苏教版高中数学必修二课时跟踪检测(十九) 平面上两点之间的距离

姓名，年级：时间：课时跟踪检测(十九）两点间的距离公式一、基本能力达标1．已知点A（－2,－1），B（a，3)，且｜AB｜＝5,则a的值为( ）A．1 B．－5C．1或－5 D．－1或5解析：选C 由｜AB|＝错误!＝5⇒a＝1或a＝－5，故选C。

2．已知平面上两点A（x，错误!－x),B错误!,则｜AB|的最小值为( )A．3 B．错误!C．2 D．错误!解析：选D ∵｜AB|＝错误!＝错误!≥错误!，当且仅当x＝错误!时等号成立，∴｜AB｜min＝错误!。

3．已知两直线l1:x＋y－2＝0,l2：2x－y－1＝0相交于点P，则点P到原点的距离为( )A.错误!B．5C.错误!D．2解析：选C 由错误!得错误!两直线的交点坐标为(1,1)，故到原点的距离为错误!＝错误!。

4．已知点M（－1,3），N（5,1)，P（x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是（) A．x＋3y－8＝0 B．x－3y＋8＝0C．x－3y＋9＝0 D．3x－y－4＝0解析：选D 由｜PM｜＝｜PN｜，得（x＋1）2＋(y－3）2＝(x－5）2＋（y－1)2,化简得3x －y－4＝0。

5．过点A(4，a)和点B（5，b)的直线与y＝x平行,则|AB｜的值为（)A．6 B。

错误!C。

错误!D．2解析：选C k AB＝错误!＝b－a.又因为过点A,B的直线与y＝x平行,所以b－a＝1，所以|AB｜＝错误!＝错误!.6．已知点A（5，2a－1），B（a＋1,a－4），则当｜AB｜取得最小值时，实数a等于________．解析：｜AB|2＝(5－a－1)2＋（2a－1－a＋4）2＝2a2－2a＋25＝2错误!2＋错误!，所以当a＝1时，｜AB｜取得最小值．2答案：错误!7．点P与x轴及点A(－4，2）的距离都是10，则P的坐标为________．解析：设P（x，y）．则错误!当y＝10时,x＝2或－10，当y＝－10时无解．则P（2，10）或P（－10,10)．答案:（2，10）或(－10,10）8．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则｜AB｜等于________．解析：设A（x,0）,B（0，y），∵AB中点P(2，－1），∴错误!＝2，错误!＝－1，∴x＝4，y ＝－2，即A（4，0），B（0，－2），∴|AB｜＝42＋22＝25。

2.3.2 空间两点间的距离(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且PA ＝PB ，则点P 的坐标为________． 【解析】 设P (0,0，c )， 由题意得－2＋＋2＋c －2＝－2＋－2＋c －2，解得c ＝3，∴点P 的坐标为(0,0,3)． 【答案】 (0,0,3)2．已知平行四边形ABCD ，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3，7，－5)，则顶点D 的坐标为__________． 【解析】 由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1.设D (x ，y ，z )，则72＝x ＋22，4＝－5＋y 2，－1＝1＋z 2，∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3， ∴D (5,13，－3)． 【答案】 (5,13，－3)3．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图2－3－13所示，则BC 边上的中线的长是________．图2－3－13【解析】 BC 的中点坐标为(1,1,0)． 又A (0,0,1)， ∴AM ＝12＋12＋－2＝ 3.【答案】34．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则AB ＝________. 【解析】 点B 的坐标为B (2，－3，－5)， ∴AB ＝－2＋－3＋2＋＋2＝10.【答案】 105．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．【解析】 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32，∴x 2＋y 2＋z 2＝62. 【答案】626.在如图2－3－14所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C ′的坐标为(4,4,2)，E ，F 分别为BC ，A ′B ′的中点，则EF 的长为________．图2－3－14【解析】 由C ′(4,4,2)知，B (4,0,0)，C (4,4,0)，A ′(0,0,2)，B ′(4,0,2)．由中点坐标公式得，E (4,2,0)，F (2,0,2)，∴EF ＝－2＋－2＋－2＝2 3.【答案】 2 37．在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使点M 到点N (6,5,1)的距离最小，则M 点坐标为________.【导学号：41292123】【解析】 设M 点坐标为(x,1－x,0)， 则MN ＝x －2＋－x －2＋－2＝x －2＋51≥51(当x ＝1时，取“＝”)，∴M (1,0,0)． 【答案】 (1,0,0)8．已知正方体不在同一表面上的两顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积是__________．【解析】 设正方体的棱长为a ， 则3a ＝AB ＝42＋－2＋42＝43，所以a ＝4，V ＝43＝64. 【答案】 64二、解答题9．如图2－3－15，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长．图2－3－15【解】 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，设点E 的坐标为(x ，y,0)， 在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，DE ⊥AC ， 直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45，0.∴B 1E ＝＝6105， 即B 1E 的长为6105.10．如图2－3－16(1)，已知矩形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝4.将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，使得面BCD ⊥面ABD .现以D 为坐标原点，射线DB 为y 轴的正方向，建立如图2－3－16(2)所示空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 平面内，试求A ，C 两点的坐标.【导学号：41292124】图2－3－16【解】 由题意知，在直角坐标系D －xyz 中，B 在y 轴的正半轴上，A ，C 分别在xDy 平面、yDz 平面内．在xDy 平面内过点A 作AE 垂直y 轴于点E ，则点E 为点A 在y 轴上的射影． 在Rt △ABD 中，由AD ＝3，AB ＝4，得AE ＝125，从而ED ＝AD 2－AE 2＝95.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，95，0，同理，在yDz 平面内过点C 作CF 垂直y 轴于点F ，则点F 为点C 在y 轴上的射影，CF ＝125，DF＝165， ∴C ⎝⎛⎭⎪⎫0，165，125.[能力提升]1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图2－3－17所示的空间直角坐标系．图2－3－17(1)点D ，N ，M 的坐标为________，________，________. (2)MD ＝________，MN ＝________.【解析】 (1)因为D 是原点，则D (0,0,0)． 由AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，得A (2,0,0)，B (2,2,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)． ∵N 是AB 的中点，∴N (2,1,0)． 同理可得M (1,2,3)． (2)由两点间距离公式，得MD ＝－2＋－2＋－2＝14， MN ＝－2＋－2＋－2＝11.【答案】 (1)(0,0,0) (2,1,0) (1,2,3) (2)14112．已知△ABC 的三个顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－4,2,3)，则它在yOz 平面上的射影所组成的△A ′B ′C ′的面积是________．【解析】 A ，B ，C 三点在yOz 平面上的射影为A ′(0,1,1)，B ′(0,2,1)，C ′(0,2,3)，△A ′B ′C ′是以B ′为直角的Rt △，∴S △A ′B ′C ′＝12×1×2＝1.【答案】 13．三棱锥各顶点的坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)，则三棱锥的体积为________．【解析】 V ＝13S ·h ＝13×12×1×2×3＝1.【答案】 14．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，AB ，C 1B 1，CB 的中点，如图2－3－18建立空间直角坐标系．图2－3－18(1)在平面ABB 1A 1中找一点P ，使△ABP 为正三角形；(2)能否在MN 上求得一点Q ，使△AQB 为直角三角形？若能，请求出点Q 的坐标，若不能，请予以证明.【导学号：41292125】【解】 (1)因为EF 是AB 边的中垂线，在平面AB 1内只有EF 上的点与A ，B 两点的距离相等，则P 必在EF 上，设P (1,2，z )，则由|PA |＝|AB |，得－2＋－2＋z －2＝－2＋－2＋－2，即z 2＋5＝20， ∴z 2＝15. ∵z ∈[0,4]， ∴z ＝15.故平面ABB 1A 1中的点P (1,2，15)， 使△ABP 为正三角形． (2)设MN 上的点Q (0,2，z )，由△AQB 为直角三角形，其斜边的中线长必等于斜边长的一半， ∴|QF |＝12|AB |，即1＋z 2＝5，∴z ＝2(0<z <4)，故MN 上的点Q (0,2,2)使得△AQB 为直角三角形．。

课时分层作业(十八)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．到A (1，3)，B (－5，1)的距离相等的动点P 满足的方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0B [设P (x ，y )，则（x －1）2＋（y －3）2＝（x ＋5）2＋（y －1）2，即3x ＋y ＋4＝0.]2．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53 C ．1D.22B [d ＝|3×（－1）－2|02＋32＝53.]3．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.1020 C.104D.71020 D [∵3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020.] 4．已知点P (1＋t ，1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2)B ．(2，4)C ．(0，－2)或(2，4)D ．(1，1)C [直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2（1＋t ）－（1＋3t ）－1|22＋（－1）2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P的坐标为(2，4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)．]5．若两条平行直线2x ＋y －4＝0与y ＝－2x －k －2的距离不大于5，则k 的取值范围是( )A ．[－11，－1]B ．[－11，0]C ．[－11，－6)∪(－6，－1]D ．[－1，＋∞)C [y ＝－2x －k －2可化为2x ＋y ＋k ＋2＝0，由题意，得|k ＋2＋4|22＋12＝|k ＋6|5≤5，且k ＋2≠－4，即k ≠－6，得－5≤k ＋6≤5，即－11≤k ≤－1，且k ≠－6.] 二、填空题6．△ABC 三个顶点的坐标A (－3，2)，B (3，2)，C (4，0)，则AB 边的中线CD 的长为________．25 [AB 的中点坐标为D (0，2)，∴CD ＝42＋22＝2 5.]7．过点P (2，3)，且与原点距离最大的直线的方程为__________．2x ＋3y －13＝0 [此直线为过P (2，3)且与OP 垂直的直线，k OP ＝32，故直线方程为y －3＝－23(x －2)，即2x ＋3y －13＝0.]8．已知A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使P A ＋PB 取最小值，则P 点坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 [∵点A (3，－1)关于x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，A ′B 的直线方程为：x －4y －13＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －4y －13＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135，得点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135.]三、解答题9．两条互相平行的直线分别过点A (6，2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条平行直线的方程． [解](1)如图，当两条平行直线与AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，为d ＝AB ＝（6＋3）2＋（2＋1）2＝310，当两条平行线各自绕点B ，A 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d ≤310，即所求的d 的变化范围是(0，310]．(2)当d 取最大值310时，两条平行线都垂直于AB ，所以k ＝－1k AB＝－12－（－1）6－（－3）＝－3，故所求的平行直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.10．直线l 过点P (1，0)，且被两条平行线l 1：3x ＋y －6＝0，l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，求l 的方程．[解] 若l 的斜率不存在，则方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y －6＝0，得A (1，3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得B (1，－6)． ∴|AB |＝9，符合要求．若l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x ＋y －6＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x ＋y ＋3＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3. ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋6k ＋3－k －3k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3k k ＋3－－6k k ＋32 ＝91＋k 2（k ＋3）2.由|AB |＝9，得1＋k 2（k ＋3）2＝1，∴k ＝－43.∴l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0. 综上所述，l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.[等级过关练]1．已知点M (1，4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34D [点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m＝0或m ＝34，选D.]2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( )A.423B.823 C ．4 2D ．2 2B [∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）－3＝0，2a －6（a －2）≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋（－1）2＝823.]3．已知平行四边形两条对角线的交点为(1，1)，一条边所在直线的方程为3x －4y ＝12，则这条边的对边所在的直线方程为____________________．3x －4y ＋14＝0 [设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0， 由题意可得|－1＋m |32＋（－4）2＝|3－4－12|32＋（－4）2，解得m ＝14或m ＝－12(舍)，所以所求的直线方程为3x －4y ＋14＝0.]4．与直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点P (1，1)对称的直线方程为________． 4x ＋3y －12＝0 [在所求直线上任取一点Q (x ，y )，则点Q 关于点P 对称的点Q ′(x ′，y ′)必在直线l 上．由⎩⎨⎧x ＋x ′2＝1，y ＋y ′2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2－x ，y ′＝2－y ，把它们代入直线l 的方程，得4(2－x )＋3(2－y )－2＝0得4x ＋3y －12＝0.]5．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1，0)，B (0，1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．[解]由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间距离公式，设Q (－2，－2)， 又P (a ，b ) 则PQ ＝（a ＋2）2＋（b ＋2）2，于是问题转化为PQ 的最大、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，PQ 取得最大值： （－2－1）2＋（－2－0）2＝13.当PQ ⊥AB 时，PQ 取得最小值，此时PQ 为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2＋（－2）－1|12＋12＝52＝522，∴(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤252，13.。

2021年高中数学第二章第9课时平面上两点间的距离配套练习苏教版必修2分层训练1. 若，则下面四个结论：①；②；③；④．其中，正确的个数是( )(A)１个. (B) 2个.(C)3个. (D) 4个.2. 点关于点的对称点的坐标是( )(A) (B)(C) (D)3. 若过点的直线交轴于点点，且，则直线的方程为（）(A) (B)(C)(D) 4.直线关于点对称的直线的方程是（）(A) (B)(C) (D) .5.如果直线与直线关于直线对称，那么（）(A) (B)(C) (D) .6. 若直线在轴上的截距为－2，上横坐标分别是3，－4的两点的线段长为14，则直线的方程为．7. 已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的方程为．8.若直线过点，且被坐标轴截得的线段的中点恰为，则直线的方程是．9. 若点的横坐标分别为,直线的斜率为，则．10.已知直线和点，过点作直线与直线相交于点，且，求直线的方程．11. 过点作直线，使它被直线和所截得的线段恰好被平分，求直线的方程．.拓展延伸12.(1)已知点，，在轴上求一点，使得最小；(2) 已知点，，在轴上求一点，使得最大，并求最大值．13.求函数的最小值及相应的值．本节学习疑点：１．C 2．C 3．C 4．A 5．B 6．7． 8．9．10．11．12．(1) ；(2) ，此时最大值为．13．（提示：数形结合，设，则）U35603 8B13 謓38198 9536 锶23994 5DBA 嶺2712069F0 槰34348 862C 蘬aQ@; tn 33371 825B 艛。

让学生学会学习平面上两点间的距离分层训练1. 若(4,2)64126A B C --、（，）、（，）、D 212（，），则下面四个结论： ①//AB CD ；②AB CD ⊥；③AC BD =；④AC BD ⊥．其中，正确的个数是 ( )(A)１个. (B) 2个. (C)3个. (D) 4个.2. 点(2,3)P -关于点(4,1)M 的对称点Q 的坐标是 ( ) (A) (3,1)- (B) (1,2) (C) (6,5) (D) (2,4)3. 若过点(0,2)B 的直线交x 轴于点A 点，且||4AB =，则直线AB 的方程为 （ ）(A)12y +=(B) 12y=(C)1122y y +=+=(D)1122y y+=+=－ 4.直线34y x =-关于点(2,1)P -对称的直线l 的方程是 （ ） (A) 310y x =- (B) 318y x =- (C) 34y x =+ (D) 43y x =+. 5.如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么 （ ） (A) 1,63a b ==- (B) 1,63a b == (C) 3,2a b ==- (D) 3,6a b ==.6. 若直线l 在y 轴上的截距为－2，l 上横坐标分别是3，－4的两点的线段长为14，则直线l 的方程为 ．7. 已知ABC ∆的三个顶点(2,8)A ，(4,0)B -，(6,0)C ，则AB 边上的中线CD 所在直线的方程为 ． 8.若直线l 过点(3,2)P ，且被坐标轴截得的线段的中点恰为P ，则直线l 的方程是 ．9. 若点P Q 、的横坐标分别为12,x x ,直线PQ 的斜率为k ，则PQ = ． 10.已知直线:26l y x =-+和点(1,1)A -，过点A 作直线1l 与直线l 相交于B 点，且5AB =，求直线1l 的方程．11. 过点(3,0)P 作直线l ，使它被直线1:230l x y --=和2:30l x y ++=所截得的线段恰好被P 平分，求直线l 的方程．.让学生学会学习拓展延伸12.(1)已知点(1,3)A ，(3,1)B -，在x 轴上求一点P ，使得PA PB +最小；(2) 已知点(1,3)M ，(5,2)N -，在x 轴上求一点P ，使得||PM PN -最大，并求最大值．13.求函数y =的最小值及相应的x 值．本节学习疑点：。

2.1.5 平面上两点间的距离5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.点(1，-1)到直线x-y+1=0的距离是( ) A.21 B.23 C.223 D.22 思路解析：本题考查点到直线的距离公式.由点到直线的距离公式可得2232|1)1(1|=+--. 答案：C2.点A(-1,2)关于原点对称的坐标是_____________.思路解析：设点B(a,b)和点A 关于原点对称,则原点是点A 和点B 的中点,则由中点公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=,220,210b a 即⎩⎨⎧-==,2,1b a 所以B 点的坐标是(1,-2). 答案：(1,-2)3.以A(1,3)、B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线为___________.思路解析：由题意得A 、B 两点的中点为P(-2，2)，直线AB 的斜率为31)5(113=---=k ，所以，所求的垂直平分线的斜率为3311-=-，由点斜式得y-2=-3(x+2)，即3x+y+4=0. 答案：3x+y+4=010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.点A(a,1)与B(2,2a)之间的距离为( ) A.5(a-1) B.5 (1-a) C.5|a-1| D.5(a-1)2思路解析：由两点间距离公式:|1|5)1(5)22()1(||222-=-=-+-=a a a a AB . 答案：C2.已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a≠b -1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是( )A.x+y=0B.x-y=0C.x+y-1=0D.x-y+1=0思路解析：对称轴应为PQ 的中垂线,由k PQ =111-=---+ab b a ，所以所求对称轴的斜率为1，又PQ 的中点为(21,21++-+a b b a )，由点斜式:2121-+-=++-b a x a b y ,化简得x-y+1=0.答案：D3.一束光线自A(-2，1)入射到x 轴上，经反射后，反射光线与y=x 平行，则入射线与x 轴的交点是( )A.(1,0)B.(-1,0)C.(-3,0)D.(2,0)思路解析：由入射角等于反射角,即入射光线的倾斜角与反射光线的倾斜角互补,所以入射光线斜率为-1,即入射光线方程为y-1=-1(x+2),令y=0,得x=-1,入射点为(-1,0).答案：B4.若点A(1,3),B(x,-5),且|AB|=10,则x=___________.思路解析：由两点间距离公式:10)35()1(22=--+-x ，得(x-1)2=36,所以x-1=±6,故x=7或-5.答案：7或-55.过点A(0,1)作一直线l ,使它夹在直线l 1:x-3y+10=0和l 2:2x+y-8=0间的线段被A 点平分,试求直线l 的方程.思路解析：可设直线l 的点斜式方程,分别求得两交点,再利用中点公式求得k.但这样做比较复杂,还可以使用标点法，即把两直线上的点用字母标出来，由中点公式求出字母的值，再求直线方程.解:设直线l 和l 1、l 2分别交于点P 、Q ，再设P(3a-10,a),Q(b,8-2b),由中点公式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=,2281,21030b a b a 即a=2,b=4,所以P(-4,2),Q(4,0),由两点式可求得直线PQ 的方程,即x+4y-4=0.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1. 已知点A(1,2)、B(3,1),则线段AB 垂直平分线的方程是( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5思路解析：可以先求出AB 的中点和AB 的斜率,用点斜式可求得垂直平分线方程. 答案：B2.直线y=2x 关于x 轴对称的直线方程为( ) A.y=x 21- B.y=x 21 C.y=-2x D.y=2x 思路解析：考查轴对称问题,即求已知直线关于某直线对称的直线,考虑到该题中对称轴为x 轴,所以可采取简捷解法.解法一:直线y=2x 经过原点且斜率为2,故它关于x 轴对称的直线也应过原点且斜率为-2.所以对称后的直线方程为y=-2x.解法二:联想到函数的对称问题,y=2x 关于x 轴对称后的解析式,应是x 不变,y 换为-y,∴得到y=2x 关于x 轴对称后的直线应为y=-2x.答案：C3.设A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB|,若直线PA 的方程为x-y+1=0,则直线PB 的方程为( )A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2y-x-4=0D.2x+y-7=0思路解析：本题考查直觉思维能力、联想判断能力.直线方程的求法,获取信息是关键.由|PA|=|PB|,且A 、B 均在x 轴上,可知P 在线段AB 的垂直平分线上.又P 的横坐标为2,∴AB 的垂直平分线的方程为x=2,P 为PA 与x=2的交点,由⎩⎨⎧=+-=,01,2y x x 得P(2,3).又A(-1,0),B 与A 关于直线x=2对称,∴B(5,0).由两点式可得PB 的方程为x+y-5=0.答案：A4.点A(-1,-2)与点B(3,1)之间的距离是____________.思路解析：已知两点的坐标可以直接利用两点间距离公式求距离,所以5916)12()31(||22=+=--+--=AB .答案：55.已知定点A(0,1),点B 在直线x+y=0上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标是____________. 思路解析：可设B(x,-x),所以21)21(2122)1(||2222++=++=+-+=x x x x x AB ,所以|AB|min =2221=.这时x=21-,B 点的坐标为(21-,21). 答案：(21-,21) 6.84122+-++x x x 的几何意义是_________.请求出函数84122+-++=x x x y 的最小值______________. 思路解析：222222)20()2()10()0(841-+-+-+-=+-++x x x x x 表示的几何意义是:动点P(x,0)到两定点A(0,1)和B(2,2)距离的和.如图所示,记A′为A 关于x 轴的对称点,则A′(0,-1).连结BA′交x 轴于P,∵|PA|=|PA′|，∴P到A 、B 的距离之和最小,最小值为|BA′|.∴|BA′|=.13)12()02(22=++-∴y min =13.答案：点(x,0)到两定点(0,1)和(2,2)的距离之和 137.求直线2x+y-4=0关于直线l :3x+4y-1=0对称的直线方程.思路解析：将线关于线对称问题转化为点关于点对称问题,然后利用“转代法”求得对称的直线方程.解法一:如图所示,设P(x,y)为所求直线上任一点,点P 关于l 的对称点为P′(x′,y′).又PP′⊥l ,故k PP′=34,即有34='-'-x x y y . ① 由P′P 的中点(2,2y y x x '+'+)在直线l 上, 所以012)(42)(3=-'++'+y y x x . ② 解由①②组成的方程组,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='+-='258724,256247y x y y x x ,又点(x′,y′)在已知直线2x+y-4=0上,故有2×258724256247+--++-y x y x -4=0,即2x+11y+16=0.此为所求. 解法二:在直线2x+y-4=0上取一点A(2,0).又设点A 关于l 的对称点为B(x 0,y 0),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+⨯++⨯=--.01204223,34200000y x x y 解得B(58,54-).又所求直线过点P(3,-2),故由两点式可求得直线l 2的方程为2x+11y+16=0.8.河流的一侧有A 、B 两个村庄，如图2-1-5所示，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用.已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和600 m ，且两村相距400 m.图2-1-5问：水电站建于何处才能使送电到两村的电线用料最省？思路解析：这是一道实际问题,需转化为数学问题(建模),考虑到用线最省(距离最小),可利用对称思想,转化为线段长问题,依据三角形任两边之和大于第三边确定最小值.解：如图所示,以河边所在直角为x 轴,以AC 为y 轴建立平面直角坐标系,则A(0,300), B(400,600).设A 关于x 轴的对称点为A′,则A′(0,-300),连结A′B,交x 轴于P.由于|AP|+|PB|=|A′P|+|PB|=|A′B|=9710090040022=+，且此时最小.又A′B 的方程为y=x 49-300，令y=0，得3400=x .∴P 点坐标为(3400,0). 9.试建立适当的坐标系,求证：三角形的中位线平行等于底边的一半.思路解析：几何图形的性质不随坐标系的变化而变化,但坐标系建立的恰当,可以减少运算,使证明过程简洁明了.另外，对于平行的证明可以使用斜率，长度的证明可以使用两点间的距离公式.证明：如图所示,设△ABC 中,CA 、CB 的中点分别D 、E.以AB 边为x 轴,A 为原点,建立平面直角坐标系.设B(c,0),C(a,b),由中点公式:D(2,2b a ),E(2,2b c a +),所以DE 的斜率k DE =0,方程为y=2b ,所以DE 平行于x 轴,即DE ∥AB;又||2144)22()22(||222AB c c b b a c a DE ===---+=,所以原命题成立.。

2.1.5 平面上两点间的距离A 组 基础巩固1．已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2 解析：由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）2]＋（4－0）2＝42， |CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22， 故|AC ||CB |＝4222＝2. 答案：D2．直线y ＝x 上的两点P ，Q 的横坐标分别是1，5，则|PQ |等于( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2 解析：由题意易知P (1，1)，Q (5，5)， 所以|PQ |＝2（5－1）2＝4 2. 答案：B3．已知点A (－2，－1)，B (a ，3)且|AB |＝5，则a 等于( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．其他值解析：由两点间距离公式得，(a ＋2)2＋(3＋1)2＝52， 所以(a ＋2)2＝9.所以a ＝1或a ＝－5. 答案：C4．与两点A (－2，2)，B (2，4)等距离，且在坐标轴上的点的坐标是________________． 解析：设点P (a ，0)或(0，b )由两点间的距离公式计算．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0和(0，3)5．光线从点A (－3，5)射到直线l ：3x －4y ＋4＝0以后，再反射到一点B (2，15)． (1)求入射线与反射线的方程； (2)求这条光线从A 到B 的长度．解：(1)设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 0，y 0)，由直线AA 1与已知直线垂直，且AA 1中点也在直线上，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0＋3＝－43，3×x 0－32－4×y 0＋52＋4＝0，解得x 0＝3，y 0＝－3， 即A 1(3，－3)．于是反射光线方程为y ＋315＋3＝x －32－3，即18x ＋y －51＝0.同理B 1(14，－1)，入射光线方程为6x ＋17y －67＝0.(2)光线从A 到B 的长度，利用线段的垂直平分线性质，即得AP ＋PB ＝A 1P ＋PB ＝A 1B ＝（3－2）2＋（－3－15）2＝513.B 级 能力提升6．x 轴上任一点到定点(0，2)，(1，1)距离之和的最小值是( ) A. 2 B ．2＋ 2 C.10 D.5＋1解析：作点(1，1)关于x 轴的对称点(1，－1)，则距离之和最小值为12＋（－1－2）2＝10.答案：C7．直线y ＝3x －4关于点P (2，－1)对称的直线l 的方程是( ) A ．y ＝3x －10 B ．y ＝3x －18 C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝4x ＋3解析：在直线上任取两点A (1，－1)，B (0，－4)，则其关于点P 的对称点A ′，B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3，－1)，B ′(4，2)．由两点式可求得方程为y ＝3x －10.答案：A8．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫225，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，225解析：如图所示，A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ，求得M 的坐标为(1，0)．答案：B9．已知A (5，2a －1)、B (a ＋1，a －4)，则AB 的最小值是________． 解析：由两点间的距离公式得AB ＝（a －4）2＋（a －4－2a ＋1）2＝2a 2－2a ＋25＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋492≥722. 答案：72210．点A (－3，1)，C (1，y )关于点B (－1，－3)对称，则AC ＝______． 解析：由已知得y ＋12＝－3，所以y ＝－7，即C (1，－7)，所以|AC |＝[1－（－3）2]＋（－7－1）2＝4 5. 答案：4511．直线x －2y ＋1＝0关于直线y －x ＝1对称的直线方程是____．解析：设所求直线上任一点的坐标为(x ，y )，则它关于y －x ＝1对称的点为(y －1，x ＋1)，且在直线x －2y ＋1＝0上，所以y －1－2(x ＋1)＋1＝0，化简得2x －y ＋2＝0. 答案：2x －y ＋2＝012．甲船在某港口东50 km ，乙船在同一港口的东14 km ，南18 km 处，那么甲、乙两船的距离是________．解析：以某港口为坐标原点建系后得甲船坐标为(50，0)，乙船坐标为(14，－18)，由两点间距离公式得甲、乙两船的距离为（50－14）2＋（0＋18）2＝18 5.答案：18 5 km13．已知点A (a ＋1，2)与点B (5，a )的距离为2，求a 的值． 解：由已知得|AB |＝[5－（a ＋1）]2＋（a －2）2＝2， 即(a －4)2＋(a －2)2＝4，化简整理得a 2－6a ＋8＝0， 解之得a ＝2或a ＝4. 14．已知0<x <1，0<y <1.求证：x 2＋y 2＋x 2＋（1－y ）2＋（1－x ）2＋y 2＋（1－x ）2＋（1－y ）2≥22，并求等号成立的条件．证明：设四边形OABC 是正方形，O (0，0)，A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)，设P (x ，y )为正方形内一点，如图所示，|PO |＝x 2＋y 2，|PA |＝（1－x ）2＋y 2，|PB |＝（1－x ）2＋（1－y ）2，PC ＝x 2＋（1－y ）2，OB ＝2，AC ＝ 2.因为PO ＋PB ≥BO ，PA ＋PC ≥AC ， 所以PO ＋PB ＋PA ＋PC ≥BO ＋AC ，即x 2＋y 2＋x 2＋（1－y ）2＋（1－x ）2＋y 2＋ （1－x ）2＋（1－y ）2≥2 2.当且仅当PO ＋PB ＝BO ， 且PA ＋PC ＝AC 时，等号成立．此时点P 既在OB 上， 又在AC 上，因此，点P 是正方形的中心，即x ＝y ＝12.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二2.3.2 空间两点间的距离【课时目标】 1．掌握空间两点间的距离公式．2．能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．1．在空间直角坐标系中，给定两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2＝_________________________________________________________________． 特别地：设点A (x ，y ，z )，则A 点到原点的距离为：OA ＝________________．2．若点P 1(x 1，y 1,0)，P 2(x 2，y 2,0)， 则P 1P 2＝__________________________________________________________________．3．若点P 1(x 1,0,0)，P 2(x 2,0,0)， 则P 1P 2＝________________．一、填空题1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为________．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为________．3．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足的关系式为____________．4．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则△ABC 的形状为____________三角形． 5．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当AB 取最小值时，x 的值为________． 6．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 的集合为____________________________．7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．8．已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z＝________．9．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A 与到B的距离相等，则M的坐标是________．二、解答题10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．11．如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(32，12，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．能力提升12．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC 上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．13．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝2，点M在A1C1上，MC1＝2A1M，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则d(P1，P 2)＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，当P 1，P 2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．2．3．2 空间两点间的距离 答案知识梳理 1．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2x 2＋y 2＋z 22．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 3．|x 1－x 2| 作业设计 1．5 解析 AB ＝(1＋2)2＋(3－3)2＋(－2－2)2＝5．2．29解析 由已知求得C 1(0,2,3)，∴AC 1＝29．3．x ＋y ＋z ＝0解析 AC ＝BC ⇒(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2．即x ＋y ＋z ＝0．4．直角 解析 AB ＝2，BC ＝3，AC ＝1，∴AB 2＋AC 2＝BC 2．故构成直角三角形．5．87解析 AB ＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，AB 最小．6．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面 7．23938．0或－4解析 利用中点坐标公式，则AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2，PC ＝3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4．9．(0，－1,0)解析 设M 的坐标为(0，y,0)，由MA ＝MB 得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0， ∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)． 10．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上， ∴可设M (x,1－x,0)． ∴MN ＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M 坐标为(1,0,0)时，(MN )min ＝51．11．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)， 设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1． ∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)，∴AD ＝(32)2＋(12＋1)2＋(3)2＝6．12．解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ， ∴AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连结NG ，易证NG ⊥AB ． ∵CM ＝BN ＝a ， ∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ，∴以B 为原点，以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B —xyz ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22a ，22a ，0． (1)MN＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －222＋12， (2)由(1)得，当a ＝22时，MN 最短，最短为22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点．13．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵DD 1＝CC 1＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)， ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1． M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212．。

课后训练千里之行始于足下1．△ABC的顶点A(2,1)，B(4，－2)，C(－6,3)，则BC边上中线AM的长为__________．2．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A(2,0)与点B(－2,4)重合，若点C(5,8)与点D(m，n)重合，则m＋n的值为__________．3．点A(－1,2)关于直线2x＋y－1＝0的对称点的坐标是__________．4．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为__________．5．已知A，B两点的坐标分别为(1,1)，(4,3)，点P在x轴上，则P A＋PB的最小值为__________，此时点P的坐标为__________．6．(1)已知两点A(2,2)，B(5，－2)，在x轴上找一点P，使线段P A的长等于线段PB的长，则P点坐标为__________．(2)已知A(1,1)，B(2,2)，点P在直线12y x＝上，则P A2＋PB2取最小值时的P点坐标为__________．7．已知三角形ABD的顶点为A(－1,3)，B(3，－2)，D(2,4)，求BD边上的中线AM的长和AM所在的直线方程．8．(1)等边三角形的两个顶点坐标分别为A(4，－6)，B(－2，－6)，求另一顶点C的坐标．(2)已知正方形ABCD的相对顶点A(0，－1)，C(2,5)，求顶点B和D的坐标(设A、B、C、D按逆时针顺序)．百尺竿头更进一步求函数y x的值．参考答案与解析千里之行始于足下∵M为BC中点，∴M4623,22--+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即M1 1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴2 AM==.2．13 点A (2,0)与点B (－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB 必与直线CD 平行，即k AB ＝k CD ， ∴8041522n m --==---(-)，整理得m ＋n ＝13. 3.112,55⎛⎫- ⎪⎝⎭设A (－1,2)关于2x ＋y －1＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)． 则12210222112x y y x ''-++⎧⨯+-=⎪⎪⎨'-⎪=⎪'+⎩ 解得1512.5x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩4.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设B 点的坐标为(x ，－x )，则AB ==当21222x =-=-⨯时，AB 最短， 即B 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5．5 7,04⎛⎫⎪⎝⎭ 如图所示，A 点关于x 轴的对称点A ′的坐标为(1，－1)，连A ′B ，则A ′B 与x 轴的交点即为所求P 点，∵只有当A ′，P ，B 三点共线时，P A ＋PB 最小，∴min ()5PA PB PA PB A B ='='==＋＋由两点式可得A ′B 方程为113141y x +-=+-，即4x－3y－7＝0，令y＝0，得74 x=.∴P点坐标为7,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.6．(1)7,02⎛⎫⎪⎝⎭(2)99,510⎛⎫⎪⎝⎭(1)设P(x,0)，依题意，利用距离公式，则有=72x=，故P7,02⎛⎫⎪⎝⎭.(2)设P001,2x x⎛⎫⎪⎝⎭，则22222220000005(1)1(2)2910222x xPA PB x x x x⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＝－＋＋－＋－＋.当95x=时，P A2＋PB2取到最小值，此时910y=.7．解：设点M的坐标为(x，y)，因为点M是线段BD的中点，所以32522x+==,2412y-+==，即M点的坐标为5,12⎛⎫⎪⎝⎭.由两点间的距离公式得2AM==.因此，BC边上的中线AM的长为；由两点式得中线AM所在的直线方程为3151312y x-+=-+，即4x＋7y－17＝0.8．解：(1)设C(x，y)，则AB＝AC＝BC，又6AB===，AC==BC==∴66==解此方程组，得16x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1 6.x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 故C点坐标是(16)或(1,6)-．(2)如图，设B (x ，y )，由正方形的性质，M 为AC 中点，∴M 的坐标为(1,2)．又BM ⊥AC ， ∴2511120y x --(-)⋅=---， 即x ＝7－3y .①∵AC ==，∴12BM AC ==∴(x －1)2＋(y －2)2＝10.②①代入②得(7－3y －1)2＋(y －2)2＝10.∴14y x =⎧⎨=⎩或32y x =⎧⎨=-⎩ (舍去第二组)． ∴B (4,1)．∴D (－2,3)．百尺竿头 更进一步解：y ====，上式表明，y 是x 轴上的点P (x,0)到点A (1,1)，B (5，－3)的距离的和．如图所示，连结AB ，则AB 就是y 的最小值，P 点的横坐标x P 就是其相应的x 的值．min y AB ==＝∵A(1,1)，B(5，－3)，可得直线AB的方程为y＝－x＋2，令y＝0，得x P＝2，∴函数y=x的值为2.。

第17课 空间两点间的距离分层训练1．空间两点(2,5,4),(2,3,5)A B -之间的距离等于 （ ）()A 21 ()B ()C ()D2．空间两点(1,3,),(2,1,4)P z Q -，且PQ =z 等于 （ ）()A 4 ()B 2 ()C 6 ()D 2或63．已知空间两点(2,3,1),(4,5,3)M N --，线段MN 的中点为P ，则坐标原点O 到P 点的距离为 （ ）()A ()B 1 ()C 5 ()D4．以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 三点为顶点的三角形是 （ ）()A 等腰三角形 ()B 等边三角形()C 直角三角形 ()D 等腰直角三角形5．y 轴上到点(3,4,5)A的点的坐标为 ．6．与点(1,2,4)M -距离等于3的点(,,)x y z 的坐标满足的条件是 ．7．三角形的三个顶点(2,1,4)A -、(3,2,6)B -、(5,0,2)C -，则过A 点的中线长为 ．8．设P 是x 轴上的点，它到点1P 的距离为到点2(0,1,1)P-的距离的两倍，求点P 的坐标．拓展延伸9．如图，正三棱柱ABC A B C '''-中，底面边长为1，，,P Q 分别是,A B BC ''边的中点，求线段PQ 的长．A A 'B B 'C ' C QP10．若点G 到ABC ∆三个顶点的距离的平方和最小，则点G 就是ABC ∆的重心．（1）已知ABC ∆的三个顶点分别为(3,3,1)A 、(1,0,5)B 、(1,3,3)C --，求ABC ∆的重心G 的坐标；（2）ABC ∆的顶点坐标分别为(31,1,2)A x z +，(1,2,3)B y z --，(,2,0)C x ，重心G 的坐标为(2,1,4)-，求,,x y z 的值．本节学习疑点：。

平面上两点间的距离练习解析 1.已知点P (3，2)，Q (－1，2)，则P ，Q 两点之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】由平面上两点间的距离公式得4.2.已知点A (x ，5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( )A ．17B.17 C ．18D ．32 【答案】B【解析】根据中点坐标公式得到x －22＝1且5－32＝y ， 解得x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4，1)，则点P (x ，y )到原点的距离d ＝（4－0）2＋（1－0）2＝17.3.在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使点P 到点A (2，3)的距离为13，则P 点坐标是( )A ．(5，5)B ．(－1，1)C ．(5，5)或(－1，1)D ．(5，5)或(1，－1) 【答案】C【解析】设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由P A ＝13得(x －2)2＋2)3352(-+x ＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，所以P 点坐标为(－1，1)或(5，5),选C.4.已知点A （－2，－1），B （a,3），且AB ＝5，则a 的值为（ ）A ．1B ．－5C ．1或－5D ．－1或5【答案】C【解析】由|AB |＝5，可知（a ＋2）2＝9．∴a ＝1或－5． 5.已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (2,3)，则BC 边上的中线长为_____．【答案】 17【解析】 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC 的中线长为－1－02＋5－12＝17.22(2)(31)a +++6.已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B (0,22)，那么这两点之间距离的最小值是________． 【答案】12【解析】d ＝22)2()22(x x -+-＝41)423(22+-x ≥12.即最小值为12. 7.已知点A (1，2)，B (3，4)，C (5，0)，求证：△ABC 为等腰三角形.【解析】证明：因为三角形三个顶点的坐标分别为A (1,2),B (3,4),C (5,0)， 所以，所以，即△ABC 为等腰三角形.8.在△ABC 中，点A(1,1)，B(3,1)，若△ABC 是等边三角形，求点C 的坐标.【解析】设点C 的坐标为(x ，y)，因为△ABC 为等边三角形，所AC ＝BC ， 即＝.①又AC ＝AB ＝.② 由①得x ＝2，代入=2②，得y ＝1±. 故所求点C 的坐标为(2,1＋)或(2,1－).||AB =||AC ==||BC =||||AC BC =。

2.1.5 平面上两点间的距离 2.1.6 点到直线的距离学习目标：1.理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单应用．(重点、难点)2.熟练掌握中点坐标公式．3．会求两条平行直线间的距离．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．两点间的距离公式平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离公式P 1P 2特别地，当x 1＝x 2＝0，即两点在y 轴上时，P 1P 2＝|y 1－y 2|；当y 1＝y 2＝0，即两点在x 轴上时，P 1P 2＝|x 1－x 2|.2．中点坐标公式对于平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.3．点到直线的距离 (1)点到直线的距离公式点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d (2)点P0(x 0，y 0)到直线l ：y ＝kx ＋b 的距离d (3)两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离．(4)两平行线间的距离公式若两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)，则l 1，l 2间的距离d[基础自测]1．思考辨析(1)点(m ，n )到直线x ＋y －1＝0的距离是m ＋n －12. ( ) (2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离． ( ) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．( )(4)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式P 1P 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－1,0)，B (2,1)，C (0,3)，则边AB 的长为________，AB 边的中线CM 的长为________．[解析] 由中点坐标公式得，M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，由两点间的距离公式得AB ＝(－1－2)2＋(0－1)2＝10，CM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＝262. [答案]10262 3．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为________． [解析] d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|－5|5＝ 5. [答案]54．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________.【导学号：85012089】[解析] d ＝|－7－(－12)|32＋42＝1.[答案] 1[合 作 探 究·攻 重 难]两点间距离公式及其应用如图2-1-13，△ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求边AC的长．图2-1-13[思路探究] 利用直线AB ，AD 的方程求交点A .利用D 是线段BC 的中点，将点C 的坐标转化到点D 上，再利用点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上解得点C .然后利用两点间距离公式求AC .[解] 设点A ，C 的坐标分别为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． ∵AB ⊥CE ，k CE ＝－23.∴k AB ＝－1k EC ＝32.∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0. 由⎩⎨⎧3x 1－2y 1－1＝0，2x 1－3y 1＋1＝0，得A (1,1)． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32，y 2＋42.而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3y 2－16＝0，2·x 2＋32－3·y 2＋42＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 2＝5，y 2＝2，∴C (5,2)．即|AC |＝(5－1)2＋(2－1)2＝17.1．在x －y ＋4＝0上求一点P ，使点P 到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等．[解] 由直线x －y ＋4＝0可得y ＝x ＋4，因为点P 在此直线上，所以可设点P 的坐标为(a ，a ＋4)，已知|PM |＝|PN |，由两点间距离公式可得[a －(－2)]2＋[a ＋4－(－4)]2 ＝(a －4)2＋(a ＋4－6)2， 解得a ＝－32，从而a ＋4＝52， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.(1)若点(2，－k )到直线5x ＋12y＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．(2)若两平行直线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离是21313，则c ＋2a ＝________.[思路探究] (1)由点到直线的距离公式得出k 的方程，解方程即得k 值． (2)由平行关系及平行线间的距离公式可求得a ，c 的值． [解析] (1)由4＝|5×2－12k ＋6|52＋122，解得k ＝－3或k ＝173.(2)由于两直线平行，所以63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2， 又21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－c 232＋(－2)2， 故c ＝－6或c ＝2.从而c ＋2a ＝1或－1.[答案] (1)－3或173 (2)±12．(1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且与直线l 距离为3的直线方程． (2)已知直线l 经过点P (2，－5)，且与点A (3，－2)，B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．[解] (1)∵与l 平行的直线方程为5x －12y ＋c ＝0， 根据两平行直线间的距离公式得|c －6|52＋(－12)2＝3，解得c ＝45或c ＝－33.所以所求直线方程为 5x －12y ＋45＝0或5x －12y －33＝0. (2)由已知条件可知直线l 的斜率一定存在， 又直线l 经过点P (2，－5)， ∴设直线l ：y ＋5＝k (x －2)， 即kx －y －2k －5＝0，∴A 点到直线l 的距离d 1＝|k ·3＋2－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，B 点到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|－3k －11|k 2＋1.∵d 1∶d 2＝1∶2， ∴|k －3||－3k －11|＝12，即k 2＋18k ＋17＝0， 解得k ＝－1或k ＝－17.∴直线l 的方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.1．若点P (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0的对称点为P ′，那么P ′的坐标如何求解？[提示] 设出P ′的坐标，利用线段PP ′的中点在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，和k PP ′＝BA ，列方程组求解．2．已知直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2，如何由l 1，l 的方程求出l 2的方程？[提示] 法一：先由l 1，l 的方程求出交点，交点在l 2上，再在l 1上任取一点，求该点关于l 的对称点，对称点在l 2上，由两点式即可求出l 2的方程．法二：设l 2上任意一点坐标为(x ，y )，它关于l 的对称点(x ′，y ′)在l 1上，利用对称性质求出⎩⎨⎧x ′＝f (x ，y )，y ′＝g (x ，y )代入l 1的方程即得l 2的方程．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； (3)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．[思路探究] 点关于直线的对称点的求法，可利用两点的连线与已知直线垂直，线段的中点在直线上，列方程组求得，而直线关于直线的对称直线方程的求法，可转化为点的对称问题，直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解．[解] (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l .∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195，即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195.(2)法一：由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y －2＝0，得l 与l 1的交点A (2,0)，在l 1上任取一点B (0，－2)，设B 关于l 的对称点B ′为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋2x 0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 02＋2×y 0－22－2＝0，即⎩⎨⎧2x 0－y 0－2＝0，x 0＋2y 0－8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝125，y 0＝145，即B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫125，145，∴l 2的斜率为k AB ′＝145125－2＝7.∴l 2的方程为：y ＝7(x －2)，即7x －y －14＝0.法二：直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P 1(x ，y )关于l 的对称点P 1′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x ＋x ′2＋2×y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －4y ＋45，y ′＝－4x －3y ＋85，把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理， 得7x －y －14＝0，即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3)法一：取l ：x ＋2y －2＝0上一点M (2,0)，则M 关于点A (1,1)的对称点M ′的坐标为(0,2)，且M ′在l 关于A (1,1)对称的直线上，又所求直线与l 平行， ∴设所求直线为x ＋2y ＋C ＝0. 又过点M ′(0,2)， ∴C ＝－4，∴所求直线方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎨⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y . 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0， ∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.3．已知直线l ：3x －y －1＝0及点A (4,1)，B (0,4)，C (2,0)． (1)试在l 上求一点P ，使AP ＋CP 最小； (2)试在l 上求一点Q ，使|AQ －BQ |最大．[解] (1)如图①，设点C 关于l 的对称点为C ′(a ，b )，则b －0a －2＝－13，且3·a ＋22－b ＋02－1＝0，解得C ′(－1,1)，所以直线AC ′的方程为y ＝1.由⎩⎨⎧y ＝1，3x －y －1＝0，得l 与直线AC ′的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，此时AP ＋CP 取最小值为5.① ②(2)如图②，设点B 关于l 的对称点为B ′(m ，n )，则n －4m －0＝－13，且3·m ＋02－n ＋42－1＝0，解得B ′(3,3)．所以直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎨⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，得AB ′与l 的交点为Q (2,5)，此时|AQ －BQ |取最大值为 5. [当 堂 达 标·固 双 基]1．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且AB ＝5，则a 的值为________．[解析] |AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5，解得a ＝1或a ＝－5.[答案] 1或－52．已知△ABC 的三个顶点为A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，则△ABC 的形状为__________．[解析] 由两点间距离公式得AB ＝52，BC ＝104，AC ＝52易知AB ＝AC 且AB 2＋AC 2＝BC 2，所以△ABC 是等腰直角三角形．[答案] 等腰直角三角形3．夹在两条平行线l 1：3x －4y ＝0与l 2：3x －4y －20＝0之间的圆的最大面积为________．[解析] 因两条平行线间的距离为d ＝|0－20|5＝4，则圆的最大面积为π·22＝4π.[答案] 4π4．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条.【导学号：85012090】[解析] 由题可知，所求直线显然不与y 轴平行，∴可设直线为y ＝kx ＋b ， 即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1， d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，解得⎩⎨⎧ b ＝3k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝53k ＝43，∴所求直线有2条．[答案] 25．已知一条直线过点P (2，－3)，与直线2x －y －1＝0和直线x ＋2y －4＝0分别相交于点A 和点B ，且P 为线段AB 的中点，求这条直线的方程．[解] 设点A 的坐标为(t,2t －1)，因为点P (2，－3)是线段AB 的中点，所以点B 的坐标为(4－t ，－5－2t )．因为点B 在直线x ＋2y －4＝0上，所以4－t ＋2(－5－2t )－4＝0，解得t ＝－2，于是点A 的坐标为(－2，－5)．所以所求直线的方程为y ＋3－5＋3＝x －2－2－2， 即x －2y －8＝0.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二2.1.5 平面上两点间的距离【课时目标】 1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．1．若平面上两点P 1、P 2的坐标分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1、P 2两点间的距离公式为P 1P 2＝______________．特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离为OP ＝____________．3．平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝ ，y 0＝ .一、填空题1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且AB ＝5，则b ＝________．2．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形的形状为__________三角形．3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则AB ＝________．4．已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是__________．5．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MA＋MB最短，则点M的坐标是________．6．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且PA＝PB，若直线PA的方程为x －y＋1＝0，则直线PB的方程为____________．7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．8．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．9．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长BC＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．二、解答题10．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且AB＝5，求直线l1的方程．11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．能力提升12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．13．求证：x2＋y2＋x2＋(1－y)2＋(1－x)2＋y2＋(1－x)2＋(1－y)2≥22．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．2．1．5 平面上两点间的距离 答案知识梳理1．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 x 2＋y 23．x 1＋x 22 y 1＋y 22作业设计1．0或8解析 由(－3)2＋(4－b )2＝5，解得b ＝0或8．2．等腰3．2 5 解析 设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＝2，b 2＝－1，解得a ＝4，b ＝－2，∴AB ＝25．4．4x －2y ＝5 解析 设到A 、B 距离相等的点P (x ，y )，则由PA ＝PB 得，4x －2y ＝5．5．(1,0)解析 (如图)A 关于x 轴对称点为A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ，求得M 坐标为(1,0)．6．x ＋y －5＝0解析 由已知得A (－1,0)，P (2,3)，由PA ＝PB ，得B (5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0．7．17解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝1. ∴d ＝42＋12＝17． 8．(2,10)或(－10,10)解析 设M (x ，y )，则|y |＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10．解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10，y ＝10.9．2 6 解析 BD ＝12BC ＝2， AD ＝(5－3)2＋(4－0)2＝25．在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长AB ＝22＋(25)2＝26．10．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由AB 2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5． 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0．综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0．11．证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则AB ＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎪⎫c ＋m 2，n 2， 所以DE ＝c ＋m 2－m 2＝c2，所以DE ＝12AB ． 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．12．解原式可化为y ＝(x －4)2＋(0－2)2 ＋(x －0)2＋(0－1)2．考虑两点间的距离公式，如图所示， 令A (4,2)，B (0,1)，P (x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)， 使得PA ＋PB 最小．作点A (4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)， 由图可直观得出PA ＋PB ＝PA ′＋PB ≥A ′B ，故PA ＋PB 的最小值为A ′B 的长度． 由两点间的距离公式可得A ′B ＝42＋(－2－1)2＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5．13．证明 如图所示，设点O (0,0)，A (x ，y )，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则原不等式左边＝OA＋AD＋AB＋AC，∵OA＋AC≥OC＝2，AB＋AD≥BD＝2，∴OA＋AD＋AB＋AC≥22(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．。

让学生学会学习 第9课时 平面上两点间的距离【学习导航】知识网络学习要求1．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式；2．能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题．自学评价（1）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为12PP = _________________________．（2）中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y 则中点坐标公式为【精典范例】例1：（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；（2）已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，求实数a 的值．【解】例2：已知三角形ABC 的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)22A B C -，试判断ABC ∆的形状． 例3：已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程． 例4．已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系， 证明：12AM BC =． 111222(,),(,)P x y P x y中点坐标1212(,)22x x y y ++22122121()()PP x x y y =-+-让学生学会学习追踪训练一1.式子22(1)(2)a b++-可以理解为()()A两点(a,b)与(1,-2)间的距离()B两点(a,b)与(-1,2)间的距离()C两点(a,b)与(1,2)间的距离()D两点(a,b)与(-1,-2)间的距离2.以A(3,-1), B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为()()A2x+y-5=0 ()B2x+y+6=0()C x-2y=0 ()D x-2y-8=03.线段AB的中点坐标是(-2,3),又点A的坐标是(2,-1),则点B的坐标是．4．已知点(2,3),A-，若点P在直线70x y--=上，求取最小值．【选修延伸】对称性问题例5:已知直线1:12l y x=-，（1）求点(3,4)P关于l对称的点Q；（2）求l关于点(2,3)对称的直线方程．例6：一条光线经过点(2,3)P,射在直线10x y++=上，反射后，经过点(1,1)A，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．思维点拔：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y间的距离公式为222121()()x x y y-+-，线段12PP中点坐标为1212(,)22x x y y++.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.追踪训练二1．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐标为() ()A(1,4) ()B(-1,4) ()C(1,-4) ()D(-1,-4) 2．直线3x-y-2=0关于x轴对称的直线方程为．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D点的坐标,使四边形ABCD为等腰梯形．让学生学会学习4。

课时跟踪检测（十九） 平面上两点之间的距离层级一 学业水平达标1．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( )A ．6B ．2C ．2D ．不能确定解析：选B 由k AB ＝1，得b －a 1＝1，∴b －a ＝1. ∴AB ＝ (5－4)2＋(b －a )2＝1＋1＝ 2.2．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形的形状为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形 解析：选A AC ＝(－9－1)2＋(－9－5)2＝274， BC ＝(－9－5)2＋(－9－1)2＝274， AB ＝(1－5)2＋(5－1)2＝4 2故BC ＝AC ，△ABC 为等腰三角形．3．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( )A ．2B ．4C ．5D ．17解析：选D 根据中点坐标公式得到x －22＝1且5－32＝y ，解得x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4,1)，则点P (x ，y )到原点的距离d ＝(4－0)2＋(1－0)2＝17. 4．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝⎛⎭⎫22，0，则AB 的最小值为( ) A ．3B ．13C ．2D ．12 解析：选D ∵AB ＝⎝⎛⎭⎫x －222＋()2－x －02＝2⎝⎛⎭⎫x －3242＋14≥12，当且仅当x ＝324时等号成立，∴|AB |min ＝12. 5．直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段P Q 的中点是(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．－23B ．23C ．32D ．－32解析：选A 设P (a,1)，Q (x 0，y 0)，由于P Q 中点是(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x 0＝2，1＋y 0＝－2，∴Q (2－a ，－3)，将其代入x －y －7＝0. 得a ＝－2，∴P (－2,1)，Q (4，－3)，∴k l ＝－3－14＋2＝－23. 6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则AB ＝________.解析：设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＝2，b 2＝－1， 解得a ＝4，b ＝－2，∴AB ＝2 5.答案：2 57．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为________．解析：由已知得A (－1,0)，P (2,3)，由PA ＝PB ，得B (5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.答案：x ＋y －5＝08．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为________． 解析：设M (x ，y )，则|y |＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10，y ＝10.答案：(2,10)或(－10,10)9．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且AB ＝5，求直线l 1的方程．解：由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由AB 2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5. 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0. 层级二 应试能力达标1．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．3＋2 3C ．6＋3 2D ．6＋10 解析：选C AB ＝(2＋1)2＋32＝32，BC ＝(2＋1)2＋0＝3，AC ＝(2－2)2＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.2．已知点A (1,3)，B (5，－2)，点P 在x 轴上，则使AP －BP 取最大值的点P 的坐标是( )A ．(4,0)B ．(13,0)C ．(5,0)D ．(1,0)解析：选B 点A (1,3)关于x 轴的对称点为A ′(1，－3)，连结A ′B并延长交x 轴于点P ，即为所求．直线A ′B 的方程是y ＋3＝－2＋35－1(x －1)，即y ＝14x －134.令y ＝0，得x ＝13. 3．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则AB 的值为( )A.895B.175C.135D.115 解析：选C 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25，由两点间的距离公式，得AB ＝135. 4．在直线2x －3y ＋5＝0上求一点P ，使点P 到A (2,3)的距离为13，则点P 的坐标是( )A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)解析：选C 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由PA ＝13，得(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋53－32＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1，1)或(5,5)．5．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得MA ＋MB 最短，则点M 的坐标是________．解析：如图：A 关于x 轴对称点为A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ，求得M 的坐标为(1,0)．答案：(1,0)6．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A (2,0)与点B (－2,4)重合，若点C (5,8)与点D (m ，n )重合，则m ＋n 的值为________．解析：点A (2,0)与点B (－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB 必与直线CD 平行，即k AB ＝k CD ，∴n －8m －5＝0－42－(－2)＝－1，整理得m ＋n ＝13. 答案：137．已知一条直线过点P (2，－3)，与直线2x －y －1＝0和直线x ＋2y －4＝0分别相交于点A 和点B ，且P 为线段AB 的中点，求这条直线的方程．解：设点A 的坐标为(t,2t －1)，因为点P (2，－3)是线段AB 的中点，所以点B 的坐标为(4－t ，－5－2t )．因为点B 在直线x ＋2y －4＝0上，所以4－t ＋2(－5－2t )－4＝0.解得t ＝－2，于是点A 的坐标为(－2，－5)．所以所求直线的方程为y ＋3－5＋3＝x －2－2－2， 即x －2y －8＝0.8．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．解：原式可化为y ＝(x －4)2＋(0－2)2＋(x －0)2＋(0－1)2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A (4,2)，B (0,1)，P (x ，0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)，使得PA ＋PB 最小．作点A (4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)，由图可直观得出PA ＋PB ＝PA ′＋PB ≥A ′B ，故PA ＋PB 的最小值为A ′B 的长度．由两点间的距离公式可得A ′B ＝42＋(－2－1)2＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5.。

课下能力提升(十九) 平面上两点间的距离1．已知A (－3,2)，B (7，－8)，C (m ，n )，若C 为AB 的中点，则m ＋n 等于________．2．已知点A (－1,4)，B (2,5)，点C 在x 轴上，且|AC |＝|BC |，则点C 的坐标为________．3．直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则直线l 的斜率为________．4．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A (2,0)与点B (－2,4)重合，若点C (5,8)与点D (m ，n )重合，则m ＋n 的值为________．5．已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明AB 2＋AC 2＝2(AO 2＋OC 2)．6．已知一条直线过点P (2，－3)，与直线2x －y －1＝0和直线x ＋2y －4＝0分别相交于点A 和点B ，且P 为线段AB 的中点，求这条直线的方程．7．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使AB ＝5，求直线l 的方程．★★答案★★1．解析：m ＝7－32＝2，n ＝2－82＝－3， 即m ＋n ＝2－3＝－1.★★答案★★：－12．解析：设C (x,0)，则由|AC |＝|BC |得(x ＋1)2＋42＝(x －2)2＋52，解得x ＝2，所以C (2,0)．★★答案★★：(2,0)3．解析：设P (a,1)，Q (x 0，y 0)，由于PQ 中点是(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x 0＝2，1＋y 0＝－2，，∴Q (2－a ，－3)，将其代入x －y －7＝0. 得a ＝－2，∴P (－2,1)，Q (4，－3)，∴k l ＝－3－14＋2＝－23. ★★答案★★：－234．解析：点A (2,0)与点B (－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB 必与直线CD 平行，即k AB ＝k CD ，∴n －8m －5＝0－42－(－2)＝－1，整理得m ＋n ＝13. ★★答案★★：135．证明：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .设点A (a ，b )，B (－c,0)，C (c,0)，由两点间距离公式得AB ＝ (a ＋c )2＋b 2，AC ＝(a －c )2＋b 2，AO ＝a 2＋b 2，OC ＝c ， 所以AB 2＋AC 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，AO 2＋OC 2＝a 2＋b 2＋c 2. 所以AB 2＋AC 2＝2(AO 2＋OC 2)．6．解：设点A 的坐标为(t,2t －1)，因为点P (2，－3)是线段AB 的中点，所以点B 的坐标为(4－t ，－5－2t )．因为点B 在直线x ＋2y －4＝0上，所以4－t ＋2(－5－2t )－4＝0.解得t ＝－2，于是点A 的坐标为(－2，－5)．所以所求直线的方程为y ＋3－5＋3＝x －2－2－2， 即x －2y －8＝0.7．解：若l 与y 轴平行，则l 的方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0.得B 点坐标(1,4)，此时AB ＝5， ∴x ＝1为所求；当l 不与y 轴平行时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)， 得交点B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)(k ≠－2)． 由已知 (k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝5， 解得k ＝－34. ∴y ＋1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y ＋1＝0.综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.。

【巩固练习】1．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值等于 ( )A ．0或－12 B. 12或－6 C ．－12或12D ．0或12 2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为 ( ) A ．0B ．－8C ．2D ．103．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 ( )A ．[0，π)B ．[0，4π]∪[34π，π) C ．[0，4π] D ．[0，4π]∪(2π，π) 4．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是 ( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝05．直线l 1：3x ＋4y －7＝0与直线l 2：6x ＋8y ＋1＝0间的距离为 ( ) A. 85B. 32 C ．4 D ．86．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－52]∪[43，＋∞) B ．(－43，52) C ．[－52，43] D ．(－∞，－43]∪[52，＋∞) 7．当直线y ＝kx 与曲线y ＝|x |－|x －2|有3个公共点时，实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.9．与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是____________________．10．已知实数x、y满足2x＋y＋5＝0的最小值为11．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．12．函数y＝a2x－2(a>0，a≠1)的图象恒过点A，若直线l：mx＋ny－1＝0经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为________．13．在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．14．已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．15．已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．【答案与解析】1．【答案】B=|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m.∴m＝－6或m＝1 2 .2．【答案】B【解析】由k ＝4m m 2-+＝－2，得m ＝－8. 3．【答案】B【解析】设题中直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤4π或34π≤θ<π 4．【答案】D【解析】由x 2y 10x 1-+=⎧⎨=⎩得交点A (1,1)， 且可知所求直线斜率为－12.∴方程为x ＋2y －3＝0. 5．【答案】B【解析】因为直线l 2的方程可化为3x ＋4y ＋12＝0.所以直线l 1与直线l 2的距离为1|7|+32 6．【答案】B【解析】直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3(2)20---- ＝－52， k MB ＝2(2)30---＝43，由图可知：－a >－52且－a <43， ∴a ∈(－43，52)． 7．【答案】A【解析】依题意得，当x <0时，y ＝－x ＋(x －2)＝－2；当0≤x ≤2时，y ＝x ＋(x －2)＝2x －2；当x >2时，y ＝x －(x －2)＝2.在直角坐标系中画出该函数的图象(如图)，将x 轴绕着原点沿逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线(不包括过点(2,2)的直线)与该函数的图象都有三个不同的交点，再进一步旋转，相应的直线与该函数的图象都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k 的取值范围是(0,1)．8．【答案】345【解析】由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3n7m2322n31m72++⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得3m531n5⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故m＋n＝34 5.9．【答案】3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0【解析】先由“平行”这个条件设出直线方程为3x＋4y＋m＝0，再用“面积”条件求m.因为直线l交x轴于A(－m3，0)，交y轴于B(0，－m4)，由12·|－m3|·|－m4|＝24，可得m＝±24.所以，所求直线的方程为：3x＋4y±24＝0.10(x，y)原点到直线2x＋y＋5＝0的距离，即d11．【答案】3【解析】直线AB的方程为x3＋y4＝1，P(x，y)，则x＝3－34y，∴xy＝3y－34y2＝34(－y2＋4y)＝34[－(y－2)2＋4]≤3.12【解析】法一：由指数函数的性质可得：函数y＝a2x－2(a>2，a≠1)的图象恒过点A(1,1)，而A∈l，∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1，由基本不等式可得：m2＋n2≥12(m＋n)2＝12.O到直线l的距离d≤2，∴O到直线l.法二：∵直线l：mx＋ny－1＝0经过点A(1,1)，∴坐标原点O到直线l的距离的最大值为|OA|.13．【解析】(1)设点C的坐标为(x，y)，则有x52+＝0，3y2+＝0，∴x＝－5，y＝－3.即点C的坐标为(－5，－3)．(2)由题意知，M(0，－52)，N(1,0)，∴直线MN的方程为x－y52＝1，即5x－2y－5＝0.14．【解析】法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A(3，－4)和B(3，－9)，截得的线段AB的长|AB|＝|－4＋9|＝5.符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.解方程组y k(x3)1x y10=-+⎧⎨++=⎩得A(3k2k1-+，－4k1k1-+)解方程组y k(x3)1x y60=-+⎧⎨++=⎩得B(3k7k1-+，－9k1k1-+)由|AB|＝5，得(3k2k1-+－3k7k1-+)2＋(－4k1k1-+＋9k1k1-+)2＝52.解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1. 综上可知，所求l的方程为x＝3或y＝1.法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d＝2，且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图所示)，设直线l与直线l1的夹角为θ，则sin θ＝25，故θ＝45°.由直线l1：x＋y＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P(3,1)，故直线l的方程为x＝3或y＝1.15．【解析】(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0②由①②得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2，∴a1ab=-，∴b＝a1a-.故l1和l2的方程可分别表示为：(a－1)x＋y＋4(a1)a-＝0，(a－1)x＋y＋a1a-＝0，又原点到l1与l2的距离相等．∴4a1||a-＝a||1a-，∴a＝2或a＝23，∴a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.。