安徽省马鞍山市2019届高三第二次教学质量监测数学(理)试题 含解析

安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学试题（理）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数（为虚数单位），则（）A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】故本题选A.2.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】或，因此集合=，，因此集合B＝故本题选D.3.已知实数，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】设，显然是指数函数，是增函数.本题求的最大值就是求出的最大值.可行解域如下图所示：显然直线平行移动到点A时，有最大值，解方程组，解得A点坐标为（1，1），代入直线中，得的最大值为，故本题选C.4.在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】图形如下图所示：直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；,故本题选D.5.若二项式的展开式中第项为常数项，则，应满足（）A. B.C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式，第为，已知第项为常数项，所以有且，故本题选B.6.已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 20B. 22C. 24D.【答案】B【解析】通过三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”。

所以表面积S=.故本题选B.7.已知定义在上的函数，满足，则函数的图象关于（）A. 直线对称B. 直线对称C. 原点对称D. 轴对称【答案】B【解析】设函数, 所以有定义域为，所以函数是上的偶函数，图象关于轴对称，也就是关于直线对称.而的图象是由函数向右平移一个单位长度得到的。

因此函数的图象关于直线对称，故本题选B.8.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】进行化简得，由题意可知，函数的图象关于轴对称也就是说函数是偶函数，所以有成立，即因为所以的最小值为，此时，故本题选A.9.如图，半径为的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如已知图，设球的球心为，体积为，上面圆锥的高为,体积为，下面圆锥的高为,体积为；圆锥的底面的圆心为，半径为.由球和圆锥的对称性可知，,，由题意可知：而由于垂直于圆锥的底面，所以垂直于底面的半径，由勾股定理可知：，,可知，这两个圆锥高之差的绝对值为，故本题选D.10.已知抛物线：上点处的切线与轴交于点，为抛物线的焦点，若，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设点的坐标，抛物线的焦点准线方程为：，,直线方程为：，令，所以点的坐标为，由抛物线的定义和已知可知：，故本题选B.11.已知圆，，是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆上点作的切线交圆于，两点，为圆上任一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设同心圆的圆心为，由切线性质可知：,又因为圆上点作的切线交圆于，两点，所以, ,在中,根据，可知，是AB的中点，根据向量加法的几何意义得代入上式得，故本题选C.12.已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，,设，，问题就转化为在内，，且中恰有两个整数.先研究函数的单调性，当时，，所以函数在单调递减；当时，，所以函数在单调递增，注意到，当时，。

安徽省马鞍山市第二中学2019届高三数学下学期模拟考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合1{|24}{|0}3x A x N x B x x +=∈-≤=≥-＜，，则集合A ∩B 中子集的个数是（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32 【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出集合M 与N ，进而由交集的定义求得M∩N，结合集合的元素数目与集合的子集数目分析可得答案．【详解】根据题意，A={x∈N|-2≤x＜4}={0，1，2，3}， B={x|13x x+-≥0}={x|-1≤x＜3}， 则A∩B={0，1，2}， 则集合A∩B 中子集的个数是23=8；故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集计算，关键是求出集合M 、N ，属于基础题．2.已知i 为虚数单位，m ∈R ，若复数（2-i ）（m+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数1mi i-的虚部为（ ） A. 1B. iC. 1-D. i -【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算以及复数的几何意义，求出m 的值结合复数虚部的定义进行求解即可．【详解】（2-i ）（m+i ）=2m+1+（2-m ）i ，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则2-m=0得m=2，复数22(1)22111(1)(1)2mi i i i i i i i i i +-====-+---+， 即复数的虚部是1，故选：A ．【点睛】本题主要考查复数的计算，结合复数的几何意义是解决本题的关键．3.折扇由扇骨和扇面组成，初名腰扇，滥觞于汉末，曾是王公大人的宠物．到了明清时期在折扇面上题诗赋词作画，则成为当时的一种时尚，并一直流行至今．现有一位折扇爱好者准备在下图的扇面上作画，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面的概率约为（ ）A. 34B. 13C. 59D. 89【答案】D【解析】【分析】先求出扇面的面积和扇子的面积，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】由题得，扇面的面积为S 1=221212186962323πππ⋅⋅-⋅⋅=， 扇子的面积为S 2=21218=10823ππ⋅⋅， 则墨汁恰好落入扇面的概率P=968=1089ππ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的左焦点为F ，直线x=c （c 为半焦距长）与C 的渐近线的交点为A 、B ，若△FAB 为等腰直角三角形，则C 的离心率为（ ）A. 2 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出A 、B 、F 的坐标，利用△FAB 为等腰直角三角形，求解双曲线的离心率即可． 【详解】双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的左焦点为F （-c ，0）， 双曲线的渐近线方程：bx±ay=0，由x=c ，可得A （c ，bc a ），B （c ，-bc a）； △FAB 为等腰直角三角形，可得2c=bc a ，可得b=2a ，所以双曲线的离心率为：e=c a a== 故选：C ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.CPI 是居民消费价格指数（consumerpriceindex ）的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的2017年6月---2018年6月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图（注：2018年6月与2017年6月相比较，叫同比；2018年6月与2018年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（ ）。

安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题（理）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U＝R，集合，，则集合( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，然后求解即可.【详解】全集，集合，则集合，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为( )A. 15B. 25C. 50D. 60【答案】C【解析】【分析】求出抽样比，然后求解的值即可.【详解】某工厂生产的A,B,C三种不同型号产品的数量之比为，分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则A被抽的抽样比为，A产品有10件，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的考点是成比例，属于简单题目.3.若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是( )A. －1－iB. 1＋iC. －1＋iD. 1－i【答案】B【解析】【分析】求出复数，之后求得其共轭复数，得到结果.【详解】复数满足，所以，所以的共轭复数是，故选B.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，属于简单题目.4.若，那么的值为( )A. B. C. D. -【答案】D【解析】【分析】首先根据角之间的关系，应用诱导公式求得结果.【详解】由题意可得，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，属于简单题目.5.设则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，借助于中介值，得出结果.【详解】，，，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，以及应用中介值比较大小，属于简单题目.6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积是则它的表面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，可以确定该几何体为圆柱中挖去一个半球，根据体积求得的值，再计算表面积即可.【详解】由已知三视图可知：该几何体的直观图是一个底面半径为，高为的圆柱内挖去一个半径为的半球，因为该几何体的体积为，所以，即，解得，所以该几何体的表面积为，故选C.【点睛】该题考查的是有关三视图的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，有关组合体的体积和表面积，属于简单题目.7.若执行如图所示的程序框图，输入，则输出的数等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的程序框图，可以确定该框图的功能是求三个数的方差，利用公式求得结果.【详解】该程序框图的功能是求三个数的方差，输出的，故选B.【点睛】该题考查的是有关程序框图输出结果的求解问题，在解题的过程中，注意对框图的功能进行分析，属于简单题目.8.已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.9.已知函数在区间内没有极值点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的极值点，可得或，由此求得的取值范围.【详解】因为函数在区间内没有极值点，所以，或，解得或，令，可得，故选C.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有倍角公式和辅助角公式的应用，有关函数的极值点的位置，从而得到相应的范围，求得结果，属于中档题目.10.某地举办科技博览会，有个场馆，现将个志愿者名额分配给这个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（）种A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法.【详解】每个场馆至少有一个名额的分法为种，至少有两个场馆的名额相同的分配方法有（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），再对场馆分配，共有种，所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种，故选A.【点睛】该题考查的是有关形同元素的分配问题，涉及到的知识点有隔板法，在解题的过程中，注意对至少两个场馆分配名额相同的要去除.11.定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数的零点转化为：在同一坐标系内的图象交点的横坐标，作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，即零点的对称性，根据奇函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案.【详解】因为当时，，即时，，当时，，当时，，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线与的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.【点睛】该题考查的是有关函数零点的问题，涉及到的知识点有将函数的零点转化为图象交点的问题，注意对奇函数的性质的应用，以及图象的对称性的应用，属于中档题目.12.设的内角所对边的长分别为，则下列命题正确的是（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则.A. （1）（2）（3）B. （1）（2）（5）C. （1）（3）（4）D. （1）（3）（5）【答案】D【解析】【分析】结合余弦定理以及反证法，举反例，对命题逐个分析，得出正确的结果.【详解】对于（1），，可以得出，所以，故正确；对于（2），，得出，故错误；对于（3），当时，，与矛盾，故正确；对于（4），取，满足，利用余弦定理得，故错；对于（5），因为，所以有，即，所以，故正确；所以正确命题的序号是（1）（3）（5），故选D.【点睛】该题考查的是有关选择正确命题的问题，涉及到的知识点有余弦定理，反证法，利用举反例来说明命题错误，属于中档题目.二、填空题。

2019届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测
数学（理）试卷
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数（为虚数单位），则（）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先用复数除法和乘法的运算法则化简复数，然后利用复数模的公式求出.
【详解】
故本题选A.
2.已知全集，集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过解不等式，对集合A,B化简，然后求出，最后求出.
【详解】或，因此集合=，
，因此集合B＝
故本题选D.
3.已知实数，满足约束条件，则的最大值为（）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
求的最大值，实质上就是求的最大值，设
问题就先转化求在可行解域内求的最大值. 最后求出的最大值.
【详解】设，显然是指数函数，是增函数.
本题求的最大值就是求出的最大值.可行解域如下图所示：
显然直线平行移动到点A时，有最大值，解方程组，
解得A点坐标为（1，1），代入直线中，得
的最大值为，故本题选C.
4.在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为
，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由所求问题可知，本题是求条件概率，因此可以运用公式求解。

同时本题又是一个几何概型，这就涉及到求面积，三角形面积可以直接使用三角形面积公式，而对于不规则图形的面积可以采用定积分的方法来求解。

【详解】图形如下图所示：。

理科数学参考答案三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22、23题为选考题，考生根据要求做答。

（一）必考题：共60分。

17．（1）【解析】由11n n S a +=-得11n n S a -=-（2n ≥）．两式相减得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=（2n ≥）． 又121S a =-得2122a a ==，所以数列{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1，故12n n a -=． （3分） 由112(2)n n n b b b n +-=+≥知n b 是等差数列，公差5124b b d -==，则21n b n =-． （6分） （2）()1212n n n n c a b n -=⋅=-⋅，()0121123252212n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ①，()()12312 123252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ②．①-②得()()()()121221222221212212323212nn nn n n T n n n ---=+⋅+++--⋅=+⋅--⋅=---⋅-故()2323nn T n =-⋅+． （12分）注：第（1）小题求{}n a 的通项没有验证212a a =，扣1分． 18．【解析】（1）如图，取AB 的中点M ，∵OO'⊥面ABC ，∴,,OA OM OO'两两垂直，以O 为坐标原点，,,OAOM OO'分别为,,x y z 正半轴，建立空间 直角坐标系O xyz -，设1OA =，(0)AOC θθπ∠=<<，则(1,0,0),(1,0,0),(cos ,sin ,0),(cos ,sin ,)A B C D t θθθθ--，于是(2cos ,0,)CD t θ=-，而平面ABB'A'的法向量(0,1,0)OM =， 由于0CD OM ⋅=及CD ⊄平面ABB'A'，所以CD ∥平面ABB'A'．（6分）（2）设1OA =，∵2AC ABAA'==，则1(2C ，1(2D -，(1,0,2)CD =-，1(2AC =-1(设面CAD 的法向量1(,,)n x y z =， 则112102CD n x AC n x y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 不妨设x =1(23,2,n =， 设面BAD 的法向量2(,,)n x y z =， 则22120220BD n x z BA n x ⎧⎪⋅=+=⎨⎪⋅==⎩， 不妨设4y =，得2(0,4,n =，所以121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=⋅519==， 故二面角C AD B --的余弦值为519． （12分）注：其他方法请酌情给分．19．【解析】（1）由题，1c =，232b a =，222a bc =+，解得2a =，23b =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（5分）（2）方法一：设00(,)P x y ，(4,)N N y ，由,,P M N 三点共线得003322141N y y x --=--， ∴0003(24)2(1)N y x y x +-=-，直线PF 的方程为00(1)1yy x x =--，即000(1)0y x x y y ---=，于是点N 到直线PF 的距离000003(24)|4(1)|y x y x y d+----=0033|6||6|3x x --===为定值．（12分） （2）方法二：设00(,)P x y ，01x ≠，则01||22PF x =-，当01x <时，00113||3||(1)(4)224NPF NMF PMF S S S MF MF x x =+=⋅⋅+⋅-=-△△△，当01x >时，00113||3||(1)(4)224NPF NMF PMF S S S MF MF x x =-=⋅⋅-⋅-=-△△△， 于是点N 到直线PF 的距离003(4)2231||22NPF x S d PF x -===-△为定值．（12分）注：其他解法请酌情给分． 20．【解析】（1）由条件知：X 的可能取值有0,1,2，由表中数据知，15人中有4人超重．（2分）故()0241121511021C C P X C ⋅===，()11411215441105C C P X C ⋅===，()204112152235C C P X C ⋅===． 所以X 的分布列为∴数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=． （6分） （2）i ）方案②更合理． （7分） 言之有理均可酌情给分，理由可以包括：从散点图观察，利用相关系数比较，体重与身高的关系比体重与年龄的关系更强等．（9分） ii ）6162221335196666225623 1.29335616877562i ii ii x yx y b xx==--⨯⨯==≈⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑（11分）1963351.29150.7432a y bx =-≈-⨯≈- 所以， 1.29150.74y x =-． （12分）注：第（2）小题学生讲到从散点图观察方案②的散点图比方案①的散点图中的点更接近某条直线，但没有在试卷上作散点图，不扣分．21．【解析】（1）a e =时，1()()ln ln(ln )2f x x e x x =--，()0f e =， 111'()ln ()22ln f x x x e x x x =+--，11'()2f e e=-， 于是，函数()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为11()()2y x e e=--，即11()122ey x e =-+-． （4分）（2）令ln (0,)x t =∈+∞，则()1ln 2f x ≥-等价于1()ln 1ln 22te a t t --≥-，即2ln 2ln 22t t a e t -+≤-恒成立，记2ln 2ln 22()tt g t e t -+=-，则2222ln 2ln 22ln 2ln 2()t tt t e t g't e t t-+-=+=， 再令2()2ln2ln 2t h t t e t =+-，则22()(2)0th't t t e t=++>，于是()h t 在(0,)+∞上单增，又2(2)40h e =>，1()4ln 2024h =-<，所以()h t 有唯一零点01(,2)2t ∈， 当0(0,)t t ∈时，()0g't <，()g t 单调递减；当0(,)t t ∈+∞时，()0g't >，()g t 单调递增，而0t 满足02002ln 2ln 20t t e t +-=，即002ln 0000222ln ln t t t e e t t t ⋅==⋅，令()tt t e ϕ=⋅，则0t 满足002()(ln )t t ϕϕ=，其中01(,2)2t ∈，02ln (0,ln 4)t ∈，又()(1)t't t e ϕ=+，所以(1,)t ∈-+∞时，()0't ϕ>，()t ϕ单调递增，因此002ln t t =，即00ln ln 2t t =-+，002te t =， 于是00min 002ln 2ln 22()()tt a g t g t e t -+≤==-0002(ln 2)2ln 2222t t t -+-+-=， 即(,2]a ∈-∞． （12分）22．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为24y x =，直线l 的直角坐标方程为tan (1)y x α=⋅-．（5分）（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）由2tan (1)4y x y x α=⋅-⎧⎨=⎩得2222tan (2tan 4)tan 0x x ααα⋅-++=．所以21222tan 4tan x x αα++=．因直线l 过抛物线C 的焦点所以21224tan 42tan AB x x αα+=++=．由题设知224tan 48tan αα+=，又02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故tan 1α= 因此l 的方程为1y x =-．AB 的中点坐标为（3，2），因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=． （10分）23．【解析】（1）13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩，()2f x ≥等价于1232x x ⎧<-⎪⎨⎪-≥⎩或11222x x ⎧-≤<⎪⎨⎪+≥⎩或132x x ≥⎧⎨≥⎩， 所以23x ≤-或01x ≤<或1x ≥ ，故原不等式的解集为[)2,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦． （5分）（2）()y f x =的图像如图所示：13(,)22A -，(1,3)B ，直线74y ax =+过定点7(0,)4P因为15,24AP BP K K ==，所以1524a ≤≤． （10分）。

绝密★启用前安徽省马鞍山二中2019届高三年级高考模拟数学（理）试题2019年4月一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合＜，，则集合M∩N中元素的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i为虚数单位，m R，若复数（2-i）（m+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的模为（）A. B. C. D. 23.CPI是居民消费价格指数（consumerpriceindex）的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的2017年6月---2018年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2018年6月与2017年6月相比较,叫同比；2018年6月与2018年5月相比较,叫环比）,根据该折线图,则下列结论错误的是（）A. 2017年8月与同年12月相比较,8月环比更大B. 2018年1月至6月各月与2017年同期相比较,CPI只涨不跌C. 2018年1月至2018年6月CPI有涨有跌D. 2018年3月以来,CPI在缓慢增长4.已知双曲线C：的左焦点为F1,作直线y=-x交双曲线的左支于A点,若AF1与x轴垂直,则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 2 D.5.元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤,1斤=16两）,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变,按此法将银依次分给7个人,则最后3个人一共得（）A. 两B. 两C. 两D. 14两16.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某组合体的三视图,则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.7.已知f（2x）=（2sin2x-1）ln（4x2）,则数f（x）的部分图象大致为（）A.B.C.D.8.已知函数,若,则a、b、c之间的大小关系是（, ）A. B. C. D.9.将函数f（x）=2sinπx-1的图象向左平移＜＜个单位长度后得到函数g（x）的图象,若使|f（a）-g（b）|=4成立的a、b有,则下列直线中可以是函数y=g（x）图象的对称轴的是（）A. B. C. D.10.在所有棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别为棱BB1、BC的中点,则直线A1B1与平面A1DE所成角的正弦值为（）A. B. C. D.11.已知不过原点的动直线l交抛物线C：y2=2px（p＞0）于M,N两点,O为坐标原点,F为抛物线C的焦点,且|+|=|-|,若△MNF面积的最小值为27,则p=（）A. 2B. 3C. 4D. 612.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,f（x）=x-[x],若f（x）的图象上恰好存在一个点与g（x）=（x+1）2-a（-2≤x≤0）的图象上某点关于y轴对称,则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题,共20.0分）13.已知向量,若B、C、,三点共线,则t,n（2019π,α）,______．2。

安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学（理）试题一、单选题1．复数521iz i i=++的共轭复数为( ） A. 12i - B. 12i + C. 1i - D. 1i -2．等比数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D.3．若实数满足约束条件则的最小值为（ ）A. 2B. 1C.D. 不存在4．已知函数 ，则函数的大致图象是（ ）A. B.C. D.5．从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（ ）A. B. C. D.6．若，则的值不可能为（ ）A. B. C. D.7．如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（ ）A. B. 2 C. D.8．如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）A. B.C. D.9．二项式n+的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为（）A. 3B. 5C. 6D. 710．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.11．已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A. B. C. D.12．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652二、填空题13．已知向量满足，，则的夹角为__________．14．点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．15．在三棱锥中，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________．16．已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．三、解答题17．如图，中为钝角，过点作交于，已知.（1）若，求的大小；（2）若，求的长.18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.19．如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.（1）求证：面；（2）求二面角的大小.20．直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.（1）求此抛物线的方程；（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.21．已知函数.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为. （1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，求的大小.安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学（理）试题一、单选题1．复数521iz i i=++的共轭复数为( ） A. 12i - B. 12i + C. 1i - D. 1i -【答案】A【解析】根据题意化简得12z i =+， 12z i =-，选A. 2．等比数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当时,,当时，所以，故选B.3．若实数满足约束条件则的最小值为（ ）A. 2B. 1C.D. 不存在 【答案】B【解析】由题得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线经过点C(0，1)时，直线的纵截距z 最小，所以的最小值为，故选B.4．已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于函数f(x),当x≥0时，-x≤0,所以，同理当x<0时，，所以函数f(x)是偶函数.令，所以，所以函数h(x)是偶函数，所以排除B,D.当时，，故选A.点睛：遇到函数的问题，大家都要联想到用函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性等来帮助我们分析解答问题，所以本题要先研究函数f(x)、g(x)、h(x)的奇偶性，通过奇偶性排除选项.再利用其它性质分析求解.5．从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得总的基本事件个数为,事件A分三类，第一类：从三个男生中选两个男生和另外一个女生组合，有种方法；第二类：选除了甲以外的两个男生和女生乙，有一种方法；第三类：选两个女生，从除了甲以外的两个男生中选一个，有种方法，共有6种方法，所以由古典概型的公式得，故选D.6．若，则的值不可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得，所以，把代入，, 显然不成立，故选B.7．如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】先读懂程序框图，由程序框图得，d表示的就是上半圆上的点到直线x-y-2=0的距离，画图由数形结合可以得到，故选C.8．如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】先作出经过三点所在的平面，可以取的中点F ，则平行四边形就是过三点所在的平面（两个平行的平面被第三个平面所截交线平行），所以剩下部分的三视图是A ，故选A.9．二项式n+的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为（ ）A. 3B. 5C. 6D. 7 【答案】D【解析】因为展开式中只有第11项的二项式系数最大,所以n=20.二项式展开式的通项为)42020203212020rrrr rr r T C C x ---+==，由题得4203r -为整数，所以0,3,6,9,12,15,18.r =故选D.10．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位长度后，得到与函数图象重合，则：，解得：，，当时，，故选C.11．已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设,由题得，所以，故选C.点睛：本题的难点在于计算出要观察变形,再联想到基本不等式解答.观察和数学想象是数学能力中的一个重要组成部分，所以平时要有意识地培养自己的数学观察想象力.12．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652【答案】B【解析】由题得，.故选B.点睛：本题的难点在于通过递推找到数列的周期. 可以先通过列举找到数列的周期，再想办法证明. 由于问题中含有的项数较多，且有规律性，所以要通过分析递推找到数列的周期.二、填空题13．已知向量满足，，则的夹角为__________．【答案】【解析】由题得, 因为,所以故填.14．点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题得所以所以（舍去负根），所以，故填.15．在三棱锥中，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________． 【答案】【解析】∵，∴即为直角三角形，当面时，三梭锥的体积最大，又∵，外接圆的半径为，故外接球的半径满足，∴外接球的表面积为，故答案为.点睛：考查四棱锥的外接球的半径的求法，考查空间想象能力，能够判断球心的位置是本题解答的关键；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面．16．已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由题得有三个零点，所以有三个零点，所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分，y=a(x-2)表示过定点（2,0）的直线，所以直线和粗线有三个交点. 所以由题得.所以所以a的取值范围为.点睛：本题的难点在作函数的图像. 要作函数的图像，由于含有绝对值，所以要分类讨论，写出它的表达式.如果把f(x)代进去求x的范围，那就复杂了，可以不需要求x 的范围，直接得到，再画出函数的图像，这样就简洁了很多.三、解答题17．如图，中为钝角，过点作交于，已知.（1）若，求的大小；（2）若，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用正弦定理得到，解答. (2)第（2）问，先在直角△ADC中，求出，再在△ABD中利用余弦定理求解BD的长.试题解析：（1）在中，由正弦定理得，，解得，又为钝角，则，故.(另解：在中，由余弦定理解得，从而是等腰三角形，得）（2）设，则.∵，∴，∴.在中由余弦定理得，，∴，解得，故.18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，先对，两边取自然对数得，再换元将非线性转化成线性问题，求线性回归方程，再利用最小二乘法公式和参考数据求解. (2)第（2）问，先写出随机变量的值，再写出随机变量的分布列和期望.试题解析：（1）对，两边取自然对数得，令，得，由，，故所求回归方程为.（2）由，即优等品有 3 件，的可能取值是0，1，2, 3，且,,.其分布列为∴.点睛：本题的难点在于将非线性转化成线性后如何求最小二乘法公式中的各基本量，所以这里要理解公式中各字母的含义，再利用参考数据解答.19．如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.（1）求证：面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，把面转化成证明线线垂直和.(2)第（2）问，直接利用空间向量的方法求二面角的大小.试题解析：（1）证明：分别取和的中点，连接.由平面几何知识易知共线，且.由得，从而，∴，又，∴.∴面，∴.在中，，∴，在等腰梯形中，，∴，∴，又，面，∴面.（2）由（1）知面且，故建立空间直角坐标系如图所示.则，.由（1）知面的法向量为.设面的法向量为，则由，得，令，得，∴.所以，二面角大小为.20．直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.（1）求此抛物线的方程；（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用韦达定理和数量积公式把转化成p的方程，再解方程得解. (2)第（2）问，分别计算出与的面积，再计算出它们的面积比.试题解析：（1）设，将代入，得.其中，.所以，.由已知，.所以抛物线的方程.（2）当时，，易得抛物线在处的切线方程分别为和.从而得.设，则抛物线在处的切线方程为，设直线与轴交点为，则.由和联立解得交点，由和联立解得交点，所以，，所以与的面积比为2.点睛：本题的技巧在第（2）问，计算与的面积时，要注意灵活.,.计算准了，后面的面积比就容易求解了.21．已知函数.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，方法一，构造函数，再分析f(x)的最大值和零的关系得到a的取值范围.方法二，分离参数得到恒成立，即a大于F(x)的最大值.(2)第（2）问，先要把证明的不等式转化，再由第（1）问，恒成立，得到恒成立，把数列的通项放缩，对数列求和，再化简证明不等式.试题解析：（1）法一：记，则，，①当时，∵，∴，∴在上单减，又，∴，即在上单减，此时，，即,所以a≥1.②当时，考虑时，，∴在上单增，又，∴，即在上单増，,不满足题意.综上所述，.法二：当时，等价于，，记，则，∴在上单减，∴，∴，即在上单减，，故.（2）由（1）知：取，当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，即对于恒成立，由此，，，于是，故.点睛：本题的难点在第（2）问，先要把证明的不等式化简，由于的左边无法化简，所以要对左边进行化简，对不等式进行转化，不等式两边要取对数.再利用第（1）问的结论对数列的通项进行放缩，再求和，再证明不等式.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为. （1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）等式两边同时乘以，根据即可得圆的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的方程，根据参数方程的几何意义结合韦达定理可得结果.试题解析：（1）由，得圆的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程代入圆的方程可得：整理得：∴根据参数方程的几何意义，由题可得：.23．已知，.（1）若且的最小值为1，求的值；（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得，解出方程即可；（2）易得，即，即且，再根据列出不等式即可得结果.试题解析：（1）(当时，等号成立）∵的最小值为 1，∴，∴或，又，∴.（2）由得，，∵，∴，即且且.。

2019届安徽省马鞍山市第二中学高三下学期2月开学考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合()(){|320}A x x x =+-＞，1{|4}2xB x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜2} B ．A ∩B ＝{x |﹣3＜x ＜2} C ．A ∪B ＝{x |x ≥﹣2} D ．A ∪B ＝{x |x ＞﹣3}【答案】D【解析】由题意可求出集合,A B ，然后进行交集和并集的运算即可． 【详解】()(){}|320{x |32}A x x x x =+->=-<<，1{|4}{|2}2xB x x x ⎛⎫=≤=≥- ⎪⎝⎭； ∴2|}2{A B x x ⋂=-≤<，{|3}A B x x ⋃=>- ． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了集合交集和并集的运算，属于基础题． 2．已知复数3102z i i=--（其中i 为虚数单位），给出下列题：p 1：z 的共轭复数为4﹣i ；p 2：z 的虚部为3i ；p 3：z 的模为25；p 4：z 在复平面内对应的点位于第四象限，其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】利用已知条件化简复数z ，然后判断四个命题的真假即可． 【详解】 复数3102z i i =--，i 为虚数单位，可得()102435i z i i +=+=+ ． z 的共轭复数为43i -，所以1p 不正确；z 的虚部为3，所以2p 不正确；z 的模为5，所以3p 不正确；z 在复平面内对应的点位于第一象限，所以4p 不正确．故选：A ． 【点睛】本题考查复数的基本概念，复数的代数形式混合运算，命题的真假的判断，是基础题． 3．已知直线l 的倾斜角为α，且直线l 与l 1：x ﹣2y +1＝0垂直，则222sin cos αα=-（ ）A ．49B ．49-C ．49±D ．23【答案】A【解析】根据题意，求出直线1:210l x y -+=的斜率，由直线相互垂直的性质可得tan 2α=- ，利用同角基本关系化简可得22sin 22tan cos 212tan αααα=--- ，代入数据计算可得答案． 【详解】根据题意，1:210l x y -+=，其斜率12k =， 若直线l 的倾斜角为α，且直线l 与1l 垂直，则tan 2α=-， 则22222sin 22sin cos 2tan 4cos 2cos 2c ()os sin 12tan 9ααααααααα===--+--.故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的同角基本关系以及直线互相垂直的斜率之间的关系的应用，属于基础题．4．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．110【答案】B【解析】基本事件总数23253220n C C A ==，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数23221222322322 8m C C A C C C A =+=，由此能求出大夫、不更恰好在同一组的概率．【详解】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务， 基本事件总数23253220n C C A ==，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数23221222322322 8m C C A C C C A =+=，所以大夫、不更恰好在同一组的概率为82 205m p n ===． 故选：B ． 【点睛】本题考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知函数f （x ）＝x 5+3x ﹣3sinx +1，且f （2t 2）+f （1﹣3t ）＞2，则实数t 的取值范围为（ ）A ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()112∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，，C ．112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，D ．()112∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭，， 【答案】B【解析】设()533sin g x x x x =+-，则()()1f x g x =+，将不等式转化为()()22130g t g t +->，然后判断函数()g x 的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可． 【详解】设()533sin g x x x x =+-，则()()1f x g x =+， 则不等式()()22132f tf t +->，等价为()()221322g tg t +-+>， 即()()22130g t g t +->，∵()533sin g x x x x =+-是奇函数，∴()()22130g tg t +->，等价为()()()221331g t g t g t >--=-，函数()g x 的导数()4533cos 0g x x x '=+-≥恒成立，即()g x 是增函数，则不等式等价为2231t t >-，即22310t t -+>， 解得1t >或12t <， 即实数t 的取值范围是()112⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件设()533sin g x x x x =+-，则()()1f x g x =+，然后判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为n S ，4()nx x-的展开式中含x n ﹣4的项的系数恰为S n ，则a 6＝（ ） A ．30 B ．240 C ．﹣80 D ．80【答案】D【解析】由题意利用二项展开式的通项公式求得n S ，再根据等差数列的第n 项与前n 项和的关系，求得6a 的值． 【详解】因为4nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式的通项公式为()21 4r rn r r n T C x -+=⋅-⋅，所以当2r =时，含4n x -的项的系数恰为()21681n C n n ⋅=-，又等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中含4n x -的项的系数恰为n S ， 所以()21681n n S C n n =⋅=- ，66586585480a S S =-=⨯⨯-⨯⨯=.故选：D ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，等差数列的第n 项与前n 项和的关系，属于基础题．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据程序框图进行模拟运算即可． 【详解】1i =时，12120S i S ==≥,,不成立，则122S =⨯=，3120i S =≥,不成立， 则2364120S i S =⨯==≥,,不成立， 则64245120S i S =⨯==≥,,不成立，则2451206120S i S =⨯==≥,,成立， 输出1615i -=-=.故选：B ． 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用程序框图进行模拟运算是解决本题的关键． 8．将函数g （x ）＝2sinx 的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数f （x ）的图象.若f （x 1）＝f （x 2）＝2，且x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，则x 1﹣2x 2的最大值为（ ） A ．35π12B ．53π12C ．59π12D ．67π12【答案】C【解析】根三角函数的图象变换关系求出()f x 的解析式，然后求出12 ,x x 的表达式，进行求解即可． 【详解】将函数()2sin g x x =的图象向左平移 3π个单位长度， 得到2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∵()()122f x f x ==， ∴12sin 2sin 2133x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴11122222,,2,3232x k k Z x k k Z ππππππ+=+∈+=+∈，即112212,,,1212x k x k k k Z ππππ=+=+∈，∵[]12,22x x ππ∈-，， ∴要使122x x -的值最大， 则1x 最大，2x 最小， 当11k =时，1x 最大为131212πππ+=，当22k =-时，1x 最大为2321212πππ-+=-， 则122x x -的最大值为132******** 1212121212πππππ⎛⎫-⨯-=+= ⎪⎝⎭. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，以及利用函数最值性质求出12,x x 的表达式是解决本题的关键．9．已知某几何体由一个四棱锥和一个半圆柱组成，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4π25426+++B ．5π254214+++C ．5π25426+++D ．5π2514++【答案】C【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，分别计算面积可得答案． 【详解】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四锥的组合体， 半圆柱的底面半径为1高为4，如下图所示：由图可知，几何体的表面积为：22211111124222442 2 22422222ππ⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯+56π=+ ．故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是圆柱的表面积，棱锥的表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 10．已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．﹣4 D ．不能确定【答案】B【解析】设出,A B 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解0y 的值． 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，12x x ≠， 由28x y =，可得4xy '=，所以14MA x k =，24MB x k =， 因为过点00(,)M x y 作直线,MA MB 与抛物线C 分别切于点,A B ，且以AB 为直径的圆过点M ，所以12144MA MB x x k k ⋅=⋅=-，可得1216x x =-， 直线MA 的方程为：()()1111144xy y x x x x y y -=-=+， ①，同理直线MB 的方程为：()2224xy y x x -=-，()224x x y y =+②，①2x ⨯-②1x ⨯，可得1228x x y ==-，即02y =-. 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，曲线与方程相结合，考查计算能力． 11．已知实数x 0是函数()391343xf x log x log x =-+的一个零点，实数x 1、x 2、x 3满足x 1＞x 2＞x 3＞0，且f （x 1）f （x 2）f （x 3）＞0，则（ ） A ．x 0＜x 1 B ．x 0＞x 1C ．x 0＜x 3D ．x 0＞x 3【答案】D【解析】利用函数的单调性，对123(),(),()f x f x f x 的符号进行分类讨论，即可求解． 【详解】∵()3913log 4log 3x f x x x =-+； ∴()31log 3x f x x =-，在(0)+∞，内单调递减； ∵实数0x 是函数()f x 的一个零点；∴在0(0,)x 内()0f x >；在0()x +∞，内()0f x <； ∵1230x x x >>>，且()()()1230f x f x f x >，∴①当()()()123000f x f x f x >>>，，时；则32100x x x x <<<< ； ②当()()()123000f x f x f x <<>,,时；则301200x x x x x <<>>,； ∴30x x <. 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，考查学生的数形结合能力，属于中档题．12．在等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中B 为钝角，b ＝bcos 2A .点D 与点B 在直线AC 的两侧，且CD ＝3AD ＝3，则△BCD 的面积的最大值为（ ）A ．B ．CD ．3【答案】C【解析】以D 为原点，DC 为x 轴正方向建立直角坐标系，点A 在单位圆上，可得0(3)C ，，由已知可求23B π=，设(),B x y ADC θ∠=，，可得cos (n )si A θθ，，可得AC =，由余弦定理AB BC ==，可得B 的轨迹为：223123x y ⎛⎛⎫ ⎪ ⎭⎝⎭-+=⎝，可得32x =时，有maxB y =，利用三角形的面积公式可求BCD S △的最大值． 【详解】如图所示，以D 为原点，DC 为x 轴正方向建立直角坐标系，点A 在单位圆上，可知0(3)C ，， 由3sin cos 2b a A b A -=，可得()22sin 3 sin sin 12sin B A B A =-， 2232sin sin A B A =，即3sin 2B =， 由B 为钝角， 所以23B π=， 设(),B x y ADC θ∠=，，可得：cos (n )si A θθ，，所以106cos AC θ=- 由题意及余弦定理可得：2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅， 又ABC ∆为等腰三角形，所以2222cos3AC AB AB AB AB π=+-⋅⋅所以3AC AB BC ==()2222cos s ()()in 3x y x y θθ-+-=-+；()2222cos ()3sin 33x y θθ-+-+=， 消去θ可得B 的轨迹为：22331223x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭-+-=⎝， 当32x =时，有max53B y =由1322BCD B B S CD y y =⋅=V ， 所以()max1535332BCD S =⨯=V ． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，圆的轨迹方程的求法，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于难题．二、填空题13．若实数x 、y 满足约束条件12322x y y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，则z ＝3x ﹣y 的最大值为_____.【答案】2【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，3z x y =-表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，由2322y x x y =⎧⎨=-⎩解得A (2，4) 当直线z ＝3x ﹣y 过点A 时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值2. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．已知在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，()()()1,,3,1,4,AC m AB BD n ===u u u r u u u r u u u r，若B 、C 、D 三点共线，则m +n ＝_____. 【答案】0或3【解析】由BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 得到BC uuu r坐标，再由AC ⊥BC ，B 、C 、D 三点共线的向量表示，得到等量关系，即得解. 【详解】()()1,3,1(2,1)BC AC AB m m =-=-=--u u u r u u u r u u u r由于AC ⊥BC ，故0BC AC ⋅=u u u r u u u r2(1)02m m m ∴-+-=∴=或1m =-若B 、C 、D 三点共线，则//BC BD u u u r u u u r24(1)02(1)2n m n m ∴---=∴=--=-或4故：m +n ＝0或3 【点睛】本题考查了向量垂直，共线的坐标表示，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.15．已知双曲线()2222100y x a b a b-=＞，＞的上焦点、下顶点、上顶点分别为F 、A 、B ，过点F 作y 轴的垂线与双曲线交于点P 、Q ，线段FQ 的中点为M ，直线AP 与x 轴交于点N .若M 、B 、N 三点共线，则该双曲线的离心率为_____. 【答案】3【解析】计算出,M N 的坐标，根据三角形相似列方程得出,a c 的关系，得出答案． 【详解】作出草图，如下图所示：直线PQ 的方程为y ＝c ，代入2222y x a b -=1可得x ＝±2b a ，∴P (2b a -，0)，Q (2b a ，0)，∴M (22b a ，0)，∴M 22b F a=，又A (0，﹣a )，∴直线AP 的方程为2y a xb c a a+=+-，令y ＝0可得2b x a c =-+，∴N(2ba c-+，0)，∴O2bNa c=+，又B(0，a)，∴OB＝a，BF＝c﹣a.∵M，B，N三点共线，∴FM BFON OB=，即222bc aab aa c-=+，化简得：c＝3a，∴cea==3.故答案为：3.【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，属于中档题．16．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，点E、F分别在线段AB、AD上，且EF∥CD，将△AEF沿EF折起到△MEF的位置，并使平面MEF⊥平面BCDFE，得到几何体M﹣BCDEF，则折叠后的几何体的体积的最大值为_____.【答案】14【解析】设()01AE x x=<≤，在等腰梯形ABCD中，60BAD∠=︒，则AEFV是边长为x的等边三角形，求出折叠后棱锥的高，把棱锥体积表示为x的函数，利用导数求最值．【详解】设AE＝x(0<x≤1)，在等腰梯形ABCD中，由AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，可得∠BAD＝60°，由EF∥CD，可得△AEF是边长为x的等边三角形，将△AEF沿EF折起到△MEF的位置，并使平面MEF⊥平面BCDFE，则EF边上的高为3h=，()22133333122BCDFES x x=⨯+=，∴23113388M BCDFE V x x x -⎫==-+⎪⎪⎝⎭(0<x ≤1). 233'88V x =-+≥0在(0，1]上恒成立，∴31388V x x =-+在(0，1]上为增函数，所以折叠后的几何体的体积的最大值为V (1)131884=-+=. 故答案为：14. 【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，训练了利用导数求最值，是中档题．三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n +2n ＝a n +1﹣2，a 2＝8，其中n ∈N . （1）记b n ＝a n +1，求证：{b n }是等比数列； （2）设n n nnc T b =，为数列{c n }的前n 项和，若不等式k ＞T n 对任意的n ∈N 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）34k ≥【解析】（1）求得首项，运用数列的递推式，结合等比数列的定义，即可得证； （2）运用等比数列的通项公式，可得c n n n n b ==•(13)n ，由数列的错位相减法可得n T ，结合不等式恒成立思想可得k 的范围． 【详解】(1)证明：122228n n S n a a ++=-=， ， n ＝1时，122226S a +=-=，解得a 1＝2，n ≥2时1222n n S n a ++=-，可得12222n n S n a +-=--， 两式相减可得122n n n a a a +=-+， 即有132n n a a +=+ ， 可得113(1)n n a a +++= ，即有{b n }是首项和公比为3的等比数列；(2)c n n n n b ==•13⎛⎫ ⎪⎝⎭n， n T ＝1•13+2•19n ++L •13⎛⎫ ⎪⎝⎭n ， 13T n ＝1•19+2•127n ++L •13⎛⎫⎪⎝⎭n +1，两式相减可得21113393Tn ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭L n ﹣n •13⎛⎫ ⎪⎝⎭n +1 11133113n n ⎛⎫-⎪⎝⎭=--•13⎛⎫ ⎪⎝⎭n +1，化简可得323443nn Tn +=-⋅， 可得34Tn <， 不等式k >T n 对任意的n ∈N 恒成立，可得34k ≥. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等比数列的定义和通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立问题解法，属于中档题．18．如图①，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 是等边三角形.如图②，将△BCD 沿BC 折起，使平面BCD ⊥平面ABC ，记BC 的中点为E ，BD 的中点为M ，点F 、N 在棱AC 上，且AF ＝3CF ，C 38N CA =.（1）试过直线MN 作一平面，使它与平面DEF 平行，并加以证明；（2）记（1）中所作的平面为α，求平面α与平面BMN 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2474【解析】（1）过N 作//NG EF ，交BC 于G ，连结MG ，推导出G 是BE 的中点，从而MG DE P ，由此能证明平面//MNG 平面DEF ．（2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过点B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面α与平面BMN 所成锐二面角的余弦值． 【详解】(1)过N 作NG ∥EF ，交BC 于G ，连结MG ，则平面MNG ∥平面DEF . 理由如下：∵EF ∥NG ，BC 的中点为E ，BD 的中点为M ，点F 、N 在棱AC 上，且AF ＝3CF ， C 38N CA =.∴12431184ACCE CF EG FN AC AC ===-， ∴G 是BE 的中点，∴MG ∥DE ，又DE ∩EF ＝E ，MG ∩NG ＝G ， ∴平面MNG ∥平面DEF .(2)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过点B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：设BC ＝2，则B (0，0，0)，D (1，03，M (1302，，， A (0，2，0)，G (12，0，0)，N (54，34，0)， 1302BM ⎛= ⎝⎭u u u u r ，，，53044BN ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，，，GM =u u u u r (0，03，33(44GN =u u u r ，，0)， 设平面BMN 的法向量n =r(x ，y ，z )，则1325344n BM x zn BNx y⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u u rru u u rr，取3x=，得(3n=r，53-，﹣1)，设平面GMN的法向量m=r(x，y，z)，则323344m GM zm GN x y⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u u rru u u rr，取x＝1，得m=r(1，﹣1，0)，设平面α与平面BMN所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ8341733723m nm n⋅===⋅⋅r rr r.∴平面α与平面BMN所成锐二面角的余弦值为474.【点睛】本题考查与另一个平面平行的平面的作法与证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．某学校为了解高一新生的体能情况，在入学后不久，组织了一次体能测试，按成绩分为优秀、良好、一般、较差四个档次.现随机抽取120名学生的成绩，其条形图如下：（1）将优秀、良好、一般归为合格，较差归为不合格，试根据条形图完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生的成绩与性别有关.合格不合格合计男生女生（2）学校为了解学生以前参加课外活动的情况，利用分层抽样的方法从120名学生中抽取24名学生参加一个座谈会.①座谈会上抽取2名学生汇报以前参加课外活动的情况，求恰好抽到测试成绩一个优秀与一个较差的学生的概率；②为全面提高学生的体能，学校专门安排专职教师对全校测试成绩较差的学生在课外活动时进行专项训练，通过一段时间的训陈后，测试合格率达到了56.若某班有4名学生参加这个专项训陈，求训练后测试合格人数ξ的分布列与数学期望.附：K 2()()()()2()n ad bc a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a +b +c +d【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生的成绩与性别有关；（2）①569，②分布列见解析，()705224E ξ= 【解析】（1）计算观测值，结合临界值表可得；（2）①由条形图可知：优秀：良好：一般：较差=5：12：3：4，所以从120名学生中抽取24人，其中优秀抽取5人，良好抽取12人，一般抽取3人，较差抽取4人．所以恰好抽到测试成绩一个优秀与一个较差的学生的概率1154224569C C P C == ； ②依题意测试合格人数ξ服从二项分布，即5~46B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，根据二项分布的概率公式可得分布列和数学期望． 【详解】 (1)列联表如下：k22120(7015305)721002075455⨯-⨯===⨯⨯⨯14.4，∵14.4>6.635，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生的成绩与性别有关(2)由条形图可知：优秀：良好：一般：较差＝25：60：15：20＝5：12：3：4，所以从120名学生中抽取24人，其中优秀抽取5人，良好抽取12人，一般抽取3人，较差抽取4人.①所以恰好抽到测试成绩一个优秀与一个较差的学生的概率1154224569C CPC==.②依题意测试合格人数ξ服从二项分布，即ξ～B(4，56)，∴∴P(ξ＝0)045 6C ⎛⎫= ⎪⎝⎭0(15)6-411296=，P(ξ＝1)14551 66C ⎛⎫=⨯⨯-⎪⎝⎭3201296 =，P(ξ＝2)245 6C ⎛⎫= ⎪⎝⎭2516⎛⎫-⎪⎝⎭21501296=，P(ξ＝3)345 6C ⎛⎫= ⎪⎝⎭35500161296⎛⎫-=⎪⎝⎭，P(ξ＝4)445 6C ⎛⎫= ⎪⎝⎭46251296 =，∴ξ的分布列为：E (ξ)＝011296⨯+1201296⨯+21501296⨯+35001296⨯+4625282070512961296324⨯==. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望和分布列，属中档题．20．已知A 是圆O ：x 2+y 2＝4上一动点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，动点D满足DB AB =u u u r u u ur .（1）求动点D 的轨迹C 的方程；（2）垂直于x 轴的直线M 交轨迹C 于M 、N 两点，点P （3，0），直线PM 与轨迹C 的另一个交点为Q .问：直线NQ 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）直线NQ 恒过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）设()D x y ，，用,x y 表示出A 点坐标，代入圆O 方程化简即可得D 的轨迹方程；（2）设直线PM 斜率为()()1122,,,,k M x y Q x y ，根据根与系数的关系得出,M Q 的坐标关系，利用两点式表示出直线NQ 的方程，化简即可得出结论． 【详解】(1)设D (x ，y )，∵DB AB=u u u ru ur ，∴A (x， 代入圆O 的方程可得：x 2243y+=4，即2243x y +=1.∴动点D 的轨迹C 的方程是：2243x y +=1.(2)设直线PM 的方程为y ＝k (x ﹣3)，联立方程组()223143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消元得：(3+4k 2)x 2﹣24k 2x +36k 2﹣12＝0，∴△＝576k 4﹣4(3+4k 2)(36k 2﹣12)>0，解得：k 235<. 设M (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，﹣y 1)，由根与系数的关系可得：x 1+x 2222434k k =+，x 1x 222361234k k -=+，直线NQ 的方程为：112121y y x x y y x x +-=+-，即(x 2﹣x 1)y ﹣(y 1+y 2)x +x 2y 1+x 1y 2＝0，∵y 1+y 2＝k (x 1﹣3)+k (x 2﹣3)＝k (x 1+x 2)﹣6322434k k k=-+621834k k k -=+， x 2y 1+x 1y 2＝x 2k (x 1﹣3)+x 1k (x 2﹣3)＝2kx 1x 2﹣3k (x 1+x 2)＝2k •22361234k k --+3k •22224243434k kk k-=++， ∴直线NQ 方程为：(x 2﹣x 1)21834k y k ++•22434kx k -=+0，即(x 2﹣x 1)2184343k y x k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭＝0，∴直线NQ 恒过定点(43，0). 【点睛】本题考查了轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝e x ﹣2mx ﹣n （0＜x ＜1），其中m ，n ∈R ，e 为自然对数的底数. （1）试讨论函数f （x ）的极值；（2）记函数g （x ）＝e x ﹣mx 2﹣nx ﹣1（0＜x ＜1），且g （x ）的图象在点1122g ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，处的切的斜率为1e -g （x ）存在零点，试求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）()21e -，【解析】（1）求导后对m 的取值分类，注意在定义域内，得函数有无极值，且求出极值；（2）求导()'g x 得到等于()f x ，求出在12x =处的导数值，既是在12处的切线的斜率，由题意得,m n 的关系，然后讨论m 的范围使()g x 存在零点，进而求出m 的范围． 【详解】(1)()2,01xf x e m x '<<＝﹣ ，①当2m ≤1时，即12m ≤时，1<e x <e ，∴()0f x '> ，f (x )在(0，1)上单调递增，f (x )无极值； ②当2m ≥e 时，即2e m ≥时，()0f x '≤ ，f (x )在(0，1)上单调递减，f (x )无极值； ③当12m <<e 时，)'(0f x ＝，x ＝ln2e ，当0ln 2x e <<时，f (x )<0，f (x )单调递减，当1>x >ln2e 时，()0f x '>，函数f (x )单调递增，所以(0，1)上函数f (x )有极大值，无极小值，且极大值为f (ln2e )＝2e ﹣2m ln2e ﹣n ； 综上：当12m ≤或2e m ≥，函数f (x )无极值； 当12m <<e 时，f (x )的极小值为2m ﹣2m ln2m ﹣n ，无极大值； (2)由题意得：g '(x )＝e x ﹣2mx ﹣n ，g (x )的图象在点1122g ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，处的切线的斜率为1﹣e而g '12m ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹣n ，所以m +n ＝e ﹣1， ∴n ＝e ﹣1﹣m ，g (x )＝e x ﹣mx 2﹣(e ﹣m ﹣1)x ﹣1，所以g (0)＝0，g (1)＝e ﹣m ﹣(e ﹣m ﹣1)﹣1＝0，设x 0为g (x )在区间(0，1)内的零点，则g (0)g (x 0)＝0，可知g (x )在区间(0，x 0)内不可能单调递增，也不可能单调递减，故g '(x )不可能恒为正，也不可能恒为负，故g (x )在(0，x 0)内存在零点x 1，在区间(x 0，1)内存在零点x 2，所以g '(x )＝f (x )在区间(0，1)内至少有两个零点，由(1)知当12m ≤时，g '(x )在区间(0，1)单调递增， 故g '(x )在区间(0，1)内至多有一个零点； 当122e m <<时，g '(x )在区间(0，ln2m )内单调递减，(ln2m ，1)内单调递增， 所以x 1∈0，ln2m )，x 2∈(ln2m ，1)，则g '(0)＝1﹣(e ﹣m ﹣1)>0，g '(1)＝e ﹣2m ﹣(e ﹣m ﹣1)>0，g '(ln2m )＝2m ﹣2m ln2m ﹣n ＝3m ﹣2m ln2m +1﹣e <0，令h (x )32x =﹣x ln x +1﹣e ，(1x e <<)，则h '(x )12lnx =-，令h '(x )＝0，则得x =当1x <<h '(x )0> ，g (x )单调递增，x e <<时，h '(x )<0，h (x )单调递减，所以h (x )最大值＝h =1﹣0e <；所以g '(ln2m )<0恒成立，由()()()()'0110'1210g e m g e m e m ⎧=--->⎪⎨=---->⎪⎩得21e m -<<， 综上，实数m 的取值范围(e ﹣2，1)【点睛】考查用导数研究函数的单调性，及极值，属于中难题．22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为x y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4cos πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. （1）探究直线l 与曲线C 2的位置关系，并说明理由；（2）若曲线C 3的极坐标方程为002πθαρα⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，＜＜，且曲线C 3与曲线C 1、C 2分别交于M 、N 两点，求|OM |2•|ON |2的取值范围.【答案】（1）相离，理由见解析；（2）()0,4 【解析】（1）将直线l 和曲线2C 都化成直角坐标方程后，用圆心到直线的距离与半径比较大小可得； （2）用曲线3C 和12,C C 的极坐标方程联立，用极径的几何意义可求解．【详解】(1)由题意得ρ2＝2ρsin θ，令y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y ＝0，即x 2+(y ﹣1)2＝1，由直线l ：ρcos (θ4π+)＝ρcos θ﹣ρsin θ＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4＝0，因为圆心(0，1)到直线l的距离为2>1， 所以直线l 与曲线C 2相离. (2)由题意得曲线C 1的普通方程为22x y +2＝1， 故其极坐标方程为222cos ρθ+ρ2sin 2θ＝1，则|OM |2221sin α=+，|ON |2＝4sin 2α， 即|OM |2|OB |222288111sin sin sin ααα==++，因为0<α2π<，所以0<sin α<1，所以|OM |2•|ON |2∈(0，4)，即|OM |2•|ON |2的取值范围是(0，4)【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|2x +1|.（1）求不等式f （x ）＞1的解集.（2）当12x -＞时，求证：4x 2+4x +2＞（2x +1）f （x ）. 【答案】（1）1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭；（2）见解析 【解析】（1）()12211422122x f x x x x ⎧≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，，， ，再根据分段函数，即可求出不等式()1f x > 的解集;（2）要证明2(4422)()1x x x f x ++>+，只要证2(21)11()(21)(21)(21)x f x x x x ++<=++++，根据绝对值三角不等式和基本不等式即可证明．【详解】(1)f (x )＝|2x ﹣1|﹣|2x +1|12211422122x x x x ⎧≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，，，， 当12x ≤-，f (x )＝2>1恒成立， 当1122x -<<，f (x )＝﹣4x >1，解得1124x -<<-， 综上所述不等式f (x )>1的解集为(﹣∞，14-). 证明(2)∵12x >-， ∴2x +1>0，要证4x2+4x+2>(2x+1)f(x)，只要证f(x)2(21)121xx++<=+(2x+1)121x++，∵(2x+1)121x+≥+=2，当且仅当x＝0时取等号，f(x)＝|2x﹣1|﹣|2x+1|≤|(2x﹣1)﹣(2x+1)|＝2，∴f(x)2(21)121xx++<+恒成立，∴4x2+4x+2>(2x+1)f(x).【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式的证明，考查了推理论证能力，属于中档题．。

2019届安徽省马鞍山二中4月份高考理科数学模拟试卷理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合{}|24M x N x =∈-≤<，1|03x N x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则集合M N I 中元素的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知i 为虚数单位，m R ∈，若复数()()2i m i -+在复平面内对应的点位于实轴上，则复数1mii-的模为（ ）A.B.12C.D. 23. CPI 是居民消费价格指数（consumerpriceindex ）的简称.居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的2017年6月—2018年6月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图（注：2018年6月与2017年6月相比较，叫同比；2018年6月与2018年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论错误的是（ ）A. 2017年8月与同年12月相比较，8月环比更大B. 2018年1月至6月各月与2017年同期相比较，CPI 只涨不跌C. 2018年1月至2018年6月CPI 有涨有跌D. 2018年3月以来，CPI 在缓慢增长4. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，作直线y x =-交双曲线的左支于A 点，若1AF 与x 轴垂直，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.12C. 2D. 15. 元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则最后3个人一共得（ ） A.266127两 B.29792127两 C.1862127两 D. 14两6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某组合体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 34π++B. 36π++C. 24π++D. 26π++7. 已知()()()2222sin 1ln 4f x x x=-，则函数()f x 的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.8. 已知函数())lnf x x =，若19log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.21.8c f =，则a 、b 、c之间的大小关系是（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<9. 将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移102ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min 34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是（ ） A. 14x =-B. 12x =C. 34x =D.5410. 在所有棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为棱1BB 、BC 的中点，则直线11A B 与平面1A DE 所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.11. 已知不过原点的动直线l 交抛物线C ：()220y px p =>于M ，N 两点，O 为坐标原点，F 为抛物线C 的焦点，且OM ON OM ON +=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r，若MNF △面积的最小值为27，则p =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 612. x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，()[]f x x x =-，若()f x 的图象上恰好存在一个点与()()()2120g x x a x =+--≤≤的图象上某点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()0,1B. 11,4⎛⎫--⎪⎝⎭C. ()10,11,4⎛⎫--⎪⎝⎭U D. (]10,11,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦U二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量()1,sin 1AC α=-u u u r ，()3,1BA =u u u r ，()2,cos BD α=u u u r，若B 、C 、D 三点共线，则()tan 2019πα-=______.14. 已实数x 、y 满足约束条件()2122y x y y x ⎧≤⎪+≥⎨⎪≥-⎩，若()0z x ty t =+>的最大值恰好与幂函数()412a y a x-=-中幂指数相同，则实数t =______.15. 某县精准扶贫攻坚力公室决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该县甲、乙两个贫困村去参加扶贫工作，若要求每组至少3人，且每组均有男干部参加，则不同的派遣方案共有______种.16. 已知正项数列{}n a 的首项为1，且满足1122n n n n a a a a ++-+=，()()1213212n n na a a nb +⨯=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若()11323212n a n T λ+≤+--对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知锐角ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin b Ccos Bcos A 的等差中项.（1）求角B 的大小；（2）已知3a =，过点B 作BD AC ⊥于点D ，若13BD =，求b 、c 的大小. 18. 如图，点C 在以AB 为直径的上运动，PA ⊥平面ABC ，且PA AC =，点D 、E 分别是PC 、PB 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面ADE ；（2）若2AB BC =，求平面CAE 与平面AED 所成锐二面角的余弦值.19. A 大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，具体统计数据如表：（1）经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪Z （单位：百元）近似地服从正态分布(),196N μ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）.若Z 落在区间()2,2μσμσ-+的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导意见.现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生；（2）①将样本的频率视为总体的概率，若A 大学领导决定从A 大学2018届所有本毕业生中任意选取5人前去探访，记这5人中月薪不低于8000元的人数为X ，求X 的数学期望与方差；②在（1）的条件下，中国移动赞助了A 大学的这次社会调查活动，并为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于μ的获赠两次随机话费，月薪不低于μ的获赠一次随机话费；每次赠送的话费及对应的概率分别为：则张茗预期获得的话费为多少元？（结果保留整数）20. 已知点P 在圆O ：226x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足(1OQ OP =-u u u r u u u r u u u r.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点()2,0的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在定点D 使得2DA AB DA ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值为定值？若存在，求出定点D 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数()()()232x f x x e a x =-+-，其中e 为自然对数的底数，a R ∈. （1）若()f x 恰有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）若()()0f m f n ==，且m n <，求证：40m n e e e --<.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）设曲线C 与直线l 的交点为A 、B ，求弦AB 的中点P 的直角坐标； （2）动点Q 在曲线C 上，在（1）的条件下，试求OPQ △面积的最大值. 23. 已知函数()12f x x x =---. （1）解不等式()231f x x x ≤-+.（2）记函数()2y f x =的值域为M ，若[],21a a M -⊆，试求实数a 的取值范围.答案和解析一、选择题 1-5：CCDBC 6-10：ADDDB11-12：BC1.【答案】C 【解析】解：根据题意，{}{}|240,1,2,3M x N x =∈-≤<=，{}1|0|133x N x x x x +⎧⎫=≥=-≤<⎨⎬-⎩⎭，则{}0,1,2M N =I ，则集合M N I 中元素中有3个元素； 故选：C.根据题意，求出集合M 与N ，进而可得由交集的定义可得M N I ，即可得答案. 本题考查集合的交集计算，关键是求出集合M 、N ，属于基础题. 2.【答案】C 【解析】解：根据题意，()()()2212i m i m m i -+=++-，若复数()()2i m i -+在复平面内对应的点位于实轴上，则有20m -=，即2m =；则2111mi ii i i==-+--，则有1mi i =- 故选：C.根据题意，由复数的运算公式可得()()()2212i m i m m i -+=++-，结合复数的几何意义可得20m -=，即2m =；则2111mi ii i i==-+--，由复数模的计算公式计算可得答案. 本题考查复数的计算，涉及复数的几何意义，关键是求出m 的值，属于基础题.3.【答案】D 【解析】解：A 选项，2017年8月环比0.4，2017年12月，环比0.3，描述正确.B 选项，描述为同比大于0，因为同比图象始终在x 轴上方，即同比始终为增长，故描述正确.C 选项，从环比来看，2018年2月相对1月有所上升，3月到6月均有所下降，描述正确.D 选项，因为图中所给为同比和环比数据，即为相对值，而非真实值，故无法知道真实CPI 的变化趋势.描述错误. 故选：D.题目中已经给出了相关概念，根据所给信息，逐项分析即可.本题考察读图、识图的能力，和理解题目所给定义的能力，属于基础题. 4.【答案】B 【解析】解：()1,0F c -，代入双曲线方程得：22221c c a b-=，即()()22222220cca a c a ---=，即422430c a c a -+=，∴42310e e -+=，解得2e =，或21e =<（舍）.∴e =. 故选：B.把()1,0F c -代入双曲线方程化简即可得出a ，c 的关系，求出离心率.本题考查了双曲线的简单性质，属于中档题. 5.【答案】C 【解析】解：一秤一斤十两共有16斤10两，即16161025610266⨯+=+=两， 设首项为a ，公比12q =， 则前七项和为71127121271282661164122a a a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦====-， 得26664127a ⨯=，则前4个的和4112151812a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅-， 则最后3个人一共得152666415120266266266181278127a ⨯⎛⎫-⋅=-⋅=⨯- ⎪⎝⎭71862266127127=⨯=， 故选：C.先计算银子的总量，结合前7项和求出首项，结合等比数列的前n 项和公式进行计算即可. 本题主要考查等比数列的应用，结合前n 项和公式是解决本题的关键.考查学生的计算能力. 6.【答案】A 【解析】解：由三视图可知几何体为半圆柱与三棱柱的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为2，三棱柱的底面为直角三角形，直角边为1和2，高为2，∴几何体的表面积为112212212222ππ⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯34π=++故选：A.几何体为半圆柱和直三棱柱的组合体，作出直观图计算面积即可. 本题考查了常见几何体的结构特征，表面积的计算，属于中档题.7.【答案】D 【解析】解：()()22cos 2ln 2f x x x =-， 令2x t =， 则()()2cos ln 0f t t tt =-⋅≠， ∴()()2cos ln 0f x x xx =-≠，∵cos y x =为偶函数，2ln y t =为偶函数，∴()()2cos ln 0f x x xx =-≠为偶函数.排除B ，C.当()0,1x ∈时，cos 0x -<，2ln 0x <. 所以当()0,1x ∈时，()0f x >，排除A. 故选：D.利用换元法，得到()2cos ln f x x x =-，为偶函数，排除B ，C.再利用函数在()0,1上的函数值即可判断.本题考查了函数解析式的求法，函数的图象与性质.属于中档题. 8.【答案】D 【解析】解：根据题意，函数())ln f x x =，其定义域为R ，则())lnlnf x x -==)()lnlnx x f x =-=+=，即函数()f x 为偶函数，设())lng x x ==，有()0ln10g ==，设t =，则ln y t =，当0x ≥时，t =为减函数且0t >，而ln y t =在()0,+∞为增函数，则())lng x x ==在[)0,+∞上为减函数，又由()00g =，则在区间[)0,+∞上，()0g x ≤， 又由()()f x g x =，则()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，()199log 4log 4a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()525log 2log 4b f f ==，又由0.2259log 4log 41 1.8<<<，则有b a c <<； 故选：D.根据题意，求出函数()f x 的定义域，结合函数的解析式可得()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，设())lng x x =，利用复合函数单调性的判断方法分析可得()g x 在[)0,+∞上为减函数，又由()0g 的值，可得在区间[)0,+∞上，()0g x ≤，由此可得()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，据此分析可得答案.本题考查复合函数的单调性的判定，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题. 9.【答案】D 【解析】解：将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移102ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象， 即()()2sin 1g x x πϕ=+-， 若()()4f a g b -=成立， 即()2sin 2sin 4a b ππϕ-+=， 即()sin sin 2a b ππϕ-+=，则sin a π()sin b ϕ+一个取最大值1，一个取最小值-1， 不妨设sin 1a π=，()sin 1b πϕ+=-， 则22a k πππ=+，k Z ∈，()22b n ππϕπ+=-，n Z ∈，得122a k =+，122b n ϕ=--， 则()21a b k n ϕ-=-++， ∵min 34a b -=， ∴当k n =时，314ϕ+=， 则314ϕ+=或314ϕ+=-，即14ϕ=或74ϕ=-（舍），即()12sin 12sin 144g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由42x k ππππ+=+，k Z ∈，得14x k =+，k Z ∈， 当1k =时，对称轴方程为54x =， 故选：D.根据三角函数平移关系求出()g x 的解析式，结合()()4f a g b -=成立的a 、b 有min 34a b -=，求出a ，b 的关系，结合最小值建立方程求出ϕ的值即可.本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出a ，b 的大小，结合最小值求出ϕ的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.10.【答案】B 【解析】解：取AB 的中点O ，以O 为原点，以OB ，OC 和平面ABC 过点O 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，设直三棱柱的棱长均为2，则()11,0,2A -，()1,0,1D，1,,022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()11,0,2B ，∴()112,0,0A B =u u u u r ，()12,0,1A D =-u u u u r，1322A E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，设平面1A DE 的法向量为(),,n x y z =r ，则10n A D ⋅=r u u u u r ，10n A E ⋅=r u u u r，∴2032022x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1x =得n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，∴111111cos ,n A B n A B n A B ⋅===r u u u u rr u u u u r r u u u u r .∴直线11A B 与平面1A DE所成角的正弦值为11cos ,n A B =r u u u u r . 故选：B.设棱长为1，建立空间坐标系，求出平面1A DE 的法向量n r 和11A B u u u ur ，则11cos ,n A B r u u u u r 即为所求. 本题考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题. 11.【答案】B 【解析】解：①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，0b ≠；()11,M x y ，()22,N x y ，∵OM ON OM ON +=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，∴两边平方可得0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，联立22y kx b y px=+⎧⎨=⎩消去y 并整理得：()222220k x kb p x b +-+=，∴12222kb p x x k -+=-，2122b x x k=， ∴()()()22121212122pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=， ∴21212220b pb OM ON x x y y k k⋅=+=+=u u u u r u u u r ，∵0b ≠，0k ≠，∴20b pk +=，2b pk =-，12y y -=======，∴12112222MNFp b p S y y k =+-=△23434p p p =>⨯=, ②当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：0x x =， 设()01,M x y ，()02,N x y ，则2102y px =，2202y px =，220120020OM ON x y y x px ⋅=+=-=u u u u r u u u r ，解得02x p =，∴21213243224MNF p pS p y y p p ⎛⎫=--=⋅= ⎪⎝⎭△， MNF △面积的最小值为23p ，依题意2327p =，3p =. 故选：B.①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，0b ≠；可计算得三角形MNF 的面积大于23p ；②当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：0x x =，可计算得三角形MNF 的面积为23p ，因此三角形MNF 的面积的最小值为23p ， 本题考查了直线与抛物线的综合，属难题. 12.【答案】C 【解析】解：设()h x 与()g x 关于y 轴对称，则()()()()2102h x g x x a x =-=--≤≤.()f x 的图象上恰好存在一个点与()()()2120g x x a x =+--≤≤的图象上某点关于y 轴对称，可以等价为()f x 与()h x 在[]0,2上有一个交点， ①当0a <时，()f x 与()h x 图象如图：当()h x 与()f x 在[]1,2的部分相切时，联立()h x 与()f x 在[]1,2的部分()211y x ay x ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，得2320x x a -+-=，由0∆=得，14a =-， 当1a ≤-时，()h x 始终在1y =上方，与()f x 无交点. 故此时11,4a ⎛⎫∈--⎪⎝⎭. ②0a =时，有两个交点，不成立. ③当0a >时，()f x 与()h x 图象如图：要使()f x 与()h x 在[]0,2上有一个交点，需满足：()()()00201h h h ≥⎧⎪⎨=≤⎪⎩，即()0,1a ∈. 综上，()10,11,4a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U . 故选：C.设()h x 与()g x 关于y 轴对称，则()h x 的解析式为：()()()2102h x x a x =--≤≤，()f x 的图象上恰好存在一个点与()()()2120g x x a x =+--≤≤的图象上某点关于y 轴对称，可以等价为()f x 与()h x 在[]0,2上有一个交点，通过分析图象可得.本题考查了分段函数的图象与二次函数图象的交点个数问题，考查了图象的对称.属于中档题. 二、填空题13. -2 14. 4 15. 180 16. 63,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦13.【答案】-2 【解析】解：∵B 、C 、D 三点共线，∴()BD xBC x BA AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，即()()2,cos 4,sin x αα=，则24cos sin x x αα=⎧⎨=⎩，得12x =，即1cos sin 2αα=，得tan 2α=， 则()()tan 2019tan tan 2πααα-=-=-=-， 故答案为：-2.根据向量共线的共线定理建立方程关系，结合三角函数的诱导公式进行化简即可. 本题主要考查三角函数值的求解，结合向量共线的共线定理建立方程是解决本题的关键. 14.【答案】4 【解析】解：∵函数()412a y a x-=-是幂函数，∴21a -=，即3a =，则函数为11y x =， 即()0z x ty t =+>的最大值为11， 作出不等式组对应的平面区域如图：由z x ty =+得1zy x t t =-+，平移直线1zy x t t=-+，由图象知当直线1zy x t t=-+经过点A 时，直线的截距最大此时z 最大为11，由()222y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得32x y =⎧⎨=⎩，即()3,2A ，则3211t +=，得28t =，4t =， 故答案为：4.根据幂函数的定义求出m 的值和幂指数，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可.本题主要考查线性规划的应用，结合幂函数的定义求出m 的值是解决本题的关键. 15.【答案】180 【解析】解：∵要求每组至少3人，且每组均有男干部参加，∴从人数上分组由两种方案，3人一组，5人一组，或每组4人，平均分两组，第一类：若女干部单独成组，则只有1个派遣方案，不考虑女子单独成组，有C 3个派遣方案， 又因为有可能派3人去甲县，也有可能派3人去乙县，故第一类有派遣方案()32821110CA -=（种）；第二类：因为女干部只有3人，所以不存在女干部单独成组，则有派遣方案448470C C ⋅=（种）；故共有不同的派遣方案11070180+=（种）， 故答案为：180.根据人数和要求每组均有男干部参加，则人数分3人一组，5人一组，或每组4人，平均分两组，然后进行求解即可.本题主要考查排列组合的应用，结合人数进行分组是解决本题的关键. 16.【答案】63,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】解：由题意，可知：0n a >，*n N ∈且11a =.∵1122n n n n a a a a ++-+=，∴()()1122n n n n a a a a ++-=+，即：221122n n n n a a a a ++-=+， 整理，得：221122n n n n a a a a ++-=+，即：()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+， ∴12n n a a +-=，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()12121n a n n =+⨯-=-，*n N ∈.∴()()()()1212121113232212122n n n a n n n n a a b +-+---⨯⋅==--11121211111212122n n a a n n +---+=-=---. ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+31122111111111111222222n n a a a a a a +------=-+-+⋅⋅⋅+-11111122n a a +--=-21112121n +=--- 211121n +=--.∵2121111112121n n n T ++-=-+=--，∴()1212113221323212322n n a n n T +++-+=+- 2121232132232n n ++=+-132≥1232=- 6332=. ∴6332λ≤.故答案为：63,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 本题可先根据1122n n n n a a a a ++-+=的递推关系式的运算得出数列{}n a 是一个等差数列，然后将数列{}n a 的通项公式代入()()1213212nn na n a ab +⨯=--，将此式整理化简，然后可用累加法数列{}n b 的前n 项和为n T ，再用均值不等式的方法求出实数λ的取值范围.本题主要考查根据递推公式求出通项公式，累加法求数列的前n 项和，以及用均值不等式判断实数的取值范围.本题属中档题. 三、解答题17.【答案】解：（1）sin b Ccos Bcos A 的等差中项，可得)2sin cos cos b C a B b A =+，)()2sin sin sin cos sin cos B C A B B A A B C =+=+=，由sin 0C >，可得2sin B =3B π=；（2）在ABC △中，2219232b c c =+-⋅⋅，113sin 24213c B c b ⋅⋅==⋅， 解得4c =，b =12c =，b =或3a =，12c =，b =222a b c +<，即cos 0C <，C 为钝角，舍去. 则4c =，b =【解析】（1）运用等差数列的中项性质和三角形的正弦定理，结合两角和差正弦公式，即可得到所求角； （2）运用余弦定理和三角形的面积公式，解方程可得c ，b ，检验可得所求值.本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查运算能力，属于基础题.18.【答案】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA BC ⊥，∵AB 是圆的直径，∴BC AC ⊥，又AC PA A =I ， ∴BC ⊥平面PAC ， 又PC ⊂平面PAC . ∴BC PC ⊥，∵DE 是PBC △的中位线，∴//DE BC ， ∴PC DE ⊥，∵PA AC =，D 是PC 的中点， ∴AD PC ⊥， 又AD DE D =I ，∴PC ⊥平面ADE ，又PC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面ADE .（2）解：∵AB 是圆的直接，∴AC BC ⊥，∵2AB BC =，不妨设1BC =，则2AB =，PA AC ==以CB ，CA 和平面ABC 过C 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，∴()0,0,0C，()A ，()1,0,0B，(P，1,,222E ⎛ ⎝⎭，∴()CA =u u u r，12CE ⎛= ⎝⎭u u u r，(CP =u u u r，设平面CAE 的法向量为(),,m x y z =u r ，则00m CA m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即0102x y z =⎨+=⎪⎩， 令1z =得()m =u r，由（1）知PC ⊥平面ADE ，故CP u u u r为平面ADE 的一个法向量，∴cos ,m CP m CP m CP ⋅===u r u u u ru r u u u r ur u u u r . ∴平面CAE 与平面AED.【解析】（1）证明DE ⊥平面PBC 可得PC DE ⊥，再结合PC AD ⊥即可得出PC ⊥平面ADE ，故而平面PBC ⊥平面ADE ；（2）建立空间直角坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小. 本题考查了面面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题. 19.【答案】解：（1）该大学2018届的大学本科毕业生平均工资为：350.02450.15550.20650.15μ=⨯+⨯+⨯+⨯750.24850.10950.0458.5+⨯+⨯+⨯=（百元），又知道14σ=，故258.52830.5μσ-=-=，2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元=36百元2μσ>-，故张茗不属于“就业不理想”的学生；（2）①视月薪高于8000为成功，则成功概率为0.14p =，X 服从成功概率为0.14p =的二项分布.且X 的取值为0，1，2，3，4，5.所以()()500.860.47P X ==≈，()()41510.860.140.383P X C ==⨯⨯≈，()()()322520.860.140.125P X C ==⨯⨯≈，()()()233530.860.140.02P X C ==⨯⨯≈，()()44540.860.140.002P X C ==⨯⨯≈，()550.140P X ==≈，X 的分布列如下：00.4710.38320.12530.02040.002500.701EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()210.38340.12590.020160.002 1.095E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ()()2221.0950.7010.604DX E X E X =-=-≈.②由（1）知58.5μ=百元=5850元，故张茗的工资低于μ，可获赠两次随机话费，设所获得的花费为随机变量Y ，则Y 的取值分别为100，150，200，250，300，()111100224P Y ==⨯=，()12111150233P Y C ==⨯⨯=，()1211115200332618P Y C ==⨯+⨯⨯=，()12111250369P Y C ==⨯⨯=，()()1111003006636P Y P Y ====⨯=. 故Y 的分布列为：则张茗预期获得的话费为()100150200250300166.674318936E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. 【解析】（1）根据所给的频率分布表，求出平均数，即为μ，又知道14σ=，故可以计算Z 落在区间()2,2μσμσ-+的概率，根据正态分布的对称性，可以求出Z 落在区间()2,2μσμσ-+的左侧的概率，进而做出判断.（2）①根据题意，视月薪高于8000为成功，则成功概率为0.14p =，X 服从成功概率为0.14p =的二项分布.X 的取值为0，1，2，3，4，5，根据()()551k k k P X k C p p -==-，计算出概率，列出分布列，算出期望和方差即可.②设张茗所得话费为随机变量Y ，则Y 的取值分别为100，150，200，250，300，分别计算出对应概率，求其期望即为张茗预期获得的话费.正态分布，二项分布，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.【答案】解：（1）由(1OQ OP =u u u r u u u r u u u r ，得PQ =u u u r u u u r ， 设(),M x y ，()00,P x y ，()0,0Q x ，则())000,,y x x y -=--，∴0x x =，0y =，代入圆O ：226x y +=，可得2236x y +=，即22162x y +=. ∴动点M 的轨迹E 的方程为22162x y +=； （2）设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()223420m y my ++-=， 12243m y y m +=-+，12223y y m =+， 假设在x 轴上存在定点(),0D t 使得2DA AB DA ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值为定值，而()()1111,2,DA x t y my t y =-=+-u u u r ，()222,my B y D t =+-u u u r ， ()2DA AB DA DA AB DA DA DB ⋅+=⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()121222my t my t y y =+-+-+ ()()()()221212122m y y m t y y t =++-++- ()()()()()2222222214241022233m m t t m t t m m -+----=+-=-+++为定值， 则24103t -=-，解得73t =， 且此时27252339DA DB ⎛⎫⋅=--=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 因此，在x 轴上存在定点7,03D ⎛⎫⎪⎝⎭，使得2DA AB DA ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值为定值59-. 【解析】 （1）由(1OQ OP =u u u r u u u r u u u r，得PQ =u u u r u u u r ，设(),M x y ，()00,P x y ，()0,0Q x ，由向量等式可得0x x =，0y =，代入圆O ：226x y +=，可得动点M 的轨迹E 的方程为22162x y +=； （2）设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点D 的坐标为(),0t ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，结合向量数量积的坐标运算计算2DA AB DA ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值为定值，通过化简计算得出t 的值，从而说明定点D 的存在性.本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在圆锥曲线综合中的应用，属于难题. 21.【答案】解：（1）当0a =时，函数()()3x f x x e =-，()f x 只有一个零点. 当0a ≠时，()()()'22x f x x e a =-+. ①当0a >时，令()'0f x >，得2x >，令()'0f x <，得2x <，∴()f x 在()2,+∞递增，在(),2-∞递减.又()220f e =-<，()330f =>， 取0b <，且4ln 3a b <，则()()()24832033a f b b a b ab b ⎛⎫>-+-=-> ⎪⎝⎭. 故()f x 恰有两个零点.②当0a <时，当2x ≤时，()0f x <，故需2x >时，()f x 有两个零点.令()'0f x =，得2x =，或ln 2x =， 若22e a ≥-，则()ln 22a -≤，故当()2,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 在()2,+∞递增，()f x 不存在两个零点. 若22e a <-，则()ln 22a ->，故当()()2,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，()f x 在()()2,ln 2a -递减，()0f x <， ()()ln 2,x a ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增，故()f x 不存在两个零点.综上所述，实数a 的取值范围为()0,+∞.（2）由（1）可知0a >时，存在()()0f m f n ==，且(),2m ∈-∞，()2,n ∈+∞，()4,2n -∈-∞， 又()f x 在()2,+∞递增，∴404m n e e e m n --<⇔+<.令()()()4h x f x f x =--，2x <.()()()()()4'''420x x h x f x f x x e e -=+-=-->.∴()g x 在(),2-∞递增.即()()20g x g <=，()()()4f m f n f m =<-.∵n ，()42,m -∈+∞，又()f x 在()2,+∞递增，∴4n m <-，即40m n e e e --<.【解析】（1）分0a =，0a ≠利用导数求函数零点个数，（2）由（1）可知0a >时，存在()()0f m f n ==，易得404m n e e e m n --<⇔+<.令()()()4h x f x f x =--，2x <..利用导数可证明40m n e e e --<.本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、放缩法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.22.【答案】解：（1）由2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩消去参数ϕ，得2214x y +=cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得cos cos sin sin 142πθθ=，得10x y --=， 联立221410x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得2580x x -=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1285x x +=，∴12128211255y y x x +=-+-=-=-， ∴41,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）5OP ==()2cos ,sin Q αα， 则点Q 到直线40x y +=的距离d =≤=，∴112255OPQ S OP d =≤⨯=△. 【解析】 （1）先把曲线C 和直线l 化成普通方程，再联立根据韦达定理和中点公式可得P 的坐标；（2）根据曲线C 的参数方程设出Q 的坐标，求出Q 到直线l 的距离得最大值，再求出面积.本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题.23.【答案】解：（1）函数()1,11223,121,1x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，1x ≤时，不等式()231f x x x ≤-+化为2131x x -≤-+，解得1x ≤或2x ≥，取1x ≤；12x <<时，不等式()231f x x x ≤-+化为22331x x x -≤-+，解得1x ≤或4x ≥，取x ∈∅；2x ≥时，不等式()231f x x x ≤-+化为2131x x ≤-+，解得0x ≤或3x ≥，取3x ≥；综上所述，不等式()231f x x x ≤-+的解集为{}|13x x x ≤≥或； （2）由（1）知，函数()f x 的值域为[]1,1-，则函数()2y f x =的值域为[]2,2M =-，由[],21a a M -⊆，得212212a a a a ≤-⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，解得312a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是312a ≤≤. 【解析】（1）利用分段函数表示()f x ，利用分类讨论法求不等式()231f x x x ≤-+的解集； （2）由（1）知函数()f x 的值域，写出()2y f x =的值域M ，根据[],21a a M -⊆列不等式组求得实数a 的取值范围.本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了集合的定义与应用问题，是中档题.。

2019年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测文科数学试题一、选择题(本题共12个题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}，＜，＜22|02|2xx B x x x A =--=则有A.{}20|＜＜x x B A =B.{}11|＜＜x x B A -=C.{}11|＜＜x x B A -= D.{}21|＜＜x x B A -= 2.已知i是虚数单位,则()=-+ii 113A.i 2B.i 2-C.2D.2- 3.已知向量()()，，，，331==b m a 若，6=⋅b a 则实数=m A.0 B.3 C.3 D.30或4.在一组样本数据()()()n n y x y x y x ，、、，、，⋯2211(n x x x n 、、、，⋯≥212互不相等)的散点图中,若所有样本点()()n i y x i i ，，，，⋯=21都在直线1002+-=x y 上,则这组样本数据的样本相关系数为 A.1- B.0 C.21D.1 5.下列命题正确的是A.若q p ∧为假命题,则q p 、都是假命题B.b a ＞是b a ln ln ＞的充分不必要条件C.命题“若，βαcos cos ≠则βα≠”的逆否命题为真命题D.命题“0600＜，+∈∃x R x ”的否定是“0600≥+∈∀x R x ，”6.y x 、满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥12y x y x 若y kx z +=取得最大值的最优解有无数个,则实数k 的值为A.-1B.0C.1D.-1或07.已知，π326cos =⎪⎭⎫⎝⎛-α则⎪⎭⎫⎝⎛+α235sin π的值为A.95 B.91 C.±95-8.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为，，11-=a S n 且423a a a 、、-成等差数列,则n S 与n a 的关系是A.12-=n n a SB.12+=n n a SC.34-=n n a SD.14-=n n a S 9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的表面积为A.π10B.π18C.()π176+D.()π1736+ 10.某饲料厂原有陈粮10吨,又购进新粮x 吨,现将粮食总库存量的一半精加工为饲料.若被精加工的新粮最多可用1y 吨,被精加工的陈粮最多可用2y 吨,记()，21y y x f +=则函数()x f 的图象为11.在平面直角坐标系xOy 中，若圆C:()()4322=-+-a y x 上存在两点A 、B 满足:∠A O B=60°，则实数a 的最大值是A.5B.3C.7D.32 12.设函数()()，x f x x f x f ln 12212+-⎪⎭⎫⎝⎛'=曲线()x f 在()()11f ，处的切线方程是A.045=--y xB.023=--y xC.0=-y xD.1=x 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.在边长为1的正方形四个顶点中任取两个点,则这两点之间距离大于1的概率为_____.14.已知双曲线C:()0012222＞，＞b a by a x =-的离心率为，2C 与抛物线x y 82=的准线交于A 、B 两点,，2=AB 则双曲线C 的焦距为________.15.设等差数列{}n a 的公差为，d 若，＜＜3121--d 且()()，2112111-=-a a 则{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时项数n 的值为______.16.如图，平面图形由一个边长为6的正方形和四个三角形构成上下两个三角形的边长分别为6、8、10，现在沿正方形的四条边将这个平面图形折成一个四棱锥,则该四棱锥的体积为___________.三、解答题(共70分。

2019年安徽省马鞍山二中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60）1.已知集合{}|24M x N x =∈-≤<，1|03x N x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出集合M 与N ，进而可由交集的定义可得M N ⋂，即可得答案． 【详解】根据题意，{}{}|240,1,2,3M x N x =∈-≤<=，{}1|0|133x N x x x x +⎧⎫=≥=-≤<⎨⎬-⎩⎭，则{}0,1,2M N =I ，则集合M N ⋂中元素中有3个元素； 故选：C ．【点睛】本题考查集合的交集计算，关键是求出集合M 、N ，属于基础题．2.已知i 为虚数单位，m R ∈，若复数()()2i m i -+在复平面内对应的点位于实轴上，则复数1mii-的模为（ ）B.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由复数的运算公式可得()()()2212i m i m m i -+=++-，结合复数的几何意义可得20m -=，即2m =；则2111mi ii i i==-+--，由复数模的计算公式计算可得答案． 【详解】根据题意，()()()2212i m i m m i -+=++-， 若复数()()2i m i -+在复平面内对应的点位于实轴上， 则有20m -=，即2m =；则2111mi ii i i==-+--，则有1mi i =- 故选：C ．【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数的几何意义，关键是求出m 的值，属于基础题．3.CPI 是居民消费价格指数（consumer price index ）的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的2017年6月—2018年6月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图（注：2018年6月与2017年6月相比较，叫同比；2018年6月与2018年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论错误的是（ ）A. 2017年8月与同年12月相比较，8月环比更大B. 2018年1月至6月各月与2017年同期相比较，CPI 只涨不跌C. 2018年1月至2018年6月CPI 有涨有跌D. 2018年3月以来，CPI 在缓慢增长 【答案】D 【解析】 【分析】题目中已经给出了相关概念，根据所给信息，逐项分析即可．【详解】A 选项，2017年8月环比0.4，2017年12月，环比0.3，描述正确．B 选项，描述为同比大于0，因为同比图象始终在x 轴上方，即同比始终为增长，故描述正确．C 选项，从环比来看，2018年2月相对1月有所上升，3月到6月均有所下降，描述正确．D 选项，因为图中所给为同比和环比数据，即为相对值，而非真实值，故无法知道真实CPI 的变化趋势．描述错误． 故选：D ．【点睛】本题考查读图、识图的能力，和理解题目所给定义的能力，属于基础题．4.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，作直线y x =-交双曲线的左支于A 点，若1AF 与x 轴垂直，则双曲线C 的离心率为（ ）C. 2D. 1+【答案】B 【解析】 【分析】把()1,0F c -代入双曲线方程化简即可得出a ，c 的关系，求出离心率．【详解】解：()1,0F c -，代入双曲线方程得：22221c ca b-=，即()()22222220cca a c a ---=，即422430c a c a -+=，∴42310e e -+=，解得232e =，或2312e -=<（舍）．∴12e +=． 故选：B ．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，属于中档题．5.元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则最后3个人一共得（ ） A.266127两 B.29792127两 C.1862127两 D. 14两【答案】C 【解析】 【分析】先计算银子的总量，结合前7项和求出首项，结合等比数列的前n 项和公式进行计算即可．【详解】解：一秤一斤十两共有16斤10两，即16161025610266⨯+=+=两， 设首项为a ，公比12q =， 则前七项和为71127121271282661164122a a a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦====-， 得26664127a ⨯=，则前4个的和4112151812a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅-， 则最后3个人一共得152666415120266266266181278127a ⨯⎛⎫-⋅=-⋅=⨯- ⎪⎝⎭71862266127127=⨯=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的应用，结合前n 项和公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力． 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某组合体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 34π++B. 36π++C. 24π++D. 26π++ 【答案】A【解析】 【分析】几何体为半圆柱和直三棱柱的组合体，作出直观图计算面积即可． 【详解】由三视图可知几何体为半圆柱与三棱柱的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为2，三棱柱的底面为直角三角形，直角边为1和2，高为2，∴几何体的表面积为11221221223422πππ⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯=++． 故选A ．【点睛】本题考查三视图还原几何体，考查组合体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知()()()2222sin 1ln 4f x x x=-，则函数()f x 的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法，得到()2cos ln f x x x =-，为偶函数，排除B ，C ．再利用函数在()0,1上的函数值即可判断．【详解】解：()()22cos 2ln 2f x x x =-， 令2x t =， 则()()2cos ln 0f t t tt =-⋅≠， ∴()()2cos ln 0f x x xx =-≠，∵cos y x =为偶函数，2ln y t =为偶函数， ∴()()2cos ln 0f x x xx =-≠为偶函数．排除B ，C ．当()0,1x ∈时，cos 0x -<，2ln 0x <． 所以当()0,1x ∈时，()0f x >，排除A ． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数解析式的求法，函数的图象与性质．属于中档题． 8.已知函数())ln f x x =，若19log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.21.8c f =，则a 、b 、c 之间大小关系是（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出函数()f x 的定义域，结合函数的解析式可得()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，设())lng x x =，利用复合函数单调性的判断方法分析可得()g x 在[)0,+∞上为减函数，又由()0g 的值，可得在区间[)0,+∞上，()0g x ≤，由此可得()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数())ln f x x =，其定义域为R ， 则())lnlnf x x -==)()lnlnx x f x =-=+=，即函数()f x 为偶函数， 设())ln g x x ==，有()0ln10g ==，设t =，则ln y t =，当0x ≥时，t 为减函数且0t >，而ln y t =在()0,∞+为增函数， 则())lng x x ==在[)0,+∞上为减函数，又由()00g =，则在区间[)0,+∞上，()0g x ≤，的又由()()f x g x =，则()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，()199log 4log 4a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()525log 2log 4b f f ==，又由0.2259log 4log 41 1.8<<<，则有b a c <<； 故选：D ．【点睛】本题考查复合函数的单调性的判定，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题． 9.将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min 34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A. 14x =-B. 12x =C. 34x =D. 54x =【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数平移关系求出()g x 的解析式，结合()()4f a g b -=成立的,a b 有min 34a b -=，求出,a b 的关系，结合最小值建立方程求出ϕ的值即可.【详解】解：将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，即()2sin ()1g x x πϕ=+-， 若()()4f a g b -=成立， 即|2sin 2sin (+)|=4a b ππϕ-， 即|sin sin ()|2a b ππϕ-+=，则sin a π与sin ()b πϕ+一个取最大值1，一个取最小值−1， 不妨设sin 1,sin ()1a b ππϕ=+=-， 则2,,()2,22a k k Zb n n Z πππππϕπ=+∈+=-∈，得112,222a kb n ϕ=+=--， 则2()1a b k n ϕ-=-++，∵min 34a b -=， ∴当0k n -=时，3||11,2a b ϕ⎛⎫-=+∈ ⎪⎝⎭，当1k n -=-时，1|||1|,12a b ϕ⎛⎫-=-∈⎪⎝⎭， 3|1|4ϕ∴-=， 则314ϕ-=或314ϕ-=-， 即14ϕ=或74ϕ=（舍）， 即1()2sin 12sin 144g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由,42x k k Z ππππ+=+∈，得1,4x k k Z =+∈， 当1k =时，对称轴方程为54x =. 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出,a b 的大小，结合最小值求出ϕ的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.10.在所有棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为棱1BB 、BC 的中点，则直线11A B 与平面1A DE 所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】设棱长为1，建立空间坐标系，求出平面1A DE 的法向量n r 和11A B u u u ur ，则11cos ,n A B r u u u u r 即为所求． 【详解】解：取AB 的中点O ，以O 为原点，以OB ，OC 和平面ABC 过点O 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，设直三棱柱的棱长均为2，则()11,0,2A -，()1,0,1D，1,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()11,0,2B ，∴()112,0,0A B =u u u u r ，()12,0,1A D =-u u u u r，13,222A E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，设平面1A DE 的法向量为(),,n x y z =r ，则10n A D ⋅=r u u u u r ，10n A E ⋅=r u u u r，∴203202x z x y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x =得n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，∴111111cos ,20n A B n A B n A B ⋅===r u u u u rr u u u u r r u u u u r ．∴直线11A B 与平面1A DE所成角的正弦值为11cos ,20n A B =r u u u u r ．故选：B ．【点睛】本题考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题．11.已知不过原点的动直线l 交抛物线C ：()220y px p =>于M ，N 两点，O 为坐标原点，F 为抛物线C的焦点，且OM ON OM ON +=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r，若MNF V 面积的最小值为27，则p =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】B 【解析】 【分析】①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，0b ≠；可计算得三角形MNF 的面积大于23p ；②当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：0x x =，可计算得三角形MNF 的面积为23p ，因此三角形MNF 的面积的最小值为23p ，【详解】①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，0b ≠；()11,M x y ，()22,N x y ，∵OM ON OM ON +=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，∴两边平方可得0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，联立22y kx b y px=+⎧⎨=⎩消去y 并整理得：()222220k x kb p x b +-+=， ∴12222kb p x x k -+=-，2122b x x k=，∴()()()22121212122pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=， ∴21212220b pb OM ON x x y y k k⋅=+=+=u u u u r u u u r ，∵0b ≠，0k ≠，∴20b pk +=，2b pk =-，12y y -=======，∴12112222MNFp b p S y y k =+-=△23434p p p =>⨯=， ②当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：0x x =， 设()01,M x y ，()02,N x y ，则2102y px =，2202y px =，220120020OM ON x y y x px ⋅=+=-=u u u u r u u u r ，解得02x p =，∴21213243224MNF p pS p y y p p ⎛⎫=--=⋅= ⎪⎝⎭△， MNF V 面积的最小值为23p ，依题意2327p =，3p =．故选：B ．【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了韦达定理的应用及范围问题的解决方法，属难题． 12.x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，()[]f x x x =-，若()f x 的图象上恰好存在一个点与()()()2120g x x a x =+--≤≤的图象上某点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()0,1B. 11,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. ()10,11,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭UD. (]10,11,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦U 【答案】C 【解析】 【分析】设()h x 与()g x 关于y 轴对称，则()h x 的解析式为：()()()2102h x x a x =--≤≤，()f x 的图象上恰好存在一个点与()()()2120g x x a x =+--≤≤的图象上某点关于y 轴对称，可以等价为()f x 与()h x 在[]0,2上有一个交点，通过分析图象可得．【详解】解：设()h x 与()g x 关于y 轴对称，则()()()()2102h x g x x a x =-=--≤≤．()f x 的图象上恰好存在一个点与()()()2120g x x a x =+--≤≤的图象上某点关于y 轴对称，可以等价为()f x 与()h x 在[]0,2上有一个交点， ①当0a <时，()f x 与()h x 图象如图：当()h x 与()f x 在[]1,2的部分相切时，联立()h x 与()f x 在[]1,2的部分()211y x ay x ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，得2320x x a -+-=， 由0∆=得，14a =-， 当1a ≤-时，()h x 始终在1y =上方，与()f x 无交点． 故此时11,4a ⎛⎫∈--⎪⎝⎭． ②0a =时，有两个交点，不成立． ③当0a >时，()f x 与()h x 图象如图：要使()f x 与()h x 在[]0,2上有一个交点，需满足：()()()00201h h h ⎧≥⎪⎨=≤⎪⎩，即()0,1a ∈．综上，()10,11,4a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U ． 故选：C ．【点睛】本题考查了分段函数的图象与二次函数图象的交点个数问题，考查了图象的对称．属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20）13.已知向量(1,sin 1)AC α=-u u u r ，(3,1)BA =u u u r ，(2,cos )BD α=u u u r，若,,B C D 三点共线，则tan(2019)πα-=_____.【答案】2- ； 【解析】 【分析】根据向量共线的共线定理建立方程关系，可解出tanα，结合三角函数的诱导公式进行化简即可． 【详解】∵B 、C 、D 三点共线，∴()=BD xBC x BA AC =+u u u r u u u r u u u r u u u r，即（2，cosα）=x （4，sinα）， 则2＝4x ，cosα=xsinα，得x =12， 即cosα=12sinα，得tanα=2，则tan （2019π-α）=tan （-α）=-tanα=-2， 故答案为：-2．【点睛】本题是平面向量共线（平行）的坐标运算及同角三角函数关系及诱导公式的综合题，考点较多，属于中等题.14.已实数x 、y 满足约束条件()2122y x y y x ⎧≤⎪+≥⎨⎪≥-⎩，若()0z x ty t =+>的最大值恰好与幂函数()412a y a x -=-中幂指数相同，则实数t =______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m 的值和幂指数，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【详解】解：∵函数()412a y a x-=-是幂函数，∴21a -=，即3a =，则函数为11y x =， 即()0z x ty t =+>的最大值为11， 作出不等式组对应的平面区域如图：由z x ty =+得1z y x t t=-+， 平移直线1z y x t t =-+， 由图象知当直线1zy x tt=-+经过点A 时，直线的截距最大此时z 最大为11， 由()222y y x =⎧⎨=-⎩得32x y =⎧⎨=⎩，即()3,2A ，则3211t +=，得28t =，4t =， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合幂函数的定义求出m 的值是解决本题的关键．15.某县精准扶贫攻坚力公室决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该县甲、乙两个贫困村去参加扶贫工作，若要求每组至少3人，且每组均有男干部参加，则不同的派遣方案共有______种． 【答案】180 【解析】 【分析】根据人数和要求每组均有男干部参加，则人数分3人一组，5人一组，或每组4人，平均分两组，然后进行求解即可．【详解】解：∵要求每组至少3人，且每组均有男干部参加，∴从人数上分组由两种方案，3人一组，5人一组，或每组4人，平均分两组，第一类：分3人一组和5人一组，若女干部单独成组，则只有1个派遣方案，不考虑女子单独成组，有381C -个派遣方案，又因为有可能派3人去甲县，也有可能派3人去乙县，故第一类有派遣方案()32821110CA -=（种）；第二类：因为女干部只有3人，所以不存在女干部单独成组，则有派遣方案448470C C ⋅=（种）；故共有不同的派遣方案11070180+=（种）， 故答案为：180．【点睛】本题主要考查排列组合的应用，结合人数进行分组是解决本题的关键．16.已知正项数列{}n a 的首项为1，且满足1122n n n n a a a a ++-+=，()()1213212n n na a a nb +⨯=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若()11323212n a n T λ+≤+--对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为______．【答案】63,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】本题可先根据1122n n n n a a a a ++-+=的递推关系式的运算得出数列{}n a 是一个等差数列，然后将数列{}n a 的通项公式代入()()1213212nn na n a ab +⨯=--，将此式整理化简，然后可用累加法数列{}n b 的前n 项和为n T ，再用均值不等式的方法求出实数λ的取值范围．【详解】解：由题意，可知：0n a >，*n N ∈且11a =．∵1122n n n n a a a a ++-+=， ∴()()1122n n n n a a a a ++-=+，即：221122n n n n a a a a ++-=+，整理，得：221122n n n n a a a a ++-=+，即：()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+， ∴12n n a a +-=，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()12121n a n n =+⨯-=-，*n N ∈．∴()()()()1212121113232212122n n n a n n n n a a b +-+---⨯⋅==--11121211111212122n n a a n n +---+=-=---．∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+31122111111111111222222n n a a a a a a +------=-+-+⋅⋅⋅+-11111122n a a +--=-21112121n +=--- 211121n +=--．∵2121111112121n n n T ++-=-+=--，∴()1212113221323212322n n a n n T +++-+=+- 2121232132232n n ++=+-132≥1232=- 6332=． ∴6332λ≤．故答案为：63,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 【点睛】本题主要考查根据递推公式求出通项公式，累加法求数列的前n 项和，以及用均值不等式判断实数的取值范围．本题属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82）17.已知锐角ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin b Ccos Bcos A 的等差中项．（1）求角B 的大小；（2）已知3a =，过点B 作BD AC ⊥于点D，若13BD =，求b 、c 的大小． 【答案】（1）3B π=；（2）4c =，b =【解析】 【分析】（1）运用等差数列的中项性质和三角形的正弦定理，结合两角和差正弦公式，即可得到所求角； （2）运用余弦定理和三角形的面积公式，解方程可得c ，b ，检验可得所求值． 【详解】解：（1）sin b Ccos Bcos A 等差中项，可得)2sin cos cos b C a B b A =+，)()2sin sin sin cos sin cos B C A B B A A B C =+=+=，由sin 0C >，可得2sin B =3B π=；（2）在ABC V 中，2219232b c c =+-⋅⋅，113sin 22c B b ⋅⋅== 解得4c =，b =12c =，b =或3a =，12c =，b =222a b c +<，即cos 0C <，C 为钝角，舍去． 则4c =，b =．【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查运算能力，属于基础题．18.如图，点C 在以AB 为直径的上运动，PA ⊥平面ABC ，且PA AC =，点D 、E 分别是PC 、PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面ADE ；（2）若2AB BC =，求平面CAE 与平面AED 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【解析】 【分析】（1）证明DE ⊥平面PBC 可得PC DE ⊥，再结合PC AD ⊥即可得出PC ⊥平面ADE ，故而平面PBC ⊥平面ADE ；（2）建立空间直角坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小． 【详解】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA BC ⊥，∵AB 是圆的直径，∴BC AC ⊥， 又AC PA A ⋂=， ∴BC ⊥平面PAC ， 又PC ⊂平面PAC ． ∴BC PC ⊥，∵DE 是PBC V 的中位线，∴//DE BC ， ∴PC DE ⊥，∵PA AC =，D 是PC 的中点， ∴AD PC ⊥， 又AD DE D ⋂=，∴PC ⊥平面ADE ，又PC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面ADE ．（2）解：∵AB 是圆的直径，∴AC BC ⊥，∵2AB BC =，不妨设1BC =，则2AB =，PA AC ==以CB ，CA 和平面ABC 过C 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，∴()0,0,0C，()A ，()1,0,0B，(P，1,,222E ⎛ ⎝⎭，∴()CA =u u u r，1,222CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，(CP =u u ur ，设平面CAE 的法向量为(),,m x y z =u r ，则00m CA m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即0102x y z =⎨++=⎪⎩， 令1z =得()m =u r，由（1）知PC ⊥平面ADE ，故CP u u u r为平面ADE 的一个法向量，∴cos ,4m CP m CP m CP ⋅===u r u u u ru r u u u r u r u u u r ．∴平面CAE 与平面AED． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．19.A 大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，具体统计数据如表：（1）经统计发现，该大学2018届大学本科毕业生月薪Z （单位：百元）近似地服从正态分布(),196N μ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）．若Z 落在区间()2,2μσμσ-+的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导意见．现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生；（2）①将样本的频率视为总体的概率，若A 大学领导决定从A 大学2018届所有本毕业生中任意选取5人前去探访，记这5人中月薪不低于8000元的人数为X ，求X 的数学期望与方差；②在（1）的条件下，中国移动赞助了A 大学的这次社会调查活动，并为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于μ的获赠两次随机话费，月薪不低于μ的获赠一次随机话费；每次赠送的话费及对应的概率分别为：则张茗预期获得的话费为多少元？（结果保留整数）【答案】（1）张茗不属于“就业不理想”的学生；（2）①数学期望为0.701，方差为0.604；②166.67元． 【解析】 【分析】（1）根据所给的频率分布表，求出平均数，即为μ，又知道14σ=，故可以计算Z 落在区间()2,2μσμσ-+的概率，根据正态分布的对称性，可以求出Z 落在区间()2,2μσμσ-+的左侧的概率，进而做出判断．（2）①根据题意，视月薪高于8000为成功，则成功概率为0.14p =，X 服从成功概率为0.14p =的二项分布．X 的取值为0，1，2，3，4，5，根据()()551kk kP X k C p p -==-，计算出概率，列出分布列，算出期望和方差即可．②设张茗所得话费为随机变量Y ，则Y 的取值分别为100，150，200，250，300，分别计算出对应概率，求其期望即为张茗预期获得的话费．【详解】解：（1）该大学2018届的大学本科毕业生平均工资为：350.02450.15550.20650.15μ=⨯+⨯+⨯+⨯750.24850.10950.0458.5+⨯+⨯+⨯=（百元），又知道14σ=，故258.52830.5μσ-=-=，2018届大学本科毕业生张茗月薪为3600元=36百元2μσ>-，故张茗不属于“就业不理想”的学生；（2）①视月薪高于8000为成功，则成功概率为0.14p =，X 服从成功概率为0.14p =的二项分布．且X 的取值为0，1，2，3，4，5．所以()()500.860.47P X ==≈，()()41510.860.140.383P X C ==⨯⨯≈，()()()322520.860.140.125P X C ==⨯⨯≈，()()()233530.860.140.02P X C ==⨯⨯≈，()()44540.860.140.002P X C ==⨯⨯≈，()550.140P X ==≈，X 分布列如下：00.4710.38320.12530.02040.002500.701EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()210.38340.12590.020160.002 1.095E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ()()2221.0950.7010.604DX E X E X =-=-≈．②由（1）知58.5μ=百元=5850元，故张茗的工资低于μ，可获赠两次随机话费，设所获得的花费为随机变量Y ，则Y 的取值分别为100，150，200，250，300，()111100224P Y ==⨯=，()12111150233P Y C ==⨯⨯=，()1211115200332618P Y C ==⨯+⨯⨯=，()12111250369P Y C ==⨯⨯=，()()1111003006636P Y P Y ====⨯=．故Y 的分布列为：则张茗预期获得的话费为()11511100150200250300166.674318936E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元． 【点睛】正态分布，二项分布，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知点P 在圆O ：226x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足的(1OQ OP →→→=．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点()2,0的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在定点D 使得2DA AB DA →→→⋅+的值为定值？若存在，求出定点D 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22162x y +=；（2）存在定点7,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得2DA AB DA →→→⋅+的值为定值59-． 【解析】 【分析】（1）由(1OQ OP =u u u r u u u r u u u r，得PQ =u u u r u u u r，设(),M x y ，()00,P x y ，()0,0Q x ，由向量等式可得0x x =，0y ，代入圆O ：226x y +=，可得动点M 的轨迹E 的方程为22162x y +=；（2）设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点D 的坐标为(),0t ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，结合向量数量积的坐标运算计算2DA AB DA ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值为定值，通过化简计算得出t 的值，从而说明定点D 的存在性．【详解】（1）由(1OQ OP =u u u r u u u r u u u r，得PQ =u u u r u u u r，设(),M x y ，()00,P x y ，()0,0Q x ， 则())000,,y x x y -=--， ∴0x x =，0y =，代入圆O ：226x y +=，可得2236x y +=，即22162x y +=．∴动点M 的轨迹E 的方程为22162x y +=；（2）设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()223420m y my ++-=，12243my y m +=-+，12223y y m =+，假设在x 轴上存在定点(),0D t 使得2DA AB DA ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值为定值，而()()1111,2,DA x t y my t y =-=+-u u u r ，()222,my B y D t =+-u u u r，()2DA AB DA DA AB DA DA DB ⋅+=⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()121222my t my t y y =+-+-+()()()()221212122m y y m t y y t =++-++-()()()()()2222222214241022233m m t t m t t m m -+----=+-=-+++为定值， 则24103t -=-，解得73t =， 且此时27252339DA DB ⎛⎫⋅=--=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．因此，在x 轴上存在定点7,03D ⎛⎫⎪⎝⎭，使得2DA AB DA ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值为定值59-．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在圆锥曲线综合中的应用，属于难题．21.已知函数()()()232xf x x e a x =-+-，其中e 为自然对数的底数，a R ∈．（1）若()f x 恰有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）若()()0f m f n ==，且m n <，求证：40m n e e e --<． 【答案】（1）()0,∞+；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）分0a =，0a ≠利用导数求函数零点个数，（2）由（1）可知0a >时，存在()()0f m f n ==，易得404m n e e e m n --<⇔+<． 令()()()4h x f x f x =--，2x <．．利用导数可证明40m n e e e --<． 【详解】（1）当0a =时，函数()()3xf x x e =-，()f x 只有一个零点．当0a ≠时，()()()'22xf x x e a =-+．①当0a >时，令()'0f x >，得2x >，令()'0f x <，得2x <， ∴()f x 在()2,+∞递增，在(),2-∞递减．又()220f e =-<，()330f =>，取0b <，且4ln3ab <，则()()()24832033a f b b a b ab b ⎛⎫>-+-=-> ⎪⎝⎭．故()f x 恰有两个零点．②当0a <时，当2x ≤时，()0f x <，故需2x >时，()f x 有两个零点． 令()'0f x =，得2x =，或ln 2x =，若22e a ≥-，则()ln 22a -≤，故当()2,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 在()2,+∞递增，()f x 不存在两个零点．若22e a <-，则()ln 22a ->，故当()()2,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，()f x 在()()2,ln 2a -递减，()0f x <，()()ln 2,x a ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增，故()f x 不存在两个零点．综上所述，实数a 的取值范围为()0,∞+．（2）由（1）可知0a >时，存在()()0f m f n ==，且(),2m ∈-∞，()2,n ∈+∞，()4,2n -∈-∞， 又()f x 在()2,+∞递增， ∴404m n e e e m n --<⇔+<． 令()()()4h x f x f x =--，2x <．()()()()()4'''420x x h x f x f x x e e -=+-=-->．∴()g x 在(),2-∞递增．即()()20g x g <=，()()()4f m f n f m =<-．∵n ，()42,m -∈+∞，又()f x 在()2,+∞递增， ∴4n m <-，即40m n e e e --<．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、放缩法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为()2x cos y sin 为参数φφϕ=⎧=⎨⎩，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l14cos πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）设曲线C 与直线l 的交点为A 、B ，求弦AB 的中点P 的直角坐标； （2）动点Q 在曲线C 上，在（1）的条件下，试求△OPQ 面积的最大值． 【答案】（1）4155P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，-；（2【解析】 【分析】（1）先把曲线C 和直线l 化成普通方程，再联立根据韦达定理和中点公式可得P 的坐标；（2）先求出OP 的长度和直线OP 的方程，根据曲线C 的参数方程设出Q 的坐标，求出Q 到直线OP 的距离得最大值，再求出面积．【详解】由2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩消去参数ϕ，得2214x y +=，cos()14πθ+=cos cos sin 14πθθ-=，得10x y --=， 联立221410x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得2580x x -=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则1285x x +=，12128211255y y x x ∴+=-+-=-=-，4(5P ∴，1)5-．（2）=5， 所以直线OP 的方程为x+4y=0， 设Q （2cosα，sinα）， 则点Q 到直线x+4y=0的距离OPQ S ∆∴=12|OP|d≤12×【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23.已知函数()|1||2|f x x x =---． （1）解不等式2()31f x x x -+„．（2）记函数2()y f x =的值域为M ，若[a ，21]a M -⊆，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|13}x x x 或≤≥；（2）312a <≤ 【解析】 【分析】（1）利用分段函数表示()f x ，利用分类讨论法求不等式()231f x x x -+„的解集；（2）由（1）知函数()f x 的值域，写出()2y f x =的值域M ，根据[a ，21]a M -⊆列不等式组求得实数a 的取值范围．【详解】（1）函数()1,11223,121,1x f x x x x x x -⎧⎪=---=-<<⎨⎪⎩„…；1x „时，不等式()231f x x x -+„化为2131x x --+„，解得1x „或2x …，取1x „；12x <<时，不等式()231f x x x -+„化为22331x x x --+„，解得1x „或4x …，取x ∈∅； 2x …时，不等式()231f x x x -+„化为2131x x -+„，解得0x „或3x …，取3x …；综上所述，不等式()231f x x x -+„的解集为{|1x x „或3}x …； （2）由（1）知，函数()f x 的值域为[1-，1]， 则函数()2y f x =的值域为[2M =-，2]，由[a ，21]a M -⊆，得212212a a a a <-⎧⎪-⎨⎪-⎩…„，解得312a <„，所以实数a 的取值范围是312a <„． 【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了集合的定义与应用问题，是中档题．。

22019 年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1．（5 分）已知复数 z ＝A ．（i 为虚数单位），则|z|＝（ ）B ．2C ．D ．2．（5 分）已知全集 U ＝R ，集合 A ＝{x||x|＞1}，B ＝{x|log 2x ≤1}，则（ U A ）∩B ＝（ ）A ．{x|x ＜1}B ．{x|0＜x ＜1 }C ．{x|x ≤1}D ．{x|0＜x ≤1}3．（5 分）已知实数 x ，y 满足约束条件：，则 z ＝2﹣x +y 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．24．（5 分）在由直线 x ＝1，y ＝x 和 x 轴围成的三角形内任取一点（x ，y ），记事件 A 为 y ＞x 3，B 为 y ＞x 2，则 P （B|A ）＝（）A ．B ．C ．D ．5．（5 分）若二项式（x ﹣）n 的展开式中第 m 项为常数项，则 m ，n 应满足（ ）A ．2n ＝3（m ﹣1）B ．2n ＝3mC ．2n ＝3（m +1）D ．2n ＝m6．（5 分）已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（）A ．20B ．22C ．24D ．19+27．（5 分）已知定义在 R 上的函数 f （x ），g （x ）满足 g （x ）＝f （|x ﹣1|），则函数 y ＝g （x ）的图象关于（）A ．直线 x ＝﹣1 对称C ．原点对称B ．直线 x ＝1 对称D ．y 轴对称8．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）+cos2x，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则φ的最小值是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆惟的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为（）A．B．C．D．R10．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上点P处的切线与y轴交于点Q，F为抛物线C的焦点，若|PF|＝5，则|QF|＝（）A．4B．5C．6D．711．（5分）已知圆C1，C2，C3是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆C1上点M作C1的切线交C2于A，B两点，P为圆C3上任一点，则的取值范围为（）A．[﹣8，﹣4]B．[0，12]C．[1，13]D．[4，16] 12．（5分）已知函数f（x）＝x+（2﹣kx）e x（x＞0），若f（x）＞0的解集为（a，b），且（a，b）中恰有两个整数，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．[+，）C．[，）D．[+1，）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知cos（）＝（0＜α＜π），则sinα＝14．（5分）已知函数f（x）＝，若f（5a﹣2）＞f（2a2），则实数a的取值范围为．17． 12分）已知数列{a n }的前 n 项和 S n 满足 S n ＝a n +1﹣1，且 a 1＝1，数列{b n }中，b 1＝1， 115．（5 分）已知双曲线﹣ ＝1 上的一点到两渐近线的距离之积为 ．，若双曲线的离心率为 2，则双曲线的虚轴长为．16．（5 分）在△ABC 中，∠BAC ＝60°，点 D 在线段 BC 上，且 BC ＝3BD ，AD ＝△2，则ABC 面积的最大值为．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．（b 5＝9，2b n ＝b n +1+b n ﹣（n ≥2）． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式：（2）若 c n ＝a n b n ，求{c n }的前 n 项的和 T n ．18．（12 分）如图，半圆柱 O ′O 中，平面 ABB ′A ′过上下底面的圆心 O ′，O ．点 C ，D分别在半圆弧 AB ，A ′B ′上且（1）求证：CD ∥平面 ABB ′A ′．（2）若 2AC ＝AB ＝AA ′，求二面角 C ﹣AD ﹣B 的余弦值．19．（12 分）已知椭圆 C ：＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为 F ，点 M （1， ）在椭圆 C上且 MF 垂直于 x 轴．（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P 为椭圆 C 上的动点，直线 PM 与 x ＝4 交于点 N ，求证：点 N 到直线 PF 的距离为定值，并求出这个定值．20．（12 分）“某班的健康调查小组从所在学校共选取 15 名男同学，其年龄、身高和体重数据如表所示（本题中身高单位：cm ，体重单位：kg ）．（ （ （ （ （ （ （ （ （ （年龄15（身高，体重）（154，48）， 161，65）， 168， 年龄18（身高，体重）（166，64）， 168，72）， 182，64）16（158，50）， 162，59）， 175，80）74）19 （160，51）， 172，68）， 178，90）17（161，60）， 167，62）， 173，68）（1）如果某同学“身高一体重＜100”，则认为该同学超重，从上述 15 名同学中任选两名同学，其中超重的同学人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望；（2）根据表中数据，设计两种方案预测学生身高．方案①：建立平均体重与年龄的线性回归模型，表中各年龄的体重按三名同学的平均体重计算，数据整理如表．i年龄 t i平均体重 s i11559 216 63.331764 41870519 69.7方案②：建立平均体重与平均身高的线性回归模型，将所有数据按身高重新分成 6 组：[153，158），[158，163），[163，168），[168，173），[173，178），[178，183]，并将每组的平均身高依次折算为 155，160，165，170，175，180，各组的体重按平均体重计算，数据整理如表．i平均身高 x i平均体重 y i115548 216057 316563 417068 517574 618082（i ）用方案①预测 20 岁男同学的平均体重和用方案②预测身高 168cm 的男同学的平均体重，你认为哪个更合理？请给出理由；（ii ）请根据方察②建立平均体重 y 与平均身高 x 的线性回归方程 y ＝ x + （数据精确到 001）．附：b＝＝，a＝，，＝168775，，21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）lnx﹣ln（lnx）．（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程：（2）若f（x）≥1﹣ln2恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的极坐标方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ＝0，直线l 的参数方程为．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且|AB|＝8，求以AB为直径的圆的方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）当恒成立，求实数a的取值范围．2019年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z＝A．（i为虚数单位），则|z|＝（）B．2C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z＝＝，∴|z|＝．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x||x|＞1}，B＝{x|log2x≤1}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x≤1}D．{x|0＜x≤1}【分析】解不等式求出集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：全集U＝R，集合集合A＝{x||x|＞1}＝{x|x＞1或x＜1}B＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，∴∁U A＝{x|﹣1≤x≤1}；∴（∁U A）∩B＝{x|0＜x≤1}故选：D．【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．3．（5分）已知实数x，y满足约束条件：，则z＝2﹣2x+y的最大值为（）A．B．C．D．2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x，y满足约束条件：，作出可行域如图，则z＝2﹣2x+y＝的最大值就是 u ＝2x ﹣y 的最小值时取得．联立，解得 A （1，1），化目标函数 u ＝﹣2x +y 为 y ＝2x +u ，由图可知，当直线 y ＝2x +u 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 有最大值为 2﹣2+1＝ ．故选：C ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．（5 分）在由直线 x ＝1，y ＝x 和 x 轴围成的三角形内任取一点（x ，y ），记事件 A 为 y ＞x 3，B 为 y ＞x 2，则 P （B|A ）＝（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据 P （B|A ）＝可得，其中 S （AB ）表示 A 和 B 同时发生所构成区域的面积，S （A ）表示事件 A 发生构成区域的面积．【解答】解：设 S （AB ）表示 A 和 B 同时发生所构成区域的面积，S （A ）表示事件 A 发生构成区域的面积．根 据 条 件 概 率 的 概 率 计 算 公 式 P （ B|A ） ＝＝ ＝ ＝＝ ＝ ．故选：D ．1•【点评】本题考查了几何概型，条件概率，定积分等知识，属于中档题．5．（5分）若二项式（x﹣）n的展开式中第m项为常数项，则m，n应满足（）A．2n＝3（m﹣1）B．2n＝3m C．2n＝3（m+1）D．2n＝m【分析】在第m项的通项公式中，令未知数的系数等于零，可得结论．【解答】解：∵二项式（x﹣﹣•为常数项，）n的展开式中第m项为常数项，即T m＝（﹣1）m∴n+＝0，且m﹣1≤n，即2n＝3m﹣3，且m≤n+1，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．20B．22C．24D．19+2【分析】根据三视图知该几何体是棱长为2的正方体截去两个相同的三棱锥剩余部分，结合图中数据求出该几何体的表面积．【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，截去两个三棱锥剩余的部分，如图所示；则该几何体的表面积为S＝6×22﹣4×＝22．×2×1﹣2××1×1+2×××故选：B．【点评】本题利用几何体三视图考查了求简单组合体表面积应用问题，是基础题．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足g（x）＝f（|x﹣1|），则函数y＝g（x）的图象关于（）A．直线x＝﹣1对称C．原点对称B．直线x＝1对称D．y轴对称【分析】根据图象变换即可求出答案【解答】解：由y＝f（|x|）关于y轴对称，由y＝f（x）向右平移一个单位可得y＝f（x ﹣1），即函数y＝g（x）的图象关于x＝1对称，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的变换，属于基础题8．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）+cos2x，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则φ的最小值是（）A．B．C．D．【分析】因为f（x）＝sin（2x+），→g（x）＝sin（2x+2φ+），→2φ+＝kπ+．【解答】解：因为（x）＝cos2xcos+sin2xsin+cos2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+ff g + ），将 （x ）＝sin （2x +），）向左平移 φ 个单位长度得 （x ）＝sin[2（x +φ） ]＝sin （2x +2φ+由 g （x ）的图象关于 y 轴对称可得 2φ+＝k π+ ．解得 φ＝ + ，k ∈Z ，∵φ＞0，∴k ＝0 时，φ 的最小值为 ．故选：A ．【点评】本题考查了函数 y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换，属中档题．9．（5 分）如图，半径为R 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆惟的体积之和为球的体积的 ，则这两个圆锥高之差的绝对值为（）A ．B ．C ．D ．R【分析】设球的半径为 R ，圆锥底面半径为 r ，上面圆锥的高为 h ，在△OO 1C 中，求得r 2＝2Rh ﹣h 2．写出两个圆锥的体积和，再由体积比求得 h 与 R 的关系得答案．【解答】解：设球的半径为 R ，圆锥底面半径为 r ，上面圆锥的高为 h ，则下面圆锥的高为 2R ﹣h ，在 △OO 1C 中，有 R 2＝r 2+（R ﹣h ）2，得 2Rh ﹣h 2．两个圆锥体积和为 ＝ ，球的体积．由题意，．∴4h 2﹣8Rh +3R 2＝0，即∴下面的圆锥的高为．．则这两个圆锥高之差的绝对值为|故选：D．|＝R．【点评】本题考查圆锥与球的体积，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上点P处的切线与y轴交于点Q，F为抛物线C的焦点，若|PF|＝5，则|QF|＝（）A．4B．5C．6D．7【分析】设出P的坐标，利用函数的导数求出切线的斜率，求出切线方程，得到Q的坐标，然后求解|QF|．【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）上点P（m，），函数的导数为：y′＝切线方程为：y﹣＝．P处的切线的斜率为：，，切线与y轴交于点Q（0，），F为抛物线C的焦点（0，），若|PF|＝5，可得，则|QF|＝，故选：B．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）已知圆C1，C2，C3是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆C1上点M作C1的切线交C2于A，B两点，P为圆C3上任一点，则的取值范围为（）A．[﹣8，﹣4]B．[0，12]C．[1，13]D．[4，16]• （• 【分析】由平面向量数量积的性质及其运算及平面向量的线性运算得： ＝（ ） （ ）＝ 2+（ ） ＝9+2× +2＝7+2＝7+2||||cos θ＝7+6cos θ∈[1，13]，得解【解答】解：由题意可知：向量取 AB 中点为 C ，， 的夹角为 ，则 ＝﹣2，则 ＝2 ，设向量 ， 的夹角为 θ，θ∈[0，π]因为 ＝（ ） ）＝ 2+（ ） ＝9+2×+2＝7+2＝7+2| |||cos θ＝7+6cos θ∈[1，13]，故选：C ．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及平面向量的线性运算，属中档题12．（5 分）已知函数 f （x ）＝x +（2﹣kx ）e x （x ＞0），若 f （x ）＞0 的解集为（a ，b ），且（a ，b ）中恰有两个整数，则实数 k 的取值范围为（）A ．（﹣∞， ）B ．[+ ，）C ．[，）D ．[+1， ）【分析】利用导数研究函数的图象得：设 g （x ）＝，则 g ′（x ）＝当 0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，当 x ＞1 时，g ′（x ）＜0，所以函数 g （x ）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，作函数g（x）＝的图象与直线y＝kx﹣2，由其位置关系得：，解得：，得解【解答】解：设g（x）＝，则g′（x）＝当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，所以函数g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，f（x）＞0的解集为（a，b）等价于＞（kx﹣2）的解集为（a，b），即当且仅当在区间（a，b）上函数g（x）＝的图象在直线y＝kx﹣2的上方，函数g（x）＝的图象与直线y＝kx﹣2的位置关系如图所示，由图可知：，解得：故选：C．，【点评】本题考查了函数图象的作法及利用导数研究函数的图象，属难度较大的题型二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知cos（【分析】由已知求得sin（）＝（0＜α＜π），则sinα＝），再由sinα＝sin[（）﹣]展开两角差的正弦求解．【解答】解：∵0＜α＜π，∴＜＜，又cos（）＝，∴sin（）＝＝．∴sinα＝sin[（＝）﹣]＝sin（．）cos﹣cos（）sin故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正弦，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝，若f（5a﹣2）＞f（2a2），则实数a的取值范围为（，2）．【分析】判断f（x）为递增函数，且最小值为﹣1，可得5a﹣2＞1，且5a﹣2＞2a2，解不等式可得所求范围．【解答】解：函数f（x）＝，可得x＜1时，f（x）＝﹣1；x≥1时，f（x）递增，f（x）≥﹣1，对f（5a﹣2）＞f（2a2），若5a﹣2≤1，即a≤，可得f（5a﹣2）＝﹣1，不成立；则5a﹣2＞1，即a＞，且5a﹣2＞2a2，解得＜a＜2，可得＜a＜2，故答案为：（，2）．【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和应用：解不等式，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15．（5分）已知双曲线﹣＝1上的一点到两渐近线的距离之积为．，若双曲线的离心率为2，则双曲线的虚轴长为．【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay＝0，利用点到直线的距离，结合已知条件列式，结合离心率，即可得b．【解答】解：根据双曲线﹣＝1上的两条渐近线的方程为b x﹣ay＝0或bx+ay＝0，依题意，点P（m，n）到两条渐近线的距离之积为×＝，即＝，又点P（m，n）为双曲线上的一点，∴b2m2﹣a2n2＝a2b2，∴＝，双曲线的离心率为2，可得，∴b＝，则双曲线的虚轴长为2．故答案为：2．【点评】本题给出双曲线点到渐近线的距离乘积，双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．16．（5分）在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在线段BC上，且BC＝3BD，AD＝△2，则ABC面积的最大值为．【分析】设∠BAD＝θ，则0＜θ＜60°，根据三角形的面积公式即可求出A C，AB，则可得△S ABC＝AB•AC•sin60°＝3sin（2θ+30°）﹣，根据三角函数的性质即可求出．【解答】解：设∠BAD＝θ，则0＜θ＜60°∵BC＝3BD，AD＝2，∴△S ABD＝△S ABC，∴AB•AD•sinθ＝×AB•AC•sin60°，∴AC＝4sinθ，同理可得AB＝2sin（60°﹣θ），17． 12分）已知数列{a n }的前 n 项和 S n 满足 S n ＝a n +1﹣1，且 a 1＝1，数列{b n }中，b 1＝1，∴△S ABC ＝ AB •AC •sin60°＝ ×2 sin （60°﹣θ）×4 sin θ× ＝6 sin θsin （60°﹣θ）＝3＝3（（ sin θcos θ﹣sin 2θ）sin2θ+ cos2θ﹣ ）＝3 sin （2θ+30°）﹣ ，∵0＜θ＜60°，∴30°＜2θ+30°＜150°∴ ＜sin （2θ+30°）≤1，∴3sin （2θ+30°）﹣ ≤，当 θ＝30°时取等号．故△ABC 面积的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．（b 5＝9，2b n ＝b n +1+b n ﹣1（n ≥2）． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式：（2）若 c n ＝a n b n ，求{c n }的前 n 项的和 T n ．【分析】本题第（1）题对于数列{a n }可利用公式 a n ＝S n ﹣S n ﹣1 得到 a n +1 和 a n 的递推关 系式，根据递推关系式判断出数列 {a n }是等比数列，即可求出通项公式，对于数列 {b n } 可根据等差中项判别法判别出数列{b n }是等差数列，也可求出通项公式；第（2）题先求 出 c n 的通项公式，然后根据 c n 的通项公式的特点利用错位相减法求出前 n 项的和 T n ．【解答】解：（1）由题意，可知：对于数列{a n }：①当 n ＝1 时，a 1＝1．②当 n ≥2 时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝（a n +1﹣1）﹣（a n ﹣1）＝a n +1﹣a n ． ∴a n +1＝2a n ．∴数列{a n }是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．2∴a n ＝2n ﹣1．对于数列{b n }：∵2b n ＝b n +1+b n ﹣1（n ≥2）．∴根据等差中项判别法，可知：数列{b n }是等差数列．又∵公差 d ＝．∴数列{b n }是以 1 为首项，2 为公差的等差数列． ∴b n ＝1+（n ﹣1）×2＝2n ﹣1．（2）由（1），可知：c n ＝a n b n ，＝（2n ﹣1）•2n ﹣1．T n ＝c 1+c 2+…+c n＝1•1+3•21+5•22+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①．+（2n ﹣1）•2n ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣②．①﹣②，可得：+2•2n ﹣1﹣（2n ﹣1）•2n＝1+4•（1+2+22+…+2n ﹣2）﹣（2n ﹣1）•2n＝1+4•﹣（2n ﹣1）•2n＝1+4•（2n ﹣1﹣1）﹣（2n ﹣1）•2n＝（3﹣2n ）•2n ﹣3．∴T n ＝（2n ﹣3）•2n +3．【点评】本题第（1）题主要考查根据递推公式求出通项公式，以及据等差中项判别法判别出数列是等差数列，然后求出通项公式；第（ ）题主要考查利用错位相减法求出数列 的前 n 项和．18．（12 分）如图，半圆柱 O ′O 中，平面 ABB ′A ′过上下底面的圆心 O ′，O ．点 C ，D分别在半圆弧 AB ，A ′B ′上且（1）求证：CD ∥平面 ABB ′A ′．（2）若 2AC ＝AB ＝AA ′，求二面角 C ﹣AD ﹣B 的余弦值．（ （【分析】 1）在底面半圆周上取点 E ，使得 ＝ ，连接 DE ，证明平面 CDE ∥平面ABB ′A ′，得出 CD ∥平面 ABB ′A ′；（2）建立空间坐标系，求出平面ABD 和平面 ACD 的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】 1）证明：在底面半圆周上取点E ，使得又 ，∴ ＝ ， ∴∠ABC ＝∠BCE ，∴AB ∥CE ，又 AB ∩BB ′＝B ，CE ∩DE ＝E ，∴平面 CDE ∥平面 ABB ′A ′，又 CD 平面 CDE ，∴CD ∥平面 ABB ′A ′． （2）解：以 O 为原点建立空间坐标系 O ﹣xyz ，设 OA ＝1，则 A （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （＝ ，连接 DE ，则 DE ∥BB ′，，﹣ ，0），D （ ， ，2）．∴＝（ ， ，2）， ＝（ ， ，0），＝（0，2，0），设平面 ACD 的法向量为 ＝（x ，y ，z ），则，即，令 x ＝1 可得 ＝（1，﹣ ， ），同理可得平面 ABD 的法向量为 ＝（1，0，﹣）．cos ＜＞＝ ＝ ＝ ．（∴二面角 C ﹣AD ﹣B 的余弦值为．【点评】本题考查了线面平行的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．19．（12 分）已知椭圆 C ：＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为 F ，点 M （1， ）在椭圆 C上且 MF 垂直于 x 轴．（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P 为椭圆 C 上的动点，直线 PM 与 x ＝4 交于点 N ，求证：点 N 到直线 PF 的距离为定值，并求出这个定值．【分析】 1）由题意可得，解得 a 2＝4，b 2＝3，即可求出椭圆的方程，（2）设点 P 的坐标为（x 0，y 0），由 M （1， ），求出直线 PM 的方程，即可求出点 N的坐标，再求出直线 PF 的方程，由点到直线的距离公式，结合点 P 在椭圆上，化简整理可得点 N 到直线 PF 的距离为定值．【解答】解：（1）由题意可得，解得 a 2＝4，b 2＝3，故椭圆 C 的方程为+ ＝1．证明（2）设点 P 的坐标为（x 0，y 0），由 M （1， ），可得直线PM的方程为y﹣＝（x﹣1），将x＝4，代入可得y＝+，故点N（4，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y＝+），（x﹣1），即y0x+（1﹣x0）y﹣y0＝0∴点N到直线PF的距离为＝＝＝＝3，故N到直线PF的距离为定值，定值为3．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于中档题．20．（12分）“某班的健康调查小组从所在学校共选取15名男同学，其年龄、身高和体重数据如表所示（本题中身高单位：cm，体重单位：kg）．年龄15（身高，体重）（154，48），161，65），168，年龄18（身高，体重）（166，64），168，72），182，（（（（（ （ （ （ （ （64）16（158，50）， 162，59）， 175，80）1974）（160，51）， 172，68）， 178，90）17（161，60）， 167，62）， 173，68）（1）如果某同学“身高一体重＜100”，则认为该同学超重，从上述 15 名同学中任选两名同学，其中超重的同学人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望；（2）根据表中数据，设计两种方案预测学生身高．方案①：建立平均体重与年龄的线性回归模型，表中各年龄的体重按三名同学的平均体重计算，数据整理如表．i年龄 t i平均体重 s i11559 216 63.331764 41870519 69.7方案②：建立平均体重与平均身高的线性回归模型，将所有数据按身高重新分成 6 组：[153，158），[158，163），[163，168），[168，173），[173，178），[178，183]，并将每组的平均身高依次折算为 155，160，165，170，175，180，各组的体重按平均体重计算，数据整理如表．i平均身高 x i平均体重 y i115548 216057 316563 417068 517574 618082（i ）用方案①预测 20 岁男同学的平均体重和用方案②预测身高 168cm 的男同学的平均体重，你认为哪个更合理？请给出理由；（ii ）请根据方察②建立平均体重 y 与平均身高 x 的线性回归方程 y ＝ x + （数据精确到 001）．附：b ＝＝ ，a ＝ ， ，＝168775，，（ （ （ 【分析】 1）15 人中有 4 人超重，故取两人超重的人数 X 的所有取值为 0，1，2．X 服从超几何分布，根据计数原理计算概率，列分布列，求期望即可．（2） i ）用方案②预测身高 168cm 的男同学的平均体重更合理，身高和体重的相关关系强于年龄与体重的相关关系．（ii ）将所给的数据代入 b 的公式，再根据（ ， ）在回归直线上，可以求出a ，进而得到回归方程．【解答】解：根据表中数据，15 人中，有 4 人超重，故随机变量 X 的所有取值为 0，1，2，P （X ＝0）＝ ＝ ，P （X ＝1）＝ ＝ ，P （X ＝2）＝ ＝ ＝ ．所以 X 的分布列为：XP0 1 2所以 E （X ）＝1×+2×＝＝ ．（2）（i ）对比两种方案，用方案②预测身高 168cm 的男同学的平均体重更合理，因为身高和体重的相关关系强于年龄与体重的相关关系．（ii ）b ＝＝ ＝ ≈2.295，又因为（ ， ）在回归直线上，∴a ＝b ﹣ ＝2.295×﹣ ＝65.333．平均体重 y 与平均身高 x 的线性回归方程 y ＝ 2.295x+65.333．【点评】本题考查了超几何分布，回归分析等知识，属于中档题．21．（12 分）已知函数 f （x ）＝ （x ﹣a ）lnx ﹣ln （lnx ）．（1）当 a ＝e 时，求曲线 y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程：（2）若 f （x ）≥1﹣ln2 恒成立，求实数 a 的取值范围．【分析】 1）当 a ＝e 时，对函数进行求导，求出点（e ，f （e ））处的切线的斜率，用点g g 斜式求出切线方程；（2）令 lnx ＝t ∈（0，+∞），把 a 从不等式中分离出来，构造函数，对新函数进行求导，利用导数的单调性，最后求出 a 的取值范围．【解答】解：（1）a ＝e 时，f （x ）＝ （x ﹣e ）lnx ﹣ln （lnx ），f （e ）＝0，f'（x ）＝ lnx +﹣ ，f'（e ）＝ ﹣ ，于是，函数 y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为 y ＝（ ﹣）（x ﹣e ），即 y ＝（ ﹣ ）x +1﹣ ．（2）令 lnx ＝t ∈（0，+∞），则 f （x ）≥1﹣ln2 等价于 （e t ﹣a ）t ﹣lnt ≥1﹣ln2，即 a ≤e t ﹣恒成立，记 g （t ）＝e t ﹣，则 g ′（t ）＝e t +＝，再令 h （t ）＝t 2e t +2lnt ﹣2ln2，则 h ′（t ）＝（t 2+2t ）e t + ＞0，于是 h （t ）在（0，+∞）上递增，又 h （2）＝4e 2＞0，h （ ）＝﹣4ln2＜0，所以 h （t ）有唯一的零点 x 0∈（ ，2），当 t ∈（0，t 0）时，g ′（t ）＜0，g （t ）单调递减；当 t ∈（t 0，+∞）时，g ′（t ）＞0，g（t ）单调递增，而 t 0 满足 t 02e+2lnt 0﹣2ln2＝0，即 t 0e ＝ ln ＝e •ln ，令 φ（t ）＝te t ，则 t 0 满足 φ（t 0）＝φ（ln），其中 t 0∈（ ，2），ln ∈（0，ln4），又 φ′（t ）＝（t +1）e t ，所以 t ∈（﹣1，+∞）时，φ′（t ）＞0，φ（t ）单调递增，因此 t 0＝ln，即 lnt 0＝﹣t 0+ln2，e＝ ，于是 a ≤ （t ）min ＝ （t 0）＝e ﹣ ＝ ﹣ ＝2，即 a ∈（﹣∞，2]【点评】本题考查了曲线的切线方程、函数的零点、利用导数研究恒成立问题，属难题．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（ 0 2+222．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ＝0，直线 l的参数方程为．（1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A 、B 两点，且|AB|＝8，求以 AB 为直径的圆的方程．【分析】 1）两边同乘以 ρ 后，用互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程，有直线参数方程消去参数 t 后可得直线 l 的直角坐标方程；（2）联立直线与曲线 C 根据韦达定理以及抛物线的定义可得 tan α＝1，根据中点公式可得 AB 的中点的坐标，再写出圆的方程．【解答】解（1）由 ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ＝0 得 ρ2﹣ρ2cos 2θ﹣4ρcos θ＝0⇒x 2+y 2﹣x 2﹣4x ＝0所以曲线 C 的直角坐标方程为 y 2＝4x ．（3 分）由，消去参数 t 得直线 l 的直角坐标方程为 y ＝tan α•（x ﹣1）．（5 分）（2）设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）由得 tan 2α•x 2﹣（2tan 2α+4）x +tan 2α＝0．所以，（7 分）因直线 l 恒过点（1，）即过抛物线 C 的焦点，所以分）． （8由题设知，又，故 tan α＝1，因此 l 的方程为 y ＝x ﹣1．又|AB|＝x 1+x 2+2＝8⇒x 1+x 2＝6，所以 AB 的中点坐标为（3，2），（9 分）因此所求圆的方程为（x ﹣3）（y ﹣2）＝16． （10分）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修 4-5：不等式选讲]23．（10 分）设函数 f （x ）＝|2x +1|+|x ﹣1|．（1）求不等式 f （x ）≥2 的解集；（ （ f y f（2）当恒成立，求实数 a 的取值范围．【分析】 1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．（2）画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．【解答】解：1） ，（x ）≥2 等价于 或或，所以分）或 0≤x ＜1 或 x ≥1，故原不等式的解集为 ． （5（2） ＝（x ）的图象如图所示：因为，所以 ，B （1，3），直线． （10 分）过定点【点评】本题考查函数与方程的应用，绝对值不等式的解法，考查数形结合以及计算能力．。

安徽省马鞍山市2014届第二次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交． 第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．（1）设1z i -=-（i 是虚数单位），则22z z +等于(▲) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +命题意图:考查共轭复数及复数的运算，容易题。

答案:D（2）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(▲)A ．16643π- B ．32643π-C ．6416π-D ．64643π-命题意图:考查三视图及体积的运算，考查空间想象能力。

容易题。

答案:A解析:3211642(13)6433V ππ=-⨯⨯+=-（3）51()(21)ax x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 (▲)A ．－20B ．－10C ．10D ．20命题意图:考查二项式定理的应用，容易题。

答案：C（4）某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内的条件为(▲)A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k >命题意图:考查程序框图，容易题。