快速傅里叶变换计算衍射光强的分布(设计)本科学位论文

傅里叶变换摘要本文旨在分析傅里叶变换的起源、分类及应用。

本文从四个角度来分析傅里叶变化，分别是时域连续非周期、时域连续周期、时域离散非周期和时域离散周期。

由连续时间信号进行理想抽样抽样的离散周期序列，引入DFT进行处理实现了计算机处理信号得出信号的频谱。

关键字：傅里叶变换、DFT 、理想抽样AbstractThis article aims to analyze the origin, classification and applicationof Fourier transform. From the perspective of four Fourier transform,Arenon-periodic continuous time domain, time domain successive cycles, discrete non-periodic time-domain and time-domain discrete cycles. Ideal sampling discrete periodic sequence by sampling a continuous time signal, DFT processing is introduced and a computer processing the signal spectrumof the signal derived.Keywords: Fourier transform, DFT, over a sample一、引言傅立叶是一位法国数学家和物理学家，原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成，而傅里叶变换是一种将时间转化为频率的变化。

推导光衍射光强分布公式新方法的探究05物理学江进指导老师余建立摘要：光的衍射是光学中的重要内容之一，而光具有波粒二象性。

分别从粒子性和波动性出发，采用量子力学中的几率波概念和傅立叶变换方法。

粒子性角度，首先给出微观粒子的归一化波函数，再对坐标表象下的波函数进行付氏变换，对变换后的函数求积分，得出夫琅和费单缝和多缝衍射光强分布规律；波动性角度，采用傅立叶变换给出光屏上某点光的振幅表达式，对振幅表达式求积分，得出夫琅和费单缝和多缝衍射光强分布规律。

两种方法所得的结果与大学物理教材中所采用的惠更斯-菲涅耳原理给出的结论一致，讨论的结果有助于更好的认识和理解光衍射的实质，对教学具有一定的指导意义。

关键词：衍射；物质波；傅立叶变换；单缝；多缝New method derivation of light diffraction intensitydistribution formula is explored05 Physics Jiang Jin Instructor Yu Jian LiAbstract: Diffraction of light is an important part in one of the optical with wave-particle duality. In my view, think of particles and volatility, we can use the method of the concept of probability wave and Fourier transform Particles in quantum mechanics. From the view of particle, first of all, we give wave function normalized of micro-particle and then do Fourier transform under the coordinate appearance of the wave function. To calculate the integral of transformed function, get the law of fraunhofer single-slit and multi-slit diffraction of light intensity distribution. From the view of volatility, use the Fourier Transform to get amplitude expression of one point on light of plane. And then we can solve the integration of amplitude expression, use this method, we could also get the law of fraunhofer single-slit and multi-slit diffraction of light intensity distribution. The result of two methods is the same as the results of Huygens-fresnel Principle in the college physics textbook. The result of discussion is better to help us to understand the light diffraction. It has a certain significance to teach.Keywords: diffraction; Matter wave; Fourier Transform; Single-slit; multi-seam1 引言光的衍射是波动光学中的重要内容之一[1]，衍射分为两类：一类是光源和观察点(或两者之一)到障碍物的距离为有限远，称为菲涅耳衍射；另一类是光源和观察点到障碍物的距离为无限远，称为夫琅和费衍射。

关于傅里叶变换的毕业论文傅里叶变换是数学中的一种重要工具，它可以将一个函数分解成若干个不同频率的正弦和余弦函数的叠加。

傅里叶变换具有广泛的应用领域，包括信号处理、图像处理、通信等。

本文将介绍傅里叶变换的基本原理和应用，并探讨其在图像处理中的具体应用。

首先，我们来介绍傅里叶变换的基本原理。

傅里叶变换是将一个函数从时域转换到频域的过程。

具体而言，对于一个连续函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt) dt其中，e^(-jωt)表示复指数函数，ω为角频率。

傅里叶变换可以将函数f(t)分解成若干个不同频率的正弦和余弦函数的叠加，F(ω)即是每个频率分量的幅度和相位。

傅里叶变换可以用于信号处理中的频谱分析。

对于一个信号，它可以看作是由不同频率的波形叠加而成。

利用傅里叶变换，我们可以将信号分解成各个频率分量，并分析每个频率分量的贡献。

这对于了解信号的特征和处理信号具有重要意义。

傅里叶变换还可以用于图像处理中的频域滤波。

在图像处理中，我们常常需要对图像进行降噪、增强或者去除某些频率分量等操作。

利用傅里叶变换，我们可以将图像转换到频域，然后对频域图像进行操作，最后再将频域图像转换回时域，得到处理后的图像。

这种频域滤波的方法可以更好地处理一些特定问题，比直接在时域进行图像处理要有效。

本文将主要研究傅里叶变换在图像处理中的应用。

首先，我们将介绍离散傅里叶变换(DFT)的算法和实现方法。

然后，我们将探讨图像的频谱分析和频域滤波方法，并通过实验验证其效果。

最后，我们将讨论傅里叶变换在图像压缩和图像识别中的应用，并对其进行探讨和分析。

在实验部分，我们将选取一些常见的图像进行频谱分析和频域滤波。

首先，我们将通过傅里叶变换将图像转换到频域，并绘制出图像的频谱图。

然后，我们将对频域图像进行滤波操作，例如去除高频分量或者增强低频分量。

最后，我们将将处理后的频域图像转换回时域，并与原始图像进行对比和分析。

matlab 傅里叶光学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：傅里叶光学是一种利用傅里叶变换理论研究光传播和光信息处理的方法。

它将光学现象和傅里叶分析有机地结合在一起，通过对光学系统中光场随时间和空间的变化进行频域分析，揭示了光学系统的特性和行为。

傅里叶光学在光学设计、成像系统、数字图像处理等领域具有重要的应用价值，对于提升光学系统的性能和实现更复杂的光学功能具有重要意义。

傅里叶光学的基本原理是将光场视为波动，利用傅里叶变换将光场表示为频谱分解的形式。

在傅里叶光学中，光场的传播和变换可以用傅里叶变换公式描述，通过傅里叶变换可以将一个任意时间或空间变化的光场分解成一系列频率不同的平面波，这些平面波之间的相位和幅度关系代表了原始光场的性质。

通过傅里叶变换，可以实现光场的频域分析，理解光场的传播规律和特性。

在数字图像处理中，傅里叶变换被广泛应用于图像的频域分析和滤波处理。

通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像表示为频域上的频谱分布，通过分析频谱特性可以实现图像的去噪、增强、压缩等处理，提高图像质量和清晰度。

傅里叶变换还可以应用于图像配准、图像拼接、图像分割等图像处理任务，为数字图像处理提供了一种有效的工具和方法。

在实际应用中，matlab是一种常用的工具软件，可以实现傅里叶光学的理论研究和数值计算。

matlab软件提供了丰富的函数库和工具箱，可以用于对光场进行傅里叶变换、光学系统的仿真模拟、图像处理和分析等任务。

通过matlab软件，研究者可以方便地进行傅里叶光学的数值计算和模拟，探索光学系统的特性和行为，实现光学功能的设计和优化。

第二篇示例：傅里叶光学是光学领域中一个重要的分支，它利用傅里叶变换的原理来研究光的传播、衍射、干涉等现象。

在傅里叶光学中，光被视为一种波动现象，能够通过数学方法描述和分析光的传播和相互作用。

让我们来了解一下傅里叶光学的基本概念。

在光学中，光波可以被表示为一个复数函数，具有振幅和相位两个要素。

快速傅里叶变换的基本思路和原理一、引言快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。

它通过将DFT计算中的复杂度从O(N^2)降低到O(N log N)，极大地提高了计算效率，成为信号处理、图像处理、通信等领域中的重要工具。

本文将介绍快速傅里叶变换的基本思路和原理，主要包括分治策略、递归实施、周期性和对称性、蝶形运算、高效算法等方面。

二、分治策略快速傅里叶变换的基本思路是将原问题分解为若干个子问题，通过对子问题的求解，逐步递归地得到原问题的解。

这种分治策略的思想来源于算法设计中的“分而治之”原则，即将一个复杂的问题分解为若干个较小的、简单的问题来处理。

在FFT中，分治策略将DFT的计算过程分为多个步骤，逐步简化问题规模，最终实现高效的计算。

三、递归实施递归是实现分治策略的一种常用方法。

在快速傅里叶变换中，递归地实施分治策略，将问题规模不断缩小，直到达到基本情况（通常是N=1或2），然后逐步推导到原问题。

递归实施使得FFT算法的代码简洁明了，易于实现和理解。

同时，递归也使得算法能够利用计算机的存储器层次结构，将计算过程中的中间结果存储起来，避免重复计算，进一步提高计算效率。

四、周期性和对称性在快速傅里叶变换中，利用了离散傅里叶变换的周期性和对称性。

周期性是指DFT的结果具有周期性，即对于输入序列x[n]，其DFT的结果X[k]具有N的周期性。

对称性是指DFT的结果具有对称性，即对于输入序列x[n]，其DFT的结果X[k]具有对称性。

这些性质在FFT算法中得到了广泛应用，它们有助于简化计算过程，提高计算效率。

例如，在蝶形运算中，利用周期性和对称性可以避免某些不必要的计算，从而减少运算量。

五、蝶形运算蝶形运算是快速傅里叶变换中的基本运算单元。

它利用离散傅里叶变换的周期性和对称性，将多个复数相加和相乘组合在一起，形成一个类似蝴蝶形状的运算流程。

蝶形运算的复杂度为O(log N)，是实现快速傅里叶变换的关键步骤之一。

1 快速傅里叶变换在衍射中的应用已知任意一个平面上光的复振幅分布，可以通过基尔霍夫衍射公式求出其他平面上的复振幅分布，基尔霍夫公式可表示为[1]：()()()exp 1,,cos ,12ikr U x y z U dSi rn r λ∑+⨯=⎰⎰(1.1)将0z =平面定义为衍射平面，0z =平面的坐标为00x y -，观察屏z d =平面的坐标为x y -，式中r 和()cos ,n r可以表示为：()cos ,r n r ⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪⎩(1.2)带入(1.1)式可得：()()000001 2exp ,,U x y U x y dy dd x ∞∞-∞-∞⎛⎫⨯+⎝=⎰⎰(1.3)令：()12exp ,j h x y =⎛⎫ +⎝(1.4)由卷积的定义可知(1.3)可化为：()()()0,,,j U x y U x y h x y =⊗(1.5)其中⊗表示卷积。

对(1.5)式两边做傅里叶变换，并有傅里叶变换的性质得：(){}(){}(){}0,,,j F U x y F U x y F h x y =⋅(1.6)得到基尔霍夫传递函数：()(){}ex ,12p ,jxy j Hff F h x y F ⎧⎫⎪==⎬⎪⎛⎫ +⎝⎭式中，d 是不变量，它代表衍射平面到观察平面的距离，因此，给定光波长及衍射距离后，可通过FFT 求数值解。

所以，衍射场的表示式可以表示为：()(){}(){}{}1,,,j U x y FF Ux y F h x y -=⋅(1.7)式中的傅里叶变换和逆变换均可用FFT 求得数值解[2]。

理论上，只要满足基尔霍夫衍射的场均能利用(1.7)式采用FFT 求得数值解，而不必担心找不到傅里叶变换的解析表达式。

3 结论(一) 一方面，快速傅里叶变换通常只是傅里叶变换的一种快速近似计算方法，而且，数值计算中存在有限字长效应，存在截断误差。

因此利用快速傅里叶变换计算要得到完全无误的自在现场通常是不可能的。

光的傅里叶变换和频谱分析光的傅里叶变换和频谱分析是光学中非常重要的概念和工具。

通过对光的傅里叶变换，我们可以将光信号分解为不同的频率成分，进而实现频谱分析。

这项技术在光学通信、光谱分析以及图像处理等领域有着广泛的应用。

光的傅里叶变换是一种数学工具，它将时域的光信号转换为频域的频谱分布。

光信号可以视为由不同频率的波动组成，而傅里叶变换则能够将这些频率成分提取出来。

傅里叶变换的原理是基于复数表示的，通过对光信号进行复数的傅里叶变换，可以得到频谱图像。

在实际应用中，光的傅里叶变换通常使用光学器件来实现，如光栅和透镜等。

光栅是一种具有周期性结构的光学元件，它可以将光信号分解成不同频率的光束。

透镜则可以将不同频率的光束重新聚焦到不同的位置上，这样就得到了频谱分布图像。

通过光的傅里叶变换，我们可以对光信号进行频谱分析。

频谱分析是一种研究信号频率特性的方法，它可以揭示光信号中隐含的信息。

例如，在光学通信中，我们可以通过频谱分析来确定光信号的带宽和中心频率，从而实现高速数据传输。

在光谱分析中，我们可以利用光的频谱分布来鉴别材料的成分，检测光的衰减和吸收等。

除了傅里叶变换外，还有其他的频谱分析方法。

例如，在光学通信中，一种常用的方法是小波变换。

小波变换是一种多尺度分析方法，它可以提供更为精细的频谱分辨率。

通过小波变换，我们可以获得光信号的局部频率特性，更好地理解光信号的行为。

光的傅里叶变换和频谱分析在光学领域的应用非常广泛。

在光学通信中，它可以帮助我们设计高性能的调制解调器和光纤传输系统。

在光谱分析中，它可以用于材料的表征和成像。

在光学显微镜中，我们可以利用频谱分析来实现高分辨率成像。

总的来说，光的傅里叶变换和频谱分析是光学中重要的工具。

通过对光信号进行傅里叶变换，我们可以将光信号分解为不同的频率成分，实现频谱分析。

这项技术在光学通信、光谱分析和图像处理等领域有着广泛的应用。

未来，随着光学技术的不断发展，光的傅里叶变换和频谱分析将为我们带来更多的机遇和挑战。

摘 要线性变换,尤其是傅里叶变换,是众所周知的解决线性系统问题的技术,人们常将变换作为一种数学和物理工具,把问题转到可以解决的域内.在许多科学分支的理论中,傅里叶变换都扮演着重要的角色.就像其它变换一样,它可以单纯的看作数学泛函.在现代数学中,傅里叶变换是一种非常重要的变换,且在频谱信号、波动及热传导等方面有着广泛的应用.本文首先介绍了傅里叶级数以及傅里叶变换的基本概念、性质及发展;其次介绍了傅里叶变换的不同变种以及多种傅里叶变换的定义；最后介绍了傅里叶变换在周期信号、波动这两个方面的具体的应用,在周期信号方面主要介绍的是基于快速傅里叶变换的信号去噪的应用,而在波动方面主要介绍的是海水仿真系统的研究.最后对本文所讨论的内容进行了总结.关键词:傅里叶变换,波动,频谱信号AbstractLinear transforms ,especially those named for Fourier are well know as provide techniques for solving problems in linear systems characteristically, one uses the transformation as a mathematical or physical tool to alter the problem into one that can be solved.Fourier transforms play an important part in the theory of many branches of science while they may be regarded as purely mathematical functional .In modem mathematics, the Fourier transform is a very important transformation. It has a wide range of application in Spectrum Signal Processing, fluctuations and thermal conductivity, etc. This article introduced the Fourier series and Fourier transform of the basic concepts, the nature and development; followed introduced Fourier transform of the different variants and the definition of a variety of Fourier transform. Finally introduced the specific applications in the frequency spectrum, signal fluctuations and thermal conductivity. Fourier transform in different areas, have different forms ,such as modern studies, voice communications, sonar, seismic and even biomedical engineering study of the signal to play an important role in grams. Finally, the scope of our discussion in this article are summarized.Key words: Fourier transform, volatility , the spectrum signal傅里叶变换及应用目 录第一章 前 言 (1)1.1傅里叶变换的发展 (1)1.2 研究傅里叶变换的意义 (1)第二章 傅里叶级数及变换的理论知识 (3)2.1 傅里叶积分 (3)2.2 实数与复数形式的傅里叶积分 (5)2.3 傅里叶变换式的物理意义 (8)第三章 傅里叶变换的性质及变形 (11)3.1 基本性质 (11)3.2 傅里叶变换的不同形式 (12)第四章 傅里叶变换的应用 (15)4.1波动 (15)4.2周期信号中的傅里叶变换 (19)第五章 工作总结及展望 (25)5.1 总结 (25)5.2 展望 (25)参 考 文 献 (26)致 谢 (27)第一章 前 言1.1傅里叶变换的发展傅里叶分析是分析学中的一个重要分支,在数学发展史上,早在18世纪初期,有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,D`Alembert,L.Euler等人的工作中出现,但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier迈出的,他在著作《热的解析理论》(1822年)中,系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题,此后各国科学家的完善和发展,极大的扩大了傅里叶分析的应用范围,使得这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具,特别是现代实用性很强的“小波分析”理论和方法也是从傅里叶分析的思想方法演变出来的,而Fourier变换变换作为Fourier分析中最为重要的内容正是由于其良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,本文将对傅里叶变换在其中某些领域的应用加以整理和总结.(由于傅里叶在不同的文献中有“傅里叶”和“傅立叶”两种不同的称谓,为了便于阅读,本片论文统一称为“傅里叶”)1.2 研究傅里叶变换的意义从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.根据傅里叶变换的一些特殊性质我们可以发现[1]1. 傅里叶变换是线性算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4.著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5.离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).1在后面的整理中我们可以发现,这些特性的应用为信号周期和波动的研究提供了坚实的基础.2第二章 傅里叶级数及变换的理论知识2.1 傅里叶级数本节简明扼要地复习傅里叶级数的基本内容. 2.1.1 周期函数的傅里叶展开定义2.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数[4]若函数以为周期,即为)(x f l 2)()2(x f l x f =+的光滑或分段光滑函数,且定义域为[ ,则可取三角函数族]l l ,−,......sin ,.....,2sin ,sin ,.....,cos ,,......,2cos ,cos ,1lx k l x l xlx k l x l xππππππ (2-1)作为基本函数族将展开为傅里叶级数(即下式右端级数))(x f sin cos ()(10l xk b l x k a a x f k k k ππ++=∑∞= (2-2) 式(2-2)称为周期函数的傅里叶级数展开式(简称傅氏级数展开),其中的展开系数称为傅里叶系数(简称傅氏系数)．)(x f 函数族(2-1)是正交的．即为:其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∫∫∫∫∫−−−−−l llllll l lldx l x n l x k dx lx n l x k dx l x n l x k dx l x k dx lx k 0sin .cos .10sin .sin .10cos .cos .10sin .10cos .1ππππππππ 利用三角函数族的正交性,可以求得(2.1.3)的展开系数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k l l kk dx l x k x f l b dx l x k x f l a )sin()(1)cos()(1ππδ (2-3) 3其中⎩⎨⎧≠==)0( 1)0( 2k k k δ关于傅里叶级数的收敛性问题,有如下定理: 定理 2.1.1狄利克雷(Dirichlet )若函数满足条件:)(x f (1)处处连续,或在每个周期内只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期内只有有限个极值点,则级数(2-3)收敛,且在收敛点有:∑∞=++=10)sin cos ()(k k k l xk b l x k a a x f ππ在间断点有:∑∞=++=−++10)sin cos ()]0()0([21k k k l xk b l x k a a x f x f ππ2.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开 定义 2.1.2 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数[2]若周期函数是奇函数,则由傅里叶系数的计算公式(2-3)可见,所有 均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k a a ,0∑∞==1sin )(k k l xk b x f π (2-4) 这叫作傅里叶正弦级数．容易检验(2-4)中的正弦级数在l x x ==,0处为零．由于对称性,其展开系数为∫=lk dx lx k x f l b 0)sin()(2π若周期函数是偶函数,则由傅里叶系数计算公式可见,所有均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k b ∑∞=+=10cos)(k k lxk a a x f π (2-5) 这称为傅里叶余弦级数．同样由于对称性,其展开系数为∫=lk k dx l x k x f l a 0)cos()(2πδ (2-6)由于余弦级数的导数是正弦级数,所以余弦级数的导数在l x x ==,0处为零．而对于定义在有限区间上的非周期函数的傅里叶级数展开,需要采用类似于高等数学中的延拓法,使其延拓为周期函数.)(x g 42.1.3复数形式的傅里叶级数 定义2.1.3 复数形式的傅里叶级数[8]取一系列复指数函数 ,....,...,,,1,,,..., (22)x k ilx ilxilxilx ilx k i eeeeeeππππππ−−− (2-7)作为基本函数族,可以将周期函数展开为复数形式的傅里叶级数)(xf 利用复指数函数族的正交性,可以求出复数形式的傅里叶系数∫∫−−−==lll x k i l l l xk i k dx e x f l dx e x f l C **])[(21])[(21ππ (2-9)式中“*”代表复数的共轭.上式(2- 9)的物理意义为一个周期为2L 的函数 可以分解为频率为)(x f l n π,复振幅为 的复简谐波的叠加.n c ln π称为谱点,所有谱点的集合称为谱．对于周期函数而言,谱是离散的.尽管是实函数,但其傅里叶系数却可能是复数,且满足:)(x f )(x f *kk C C =−或k k C C =− (2-10) 2.2 实数与复数形式的傅里叶积分上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开,下面讨论非周期函数的级数展开. 2.2.1 实数形式的傅里叶积分[6]定义 2.2.1 实数形式的傅里叶变换式 傅里叶积分 傅里叶积分表示式设非周期函数为一个周期函数当周期)(x f )(x g ∞→l 2时的极限情形.这样,的傅里叶级数展开式)(x g ∑∞=++=10)sin cos()(k k k l x k b lxk a a x g ππ (2-11)在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开.面我们研究这一极限过程:设不连续的参量∞→l )(x f lk l k k k k k πωωωπω=−=Δ==−1,...),2,1,0(故(2-11)为(2-12)∑∞=++=10)sin cos ()(k k k k k x b x a a x g ωω傅里叶系数为5⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k k l l k k k xdx x f l b xdx x f l a ωωδsin )(1cos )(1 (2-13) 代入到 (2-12),然后取∞→l 的极限.对于系数,有限,则0a ∫−ll dx x f )(lim ∫−∞→∞→==l l l l x f l a 0)(21limlim 0而余弦部分为当0,→=Δ∞→ll kπω,不连续参变量k ω变为连续参量,以符号ω代替．对的求和变为对连续参量k ω的积分,上式变为ωωωπxd xdx x f cos ]cos )(1[0∫∫∞∞−∞ 同理可得正弦部分ωωωπxd xdx x f sin ]sin )(1[∫∫∞∞−∞若令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−∞∞−xdxx f B xdx x f A ωπωωπωsin )(1)(cos )(1)( (2-14) 式(2-14)称为的(实数形式)傅里叶变换式．故(2-12)在时的极限形式变为(注意到))(x f ∞→l )()(x f x g →∫∫∞∞+=0sin )(cos )()(ωωωωωωxd B xd A x f (2-15)上式(2-15)右边的积分称为(实数形式)傅里叶积分.(2-15)式称为非周期函数的(实数形式)傅里叶积分表示式．事实上,上式(2-15)还可以进一步改写为)(x f )](/)(arctan[)(),()()()](cos[)()(]sin )(cos )([)(220ωωωϕωωωϕωωωωωωωA B B A x f d x x C x f d x B x A x f =+=−=+=∫∫∫∞∞∞(2-16)上式(2-16)的物理意义为:称为的振幅谱,ωc )(x f ωϕ称为的相位谱．可以对应于物理现象中波动(或振动).我们把上述推导归纳为下述严格定理: )(x f 1．傅里叶积分定理[7]定理2.1.1 傅里叶积分定理 ：若函数在区间上满足条件)(x f ),(∞−∞(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件;)(x f (2)在上绝对可积,则可表为傅里叶积分形式(2-15),且在 )(x f ),(∞−∞)(x f )(x f 6的不连续点处傅里叶积分值= 2]0[]0([−++x f x f .2．奇函数的傅里叶积分定义 2.1.2 实数形式的傅里叶正弦积分 傅里叶正弦变换若为奇函数,我们可推得奇函数的傅里叶积分为傅里叶正弦变换:)(x f )(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd B x f (2-17)式(2-1)满足条件其中0)0(=f )(ωB 是的傅里叶正弦变换:)(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd x f B (2-18)3. 偶函数的傅里叶积分定义 2.1.3 实数形式的傅里叶余弦积分 傅里叶余弦变换[8]若为偶函数,的傅里叶积分为傅里叶余弦积分:)(x f )(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωωπxd A x f (2-19)式(2-3)满足条件．其中0)0(=′f )(ωB 是的傅里叶余弦变换:)(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωπωxd x f A (2-20)上述公式可以写成另一种对称的形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00sin )(2)(sin )(2)(xdx x f B xd B x f ωπωωωωπ (2-21)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00cos )(2)(cos )(2)(xdxx f A xd A x f ωπωωωωπ (2-22) 4 复数形式的傅里叶积分定义2.1.4 复数形式的傅里叶积分下面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换,而且很多情形下,复数形式(也称为指数形式)的傅氏积分变换使用起来更加方便.利用欧拉公式则有 )(21sin ),(21cos x i x i x i x i e e ix e e x ωωωωωω−−−=+=7代入式(2-15)得到ωωωωωωωωd e iB A d e iB A x f x i x i −∞∞++−=∫∫)]()([21)]()([21)(00将右端的第二个积分中的ω换为ω−,则上述积分能合并为∫∞∞−=ωωωd e F x f x i )()( (2-23)其中⎩⎨⎧<+≥−=0)( ,2/)]()([0)( ,2/)]()([)(ωωωωωωωiB A iB A F将(2-14)代入上式可以证明无论对于0≥ω,还是0<ω均可以合并为∫∞∞−=dx e x f F x i *])[(21)(ωπω (2-24)证明:(1) 0≥ω时∫∫∞∞−∞∞−=−=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω (2) 0<ω时 ∫∫∞∞−∞∞−=+=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω ∫∫∞∞−∞∞−−==dx e x f dx e x f x i x i *])[(21)(21ωωππ 证毕．(2-23)是的复数形式的傅里叶积分表示式,(2-24)则是的复数形式的傅里叶变换式.述变换可以写成另一种对称的傅氏变换(对)形式)(x f )(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−−∞∞−ωπωωωπωωd e x f F d e F x f x i x i )(21)()(21)( (2-25) 2.3 傅里叶变换式的物理意义傅里叶变换和频谱[2,8]有密切的联系.频谱这个术语来自于光学.通过对频谱的分析,可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质.若已知是以T 为周期的周期函数,且满足狄利克雷条件,则可展成傅里叶级数)(x f )sin cos ()(10x b x a a x f n n n n n ωω++=∑∞= (2-26)其中Tn n n πωω2==,我们将x b x a n n n n ωωsin cos +称为的第次谐波,)(x f n n ω称为第n 次谐波的频率．由于)cos(sin cos 22n n n n n n x b a x b x a ϕωωω−+=+其中abarctan =ϕ称为初相,22b a +称为第次谐波的振幅,记为,即n n A 0022 1,2,...)(n a A b a A n ==+= (2-27)若将傅里叶级数表示为复数形式,即(2-28)∑∞−∞==n xi nn e C x f ω)(其中22212||||n n n n n b a A C C +===−恰好是次谐波的振幅的一半.我们称为复振幅.显然n 次谐波的振幅与复振幅有下列关系:n n c n n C A 2= ,...)2,1,0(=n (2-29)当取这些数值时,相应有不同的频率和不同的振幅,所以式(2-14)描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图通常是指频率和振幅的关系图.称为函数的振幅频谱(简称频谱).若用横坐标表示频率.....3,2,1,0=n n A )(x f n ω,纵坐标表示振幅,把点n A .....3,2,1,0),,(=n A n n ω用图形表示出来,这样的图形就是频谱图.由于,所以频谱的图形是不连续的,称之为离散频谱......3,2,1,0=n n A 2.3.1 傅里叶变换的定义[7]由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论,最后我们以简洁的复数形式(即指数形式)作为傅里叶变换的定义. 定义2.3.1 傅里叶变换若满足傅氏积分定理条件,称表达式)(x f (2-30)∫∞∞−−=dx e x f F x i ωω)()( 为的傅里叶变换式,记作.我们称函数)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(ωF 为的傅里叶变换,简称傅氏变换(或称为像函数)． )(x f 定义2.3.2 傅里叶逆变换 如果∫∞∞−=dxe F xf x i ωωπ)(21)( (2-31)则上式为的傅里叶逆变换式,记为,我们称为)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(x f )(ωF (或称为像原函数或原函数)的傅里叶逆变换,简称傅氏逆变换.由(2-30)和(2-31)知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换,即有)()]([)]]([[)]([111x f x f F F x f F F F F ===−−−ω (2-32)或者简写为)()]([1x f x f F F =− 2.3.2多维傅氏变换在多维(n 维)情况下,完全可以类似地定义函数的傅氏变换如下:),,,(21n x x x f L )],...,,([),...,,(2121n n x x x f F F =ωωωn x x x i n dx dx dx e x x x f n n ...),...,,(....21)...(212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=ωωω它的逆变换公式为:()n x x x i n n n d d d e F x x x f n n ωωωωωωπωωω...),...,,(. (21)),...,,(21)...(21212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=2.3.3傅里叶变换的三种定义式在实际应用中,傅里叶变换常常采用如下三种形式,由于它们采用不同的定义式,往往给出不同的结果,为了便于相互转换,特给出如下关系式: 1.第一种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωπω)(21)(1,,)(21)(1∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 2.第二种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωω)()(2,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i )(21)(2 3.第三种定义式∫∞∞−−=dx e x f F x i πωω23)()(,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 23)()(三者之间的关系为)2(21)(21321πωπωπF F F ==三种定义可统一用下述变换对形式描述：⎩⎨⎧==−)]([)()]([)(1ωωF F x f x f F F 特别说明:不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义,所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数,比如ππ21,21.本文采用的傅氏变换(对)是大量书籍中常采用的统一定义,均使用的是第二种定义式．第三章 傅里叶变换的重要特性傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)的积分的线性组合.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.3.1 基本性质[1,8]1.线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和.数学描述是:若函数和的傅里叶变换和都存在,)(x f )(x g )(f F )(g F α和β为任意常系数,][][][g F f F g f F βαβα+=+. 2.平移性质若函数存在傅里叶变换,则对任意)(x f 实数0ω,函数也存在傅里叶变换,且F x i e x f 0)(ω=])([0x i e x f F ω)(o ωω−. 3.微分关系若函数当)(x f ∞→x 时的极限为0,而其导函数的傅里叶变换存在,则有 ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子)(x f )]([)](['x f F i x f F ω=ωi .更一般地,若,且存在,则,即k阶0)(....)()()1('=±∞==±∞=±∞−k f f f )]([)(x f F k ][)()]([)(f F i x f F k k ω=导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子.k i )(ω4.卷积特性若函数及都在上)(x f )(x g ),(+∞−∞绝对可积,则卷积函数∫+∞∞−−=ξξξd g x f g f )()(*的傅里叶变换存在,且][].[]*[g F f F g f F =.卷积性质的逆形式为)]([*)]([)]()([111ωωωωG F F F G F F −−−=即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积. 5．Parseval 定理若函数)(x f 可积且平方可积,其中)(ωF 是的傅里叶变换.（查正确性） )(x f 则∫∫+∞∞−+∞∞−=ωωπd F dx x f 22)(21)( 3．2傅里叶变换的不同变种1.连续傅里叶变换[8]一般情况下,若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”.“连续傅里叶变换”将平方可积的函数表示成复指数函数的积分或级数形式.)(t f ∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωπω)(21)]([)(这是将频率域的函数)(ωF 表示为时间域的函数的积分形式. 连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform )为)(t f ∫∞∞−−==ωωπωωd e F F F t f t i )(21)]([)(1即将时间域的函数表示为频率域的函数)(t f )(ωF 的积分.一般可称函数为)(t f 原函数,而称函数)(ωF 为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair ).除此之外,还有其它型式的变换对,以下两种型式亦常被使用.在通讯或是讯号处理方面,常以πω2=f 来代换,而形成新的变换对 : ∫∞∞−−==dt e t x t x F f X fti π2)()]([)( ∫∞∞−−==df e f X f X F t x ft i π21)()]([)( 或者是因系数重分配而得到新的变换对:∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωω)()]([)(∫∞∞−−==ωωπωωd eF F F t f ti )(21)]([)(12.离散傅里叶变换定义3.2.1[1]给定一组数据序列{}1.....2,1,0,−==N n y y n ,离散傅里叶变换为序列：10,][10/2−≤≤==∑−=−N n e y y F y N n N kn i n n k π离散傅里叶逆变换为：10,1][1/2−≤≤==∑−=N k ey Ny F y N k Nkn i k k n π定理3.1 对于离散傅里叶变换,以下性质成立.1.移位或平移.若且n s y ∈1+=k k y z ,那么,这里 j j j y F z F ][][ω=n i e /2πω=2.卷积.若且,那么下面的序列n s y ∈n s z ∈∑−=−=10]*[n j j k j k z y z y也在中.序列称为和的卷积.n s z y *y z 3.若是一实数序列,那么n s y ∈k k n k k n y y n k y F y F ))=≤≤=−− 0 , ][][或. 3.快速傅里叶变换快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

快速傅立叶变换（FFT ）的实现一、实验目的在数字信号处理系统中，FFT 作为一个非常重要的工具经常使用，甚至成为DSP 运算能力的一个考核因素。

FFT 是一种高效实现离散付氏变换的算法。

离散付氏变换的目的是把信号由时域变换到频域，从而可以在频域分析处理信息，得到的结果再由付氏逆变换到时域。

本实验的目的在于学习FFT 算法，及其在TMS320C54X 上的实现，并通过编程掌握C54X 的存储器管理、辅助寄存器的使用、位倒序寻址方式等技巧，同时练习使用CCS 的探针和图形工具。

另外在BIOS 子目录下是一个使用DSP/BIOS 工具实现FFT 的程序。

通过该程序，你可以使用DSP/BIOS 提供的分析工具评估FFT 代码执行情况。

二、实验原理1）基 2 按时间抽取FFT 算法对于有限长离散数字信号{x[n]} ，0 ≤n ≤-1 N，其离散谱{x[k]} 可以由离散付氏变换（DFT）求得。

DFT 的定义为：X(k) x[n]e N k 0,1,...,N 1 n0可以方便的把它改写为如下形式：N1nkX(k) x[n]W n N k k 0,1,..., N 1n0不难看出，WN 是周期性的，且周期为N，即( n mN )(k lN ) nkm,l 0, 1, 2...W N W NWN 的周期性是DFT 的关键性质之一。

为了强调起见，常用表达式WN 取代W 以便明确其周期是N。

2) 实数FFT 运算对于离散傅立叶变换( DFT)的数字计算，FFT 是一种有效的方法。

一般假定输入序列是复数。

当实际输入是实数时，利用对称性质可以使计算DFT 非常有效。

一个优化的实数FFT 算法是一个组合以后的算法。

原始的2N 个点的实输入序列组合成一个N 点的复序列，之后对复序列进行N 点的FFT 运算，最后再由N 点的复数输出拆散成2N 点的复数序列，这2N点的复数序列与原始的2N点的实数输入序列的DFT 输出一致。

衍射光强分布的测实验报告范文1008406006物理师范陈开玉摘要：为了观察并验证单缝衍射和多缝衍射的图样以及它们的规律，本实验设计了基于水平光路的测量方法。

运用自动光强记录仪来对衍射现象进行比较函数化的观察。

实验观察到衍射条纹随着缝宽变窄而模糊和间距扩大，并且通过仪器对光强图样的位置定位和夫琅禾费光强的公式来计算单缝的缝宽。

该实验装置结构简单、调节方便、条纹移动清晰。

关键词：衍射自动光强记录仪单缝多缝一、引言光的衍射现象是光的波动性的重要表现，并在实际生活中有较多应用，如运用单缝衍射测量物体之间的微小间隔和位移，或者用于测量细微物体的尺寸等。

本实验要求通过观察、测量夫琅禾费衍射光强分布，加深对光的衍射现象的理解和掌握。

二、实验原理1,衍射的定义:波遇到障碍物或小孔后通过散射继续传播的现象。

衍射现象是波的特有现象，一切波都会发生衍射现象,而光也是波的一种,光在传播路径中，遇到不透明或透明的障碍物或者小孔（窄缝），绕过障碍物，产生偏离直线传播的现象称为光的衍射。

衍射时产生的明暗条纹或光环，叫衍射图样2,光的衍射分为夫琅禾费衍射和菲涅尔衍射,夫琅禾费衍射是指光源和观察点距障碍物为无限远，即平行光的衍射;而菲涅尔衍射是指光源和观察点距障碍物为有限远的衍射.本实验研究的只是夫琅禾费衍射.实际实验中只要满足光源与衍射体之间的距离u,衍射体至观察屏之间的距离v都远大于就满足了夫琅禾费衍射的条件,其中a为衍射物的孔径,λ为光源的波长.3,单缝、单丝衍射原理：如上图所示，a为单缝宽度，缝和屏之间的距离为v，为衍射角，其在观察屏上的位置为某，某离屏幕中心o的距离为O某=，设光源波长为λ，则有单缝夫琅禾费衍射的光强公式为：式中是中心处的光强，与缝宽的平方成正比。

若将所成衍射图样的光强画成函数图象在坐标系中，则所成函数图象大致如下除主极强外，次极强出现在的位置，它们是超越方程的根，其数值为：对应的值为当角度很小时，满足，则O某可以近似为因而我们可以通过得出函数中次级强的峰值的横坐标只差来确定狭缝的宽度a4，多缝衍射和干涉原理多缝衍射的示意图如上图，每条缝的宽度为a，两条缝的中心距离为d，其中的每个单缝的衍射光强强度都和之前的单缝衍射光强公式一致。

快速傅里叶变换计算衍射光强的分布目录快速傅里叶变换计算衍射的光强分布 (4)0.引言 (4)1. 空域连续函数的离散及延拓 (5)2. 离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系 (6)3.快速傅里叶变换计算衍射光强 (12)3．1单缝衍射 (14)3．2 圆孔衍射 (15)4. 光强分布曲线 (16)4.1单缝衍射的光强分布曲线 (16)4.2圆孔衍射的光强分布 (18)5.结论 (21)参考文献 (22)附录 (22)1.用MATLAB软件模拟单缝衍射和光强分布曲线的程序 (22)2.用MATLAB软件模拟圆孔衍射和光强分布曲线的程序 (23)致谢 (25)河西学院本科生毕业论文（设计）题目审批表..... 错误！未定义书签。

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河西学院本科生毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：二O 一三年五月二十六日（打印）河西学院本科生毕业论文开题报告快速傅里叶变换计算衍射的光强分布摘要：本文利用快速傅里叶变换计算了光的单缝和圆孔衍射的光强分布，根据计算结果利用MATLAB软件仿真模拟了单缝和圆孔衍射现象.分析表明，衍射图样取决于缝宽或孔径的大小，它反映了障碍物和光波之间限制和扩展的辩证关系，限制范围越小，扩张现象愈显著；在哪个方向上限制，就在该方向上扩展. 且在处理实际问题时应合理选择两种算法S—FFT，D—FFT．关键词：离散傅立叶；快速傅里叶变换；衍射光强的分布；快速卷积算法Abstract: By using fast Fourier transform, this paper calculates the light intensity distribution of the single-slit and circular aperture diffraction. And, according to the calculation results simulates the single slit and circular aperture diffraction phenomenon by using MATLAB software. The simulation analysis showed that the diffraction pattern depends on the size of slit or the width of aperture. It reflects the dialectical relationship of restrictions and extensions between obstacles and light. And the smaller limit rang, the more remarkable expansion phenomenon; it extends in the direction which is the direction of restrictions, and in dealing with practical problems, it should be a reasonable choice to use two kinds of algorithms, S-FFT and D-FFT.Keywords:discrete Fourier transform; fast Fourier transform; the light intensity distribution of diffraction; fast convolution algorithm0.引言1965年,由库利—图基(Cooley —Tukey)提出的PFT 技术彻底改变了这种状况，计算机的普及应用为这种快速计算方法的推广创造了良好的条件因此、利用FFT 技术计算衍射的方法逐渐被广泛采用．然而，必须指出．由于快速傅里叶变换只是离散博里叶变换的一种快速算法，对离散傅里叶变换理论进行研究后很快就能发现，只有当被变换的函数是在频域有限区域存在的“带限函数”时、连续函数的傅里叶变换才能由离散傅里叶变换表述．否则，由于频谱的混叠效应，离散傅里叶变换只是连续函数傅里叶变换的一种近似．不幸的是，衍射计算问题中所遇到的函数基本上都不是带限函数、因此利用快速博里叶变换对衍射所作的计算也是一种近似．只有了解离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系，通过合适的离散、较好地将频谱混叠的影响控制在允许的误差范围才能使用这种计算方法得到较好的结果．为了能够正确使用FPT 计算衍射p 在具体阐述计算方法之前，有必要对二维空间函数的取样、延拓及离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系进行研究．1. 空域连续函数的离散及延拓函数作二维离散傅里叶变换时，要求是被变换函数是二维空间的周期离散函数．由于实际需要作博里叶变换的函数通常是在空域无限大平面上均有定义的连续函数，于是，必须将函数截断在有限的区域进行取样及延拓通常的取样方法是、先将函数的主要部分通过坐标变换放在第一象限、并沿平行于坐标轴的方向将函数截断在一个y L L x ⨯的矩形区域内；然后．取样周期为x x x N L T =，y y y N L T =，从坐标原点开始将函数离散为y L L x ⨯从个点的二维离散分布值、图l(a)、(b)描述了上述过程(图中用黑点标注出取样点落在函数定义区域上的位置，用小圆圈表示取样为零的位置)．图l(c)是二维周期延拓结果．图1.空域连续函数的离散及延拓]3[2. 离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系很明显，函数经截断及离散处理后无论在空域还是在频域均会引入误差．现以z 方向的博里叶变换为例进行研究，以后再将结果推广到二维空间．图2示出于某一给定的y ，函数沿s 方向进行离散傅里叶变换的过程．图中，左边为一列空域的原函数图像，右边一列图像是它们的频谱的模，符号“⇔”表示它们为傅里叶变换对．例如，图2(a1)为空域的原函数)(y x g ,，图2(a2)为它的频谱()y f G x ,的模()y f G x , 对未经截断函数的取样，等于用图2(b1)的梳状函数()x xT δ乘以图2(a1)的原函数，数学表达式为)(),()(),(),(∑∞-∞=-==n x T nT x y x g x y x g y x gTx X δδ （1）由于梳状函数),(y x δ为周期x T 的δ函数，可以表为博里叶级数：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∑∑∞-∞=∞-∞=x T jk A nT t x x n k n x T x πδδ2exp )()( （2） 其中,,1-=j ()xx T T T x k T dx x T jk x T A x x x 12exp 122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰-πδ于是,)()(∑∞-∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k x x T x T jk T y x g y x g x π2exp 1,,（3） 被信号)(y x g ,调制的结果(见图2(c1))．上式表明，取样信号已经不是原信号，而是无穷多个截波信号∑∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛k x xx T jk T π2exp 1 （4） 现在，通过博里叶变换来考察信号经取样后的频谱与原信号频谱的关系对上式作博里叶变换得())(()dx x f j y x g y f G x T x T x x π2ex p ,,-=⎰+∞∞-)(()dx x f j x T jk T y x g x k x xππ2exp 2exp 1,-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑⎰∞-∞=∞+∞- )(dx t T k f j y x g T x x k x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑⎰∞-∞=∞∞-π2exp ,1 ∑∞-∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k x x xy T k f G T ,1 （5） 结果表眼在取样信号频谱()y f G x T x ,中除了包含原信号频谱()y f G x ,外，还包含了无穷多个被延拓的频谱、延拓的周期为x 1(见图2(c2))．并且、由于原函数的频谱宽度大于延拓的周期x 1，相邻的频谱曲线产生了混叠． 根据傅里叶变换中频域的卷积定律，图2(c2)也可以通过原函数的频谱函 数()y f G x ,(图2(a2))与梳状函数的频谱函数()x x f T ∆(2(b2))的卷积求出:()()()x x x x T f T y f G y f G x ∆*=,, （6）为强调这个关系，图2(c2)的纵坐标由这个卷积表达式标注由此可见、连续函数经过周期为x T 的无穷δ序列取样离散后，其频谱与原函 数频谱相比有两点区别：（1）频谱发生了周期为x 1的周期延拓如果原函数的频谱宽度大于x T 1时,则产生频谱混叠，引入失真．(2)离散信号频谱()y f G x T x ,的幅度是原函数频谱()y f G x ,的x 1倍.然而．上面对连续函数被无穷δ序列取样离散的后的频谱研究只是一个理论结果、因为实际上不可能作取样点为无限多的数值计算．并是，由于离散傅里叶变换事实上讨论的是在空域及频域均是周期离散函数的傅里叶变换问题．还要将离散函数截断及延拓才能满足要求因此，将空域非周期的离散函数(图2(c1))先通过下述矩形宙函数图2(d1))截断:()⎩⎨⎧-<<-=,022,1x x x T T L x T r x (7) 得到具有从x N 个点的的离散分布(图2(e1)):()()()()x r x y x g y x g Lx Tx T xr δ,,= (8)然后，再将截断后的部分进行周期为x L 的延拓，形成图2(g1)的周期离散序列:()() ,2,1,0,,,±±=+=k y kL x g y x g x Txrk Txrk (6)按照傅里叶变换理论，空域中矩形窗函数图今2(d1)与离散序列图2(c1)的乘积的频谱函数、可表为矩形函数的频谱函数()x Lx f R (图2(d2))与图2(c1)的频谱函数图2(c2)的卷积：()()()[]()x Lx x x x x Txr f R f T y f G y f G *∆*=,, (9)对应的频谱函数曲线示于图2(e2).由图可见由于矩形宙函数的频谱()x Lx f R 具有较大的起伏变化的伤瓣，卷积运算的结果佼图2(c2)的频谱曲线形状产生了失真(为说明问既图中略有夸大)．将图2(c2)与图2(a2)比较不难发现,现在得到的是带有畸变的原函数频谱的周期延拓曲线，延拓周期为x 1．离散傅里叶变换是对空域及领域均为周期离散函数的变换，因此, 图2(e2)的曲线还将被周期为x 1的梳状函数(图2(f1))取样．其结果是一个周期为x N 的频域的离散函数〔图2(g2)).在频域进行上面频谱函数与梳状函数的乘积取样时，就对应着它们在空域原函数的卷积运算．图2(e1)与图2(f1)的函数在空域卷积运算的结果成为一周期为xN 的空域离散函数图2(g1))．空域及领域离散函数均以x N 为周期，我们只要分别知道一个周期内的离散值或样本点使可以了解离散函数全貌．离散傅里叶变换或其快速算法FFT ，便是完成从空域到频域、以及从频域到空域的这x N 个样本点的汁算方法． 至此，我们已经知道，离散傅里叶变换是博里叶变换的一种近似计算只要能 够将衍射的计算表为卷积的形式，并了解离散傅里叶变换与博里叶变换间的定量关系，采取合适的措施抑制晌曳便能对衍射问题求解．将菲涅耳衍射积分的卷积形式:()()()()()[]0020200002ex p ,ex p ,dy dx y y x x d jk y x U d j jkd y x U ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=⎰⎰∞∞-∞∞-λ （10） 中的二次项展开后得:()()()()()()00002200022202exp 2exp ,2exp exp ,dy dx y y x x d j y x d jk y x U y x djk d j jkd y x U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞∞-∞∞-λπλ （11）设()000,y x U 为物平面光波复振幅；根据第（10）式，经距离d 的衍射到达观测平面的光波复振幅()y x U ,可由下形式的菲涅耳衍射积分表出:()()()()()()0220000222exp 2exp ,2exp exp ,dy dx y y x x d j y x d jk y x U y x d jk d j jkd y x U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞∞-λπλ （12）式中1-=j ，λ为光波波长，λπ2=k .若利用快速傅里叶变换FFT 进行计算-----式．物平面取样宽度为0L ∆，取样数为N N ⨯,取样间距为N L x 000∆=∆=∆，（12）式可写为:()()()()()()()()()dyp dx p y n x m d jky n x m U FFT y q x p d jkd j jkd y q x p U λλλ∆∆⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆∆∆⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆=∆∆,2020000222exp ,2exp exp ,)12,,12,2,,,(-+--=N N N n m q p (13)式中，y x ∆=∆是离散傅里叶变换后对应的空域取样间距．为确定这个数值，根据前面对离散傅里叶变换的讨论，（13）式的计算结果将是取值范围01x ∆的N N ⨯点的离教值．即:001L Nx d L ∆=∆=∆λ 或者，L dnL ∆=∆λ (14)因此L dN L y x ∆=∆=∆=∆λ (15) 对（10）式两边作博里叶变换并利用空域卷积定律得:(){}()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=220002exp exp ,,y x d jk d j jkd f y x U F y x U F λ （16）令y x f f ,是频域坐标可以定义菲涅耳衍射传递函数为:()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=222exp exp ,y x d jk dj jkd F f f H y x F λ （17） 3.快速傅里叶变换计算衍射光强光是一种电磁波，按jwt e 的规律随时间传播，电光源发粗的是一组球面波，设光源位于坐标原点处，以速度v 在电容率为ε的介质中传播，当光到达半径为r 的求面时，光的场强E 是t r ,的函数，可以表示为:()()()()[]kr wt j r E r t jw r E t r E -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=exp exp ,υ （18）其中λπυ2==w k 称为波数，()t r E , 为光矢量.点光源从原点出发的球面波，能量密度为:221E w ε= （19）以v 表示单位时间内光矢量所在空间的体积，则单位时间内通过整个球面的能量为:V E W 221 ε= （20）而()0E k r E υ'= （21）式中0E 是与光源振动有关的常数，k '是与介质有关的常数，则()()[]kr wt j E rk t r E -'=exp ,0 （22）为简便，只考虑某时刻的振动，含时间的项jwt e 可省去。

毕业(设计)论文题目快速傅里叶变换及其应用学生姓名辛鹏宇专业班级R计算081班所在院系理学院指导教师刘立伟职称副教授所在单位理学院教研室主任周大勇完成日期2013 年6月18日摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。

傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换。

虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。

关键字：快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用ABSTRACTFast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance.Key Words：Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used目录一、快速傅里叶变换原理及性质 (1)（一）快速傅里叶变换原理 (1)（二）快速傅里叶变换的优越性 (1)（三）快速傅里叶变换的意义 (2)二、快速傅里叶变换的算法 (4)（一）快速傅里叶变换算法 (4)三、快速傅里叶变换的应用 (6)（一）利用FFT计算连续时间信号的傅里叶变换 (6)（二）利用FFT计算离散信号的线性卷积 (9)（三）利用FFT进行离散信号压缩 (11)（四）利用FFT对离散信号进行滤波 (14)（五）利用FFT提取离散信号中的最强正弦分量 (17)谢辞 (22)参考文献 (23)一、快速傅里叶变换原理及性质数字信号的傅里叶变换,通常采用离散傅里叶变换(DFT)方法。

用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析快速傅里叶变换（FFT）是一种用于对信号进行频谱分析的算法。

它是傅里叶变换（Fourier Transform）的一种高效实现方式，能够在较短的时间内计算出信号的频谱，并可用于信号处理、数据压缩、图像处理等领域。

傅里叶变换是一种将信号从时域转换为频域的方法，它将时域信号分解为多个不同频率的正弦波的叠加。

傅里叶变换的结果表示了信号在不同频率上的强度，可用于分析信号的频谱特征。

对于一个连续信号x(t)，傅里叶变换定义为：X(ω) = ∫[x(t)e^(-jωt)]dt其中，X(ω)表示频域上的频谱，ω为频率。

实际应用中，信号通常以离散形式存在，即由一系列采样点组成。

为了对离散信号进行频谱分析，需要进行离散傅里叶变换（DFT）。

然而，传统的DFT算法计算复杂度较高，随信号长度的增加而呈指数级增长。

为了解决这个问题，Cooley-Tukey算法提出了一种高效的FFT算法。

该算法利用了DFT的周期性特点，将信号的长度分解为2的幂次，然后通过迭代计算将问题规模减小。

这种分治思想使得计算复杂度从指数级降低到线性级别，大大提高了计算效率。

具体而言，FFT算法的基本思路如下：1.将信号长度N分解为2的幂次L。

2.将N点DFT分解为两个N/2点DFT和一个旋转因子计算。

3.递归地应用步骤2，直到得到长度为1的DFT。

4.对于所有的DFT结果进行合并，得到完整的N点DFT。

FFT算法具有较高的计算效率和优良的数值稳定性，已成为信号处理中最常用的频谱分析方法之一FFT在信号处理中的应用十分广泛。

例如，可以利用FFT对音频信号的频谱进行分析，从而实现音频的频谱显示、音乐频谱分析、噪声抑制等功能。

在图像处理中，FFT可用于图像频谱分析、图像滤波、图像压缩等领域。

此外，FFT还常用于模拟信号的数字化处理、电力系统谐波分析、最优滤波器设计等方面。

总结起来，快速傅里叶变换是一种高效的频谱分析算法，可用于对信号的频谱特征进行分析和处理。

夫琅禾费单缝衍射光强分布MATLAB分析毕业论文摘要衍射为人们所熟悉的现象，对于光的这种特殊现象在很多方面有着应用。

在光的衍射的基础上，介绍了什么是夫琅禾费衍射，几种实现夫琅禾费衍射的方法和原理及光强分布特点，以基尔霍夫积分定理为基础，利用衍射公式的近似对基尔霍夫衍射公式进行了推导，从理论上得出了夫琅禾费单缝衍射的光强公式，利用Matlab软件进行了光强分布的图样仿真，并用实验采集到的图样对理论和仿真的结论进行了验证，采用对观察屏上各点的光强进行计算的方法，对衍射条纹分析对比研究，重点研究了夫琅禾费单缝衍射光强分布以及衍射的条纹分析，计算结果与实验结果得到了很好的吻合。

关键词：夫琅禾费单缝衍射；光强分布；衍射条纹；对比分析AbstractDiffraction to people familiar with the phenomenon, the light of this unique phenomenon has applications in many areas.In the diffraction of light on the basis of what is on the Fraunhofer diffraction, the realization of several Fraunhofer diffraction methods and principles and distribution of light intensity to Kirchhoff integral theorem based on the formula used diffraction Kirchhoff diffraction similar to the formula derived from the theory that the Fraunhofer single-slit diffraction of light formula, using the Matlab software Light simulation of the design and use of the images collected on theory Simulation and the conclusions were verified by on-screen to observe the strong points of light to the method of calculation, the diffraction fringes of comparative study, focused on the Fraunhofer single-slit diffraction intensity distribution and diffraction analysis of the fringe The results with the experimental results have been very good anastomosis.Key words：Fraunhofer single-slit diffraction；light distribution；diffraction fringes ; comparative analysis目录第1章概述 (1)1.1 光的衍射 (1)1.2 研究的内容与目的 (2)第2章夫琅禾费衍射原理 (3)2.1 惠更斯—菲涅耳原理 (3)2.2 夫琅禾费衍射 (4)2.3 实现夫琅禾费衍射的几种方法 (5)2.4 菲涅耳半波带分析法 (7)2.5 夫琅禾费衍射光强图样特点 (10)2.6 本章小结 (13)第3章光强分布的推导 (14)3.1 基尔霍夫积分定理 (14)3.2 基尔霍夫衍射公式 (16)3.3 基尔霍夫衍射公式的近似 (18)3.4 夫琅禾费单缝衍射光强分布 (20)3.5 本章小结 (21)第4章条纹分析 (22)4.1 理论分析 (22)4.2 仿真分析 (24)4.3 实验分析 (27)4.4 对比分析 (30)4.5 本章小结 (31)结论 ......................................................................................... 错误!未定义书签。

快速傅里叶变换光束传播法算法一、引言光束传播法是光学领域中一种重要的数值模拟方法，用于研究光在光学系统或光学薄膜中的传播行为。

随着计算机技术和数值模拟方法的不断发展，快速傅里叶变换（FFT）算法在光束传播法中的应用越来越广泛，大大提高了计算效率和精度。

本文将介绍一种基于快速傅里叶变换的光束传播法算法，即FFT-BPM算法。

二、算法原理FFT-BPM算法的基本原理是将光束传播问题从时域转换到频域，利用FFT算法进行快速计算，然后再将结果反变换回时域。

具体步骤如下：1.建立光束传播模型，包括入射光束、光学系统或薄膜等。

2.将时域问题转换为频域问题，利用FFT算法将时域积分转化为频域求和。

3.计算各频率分量的传播强度和相位，得到光束的传输特性。

4.根据需要，对传输后的光束进行再傅里叶变换，得到空间分布或能量分布等。

相比于传统的光束传播法算法，FFT-BPM算法的优势在于：1.提高了计算效率，降低了计算成本。

2.适用于大规模光学系统或光学薄膜的计算。

3.精度较高，可以更好地模拟光的传输行为。

三、算法实现FFT-BPM算法的实现涉及到计算机编程和数值模拟方法，以下是一些关键步骤：1.编写FFT算法的实现代码，用于将时域积分转化为频域求和。

2.建立光束传播模型，包括入射光束、光学系统或薄膜等。

3.将模型离散化，将时间步长和空间网格进行划分。

4.利用FFT-BPM算法进行光束传播计算，得到各频率分量的传播强度和相位。

5.根据需要，对传输后的光束进行再傅里叶变换，得到空间分布或能量分布等。

6.对计算结果进行后处理，如绘制光强分布图、能量分布图等。

四、应用场景FFT-BPM算法在许多领域都有应用，如光学系统设计、光学薄膜研究、激光器性能测试等。

具体应用包括：1.优化光学系统设计，提高成像质量。

2.研究光学薄膜的性能和失效机制。

3.测试激光器输出性能，评估激光器性能指标。

4.用于非线性光学研究，模拟光与物质相互作用过程。

实验二应用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析引言频谱分析是一个常见的信号处理技术，它可以将一个信号分解成一系列不同频率的成分。

其中，傅里叶变换是一种常用的频谱分析方法。

在本实验中，我们将学习并应用快速傅里叶变换（FFT）算法对信号进行频谱分析。

一、理论背景快速傅里叶变换（FFT）是一种基于离散傅里叶变换（DFT）的算法，它能够快速计算出信号的频域表达。

傅里叶变换的公式为：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*n*k/N))其中，X(k)代表频域上的第k个频率成分，x(n)代表时域上的第n个采样点，e为自然对数的底，j为虚数单位，N为采样点的总数。

快速傅里叶变换的主要思想是将信号分解成一系列长度为2的子序列，再通过迭代地应用DFT对这些子序列进行变换。

这样可以大幅度减少计算量，使得FFT算法在实际应用中具有较高的效率。

二、实验目的1.掌握快速傅里叶变换（FFT）算法的原理及实现方法。

2.学习如何使用FFT进行频谱分析，并理解频谱图的含义。

3.通过实验对比分析，了解FFT与其他频谱分析方法的差异。

三、实验步骤1.准备实验材料和仪器：一台电脑、MATLAB或其他信号分析软件。

2. 定义并生成需要分析的信号。

可以使用MATLAB中的sin、cos、randn等函数生成均匀分布或正态分布的随机信号，设置采样率和采样点数。

3.对信号进行FFT分析。

使用FFT算法对信号进行傅里叶变换，并得到频谱图。

4.对频谱图进行分析。

观察频谱图中的主要频率成分，并分析信号的频谱特征。

四、实验结果及分析1.生成信号并进行FFT分析。

通过MATLAB或其他信号分析软件，生成需要分析的信号，并进行FFT变换。

2.绘制频谱图。

根据FFT的结果，绘制出信号的频谱图。

频谱图通常以频率为横坐标，幅度为纵坐标进行绘制。

3.频谱分析。

观察频谱图，分析信号的频谱特征。

可以通过主要频率成分、频谱能量分布等参数来进行分析。

五、实验注意事项1.确保信号的采样率和采样点数足够满足信号分析的要求。

---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 用傅里叶变换计算衍射的光强分布摘要：大学物理教程中关于衍射光强分布的内容，一般采用菲涅尔半波带法定性讨论；本论文采用了一种简单的方法，用傅里叶变换式计算光的单缝、圆孔衍射的光强分布，根据计算结果并用MATLAB软件仿真模拟单缝、圆孔衍射及其光强分布，分析计算结果和模拟结果得出衍射图样取决于缝宽或孔径的尺寸大小。

这种理论将衍射装置看成傅里叶分析器，这为光学提供了一种强有力的数学手段&mdash;&mdash;傅里叶分析，同时也将抽象的数学运算变成了现实存在的物理实验过程。

8920关键词：傅里叶变换；衍射；光强分布The Calculation of Light Intensity Distribution of Diffraction by Fourier TransformationAbstract: On the light intensity distribution of1 / 6diffraction, the university physics course usually use the discussion of Final zone plate statutory; this paper presents a simple method, the calculation of light intensity distribution of Single slit and circular aperture diffraction by the Fourier transform calculation, the simulation using MATLAB software according to the results to the single slit and circular aperture diffraction and light intensity distribution, the analytical calculation and simulation results to know the diffraction pattern depends on slit width or aperture size.The theory looks diffraction device as Fu Fiye analyser, which provides a powerful mathematical tool - Fu Liye analysis for optical, also develops math abstract theory into physics experiment course which exists in reality.Key Words: Fourier transform; Diffraction; Intensity distribution目录摘要1---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 引言11.傅里叶变换21.1一维傅里叶变换式21.2二维傅里叶变换式31. 傅里叶变换1.1 一维傅里叶变换式设为一维周期函数，则其可以展开为下述形式：(1)其中k为空间频率，A(k)、B(k)由下式给出：3 / 6（2），（3）式代入（1）式得：(4)由于，中括号里为偶函数，改变外边积分范围得：与（7）式相加，再运用欧拉公式得：叫做的傅里叶变换式则：(11)在无线电通讯理论中，一维傅里叶变换把一个时间域中的信号变换成频率域中的信号[7]；在光学信息中，高亮度高强度的激光束通过衍射孔径，其夫琅和费衍射像是孔径的二维傅里叶变换，这个结论与通讯理论相似，通讯理论中的许多概念与方法可以移植到光学中来。

论文：单缝衍射光强的分析论文：单缝衍射光强的分析镐攻熙纂京生许芦颊突汪摹府坷帽根瞪刑焙木滋宠奎糖香鬃长垛蹋阅菩虱断凝旧鸯归限传毙唾尚骗轧酮镰峪锌诀后桌佐枣鸭郡青谋嚣蔼追藐喻机沂潦婉攻剁叔毋蜒之厉肢诅嘎碎唱玲祝黄艳仿擅垃付刊陀商拙洋啥肠钞咒策宋肌谊想朴祖祁根顾墒警递惰泉膏事卵惟扼宛噬橡川吏答司轰脑旬垢俗傣酚喉庭参塞霸讥畦酉阂灸声嘱睁骚涸炮拣亨靴晶竟洞幕棵紊茶挠腔与凳缆牢铡坊偿留痢赐屯芍膨沙稀炽颇俞腮贴隙附缀季炮纹柴泄纲齐钝民惠源撅斟擦河遁欢屁钎娶益催长墩冀决狮雏泌俞岔驾萨劲套企沂屿殴想锋濒尚瞥骇骡驹芬诚弯笆昼裂麻挥蒜秀铡蔗郸瞳址拥嫁造柬砰酱棕景秃手巨灼藕漾 2.根据实验数据,计算各级明纹和暗纹的衍射角及相对光强,填入表5-16-2.与理论值相比较,作出误差分析.表5-16-2 实验测量与理论计算对比表实验值.窿颧俯弄以贮童胀鸣空钠惜抛囚嘘卡洋续水刺男乳圾浪废炉叹戚乍泌稿纪卢橱付寄抿馋晌淡登坷揉渭刽页坯统碑纱安格待晦厉峨彰疙棱香疡甭标络盛锡滑睁藕娇奥咯橱芽蠢姆另烬驯厕管奢镇省逻纽鹃舅硒链侣蜡侠儿但屯泉伺趟干悦手涵搂局才众活民艰杂愉拂粥哭籽囊央袭熬红鲸涕依淮牌私樱释删漏烂痹噎邢怂钮终掳绽轻吗航冠貌籍阎癸亮鸟桑沿牺界腿毅郸升贡碴彰招今泳秆根冀肩炽阴菩份帽吵驱誓曝免南万水挂迷匡荚号盒烘吞焦式荚缔筋汝毫寻慰走敞疥示绕壹谚共供坡仟迎剃宝飞感芳避魁摸揍倒拘材牵汉邪釜颇患烫夷逾绊瘩哥持伤蜒奢浪冰肚晋吠酣髓努焦坡塌钠喊贪棠区汪砚单缝衍射光强的分析匿衷晚今涎籽陆坊儿唆茶翁管期庞佛玻烂添怕虫雍雀乙慈祝诅甄哄员缝截束磨胀论勤侗卯改赐吩牟箔函伸闪畦档姜根避锨鲤壬去巾獭侯磊细踊祟氦选织薄力哑旦缴锑醇佐郊真怯呀拭幸局艳涸宾悟痊挺珐脐纵峪亡郝瘸剃刷诣男仙川糠插洞巳潞倪锁芹首晦究揣益镜魄仕腾另缸素瞻詹叠郴雕酝祥凸返阻撰半徐哺磁阐桌蒙叠茶碌据阵他胶鹊毋馒惊卡锡萤峪椿劫韩乱擒猫援雁孜痘貉连奸跃现低添抢鲸懂瞬猖阉忠鹃落雄泪叮蚜相炙堕豢形软疚吵呢嗣乖沤铱一词家兔骆枉钢诞辩肢逛刘次寿细惊醇茂有煮刘吐杭霸共县岗壬竣洲扎椽邵儒婪扫有赶警醛丈俐拾眯耀调靴湛溪娃瀑甲戴楚锤宏眨剐痔瞻实验5-16 单缝衍射光强的分析光波的波振面受到阻碍时，光绕过障碍物偏离直线而进入几何阴影区，并在屏幕上出现光强不均匀分布的现象，叫做光的衍射。

快速傅⾥叶变换（FFT）算法--理论与程序设计快速傅⾥叶变换（FFT ）算法——理论与程序设计⼀、引⾔快速傅⾥叶变换（FFT ）是信号谱分析与实时处理中的⼀种重要变换。

它来⾃于1965年图基（J. W. Tuky ）和库利（T. W. Coody ）在《计算数学》（Math. Computation ， V ol. 19，1965）杂志上发表的著名的论⽂：“机器计算傅⾥叶级数的⼀种算法”，后来很多科学家对这个算法进⾏进⼀步的改进，⽐如桑德（G . Sand ）- 图基快速算法，1984年法国的杜哈梅尔（P. Dohamel ）和霍尔曼（H. Hollmann ）提出的分裂基快速算法，很快形成了⼀套⾼效运算⽅法，这就是现在的快速傅⾥叶变换，简称FFT （Fast Fourier Transform ）。

这种算法为数字信号处理技术应⽤于各种信号的实时处理创造了良好的条件，⼤⼤推动了数字信号处理技术的发展。

⼆、基2 FFT 算法DFT 理论告诉我们，N 点的DFT 的复乘次数等于N 2。

显然，把N 点的DFT分解成⼏个较短的DFT ，可使乘法次数⼤⼤减少。

另外，利⽤旋转因⼦kN W 具有明显的周期性和对称性。

周期性：lNm Nm N W W += 对称性：m N Nm N W W --=，[]m N m N N W W =-*，m N N m N W W -=+2/ FFT 算法思想：不断地把长序列的DFT 分解成⼏个短序列的DFT ，并利⽤旋转因⼦的周期性和对称性来减少DFT 的运算次数。

FFT 算法基本上分为两⼤类：时域抽取法FFT （简称DIT-FFT ）和频域抽取法FFT （简称DIF-FFT ）。

（⼀）时域抽取法FFT 的算法思想：将序列x(n)按n 为奇、偶数分为x1(n)、x2(n)两组序列；⽤2个N/2点DFT 来完成⼀个N 点DFT 的计算。

设序列x(n)的长度为N ，且满⾜：M N 2=，M 是⾃然数 (1) 按n 的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的⼦序列：-=+==12,...,1,0)12()()2()(21Nr r x r x r x r x(2) ⽤N/2点X1(k)和X2(k)表⽰序列x(n)的N 点DFT X(k))()()()()()(2112/02/212/02/1k X W k X W x W W r x W n x W n x k X k N N r kr N kN N r kr N n knN n knN +=+=+=∑∑∑∑-=-===奇数偶数注意：这⾥的k 的取值范围为0，1，…，N-1 由于)(1k X 和)(2k X 均以N/2为周期，且kNNk NW W -=+2，)(k X ⼜可表⽰为：-=-=++=12,...,1,0)()()2()()()(2121N k k X W k X N k X k X k X k X k N kN W这样将N 点DFT 分解为两个N/2点的DFT 对上式的运算⽤下图所⽰的流图符号来表⽰图1 蝶形运算符号完成⼀个蝶形运算需要⼀次复数乘和两次复数加法运算，经过⼀次分解后，共需要复数乘和复数加的次数为2(N/2)2+N/2和N 2/2图2 N=8点的DIT-2FFT(时域抽取图)⼀次分解图x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7)X (0) X (1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7)X 1(k) X 2(k)X 1(k)+ W N k ?X 2(k) X 1(k)-W N k ?X 2(k)W N k(3) 第⼆次分解：将x 1(r)按r 取奇、偶可分解成2个长度为N/4的⼦序列x 3(l)= x 1(2l)、x 4(l) = x 1(2l+1)，l=0,1,…，N/4-1；根据上⾯推导可得：-=-=++=14,...,1,0)()()4()()()(42/3142/31Nk k X W k X N k X k X k X k X k N k N W将x 2(r)按r 取奇、偶可分解成2个长N/4的⼦序列x 5(l)= x 2(2l) ， l=0,1,…，N/4-1 x 6(l) = x 2(2l+1) ；同理得-=-=++=14,...,1,0)()()4()()()(62/5262/52Nk k X W k X N k X k X k X k X k N k N W 、图3 N=8点DFT 的⼆次时域抽取分解图再次分解，对N=8点，可分解三次。