江苏省南通市2017-2018学年高三数学考前最后一练 Word版含解析

2017-2018学年一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}{}1,0,1,2,1,1,2U A =-=-，则U C A = . 【答案】{}0 【解析】试题分析：{0}.U C A = 考点：集合的补集2.已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 . 【答案】34i + 【解析】试题分析：()22=34,34.z i i z i =--=+ 考点：复数的概念3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 .【答案】2 【解析】试题分析：由于甲、乙两位同学的平均数均为90，所以甲、乙两位同学的方差分别为1122(41014)2,(1010110)2,555++++=++++=>故成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为2. 考点：方差4.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 .【答案】3 【解析】试题分析：第一次循环：11,3S n ==；第二次循环：8,5S n ==；第三次循环：3,5S n ==；结束循环，输出 3.S = 考点：循环结构流程图5.已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则33:a b的值为 .【答案】π 【解析】考点：柱的体积6.将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为,m n ，则点(),P m n 在直线12y x =下方的概率为 . 【答案】16【解析】试题分析：一颗骰子连续抛掷2次，共有36种基本事件，其中满足12m n <有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)6种基本事件，故所求概率为61.366= 考点：古典概型概率7.函数()f x =的定义域为 .【答案】(【解析】试题分析：由题意得112lg 12000lg 1lg lg 2x x x x x --≥⇒≥⇒<≤⇒<≤即定义域为(考点：函数定义域，解简单分式不等式8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 .【答案】4y x =± 【解析】试题分析：由题意得219a a +=⇒=而双曲线2221x y a-=渐近线的方程为1,y x a =±即y x = 考点：双曲线渐近线9.已知两曲线()()cos ,,0,2f x x g x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 .【解析】试题分析：由题意得cos tan 0,.326x x x x x ππ⎛⎫=⇒=∈∴= ⎪⎝⎭Q 又()sin ,()f x x g x x ''=-=所以切线斜率分别为13,6262f g ππ⎛⎫⎛⎫''=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，方程分别为13(),()2626y x y x ππ=--=-，与x 轴交点横坐标分别为66x x ππ=+=，故线段BC (= 考点：导数几何意义10.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为 .【答案】-16 【解析】 试题分析：()()()()()()()()22AP AQ AB AC PQ AQ AB AC AQ AB AC AB AC AB AC+⋅-=+⋅-=⋅-=+-uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r2292516.AB AC =-=-=uu u r uuu r考点：向量数量积11.设数列{}n a 满足()()()111,111n n a a a n N ++=-+=∈，则()10011k k k a a +=∑的值为 . 【答案】100101【解析】试题分析：()()11111111101n n n n n n n na a a a a a a a ++++-+=⇒-+-=⇒-=，因此数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为1的等差数列，即11,n n n a a n==，因此()100100100111111111001.(1)1101101k k k k k a a k k kk +===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 考点：数列通项，裂项相消法求和12.已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 . 【答案】0a <或2a > 【解析】考点：函数零点13.如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点,C D 在函数()10y x x x=+>的图像上.记,AB m BC n ==，则2mn 的最大值为 .【答案】14【解析】试题分析：设1122(,),(,)C x y D x y ，则由12y y =得121211x x x x +=+，因为12x x ≠，所以121x x =，因此22122222222211.1144()()x x x x m t n t x x x x --===≤=+++其中2210,t x x =->当且仅当2t =时取等号 考点：基本不等式求最值14.在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .【答案】1,3⎡+⎣【解析】试题分析：设()P x y ，，设PA ，PB 的夹角为2θ． △ABP 的面积S=22111sin 212PA PA PA PC θ==．32212PC PA ==+，解得PA 所以12PC =，所以点P 在圆22(1)4x y -+=上．所以22m m -+，解得13m +≤≤．考点：直线与圆相切，圆与圆位置关系二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知ABC ∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且m n ⊥.（1）求A B -的值； （2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长.【答案】（1）6A B π-=（2）3BC =【解析】试题分析：（1）先利用向量数量积得cos cos sin sin 33m n A B A B ππ⎛⎫⎛⎫⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据两角差余弦公式得cos 03A B π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，最后根据范围5,366A B πππ⎛⎫⎛⎫+-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得6A B π-=（2）已知两角一边，求另一边，应利用正弦定理进行解决：先求BC 所对角的正弦值：sin sin 6A B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，再根据正弦定理，得3BC = 试题解析：（1）因为m n ⊥，所以cos cos sin sin cos 0333m n A B A B A B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,366A B πππ⎛⎫⎛⎫+-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32A B ππ+-=，即6A B π-=； （2）因为3cos 5B =，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5B = 所以sin sin sin cos cos sin 666A B B B πππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭4313525210=⋅+⋅=由正弦定理，得sin 1083sin 5ABC AC B=⋅=⨯=.考点：正弦定理，两角差余弦公式16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面PAD ，,22,,AB CD CD AB BC M N ==分别是棱,PA CD 的中点.（1）求证：PC 平面BMN ； （2）求证：平面BMN ⊥平面PAC.【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与证明，往往需结合平面几何条件，如本题利用三角形中位线性质定理得MO PC （2）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定与性质定理：先由平行四边形ABCN 为菱形得BN AC ⊥，再由PC ⊥平面PAD 得PC AD ⊥，即BN PC ⊥，从而得BN ⊥平面PAC试题解析：（1）设A C B N O ⋂=，连结,MO AN ，因为1,2AB CD AB CD =，N 为CD 的中点，所以,AB CN AB CN =，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以O 为AC 的中点，所以MO PC又因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄平面BMN ，所以PC 平面BMN .（2）（方法一）因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA所以PC AD ⊥，由（1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD BN ，所以BN PC ⊥因为BC AB =，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN AC ⊥，因为PC AC C ⋂=AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（方法二）连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC PA ⊥因为PC MO ，所以PA MO ⊥，因为PC ⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC PD ⊥ 因为N 为CD 的中点，所以12PN CD =，由（1）12AN BC CD ==，所以AN PN = 又因为M 为PA 的中点，所以PA MN ⊥因为MN MO M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，MO ⊂平面BMN所以PA ⊥平面BMN ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BMN .考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q .（1）若直线l 的斜率为12，求AP AQ的值；（2）若PQ AP λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）56AP AQ =（2）01λ<< 【解析】试题分析：（1）先利用待定系数法确定椭圆方程及圆的方程22142x y +=、224x y +=，再联立方程组解直线与椭圆，直线与圆的交点纵坐标，最后利用=PQy AP AQ y 求比值（2）设直线():2l y k x =+，联立方程组解直线与椭圆，直线与圆的交点纵坐标，利用11Q Py AQ AP y λ=-=-得函数关系式2111k λ=-+，最后根据函数值域得实数λ的取值范围.试题解析：解（1）由条件，222242a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为22142x y +=，圆的方程为224x y +=（方法一）直线l 的方程为()122y x =+，由()2212224y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：23440x x +-=解得22,3A p x x =-=，所以24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以AP ==，又因为原点O 到直线l的距离d =所以5AQ ==56AP AQ == （方法二）由222224x y x y =-⎧⎨+=⎩得2340y y -=，所以85P y = 所以455386AP AQ =⨯=; （2）（方法一）若PQ AP λ=，则1AQAPλ=- 设直线():2l y k x =+，由()22242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得，()22221840k x k ++-=即()()()22221420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以22242,21A P k x x k -=-=+，得222244,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22222222224416162212121k k k AP k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即221AP k =+，同理AQ =所以21111k λ=-=-+，由题意：20k >，所以01λ<<. （方法二）由方法一知，2241111114121Q P k y AQ k k AP y k k λ+=-=-=-=-++ 由题意：20k >，所以01λ<<.考点：直线与椭圆的交点18.（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口. （1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.【答案】（1）x <2）274m 【解析】试题分析：（1）长度与面积关系问题，可以考虑利用解不等式求范围，先根据直线与圆位置关系得弦长与圆心到直线距离（即正方形边长一半）关系，再根据面积大于214m 得一根木条长范围，注意四根木条将圆分成9个区域的隐含条件：x >2）思路为长度一定，求面积最值，可以考虑利用基本不等式求最值，设AB 所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm ，则3a b +=，而圆中垂径定理得AB BD ==，因此()()2228872224ABCDa b a b S +--+==≤≤=矩形试题解析：解（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为= 因为14ABCD S >四边形，所以2144x ->，即2x <又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x >所以x <（2）（方法一）设AB 所在木条长为am ，则BC 所在木条长为()3a m - 因为()()0,2,30,2a a ∈-∈，所以()1,2a ∈ABCD S ==矩形设()43262420f a a a a a =-++-，()()()()'3241822421234f a a a a a a a =-++=+--令()'0fa =，得32a =，或1a =-（舍去），或4a =（舍去） 列表如下：所以当32a =时，()max 349216f xf ⎛⎫==⎪⎝⎭，即max74S =（方法二）设AB 所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm 由条件，2+26a b =，即3a b +=因为(),0,2a b ∈，所以()30,2ba =-∈，从而(),1,2ab ∈由于AB BD ==，ABCD S ==矩形()()2228872224a b a b +--+≤≤=当且仅当()31,22a b ==∈时，74ABCD S =矩形 答：窗口ABCD 面积的最大值为274m考点：直线与圆位置关系，基本不等式求最值19.（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11n n n a b S n N ++=+∈.（1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}n b λ+为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 【答案】（1）48a =（2）详见解析（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）将条件化到项之间关系：当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=，直接依次计算：2344,6,8a a a ===（2）先化简条件11n n n a b S +=+：11111n nn q q b q a q=+---，解出1111111nn b q a q q⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，要使{}n b λ+为等比数列，可取11q λ=-，此时11n n b b q λλ-+=+（3）先将条件化到{}n a 项之间关系：当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=，()1n n n n n a b a b d a +--=，11n n n n b a d a a +=--，从而1111n n n n n n a a da a a a d-+--=---，再从充分性及必要性两方面进行论证，充分性证明实质根据1111n n n n n n a a a a a a -+--=--，利用叠加法求通项，必要性证明实质是由11dd=-求值 试题解析：解（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===（2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n n n a q a q b q-=+-所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符）所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列所以存在实数11qλ=-，是{}n b λ+为等比数列； （方法二）因为11n n n a b S +=+① 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+② ①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③ 由③得，当2n ≥时，111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+ 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，又因为101n b q +≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符）所以存在实数11qλ=-，是{}n b λ+为等比数列； （3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--= 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠ 所以当2n ≥时，11n nn nb a d a a +=--④ 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤ 由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----⑥先证充分性：即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列因为12d =，由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=--所以当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=--又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=- 即23,,,,n a a a 成等差数列；再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d =因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-所以由⑥得，11111111n n n n n n n n n n n n a a a a da a a a a a a a d--+----=-==-----所以12d =，所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 考点：等差与等比数列20.（本小题满分16分）设函数()sin cos xf x xe a x x =-（a R ∈，其中e 是自然对数的底数）.（1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）极小值为()11f e-=-，无极大值；（2）(],1-∞（3）不存在 【解析】试题分析：（1）当0a =时，研究的函数不含参数，利用导数求极值：先求导函数()()1x f x e x '=+，再在定义域内求导函数零点1x =-，列表分析单调性变化趋势，得出结论函数()f x 的极小值为()11f e-=-，无极大值；（2）实质是()min 0f x ≥，当0a ≤时，因为sin cos 0x x ≥，所以()0f x ≥恒成立；当01a <≤时，因为()()()0=1cos201cos010x f x e x a x e a a '+-≥+-=-≥，()()00f x f ≥=；当1a >时，存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0fα=，且在()0,α内，()()00f x f <=，舍去（3）若存在，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数，必有极值点，因此1a >，()'0fx =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一解0x ，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上至多有一个零点，因此不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 试题解析：解：（1）当0a =时，()()(),1xxf x xe f x e x '==+令()0f x '=，得1x =- 列表如下：所以函数()f x 的极小值为()1f e-=-，无极大值； ①当0a ≤时，由于对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有sin cos 0x x ≥ 所以()0f x ≥恒成立，当0a ≤时，符合题意； ②当01a <≤时，因为()()()0=1cos201cos010xf x e x a x e a a '+-≥+-=-≥所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()00f x f ≥=，即当01a <≤，符合题意； ③当1a >时，()'010f a =-<，'41044f e πππ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()'0f x <所以()f x 在()0,α上为减函数，所以()()00f x f <= 即当1a >时，不符合题意综上所述，a 的取值范围是(],1-∞; 不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，由（2）知，当1a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且()00f =，故函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点当1a >时，()()'=1cos2x f x e x a x +-令()()1cos2xg x e x a x =+-，()()'22sin2x g x e x a x =++当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()'0g x >，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 由()2010,1022g a g e a πππ⎛⎫⎛⎫=-<=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即方程()'0f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一解0x 且当()00,x x ∈时，()'0fx <，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x > 即函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()200,022f x f f e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭ 所以()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点， 所以，当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点.考点：利用导数求极值，利用导数研究函数零点，利用导数研究不等式附加题21.A 【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E . 求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.【答案】详见解析 【解析】试题分析：研究线段比值问题，一般利用三角形相似，因为ECA DCB ∠=∠，CAE B ∠=∠，因此ACDBCD ∆∆，从而AE ACBD BC=，以下转化为证明AD AE =，这可利用角相等推出. 试题解析：解：因为2,CAB B AE ∠=∠为CAB ∠的平分线，所以CAE B ∠=∠ 又因为CD 是C ∠的平分线，所以ECA DCB ∠=∠ 所以ACDBCD ∆∆，所以AE ACBD BC=，即AE BC BD AC ⋅=⋅ 又因为,AED CAE ECA ADE B DCB ∠=∠+∠∠=∠+∠ 所以AED ADE ∠=∠，所以AD AE = 所以AD BC BD AC ⋅=⋅ 考点：三角形相似21.B 【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵1 12a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值. 【答案】4a b += 【解析】试题分析：先根据矩阵运算求轨迹：由1 122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=，再根据两直线重合得21,222a b+=-=-，得4a b += 试题解析：解:设(),P x y 是直线20x y +-=上一点，由1 122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b+=-=- 解得04a b =⎧⎨=⎩，所以4a b +=考点：矩阵运算21.C 【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩α为参数）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B ，求线段AB 的长.【解析】试题分析：先根据22cos +sin =1αα消去参数得曲线C 的普通方程：(224x y +=，根据tan y x θ=将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程y x =，最后根据圆中垂径定理得弦长试题解析：解：曲线C 的普通方程为(224x y +=，表示以)为圆心，2为半径的圆直线l 的直角坐标方程为y x =所以线段AB的长为=.考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 21.D 【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++ 【答案】详见解析 【解析】试题分析：根据三元均值不等式得3333x y z xyz ++≥，3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥，四式相加，得333x y z xy yz xz ++≥++试题解析：解：因为0,0,0x y z >>> 所以3333x y z xyz ++≥3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥将以上各式相加，得33333333333x y z xyz xy yz xz +++≥+++ 又因为1xyz =，从而333x y z xy yz xz ++≥++ 考点：三元均值不等式22.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . （1）求抛物线的方程；（2）若A 为抛物线上一点（异于原点O ），点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E .试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论.【答案】（1）26y x =（2）菱形. 【解析】试题分析：（1）利用抛物线定义化简条件“点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离为PO ”得PO PF =，即3,344p p ==（2）先确定点A 处切线的斜率为03y ，写出切线方程2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求出点B 坐标201,06y ⎛⎫-⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE =，再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形. 试题解析：解：（1）由题意点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离为PO 由抛物线的定义，点P 到准线的距离为PF 所以PO PF =，即点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭在线段OF 的中垂线上， 所以3,344p p ==，所以抛物线的方程为26y x = 由抛物线的对称性，设点2001,6A y y ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为03y 所以点A 处切线的方程为2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭令上式中0y =，得2016x y =- 所以点B 的坐标为201,06y ⎛⎫-⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2200001313,,,6262FA y y BE y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE =，所以FA BE ，又AE FB故四边形AEBF 为平行四边形再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形. 考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系 23.（本小题满分10分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛()2n n N +∈局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n .（1）求()2P 与()3P 的值；（2）试比较()P n 与()1P n +的大小，并证明你的结论.【答案】（1）()5216P =，()5316P =（2）()()1P n P n <+ 【解析】试题分析：（1）因为每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12，所以去掉平局，甲与乙胜的概率相等，即()24412(1)22C P =-，()36613(1)22C P =-.（2）同理可得()221(1)22n nn C P n =-，因此比较()P n 与()1P n +的大小，只需比较222n n n C 与1222(1)2n n n C +++大小，作商得()()()()()222112222222!4214!!2122!2121!1!nnnn n n n n n n n C n C n n n C C n n n ++++++===>++++ 试题解析：解：（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局所以()44344411522216P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 同理()6664566661115322216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）在2n 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为1n +局 故()222122222111222n nnn n n nn nP n CC C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22122222222211112122222nnnn n nn n nnnn n nC CCC C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()1222211122n n n C P n +++⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又因为()()()()()()()()2222112222222!441214!!2122!22212121!1!nn n n n n n n n n n C n n C n n n C C n n n n n +++++++====>++++++ 所以122222222n n n n n n C C +++>，所以()()1P n P n <+ 考点：概率，组合数阶乘表示。

江苏省南通市2018届⾼三数学最后⼀卷备⽤题Word版含详细答案数学备⽤题第Ⅰ卷（共60分）第Ⅱ卷（共90分）⼀、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1.如图，已知圆锥的⾼是底⾯半径的2倍，侧⾯积为π，若正⽅形ABCD 内接于底⾯圆O ，则四棱锥P ABCD -侧⾯积为．2.已知实数,x y 满⾜22024010x y x y x y +-≥??+-≤??--≤?，且(1)20k x y k --+-≥恒成⽴，则实数k 的最⼩值是．3.函数()sin()(0,0,02)f x A x A ω?ω?π=+>>≤<在R 上的部分图象如图所⽰，则(2018)f 的值为．4.已知数列{}n a 的⾸项12a =，且*111()22n n a a n N +=+∈，则数列11n a -??的前10项的和为．5.甲、⼄两种⾷物的维⽣素含量如下表：分别取这两种⾷物若⼲并混合，且使混合物中维⽣素的含量分别不低于单位，则混合物重量的最⼩值为 kg ．6.在ABC ?中，5,4,AB AC ==且12AB AC ?=，设P 是平⾯ABC 上的⼀点，则()PA PB PC ?+的最⼩值是．7.如图，在平⾯四边形ABCD 中，,E G 分别为线段AD 的两个三等分点，,F H 分别为线段BC 的两个三等分点，且4,3,11EF GH EF GH ==?=，则AB DC ?的值为．8.已知函数()()y f x x R =∈满⾜()2(1)f x f x =-+，当[)0,1x ∈时，2()f x x =，若函数4()log (1)(0)y af x x a =-+>恰有个4零点，则a 的取值范围是．9.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知点P 为直线:40l kx y -+=上⼀点，点,M N 在圆22:(1)4C x y -+=上运动，且满⾜2MN =，若OM NP =，则实数k 的取值范围是． 10.在斜ABC ?中，若11tan 0tan tan C A B++=，则tan C 的最⼤值是．⼆、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.） 11.如图，已知圆O 的⽅程为224x y +=，过点(0,1)P 的直线l 与圆O 交于点,A B ，与x 轴交于点Q ，设,QA PA QB uPB λ==，求证：u λ+为定值.12. 秸秆还⽥是当今世界上普通重视的⼀项培肥地⼒的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的⼤⽓污染的同时还有增肥增产作⽤．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还⽥，花137600元购买了⼀台新型联合收割机，每年⽤于收割可以收⼊6万元（已减去所⽤柴油费）；该收割机每年都要定期进⾏维修保养，第⼀年由⼚⽅免费维修保养，第⼆年及以后由该农机户付费维修保养，所付费⽤y （元）与使⽤年数n 的关系为：*(2,n )y kn b n N =+≥∈且，已知第⼆年付费1800元，第五年付费6000元．（1）试求出该农机户⽤于维修保养的费⽤()f n （元）与使⽤年数*()n n N ∈的函数关系；（2）这台收割机使⽤多少年，可使平均收益最⼤？（收益=收⼊-维修保养费⽤-购买机械费⽤）13.如图，某机械⼚欲从2AB =⽶，AD =ABEF 加⼯成某仪器的零件，裁剪要求如下：点,E F 分别在边,BC AD 上，且EB EF =，AF AE <.设BEF θ∠=，四边形ABEF 的⾯积为()f θ（单位：平⽅⽶）. （1）求()f θ关于θ的函数关系式，求出定义域；（2）当,BE AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的⾯积最⼩，并求出最⼩值.14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m ，（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ?为等腰三⾓形，求椭圆离⼼率的取值范围；（2）在（1）的条件下，当e 取最⼤值时，A 点坐标为(2,0)-，设B M N 、、是椭圆上的三点，且3455OB OM ON =+，求：以线段MN 的中⼼为原点，过,A F 两点的圆⽅程.15. 已知函数215()ln 24f x ax ax x a =-++，其中a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线⽅程；（2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，求12()()f x f x +的取值范围；（3）若不等式()4af x ax ≥-对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成⽴，求实数a 的取值范围. 16. 已知等差数列{}n a 与等⽐数列{}n b 是⾮常数的实数列，设{}*,k k A k a b k N ==∈.（1）请举出⼀对数列{}n a 与{}n b ，使集合A 中有三个元素；（2）问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论；三、解答题17. 已知正六棱锥S ABCDEF -的底⾯边长为2，⾼为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三⾓形，设随机变量X 表⽰所得三⾓形的⾯积.（1）求概率(P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．18. 从集合{}1,2,3,4,5的所有⾮空⼦集中，等可能地取出m 个．（1）若1m =，求所取⼦集的元素既有奇数⼜有偶数的概率；（2）若2m =，记所取⼦集的元素个数之差为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ． 19. 如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中,11,3,4,AB AC AB AC B C AC ⊥==⊥．（1）求1AA 的长．（2）若1BP =，求⼆⾯⾓1P AC A --的余弦值．20. 如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知点(1,)(0)T t t <到抛物线22(0)y px p =>焦点的距离为2．（1）求,p t 的值；（2）设,A B 是抛物线上异于T 的两个不同点，过A 作y 轴的垂线，与直线TB 交于点C ，过B 作y 轴的垂线，与直线TA 交于点D ，过T 作y 轴的垂线，与直线,AB CD 分别交于点,E F ．求证：①直线CD 的斜率为定值；②T 是线段EF 的中点．试卷答案⼀、填空题4 3.2 4.1023 5.306.658-7. 5 8.4416log 6a <≤ 9.1k ≤12k ≥+10.⼆、填空题11.证明：当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合，从⽽2λ=，23u =，83u λ+=. 当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在.设直线AB 的⽅程为1y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1,0Q k ??-.由题设，得112211,x x x ux k k λ+=+=，即12111,1u x k x kλ=+=+. 所以12121211112x x u x k kx kx x λ++=+++=+ 将1y kx =+代⼊224x y +=，得22(1)230k x kx ++-=，则0?>，12221k x x k +=-+，12231x x k=-+，所以222812331k k u k k λ-++=+=?- ?+综上，u λ+为定值83. 说明①本题亦可设点坐标求解；②若将圆换成椭圆，其他题设不变，解题⽅法类似.12.解：（1）依题意，当2n =，1800y =；5n =，6000y =，即1800260005k b k b =+??=+?，解得14001000k b =??=-?所以*0,1()14001000,2n f n n n n Nπ=?=?-≥∈?且（2）记使⽤n 年，年均收益为W （元），则依题意，2n ≥，[]1600001376001400(23...)1000(1)W n n n=-++++-- 1(1)(n 2)6000013760014001000(1)2n n n -+??=-+?--211372006000013760070030060300(700)n n n n n=-+-=-+6000040700≤-= 当且仅当137200700n n=，即14n =时取等号. 所以这台收割机使⽤14年，可使年均收益最⼤. 13.解：（1）过点F 作FM BE ⊥，垂⾜为M .在Rt FME ?中,2,,2MF EMF FEM πθ=∠=∠=所以22,ME sin tan EF θθ== 故22sin tan AF BM EF EM θθ==-=- 所以1()(AF )2f BE AB θ=+?122242()22sin tan sin sin tan θθθθθ=?-+?=- 据题意，AF BE <，所以2πθ<且当点E 重合于点C时，2,4EF EB FM πθ====所以函数42()sin tan f θθθ=-的定义域为,42ππ??（2）由（1）可知，22224(sin cos )42222()sin tan 2sin cos 2tan2221tan 2f θθθθθθθθθ+=-=--1112tan tan 3tan 222tan tan tan 222θθθθθθ=+--=+≥当且仅当13tan2tan2θθ=时，不等号取等号⼜,,,42284ππθππθ∈∈故tan,2263θθππθ===222sin sin tan BE θθθ===-= 答：当,BE AFABEF 的⾯积最⼩，最⼩值为.14.解：（1）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即22,2,12a a a cc a c a c c c c a-≥+≥+≥+ 2112,210e e e e≥++-≤ 102e <≤（2）当12e =且A(2,0)-时，F(1,0)，故2,1a c ==所以b =椭圆⽅程是：22143x y += 设1122(,)(,)M x y N x y 、，则222211221,14343x y x y +=+= 由3455OB OM ON =+，得12123434(,)5555B x x y y ++ 因为B 是椭圆C 上⼀点，所以2212123434()()5555143x x y y +++=即222222112212123434()()()()2()14354355543x y x y x x y y ++++??+= 1212043 x x y y +=①因为圆过,A F 两点，所以线段MN 的中点的坐标为121(,)22y y +-⼜()2222212121212121111()23131224444y y y y y y x x y y +=++=-+-+ ? ???②由①和②得222121212111()3131324442y y x x x x +=-+-+- ? ? ???2123131212()(2)444416x x ??=-+=?-=所以圆⼼坐标为1(,2-故所求圆⽅程为22157(x )(y 2416++±=15.解：（1）当1a =时，215()ln 24f x x x x =-++，故3(1)4f =. 且1'()1f x x x=-+，故'(1)0f = 所以函数()f x 在1x =处的切线⽅程为304y -= （2）由215()ln 24f x ax ax x a =-++，0x >可得211'()ax ax f x ax a x x-+=-+=因为函数()f x 存在两个极值点12,x x ，所以12,x x 是⽅程'()0f x =的两个正根，即2 10ax ax -+=的两个正根为12,x x所以2121240110a a x x x x a =->?+==>?，即1212411a x x x x a ??>?+==所以22121112221515()()ln ln 2424f x f x ax ax x a ax ax x a +=-+++-++ ()()212121212152()ln 2ln 122a x x x x a x x x x a a a =+--+++=-- 令()2ln 1,4g a a a a =-->，故1'()20g a a=->，()g a 在(4,)+∞上单调递增，所以()(4)7ln 4g a g >=-。

南通市 2017 届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1．设复数z a bi （a，b R，i为虚数单位）．若z(43i)i ，则ab的值是▲．【答案】122．已知集合 U{ x | x0} ， A={ x | x ≥ 2} ，则 e U A = ▲．【答案】 { x | 0 x2}3．某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首，则甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放的概率是▲．开始【答案】5S 1， k164．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲ ．S S k2k k 1【答案】 35．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用S10N分层抽样的方法抽取一个容量为500 的样本．其中大一年级Y输出 k 抽取 200 人，大二年级抽取100 人．若其他年级共有学生3000 人，则该校学生总人数是▲ ．结束【答案】 7500（第 4题）6．设等差数列a n的前n项和为 S n．若公差d 2 ，a510，则 S10的值是▲．【答案】 1107．在锐角△ABC中，AB 3，AC 4 ．若△ ABC的面积为3 3 ，则BC的长是▲．【答案】138．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2y2 1 （a0 ）经过抛物线y28x的焦点，则a2该双曲线的离心率是▲．【答案】5 29．已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π的扇形，则这个圆锥的高为▲．3【答案】 2210． 若直 y2x b 曲 ye xx 的一条切 ， 数b 的 是【答案】 111． 若正 数 x ，y 足 x y1 ，y4的最小 是▲．x y【答案】 812． 如 ，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ， ABC 90 ，AB 3， BCDC2．若 E ，F 分 是 段 DC 和 BC 上uuur uuur的 点， AC EF 的取 范 是▲ ．A4 ，6【答案】▲ ．D E CFB（第 12 题）13． 在平面直角坐 系 xOy 中，已知点 A(0 ， 2) ，点 B(1， 1) ， P x 2y 22 上一 点，PB的最大 是 ▲ ．PA 【答案】 214． 已知函数 f (x)x ，x ≥a ， 2 f ( x) ax 恰有 2 个不同的零点， 数3， 若函数 g (x)x3x x a .a 的取 范 是▲．【答案】 (3，2)2二、解答 ：本大 共6 小 ，共90 分．15．（本小 分 14 分）已知函数 f ( x) Asin xπ（ A0 ， 0 ） 象的相 两条 称 之 的距离π 3，且 点 ( π， 3 ) ．3 2（ 1）求函数 f ( x) 的解析式；（ 2）若角足 f ( )3 f (π ，(0 ，π) ，求角的 ．) 12【解】 周期T ，（1）由条件，2π即2π2π，所以 1，即 f ( x) A sin xπ．⋯⋯3分3因 f ( x) 的 象 点( π，3) ，所以 Asin2π 3，所以A 1，3 232所以f ( x)sin xπ⋯⋯6分3 ．（2）由 f ( )3 f (π) 1 ，2得 sinπ 3sinπ π 1 ， ⋯⋯ 8分33 2 即 sinπ 3cosπ1 ，33所以2sinπ π 1 ，即 sin1⋯⋯ 123 32．分因0 ，π ，所以 π 5π． ⋯⋯14分6或616．（本小 分14 分）如 ，在四棱P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， AP =AD ，M ，N 分 棱 PD ， PC 的中点．P求 ：（ 1）MN ∥平面 PAB ；M N（ 2）AM ⊥平面 PCD ．DC【 】（1）因 M ， N 分 棱 PD ，PC 的中点，所以∥ ，⋯⋯2分ABMN DC（第 16又因 底面是矩形，所以∥，题）ABCDAB DC所以∥．⋯⋯4分MN AB又 AB 平面 PAB ， MN平面 PAB ，所以 MN ∥平面 PAB ．⋯⋯6分（2）因 AP =AD ， MPD 的中点，所以 AM ⊥ PD ．⋯⋯ 8 分因 平面 PAD ⊥平面 ABCD ，又平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ， CD ⊥AD ， CD 平面 ABCD ，所以 CD ⊥平面 PAD ．⋯⋯10分又AM 平面 ，所以 ⊥ ．⋯⋯12分PADCD AM因 CD ， PD平面 PCD ， CD I PDD ，所以 AM ⊥平面 PCD ．⋯⋯14分17．（本小 分 14 分）x 22在平面直角坐 系xOy 中，已知y 1( ab 0) 的左焦点 F ( 1 ，0)，且a 2b 2y点 ，3) ．B2（1）求 的 准方程；（2）已知 的弦AB 点 F ，且与 x 不垂直．FxD O若 D x 上的一点，DADB ，求AB的 ．ADF，（第 17 题）c 1【解】（1）方法一：由 意，得1 9 ， ⋯⋯3分a 2 4b 2 1a 2b 2c 2，2，解得3.b 2所以 的 准方程x 2y 2 1．⋯⋯5分43方法二：由 意，知23 223 22a(11)( 2)(1 1)(2)4，所以 a 2．⋯⋯2分又 c 1 ， a 2 b 2c 2 ，所以 b3 ，2y 2所以 的 准方程x1 ．⋯⋯5分4 3（ 2）方法 1： 直 AB 的方程 y k( x 1) ．① 若 k =0 ，=2 =4，= =1，所以AB 4 ； ⋯⋯6分DF② 若 k ≠ 0 ，A( x 1， y 1) ， B(x 2， y 2 ) ，AB 的中点 M (x 0， y 0 ) ，代入 方程，整理得(3 4k 2 )x 28k 2x 4k 212 0，所以 x 14k26 k21， x 24k 2 6 k 2 1 ，3 4k 23 4k 2所以 x 03 4k 2，⋯⋯8分4k 2所以 y 0k( x 0 1)3k，34k 2所以 AB 的垂直平分 方程y3k1x 4k 2．3 4k 2k 3 4k 2因= ，所以点D的垂直平分 与x 的交点，DA DBAB所以 D ( k 2 2 ， ，3 4k 0)22所以 DFk1 3 3k．⋯⋯10分3 4k 23 4 k 2因 的左准 的方程x4 ，离心率1 ，2由 AF1，得 AF1 ( x 1 4) ，x 1 4 22同理 BF1( x 24) ．2所以 AB AFBF1 (x 1 x2 ) 4 x 0 4 12 12k 2．⋯⋯12分23 4k 2所以AB4 ．DF上，得AB的 4．⋯⋯14分DF方法 2： A( x 1， y 1) ， B( x 2， y 2 ) ， AB 的中点 M ( x 0， y 0 ) ，① 若直 AB 与 x 重合，AB4 ； ⋯⋯ 6 分DF② 若直 AB 不与 x 重合，A( x 1，y 1 ) ， B( x 2， y 2 ) ， AB 的中点 M (x 0，y 0 ) ，x 2y 211，由44得 x 1 x 2y 1y 2 0 ，x 22 y 22， 43441所以 (x 1 x 2 ) x 0 ( y 1 y 2 ) y 0 0 ，43所以直 AB 的斜率y 1y 23x 0 ， ⋯⋯8分x 1 x 24 y 0所以 AB 的垂直平分 方程yy4 y 0 ( xx ) ．3 x 0因 DA =DB ，所以点 D AB 的垂直平分 与 x 的交点，所以 D (x 0，0) ，所以 FDx 0 1．⋯⋯10分44同方法一，有 AB x 04 ，⋯⋯12分所以AB4．DF上，得AB的 4．⋯⋯14分DF方法 3：① 若直 AB 与 x 重合，AB4 ．⋯⋯6分DF② 若直 AB 不与 x 重合， A(x 1， y 1 ) ， B( x 2，y 2 ) ，AB 的中点x 1 x 2 y 1 y 2) ，M ( 2 ， 2所以 AB 的垂直平分 方程yy 1y 2x 1x2( xx 1x 2) ． 8 分2yy221y2y 2xx2令 y =0，得 x D1212( x 1 x 2 )2y 12 y 22x 12x 222( x 1x 2 )3(1 1 2 3(1 1 2224 x 1 ) 4 x 2 )x 1x 22( x 1 x 2 )1 x2 1 x 24 1 422( x 1 x 2 ) x 1 x 2 ．8 x 1 x 21 ．所以 DF8同方法一，有AB1( x 1x 2 ) 4 ，2⋯⋯ 10 分 ⋯⋯12 分所以AB4．DF上，得AB的 4．⋯⋯ 14 分DF18．（本小 分16 分）如 ，半AOB 是某 国主 教育基地一景点的平面示意 ，半径OA 的 1 百米．了保 景点，基地管理部 从道路l 上 取一点C ，修建参 路C -D -E -F ，且 CD ，DE ， EF 均与半 相切，四 形CDEF 是等腰梯形． DE ＝ t 百米， 修建每1 百米参，0 t≤ 1，53路的 用 f (t ) 万元， 算 f (t)1，18 t 2.t 3（ 1）用 t 表示 段 EF 的 ；（ 2）求修建 参 路的最低 用．D ElCAOB F（第 18 题）【解】 DE 与半 相切于点Q ， 由四 形 CDEFy是等腰梯形知 OQ l ， DQ ＝QE ，以 OF 所在DQE直 x ， OQ 所在直 y ，建立如所示的平面直角坐 系．xOy（1）方法一：由 意得，lAOB F x 点 E 的坐 ( t，1) ，C⋯⋯ 1 分2直 EF 的方程 y 1 k( xt) （ k0 ），2即 kx y 1 1tk0 ．2因 直 EF 与半 相切，所以 心 O 到直 EF 的距离|1 1tk |1 ，解得 k 4t⋯⋯3分2 ．k 2 1t 24代入 y 1k( xt) 可得，点 F 的坐 (t1，0) ．⋯⋯ 5分24 t所以t 1 t 2 t 1( 4 t2 )1 4t，EF即 EFt 14t （ 0t2）．⋯⋯ 7 分方法二： EF 切 O 于G ， OG ，DE点 E 作 EHAB ，垂足 H ．G因 EHOG ， OFGEFH ，GOFHEF ，lC AOH B F 所以 Rt △ EHF ≌Rt △ OGF ，⋯⋯ 3分所以 HFFGEF1t ．2由 EF 2 1 HF 21 (EF1 t )2 ， ⋯⋯5分2所以 EFt 1 （ 0t 2 ）．⋯⋯7分4 t（2） 修建 参 路的 用y 万元．① 当1t 13 20 t≤ 3 ， y 5 2( 4 t ) t 5( 2 t t ) ，由 y5( 3 2 0 ， y 在 0 1 上 减．2 t 2 )，3所以当 t13， y 取最小 32.5 ；⋯⋯11分② 当 11 t 116 3 23 t2 ， y (8 t)2( 4 t )t12t t2 t 2 ，所以 y1216 4 4( t 1)(3t 2 3t1)⋯⋯13分233，ttt因1t2 ，所以 3t 21 0 ，3t3且当 t( 1，1) ， y 0 ；当 t(1，2) ， y0 ，3所以y 在 ( 1 ， 上 减；在 (1，2) 上 增．3 1)所以当 t 1 ， y 取最小 24.5 ．由①②知，y 取最小24.5 ．⋯⋯15分答：（ 1）EF 的t1( 4t ) 百米；（ 2）修建 参 路的最低 用24.5万元．⋯⋯16分19．（本小 分16 分）已知 { a n } 是公差 d 的等差数列， { b n } 是公比 q 的等比数列， q 1 ，正整数E ( m ， p ， r ) （ mp r ）．（ 1）若 a 1b 2 a 2 b 3 a 3b 1 ，求 q 的 ；（ 2）若数 E 中的三个数构成公差大于1 的等差数列，且 a m b pa pb r a r b m ，求 q 的最大 ；（ 3）若 b n( 1) n 1 ， a m b m a p b p a rb r0 ， 写出 足条件的一个数E2和 的通 公式a n ．（注：本小 不必写出解答 程）【解】（1）由条件，知a 1b 1 q a 1 d b 1q 2 ，即 d b 1 ( q q 2 ) ，d b 1 q 2d b 1 ( q 2a 1 a 1 2db 1， 1).所以 2q 2 q 1 0 ．⋯⋯2分因 q1，所以q1．⋯⋯4分2（2）由 a m b p a p b r ，即 a p a m b p b r ，所以 ( p m)d b m (q p m q r m ) ，同理可得， ( rp) d b m (q rm1) ．⋯⋯ 6 分因 m ，p ，r 成等差数列，所以 pmrp1(r m) ．2q p m t ， 有 2t 2 t 1 0 ，因 q1，所以 t1，故 t1 ，即 q p m 1 ． ⋯⋯8分22所以 1 q 0 ．p m，奇数，又公差大于 1，所以≥ 3 ，⋯⋯10分111所以 | q | ( 1 ) ≥ ( 1 ) 3 ，即 q ≤ - ( 1)3， 2221当3 ， q 取最大 - ( 1) 3．⋯⋯ 12 分2（3） 足 意的数E (m ，m 2 ，m 3) ，此 通 公式a n( 1 )m1( 3 n 3m 1) ， mN * ．288例如： E (1，3，4 ) ， a n3 n 11 ． ⋯⋯ 16 分8820．（本小分16 分）已知函数 f ( x) ax2cos x （a R ）， f ( x)的函数g ( x)．（ 1）明：当 a12， g (x) 在R上增；（ 2）若 f ( x) 在x0 取得极小，求a的取范；（ 3）函数 h( x) 的定域D，区 (m，+) D ，若 h( x) 在 (m，+) 上是函数，称 h( x) 在D上广．明函数y f ( x)x ln x 在 (0 ，) 上广．【解】（1）当1122， f (x)2x cosx ，a所以 f ( x)x sin x ，即 g ( x)x sin x ，⋯⋯ 2分所以 g (x)1cos x≥ 0 ，所以 g ( x) 在R上增．⋯⋯ 4分（2）因 g (x)f( x)2ax si n x ，所以 g ( x) 2 a cos x ．①当 a≥1， g ( x)≥1cos x≥0 ，所以函数 f( x) 在R上增．2若 x 0， f(x)f(0)0 ；若x0， f ( x) f (0)0 ，所以 f (x) 的增区是(0 ，) ，减区是( ，0)，所以 f (x) 在x0 取得极小，符合意．⋯⋯ 6分②当 a≤ -11cos x ≤ 0 ，所以函数 f( x) 在R上减．2， g ( x) ≤若 x 0， f(x)f(0)0 ；若x0， f ( x) f (0)0 ，所以 f (x) 的减区是(0 ，) ，增区是( ，0)，所以 f (x) 在x0 取得极大，不符合意．⋯⋯8分③ 当1a 1 ，x0(0 ， ) ，使得 cos x02a ，即 g ( x0 )0 ，22但当 x(0 ， x0 ) ，cosx2a ，即g (x) 0，所以函数 f ( x) 在 (0 ， x0 ) 上减，所以 f ( x) f (0)0 ，即函数 f (x) 在 (0 ， x0 ) 减，不符合意．上所述， a 的取范是 1 ，．⋯⋯10分2（3） h( x)ax2cos x x ln x （x0 ），11①若 a0，注意到 ln x x ， ln x2x 2，即ln x 2 x．⋯⋯12分2当x 1 4a 1，2ah ( x)2ax sin x1ln x 2 ax2 x 22( x14a 1)( x14a 1 ) 0．2a2a1 4 a12所以m，函数 h( x) 在 (m ，) 上增．⋯⋯ 14分2a②若 a ≤ 0，当 x>1，h ( x) 2 ax sin x 1ln xsin x 1ln x <0．所以m 1 ，函数h( x)在( m，+) 上减，上所述，函数y f ( x)xln x 在区 (0 ， ) 上广．⋯⋯ 16分数学Ⅱ（附加题）21．【做】本包括 A、 B、 C、D 四小，定其中两，并在相的答区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．A． [ 修 4- 1：几何明 ] （本小分10 分）如，已知 ABO的一条弦，点 P 弧 AB的中点，点 P 任作两条弦 PC， PD，分交于点，．PAB E F求： PE PC PF PD ．【】PA，PB， CD，BC．因∠ PAB =∠ PCB，又点 P 弧 AB的中点，所以∠PAB =∠PBA，所以∠PCB =∠．⋯⋯4分PBA又∠ DCB =∠ DPB，所以∠ PFE =∠ PBA+∠ DPB =∠PCB+∠ DCB=∠ PCD，所以，，，C 四点共．E F D所以 PE PC PF PD．⋯⋯10分B． [ 修 4 2：矩与 ] （本小分10 分）-AE FBOCD（第 21- A 题）PA B E FOCD已知矩1a，点 (1， 1) 在M的作用下得到点( 1， 5) ，求矩M M =b1的特征．【解】由意，1a11，即1a，11b151b，5解得 a 2 ， b 4 ，所以矩 M =12⋯⋯5分1．4矩 M 的特征多式 f (122．) 5 6 14令 f ( )0，得 1 2 ， 23 ，所以 M 的特征 2和3．⋯⋯10分C ． [ 修 4- 4：坐 系与参数方程 ] （本小 分 10 分）在极坐 系中，已知 C 的 心在极 上，且 极点和点π ，求 C 的极坐(3 2，)4方程．【解】方法一：因 心C 在极 上且 极点，所以 C 的极坐 方程=acos ，⋯⋯4分π 在 C 上，又因 点 (3 2，)4所以3 π，解得a 6 ．2= a cos 4所以 C 的极坐 方程=6cos ．⋯⋯10分π 方法二：点(3 2 ， ) 的直角坐 (3 ，3) ，4因 C 点 (0 ，0) ， (3 ，3) ，所以 心 C 在直 x y 30 上．又 心 C 在极 上，所以 C 的直角坐 方程( x 3)2 y 29 ．⋯⋯6分 所以 C 的极坐 方程 =6cos ． ⋯⋯ 10分D ． [ 修 4 5：不等式 ] （本小 分10 分）-已知 a ， b ，c ， d 是正 数，且 abcd1，求 ： a 5 b 5 c 5d 5 ≥ a b c d ．【 】因 a ， b ， c ， d 是正 数，且abcd 1，所以 a 5 b c d ≥ 4 4 a 5 bcd 4a ． ①⋯⋯ 4 分同理 b 5c da ≥ 4b ， ②c 5d a b ≥ 4c ， ③ d 5a bc ≥ 4d ，④将①②③④式相加并整理，即得5555b cd ． ⋯⋯ 10 分a b c d ≥ a 【必做 】第22、 23 ，每小 10 分，共 20 分． 在答 卡指定区域内作答，解答．．．．．．．写出文字明、明程或演算步．22．（本小分 10 分）如，在四棱S ABCD 中，SD平面，四形ABCD是直角梯形，ABCDADCDAB 90， SD AD AB 2，DC 1．S（1）求二面角 S BC A 的余弦；（2） P 是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面 SAD所成角的正弦2 26 ，求段E13CP 的．D CAPB （第 22 题）【解】（1）以D坐原点，建立如所示空直角坐系 D xyz，zD (0 ，0，0) ， B(2 ，2，0) ， C (0 ，1，0) ， S(0 ，0，2) ，Suur uuur uuur(0 ，0 ，2) ．所以 SB(2，2， 2) ， SC(0 ，1， 2) ， DS平面 SBC的法向量n1( x，y，z)，Euur uuur由 n1 SB0 ， n1SC 0，得 2x 2 y 2 z0 且 y 2 z 0 ．D取 z 1 ，得 x1，y 2，A x所以 n1( 1，2 ，1)是平面 SBC的一个法向量．因SD 平面，取平面的一个法向量n2(0，0 ，1)．ABC ABC二面角 S BC A的大小，所以 cosn1n21 | n1|| n 2|6由可知二面角S BC A二面角，CyPB ⋯⋯ 2 分6，6所以二面角S BC A的余弦 6 ．⋯⋯5分6 uuur(2 ，1，0)uuur(1， 1 ，1) ．（2）由（ 1）知 E (1，0，1) ， CB， CEuuur uuur uuur(2 ，1，0)(2，，0)，CP CB（0≤≤1），CPuuur uuur uuur(12，1，1) ．所以 PE CE CP易知 CDuuur(0 ，1，0) 是平面SAD的一个法向量．平面 SAD ，所以CDPE 与平面 SAD 所成的角，uuur uuur uuur uuur所以 sinPE CD1cos PE ，CD，⋯⋯8分uuur uuur5 22PE CD3即51226 ，得 1 或11 （舍）．2231339所以uuur21uuur5，CP(，，，CP333所以段 CP 的 5 ．⋯⋯10分323．（本小分10 分）已知函数f0(x)cxax db（ a0 ， acbd0 ）． f n ( x) f n 1 (x) 的数，n N *．（1）求 f 1( x) ， f 2 ( x) ；（2）猜想 f n ( x) 的表达式，并明你的．【解】（1） f1 (x) f 0( x)cx d bc ad2，ax b(ax b)f2 ( x) f1 ( x)cb ad 2 a(bc ad)．⋯⋯ 2分(ax b)2(ax b)3（2）猜想 f n ( x)(1)n1a n 1(bc ad )n!， n N*．⋯⋯ 4分(ax b) n1明：①当 n1，由（ 1）知正确，② 假当n k ，k N*正确，即有 f k ( x)(1)k 1a k 1(bc ad)k! ．(ax b)k1当 n k1，f k 1 (x) f k( x)(1)k 1a k1(bc ad )k!( ax b) k1(1)k1a k 1(bc ad )k!(ax b) (k 1)(1)k a k(bc ad )(k1)!．(ax b) k 2所以当 n k1成立．由①②得，一切n N *正确．⋯⋯10分。

数学备用题第Ⅰ卷（共60分） 第Ⅱ卷（共90分）一、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1.如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为 ．2.已知实数,x y 满足22024010x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且(1)20k x y k --+-≥恒成立，则实数k 的最小值是 ．3.函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<在R 上的部分图象如图所示，则(2018)f 的值为 ．4.已知数列{}n a 的首项12a =，且*111()22n n a a n N +=+∈，则数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前10项的和为 ． 5.甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A （单位/kg ）维生素B （单位/kg ）甲 3 5乙4 2分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素的含量分别不低于单位，则混合物重量的最小值为kg ．6.在ABC ∆中，5,4,AB AC ==且12AB AC ⋅=，设P 是平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 ．7.如图，在平面四边形ABCD 中，,E G 分别为线段AD 的两个三等分点，,F H 分别为线段BC 的两个三等分点，且4,3,11EF GH EF GH ==⋅=，则AB DC ⋅的值为 ．8.已知函数()()y f x x R =∈满足()2(1)f x f x =-+，当[)0,1x ∈时，2()f x x =，若函数4()log (1)(0)y af x x a =-+>恰有个4零点，则a 的取值范围是 ．9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为直线:40l kx y -+=上一点，点,M N 在圆22:(1)4C x y -+=上运动，且满足2MN =，若OM NP =，则实数k 的取值范围是 ． 10.在斜ABC ∆中，若11tan 0tan tan C A B++=，则tan C 的最大值是 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11.如图，已知圆O 的方程为224x y +=，过点(0,1)P 的直线l 与圆O 交于点,A B ，与x 轴交于点Q ，设,QA PA QB uPB λ==，求证：u λ+为定值.12. 秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用y （元）与使用年数n 的关系为：*(2,n )y kn b n N =+≥∈且，已知第二年付费1800元，第五年付费6000元．（1）试求出该农机户用于维修保养的费用()f n （元）与使用年数*()n n N ∈的函数关系； （2）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用） 13.如图，某机械厂欲从2AB =米，22AD =米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点,E F 分别在边,BC AD 上，且EB EF =，AF AE <.设BEF θ∠=，四边形ABEF 的面积为()f θ（单位：平方米）.（1）求()f θ关于θ的函数关系式，求出定义域；（2）当,BE AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值.14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m ，（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；（2）在（1）的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为(2,0)-，设B M N 、、是椭圆上的三点，且3455OB OM ON =+，求：以线段MN 的中心为原点，过,A F 两点的圆方程.15. 已知函数215()ln 24f x ax ax x a =-++，其中a R ∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，求12()()f x f x +的取值范围； （3）若不等式()4af x ax ≥-对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 16. 已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 是非常数的实数列，设{}*,k k A k a b k N ==∈.（1）请举出一对数列{}n a 与{}n b ，使集合A 中有三个元素； （2）问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论；三、解答题17. 已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积. （1）求概率(3)P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．18. 从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集中，等可能地取出m 个． （1）若1m =，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；（2）若2m =，记所取子集的元素个数之差为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ． 19. 如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中,11,3,4,AB AC AB AC B C AC ⊥==⊥． （1）求1AA 的长．（2）若1BP =，求二面角1P A C A --的余弦值．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,)(0)T t t <到抛物线22(0)y px p =>焦点的距离为2． （1）求,p t 的值；（2） 设,A B 是抛物线上异于T 的两个不同点，过A 作y 轴的垂线，与直线TB 交于点C ，过B 作y 轴的垂线，与直线TA 交于点D ，过T 作y 轴的垂线，与直线,AB CD 分别交于点,E F ． 求证：①直线CD 的斜率为定值；②T 是线段EF 的中点．试卷答案一、填空题1.655 2.4 3.2 4.1023 5.30 6.658- 7. 5 8.4416log 6a <≤ 9.612k ≤-或612k ≥+ 10.22 二、填空题11.证明：当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合， 从而2λ=，23u =，83u λ+=. 当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在.设直线AB 的方程为1y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则1,0Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭. 由题设，得112211,x x x ux k k λ+=+=，即12111,1u x k x k λ=+=+. 所以12121211112x x u x k kx kx x λ++=+++=+ 将1y kx =+代入224x y +=，得22(1)230k x kx ++-=， 则0∆>，12221k x x k +=-+，12231x x k=-+， 所以222812331k k u k k λ-++=+=⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭综上，u λ+为定值83. 说明①本题亦可设点坐标求解；②若将圆换成椭圆，其他题设不变，解题方法类似.12.解：（1）依题意，当2n =，1800y =；5n =，6000y =，即1800260005k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得14001000k b =⎧⎨=-⎩所以*0,1()14001000,2n f n n n n Nπ=⎧=⎨-≥∈⎩且 （2）记使用n 年，年均收益为W （元），则依题意，2n ≥，[]1600001376001400(23...)1000(1)W n n n=-++++-- 1(1)(n 2)6000013760014001000(1)2n n n -+⎡⎤=-+⨯--⎢⎥⎣⎦211372006000013760070030060300(700)n n n n n ⎡⎤=-+-=-+⎣⎦ 13720060000270040700n n≤-⋅= 当且仅当137200700n n=，即14n =时取等号. 所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大. 13.解：（1）过点F 作FM BE ⊥，垂足为M . 在Rt FME ∆中,2,,2MF EMF FEM πθ=∠=∠=所以22,ME sin tan EF θθ==故22sin tan AF BM EF EM θθ==-=-所以1()(AF )2f BE AB θ=+⨯122242()22sin tan sin sin tan θθθθθ=⨯-+⨯=-据题意，AF BE <，所以2πθ<且当点E 重合于点C 时，22,2,4EF EB FM πθ====所以函数42()sin tan f θθθ=-的定义域为,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）由（1）可知，22224(sin cos )42222()sin tan 2sincos2tan2221tan 2f θθθθθθθθθ+=-=--11112tan tan 3tan 23tan 232222tan tan tan tan 2222θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+--=+≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当13tan2tan2θθ=时，不等号取等号又,,,42284ππθππθ⎡⎫⎡⎫∈∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 故3tan,,23263θθππθ=== 2432223,AF sin 3sin tan 3BE θθθ===-= 答：当,BE AF 的长度分别为433米，233米时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，最小值为23平方米.14.解：（1）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即22,2,12a a a cc a c a c c c c a-≥+≥+≥+ 2112,210e e e e≥++-≤ 102e <≤（2）当12e =且A(2,0)-时，F(1,0)，故2,1a c ==所以3b =椭圆方程是：22143x y += 设1122(,)(,)M x y N x y 、，则222211221,14343x y x y +=+= 由3455OB OM ON =+，得12123434(,)5555B x x y y ++ 因为B 是椭圆C 上一点，所以2212123434()()5555143x x y y +++=即222222112212123434()()()()2()14354355543x y x y x x y y ++++⋅⋅+= 1212043x x y y +=① 因为圆过,A F 两点，所以线段MN 的中点的坐标为121(,)22y y +- 又()2222212121212121111()23131224444y y y y y y x x y y +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦② 由①和②得222121212111()3131324442y y x x x x +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2123131212()(2)444416x x ⎡⎤=-+=⋅-=⎢⎥⎣⎦所以圆心坐标为121(,)24-± 故所求圆方程为2212157(x )(y )2416++±= 15.解：（1）当1a =时，215()ln 24f x x x x =-++，故3(1)4f =. 且1'()1f x x x=-+，故'(1)0f = 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为304y -= （2）由215()ln 24f x ax ax x a =-++，0x >可得211'()ax ax f x ax a x x -+=-+=因为函数()f x 存在两个极值点12,x x ，所以12,x x 是方程'()0f x =的两个正根， 即210ax ax -+=的两个正根为12,x x所以2121240110a a x x x x a ⎧⎪∆=->⎪+=⎨⎪⎪=>⎩，即1212411a x x x x a ⎧⎪>⎪+=⎨⎪⎪=⎩所以22121112221515()()ln ln 2424f x f x ax ax x a ax ax x a +=-+++-++ ()()212121212152()ln 2ln 122a x x x x a x x x x a a a =+--+++=-- 令()2ln 1,4g a a a a =-->，故1'()20g a a=->，()g a 在(4,)+∞上单调递增，所以()(4)7ln 4g a g >=-故12()()f x f x +得取值范围是(7ln 4,)-+∞ （3）据题意，()4af x ax ≥-对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立， 即22ln 430x ax ax a +-+≥对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立.令2()2ln 43,1h x x ax ax a x =+-+>，则2221'()242ax ax h x ax a x x-+=+-=⋅①若0a =，当1x >时，()2ln 0h x x =>，故0a =符合题意； ②若0a >，（i ）若2440a a -≤，即01a <≤，则'()0h x >，()h x 在(1,)+∞上单调赠 所以当1x >时，()h(1)0h x >=，故01a <≤符合题意；（ii ）若2440a a ->，即1a >，令'()0h x =，得2111a ax a-=-<（舍去）， 2211a ax a-=+>，当2(1,)x x ∈时，'()0h x <，()h x 在2(1,)x 上单调减；当2(,)x x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 在2(,)x +∞上单调递增， 所以存在21x x =>，使得2()h(1)0h x <=，与题意矛盾，所以1a >不符题意.③若0a <，令'()0h x =，得2011111a a x a a-=-=+->当0(1,)x x ∈时，'()0h x >，()h x 在0(1,)x 上单调增；当0(,)x x ∈+∞时，'()0h x <，()h x 在0(,)x +∞上单调减.首先证明：024x a-> 要证：024x a->，即要证：2241a a a a -->-，只要证：223a a a ->-因为0a <，所以2222(23)()81140a a a a a ---=-+>，故223a a a ->- 所以024x a-> 其次证明，当0a <时，3ln 2x x a <-对任意的(1,)x ∈+∞都成立 令3()ln ,12t x x x a x =-+>，则1'()10t x x =-<，故()t x 在(1,)+∞上单调递增，所以3()(1)102t x t a <=-<，则3ln 02x x a -+<所以当0a <时，3ln 2x x a <-对任意的(1,)x ∈+∞都成立所以当24x a >-时，223()2ln 432()432h x x ax ax a x a ax ax a =+-+<-+-+即2()40h x ax x a ⎡⎤⎛⎫<--< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，与题意矛盾，故0a <不符题意， 综上所述，实数a 的取值范围是[]0,116.解：（1）68,(2)nn n a n b =-=-，则{}112244,,,1,2,4a b a b a b A ====（2）不妨设(0),n n n a a bn b b pq =+≠=，由nn n n a ba b a bn pq n q p p=⇔+=⇒+= 令,,(0)a bs t t p p==≠，原问题转化为n 关于的方程 0n q tn s --=①最多有多少个解.下面我们证明：当0q >时，方程①最多有2个解：0q <时，方程①最多有3个解 当0q >时，考虑函数()xf x q tx s =--，则'()ln xf x q q t =- 如果ln 0t q <，则()f x 为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果ln 0t q >，且不妨设由'()0f x =得'()f x 由唯一零点0log ln xtx q=，于是当0x x >时， '()f x 恒大于0或恒小于0，当0x x <时，'()f x 恒小于0或恒大于0这样()f x 在区间0(0,)x 与0(,)x +∞上是单调函数，故方程①最多有2个解 当0q <时，如果0t > 如果n 为奇数，则方程①变为0nq tn s ++=显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程① 如果n 为偶数，则方程①变为0nq tn s --=，由0q >的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个这样，最多有3个正数满足方程①对于0t <，同理可以证明，方程①最多有3个解. 综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个. 再由（1）可知集合A 中的元素个数最多有3个.三、解答题17.解（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有3735C =种取法，其中3X =的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个 因此3766(=3)35P X C ===. （2）由题意，X 的可能取值为3,2,6,23,33 其中3X =的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，，如PAD ∆（3个），PAB ∆（6个），共有9个；其中6X =的三角形如PBD ∆，这类三角形共有6个；其中23X =的三角形如CDF ∆，这类三角形共有12个； 其中33X =的三角形如BDF ∆，这类三角形共有2个； 因此69(=3),(=2)3535P X P X ====6122(=6),(=23),(=33)353535P X P X P X ======所以随机变量的概率分布列为：X326 23 33()P X635 935635 1235 235所求数学期望6961223636618()3262333353535353535E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 18.解：（1）当1m =时，记事件A ：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”. 则集合{}1,2,3,4,5的非空子集数为52131-=，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为3217-=，全为偶数的子集数为2213-=， 所以31(73)21()3131P A -+==（2）当2m =时，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4则11112222222223111022(0)46593C C C CC C C C P C ξ+++==== 122334455555555523120541(1)46593C C C C C C C C P C ξ+++==== 13243555555523111022(2)46593C C C C C C P C ξ++==== 14255555231357(3)46593C C C C P C ξ+==== 155523151(4)46593C C P C ξ====所以ξ的数学期望4122411110()12349393939393E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19.解：（1）分别1,,AB AC AA 以所在直线为,,x y z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系1A BCA -， 设1AA t =，则1(0,0,0),(0,4,)A C t1(3,0,),(0,4,0)B t C所以11(0,4,),(3,4,),AC t BC t ==--， 因为11B C AC ⊥，所以110AC BC ⋅=， 即2160t -=，解得4t = 所以1AA 的长为4.（2）因为1BP =，所以(3,0,1)P ， 又1(0,4,0),(0,0,4)C A ，故11(0,4,4),(3,0,3)AC A P =-=- 设(,,)n x y z =为平面1PA C 的法向量，则11n A Cn A P⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即440330y z x z -=⎧⎨-=⎩取1z =，解得1,1y x ==∴(1,1,1)n =为平面1PA C 的一个法向量， 显然，(3,0,0)AB =为平面1A CA 的一个法向量 则33cos 33111n AB n AB n AB⋅⋅==++⋅据图可知，二面角1P A C A --大小的余弦值为20.解：（1）由抛物线定义知，122p+= 所以2p =，将点(1,t)(t 0)T <代入抛物线得24y x =，2t =（2）设221212(,),(,)44y y A y B y①则直线TA 的方程为：12122(1)14y y x y ++=-- 令2y y =得，22(2)(2)14y y x +-=+，所以222(2)(2)(1,)4y y D y +-+同理111(2)(2)(1,)4y y D y +-+所以直线CD 的斜率为21212112121(2)(2)(2)(2)4()444y y y y y y y y y y --==-+-+---（定值）②设点,E F 的横坐标分别为,E F x x由①知，直线CD 的方程为：121(2)(2)14y y y y x +--=-++令2y =-得，121(2)(2)214F y y x y +-=+++ 又直线AB 的方程为：11124()y y x x y y -=-+令2y =-得，1121(2)()4E y y y x x ++=-所以1121211(2)()(2)(2)214422E Fy y y y y x y x x +++--+++++=2111122112214228422448x y y y y y y y y y y ----++++--+=211488x y -+=1=所以T 是线段EF 的中点.21。

2017-2018学年江苏省南通市高考数学模拟试卷（十）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于．2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是．5．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．6．：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假，则实数a的取值范围是．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是．8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．10．若曲线：y=a x+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=．11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=．12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为．13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是．14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．（1）求椭圆C方程；（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．20．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3•2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．（Ⅰ）写出矩阵M、N；（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．解答题25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X 的分布列与数学期望EX．26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为a n，x2的系数为b n，其中n∈N*．（1）求a n；（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b n=（1+）（1+）对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（十）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于{1，3，4} ．【考点】补集及其运算．【分析】首先求出A∩B，然后对其进行补集运算．【解答】解：由已知，A∩B={2}，所以∁U（A∩B）={1，3，4}；故答案为：{1，3，4}．2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=．【考点】复数求模．【分析】利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（2+bi）（2﹣i）=4+b+（2b﹣2）i为纯虚数，∴，解得b=﹣4．则|1+bi|=|1﹣4i|==．故答案为：．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为100．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60）元的频率，计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7，∴支出在[50，60）元的频率为1﹣0.7=0.3，∴n的值=；故答案100．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是5．【考点】循环结构．【分析】根据所给的循环结构知第一个输出的数字是1，第二个输出的数字是1+2=3，第三个输出的数字是3+2=5．【解答】解：由题意知第一个输出的数字是1第二个输出的数字是1+2=3第三个输出的数字是3+2=5故答案为：55．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，由此利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学中至少有1名男同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，基本事件总数n==10，选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．6．：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假，则实数a的取值范围是[﹣16，0] ．【考点】的真假判断与应用．【分析】将条件转化为x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，从而解出实数a的取值范围．【解答】解：：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假，即x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，即：a2+16a≤0，解得﹣16≤a≤0，故实数a的取值范围为[﹣16，0]．故答案为：[﹣16，0]．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是y=2sin（x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图可知，A=2，由点（0，1）在函数的图象上，可得sinφ=，利用五点作图法可解得φ，又点（﹣，0）在函数的图象上，可得﹣ω+=kπ，k∈Z，进而解得ω，从而得解该函数的解析式．【解答】解：∵由图知A=2，y=2sin（ωx+φ），∵点（0，1），在函数的图象上，∴2sinφ=1，解得：sinφ=，∴利用五点作图法可得：φ=，∵点（﹣，0），在函数的图象上，可得：2sin（﹣ω+）=0，∴可得：﹣ω+=kπ，k∈Z，解得：ω=﹣，k∈Z，∵ω＞0，∴当k=0时，ω=，∴y=2sin（x+）．故答案为：y=2sin（x+）．8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．【考点】简单线性规划；平面向量的基本定理及其意义．【分析】因为是正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系：以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出，所以设P（x，y），所以根据已知条件可得：（x，y）=（2β，α），所以可用x，y表示α，β，并得到，这样求的最大值即可．而x，y的取值范围便是△BCD上及其内部，所以可想着用线性规划的知识求解．所以设z=，y=，所以z表示直线在y轴上的截距，要求α+β的最大值，只需求截距z的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过B点时截距最大，所以将B点坐标带入直线方程，即可得到z的最大值，即α+β的最大值．【解答】解：分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所实施平面直角坐标系；则：，设P（x，y），；∴（x，y）=α（0，1）+β（2，0）=（2β，α）；∴；∴；设z=，则：y=，所以z是直线y=在y轴上的截距；由图形可以看出，当该直线经过B（1，1）点时，它在y轴的截距z最大，最大为；∴α+β的最大值是．故答案为：．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F平行且等于BD，所以=，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，所以V1=×BB1，而V2=×BB1，所以=．故答案为：．10．若曲线：y=a x+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= e2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的方程，即可解得a．【解答】解：y=a x+1的导数为y′=a x lna，即有曲线在点（0，2）处的切线斜率为k=lna，由于切线与直线x+2y+1=0垂直，则lna•（﹣）=﹣1，解得a=e2，故答案为：e2．11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=．【考点】基本不等式．【分析】由2xy≤x2+y2可得5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2），从而可求s的最大值，由x2+y2≥﹣2xy及5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5可得xy的范围，进而可求s的最小值，代入可求【解答】解：∵4x2﹣5xy+4y2=5，∴5xy=4x2+4y2﹣5，又∵2xy≤x2+y2∴5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2）设S=x2+y2，4s﹣5≤s∴s即∵x2+y2≥﹣2xy∴5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5∴xy∴﹣xy∴S=x2+y2≥﹣2xy∴∴+==故答案为：12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为[，+∞）∪{}．【考点】分段函数的应用．【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t2，讨论t＜1，及t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式或方程即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t2，若t＜1时，由f（t）=2t2得3t﹣1=2t2，即2t2﹣3t+1=0，得t=1（舍）或t=，当t≥1时，2t2=2t2成立，即t≥1或t=，若a＜1，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；此时≤a＜1，由f（a）=得3a﹣1=得a=，满足条件，若a≥1，由f（a）≥1，即2a2≥1，∵a≥1，∴此时不等式2a2≥1恒成立，由f（a）=得2a2=得a=±，不满足条件，综上≤a＜1或a≥1．即a≥．综上可得a的范围是a≥或a=．故答案为：[，+∞）∪{}13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是（0，）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】设C（x0，2﹣2x0），得线段OC的中点坐标，则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，即可确定点C的横坐标的取值范围．【解答】解：设C（x0，2﹣2x0），则线段OC的中点坐标是D（x0，1﹣x0），则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，（x0）2+（1﹣x0）2＜1，解得0＜x0＜．故答案为：（0，）．14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为{}．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先假设数列的项，利用三项依次成公比为q的等比数列，建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此，即可求得结论．【解答】解：设a1，a1+d，a1+2d，a1+88，其中a1，d均为正偶数，则∵后三项依次成公比为q的等比数列∴，整理得，所以（d﹣22）（3d﹣88）＜0，即，则d可能为24，26，28，当d=24时，a1=12，；当d=26时，（舍去）；当d=28时，a1=168，；所以q的所有可能值构成的集合为．故答案为二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．【解答】解：（1）∵，从而．又∵，∴．…利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…==．…16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．【考点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】（1）欲证DE∥平面ABC，根据线面平行的判定定理可知，证线线平行，取AB中点G，连DG，CG，只需证DE∥GC即可；（2）欲证平面AEF⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知，证AF⊥平面BCC1B1即可，然后再根据体积公式求出三棱锥A﹣BCB1的体积．【解答】解：（I）取AB中点G，连DG，CG在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴BCC1B1是矩形．∵D，E分别为AB1，CC1的中点，∴，∴是平行四边形，∴DE∥GC．∵GC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．（II）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴AF⊥CC1∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC又BC∩CC1=C∴AF⊥平面BCC1B1，又AF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCC1B1AF⊥平面BCC1B1，在由已知，RT△ABC中，AB=AC=2，∴BC=2，∴17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S△CEF=，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【解答】解：（1）由题意，△ACE中，AC=4，∠A=，CE=，∴13=16+AE2﹣2×，∴AE=1或3；（2）由题意，∠ACE=α∈[0，]，∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF=﹣α．在△ACF中，由正弦定理得，∴CF=；在△ACE中，由正弦定理得，∴CE=，该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，S△CEF==，∵α∈[0，]，∴0≤sin（2α+）≤1，∴α=时，S△CEF取最大值为4，该空地产生最大经济价值．18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．（1）求椭圆C方程；（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，可得=1，又e==，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（k≠0）．联立，（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：x．解得，．可得：|EF|2=4（+）．同理可得：x D，y D．|OD|2．设△DEF的面积=S．可得S2=，化简利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，∴=1，又e==，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c=．∴椭圆C的方程为=1．（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：x．（k≠0）．联立，解得=，=．∴|EF|2=4（+）=．同理可得：x D=，y D=．|OD|2=．设△DEF的面积=S．∴S2==××==f（k），令1+k2=t＞1，则f（k）==≥，当且仅当t=8，k=﹣时取等号．∴△DEF的面积存在最小值．此时D．19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．20．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3•2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n 的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．【考点】数列的应用．【分析】（1）运用M类数列定义判断，（2）{a n}是“M类数列”，得出a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，求解a n+1+a n+2，a n+1a n+2的式子，结合定义判断即可（3）整体运用a n+a n+1=3.2n（n∈N*），分类得出：当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，化简即可得出S n，再运用反证法证明即可．【解答】解：（1）因为a n+1=a n+2，p=1，q=2是“M类数列”，b n+1=2b n，p=2，q=0是“M类数列”．（2）因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1+a n+2=p（a n+1+a n+2）+2q，因此，{a n+a n+1}是“M类数列”．因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1a n+2=p2（a n a n+1）+pq（a n+a n+1）+q2，当q=0时，是“M类数列”；当q≠0时，不是“M类数列”；（3）当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，当n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，所以S n=．=2n+1﹣2﹣（2n﹣3）=2n+1，当n为偶数时a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣3﹣（2n﹣2）=2n﹣1（n≥3），当n为奇数时，a n=S n﹣S n﹣1所以a n=假设{a n}是“M类数列”，当n为偶数时，a n+1=2n+1﹣1=pa n+q=p（2n+1）+qp=2，q=﹣3，当n为奇数时，a n+1=2n+1+1=pa n+q=p（2n﹣1）+q，p=2，q=3，得出矛盾，所以{a n}不是“M类数列”．选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（2）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】（1）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D．又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E．∴AD∥EC．（2）解：如图，∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，PA=AC﹣PC=6，即62=PB•（PB+9），∴PB=3．在⊙O2中，PA•PC=BP•PE．∴PE=4．∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，且DE=DB+BP+PE=9+3+4=16，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．（Ⅰ）写出矩阵M、N；（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】（Ⅰ）通过变换的特征即得结论；（Ⅱ）由（I）得，通过题意可得，利用x′=y′计算即可．【解答】解：（Ⅰ）通过题意，易得M=，N=；（Ⅱ）由（I）得，由=，得，由题意得x′=y′得3x=﹣2y，∴直线l的方程为3x+2y=0．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．解答题25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X 的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i，则，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P （A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i（i=0，1，2，3，4），则，（i=0，1，2，3，4），这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率=．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4）==，P（X=3）=P（A1）+P（A3）=+=，P（X=4）=P（A2）==，X∴EX==．26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为a n，x2的系数为b n，其中n∈N*．（1）求a n；（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b n=（1+）（1+）对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．【考点】数学归纳法．【分析】（1）根据多项式乘法运算法则，可得a n=++…+，利用等比数列的求和公式，可得结论；（2）先计算b2，b3的值，代入b n=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1，再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）根据多项式乘法运算法则，得a n=++…+=1﹣．…（2）计算得b2=，b3=．代入b n=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1．…下面用数学归纳法证明b n=（1﹣）（1﹣）=﹣+×（n≥2）：①当n=2时，b2=，结论成立．②设n=k时成立，即b k=﹣+×．则当n=k+1时，b k+1=b k+=﹣+×+﹣=﹣+×．由①②可得结论成立．…2016年7月29日。

百校联盟2017-2018学年江苏省高考最后一卷（押题卷）(第一模拟)一、填空题：共14题1．已知集合A={x|<0},B={x|y=lg(a-x)},若A∪B=B,则实数a的取值范围是 .【答案】[2,+∞)【解析】本题主要考查了不等式的解法及集合的运算.解题的突破口是正确解分式不等式得集合A,利用对数函数的真数大于0得集合B,再利用并集的性质求解.由题意可得A=(-∞,2),B=(-∞,a),A∪B=B⇔A⊆B,所以a≥2.2．已知一组数据x1,x2,x3,x4的平均数是3,方差是1,数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,3x4+1的平均数为a,方差为b,则a+b= .【答案】19【解析】本题主要考查了平均数、方差等简单的统计知识.解题的突破口是熟悉数据kx i+m,i=1,2,…,n与数据x i,i=1,2,…,n的平均数、方差之间的关系.由题意可得数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,3x4+1的平均数a=3×3+1=10,方差b=9,则a+b=19.3．已知复数z满足z+|z|=8+4i,其中i为虚数单位,则z的共轭复数的虚部是 .【答案】-4【解析】本题主要考查了复数的概念、运算.解题的突破口是利用复数的运算法则正确化简复数,再结合共轭复数、虚部等概念求解.设z=a+b i(a,b∈R),则由题意可得a+b i+=8+4i,则,解得,即z=3+4i,z的共轭复数=3-4i,虚部是-4.4．执行如图所示的算法流程图,则输出的S= .【答案】35【解析】本题主要考查了流程图.解题的突破口是读懂流程图.该流程图执行了4次循环体,输出的S=1+10+9+8+7=35.5．已知两张卡片的正反两个面上分别写有数字1,2和3,4,将这两张卡片排成一排,使其朝上的两个数字构成两位数,则该两位数的个位数字与十位数字相差1的概率是 .【答案】【解析】本题主要考查了古典概型.解题的突破口是正确计算基本事件的个数,利用古典概型的概率计算公式求解.由题意可得这样的两位数有13、31、14、41、23、32、24、42,共有8个,其中个位数字与十位数字相差1的两位数有23和32,共有2个,故所求概率为.6．已知两共线向量a=(2,1),b=(1-y,x)(x>0,y>0),则+的最小值为 .【答案】8【解析】本题主要考查了向量共线以及基本不等式的应用.解题的思路是正确运用向量共线计算得x和y的关系后,利用“1”的代换,结合基本不等式求解.通解由a∥b可得2x=1-y,即2x+y=1,所以+=(+)(2x+y)=4++≥4+2=8,当且仅当x=,y=时取等号,故+的最小值为8.优解由a ∥b可得2x=1-y,即2x+y=1≥2,所以0<xy≤,+≥2≥2=8,当且仅当2x=y=时取等号,故+的最小值为8.7．已知α∈(-π,-),sin(-α)=,则tan 2α= .【答案】【解析】本题主要考查了三角恒等变换.解题的突破口是正确应用三角公式求解.从本题的求解过程可见,易错点是诱导公式、二倍角公式应用错误,导致结果错误,诱导公式口诀是“奇变偶不变,符号看象限”.由sin(-α)=-cosα=得cosα=-,又α∈(-π,-),所以sinα=-,tanα=,则tan 2α=.8．已知函数f(x)=a ln x-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,则函数f(x)在[1,e]上的最大值为 . 【答案】【解析】本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数最值中的应用.先根据函数图象的切线求出函数的解析式,再利用导数研究函数的单调性,进而可得函数的最值.由题意知,f'(x)=-2bx,因为函数f(x)=a ln x-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,所以,解得,即函数f(x)=ln x-.又当x∈[1,e]时,f'(x)=-x≤0,所以函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最大值为f(1)=.9．已知正数x,y满足,则z=4-x·()y的最小值为 .【答案】【解析】本题主要考查了指数的运算以及不等式组表示的平面区域.解题的突破口是正确化简目标函数,结合图形求解.本题的易错点是审题不认真导致区域错误,注意线性规划中目标函数的几何意义的应用.点(x,y)对应的平面区域是以点(0,0)、(0,)和(1,2)为顶点的三角形区域(不包含y轴上的点),平移直线2x+y=0,可知当经过点(1,2)时取得最大值4,此时z=4-x·()y=()2x+y取得最小值.10．如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,且PD=2,底面是边长为2的菱形,M是CD的中点,平面PMB⊥平面PCD,则该四棱锥的体积为 .【解析】本题主要考查了空间直线与平面的位置关系、空间几何体的体积.解题的突破口是利用面面垂直的性质定理求解底面积.过点D在平面PCD内作DN⊥PM于点N,又平面PMB⊥平面PCD,平面PMB∩平面PCD=PM,所以DN⊥平面PMB,所以DN⊥BM.又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥BM,又PD与DN是平面PDC内的两条相交直线,所以BM⊥平面PDC,则BM⊥CD.又点M是CD的中点,BC=CD,所以∠BCD=60°,所以底面菱形ABCD的面积为2×2×sin 60°=2,故该四棱锥的体积为×2×2=.11．已知过点P(m,1)的直线与圆C:x2+y2-4x-6y+8=0相交于点A、B,且|AB|=2的直线只有一条,则该直线的方程为 .【答案】y=1【解析】本题主要考查了直线与圆的位置关系.解题的突破口是正确应用圆的几何性质对问题进行等价转化.本题的难点是对条件“|AB|=2的直线只有一条”正确转化.圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=5,又|AB|=2的直线只有一条,所以该直线与直线CP垂直,|CP|2+1=5,解得|CP|=2,则(m-2)2+4=4,解得m=2,即P(2,1),直线CP:x=2,所以直线AB的方程为y=1.12．已知等比数列{a n}的前4项和为5,且4a1,a2,a2成等差数列,若b n=,则数列{b n b n+1}的前10项和为 .【解析】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和.解题的思路是先正确求解数列{a n},{b n}的通项公式,再利用裂项相消法求和.由4a1,a2,a2成等差数列可得4a1+a2=3a2,则2a1=a2,则等比数列{a n}的公比q==2,则{a n}的前4项和为=5,解得a1=,所以a n=×2n-1,b n=,则b n b n+1=-,其前10项和为(1-)+(-)+…+(-)=.13．如图,已知点P在以F1,F2为焦点的双曲线-=1(a>0,b>0)上,过P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形F1F2PQ为菱形,则该双曲线的离心率为 .【答案】【解析】本题主要考查了双曲线的几何性质.解题的突破口是结合菱形的性质建立基本量的关系.由题意知四边形F1F2PQ的边长为2c,连接QF2,由对称性可知,|QF2|=|QF1|=2c,则三角形QPF2为等边三角形.过点P作PH⊥x轴于点H,则∠PF2H=60°,因为|PF2|=2c,所以在直角三角形PF2H中,|PH|=c,|HF2|=c,则P(2c,c),连接PF1,则|PF1|=2c.由双曲线的定义知,2a=|PF1|-|PF2|=2c-2c=2(-1)c,所以双曲线的离心率为.14．若函数f(x)=,函数g(x)=xf(x)-a,x∈(-∞,7]有7个零点,则实数a的取值范围是 .【答案】(,1)【解析】本题主要考查了函数与方程.解题的突破口是正确画出函数f(x)的图象,并将函数零点的个数转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合思想求解.由题意知当x=0是g(x)的零点时,a=0,此时f(x)需在(-∞,0)∪(0,7]上有6个零点,易知不满足,故当x≠0时,函数g(x)=xf(x)-a,x∈(-∞,7]有7个零点,即函数y=f(x),y=,x∈(-∞,7]的图象有7个交点,由图象可得当a≤0时不成立,则a>0.易知y=f(x),y=,x∈(0,7]有6个交点,则,解得<a<1.二、解答题：共12题15．已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sin C(1+cos 2C)-sin 3C=(1-cos C).(1)求角C的大小;(2)若A≠,c=2,且c+b cos A-a cos B=4a cos A,求△ABC的面积.【答案】(1)由2sin C(1+cos 2C)-sin 3C=(1-cos C)可得4sin C cos2C-sin(2C+C)=(1-cos C),2sin 2C cos C-sin 2C cos C-cos 2C sin C=(1-cos C),sin 2C cos C-cos 2C sin C=sin C=(1-cos C),则sin C+cos C=2sin(C+)=,又C为三角形的内角,所以C=.(2)由c+b cos A-a cos B=4a cos A和正弦定理可得sin C+sin B cos A-sin A cos B=4sin A cos A,又sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B,所以2cos A sin B=4sin A cos A,则cos A=0或sin B=2sin A,所以A=(舍去)或b=2a.由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,得4=a2+4a2-2a2,a=,b=,此时△ABC的面积为ab sin C=.【解析】本题考查三角恒等变换、解三角形等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)根据三角公式化简求值;(2)利用正、余弦定理与三角形的面积公式求解,注意解题过程要等价,避免漏解.【备注】三角恒等变换与解三角形的结合是高考考查三角函数的主要方向之一.解决这类问题的核心是灵活应用三角公式、正弦定理、余弦定理,在涉及等式、不等式的基本性质时,一定要正确应用,避免遗漏.16．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AB=2BB1=2,M,N分别是AC1,A1B1的中点.求证:(1)MN∥平面BCC1B1;(2)平面C1MN⊥平面BMN.【答案】(1)如图,连接A1C,B1C,由题意可得点M是A1C的中点,又点N是A1B1的中点,所以MN是△A1B1C的一条中位线,则MN∥B1C.又B1C⊂平面BCC1B1,MN⊄平面BCC1B1,所以MN∥平面BCC1B1.(2)由题意可得C1N=,连接AN,则AN=BN=2,AC1=,所以C1N2+AN2=A,则C1N⊥AN.又M是AC1的中点,则MN=AC1=.取AC的中点P,连接MP,BP,则MP=,BP=,所以MB2=MP2+BP2=+5=,则BN2+MN2=BM2,所以BN⊥MN.又由BN2+AN2=AB2得BN⊥AN,MN和AN是平面C1MN内的两条相交直线,所以BN⊥平面C1MN.又BN⊂平面BMN,所以平面C1MN⊥平面BMN.【解析】本题考查空间直线、平面垂直、平行的判定等基础知识,考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.(1)利用线面平行的判定定理证明;(2)利用面面垂直的判定定理证明.【备注】近几年立体几何解答题一般有两个小问,题型是证明题,证明线线、线面、面面平行或垂直,线线、线面、面面平行、垂直的判定定理、性质定理或其他常用结论是工具.如果稍微难一点,则经常涉及点的位置的确定,比单纯的证明题要求要高一点,但一般点的位置相对都比较特殊.17．如图,已知山村B在山村A的正东方向16 km处,当地政府为了帮助A、B两村的村民脱贫致富,在A、B两村种植同一种特色作物,并在A、B连线的北面某处建造一收购站P,专门收购两村的特色作物,P到A、B两村的距离与A、B两村的年产量成反比,且比例系数相同.在A村的正北方向25 km处有一个货运中转站Q,为了将新鲜作物快速运出,在P、Q之间铺设公路.预计A村产量为30吨/年,B村产量为50吨/年.(1)根据需要,要使△PAB的面积最大,确定收购站P的位置,并求出△PAB面积的最大值;(2)为了节约资金,要使|PQ|最短,确定收购站P的位置,并求出|PQ|的最小值.【答案】以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AQ所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(16,0),设P(x,y),则由题意可得,x2+y2=[(x-16)2+y2],化简得(x-25)2+y2=225(y>0),即点P的轨迹是以C(25,0)为圆心、15为半径且位于x轴上方的半圆.(1)要使△PAB的面积最大,则点P到直线AB的距离最大,故面积的最大值为×16×15=120(km2),此时点P在A村正东方向25 km,且距离直线AB为15 km处.(2)要使|PQ|最短,则点P是线段CQ与半圆的交点,所以|PQ|min=|QC|-15=25-15(km),此时,解得x=25-,y=,即点P在A村正东方向(25-) km,且距离直线AB为 km处.【解析】本题考查数学知识在解决实际问题中的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)建立适当的坐标系,利用直接法求解点P所在的曲线方程,结合圆的几何性质求解;(2)利用圆的几何性质求解.【备注】应用题是应用所学数学知识解决实际问题,体现了数学的工具性,能够集中考查考生的阅读能力、分析问题和解决问题的能力,受到专家的高度关注,近年来已经成为必考题型之一.解题的关键是在新的背景下建立相应的数学模型,常见数学模型主要有函数与导数模型、三角模型、不等式模型等,在复习时要特别注意这几点.18．已知点(,0)是椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点,过点M(1,0)作两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于点A,B和C,D,且|AM|的最小值为.(1)求椭圆E的方程;(2)求·的取值范围.【答案】(1)设A(x1,y1),则|AM|2=(x1-1)2+=(x1-1)2+b2-=(1-)-2x1+1+b2=-2x1+1+b2,x1∈[-a,a].当<a≤3时,x1=时,|AM|取得最小值,则×()2-+a2-2=,得a=2,适合题意;当a>3时,x1=a时,|AM|取得最小值,则×a2-2a+a2-2=,a2-2a+=0,解得a=,均不适合题意,舍去.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)当直线AB与CD中有一条垂直于x轴时,不妨设A(1,),B(1,-),C(-2,0),D(2,0),此时·=(-3,-)·(-1,-)=3+.当直线AB与CD均不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k(k≠0),则直线AB的方程为y=k(x-1), 与椭圆+y2=1联立得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以·=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)[x1x2-(x1+x2)+1]=(1+ k2)(-+1)=.同理可得·.所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=-·-·+=,令1+k2=t,则t>1,·,令=u,则u∈(0,1),4+-=4+9u-9u2∈(4,],∈[,).综上可知,·的取值范围为[,].【解析】本题考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)利用两点间的距离公式,结合二次函数的最值求解椭圆的基本量,得椭圆的标准方程;(2)联立直线与椭圆方程,利用根与系数的关系、向量数量积的坐标运算、向量的线性运算建立目标函数,借助不等式求解取值范围,注意讨论直线的斜率是否存在.【备注】直线与椭圆的位置关系问题以运算能力的考查为主,一般是先利用椭圆的几何性质求解基本量,得其标准方程,再将直线与椭圆方程联立,利用根与系数的关系建立目标函数或者不等式,结合导数、不等式等求解.19．已知函数f(x)=a(x-1)e x-e x,a,b∈R,且a>0.(1)当a=2,b=1时,求函数f(x)的极值;(2)若存在x>1,使得f(x)+f'(x)=0成立,求的取值范围.【答案】(1)当a=2,b=1时,f(x)=(2x-4-)e x,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以f'(x)=e x=e x,令f'(x)=0,得x1=1,x2=-,x3=,列表如下:由表知f(x)的极大值是f()=-4,f(x)的极小值是f(-)=-4和f(1)=-3e.(2)因为f(x)=(ax--2a)e x,所以f'(x)=(+ax--a)e x.由f(x)+f'(x)=0,得(ax--2a)e x+(+ax--a)e x=0,整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.存在x>1,使得f(x)+f'(x)=0成立等价于存在x>1,使得2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立.因为a>0,所以.设u(x)=,则u'(x)=.因为x>1时,u'(x)>0恒成立,所以u(x)在(1,+∞)上是增函数,所以u(x)>u(1)=-1,所以>-1,即的取值范围为(-1,+∞).【解析】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值.(1)运用导数求极值点时,首先要注意函数的定义域,然后求导,在定义域内通过比较f'(x)与0的大小,判断函数的单调性,进而求极值;(2)构造新函数,利用导数研究函数的单调性,进而求解的取值范围.【备注】(1)应用导数求函数的单调区间时,一定要在定义域内解不等式,不能脱离定义域而直接解不等式;(2)对于非常数函数f(x),若在区间D上递增,则f'(x)≥0在区间D上恒成立,若在区间D上递减,则f'(x)≤0在区间D上恒成立,并且能够应用这种等价转化的方法求参数的取值范围,注意其中的等号不能少;(3)f'(x0)=0是可导函数y=f(x)在x=x0处取到极值点的必要不充分条件,所以在求极值点时必须判断x=x0左右两侧的导函数的符号是否相反,一般通过列表直观地反映这一符号规律.20．已知数列{a n}满足-a1+a2-a3+…+(-1)n·a n=(-1)n·n,n∈N*.(1)求a1,a2,a3;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)当k>7且k∈N*时,证明:对任意的n∈N*都有+++…+成立.【答案】(1)当n=1时,-a1=-1,则a1=1;当n=2时,-a1+a2=2,则a2=3;当n=3时,-a1+a2-a3=-3,则a3=5.(2)由题意得,-a1+a2-a3+…+(-1)n a n=(-1)n·n,-a1+a2-a3+…+(-1)n-1a n-1=(-1)n-1·(n-1),n≥2,两式相减得,(-1)n a n=(-1)n·n-(-1)n-1(n-1)=(-1)n(2n-1),故当n≥2时,a n=2n-1,又a1=1符合上式,所以a n=2n-1(n∈N*).(3)令b n==n,S=+++…+,则S=+++…++++…+,所以2S=(+)+(+)+(+)+…+(+)(*),当x>0,y>0时,x+y≥2,+≥2,所以(x+y)(+)≥4,所以+≥,当且仅当x=y时等号成立.上述(*)式中,k>7,n>0,n+1,n+2,…,nk-1全为正,所以2S>+++…+ ,所以S>=2(1-)>2(1-)=,得证.【解析】本题考查数列的通项公式与前n项和的关系以及基本不等式等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)利用已知等式,对n赋值求解;(2)利用数列的通项公式与前n 项和的关系求解;(3)利用倒序相加法和基本不等式求解.【备注】数列解答题一般有2到3个小问,题型一般是考查等差数列、等比数列等特殊数列的通项公式、求和或者与之有关的问题;也可能将数列与函数、不等式等知识综合起来考查.考生在备考时要注意这几个点,并且熟练掌握相关公式和解题的通性通法.21．如图,点B在圆O上,且CA与圆O相切于点A,BC交圆O于点E,∠ACB的平分线CD与线段AB,AE分别相交于点D,F,.求的值.【答案】由题意可得∠CAF=∠CBD,∠ACF=∠BCD,所以△ACF∽△BCD,则∠AFC=∠BDC,且,则∠AFD=∠ADF,所以AF=AD,所以=,则CF=FD,即=1.【解析】本题考查弦切角定理、相似三角形的判定与性质等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力以及推理论证能力.22．已知矩阵A=满足A,求矩阵A的逆矩阵.【答案】由得,解得,则A=.设矩阵A的逆矩阵A-1=,则AA-1=,所以,解得,故矩阵A的逆矩阵为 .【解析】本题考查矩阵的乘法、矩阵的逆矩阵等基础知识.利用矩阵的乘法法则得方程组求得矩阵A,再利用待定系数法和逆矩阵的定义以及矩阵相等的概念建立方程组求解A-1.23．在直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知点M的极坐标为(4,),点N在曲线C:(α为参数)上,求|MN|的最小值.【答案】点M的直角坐标为(4cos,4sin),即(4,4).曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=2,圆心(1,0)到点M的距离为=5,所以|MN|的最小值为5-.【解析】本题考查直角坐标与极坐标的互化以及两点间距离公式的应用等知识,极坐标与直角坐标的互化公式为:ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ.24．已知正实数x1,x2,x3,…,x n满足x1+x2+x3+…+x n=1,求证:+++…+≥.【答案】由柯西不等式得(+++…+)·[(2x1+1)+(2x2+1)+(2x3+1)+…+(2x n+1)]≥n2,当且仅当2x1+1=2x2+1=…=2x n+1时等号成立,又(2x1+1)+(2x2+1)+(2x3+1)+…+(2x n+1)=2+n,所以+++…+≥.【解析】本题考查柯西不等式的应用.观察所证不等式左边的特征,结合柯西不等式证明.25．在微信群中抢红包已成为一种娱乐,甲、乙两人经常在微信群中寻找红包.(1)若甲在A微信群中发现某位“微友”发放的4个红包(每次发放1个),其中1元的红包2个、2元和3元的红包各1个,若该微信群中恰有三人同时抢红包,且不限制每人抢红包的个数,求甲抢得红包的总钱数为4元的概率;(2)若A、B两个微信群中同时发放红包,已知A群中发了3个红包(每次发放1个),其中1元的红包2个,3元的红包1个;B群发了2元与4元的红包各1个(每次发放1个),据统计乙在A、B两个群中抢得红包的概率如下表所示:若乙不能同时在A、B两个微信群中抢红包,则他应该选择哪一个微信群?试说明你的理由.【答案】(1)若不限制抢红包的个数,则三人抢红包不同的结果有34=81种,记“甲抢得红包的总钱数为4元”为事件A,则该事件包含“甲抢得1元红包1个和3元红包1个”、“甲抢得1元红包2个,2元红包1个”这两个互斥事件.其中“甲抢得1元红包1个和3元红包1个”的不同结果有22=8种;“甲抢得1元红包2个,2元红包1个”的不同结果有×2=2种.所以事件A发生的概率P(A)=.(2)设乙在A微信群中抢得红包的钱数为X,则X=0,1,2,3,4,5.P(X=0)=×(1-)2×(1-)=;P(X=1)=×(1-)×(1-)=;P(X=2)=×()2×(1-)=;P(X=3)=×(1-)2×;P(X=4)=×(1-)×;P(X=5)=×()2×.所以X的分布列为故X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×.设乙在B微信群中抢得红包的钱数为Y,则Y=0,2,4,6.P(Y=0)=(1-)×(1-)=;P(Y=2)=×(1-)=;P(Y=4)=(1-)×;P(Y=6)=.所以Y的分布列为故Y的数学期望EY=0×+2×+4×+6×.显然EX<EY,所以乙应选择在B微信群中抢红包.【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、期望等,考查考生基本的逻辑推理与计算能力、或然与必然的思想等.(1)首先利用排列组合的知识求出所求事件与对应基本事件空间所包含的基本事件个数,然后代入古典概型的概率计算公式求解即可;(2)分别求出乙在两个群中抢红包金额的分布列,并求出其数学期望,进行比较,即可得到相应的结论.【备注】离散型随机变量的分布列的求解,一定要明确每个变量的取值对应的事件发生的过程,这样才能判断事件的性质,进而选用相应的概率模型求其概率.26．已知数列{a n}满足+n2a n-1=0(n∈N*),且数列{a n}的前n项和为S n.(1)求证:0<a n<1;(2)求证:S n>.【答案】(1)令f(x)=x3+n2x-1(n∈N*),则a n是函数f(x)的零点.因为f'(x)=3x2+n2>0(n∈N*),所以函数f(x)在R上递增,又f(0)=-1<0,f(1)=n2>0,由零点存在性定理可得f(x)的唯一零点在区间(0,1)上,所以0<a n<1. (2)由(1)可得0<a n<1,则<a n,即1-n2a n=<a n,则a n>,所以S n>++…+.下面用数学归纳法证明++…+≥.当n=1时,,结论成立.假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即++…+≥,则当n=k+1时,++…++≥+,所以只需证明+≥,即证≥-,即证≥,上式显然成立,所以++…+≥成立,故S n>成立.【解析】本题考查数列与函数、数学归纳法等基础知识,考查函数的零点存在性定理的应用以及推理论证能力.(1)利用零点存在性定理证明;(2)利用数学归纳法证明.【备注】近几年江苏附加题的最后一题都是这类对思维能力要求较高的试题,一般第(2)问难度较大,需要考生有较强的逻辑推理能力和良好的思维习惯.。

南通市2017届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 为虚数单位）．若(43i)i z =+，则ab 的值是 ▲ ．【答案】12-2． 已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ▲ ．【答案】{|02}x x <<3． 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ▲ ． 【答案】564． 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】35． 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 ▲ ． 【答案】75006． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ． 【答案】1107． 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221x y a-=（0a >）经过抛物线28y x =的焦点，则 该双曲线的离心率是 ▲ ．9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．（第4题）【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上 的动点，则AC EF ⋅u u u r u u u r的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点， 则PBPA的最大值是 ▲ ． 【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】3(2)2-， 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα+-=，(0π)α∈，，求角α的值．【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分（第12题）（第16题）ABCDP M N因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A ，所以1A =，所以()π()sin 3fx x =+． …… 6分（2）由π()()12f αα+-=，得()()πππsin 1332αα+++-=， …… 8分 即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AP =AD ，M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点．求证：（1）MN ∥平面PAB ； （2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ． …… 10分又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分 因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，（第17题）所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(1)2，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分方法二：由题意，知24a =，所以2a =． …… 2分 又1c =，222a b c =+，所以b =，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k+++-=，所以12x x ==，所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+， 所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++． 因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k-+，， 所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分 因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分 所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=， 所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分 所以AB 的垂直平分线方程为00004()3y y y x x x -=-．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)4x D ，，所以014x FD =+． …… 10分同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，， 所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分 令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+- 22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=- 128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分 同方法一，有121()42AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，O AC B DlEF Qx yDE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算1503()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤， （1）用t 表示线段EF 的长；（2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以OF 所在 直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系xOy ． （1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， …… 1分 设直线EF 的方程为1()2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 21|1|211tk k -=+，解得244t k t =-． …… 3分代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)4t t +，． …… 5分 所以211()1424t t tEF t t =+-++，即14EF t t=+（02t <<）． …… 7分 ODl E（第18题）方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ． 因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分 所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以14t EF t=+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())4355(2t t t y t t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减． 所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分② 当123t <<时，2111632)2()4(1228t t t t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++， 所以22334(1)(331)16241t t t t t t y '=+-+--=， …… 13分因为123t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>， 所以y 在1(1)3，上单调递减；在(12)，上单调递增． 所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）． OC（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()2n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分 因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分 因为m p r ，，成等差数列， 所以1()2p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分 所以11311||()()22q α=≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为131()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，，此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ．例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ． （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调．【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分 所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分 （2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当12a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增． 若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=， 所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=， 所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=， 即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos ln h x ax x x x =+-（0x >），① 若0a >，注意到ln x x <，则1122ln x x <，即ln x <． …… 12分当2x >时，()2sin 1ln 22h x ax x x ax '=--->-0=>．所以2m ∃=，函数()h x 在()m +∞，上单调递增．…… 14分 ② 若0a ≤，当x >1时，()2sin 1ln sin 1ln h x ax x x x x '=---<---<0．所以1m ∃=，函数()h x 在(+)m ∞，上单调递减，综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间(0)+∞，上广义单调． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ， 分别交AB 于点E ，F ． 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅． 【证】连结PA ，PB ，CD ，BC ．因为∠PAB =∠PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以∠PAB =∠PBA ，所以∠PCB =∠PBA ． …… 4分 又∠DCB =∠DPB ，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆．所以PE PC PF PD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M 的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，， 解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分 矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-．（第21-A 题）令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点π(32)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分 又因为点π(32)4，在圆C 上， 所以π32=cos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 方法二：点π(32)4，的直角坐标为(33)，， 因为圆C 过点(00)，，(33)，， 所以圆心C 在直线为30x y +-=上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd 1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥． 【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd 1，所以45544a b c d a bcd a +++=≥． ① …… 4分 同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应D ACBSPE （第22题）写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =．（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，所以(222)SB =-u u r ，，，(012)SC =-u u u r ，，，(00DS =u u u r，设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ， 由10SB ⋅=u u r n ，10SC ⋅=u u u rn ，得2220x y z +-=且20y z -=． 取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分 因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ． 设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A --…… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB =u u u r ，，，(111)CE =-u u u r，，． 设CP CB λ=u u u r u u u r（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ==u u u r ，，，，， 所以(1211)PE CE CP λλ=-=---u u u r u u u r u u u r，，． 易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =u u u r，，是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos PE CD PE CD PE CD α⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，， …… 8分=，得13λ=或119λ=（舍）． 所以21(0)33CP =u u u r ，，，CP u u u r ， 所以线段CP． …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分 （2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分 证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。

2017-2018学年江苏省南通市高考数学模拟试卷（三）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B=________．2．某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有________人．3．已知i是虚数单位，且复数z1=2+bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b=________．4．根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值x=________．5．已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率是________．6．已知||=2，||=3，，的夹角为120°，则|+2|=________．7．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则f（lgx）＜0的解集为________．8．设α为锐角，若cos（α+）=，则cos（2α﹣）=________．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．则当四棱锥P﹣ABCD的体积等于2时，则PC=________．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（4，3）引圆C：x2+（y﹣m）2=m2+1（0＜m＜4）的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点________．11．已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．若p﹣q=10，则a p﹣a q=________．12．若曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=________．13．已知▱ABCD的面积为2，P是边AD上任意一点，则|PB|2+|PC|2的最小值为________．14．设函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，22015]内的所有零点的和为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin（A+）=2cosA．（1）若cosC=，求证：2a﹣3c=0；（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB的值．16．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=．已知PB=PC．（1）若N为PA的中点，求证：DN∥平面PBC；（2）若M为BC的中点，求证：MN⊥BC．17．某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园，为达到社会和经济效益双丰收，园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形ABCD作为绿化区域，其余作为市民活动区域，其中△ABD区域种植花木后出售，△BCD区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍，若BC=6km，AD=CD=4km．（1）若BD=2km，求绿化区域的面积；（2）设∠BCD=θ，当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大．18．已知A，B是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左，右顶点，F为其右焦点，在直线x=4上任取一点P（点P不在x轴上），连结PA，PF，PB．若半焦距c=1，且2k PF=k PA+k PB （1）求椭圆C的方程；（2）若直线PF交椭圆于M，N，记△AMB、△ANB的面积分别为S1、S2，求的取值范围．19．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=．（1）当a=1时，求f（x）的单调增区间；（2）若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求实数a的取值范围；②求证：（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．20．已知数列{a n}是等比数列．（1）设a1=1，a4=8．①若++…+=M（++…+），n∈N*，求实数M的值；②若在与中插入k个数b1，b2，…，b k，使，b1，b2，…，b k，，成等差数列，求这k个数的和S k；（2）若一个数列{c n}的所有项都是另一个数列{d n}中的项，则称{c n}是{d n}的子数列，已知数列{b n}是公差不为0的等差数列，b1=a1，b2=a2，b m=a3，其中m是某个正整数，且m≥3，求证：数列{a n}是{b n}的子数列．选做题.[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．如图，△BCD内接于⊙O，过B作⊙O的切线AB，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，且DB⊥BE．求证：DB=DC．[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，3）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣4，y+2），求M2．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．若点P的坐标为（3，），求PA+PB的值．[选修4-5：不等式选讲]24．若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）=（a﹣1）+（b﹣1）的最大值．解答题25．如图，一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．若AC=BC=BE=2，（1）BE边上是否存在一点M，使得AD和CM的夹角为60°？（2）求锐二面角O﹣CE﹣B的余弦值．26．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，且当n≥2时，2（S n﹣S n）=（n+1）（﹣1++…+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：当n≥2时，4a n an≤．2017-2018学年江苏省南通市高考数学模拟试卷（三）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x＜1}．【考点】交集及其运算．【分析】由集合A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜1}，故答案为：{x|﹣1≤x＜1}2．某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有600人．【考点】概率的意义．【分析】根据在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.19，先求出高二女生的人数，问题得以解决．【解答】解：∵在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.19，∴则高二女生人数为0.19×2000=380人，则高三人数为2000﹣650﹣370﹣380=600人，故答案为：600．3．已知i是虚数单位，且复数z1=2+bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b=﹣4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得实数b的值．【解答】解：∵z1=2+bi，z2=1﹣2i，∴=，又是实数，∴4+b=0，即b=﹣4．故答案为：﹣4．4．根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值x=﹣1．【考点】伪代码．【分析】算法的功能是求f（x）=的值，根据输出的值为1，分别求出当x≤0时和当x＞0时的x值．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≤0时，2x+1=1⇒x=﹣1；当x＞0时，y=x+3=1⇒x无解．综上x的值为：﹣1．故答案为：﹣1．5．已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出满足条件的m，n的可能取值，由此能求出直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率．【解答】解：∵m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，随机选取m，n，∴基本事件总数n=3×2=6，∵直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点，∴k=﹣＜0，或m=0，n=﹣2，∴m，n的可能取值为（0，﹣2），（﹣1，﹣2），（1，2），∴直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率是：P==．故答案为：．6．已知||=2，||=3，，的夹角为120°，则|+2|=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先将向量的模平方，利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的运算法则展开，求出值，再将值开方即可．【解答】解：|+2|2=||2+4||2+4•═||2+4||2+4||•||cos120°=4+4×9+4×2×3×（﹣）=28，∴|+2|=2，故答案为：27．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则f（lgx）＜0的解集为（10，100）．【考点】其他不等式的解法．【分析】由已知利用补集思想求出一元二次不等式f（x）＜0的解集（1，2），然后由1＜lgx ＜2求解x的取值集合即可得到答案【解答】解：由一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），得f（x）＜0的解集为（1，2），∴lg10=1＜lgx＜2=lg100，∴10＜x＜100，故f（lgx）＜0的解集为（10，100），故答案为：（10，100）8．设α为锐角，若cos（α+）=，则cos（2α﹣）=．【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．【分析】由cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]，分别根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出答案．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），α﹣∈（﹣，）∵cos（α+）=，∴sin（α+）=，∴cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin（﹣α）=，∴sin（α﹣）=﹣，∴cos（α﹣）=，∴cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]=cos（α+）cos（α﹣）﹣sin（α+）sin（α﹣）=×﹣×（﹣）=，故答案为：9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．则当四棱锥P﹣ABCD的体积等于2时，则PC=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据菱形的性质求出底面积和AC，根据棱锥的体积计算PA，利用勾股定理计算PC．【解答】解：∵底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．=2S△ABD=2×=2．AC=∴S菱形ABCD=2∵PA⊥平面ABCD，==2×PA=2，∴V P﹣ABCD∴PA=3．∴PC==．故答案为：．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（4，3）引圆C：x2+（y﹣m）2=m2+1（0＜m＜4）的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（，﹣3）．【考点】圆的切线方程．【分析】求出切线长，写出以点P为圆心，切线长为半径的圆的方程，两圆方程相减，得出直线AB的方程，从而求出直线AB所过定点．【解答】解：平面直角坐标系xOy中，过点P（4，3）引圆C：x2+（y﹣m）2=m2+1（0＜m ＜4）的两条切线，则切线长为=，∴以点P为圆心，切线长为半径的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=42+（3﹣m）2﹣（m2+1），∴直线AB的方程为[x2+（y﹣m）2]﹣[（x﹣4）2+（y﹣3）2]=（m2+1）﹣[16+（3﹣m）2﹣（m2+1）]，整理得（4x+3y﹣1）﹣m（y+3）=0，令，解得，∴直线AB过定点（，﹣3）．故答案为：（，﹣3）．11．已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．若p﹣q=10，则a p﹣a q=15．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列公差为d，由题意知d＞0，由a3，a4+，a11成等比数列列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得a p﹣a q．【解答】解：设等差数列公差为d，由题意知d＞0，∵a3，a4+，a11成等比数列，∴（a4+）2=a3a11，∴=（1+2d）（1+10d），即44d2﹣36d﹣45=0，解得d=或d=﹣（舍去），∵p﹣q=10，则a p﹣a q=（p﹣q）d=10×．故答案为：15．12．若曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导数，然后求出公共点的斜率，利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出a的值．【解答】解：曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=，曲线y=x2的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．由曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，可得，并且t=，∴，解得lns=，∴s2=e．则a=1，∴=．故答案为：．13．已知▱ABCD的面积为2，P是边AD上任意一点，则|PB|2+|PC|2的最小值为4．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】不妨设ABCD是矩形，BC=2，AB=1，设P（x，1）（0≤x≤2），|PB|2+|PC|2=x2+1+（x﹣2）2+1=2（x﹣1）2+4，即可求出|PB|2+|PC|2的最小值【解答】解：不妨设ABCD是矩形，BC=2，AB=1，则设P（x，1）（0≤x≤2），|PB|2+|PC|2=x2+1+（x﹣2）2+1=2（x﹣1）2+4，∴x=1时，|PB|2+|PC|2的最小值为4，故答案为：4．14．设函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，22015]内的所有零点的和为•．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．【解答】解：当1≤x≤时，f（x）=8x﹣8，所以g（x）=8（x﹣）2﹣8，此时当x=时，g（x）max=0；当＜x≤2时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知f（x）=f（）=…=f（），因为1≤≤，所以g（x）=（x﹣2n﹣2）2﹣8，此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0；当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，g（x）=﹣（x﹣2n﹣1）2+8＜0．由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为x n=3•2n﹣2，因此，所有这些零点的和为．则当n=2015时，所有这些零点的和为•．故答案为：•二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin（A+）=2cosA．（1）若cosC=，求证：2a﹣3c=0；（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB的值．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）化简sin（A+）=2cosA可得tanA=，又A为三角形内角．可求sinA的值，又cosC=，C为三角形内角，可求sinC的值，由正弦定理可得：a=sinA•2R，c=sinC•2R，代入等式右边即可证明．（2）由B∈（0，），可求cosB=，由cos（A﹣B）=，利用同角三角函数关系式化简即可求值．【解答】解：（1）证明：∵sin（A+）=2cosA⇒sinA+cosA=2cosA⇒sinA=cosA⇒tanA=，A为三角形内角．⇒A=，sinA=又∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∵由正弦定理可得：a=sinA•2R，c=sinC•2R∴2a﹣3c=2R×﹣3×=2﹣2=0．从而得证．（2）∵B∈（0，），∴A﹣B=﹣B∈（0，），∵sin2（A﹣B）+cos2（A﹣B）=1，cos（A﹣B）=，∴sin（A﹣B）=，则sinB=sin[A﹣（A﹣B）]=sinAcos（A﹣B）﹣cosAsin（A﹣B）=﹣=．16．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=．已知PB=PC．（1）若N为PA的中点，求证：DN∥平面PBC；（2）若M为BC的中点，求证：MN⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取PB的中点G，连接NG，CG，经C点作CM∥AD，交AB与点M，利用已知可证：NG AB DC，从而得证四边形DCGN是平行四边形，得证DN∥CG，从而证明DN∥平面PBC．（2）由（1）可求BC，BM，AM，由勾股定理可得AM⊥BC，又PB=PC，M为BC的中点，可证PM⊥BC，通过证明BC⊥平面PAM，即可得证BC⊥MN．【解答】证明：（1）取PB的中点G，连接NG，CG，∵N为PA的中点，∴NG AB，再，经C点作CM∥AD，交AB与点M，∵ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=，∴BM===1，AB=2，∴NG AB DC，即四边形DCGN是平行四边形，∴DN∥CG，∵DN⊄平面PBC，CG⊂平面PBC，∴DN∥平面PBC．（2）由（1）可得：BC=2，∵M为BC的中点，可得：BM=1，∴利用余弦定理可得：AM2=22+12﹣2×2×1×cos60°=3，∴AM2+BM2=3+1=4=AB2，由勾股定理可得AM⊥BC，又∵PB=PC，M为BC的中点，∴PM⊥BC，∴由AM∩PM=M，可得BC⊥平面PAM，又MN⊂平面PAM，∴BC⊥MN．17．某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园，为达到社会和经济效益双丰收，园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形ABCD作为绿化区域，其余作为市民活动区域，其中△ABD区域种植花木后出售，△BCD区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍，若BC=6km，AD=CD=4km．（1）若BD=2km，求绿化区域的面积；（2）设∠BCD=θ，当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大．【考点】解三角形．【分析】（1）若BD=2km，可得C，进而求出AB，即可求绿化区域的面积；（2）设∠BCD=θ，求出园林公司的总销售金额，利用导数可得结论．【解答】解：（1）△BCD中，cosC==，∴C=60°，∴A=120°，∴28=AB2+16﹣2AB•4•（﹣），∴AB=2，∴绿化区域的面积S=+=8；（2）设AB=x，则x2+16﹣2x•4•cos=36+16﹣2×6×4×cosθ，∴（x﹣6+8cosθ）（x+6）=0，∴x=6﹣8cosθ（cosθ＜），∴园林公司的总销售金额y=a•sinθ+3a•（6﹣8cosθ）•4sin=48a（sinθ﹣sinθcosθ）．∴y′=﹣48a（cosθ﹣1）（2cosθ+1）∵cosθ＜，∴cosθ=﹣，θ=120°时，函数取得最大值36a．18．已知A，B是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左，右顶点，F为其右焦点，在直线x=4上任取一点P（点P不在x轴上），连结PA，PF，PB．若半焦距c=1，且2k PF=k PA+k PB （1）求椭圆C的方程；（2）若直线PF交椭圆于M，N，记△AMB、△ANB的面积分别为S1、S2，求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（4，t），（t≠0），A（﹣a，0），B（a，0），F（c，0）．利用斜率计算公式及其2k PF=k PA+k PB，c=1，a2=b2+c2，解出即可得出椭圆的标准方程．（2）设直线PF的方程为：my+1=x，M（x1，y1），N（x2，y2）．（m≠0）．直线方程与椭圆，不妨取：y1=，方程联立化为：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，解得y1，2y2=，可得==，令m=tanθ，θ∈∪．即可得出．【解答】解：（1）设P（4，t），（t≠0），A（﹣a，0），B（a，0），F（c，0）．∴k PA=，k PF=，k PB=，∵2k PF=k PA+k PB，∴2×=+，t≠0，化为：a2=4c，又c=1，a2=b2+c2，联立解得c=1，a=2，b2=3．∴椭圆C的方程为：=1．（2）设直线PF的方程为：my+1=x，M（x1，y1），N（x2，y2）．（m≠0）．联立，化为：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，==，解得y1，2不妨取：y1=，y2=，则==，令m=tanθ，θ∈∪．∴==﹣1∈∪（1，3）．19．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=．（1）当a=1时，求f（x）的单调增区间；（2）若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求实数a的取值范围；②求证：（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）把a=1代入函数解析式，求导后得到其单调区间，注意到函数的定义域．（2）①先分离参数得到，令h（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使h（x）恰有三个零点的实数a的范围可求．②由a==，再令，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着的图象可得到=1【解答】（1）当a=1时，＞0（x＞0），∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．（2）①令=0，分离参数得，令h（x）=，由h′（x）===0，得x=1或x=e．列表知，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．而当x→0，h（x）→+∞，当x→+∞，h（x）→1，又h（1）=1，h（e）=；结合函数的单调性可得，实数a的取值范围为（1，）．②由①可知，0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a==，令，则a=，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于，则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，不妨设μ1＜μ2，则，∴====[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=120．已知数列{a n}是等比数列．（1）设a1=1，a4=8．①若++…+=M （++…+），n ∈N *，求实数M 的值；②若在与中插入k 个数b 1，b 2，…，b k ，使，b 1，b 2，…，b k ，，成等差数列，求这k 个数的和S k ；（2）若一个数列{c n }的所有项都是另一个数列{d n }中的项，则称{c n }是{d n }的子数列，已知数列{b n }是公差不为0的等差数列，b 1=a 1，b 2=a 2，b m =a 3，其中m 是某个正整数，且m ≥3，求证：数列{a n }是{b n }的子数列． 【考点】数列的应用．【分析】（1）①由数列{a n }是等比数列a 1=1，a 4=a 1q 3=8，求得q ，求得数列{a n }的通项公式，求得{}是以公比为的等差数列，{}是以公比为的等比数列，根据等比数列前n 项和公式，将原式转化成2[1﹣（）2n ]=M •[1﹣（）n ]，求得M 的值；②根据等差数列的性质得：b 1+b k =+=，即可求得S k ；（2）分别求得{a n }，{b n }的通项公式，根据已知条件，求得m=q +2，求得b k =a 1+a 1（q ﹣1）（k ﹣1），并求得a n =a 1+a 1（q ﹣1）（q n ﹣2+q n ﹣3+…+1），当n ≥3时，k=q n ﹣2+q n ﹣3+…+2，求得a n =b k ，当n=1或2时，a 1=b 1，a 2=b 2，即可证明数列{a n }是{b n }的子数列．【解答】解：（1）∵a 1=1，a 4=a 1q 3=8， ∴q=2， ∴a n =2n ﹣1，①=（）n ﹣1，=[（）n ﹣1]2=（）n ﹣1，∴{}是以公比为的等差数列，{}是以公比为的等比数列，++…+==2[1﹣（）2n ]，∴++…+== [1﹣（）n ]，∴2[1﹣（）2n ]=M •[1﹣（）n ]，解得M=，②根据等差数列的性质得：b 1+b k =+=，S k==，（2）证明：设数列{a n}的公比是q，a n=a1q n﹣1，设数列{b n}是公差是d，则b n=b1+（n﹣1）d，∵b1=a1，b1=a2，b m=a3，，消去d，a1（q2﹣1）=（m﹣1）a1（q﹣1），即m=q+2，∵d≠0，m是某个正整数，且m≥3，∴q∈N，且q≥2，∵d=a1（q﹣1），b k=b1+（k﹣1）d=a1+a1（q﹣1）（k﹣1），∵a n=a1q n﹣1=a1+a1（q n﹣1﹣1），=a1+a1（q﹣1）（q n﹣2+q n﹣3+…+1），∴n≥3时，k=q n﹣2+q n﹣3+…+2，此时a n=b k，n=1或2时，a1=b1，a2=b2，数列{a n}中所有项都是数列{b n}的项，数列{a n}是数列{b n}的数列．选做题.[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．如图，△BCD内接于⊙O，过B作⊙O的切线AB，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，且DB⊥BE．求证：DB=DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接DE，交BC于点G．通过弦切角定理，得∠ABE=∠BCE，然后利用勾股定理可得DB=DC．【解答】证明：如图，连接DE，交BC于点G．由弦切角定理，得∠ABE=∠BCE．…而∠ABE=∠CBE，故∠CBE=∠BCE，所以BE=CE．…又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，所以∠DCE=90°，由勾股定理可得DB=DC．…[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，3）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣4，y+2），求M2．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】利用矩阵变换，求出x，y，再利用矩阵变换，即可求M2．【解答】解：由题意，=，∴，∴x=0，y=﹣10，=，∴M2==．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．若点P的坐标为（3，），求PA+PB的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程代入直角坐标方程，利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．【解答】解：圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，直线l的参数方程为（t为参数），代入上述方程可得：t2﹣3t+4=0，∴t1+t2=3，∴PA+PB=|t1+t2|=3．[选修4-5：不等式选讲]24．若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）=（a﹣1）+（b﹣1）的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的解法．【分析】由题意可得1，2是方程x 2﹣ax +b=0的两根，运用韦达定理可得a=3，b=2，即有f（x ）=2+，运用柯西不等式即可得到所求最大值．【解答】解：关于x 的不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集为（1，2），可得1，2是方程x 2﹣ax +b=0的两根，即有1+2=a ，1×2=b ，解得a=3，b=2，则函数f （x ）=（a ﹣1）+（b ﹣1）=2+，由x ﹣3≥0，4﹣x ≥0可得3≤x ≤4，由柯西不等式可得，（2+）2≤（4+1）（x ﹣3+4﹣x ），即有2+≤．当2=，即为x=∈[3，4]时，f （x ）取得最大值．解答题25．如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ．若AC=BC=BE=2，（1）BE 边上是否存在一点M ，使得AD 和CM 的夹角为60°？（2）求锐二面角O ﹣CE ﹣B 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以CB 为x 轴，CB 为y 轴，CD 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系，求出点的坐标，利用直线之间的夹角转化为向量之间的夹角进行求解即可．（2）设平面BCE 的法向量，平面OCE 的法向量．二面角O ﹣CE ﹣B 是锐二面角，记为θ，利用空间向量的数量积求解cos θ即可．【解答】解：（1）以CB 为x 轴，CA 为y 轴，CD 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系， ∵AC=BC=BE=2，∴CD=BE=2，则C （0，0，0），B （2，0，0），A （0，2，0），O （1，1，0），E （2，0，2）D （0，0，2），设M （2，0，t ），（0≤t ≤2），则=（0，﹣2，2），=（2，0，t ），若AD 和CM 的夹角为60°，|cos ＜，＞|=||=||=||=cos60， 平方得t 2=4，得t=2，即M （2，0，2），即M 位于E 处时，AD 和CM 的夹角为60°．（2）设平面OCE 的法向量=（x 0．y 0．z 0）．则平面BCE 的法向量=（0，1，0），=（2，0，2），=（1，1，0）．∴，则，令x0=﹣1，∴=（﹣1，1，1）．∵二面角O﹣CE﹣B是锐二面角，记为θ，则cosθ=|cos|===．26．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，且当n≥2时，2（S n﹣S n）=（n+1）（﹣1++…+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：当n≥2时，4a n an≤．【考点】数列递推式．）=（n+1）（++…+），令n=2，则2a2=3，（1）当n≥2时，2（S n﹣S n【分析】﹣1解得a2=2．猜想a n=n，可得S n=，利用数学归纳法证明即可得出．（2）要证明：4a n an≤，（n≥2），即证明：4n n≤（n+2）n，即证明≥4，利用二项式定理展开：=+++…，即可证明．）=（n+1）（++…+），【解答】（1）解：当n≥2时，2（S n﹣S n﹣1令n=2，则2a2=3，化为：﹣a2﹣6=0，a2＞0，解得a2=2．猜想a n=n，下面利用数学归纳法给出证明：①n=1，2时成立．②假设n=k时成立，则S k=，可得==2，∴++…+=2++…+=2=，当n≥2时，2（S k+1﹣S k）=（k+2）（++…+）．∴2a k+1=（k+2）×，∴a k+1=k+1，因此n=k+1时也成立．综上可得：∀n∈N*，a n=n成立．（2）证明：要证明：4a n an≤，（n≥2），即证明：4n n≤（n+2）n，即证明≥4，利用二项式定理展开：=+++…≥1+2+≥4，（n≥2）．∴≥4成立，∴4a n an≤，（n≥2）．2017-2018学年9月7日。

2017-2018学年一、填空题1、已知集合}3,2,1{=A ，}6,3,{m B =，}3,2{=B A ，则实数m 的值为 .2、设复数i R b a bi a z ,,(∈+=是虚数单位），若i i z =-)2(，则b a +的值为 .3、下图是一个算法流程图，当输入的x 的值为2-时，则输出的y 的值为.4、用2种不同的颜色给右图中的3个圆随机涂色，每个圆只涂1种颜色，则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为.5、用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1~480，按编号顺序平均分为20个组（1~24号，25~48号，……，457~480号）.若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为 .6、设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-0212y y x y x ，表示的平面区域为D ，),(y x P 是区域D 内任意一点，则yx +3的最大值为 .7、已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为 .8、在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点),2(t P -，且55cos sin =+θθ，则实数t 的值为 .9、已知一元二次不等式0)(>x f 的解集为),2()1,(+∞-∞ ，则不等式0)3(≤xf 的解集为 .10、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆),(1)()(22R b a b y a x ∈=-+-截直线012=-+y x 所得的弦长为554，则ab 的最大值为 . 11、设直线l 是曲线x x y ln 343+=的切线，则直线l 的斜率的最小值为 .12、在平行四边形ABCD 中，已知2=AB ，7=AC ，1=AD .若点Q P ,满足3=，4=，则⋅的值为 .13、在平面直角坐标系xOy 中，已知)sin ,(cos ααA ，)sin ,(cos ββB 是直线23+=x y 上的两点，则)tan(βα+的值为 . 14、已知函数23||)(-+--=a xa x x f 有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为 .二、解答题15、（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，B A >，135cos =C ，53)cos(=-B A . （1）求A 2cos 的值；（2）若15=c ，求a 的值. 16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ACD ∆是正三角形，BD 垂直平分AC ，垂足为M ，120=∠ABC ，1==AB PA ，2=PD ，N 为PD 的中点.（1）求证：⊥AD 平面PAB ； （2）求证：//CN 平面PAB .17、（本小题满分14分）某市2015年新建住房面积为500万2m ，其中安置房面积为200万2m .计划以后每年新建住房面积比上一年增长10%，且安置房面积比上一年增加50万2m .记2015年为第1年. （1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3000万2m ？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由.18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知B A ,分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的上、下顶点，点)21,0(M 为线段AO 的中点，a AB 2=.（1）求椭圆的方程；（2）设)2,(t N （0≠t ），直线NB NA ,分别交椭圆于点Q P ,，直线PQ NB NA ,,的斜率分别为321,,k k k .①求证：Q M P ,,三点共线； ②求证：213231k k k k k k -+为定值.19、（本小题满分16分）已知数列}{n a 的首项为2，前n 项的和为n S ，且142111-=-+n n n S a a （*∈N n ）. （1）求2a 的值； （2）设nn nn a a a b -=+1，求数列}{n b 的通项公式；（3）若),,,(,,r p m N r p m a a a r p m <<∈*成等比数列，试比较2p 与mr 的大小，并证明.20、（本小题满分16分）已知函数ex e x f x -=)(，a ax x g +=2)(，其中e 为自然对数的底数，R a ∈. （1）求证：0)(≥x f ；（2）若存在R x ∈0，使)()(00x g x f =，求a 的取值范围； （3）若对任意的)1,(--∞∈x ，)()(x g x f ≥恒成立，求a 的最小值.21、选做题 A ．【选修4—1：几何证明选讲】 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BD BC =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E .求证：AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线.B.【选修4—2：矩阵与变换】 已知变换T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x y x 2''，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵1-A .C.【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y tx 323（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==my m x 2322（m 为参数）.若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求线段AB 的长.D.【选修4—5：不等式选讲】已知关于x 的不等式02<+-b ax x 的解集为)2,1(，其中R b a ∈,，求函数x b x a x f --+--=4)1(3)1()(的最大值.【必做题】22、（本小题满分10分）已知正六棱锥ABCDEF S -的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积. （1）求概率)3(=X P 的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望)(X E .23、（本小题满分10分）已知m m m y x +=+2)12(，其中m ，m x ，*∈N y m . （1）求证：m y 为奇数；（2）定义：[x ]表示不超过实数x 的最大整数.已知数列}{n a 的通项公式为]2[n a n =.求证：存在}{n a 的无穷子数列}{n b ，使得对任意的正整数n ，均有n b 除以4的余数为1.高三练习卷参考答案一、填空题： 1、2 2、51 3、7- 4、41 5、75 6、6 7、332 8、49、]2log ,0[3 10、21 11、9 12、3619 13、3- 14、}83335,59{+- 二、解答题：15、（1）解：在ABC ∆中，π=++C B A ，所以C B A -=+π，所以135cos )cos()cos(-=-=-=+C C B A π. 因为π<+<B A 0，1)(cos )(sin 22=+++B A B A ，所以1312)135(1)(cos 1)sin(22=--=+-=+B A B A . 因为B A >，所以π<-<B A 0，由53)cos(=-B A ，得54)53(1)(cos 1)sin(22=-=--=-B A B A .所以)sin()sin()cos()cos()]()cos[(2cos B A B A B A B A B A B A A -+--+=-++=656354131253)135(-=⨯-⨯-=. （2）由6563sin 212cos 2-=-=A A ，得6564sin 2=A ，因为π<<A 0，所以658sin =A ， 因为15=c ，由正弦定理CcA a sin sin =得：6521265815sin sin =⨯==C A c a .16、（1）因为BD 垂直平分AC ，所以BC BA =，在ABC ∆中，因为120=∠ABC ，所以30=∠BAC ，因为⊂AP AB ,平面PAB ，A AP AB = ，所以⊥AD 平面PAB . （2）（方法一）取AD 的中点H ，连结CH ，NH因为N 为PD 的中点，所以PA HN //，因为⊂PA 平面PAB ，⊄HN 平面PAB ， 所以//HN 平面PAB .由ACD ∆是正三角形，H 为AD 的中点，所以AD CH ⊥，由（1）知，AD BA ⊥，所以BA CH //，因为⊂BA 平面PAB ，⊄CH 平面PAB ，所以//CH 平面PAB . 因为⊂HN CH ,平面CNH ，H HN CH = ，所以平面//CNH 平面PAB . 因为⊂CN 平面CNH ，所以//CN 平面PAB .（方法二）取PA 的中点S ，过C 作AD CT //交AB 的延长线于T ，连结SN ST ,.因为N 为PD 的中点，所以AD SN //，且AD SN 21=，因为AD CT //，所以SN CT //. 由（1）知，AD AB ⊥，所以AT CT ⊥，在直角CBT ∆中，1=BC ,60=∠CBT ,得23=CT .由（1）知3=AD ，所以AD CT 21=，所以SN CT =.所以四边形SNCT 是平行四边形，所以TS CN //.因为⊂TS 平面PAB ，⊄CN 平面PAB ，所以//CN 平面PAB .17、（1）设n （N n ∈）年内所建安置房面积之和首次不低于3000万2m ，依题意，每年新建安置房是以200为首项，50为公差的等差数列，从而n 年内所建安置房面积之和为2]502)1(200[m n n n ⨯-+，则3000502)1(200≥⨯-+n n n ，整理得012072≥-+n n ，解得8≥n （15-≤n 舍去）. 答：8年内所建住房面积之和首次不低于3000万2m .（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，200为首项，1.1为公比的等比数列，设第m 年所建安置房面积占新建住房面积的比为)(m p ，则111.1103)1.01(500)1(50200)(--⨯+=+⋅-+=m m m m m p ，由)1()(+=m p m p 得，mm m m 1.11041.11031⨯+=⨯+-，解得7=m .答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变.18、解：（1）由题意知，a b b 2)21(42=-=，解得2=a ，1=b ，所以椭圆的方程为1222=+y x . 证：（2）①由)2,(t N ，)1,0(A ，)1,0(-B ，则直线NA 的方程为11+=x ty ，直线NB 的方程为13-=x ty ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=221122y x x t y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=2224222t t y t t x ，故)22,24(222+-+-t t t t P 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=221322y x x t y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=18181812222t ty t t x ，故)1818,1812(222+-+t t t t Q 所以直线PM 的斜率t t t t t t k PM 862421222222-=+--+-=， 直线PM 的斜率t t t t t t k QM 8618122118182222-=+-+-=， 所以QM PM k k =，故Q M P ,,三点共线.②由①知，t t k t k t k 86,31,12321-===，所以21386422213231-=--⨯=-+tt t t k k k k k k ，所以213231k k k k k k -+为定值21-.19、（1）易得3142=a . （2）由142111-=-+n n n S a a ，得14211-=-++n n n n n S a a a a ，所以nn n n n a a a a S -=-++11214① 所以1212214++++-=-n n n n n a a a a S ②，由②-①，得nn n n n n n n n a a aa a a a a a ---=+++++++1112121222，因为01≠+n a ，所以n n n n n n a a a a a a ---=++++11222，所以211121=---+++++nn nn n n a a a a a a ，即11121=---++++nn nn n n a a a a a a ，即11=-+n n b b ，所以数列}{n b 是公差为1的等差数列.因为431211=-=a a ab ，所以数列}{n b 的通项公式为41-=n b n .(3)由（2）知，411-=-+n a a a n n n ，所以143414111-+=+-=+n n n a ann ，所以141)1(41-=-++n a n a n n ，所以数列}14{-n a n是常数列. 由321141=-⨯a ，所以)14(32-=n a n . (方法一)由),,,(,,r p m N r p m a a a r p m <<∈*成等比数列，则14-m ，14-p ，14-r 成等比数列，所以)14)(14()14(2--=-r m p ，所以0)(4168162=++--r m mr p p ，即0)(4242=++--r m mr p p （*）（途径一）（*）式即为mr mr r m mr p p 24)(4242-<+-=-，所以22)212()212(-<-mr p ，即212212-<-mr p ，所以mr p <，即mr p <2.（途径二）（*）式即为14242-+-=r r p p m .由014)(14)14()24(1424222222>--=---+-=-⋅-+-=-r r p r p r r r p p p r r r p p p mr ， 所以mr p <2.（方法二）由),,,(,,r p m N r p m a a a r p m <<∈*成等比数列，则14-m ，14-p ，14-r 成等比数列，记)1(4,4,4γβαγβα<<<===r p m ，则有1,1,1---γβα成等比数列，所以)1)(1()1(2--=-γαβ，即)(22γααγββ+-=-，若αγβ=2，即mr p =2时，则βγα2=+，所以γβα==，矛盾； 若αγβ>2，则0)(22>-=+-αγβγαβ，所以1)(21>+>γαβ，所以0)(41)]([)()2()]([)(222>-=+---+-+>+---γαγααγγαγαγααγββ，矛盾.所以αγβ<2，即mr p <2.20、解：（1）令0)('=-=e e x f x，得1=x ，且当1<x 时，0)('<x f ；当1>x 时，0)('<x f ，所以函数)(x f 在)1,(-∞上单调递减，在),1(+∞上单调递增，所以函数)(x f 在1=x 处取得最小值.因为0)1(=f ，所以0)(≥x f .（2）设a ax ex e x F x ---=2)(，题设等价于函数)(x F 有零点时的a 的取值范围. ①当0≥a 时，由03)(≤-=a x F ，0)1(1>++=--a e e F ，所以)(x F 有零点. ②当02<≤-a e时， 若0≤x ，由02≥+a e ，得0)2()(>-+-=a x a e e x F x ； 若0>x ，由（1）知，0)12()(>+-=x a x F ，所以)(x F 无零点. ③当2e a -<时，01)0(>-=a F ，又存在0210<+-=ae ax ，0)2(1)(00=-+-<a x a e x F ，所以)(x F 有零点.综上，a 的取值范围是2ea -<或0≥a . （3）由题意，ex e x a x-≤+)12(，因为1-<x ，所以12+-≥x exe a x .设)1(12)(-<+-=x x exe x G x ，其值域为A ， 由于0122212)2()(<++=++-=--x ee e x ex e e x G x x，所以2)(e x G -<. 又0)12(2)('2<+--=x ee xe x G x x ，所以)(x G 在)1,(--∞上为减函数，所以e e G x G 1)1()(--=->，记区间B ee e =---)2,1(，则B A ⊆.①设函数B m m x G x H ∈-=,)()(， 一方面，01)1(<--=-m ee H ； 另一方面，]1)2()1[(121)]12([121)(m x m e e x x m ex e x x H x x -++--+=---+=， 存在125-<+e m ，0]4)1[(12101)25(>+--⋅++=+m e em e m H x所以)1,25(1-+∈∃em x ，使0)(1=x H ，即m x G =)(1，所以A B ⊆.② 由①，②知，B A =，从而2e a -≥，即a 的最小值为2e-.21、选做题A 、证明：因为ABCD 是圆的内接四边形，所以BCD DAE ∠=∠，BDC BAC FAE ∠=∠=∠.因为BD BC =，所以BDC BCD ∠=∠，所以FAE DAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线.B 、解：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 1021''，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A . 设dd c b a A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10012210211d c d b c a d c b a AA d ， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=+100212d c d b c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==121d c b a ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-10211A . C 、解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 323消去参数t ，得)23(3-=x y ，由⎪⎩⎪⎨⎧==m y m x 2322消去参数m ，得x y 62=. 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 6)23(32，消x 得09322=--y y ，解得331=y ，32-=y ， 所以)33,29(A ，)3,21(-B ，所以8)333()2129(22=++-=AB . D 、因为不等式02<+-b ax x 的解集为)2,1(，所以可得3=a ，2=b . 又函数x x x b x a x f -+-=--+--=4324)1(3)1()(， 由柯西不等式可得5])4()3)[(12()432(22222=-+-+≤-+-x x x x ， 当且仅当x x -=-432，即]4,3[516∈=x 时取等号，所以，当516=x 时，函数)(x f 取得最大值5. 必做题： 22、解：（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有3537=C 种取法，其中3=X 的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个. 因此3566)3(37===C X P . （2）由题意，X 的可能取值为33,32,6,2,3. 其中3=X 的三角形如ABF ∆，这类三角形共有6个；其中2=X 的三角形有两类，如PAD ∆（3个），PAB ∆（6个），共有9个； 其中6=X 的三角形如PBD ∆，这类三角形共有6个； 其中32=X 的三角形如CDF ∆，这类三角形共有12个； 其中33=X 的三角形如BDF ∆，这类三角形共有2个； 因此356)3(==X P ，359)2(==X P ，356)6(==X P ，3512)32(==X P ，352)33(==X P . X所以数学期望35186633635233351232356635923563)(++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 23、证明：（1）由)2(2)()12)(2()12(1m m m m m m m y x y x y x +++=++=++ 得m m m y x y +=+21，即1+m y 与m y 同奇偶，而当1=m 时，11=y 为奇数，所以m y 均为奇数.（2）由二项式定理可得：m m m y x -=-2)12(，所以1222=-m m y x ，即22212m m m y y x >+=，所以2222224)1()1(2+<+=<m m m m m m y y y y x y ，从而有1222+<<m m m m y y x y ，令m m y x n =，则2]2[]2[m m m n y y x n b ===，由（1）知，m y 为奇数，所以n b 除以4的余数均为1.。

（第5题）2017-2018学年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知集合{}0A x x =≥，{}1B x x =<，则A B ＝ ▲ ．【答案】R2． 某公司生产三种型号A ，B ，C 的轿车，产量分别为1200辆，6000辆，2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A 的轿车应抽取 ▲ 辆． 【答案】63． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为(0 1)，，则实数p 的值为 ▲ ．【答案】24． 已知集合{}0 A ππππ2π3π5π=π6432346，，，，，，，，．现从集合A 中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为正数的概率为 ▲ ． 【答案】495． 如图，是一个算法的程序框图，当输出的y 值为2时，若将输入的x 的所有可能值按从小到大的顺序排列得到一个数列{}n a ，则该数列的通项公式为n a = ▲ ． 【答案】34n a n =-6． 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd ，若第二子代的D ，d 的基因遗传是等可能的（只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为 ▲ ．BACD 1B1A1CD(第9题）E F【答案】347． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1 2)=，a ，1(2 1)5-=-，a b ，则⋅=a b ▲ ．【答案】258． 已知x y ，为正实数，满足26x y xy +=+，则xy 的最小值为 ▲ ．【答案】189． 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四 棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ． 【答案】1210． 设定义在区间[] -11，的函数()sin()f x x ϕ=π+（其中0ϕ<<π）是偶函数，则函数()f x 的单调减区间为 ▲ ． 【答案】(0 1)，【解析】依题意，ϕπ=2，则()cos f x x =π的减区间为(0 1)，． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22()(21)2x a y a -++-=(11)a -≤≤，直线l ：y x b =+ ()b ∈R ．若动圆C 总在直线l 的下方且它们至多有1个交点，则实数b 的最小值是 ▲ ．【答案】2【解析】依题意，圆心( 12)C a a -，(11)a -≤≤的轨迹为线段12y x =-(11)x -≤≤， 当且仅当1a =-=b 的最小，此时2b =．12．如图，三次函数32y ax bx cx d=+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ ．【答案】【解析】设()(1)(1)(2)fx a x x x =+--，其中0a >，令 ()0f x '<x <<，所以该函数的单调减区间为；13．如图，点O 为△ABC 的重心，且OAOB ⊥，6AB =，则AC BC ⋅的值为 ▲ ．（第12题）ABCO（第13题）【答案】72【解析】以AB 的中点M 为坐标原点，AB 为x 轴建立 平面直角坐标系，则()30A -，，()30B ，， 设()C x y ，，则O ()33y x ，，因为OA ⊥OB ，所以0AO BO ⋅=， 从而()()()2330333yx x +⋅-+=，化简得，2281x y +=，所以222(3)(3)972AC BC x x y x y ⋅=+-+=+-=14．设k b ，均为非零常数，给出如下三个条件： ①{}n a 与{}n ka b +均为等比数列； ②{}n a 为等差数列，{}n ka b +为等比数列； ③{}n a 为等比数列，{}n ka b +为等差数列，其中一定能推导出数列{}n a 为常数列的是 ▲ ．（填上所有满足要求的条件的序号） 【答案】①②③【解析】①易得()()()211n n n k x b k x b k x b -+⋅+=⋅+⋅+，即2222211112()n n n n n n k x kbx b k x x kb x x b -+-+++=+++， 因为211n n n x x x -+=，且0kb ≠，所以112n n n x x x -+=+，即证； ②由①知2222211112()n n n n n n k x kbx b k x x kb x x b -+-+++=+++，因为112n n n x x x -+=+，所以211n n n x x x -+=，即证； ③易得()()()112n n n k x b k x b k x b -+⋅+=⋅++⋅+，且0k ≠，故112n n n x x x -+=+，又211n n n x x x -+=，即证．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=．（1）求tan2β的值；（2）求sin α的值．解：（1）因为22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222βββββββββ--=-==++，且1cos 3β=-，所以221tan 1231tan 2ββ-=-+，解得2tan 22β=，（4分）因为()ππ2β∈，，所以()ππ242β∈，，从而tan 02β>，所以tan2β=（6分） （2）因为()ππ2β∈，，1cos 3β=-，所以sin β==（8分） 又()π0α∈，，故()π3παβ+∈，，从而()cos αβ+==，（10分）所以[]sin sin ()sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+()7193=⨯-(13-=．（14分）16．（本题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 已知11AD AA ==，2AB =，点E 是AB 的中点． （1）求三棱锥1C DD E -的体积； （2）求证：11D E A D ⊥．【解】（1）由长方体性质可得,1DD ⊥ 平面DEC ，所以1DD 是三棱锥1D DCE -的高,AEBCD1A 1D 1C 1B （第16题）又点E 是AB 的中点，11AD AA ==，AB ＝2，所以DE CE =222DE EC CD +=，90DEC ∠=， 三棱锥1D DCE -的体积1111323V DD DE CE =⨯⨯=；(7分)（2）连结1AD ,因为11A ADD 是正方形,所以11AD A D ⊥ ，又AE ⊥面11ADD A ，1A D ⊂面11ADD A , 所以1AE A D ⊥， 又1AD AE A =，1AD AE ⊂，平面1AD E ，所以1A D ⊥平面1AD E ，(12分) 而1D E ⊂平面1AD E , 所以11D E A D ⊥．(14分)17．（本题满分14分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆柱，且该仓库的总高度为5m ．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/2m ，1百元/2m ，设圆锥母线与底面所成角为θ，且()π0 θ∈，，问当θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．解：设该仓库的侧面总造价为y ，则[]152π55(1tan )12π542cos y θθ⎡⎤=⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦()2sin 50π1+θθ-=，（6分）（第17题）由()22sin 1cos 50π0y θθ-'==得1sin 2θ=，()π0 4θ∈，，所以π6θ=，（10分）列表：所以当π6θ=时，侧面总造价ym ．（14分）18．（本题满分16分）定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心．如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2214x y +=的所有内接菱形构成的集合为F ．（1）求F 中菱形的最小的面积；（2）是否存在定圆与F 中的菱形都相切?（3边所在的直线的方程．解：（1）如图，设11( )A x y ，，22( )B x y ，， 1︒当菱形ABCD 的对角线在坐标轴上时，其面积为142142⨯⨯⨯=； 2︒当菱形ABCD 的对角线不在坐标轴上时，设直线AC 的方程为：y kx =，① 则直线BD 的方程为：1y x k=-，又椭圆2214xy +=， ②由①②得，212441x k =+，2212441k y k =+，从而22221124(1)41k OA x y k +=+=+，(第20题)同理可得，()()2222222221414(1)4141kk OB x y k k⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦=+==+-+，（3分） 所以菱形ABCD 的面积为2OA OB ⨯⨯====≥165= (当且仅当1k =±时等号成立),综上得，菱形ABCD 的最小面积为165；（6分）（2）存在定圆2245x y +=与F 中菱形的都相切，设原点到菱形任一边的距离为d ，下证：d =证明：由(1)知，当菱形ABCD 的对角线在坐标轴上时，d =，当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上时，22222OA OB d OA OB ⨯=+222222224(1)4(1)4144(1)4(1)414k k k k k k k k ++⨯++=+++++ 2222224(1)(1)(4)(1)(41)k k k k k +=+++++22224(1)45(1)(55)k k k +==++，即得d = 综上，存在定圆2245x y +=与F 中的菱形都相切；（12分）（3）设直线AD 的方程为(y tx =-，即0tx y -=，则点(0 0)O ，到直线AD=，解得t =，所以直线AD的方程为y x =．（16分）19．（本题满分16分）设a ，b ，c 为实数，函数32()f x x ax bx c =--+为R 上的奇函数，且在区间[)1 +∞，上单调．（1）求a ，b ，c 应满足的条件； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）设001 ()1x f x ≥，≥，且[]00()f f x x =，求证：00()f x x =． 解：（1）因为32()f x x ax bx c =--+为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，即32x ax bx c --++=32x ax bx c -++-， 变形得，20ax c +=， 所以0a c ==， （2分）此时3()f x x bx =-在区间[)1 +∞，上单调，则2()30f x x b '=-≥在区间[)1 +∞，上恒成立，得3b ≤；（5分） （2）2()3f x x b '=-，且3b ≤，当0b ≤时，2()30f x x b '=-≥，所以函数()f x 的单调增区间为( )-∞+∞，；（7分）当0b >时，2()30f x x b '=->得，函数()f x 的单调减区间为(，单调增区间为( -∞，，)+∞；（10分） （3）设0()f x t =，则1t ≥，0()1f t x =≥， 即有300x bx t -=，且30t bt x -=， 两式相减得，()()33000x bx t bt t x ---=-， 即()()2200010x t x x t t b -+++-=，因为1t ≥，01x ≥，3b ≤，所以220011x x t t b ++-+≥， 故0x t =，即00()f x x =．（16分）20．（本题满分16分）若存在非零常数p ，对任意的正整数n ，212n n n a a a p ++=+，则称数列{}n a 是“T 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和()2n S n n *=∈N ，求证：{}n a 是“T 数列”； （2）设{}n a 是各项均不为0的“T 数列”． ①若0p <，求证：{}n a 不是等差数列；②若0p >，求证：当1a ，2a ，3a 成等差时，{}n a 是等差数列． 解：（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-， 所以21n a n =-，n *∈N ，（3分）则{}n a 是“T 数列”⇔存在非零常数p ，2(21)(21)(23)n n n p +=-++ 显然4p =满足题意，所以{}n a 是“T 数列”；（ 5分） （2）①假设{}n a 是等差数列，设1(1)n a a n d =+-，则由212n n n a a a p ++=+得，()[][]2111(1)(1)a nd a n d a n d p +=+-+++， 解得20p d =≥，这与0p <矛盾，故假设不成立， 从而{}n a 不是等差数列；(10分) ②因为212n n n a a a p ++=+()0p >， ① 所以()211 2n n n a a a p n -+=+≥， ②①-②得，221211n n n n n n a a a a a a ++-+-=-(2)n ≥， 因为{}n a 的各项均不为0， 所以1121n n n n n n a a a a +---++=(2)n ≥， 从而11n n n a a a +-+⎧⎫⎨⎬⎩⎭()2n ≥是常数列， 因为1a ，2a ，3a 成等差，所以3122a aa +=，从而112n n na a a +-+=()2n ≥，即112n n n a a a +-+=()2n ≥，即证．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上， 另一个圆的圆心O 在AB 上，且与四边形ABCD 的其余三边相切．点E 在边AB 上，且AE AD =． 求证： O ，E ，C ，D 四点共圆． 证明：因为AD AE =，所以()11802AED A ∠=-∠，因为四边形ABCD 的顶点在一个圆周上， 所以180A BCD -∠=∠， 从而AED DCO ∠=∠，所以O ，E ，C ，D 四点共圆．（10分） B ．（矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，5)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -2，y )，求1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．解：依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦5x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2y y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即102 320 x y x y +=-⎧⎨+=⎩，，解得4 8 x y =-⎧⎨=⎩，， （4分） 由逆矩阵公式知，矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦M ，（8分） 所以1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M 2131-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦48-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（10分）PA B CD（第22题）EC ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，设直线l 过点)A π6，，()3 B 0，，且直线l 与曲线C ：cos (0)a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值． 解：依题意，)Aπ6，，()3 B 0，的直角坐标方程为(32A ，，()3B 0，， 从而直线l 的普通方程为30x -=，（4分） 曲线C ：cos (0)a a ρθ=>的普通方程为()222aa x y -+=(0)a >，（8分） 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以3222a a -=(0)a >，解得2a =(负值已舍)．（10分）D ．（不等式选讲）设正数a ，b ，c 满足3a b c ++≤，求证：11131112a b c +++++≥．证明：由柯西不等式得， []()111(1)(1)(1)111a b c a b c +++++⋅+++++2≥23=，（6分）所以111993++=≥≥．（10分）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=，且P A A B B C ==11AD ==，PA ⊥平面ABCD ．（1）求PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）棱PD 上是否存在一点E 满足AEC ∠=90？若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由．解：（1）依题意，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则(0 0 1)P ，，，(1 0 0)B ，，，(1 1 0)C ，，，(0 2 0)D ，，， 从而(1 0 1)PB =-，，，(1 1 1)PC =-，，，(0 2 1)PD =-，，，（2分） 设平面PCD 的法向量为( )a b c =，，n ，则⋅n 0PC =，且⋅n 0PD =， 即0a b c +-=，且20b c -=，不妨取2c =，则1b =，1a =， 所以平面PCD 的一个法向量为(1 1 2)=，，n ，（4分）此时cosPB 〈〉==，n所以PB 与平面PCD ；（6分）（2）设(01)PE PD λλ=≤≤，则(0 2 1)E λλ-，，， 则(1 21 1)CE λλ=---，，，(0 2 1)AE λλ=-，，， 由AEC ∠=90得，AE ⋅22(21)+(1)0CE λλλ=--=， 化简得，25410λλ-+=，该方程无解，所以，棱PD 上不存在一点E 满足AEC ∠=90．（10分）23．设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}）， （{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5对， 所以a 35=；（3分）（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=，（5分） B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-，（7分） 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．（10分）。

市2017届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 为虚数单位）．若(43i)i z =+，则ab 的值是 ▲ ．【答案】12-2． 已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ▲ ．【答案】{|02}x x <<3． 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ▲ ． 【答案】564． 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】35． 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 ▲ ． 【答案】75006． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ． 【答案】1107． 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221x y a-=（0a >）经过抛物线28y x =的焦点，则 该双曲线的离心率是 ▲ ．9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．（第4题）【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上 的动点，则AC EF ⋅u u u r u u u r的取值围是 ▲ ． 【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点， 则PBPA的最大值是 ▲ ． 【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值围是 ▲ ．【答案】3(2)2-， 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα+-=，(0π)α∈，，求角α的值．【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分（第12题）（第16题）ABCDP M N因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A ，所以1A =，所以()π()sin 3fx x =+． …… 6分（2）由π()()12f αα+-=，得()()πππsin 1332αα+++-=， …… 8分 即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AP =AD ，M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点．求证：（1）MN ∥平面PAB ； （2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ． …… 10分又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分 因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，（第17题）所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(1)2，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分方法二：由题意，知24a =，所以2a =． …… 2分 又1c =，222a b c =+，所以b =，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k+++-=，所以12x x ==，所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+， 所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++． 因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k-+，， 所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分 因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分 所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=， 所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分 所以AB 的垂直平分线方程为00004()3y y y x x x -=-．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)4x D ，，所以014x FD =+． …… 10分同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，， 所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分 令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+- 22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=- 128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分 同方法一，有121()42AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，O AC B DlEF Qx yDE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算1503()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤， （1）用t 表示线段EF 的长；（2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以OF 所在 直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系xOy ． （1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， …… 1分 设直线EF 的方程为1()2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 21|1|211tk k -=+，解得244t k t =-． …… 3分代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)4t t +，． …… 5分 所以211()1424t t tEF t t =+-++，即14EF t t=+（02t <<）． …… 7分 ODl E（第18题）方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ． 因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分 所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以14t EF t=+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())4355(2t t t y t t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减． 所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分② 当123t <<时，2111632)2()4(1228t t t t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++， 所以22334(1)(331)16241t t t t t t y '=+-+--=， …… 13分因为123t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>， 所以y 在1(1)3，上单调递减；在(12)，上单调递增． 所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）． OC（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()2n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分 因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分 因为m p r ，，成等差数列， 所以1()2p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分 所以11311||()()22q α=≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为131()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，，此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ．例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ． （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调．【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分 所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分 （2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当12a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增． 若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=， 所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=， 所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=， 即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos ln h x ax x x x =+-（0x >），① 若0a >，注意到ln x x <，则1122ln x x <，即ln x <． …… 12分当2x >时，()2sin 1ln 22h x ax x x ax '=--->-0=>．所以2m ∃=，函数()h x 在()m +∞，上单调递增．…… 14分 ② 若0a ≤，当x >1时，()2sin 1ln sin 1ln h x ax x x x x '=---<---<0．所以1m ∃=，函数()h x 在(+)m ∞，上单调递减，综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间(0)+∞，上广义单调． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ， 分别交AB 于点E ，F ． 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅． 【证】连结PA ，PB ，CD ，BC ．因为∠PAB =∠PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以∠PAB =∠PBA ，所以∠PCB =∠PBA ． …… 4分 又∠DCB =∠DPB ，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆．所以PE PC PF PD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M 的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，， 解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分 矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-．（第21-A 题）令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点π(32)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分 又因为点π(32)4，在圆C 上， 所以π32=cos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 方法二：点π(32)4，的直角坐标为(33)，， 因为圆C 过点(00)，，(33)，， 所以圆心C 在直线为30x y +-=上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd 1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥． 【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd 1，所以45544a b c d a bcd a +++=≥． ① …… 4分 同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．作答，解答时应D ACBSPE （第22题）写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =．（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，所以(222)SB =-u u r ，，，(012)SC =-u u u r ，，，(00DS =u u u r，设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ， 由10SB ⋅=u u r n ，10SC ⋅=u u u rn ，得2220x y z +-=且20y z -=． 取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分 因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ． 设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A --…… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB =u u u r ，，，(111)CE =-u u u r，，． 设CP CB λ=u u u r u u u r（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ==u u u r ，，，，， 所以(1211)PE CE CP λλ=-=---u u u r u u u r u u u r，，． 易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =u u u r，，是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos PE CD PE CD PE CD α⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，， …… 8分=，得13λ=或119λ=（舍）． 所以21(0)33CP =u u u r ，，，CP u u u r ， 所以线段CP． …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分 （2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分 证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。

数学备用题第Ⅰ卷（共60分）第Ⅱ卷（共90分）一、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1. ，若正方形__________．【解析】分析：设圆锥底面半径为.详解：设圆锥底面半径为，则高为，则正四棱锥的侧面积为点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.2. 已知实数__________．恒成立，合图形可得结果.详解：有最小值点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.3. 上的部分图象如图所示，则__________．，由五点法作图求出时，，，，点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最，利用特殊点求出的关键.是确定函数解析式的关键，由特殊点求“五点法”的第几个点，“第一点”() (即图象的“峰点”) 时() “第四点”(即图象的“谷点”) 时4. 已知数列的首项，则数列__________．公式可得结果.为等比数列，，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如进而得出的通项公式.5. 甲、乙两种食物的维生素含量如下表：分别取这两种食物若干并混合，则混合物重量的最小值为，混合物重用线性规划可得结果.详解：得，，混合物重由图知，当直线过点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6. 且最小值是__________．【解析】分析：以.详解：如图，轴建立直角坐标系，，设点即的最小值是点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7. 已知边长为2中，、，则几何体__________．【解析】分析：设平面，以几何体时体积最大，从而可得结果.的高为，由面面垂直的性质定理得以几何体，当时，取得最大值，，故选B.点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.8. 已知函数零点，则__________．点，画出图象，结合图象列不等式求解即可.详解：画出两函数图象，如图，，.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．9. ：，面积的最小值为__________．为切点的切线方程为，可得，过的直线方程为，利用韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，可得.，为切点的切线方程为，同理为切点的切线方程为，过的直线方程为，的距离为当时，等号成立，故答案为.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.10. __________．【解析】分析：中，，利用基本不等式可得结果.详解：在斜又，所以与同号，又在中，当且仅当的最大值为，故答案为点睛：本题主要考查诱导公式、两角差的正切公式的应用以及基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定.二、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11. 如图，已知圆轴交于点.【答案】证明见解析.不重合时，直线.的方程为.由题设，得代入，得点睛：探索定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.12. 秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费（元）与使用年数的关系为：元，第五年付费（1（元）与使用年数（2）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）【答案】(2) 这台收割机使用年，可使年均收益最大.【解析】试题分析：，利用基本不等式求最值即可解析：（Ⅰ）依题意，当，解得所以（Ⅱ）记使用年，年均收益为（元），，.所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大.13..（1（2.【答案】(1)(2) 的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形平方米.，利用梯形的面积公式可得结果；（）由（1）可知，.当且仅当时，不等号取等号详解：（1）过点作，垂足为.中,所以据题意，，所以的定义域为.当且仅当时，不等号取等号答：当的长度分别为米，裁剪出的四边形平方米.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及二倍角公式、基本不等式求最值的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.14. 已知椭圆（1）若直线上不存在点，使（2）在（1.【答案】(1)【解析】试题分析：(1) 设直线得范围；(2)，则C上一点，所以，两点，坐标为又从而求得圆的方程.试题解析：（1）设直线，依题意（2）当，，则．C上一点，所以………① 因为圆过两点，所以线段的中点的坐标为………②由①和②得所以圆心坐标为15. 已知函数，其中（1时，求函数在处的切线方程；（2）若函数（3. 【答案】..【解析】分析：（1斜率，利用点斜式可得曲线在点（2是方程上单调递增，所以（3）恒成立，令围.详解：（1所以函数在（2可得因为函数存在两个极值点是方程的两个正根，令，故，在（3对任意的实数.，故符合题意；（i（ii，在上单调减；当时，，.，得在上单调增；当.，即要证：，只要证：，所以其次证明，当对任意的，则所以，则所以当时，对任意的时，，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.16.（1）请举出一对数列，使集合（2）问集合中最多有多少个元素？并证明你的结论；【答案】(2)3个，证明见解析.【解析】分析：（1（2）不妨设最多有多少个解，可以证明当时，方程①最多有个解：.详解：（1（2）不妨设关于的方程①最多有多少个解.时，方程①最多有由唯一零点或恒大于显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①的情形，上式最多有个解，即满足①的偶数最多有.中的元素个数最多有.再由（1.点睛：本题主要考查数列的综合性质以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.三、解答题17. 个顶点中随机选取.（1（2【答案】(2)分布列见解析，（1）个顶点中随机选取个点构成三角形，【解析】分析：的可能取值概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学详解：（1的三角形如这类三角形共有（2）由题意，的可能取值为的三角形如，这类三角形共有的三角形如，这类三角形共有所以随机变量的概率分布列为：所求数学期望点睛：在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.18.（1（2的分布列及数学期望【答案】(2) 分布列见解析，【解析】分析：（1）集合由古典概型概率公式可得结果；（2）详解：（1，其中非空子集的元素全为（2）当时，的所有可能取值为所以的数学期望点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.（1（2【答案】【解析】分析：（1即可；（2）分别利用向量垂直数量积为零列方程可求得平面.详解：（1（2，据图可知，二面角大小的余弦值为点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 如图，已知点（1（2）与直线分别交于点【答案】(2) ①证明见解析. ②证明见解析.【解析】分析：（1）由抛物线定义知，所以，将点代入抛物线得，；(2) 设求得,,利用斜率公式消去、可得直线的斜率为；②设点的横坐标分别为，求得，，根据中点坐标公式化简即可的结果.详解：（1（2的方程为：，所以的横坐标分别为的方程为：.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．。