“德瑞教育发展基金会” 2010年奖学金测试数学卷及答案

第 一 讲 小 升 初· 竞 赛 中 的 分 数 问 题知识 导 航在分数式的计算应用问题中，主要包括以下几个方面的题型。

①和(差)倍问题。

具体表现为“已知分数的分子与分母的和(差)，和约分过后的结果，求原分数。

②变化类。

具体表现为“已知分数的分子与分母和(差)的关系，再告诉分子或分母变化后的结果，求原分数。

”③因数分解类。

具体表现为“已知最简真分数的分子与分母的积，求原分数的可能值。

” ④中间分数计算类。

具体表现为“已知某分数在两个分数之间，求该分数的分子与分母的和的最小值。

”……精 典 例 题例1：一个分数约分后是37，若约分前分子与分母的和是40，那么约分前的分数是多少?思路 点 拨想一想：约分后是37 ，你可以想到什么你有几种方法来解答这个问题(友情提示：从方程与算术两个角度来思考。

)模 仿 练 习一个分数的分子与分母和是40，约分后是35,那么这个分数原来是多少例2：一个分数的分子与分母的和是19，加上这个分数的分数单位就是14 ,这个分数是多少（2006年成都外国语学校奖学金考试数学试题）3/16思路 点 拨想一想：加上这个分数的分数单位实际是分数中谁发生了变化想明白后，再结合例1方法来思考一下，相信你能自己解答的！模 仿 练 习一个分数的分子与分母之和是37，若分子减去1，分数值是12 ,原分数是多少(2007年成都外国语学校小语种数学试卷)例3：分子、分母相乘的积是2002的最简真分数共有多少个(2005年成都七中育才东区衔接班招生考试题)思 路 点 拨想一想：满足什么条件的分数才是最简真分数再想一想对“分子、分母相乘的积是2002”的信息又应该怎样去理解模 仿 练 习一个最简真分数，分子与分母的积是24，这个真分数是多少(成都外国语学校2011年“德瑞杯”知识竞赛数学试题)学以 致 用A 级1.一个分数分子与分母的和是72，约分后是27 ，这个原分数是多少(2005年成都七中育才东区衔接班招生考试题)2.将分数711 的分子增加77后，如果要求分数的大小不变，分母应变为多少(2010年成都七中嘉祥外国语学校6年级衔接班试题2)3.一个分数，分子、分母的和是2010，约成最简分数后是760,这个分数是多少（嘉祥外国语学校2011年5升6招生数学试题）B 级4.某分数分子分母的和为23，若分母增加17，此分数值为14 ，原分数为多少（成都实验外国语学校“德瑞教育发展基金会”2010年奖学金测试数学A 卷） 5.分子与分母的乘积是156的最简真分数有多少个（2008年成都嘉祥外国语衔接班招生考试题2）6. 一个分数，分子与分母的和是75，若分子加上3，则可约简成58 ,原来的分数是多少? （2007年成都七中育才东区衔接班招生考试题2）C 级7.m,n 为自然数，若34 ＜n m ＜45 ，则m+n 的最小值是多少（2007年成都七中育才东区衔接班招生考试题2）第 二 讲 分 数 计 算 中 的 拆 分）（）（））（（）（）（）（103219321104321321432121321121+⋯+++⨯+⋯+++-⋯-+++++-++⨯+-+⨯-知 识 导 航分数计算中的拆分，又叫裂项计算。

【数学】初二年奖学金考试数学考卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 已知两个数相乘，其中一个数为5，另一个数为未知数x，那么x的值为：A. 5B. 1C. 2D. 10答案：A2. 一个三角形的两边之和等于第三边，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形答案：D3. 已知一个等差数列的前两项分别为3和5，那么这个等差数列的公差是：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B4. 一个圆的直径为10cm，那么这个圆的周长是：A. 10π cmB. 20cmC. 20π cmD. 50cm答案：C5. 已知一个二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，那么这个二次函数的系数a是：A. 负数B. 正数C. 0D. 无法确定答案：B二、判断题（每题1分，共5分）1. 一个数的平方根有两个值，一个是正数，另一个是负数。

（）答案：×2. 一个三角形的内角和等于180度。

（）答案：√3. 一个等差数列的前三项分别为2、4、6，那么这个等差数列的公差是2。

（）答案：√4. 一个圆的直径是半径的两倍。

（）答案：√5. 一个二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，那么这个二次函数的系数a是负数。

（）答案：√三、填空题（每题1分，共5分）1. 三角形内角和的公式是180°。

答案：180°2. 圆的周长公式是C = πd 或C = 2πr。

答案：C = πd 或C = 2πr3. 勾股定理表达式是 a^2 + b^2 = c^2。

答案：a^2 + b^2 = c^24. 函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的顶点坐标是 (b/2a, c b^2/4a)。

答案：(b/2a, c b^2/4a)5. 直线 l 的方程是 y = mx + b。

答案：y = mx + b四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述三角形的内角和公式。

答案：三角形内角和的公式是180°。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是质数？（）A. 21B. 39C. 41D. 672. 已知一个等差数列的首项为3，公差为2，则第五项为（）A. 7B. 9C. 11D. 133. 下列哪个图形是平行四边形？（）A. 矩形B. 梯形C. 正方形D. 三角形4. 下列哪个单位是面积单位？（）A. 米B. 平方米C. 立方米D. 千克5. 已知a=3，b=4，则a²+b²的值为（）A. 7B. 12C. 25D. 9二、判断题（每题1分，共5分）1. 1的倒数是1。

（）2. 0是自然数。

（）3. 两条平行线之间的距离处处相等。

（）4. 等腰梯形的两个底角相等。

（）5. 相似三角形的面积比等于边长比的平方。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知一个正方形的边长为a，则它的面积为______。

2. 2的平方根是______。

3. 已知一个等差数列的首项为5，公差为3，则第四项为______。

4. 下列数中，______是最小的合数。

5. 一条直线的斜率为2，它在y轴上的截距为3，则该直线的方程为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义及通项公式。

2. 请写出勾股定理的内容。

3. 什么是三角形的外心？4. 请举例说明两种不同的概率求解方法。

5. 简述平行线的性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 小明家离学校3公里，他以每小时4公里的速度步行去学校，需要多长时间？2. 某商店举行打折活动，原价120元的商品打8折，现价是多少？3. 一个长方形的长是10厘米，宽是6厘米，求它的面积。

4. 某班有50名学生，其中男生占60%，女生有多少人？5. 一个数加上60后乘以2，再减去30，结果为150，求这个数。

六、分析题（每题5分，共10分）1. 已知一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的通项公式，并求出第10项的值。

《高等数学》参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共15分）1B ，2A ，3D ，4C ，5C二、填空题：（每小题3分，共15分）1、118- 2、5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭31)x + 4、24231x y z --==- 5、2sec 304()d f r rdr πθπθ⎰⎰ 三、计算题（要求写出主要计算步骤及结果，每小题7分，共91分）1、1x →2、tan 01lim ()x x x +→解：1x →解：原式0ln lim cot x x x e +→-=……2分1x →=……3分 201lim csc x x x e +→--= ………4分x →=………5分 20sin lim x x x e +→= ………6分 12= …………………………7分 01e == ………7分3、设2ln y x x = ，求y ''.解： 212ln y x x x x'=+⋅………………3分 2ln x x x =+ …………………4分12ln 21y x x x''=+⋅+ …………6分 2ln 3x =+ …………7分4、求由方程x y xy e +=所确定的隐函数()y y x =的微分dy .解： 方程两边分别对x 求导，得：………………………1分(1)x y dy dy y xe dx dx++=+……………………………4分 于是 x y x y dy e y dx x e ++-=- ……………………………5分所以 x y x ye y dy dx x e ++-=- ………………………7分 5、求由参数方程(1sin )cos x t t y t t=-⎧⎨=⎩所确定的函数的导数dy dx . 解： dydy dt dx dxdt= ……………………3分 cos (sin )(1sin )(cos )t t t t t t +-=-+- …………………6分 cos sin 1sin cos t t t t t t-=--…………………………7分 6、求函数(,)x y w f y z=(其中f 具有一阶连续偏导数)的一阶偏导数. 解： 1()x w y f x x∂∂'=⋅∂∂ ……………………………2分 11f y'= ………………………………………3分 12()()x y w y z f f y y y∂∂∂''=⋅+⋅∂∂∂……………………4分 1221x f f y z''=-+……………………………5分 2()y w z f z z∂∂'=⋅∂∂ ……………………………6分 22y f z'=- ……………………………………7分7、求函数y x z e =的全微分dz . 解：2()y x z y e x x ∂=⋅-∂……2分 ， 1yx z e y x ∂=⋅∂……4分 z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂ …………………………………6分 21()yx y e dx dy x x=-+ ………………………7分8、计算反常积分20x xe dx +∞-⎰ 9、已知2sec x 是()f x 的一个原函数，求()xf x dx ⎰. 解：20x xe dx +∞-⎰ 解：原式2sec xd x =⎰ …………2分2201()2x e d x +∞-=--⎰……3分 22sec sec x x xdx =-⎰…5分 2012x e +∞-=- …………6分 2sec tan x x x C =-+……7分 12= ……………………7分10、计算二重积分cos()D x x y dxdy +⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0),(,0),(,)πππ的三角形闭区域.解：区域D 可表示为：00x y x π≤≤⎧⎨≤≤⎩ ………………3分 00cos()cos()xD x x y dxdy xdx x y dy π+=+⎰⎰⎰⎰ ………………4分 0(sin 2sin )x x x dx π=-⎰ ………………6分32π=- . ………………7分11、计算曲线积分22()(sin )L x y dx x y dy --+⎰，其中L是圆周y =自点(0,0)到(1,1)的一段弧.解： 22(,),(,)sin P x y x y Q x y x y =-=--…………………1分因为1Q P x y∂∂=-=∂∂，所以该曲线积分与路径无关；……2分 取从(0,0)O 经过(1,0)A 到(1,1)B 的折线段积分 ……3分 原式112200(sin )x dx x y dy =+--⎰⎰ ………5分 1021cos 232y dy -=--⎰ …………6分sin 2746=- …………7分 12、求幂级数2012n n n n x ∞=+∑的收敛域.解： 22211()22lim lim ()2(1)2nn n n n n n n x u x n x u x n x +++→∞→∞+=⋅=+ …………2分 当 212x <，即x <时，幂级数绝对收敛 ……4分 当x =2001((1)2n n n n n n ∞∞==+=+∑∑发散……6分所以该幂级数的收敛域为(. …………7分13、将函数21()(2)f x x =-展开为x 的幂级数，并指出收敛区间. 解： 1112212x x =⋅-- ………1分 1001()222nn n n n x x ∞∞+====∑∑ …………3分 逐项求导得: 12111(2)2n n n nx x -∞+==-∑ …………5分 由12x <得收敛区间为(2,2)- …………7分 四、综合题与应用题（本大题共3个小题，共29分）1、 求微分方程369(1)xy y y x e '''-+=+的通解. (10分)解：先求对应的齐次方程的通解Y由2690r r -+=，得123r r == ………2分于是，对应的齐次方程的通解为3312x x Y C e C xe =+ ………4分 3λ=是特征方程的二重根∴设原方程的特解为23()x y x ax b e *=+ ………6分代入原方程得：621ax b x +=+ ………7分 比较同类项的系数，解得：11,62a b == ………8分所以原方程的通解为：333231211()62x x x y C e C xe x x e =+++ ………10分 2、求曲线22,y x x y ==所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积.（10分） 解：取y 作积分变量， 01y ≤≤ …………2分体积元素222()]dv y dy π=- …………5分140()V y y dy π=-⎰ …………8分12501132510y y ππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ …………10分 3、设函数()y f x =由微分方程120x xy y x y ='+=⎧⎨=⎩所确定，（1）求函数()f x 的表达式。

2010年小学毕业测试数学试卷参考答案一、填空题1、52000803100，五百二十亿零八十万三千一百，520.008031亿，520亿。

2、.476647，或657 3、b a b a b a :==÷ 4、 b d ac ÷-=)( 5、5451, 6、3：4 ，43或0.75 7、25 8、反，正9、2，3，7 10、22785041a a .或π 11、9，64，37.5% 12、10二、选择题1、③2、②④3、①4、③5、② 三、判断题1、×2、√3、×4、√5、√ 四、计算1、直接写出得数109；21；1.9；32；90；3；90；2，600；0.15；160，16000002、解方程，求未知数x3、用简便方法计算。

).( ).(41)( %分分分504050101104121102521===-=-x x x x x x )( )1( 分分115135913554===+x x x x 分）分）＝分）0.5( 0.5( 52 ( 158345243524315314353431=⨯=÷=-==-x x x x x x 分））（或分）（分）（分）（0.5536( 0.5 0.565 0.5 ::51756665669326596532=⨯=÷==⨯==x x x x x x分）（＝－＝分）（－＝分））（－（＝0.554455555000.555100551110055 ⨯⨯⨯9955五、只列式不计算1、3560÷⨯或设甲数为x ，则3560::=x2、h r h r V 22331ππ=⨯=六、解决实际问题1、⑴比例尺是 1：10×1000×100＝1：1000000⑵要求不需太严格，图上距离量在4~ 5厘米范围内皆可。

在算实际直线距离时，可以有多种方法，结果在4×10＝40（千米）到5×10＝50（千米）范围内皆可。

2010年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试数学一、选择题：每小题6分，共10小题，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A ＝｛x|x 2―1＞0}，B ＝｛x|log 2x ＜0}，则A ∩B 等于 ( )A ．ØB ．｛x|x ＜－1}C ．｛x|x ＞1}D ．｛x|x ＜－1或x ＞1}2. 若不等式||x a -<1成立的充分条件是04<<x ，则实数a 的取值范围是( ) A. a ≥3B. a ≤3C. a ≥1D. a ≤13．函数)1(log 2-=x y 的反函数图像是 ( )A B4. 如图所示，∆OAB 是边长为2的等边三角形，直线x t =截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y （见图中阴影部分）则函数y f t =()的大致图形为( )5．已知a 、b 是非零向量且满足（a －2b ）⊥a ，（b －2a ）⊥b ，则a 与b 的夹角是( )A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6椭圆22143x y +=的右焦点到直线y x =的距离是 （ ）A.127. 过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线C 为A. 双曲线B. 抛物线C. 椭圆D. 以上都有可能 8．若αααααcos sin cos 3sin ,2tan +-=则的值是（ ）A ．31-B ．－35C ．31 D ．35 9．直线052)3(057)3()1(2=-+-=-+-++y x m m y m x m 与直线垂直的充要条件是（ ）A ．2-=mB ．3=mC ．31=-=m m 或D ．23-==m m 或10．已知1(2)2x f x x ++=+，则1(2)f x -+= ( ) A.12x x -+ B.11x -+ C.211x x +-- D.21x x +-+二、填空题：每小题5分，共8小题，共计40分．将答案填在题中的横线上。

成都外国语学校2010年“德瑞杯”知识竞赛数学试卷（100分钟完卷）一、 判断。

10分1． 1/2006是无限循环小数。

（ ）2． 大于0的任何数乘以一个分数都比原来的数小。

（ ） 3． 两个整数的最小公倍数与最大公约数之积等于这两个数之积。

（ ） 4． 一个正方形只有两条对称轴。

（ ） 5． 两个三角形的周长不同，面积就一定不同。

（ ） 二、 选择。

15分1． 如果3432÷=⨯b a ，那么a 和b 的大小关系为（ ） A a >b B a <b C a 不小于b2．同样周长的圆、正方形、长方形中，面积最大的是（ ） A 圆 B 正方形 C 长方形3．用三刀最多可把一个正方体蛋糕切成（ ） A 6块 B 7块 C 8块4．从早晨6时整到次日早晨6时整，一个时钟的时针和分针将重合（ ） A 22次 B 23次 C 24次 1 1 1 15．—— + —— + —— + …… + ————（ ） 1×3 3×5 5×7 99×101A 大于0.5B 等于0.5C 小于0.5 三、填空。

30分1．一个大于10的整数除以5余1，除以7余1，这个整数最小为 。

2．一个等腰直角三角形的面积是100平方厘米，这个三角形最长边等于 3．61< ()3 < 112（括号里填整数） 4．将6个“优秀少先队员”的名额分给六年级一、二、三班，每个班至少1个名额，共有 种不同分法。

5．一个三角形三边长度之比分别为2：3：4，则相应的三条高之比分别为 。

6．小明和爸爸到电器商场买一种家用电器，发现甲品牌售价1200元，使用中，每小时用电0.5度，使用寿命5000小时；而乙品牌售价1300元，使用中，每小时用电0.4度，使用寿命5000小时。

每度电价格为0.4元，在相同的使用寿命期限内，你认为小明爸爸买 种品牌电器最省钱。

7．31减去41的21的差等于 。

参考答案及详细解析第一部分数量关系．．［解析］本题为立方修正数列，，，，，，，（），所以选择选项。

．．［解析］本题为平方递推数列，，，，，（），最后计算直接用尾数判断即可，所以选择选项。

．．［解析］本题为递推数列。

×，×，×，×，×（）。

所以选择选项。

．．［解析］本题为递推数列，与年国考题第一个数字推理题规律相同。

从第三项开始，递推式为（）×。

或者用乘法拆分，分别为：×，×，×，×，×，下一项为×。

故选。

．．［解析］本题为递推数列，递推式为×（），≥。

故选。

．．［解析］本题为几何类题目。

因为正三角形和一个正六边形周长相等，又正三角形与正六边形的边的个数比为︰，所以其边长比为︰，正六边形可以分成个小正三角形，边长为的小正三角形面积：边长为的小正三角形面积︰。

所以正六边形面积：正三角形的面积×。

所以选。

．．［解析］原答案选是错的，应选，解析您自己想。

．．［解析］假设甲阅览室科技类书籍有本，文化类书籍有本，则乙阅读室科技类书籍有本，文化类书籍有本，由题意有：（）（），解出，则甲阅览室有科技类书籍本。

．．［解析］本题为工程类题目。

设总工程量为，则甲的效率是，乙的效率是，工作小时后，完成了。

第小时甲做了，完成了总工程量，剩余的由乙在第十四小时完成。

在第十四小时里，乙所用的时间是小时，所以总时间是小时。

．．［解析］本题为概率类题目。

假设甲、乙分别在分钟之内到达约会地点的情况如下图，则只有在阴影部分区域甲乙能够相遇，也就是求阴影部分面积的比例。

很容易看出，阴影部分的面积为。

．．【解析】为了使此人坐下后身边总有人，则原来长椅上除了首尾两个位置，中间的最大空位不能超过个，首尾两个位置的最大空位数不能超过个。

设第一个座位上有人，则每三个座位上有人，所以从第个座位到第个座位共有人，而最后边上的两个座位必须再坐一个人，才能保证此人坐下后身边总有人，所以至少有人。

2010年中考模拟试卷 数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CABBBADCAA二、填空题（每小题4分，共24分） 11.-- 2，例如22- 等 12．6， 13.231a14.-2＜a ≤-1 15．3 16.），（24245--P ，），（2010201020P ，2512三、解答题（6+6+6+8+8+10+10+12=66分）17（本题6分）解：（1）．原式233133--+=-1（3分） （2）原式=()()21222---+a a a a （1分）=()()()2222-++-a a a a =()()222-+-a a a （1分）=21+a （1分） 18（本题6分）解：（1）S=πrl=50×20π=1000π……..……………………….（2分）（2）θ=0001443605020360.=⨯=lr…………………………………………………（2分） 剪去的扇形纸片的圆心角=360°-2×144°=72°………………………………………（2分）19（本题6分）解：（1）当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转45度时与⊙O 相切……（1分） ⊥BF ，在直角三角形OBF 中，︒=∠=∠∴==45,4,22BOF OBF OB OF ∴∠ABF=45°..（2分） （2）（2）过O 画OH ⊥MN 于H ，易知∠AOB=30°，∴OH=21OB=2 在直角三角形OMH 中，OM ︒=∠︒=∠∴=90,45,22MON MOH …………………（1分）()()422221224122-=⨯-⨯=-=∴∆ππMON MON S S S 扇形弓形∴线段MN 与⌒MN 所围成图形的面积为2π-4………………………………………………（2分） 20. （本题8分）（1）用直尺和圆规作△ABC …………………（4分） （2）① 作ACB ∠的平分线交AB 于D ；……………………（1分）② 过D 点作DE ⊥BC ，垂足为E ．……………................（1分） （3）△ADC ≌△EDC ；△ACD ∽△ABC ．（每写对一对得1分）21．（本题8分）（1）80 ，25%、40%、30%4分（2）补全条形图（如右图）………2分（3）520…………………………….2分22．（本题10分）（1） 1 ， 2 。