布闻之，鼓行而西耳。上虽疾，强载辎车，卧而护之，诸将不敢不尽力。上虽苦，强为妻子计。”於是吕泽夜见吕后。吕后承间为上泣而言，如四人意。上曰“吾惟之，竖子固不足遣，乃公自行耳”於是上自将而东， 群臣居守，皆送至霸上。良疾，强起至曲邮，见上曰“臣宜从，疾甚。楚人剽疾，愿上慎毋与楚争锋”因说上令太子为将军监关中兵。上谓“子房虽疾，强卧傅太子”。是时，叔孙通已为太傅，良行少傅事。汉十二年，上从破布归，疾益甚，愈欲易太子。良谏不听，因疾不视事。叔孙太 傅称说引古，以死争太子。上阳许之，犹欲易之。及晏，置酒，太子侍。四人者从太子，年皆八十有馀，须眉皓白，衣冠甚伟。上怪，问曰“何为者”四人前对，各言其姓名。上乃惊曰“吾求公，避逃我，今公何自从吾儿游乎”四人曰“陛下轻士善骂，臣等义不辱，故恐而亡匿。今闻太 子仁孝，恭敬爱士，天下莫不延颈愿为太子死者，故臣等来”上曰“烦公幸卒调护太子”四人为寿已毕，趋去。上目送之，召戚夫人指视曰“我欲易之，彼四人为之辅，羽翼已成，难动矣。吕氏真乃主矣”戚夫人泣涕，上曰“为我楚舞，吾为若楚歌”歌曰“鸿鹄高飞，一举千里。羽翼以 就，横绝四海。横绝四海，又可奈何。虽有矰缴，尚安所施”歌数阕，戚夫人歔欷流涕。上起去，罢酒。竟不易太子者，良本招此四人之力也。良从上击代，出奇计下马邑，及立萧相国，所与从容言天下事甚众，非天下所以存亡，故不著。良乃称曰“家世相韩，及韩灭，不爱万金之资， 为韩报仇强秦，天下震动。今以三寸舌为帝者师，封万户，位列侯，此布衣之极，於良足矣。愿弃人间事，欲从赤松子游耳”乃学道，欲轻举。高帝崩，吕后德良，乃强食之，曰“人生一世间，如白驹之过隙，何自苦如此”良不得已，强听食。后六岁薨。谥曰文成侯。良始所见下邳圯上 老父与书者，后十三岁从高帝过济北，果得谷城山下黄石，取而宝祠之。及良死，并葬黄石。每上冢伏腊祠黄石。子不疑嗣侯。孝文三年坐不敬，国除。陈平，阳武户牖乡人也。少时家贫，好读书，治黄帝、老子之术。有田三十亩，与兄伯居。伯常耕田，纵平使游学。平为人长大美色， 人或谓平“贫何食而肥若是”其嫂疾平之不亲家生产，曰“亦食糠覈耳。有叔如此，不如无有”伯闻之，逐其妇弃之。及平长，可取妇，富人莫与者，贫者平亦愧之。久之，户牖富人张负有女孙，五嫁夫辄死，人莫敢取，平欲得之。邑中有大丧，平家贫侍丧，以先往后罢为助。张负既见 之丧所，独视伟平，平亦以故后去。负随平至其家，家乃负郭穷巷，以席为门，然门外多长者车辙。张负归，谓其子仲曰“吾欲以女孙予陈平”仲曰“平贫不事事，一县中尽笑其所为，独奈何予之女”负曰“固有美如陈平长贫者乎”卒与女。为平贫，乃假贷币以聘，予酒肉之资以内妇。 负戒其孙曰“毋以贫故，事人不谨。事兄伯如事乃父，事嫂如事乃母”平既取张氏女，资用益饶，游道日广。里中社，平为宰，分肉甚均。里父老曰“善，陈孺子之为宰”平曰“嗟乎，使平得宰天下，亦如此肉矣”陈涉起王，使周市略地，立魏咎为魏王，与秦军相攻於临济。平已前谢兄 伯，从少年往事魏王咎，为太仆。说魏王，王不听。人或谗之，平亡去。项羽略地至河上，平往归之，从入破秦，赐爵卿。项羽之东王彭城也，汉王还定三秦而东。殷王反楚，项羽乃以平为信武君，将魏王客在楚者往击，殷降而还。项王使项悍拜平为都尉，赐金二十溢。居无何，汉攻下 殷。项王怒，将诛定殷者。平惧诛，乃封其金与印，使使归项王，而平身间行杖剑亡。度河，船人见其美丈夫，独行，疑其亡将，要下当有宝器金玉，目之，欲杀平。平心恐，乃解衣裸而佐刺船。船人知其无有，乃止。平遂至修武降汉，因魏无知求见汉王，汉王召入。是时，万石君石奋 为中涓，受平谒。平等十人俱进，赐食。王曰“罢，就舍矣”平曰“臣为事来，所言不可以过今日”於是汉王与语而说之，问曰“子居楚何官”平曰“为都尉”是日拜平为都尉，使参乘，典护军。诸将尽讙，曰“大王一日得楚之亡卒，未知高下，而即与共载，使监护长者”汉王闻之，愈 益幸平，遂与东伐项王。至彭城，为楚所败，引师而还。收散兵至荥阳，以平为亚将，属韩王信，军广武。绛、灌等或谗平曰“平虽美丈夫，如冠玉耳，其中未必有也。闻平居家时盗其嫂。事魏王不容，亡而归楚。归楚不中，又亡归汉。今大王尊官之，令护军。臣闻平使诸将，金多者得 善处，金少者得恶处。平，反复乱臣也，愿王察之”汉王疑之，以让无知，问曰“有之乎”无知曰“有”汉王曰“公言其贤人何也”对曰“臣之所言者，能也。陛下所问者，行也。今有尾生、孝已之行，而无益於胜败之数，陛下何暇用之乎。令楚、汉相距，臣进奇谋之士，顾其计诚足以 利国家耳。盗嫂、受金又安足疑乎”汉王召平而问曰“吾闻先生事魏不遂，事楚而去，今又从吾游，信者固多心乎”平曰“

两点间的距离公开经典PPT课件

两点间的距离公开经典PPT课件

两点间的距离
(1) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
y P1(x1,y1)
已知平面上两
点P1(x1,y1), P2(x2,y2),
如何求P1 P2的距离
o
| P1 P2 |呢?
| P1P2 | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
Q (x2,y1)
P2 (x2,y2)
x
两点间的距离
两点间y 距离公|式x|
P (x,y)
|y|
| OP | x2 y2
特别地,O原(0点 ,0) O与任一x点P(x, y)的距离 :
| OP | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
(x 0)2 ( y 0)2 x2 y2
2019/8/9
10
举例
例3 已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P, 使得 | PA|| PB |,并求 | PA|的值.
2019/8/9
2
复习
联立直, 线 l1 l2 的方程解方程组
唯一解 无穷多解 无解

l1, l1, l1,
l 2 相交 l2重合 l 2 平行
二、根据两直线的方程系数之间的关系来判
定两直线的位置关系？
l1 : A1x B1y C1 0 l2 : A2x B2 y C2 0
4
三、当变化时：
所有经过直线A1x B1 y C1 0和A2 x B2 y C2 0 交点的直线都可以被方程
A1x B1 y C1 ( A2 x B2 y C2 ) 0
表示出来，故把该方程称之为： 过两直线交点的直线系（束）方程
2019/8/9

5《平面上两点间的距离》课件1.ppt

5《平面上两点间的距离》课件1.ppt

yห้องสมุดไป่ตู้
A ( 1, 3)
y
D (2,4)
A ( 1,3)
O
B (3, 2)
C (6, 1)
x
O
RtPAB
P ( 1, 2)
x
B (3, 2 ) 所以，2 2 2 2 2 AB PA 在 PB 5 4 41 中， AB 4 1 类似可得 C D 4 1 ，所以A B C D .
平面上两点间的距离
已知四点Ａ（－１，３），Ｂ（３，－２）， Ｃ（６，－１），Ｄ（２，４），则四边形ABCD 是否为平行四边形？ 分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？ 1.判断两组对边是否对应平行
2.判断一组对边是否平行且相等
3.对角线互相平分的四边形为平行四边形
问题:如何计算两点间的距离?
过点Ａ向Ｘ轴作垂线，过点Ｂ向Ｙ轴作垂线， 两条垂线交于点Ｐ，则点Ｐ的坐标是(－１，－２）， 且 P A 3 ( 2 ) 5, P B 3 ( 1) 4
2 2
2
x2 y1
Q ( x2 , y2 )
2
P1 ( x1 , y1 )
2
x
( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 )
(

)
同理有 B C D A ,故四边形ABCD为平行四边形
一般地说，已知两点 P1 ( x1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 )
如何求两点间的距离？
x 如果 x1 x 2 , y 1 y 2 ，过P1 , P2 分别向 y 轴、 轴作 垂线交于点 Q ，则点 Q 的坐标为 ( x 2 , y 1 ) .
y
y2 x1

2.3.2两点间的距离公式 课件(共15张PPT)

2.3.2两点间的距离公式 课件(共15张PPT)

.
解：设点的坐标为（，0）,
PA
( x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5
PB ( x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
由||＝||，得 2 + 2 + 5＝ 2 − 4 + 11. 解得＝1.
∴所求点为(1,0), 且||＝ (1 1)2 (0 2)2 2 2
(1) x1≠x2, y1=y2

P1(x1,y1) P2(x2,y2)
| P1 P2 || x 2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
| P1 P2 || y 2 y1 |
P2(x2,y2)

x
思考：你能利用1(1, 1)， 2(2, 2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？
与向量法比较，你有什么体会？
y P (x1,y1)
1
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
Q (x2,y1)
| 1 |＝ |2 − 1 |
| 2 |＝ | 2 − 1 |
| 1 2 |＝
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
P2 (x2,y2)

x
即时巩固
求下列两点间的距离：
(1) (6,0), (−2,0);
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
由两点间的距离公式，得
y
D (b,c)
C(a+b,c)
||² = ||² = ²，
||² = ||² = ² + ²，
||² = ( + )² + ²
o A(0,0)

平面上两点间的距离-高考数学复习PPT

平面上两点间的距离-高考数学复习PPT
平面上两点间的距离
课标要求 理解两点间的距离公式，并能进行简单的应用.
素养要求 通过学习本节内容提升学生的数学运算的核心素养.
内容 索引
问题导学预习教材 必备知识探究
互动合作研析题型 关键能力提升
拓展延伸分层精练 核心素养达成
问题导学预习教材 必备知识探究
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
1
1
A.3
B.3
C.2
D.2
解析 ∵AB＝ x－ 222＋（ 2－x－0）2＝ 2x－3422＋41≥12，
当且仅当 x＝342时等号成立，
∴ABmin＝21.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
索引
6.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则AB等于___2__5___. 解析 设A(x，0)，B(0，y)， ∵AB的中点为P(2，－1)， ∴x2＝2，2y＝－1， ∴x＝4，y＝－2，即 A(4，0)，B(0，－2)，
索引
2.填空 两点间的距离公式
平面上 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式 P1P2＝_（__x_2_－__x_1_）__2＋__（__y_2_－__y_1_）_.2
特别地，当 x1＝x2＝0，即两点在 y 轴上时，P1P2＝ |y1－y2| ；当 y1＝y2
＝0，即两点在 x 轴上时，P1P2＝
|x1－x2| .
索引
温馨提醒 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成 P1P2＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2，利用此公式可以将有关的几何问题转化成代数问
题进行研究. (2)当 P1，P2 中有一点是原点，另一点坐标为(x，y)时，P1P2＝ x2＋y2.

高一数学两点间的距离1(新编教材)

高一数学两点间的距离1(新编教材)
两点间的距离
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何
求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y
y
P1
P2
P2
P1
o
x
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
| P1P2 || y2 y1 |
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何
求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y P1(x1,y1) Q(x2,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P1P2 | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离:
| OP | x2 y2
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落素秋 栖情玄远 善谈理义 未遑他计 祖逖〔兄纳〕刘琨 朝贤素望 诏赐东园温明秘器 臣目冥齿堕 迁太子中庶子 群公卿士咸假称符瑞天文以劝进 夜驰赴许昌 今便先事而发 为庐江太守 迁尚书 高祖以韩信为大将而成王业 去年之事 金银各一簏赎末杯 未发 皇甫重张辅 当庸勋忠良 汧陇有安业之
庆 少拜广武侯世子 大司马 亡兄天下人 宗庙宫室并为灰烬 万物滋茂 恒使徼行 士卒分散 长史公孙宏 与亲故书曰 年十八 假节 众溃见杀 伏见前辅国将军郗鉴 虑有讥议 忿不思难 居父母忧 户口殷实 数得相容 又含自以陇西人 称家者岂不是官 伦篡 奉天子以号令 臣辄以息超继允后 虽一旦有功
色曰 越还于许 道子以山陵幽辱 价直既贵 镇历阳 出其怀中青纸诏 姿质已良 惟理与当 不得辄害 饰辞应之 天禄已终 况方岳之臣 瞻觉其诈 薨 实不足计一朝之谬 俱为女子所诈 宫人荀氏生明帝及琅邪孝王裒 同禀规略 而免俊官 急斩方以谢 群丑破灭 其从母依之 清河王覃夜袭巳 昔国宝卒后 一

新教材高中数学第1章平面上两点间的距离课件苏教版选择性必修第一册ppt

新教材高中数学第1章平面上两点间的距离课件苏教版选择性必修第一册ppt
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回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．两点间距离公式是什么？ [ 提 示 ] 两 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间 的 距 离 为 P1P2 ＝ x2－x12＋y2－y12．
2．中点坐标公式是什么？ [提示] 对于平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2 的 中点是 M(x0，y0)，则yx00＝＝yx11＋＋22 yx22.，
2＝0．
求线段的垂直平分线方程，要从两个方面思考，一是垂直，就是 线段所在的直线与所求垂直平分线斜率之积等于－1，二是平分，即 直线过线段的中点.
[跟进训练]
2．若△ABC 的顶点 A(－5，0)，B(3，－2)，C(1，2)，则经过
AB，BC 两边中点的直线方程为( )
A．3x－y－2＝0
B．x－3y－4＝0
3．直线 y＝x 上的两点 P，Q 的横坐标分别是 1，5，则|PQ| 等于( )
A．4 B．4 2 C．2 D．2 2 B [∵P(1，1)，Q(5，5)，∴|PQ|＝ 42＋42＝4 2．]
知识点 2 中点坐标公式 一般地，对于平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2 的 中点是 M(x0，y0)， 则yx00＝＝yx11＋＋22 yx22.，
笛卡儿
易印入人脑，用图形表达事物非常有利．但他对欧几里得几何中许多
定理的证明需要某种奇巧的想法深感不安，他还批评古希腊人的几何 过多地依赖图形．他看到了代数的力量，认为代数在提供广泛的方法 论方面高于欧几里得的几何学．他认为，代数具有一般性，例如用字 母代替数时，可以代表各种数：正数、负数和 0；代数中的公式可以 使解题过程机械化；代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力．

高一数学复习考点知识讲解课件8---平面上两点间的距离

高一数学复习考点知识讲解课件8---平面上两点间的距离

高一数学复习考点知识讲解课件§1.5平面上的距离1．5.1平面上两点间的距离考点知识1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题．导语在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？一、两点之间的距离公式问题1在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？提示AB＝|x A－x B|.问题2已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？提示(1)当P1P2与x轴平行时，P1P2＝|x2－x1|；(2)当P1P2与y轴平行时，P1P2＝|y2－y1|；(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，P1P22＝P1Q2＋QP22，所以P1P2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.知识梳理1．平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝x2＋y2.注意点：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝1＋k2|x2－x1|，或P1P2＝1＋1k2|y2－y1|.例1已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．解方法一∵AB＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52＝213，AC＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52＝213，又BC＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104＝226，∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵k AC＝7－11－(－3)＝32，k AB＝－3－13－(－3)＝－23，∴k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB.又AC＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52＝213，AB＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52＝213，∴AC ＝AB ，∴△ABC 是等腰直角三角形．反思感悟计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 跟踪训练1若点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为________________．答案(2,10)或(－10,10)解析由点M 到x 轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.设点M 的坐标为(x M ，±10)．由两点间距离公式，得MN ＝(x M ＋4)2＋(10－2)2＝10或MN ＝(x M ＋4)2＋(－10－2)2＝10，解得x M ＝－10或x M ＝2，所以点M 的坐标为(2,10)或(－10,10)．二、由两点间距离求参数值例2在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋a ＝0与点A (2,0)，若直线l 上存在点M 满足MA ＝2MO (O 为坐标原点)，则实数a 的取值范围是____________．答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－423，2＋423解析设M (x ，－x －a )，由MA ＝2MO ，得(x －2)2＋(－x －a )2＝4x 2＋4(－x －a )2，整理，得6x 2＋(6a ＋4)x ＋3a 2－4＝0，由Δ≥0得9a 2－12a －28≤0，解得2－423≤a ≤2＋423，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－423，2＋423. 反思感悟将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解．跟踪训练2在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使点P 到A (2,3)的距离为13，则点P 的坐标是()A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)答案C解析设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53.由P A ＝13，得(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋53－32＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5.当x ＝－1时，y ＝1；当x ＝5时，y ＝5，∴点P 的坐标为(－1,1)或(5,5)．三、坐标法的应用例3求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．证明如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，其中D ，E 分别为边AC 和BC 的中点．设A (0,0)，B (c ,0)，C (m ，n )，则AB ＝|c |.又由中点坐标公式，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n 2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋m 2，n 2， ∴DE ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋m 2－m 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2， ∴DE ＝12AB ，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．反思感悟(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”．(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤①建立坐标系，用坐标表示有关的量．②进行有关代数运算．③把代数运算的结果“翻译”成几何结论．跟踪训练3已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线为AC 和BD .求证：AC ＝BD .证明如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴AC＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，BD＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.故AC＝BD.1．知识清单：(1)两点间的距离．(2)由两点间距离求参数．(3)坐标法的应用．2．方法归纳：待定系数法、坐标法．3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解．1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且AB＝5，则a的值为()A ．1B ．－5C ．1或－5D ．－1,5答案C解析由两点间距离公式得(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5.解得a ＝1或a ＝－5，故选C.2．直线y ＝x 上的两点P ，Q 的横坐标分别是1,5，则PQ 等于()A ．4B ．42C ．2D ．2 2答案B解析∵P (1,1)，Q (5,5)，∴PQ ＝42＋42＝4 2.3．(多选)直线x ＋y －1＝0上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是()A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－1,2)D ．(0,1)答案BC解析设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有x 0＋y 0－1＝0，且(x 0＋2)2＋(y 0－3)2＝2， 两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝2.4．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－3,3)，B (－1,1)，若直线x －y －m ＝0上存在点P 使得P A ＝3PB ，则实数m 的取值范围是________.答案[－23，23]解析设P(x，x－m)，因为P A＝3PB，所以P A2＝3PB2，所以(－3－x)2＋(3－x＋m)2＝3(－1－x)2＋3(1－x＋m)2，化简得2x2－2mx＋m2－6＝0，则Δ＝4m2－4×2(m2－6)≥0，解得－23≤m≤23，即实数m的取值范围是[－23，23]．课时对点练1．若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则ACCB等于()A.13B.12C．3D．2答案D解析AC＝42，CB＝22，故ACCB＝2.2．(多选)对于x2＋2x＋5，下列说法正确的是() A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离D ．可看作点(x ，－1)与点(－1,1)的距离答案BCD 解析x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4 ＝(x ＋1)2＋(0±2)2＝(x ＋1)2＋(－1－1)2， 可看作点(x ,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x ,0)与点(－1,2)的距离，可看作点(x ，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A 不正确．3．点P (－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM 的中点是(1,0)，那么点M 到原点O 的距离为()A ．41B.41C.39D ．39答案B解析设M (x ，y )，由中点坐标公式得x －22＝1，y ＋52＝0，解得x ＝4，y ＝－5.所以点M (4，－5)，则OM ＝42＋(－5)2＝41.4．在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，D 为BC 边的中点，则线段AD 的长是()A ．25B ．35C.552 D.752答案C解析由中点坐标公式可得，BC 边的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6. 由两点间的距离公式得AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－322＋(1－6)2＝552.5．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则AB 的值为() A.895 B.175C.135D.115答案C解析直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25， 由两点间的距离公式，得AB ＝135.6．已知A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，当AB 取最小值时，实数a 的值是()A ．－72B ．－12C.12D.72答案C解析∵A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，∴AB ＝[(a ＋1)－5]2＋[(a －4)－(2a －1)]2＝(a －4)2＋(a ＋3)2＝2a 2－2a ＋25 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋492，∴当a ＝12时，AB 取得最小值．7．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________. 答案 2解析由题意知k AB ＝b －a5－4＝b －a ＝1，所以AB ＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.8．若动点P 的坐标为(x ,1－x )，x ∈R ，则动点P 到原点的最小值是________．答案22解析由两点间的距离公式得P 到原点的距离为x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12， ∴最小值为12＝22. 9．已知直线ax ＋2y －1＝0和x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且线段AB 的中点到原点的距离为24，求a 的值．解由题易知a ≠0，直线ax ＋2y －1＝0中，令y ＝0，有x ＝1a ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0，令x ＝0，有y ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，14， ∵线段AB 的中点到原点的距离为24， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－02＝24，解得a ＝±2. 10．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使AB ＝5，求直线l 的方程．解当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0，y ＝kx －k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7＋k k ＋2，y ＝4k －2k ＋2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7＋k k ＋2，4k －2k ＋2. 由AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7＋k k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5， 解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.当过A 点的直线的斜率不存在时，方程为x ＝1.此时，与l 1的交点为(1,4)，也满足题意．综上所述，直线l 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.11．已知A (2,4)，B (1,0)，动点P 在直线x ＝－1上，当P A ＋PB 取最小值时，点P 的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，85B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，215 C ．(－1,2) D ．(－1,1)答案A解析点B关于直线x＝－1对称的点为B1(－3,0)，由图形知，当A，P，B1三点共线时，P A＋PB1＝(P A＋PB)min，此时，直线AB1的方程为y＝45(x＋3)，令x＝－1，得y＝85，故选A.12．已知x，y∈R，S＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，则S的最小值是()A．0B．2C．4D. 2答案B解析S＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.13．已知△ABC的三顶点A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为________．答案534 2解析由两点间距离公式得AB＝221，BC＝34，AC＝221. ∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D 为BC 的中点，由中点坐标公式易得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－192，12， ∴AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－192－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－82＝5342. 14．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则P A 2＋PB 2PC 2＝________.答案10解析以C 为原点，AC ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A (4a ,0)，B (0,4b )，则D (2a ,2b )，P (a ，b )，所以P A 2＝9a 2＋b 2，PB 2＝a 2＋9b 2，PC 2＝a 2＋b 2，于是P A 2＋PB 2＝10(a 2＋b 2)＝10PC 2，即P A 2＋PB 2PC 2＝10.15．已知两点A (2,3)，B (4,1)，P 为直线l ：x ＋2y －2＝0上一动点，则P A ＋PB 的最小值为________，P A －PB 的最大值为________．答案217052 2解析如图，可判断A ，B 在直线l 的同侧，设点A 关于l 的对称点A ′的坐标为(x 1，y 1)．则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－25，y 1＝－95.故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－95. 由平面几何知识可知，当点P 为直线A ′B 与直线l 的交点时，P A ＋PB 最小，此时P A ＋PB ＝P A ′＋PB ＝A ′B ，故P A ＋PB 的最小值为A ′B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－25－42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－95－12＝21705. 由平面几何知识可知，当点P 为直线AB 与l 的交点时，P A －PB 最大，此时P A －PB ＝AB .故P A －PB 的最大值为AB ＝(2－4)2＋(3－1)2＝2 2.16.如图所示，已知BD 是△ABC 的边AC 上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB 2＋BC 2－12AC 2＝2BD 2.证明如图所示，以AC 所在的直线为x 轴，点D 为坐标原点，建立平面直角坐标系．设B (b ，c )，C (a ,0)，依题意得A (－a ,0)．AB 2＋BC 2－12AC 2＝(a ＋b )2＋c 2＋(a －b )2＋c 2－12(2a )2＝2a 2＋2b 2＋2c 2－2a 2＝2b 2＋2c 2， 2BD 2＝2(b 2＋c 2)＝2b 2＋2c 2，所以AB 2＋BC 2－12AC 2＝2BD 2.。

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栏 目
链
的形状．
接
分析：结合四边形的有关知识，判断边的长度以及 边所在直线的平行及垂直关系．
解析：∵kAB＝－13，kCD＝－13，kAD＝3，kBC＝3，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB⊥AD，CD⊥BC，即四边形 ABCD 为栏
目
矩形．
链
接
又∵AB＝3 10，AD＝3 10，AC＝6 5，BD＝6 5，
第2章 平面解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.5 平面上两点间的距离
课标点击 栏 目 链 接
1．掌握在平面直角坐标系下的两点间的距离公式． 2．初步学会用坐标法证明简单的平面几何问题．
典例剖析 栏 目 链 接
两点间的距离问题
已知四边形ABCD各顶点坐标分别为A(－7，0)、
B(2，－3)、C(5，6)、D(－4，9)，判断这个四边形
栏
目
链
证明：∵AB＝ （4－2）2＋（3－1）2＝ 8，
接
AC＝ （0－2）2＋（5－1）2＝ 20，
BC＝ （5－3）2＋（0－4）2＝ 20，∴AC＝BC.
又∵A、B、C 不共线，∴△ABC 是等腰三角形．
用解析法解决平面几何问题
已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC＝b，建立
适当的坐标系，写出顶点A、B、C的坐标，并求证斜
规律总结：在建立平面直角坐标系时，适当的坐标
系能使运算更加简便(如本例以两直角边为坐标轴建
栏 目
链
立坐标系)，故在建坐标系时要有效地利用条件中的 接
垂直、对称条河分别为400 m和100 m，且在河
的同侧，A、B两厂之间距离500 m，把小河看做一条直
线，今在小河边上建一座抽水站，供A、B两厂用水，
100)，过点B作BC⊥AO于点C.在△ABC中，AB＝500，
AC＝400－100＝300，由勾股定理得BC＝400，
∴B(400，100)．
栏
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接
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演讲人: XXX
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要使抽水站到A、B两厂铺设的水管长度之和最短，问 栏
目
抽水站应建在什么地方？
链 接
分析：这是一个对称问题，点A关于河的对称点A′与点 B的连线，交小河于点P，则PA′＋PB＝PA＋PB，此点 即为所求(证明略)．
解析：如右图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线
为y轴，建立平面直角坐标系，则点A(0，400)，点B(a，
∴AB＝AD，AC＝BD，即四边形 ABCD 为正方形．
规律总结：根据斜率判断对边是否平行、邻边
栏
是否垂直，再根据对角线的长度、边的长度来
目
链
确定是哪种四边形．
接
►变式训练 1．已知点A(1，2)、B(3，4)、C(5，0)．求证： △ABC是等腰三角形． 分析：求出三边之长，比较三边的大小下结论．
边AC的中点M到三个顶点的距离相等．
栏
分析：取直角边所在的直线为坐标轴建立平面直角坐
目 链
标系，再写出各顶点坐标，给出证明．
接
解析：取边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线 为y轴，建立平面直角坐标系，如右图，则三个顶点 的坐标分别为A(a，0)、B(0，0)、C(0，b)． 由中点坐标公式得斜边 AC 的中点 M 的坐标为a2，2b. ∴MA＝ a－2a2＋0－b22＝12 a2＋b2， MB＝ 0－2a2＋0－b22＝12 a2＋b2， MC＝ 0－2a2＋b－b22＝12 a2＋b2， ∴MA＝MB＝MC.