高考数学 复习 专题10+让抽象函数不再抽象备战高考高三数学 一轮热点难点一网打尽

高考数学一轮复习考点知识专题讲解函数的图象考点要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．知识梳理1．利用描点法作函数图象的方法步骤2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (3)对称变换①y ＝f (x )――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (4)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 常用结论1．函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． 2．函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝|f (x )|为偶函数．(×)(2)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位长度得到．(×) (3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(×)(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．(×) 教材改编题1．下列图象是函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是()答案C解析其图象是由y ＝x 2图象中x <0的部分和y ＝x －1图象中x ≥0的部分组成． 2．函数y ＝f (x )的图象与y ＝e x 的图象关于y 轴对称，再把y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )＝________. 答案e －x ＋1 解析f (x )＝e －x ， ∴g (x )＝e－(x －1)＝e－x ＋1.3.已知函数f (x )在R 上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f (x ＋t )<4的解集为(－1,2)，则实数t 的值为________．答案1解析由图象可知不等式－2<f (x ＋t )<4即为f (3)<f (x ＋t )<f (0)， 故x ＋t ∈(0,3)，即不等式的解集为(－t ，3－t )， 依题意可得t ＝1.题型一 作函数的图象 例1作出下列函数的图象： (1)y ＝2x ＋1－1； (2)y ＝|lg(x －1)|； (3)y ＝x 2－|x |－2.解(1)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位长度，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图①所示．(2)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图②所示(实线部分)．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎨⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示．①②③教师备选作出下列函数的图象： (1)y ＝2－|x |； (2)y ＝sin|x |.解(1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分．图①图②(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图②. 思维升华 图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 跟踪训练1作出下列函数的图象： (1)y ＝2x －1x －1；(2)y＝|x2－4x＋3|.解(1)y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数的图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图①所示．(2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x 轴上方的图象不变，如图②实线部分所示．①②题型二函数图象的识别例2(1)(2022·百师联盟联考)函数f(x)＝x·cos xe|x|的图象大致为()答案D解析由题意知，f(x)的定义域为R，f(－x)＝－x·cos(－x)e|－x|＝－x·cos xe|x|＝－f(x)，故f (x )为奇函数，排除C ；f (1)＝cos1e>0，排除A ； f (2)＝2cos2e 2<0，排除B. (2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()答案B解析y ＝f (x )―――――――――→作关于y 轴对称的图象y ＝f (－x )―――――――――→向右平移2个单位长度y ＝f (2－x )―――――――――→作关于x 轴对称的图象y ＝－f (2－x )． 教师备选(2022·咸阳模拟)函数f (x )＝cosπx ＋ln|2x |的大致图象是()答案C解析因为f(x)＝cosπx＋ln|2x|(x≠0)，所以f(－x)＝cos(－πx)＋ln|－2x|＝cosπx＋ln|2x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项A；f(1)＝cosπ＋ln2＝－1＋ln2<0，故排除选项B；f(2)＝cos2π＋ln4＝1＋2ln2>0，故排除选项D.思维升华识别函数的图象的主要方法有：(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．跟踪训练2(1)函数f(x)＝3x－3－xx4的大致图象为()答案B解析易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f (－x )＝3－x －3x (－x )4＝－3x －3－xx 4＝－f (x )，则f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，f (1)＝3－13＝83>0，排除D ， 当x →＋∞时，3x →＋∞，则f (x )→＋∞，排除C ，选项B 符合． (2)如图可能是下列哪个函数的图象()A ．y ＝2x －x 2－1B ．y ＝2x sin x 4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝xln x答案C解析函数的定义域为R ，排除D ； 当x <0时，y >0，A 中，x ＝－1时， y ＝2－1－1－1＝－32<0，排除A ；B 中，当sin x ＝0时，y ＝0， ∴y ＝2x ·sin x 4x ＋1有无数个零点，排除B.题型三 函数图象的应用 命题点1研究函数的性质例3已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是() A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案C解析将函数f (x )＝x |x |－2x去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图所示，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．命题点2函数图象在不等式中的应用例4若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是________． 答案(1,2]解析如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y ＝log a x 的图象．由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y ＝log a x 的图象的下方， 则⎩⎨⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2.命题点3求参数的取值范围例5已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－x ，x ≤0，log 2x －x ，x >0，若方程f (x )＝－2x ＋a 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________． 答案(－∞，1]解析方程f (x )＝－2x ＋a 有两个不同的实数根，即方程f (x )＋x ＝－x ＋a 有两个不同的根，等价于函数y ＝f (x )＋x 与函数y ＝－x ＋a 的图象有两个不同的交点．因为f (x )＝⎩⎨⎧2x－x ，x ≤0，log 2x －x ，x >0，所以y ＝f (x )＋x ＝⎩⎨⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，作出函数y ＝f (x )＋x 与y ＝－x ＋a 的大致图象如图所示．数形结合可知，当a ≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y ＝f (x )＋2x －a 有两个不同的零点．教师备选已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为______________．答案(－2，－1)∪(1,2)解析∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图．当x∈(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，当x∈(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)时，f(x)<0，∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1,2)．思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．跟踪训练3(1)若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a x(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a >1时，两函数图象有两个交点；当0<a <1时，两函数图象有一个交点．故a >1.(2)奇函数f (x )的定义域为(－1,1)，f (x )在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式f (x )<x 的解集为________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1解析因为奇函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (x )在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，所以定义域内的函数图象，如图所示，当f (x )＝x 时，解得x ＝22或x ＝－22，由图象知，不等式f (x )<x 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.课时精练1．函数f(x)＝3xx2＋cos x的图象大致为()答案A解析因为f(－x)＝－3xx2＋cos x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；因为f(π)＝3ππ2－1>0，所以排除C.2．为了得到函数y＝lg x＋310的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案C解析∵y＝lg x＋310＝lg(x＋3)－1，∴y ＝lg x ―――――――――→向左平移3个单位长度y ＝lg(x ＋3)―――――――――→向下平移1个单位长度y ＝lg(x ＋3)－1.3.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式可能是()A ．f (x )＝(4x －4－x )|x |B ．f (x )＝(4x －4－x )log 2|x |C ．f (x )＝4x ＋4－x |x |D ．f (x )＝(4x ＋4－x )log 2|x | 答案D解析由图知，f (x )为偶函数，故排除A ，B ； 对于C ，f (x )>0不符合图象，故排除C ；对于D ，f (－x )＝(4x ＋4－x )log 2|x |＝f (x )为偶函数，且在区间(0,1)上，f (x )<0，符合题意．4．(2022·银川质检)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于()A．－12B．－54C．－1D．－2答案C解析∵f(－1)＝0，∴ln(－1＋a)＝0，∴－1＋a＝1，∴a＝2，又y＝ax＋b过点(－1,3)，∴2×(－1)＋b＝3，∴b＝5，∴f(－3)＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.5．(2022·长沙质检)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为()图①图②A．y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|)C．y＝|f(x)|D．y＝－f(|x|)答案B解析观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|)．6．下列函数中，其图象与函数f(x)＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)答案B解析方法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．方法二由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数f(x)＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A，C，D.7．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的个数是()①f(x＋2)是偶函数；②f(x＋2)是奇函数；③f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增；④f(x)没有最小值．A．1B．2C．3D．4答案B解析f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，①正确，②错误．作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，③正确，④错误．8．(2022·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≤0，12|log |x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )＋2－m有4个零点，则m 的取值范围为() A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(1,3) D ．(2,3) 答案D解析由g (x )＝f (x )＋2－m ＝0， 得f (x )＝m －2，所以问题转化为函数f (x )的图象与直线y ＝m －2有4个不同的交点， 函数f (x )的图象如图所示，所以0<m －2<1，得2<m <3， 所以m 的取值范围为(2,3)．9．已知函数y ＝f (－x )的图象过点(4,2)，则函数y ＝f (x )的图象一定过点________． 答案(－4,2)解析y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称， 故y ＝f (x )的图象一定过点(－4,2)． 10．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1,1)对称，则实数a ＝________. 答案1 解析f (x )＝ax －a ＋a －2x －1＝a ＋a －2x －1，关于点(1，a )对称，故a ＝1.11．(2022·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若x 2>0>x 1>－x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是________． 答案f (x 1)<f (x 2)解析作出函数f (x )的图象(图略)，由图知f (x )为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∵0>x 1>－x 2，∴f (x 1)<f (－x 2)＝f (x 2)．12．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.13．(2022·济南模拟)若平面直角坐标系内A ，B 两点满足：(1)点A ，B 都在f (x )的图象上；(2)点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x <0，2e x，x ≥0，则f (x )的“和谐点对”有() A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个 答案B解析作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式|f (x )|≥13的解集为________．答案[－3,1]解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0的图象如图中的“实线”所示．从而|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≥0的图象如图中的“实线”所示，为解不等式|f (x )|≥13，需观察图象，易解得y ＝13与y ＝|f (x )|的交点为⎝⎛⎭⎪⎫－3，13和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13.故不等式|f (x )|≥13的解集为{x |－3≤x ≤1}，即[－3,1]．15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 21－x ，x ≥1，2x －1，x <1，若f (2x －2)≥f (x 2－x ＋2)，则实数x 的取值范围是()A ．[－2，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案D解析作出f (x )的图象，如图所示，由图知f (x )的图象关于直线x ＝1对称且在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴|2x －2－1|≤|x 2－x ＋2－1|，即|2x －3|≤|x 2－x ＋1|＝x 2－x ＋1，∴⎩⎨⎧ 2x －3≤x 2－x ＋1，2x －3≥－x 2＋x －1，解得x ≥1或x ≤－2.16．已知函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|，若方程f (x )－kx ＝0有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．答案(－∞，－22－3)∪{0}∪(3－22，＋∞)解析画出函数y ＝f (x )的图象如图．当y ＝k 1x 与y ＝－x 2＋3x －2相切时，－x 2＋3x －2＝k 1x ，∴x 2＋(k 1－3)x ＋2＝0，Δ＝(k 1－3)2－8＝0， 解得k 1＝3－22(舍k 1＝3＋22)，若y＝k2x与y＝x2－3x＋2相切，∴x2－(k2＋3)x＋2＝0，Δ＝(k＋3)2－8＝0，2解得k2＝－22－3(舍k2＝22－3)，∴若f(x)－kx＝0有两个不同的实数根，则k>3－22或k<－22－3或k＝0.。

高考数学一轮总复习重难点剖析数学是高考中重要的科目之一，也是让很多考生头疼的科目之一。

为了帮助考生更好地备战高考数学，本文将针对数学一轮总复习中的重难点进行剖析。

一、函数与方程函数与方程是数学学科的基础，也是高考中的必考内容。

重难点主要有以下几个方面：1. 函数的性质与运算：考生需要熟练掌握函数的定义、性质和运算规则，包括函数的奇偶性、周期性、单调性等。

对于复合函数和反函数的求解，考生需要理解并掌握相关的公式和方法。

2. 二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程是高考数学中的重点内容。

考生需要掌握二次函数的图像变换规律，包括平移、翻折和缩放等。

对于一元二次方程的解法，考生需要熟悉利用配方法、因式分解和求根公式等方法，同时还要能够应用到实际问题中。

3. 线性规划：线性规划是高考数学中的难点之一。

考生需要了解线性规划的基本概念和解题步骤，并能够灵活运用相关知识解决实际问题。

二、数列与三角函数数列与三角函数是高考数学中的另一大重难点，包括以下几个方面：1. 数列的概念与性质：考生需要熟悉数列的概念和基本性质，包括等差数列和等比数列的通项公式、前n项和等的求和公式等。

此外，考生还需了解数列极限的定义和性质，能够运用极限的方法解决数列相关问题。

2. 三角函数的基本关系式：考生需要熟悉正弦、余弦和正切函数的基本关系式，能够根据给定条件求解三角函数的值，并能够运用三角函数解决实际问题。

3. 三角函数的图像和性质：考生需要理解三角函数图像的基本变化规律，包括平移、翻折和伸缩等。

此外，还需要掌握三角函数的周期性、奇偶性和单调性等性质。

三、概率与统计概率与统计是高考数学一轮总复习中的重点内容，主要包括以下几个方面：1. 概率的基本概念：考生需要了解概率的基本概念和性质，包括事件、样本空间、概率的定义和运算规则等。

此外，还需要了解概率模型和概率分布的相关知识，并能够应用到实际问题中。

2. 统计的基本概念与方法：考生需要了解统计学的基本概念，包括数据的收集和整理、频数分布和频率分布等。

2024高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳函数是数学领域的一个重要概念，在高考中占据着很大的比重。

下面是2024年高考一轮复习函数知识点及最新题型的详细归纳。

1.函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

通常用f(x)表示函数，其中x是函数的自变量，f(x)是函数的因变量。

2.函数的表示方法函数可以用解析式、图像、表格等多种方式表示。

其中，解析式是最常见的表示方法，常见的函数表示如下：线性函数：f(x) = ax + b二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c指数函数：f(x)=a^x对数函数：f(x) = loga(x)三角函数：sin(x)，cos(x)，tan(x)3.函数的性质-定义域和值域：函数的定义域是自变量能取的全部实数值的集合，值域是因变量能取的全部实数值的集合。

-奇偶性：若对于函数的定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则称函数是偶函数；若对于函数的定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则称函数是奇函数。

-单调性：如果对于函数的定义域内的任意x₁和x₂，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)，则称函数是递增的；如果当x₁<x₂时，有f(x₁)>f(x₂)，则称函数是递减的。

-周期性：如果对于函数的定义域内的任意x，有f(x)=f(x+T)，其中T为正常数，则称函数具有周期T。

4.函数的运算函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。

-两个函数的和：(f+g)(x)=f(x)+g(x)-两个函数的差：(f-g)(x)=f(x)-g(x)-两个函数的乘积：(f*g)(x)=f(x)*g(x)-一个函数除以另一个函数：(f/g)(x)=f(x)/g(x)随着高考的，函数的考查形式也在不断变化，以下是一些最新的函数题型归纳：-函数的图像分析：考生需要根据给定函数的解析式或表格，画出其对应的图像，然后分析图像的特点，如极值、拐点、单调性等。

高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。

其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。

解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。

解：设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

高考数学一轮总复习必备考点解析在高考数学中，总复习过程非常关键。

为了帮助考生更好地备考，下面将对高考数学一轮总复习中必备的考点进行解析。

本文将从代数、几何和概率三个方面进行论述，以确保考生对重要考点有全面深入的理解。

一、代数考点解析1. 二次函数二次函数是高考中的重点考察内容。

在解析二次函数时，我们需要掌握函数的图像、性质以及与其他函数的关系，特别是注意平移和伸缩对函数图像和方程的影响。

2. 不等式不等式也是常见的考点之一。

对于一元不等式，我们需要清楚各种不等式的性质和解法，并掌握如何求解不等式组。

对于二元不等式，要熟悉直线、曲线和不等式之间的关系，并能够合理运用图像法和代入法解决相关问题。

3. 函数的定义域与值域函数的定义域与值域是比较基础但又容易出错的考点。

了解函数定义域与值域的求解方法，会使我们在解决相关题目时更加得心应手。

二、几何考点解析1. 三角函数三角函数是几何中的重要部分。

了解三角函数的定义、性质和图像，掌握相关的定理和公式，能够灵活运用三角函数解决各种几何问题。

2. 向量向量在几何中也是重要的考点。

熟悉向量的基本性质、运算规则以及与直线、曲线的关系，能够使用向量解决几何问题，会提高解题效率。

3. 平面与空间几何平面与空间几何是数学中的难点之一。

对于平面几何，我们需要掌握线段、角度和图形的性质，能够熟练运用平面几何解决相关问题。

对于空间几何，要了解空间图形的性质和投影问题的解决方法，掌握空间几何的基本定理和公式。

三、概率考点解析1. 排列组合排列组合是概率中的重点内容。

要熟悉排列组合的定义和性质，并能够合理运用排列组合解决相关问题，比如计算事件发生的概率等。

2. 随机变量与概率分布了解随机变量与概率分布的定义和性质，掌握常见离散型和连续型概率分布的特点以及与事件的关系，能够对给定概率分布进行统计和分析。

3. 事件的独立性与相依性熟悉事件的独立性与相依性的概念和判断方法，了解条件概率、贝叶斯公式等基本原理，并能够灵活应用于实际问题中。

2020年高考数学复习让抽象函数不再抽象专题突破考纲要求:抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.基础知识回顾:一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。

二、求值问题三、定义域问题四、值域问题五、判断函数的奇偶性：六、单调性问题一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）八、对称性问题九、周期问题十.四类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

2、指数函数型抽象函数3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

4、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

应用举例:招数一：赋值法【例1】为定义在上的不等于0的函数，，且任意，有，则下列式子中成立的是()A. B.C. D.【答案】A招数二：函数的奇偶性和单调性的应用【例2】定义在上的单调递减函数:对任意都有，．（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明之；（Ⅱ）若对任意，不等式（为常实数）都成立，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，，．若，，比较的大小并说明理由．【答案】（Ⅰ）为上的奇函数；证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）；（Ⅰ）解:为上的奇函数证明：取得∴取得即：对任意都有∴∴为上奇函数（Ⅱ）∵∴∵在上单减∴在上恒成立∴∴在上恒成立在上恒成立∴当时，∴即同理：∴。

高考一轮函数知识点总结高中数学中的函数是一个重要的概念，也是高考中常见的考点之一。

函数作为数学中的一种关系，具有广泛的应用和深厚的理论基础。

在高考中，对函数的理解和掌握是考生们取得好成绩的重要基础。

下面就来总结一下高考中一轮函数知识点。

1. 函数的定义与性质函数是一种将一个集合的每个元素映射到另一个集合的规则。

函数的定义包括自变量、因变量、定义域和值域等要素。

同时，函数还具有单调性、奇偶性、周期性和有界性等性质。

2. 基本初等函数基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

这些函数在数学和物理等领域具有广泛的应用，考生需要掌握它们的图像、性质和基本运算法则。

3. 函数的运算函数的运算包括加减乘除、函数的复合和函数的逆等。

加减乘除是函数之间最基本的运算，函数的复合是将一个函数的输出作为另一个函数的输入进行运算，函数的逆是一个与原函数互为反函数的函数。

4. 函数的图像与性质函数的图像是函数在坐标系中的表现形式，通过观察函数的图像，可以了解函数的性质。

例如，当函数的图像在整个定义域上单调递增或递减时，可以推断函数的单调性；当函数的图像关于某一直线对称时，可以推断函数的奇偶性。

5. 函数的应用函数在各个学科中都有广泛的应用。

在物理中，速度函数、加速度函数和位移函数等描述物体运动的规律；在经济学中，收益函数、成本函数和利润函数等描述企业生产的规律；在生物学中，生长函数、衰变函数和变异函数等描述生物体的数量变化规律。

6. 解函数方程解函数方程是高考中常见的考点之一。

函数方程是一个方程中含有未知函数的方程，如f(x) = g(x)。

解函数方程的关键就是找到未知函数的表达形式，从而求出满足方程的函数解。

7. 函数的极限函数的极限是函数在某一点上的无穷接近某一值的性质。

通过求函数的极限，可以求解函数的导数和积分等相关问题。

函数的极限是微积分中的重要概念，也是高考中涉及的重要内容。

高考数学常考压轴题及答案：抽象函数1500字高考数学常考的压轴题之一是关于抽象函数的题目。

抽象函数是高中数学中一个较为复杂的概念，但是在高考中，几乎每年都会出现与抽象函数相关的题目。

掌握了抽象函数的相关知识，对于解答这类问题将起到事半功倍的效果。

抽象函数是指以未知函数为自变量的函数。

在高考中，一般会给出具体的函数表达式，然后要求对其进行分析和求解。

下面是一道常见的抽象函数问题：已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $f(x)=2g(x)+1$ ，且 $g(x)$ 为奇函数，则函数$f(x)$ 的一个表达式是（）A. $f(x)=x+1$B. $f(x)=2x$C. $f(x)=x-2$D. $f(x)=3x-1$解析：根据已知条件 $f(x)=2g(x)+1$ ，我们可以得到 $g(x)=\\frac{f(x)-1}{2}$ 。

由于 $g(x)$ 是奇函数，即 $g(-x)=-g(x)$ ，代入 $g(x)$ 的表达式可以得到 $\\frac{f(-x)-1}{2}=-\\frac{f(x)-1}{2}$ 。

将表达式化简可得 $f(-x)=-f(x)$ ，即函数 $f(x)$ 为奇函数。

根据题目所给选项，只有选项 A 和 C 是奇函数，可以进行进一步的判断。

将选项 A 带入到原式中，得到 $f(x)=x+1$ ，不满足已知条件，所以选项 A 不是正确的答案。

将选项C 带入到原式中，得到$f(x)=x-2$ ，满足已知条件，所以选项C 是正确的答案。

答案：C另外，还有一类与抽象函数相关的常考压轴题是根据已知条件求解未知函数表达式的题目。

下面是一道例题：已知函数 $f(x)$ 满足 $f(3x-2)=5-x$ ，求函数 $f(x)$ 的表达式。

解析：由已知条件得到 $f(3x-2)=5-x$ ，我们可以发现，当自变量取值为$x=\\frac{2}{3}$ 时，整个函数的表达式会发生变化。

因此，我们可以令 $3x-2=\\frac{2}{3}$ ，求解出 $x$ 的值为 $x=\\frac{8}{9}$ 。

【备战2019年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】专题10 让抽象函数不再抽象考纲要求:抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.基础知识回顾:一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。

二、求值问题三、定义域问题四、值域问题五、判断函数的奇偶性：六、单调性问题一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）八、对称性问题九、周期问题十.四类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

2、指数函数型抽象函数 3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

4、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

应用举例: 招数一：赋值法【例1】【河南省南阳市第一中学2018届高三实验班第一次考试】为定义在上的不等于0的函数，，且任意，有，则下列式子中成立的是()A.B.C.D.招数二：函数的奇偶性和单调性的应用 【例2】定义在R 上的单调递减函数()f x :对任意,m n 都有()()()f m n f m f n +=+，()()22g x x x =-． （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明之；（Ⅱ）若对任意[]1,4t ∈-，不等式()()()180f g t f t m -++<（m 为常实数）都成立，求m 的取值范围；（Ⅲ）设()()1F x f x x =-+，()()2F x g x =，()31sin23F x x π=，()10,1,2,,100100ib i ==，()11f =-．若()()10k k k M F b F b =-()()21k k F b F b +-()()10099k k F b F b ++-，()1,2,3k =，比较123,,M M M 的大小并说明理由．招数三：抽象函数的周期性【例3】【河南省南阳市第一中学2018届高三第一次考试】设定义在R 上的函数()f x 满足()()27f x f x +⋅=，若()12f =，则()107f =__________．招数四：抽象函数综合题目【例4】【湖北省荆州中学2018届高三第二次月考】已知函数()**,,y f x x N y N =∈∈满足：①对任意的*,,m n N m n ∈≠，都有()()()()mf m nf n mf n nf m +>+；②对任意的*a N ∈都有()3f f a a ⎡⎤=⎣⎦.则()()()1628f f f ++=______________．实战演练:1．【四川省宜宾市第四中学2018届高三高考适应性考试】已知函数满足，若函数与 图象的交点为，则( )A ．B ．C ．D ．2．【广西壮族自治区南宁市第二中学2018届高三年级6月份考试】定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，。

由设可知-x 1>-x 2>0，又f （x ）在（0，+∞）上是减函数，于是有f （-x 1）<f （-x 2）②把①代入②得f （x 1）<f （x 2）。

由此可得在（-∞，0）上是增函数。

四、数形结合有此抽象函数的问题用常规方法解难于奏效，但若把抽象问题图形化，利用对称性，数形结合，则可使问题迎刃而解。

例4定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （-2）=0，则不等式的解集为（）。

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）解：因为定义在R 上的奇函数，所以f （0）=0，且f （x ）关于原点对称。

根据题设条件作出函数在R 上的大致图像（如图）。

由xf （x ）<0，知x 与f （x ）异号。

由图可知，解集为（-2，0）∪（0，2）。

故选A 。

五、正难则反当面临的数学问题从下面入手求解难度较大时，可以考虑从反面入手解决。

例5已知函数f （x ）在R 上是增函数，a ，b ∈R ，若f （a ）+f （b ）荞f （-a)+f （-b ）。

求证：a+b 荞0。

证明：欲证上述命题，正向推理题设条件不容易使用，转而逆向思考，利用反证法。

假设a+b>0，则a>-b ，b>-a 。

根据单调性可知f （a ）>f （-b ），f （b ）>f （-a ），f （a ）+f （b ）>f （-a)+f （-b ），这与已知矛盾。

所以a+b>0不成立，即a+b 荞0。

函数的特征是通过函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）反映出来的，抽象函数也不例外。

因此，只有充分利用题设条件所表明（或隐含）的函数性质，灵活、综合运用上述解技巧，抽象函数问题才能峰回路转，柳暗花明。

（龙川县麻布岗中学）[]2012.269探索【新课程研究】普通学校的学生学习语文的一般规律是：识字写字与汉语拼音———阅读———口语交际———习作———综合性学习，而智力障碍学生学习语文的一般规律是看图学拼音———看图识字———学词语———学句子———学短文———习作。

抽象函数新高考知识点总结随着新高考政策的出台，高中数学教学内容也发生了一些变化。

抽象函数作为高中数学的一个重要知识点，也成为了新高考的考查内容之一。

在本文中，我们将对抽象函数的相关知识进行总结和归纳，以帮助学生更好地掌握和理解这一知识点。

1. 抽象函数的概念和特点抽象函数是数学中的一个重要概念，它是指由一对非空的数集到另一个数集的对应关系。

与一般的函数不同，抽象函数不具体给出函数的具体形式，而是以一种抽象的方式描述函数的性质和特点。

抽象函数具有以下几个特点：（1）没有具体的函数表达式，只给出函数的定义域和值域的关系。

（2）函数的定义域和值域可以是数集、集合、图形、样本等任何形式。

（3）抽象函数体现了一种普遍性和一般性的思维方式，适用于各类数学问题的求解。

2. 抽象函数的表示方法抽象函数可以用文字描述、图形表示、集合表示等多种方式表示。

（1）文字描述：通过文字描述来表达函数的性质和特点，例如“函数f是定义在实数集上的奇函数”。

（2）图形表示：通过图形来表示函数的定义域、值域、性质等。

例如，通过画出函数图像来表示函数的变化规律。

（3）集合表示：通过集合的方式表示函数的定义域和值域。

例如，用集合的形式来表示一组数据的函数关系。

3. 抽象函数的应用抽象函数在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用情境。

（1）数列和数表的抽象函数表示：对于给定的数列和数表，可以通过抽象函数的方式来表示其数值规律，以便于研究和推导。

（2）函数关系的抽象函数表示：对于一些复杂的函数关系，通过抽象函数的方式可以简化问题，提取出函数的主要特征，从而更好地理解和研究函数关系。

（3）样本数据的抽象函数表示：对于一组观测数据，通过抽象函数的方式可以描述数据之间的联系和规律，进而用于统计分析和预测。

4. 抽象函数的思维方法抽象函数作为一种普遍性的思维方法，在数学问题的解决中起着重要的作用。

了解和掌握抽象函数的思维方法，可以帮助学生提高数学问题的解决能力。

2024年高考数学第一轮复习重点总结一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义：给定一个集合X和Y，如果对于集合X中的每个元素x，都有唯一一个元素y与之对应，那么就称这个对应关系为函数，记作y = f(x)。

- 函数的性质：定义域、值域、图像、奇偶性、单调性等。

2. 一次函数与二次函数- 一次函数：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

掌握一次函数的图像、性质和应用。

- 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

掌握二次函数的图像、性质和应用，包括顶点坐标、对称轴、开口方向、零点等。

3. 指数与对数函数- 指数函数：y = a^x，其中a>0且a≠1。

掌握指数函数的图像、性质和应用，包括定义域、值域、增减性等。

- 对数函数：y = loga(x)，其中a>0且a≠1。

掌握对数函数的图像、性质和应用，包括定义域、值域、增减性等，以及常用对数函数的特殊性质。

4. 复合函数与反函数- 复合函数：由两个或多个函数通过代数运算得到的新函数。

掌握复合函数的性质和计算方法。

- 反函数：函数f(x)的反函数记作f^(-1)(x)，满足f(f^(-1)(x)) = f^(-1)(f(x)) = x。

掌握反函数的概念、性质和计算方法。

5. 方程与不等式- 方程的解：使方程两边相等的未知数的值。

掌握一元一次方程、一元二次方程的解法，以及应用题中方程的建立和解题方法。

- 不等式的解：使不等式左边大于、小于或等于右边的未知数的值。

掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法，以及应用题中不等式的建立和解题方法。

二、数与数量关系1. 数列与数列求和- 数列的概念与表示：数列是按照一定规律排列起来的一组数。

掌握等差数列、等比数列的概念与表示方法，以及常见数列的性质。

- 数列的通项公式：根据数列的规律，确定数列的通项公式。

掌握等差数列、等比数列的通项公式，以及应用题中数列的建立和求解方法。

2021届高三一轮复习难点突破（2）——抽象函数不等式问题探究以抽象函数为背景、题设条件等考查函数不等式的解法问题是近几年高考的热门问题．抽象函数不等式的的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符号“f ”,转化为一般不等式求解．所以函数的单调性是函数和不等式的纽带，只有利用好这一条性质，问题才能得到有效的解决．而在实际解决抽象函数不等式的过程中，我们还要考虑函数有关的性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，并且此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，再利用函数单调性解决.【典型母题】（2015全国卷Ⅱ，12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【解法探究】构造函数()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x '-'=． 因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞单调递减； 又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数， 所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-.故选A ．【方法、技巧、规律】函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决. 【探源、变式、扩展】考向1．直接解抽象函数不等式例1（2017新课标Ⅰ，5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【点睛】函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等．考向2．构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式例2．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数是()f x '，且满足()()f x f x >'，()01f =，则不等式__________．【点睛】对于构造函数求导数问题，常见的构造有：（1）对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=，更一般地，遇到()()0'≠>a a x f ，即导函数大于某种非零常数(若a =0，则无需构造)，则可构()()ax x f x h -=；（2）对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=； （3）对于()()0'>+x f x f ，构造()()x f e x h x=；（4）对于()()x f x f >'[或()()0'>-x f x f ]，构造()()xe xf x h =； （5）对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =； （6）对于()()0'>-x f x xf ，构造()()xx f x h =； （7）对于()()0'>x f x f ，分类讨论：(1)若()0>x f ，则构造()()x f x h ln =； (2)若()0<x f ，则构造()()[]x f x h -=ln ；变式1．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数, ()1e f =,对任意实数x 都有()()20f x f x '->,则不________________.变式2．()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x -'>， ()12018f =，则不等式()120171x f x e ->⋅+（其中e 为自然对数的底数）的解集为_______________．考向3．多次构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式例3．函数()f x 在定义域()0,+∞内恒满足：①()0f x >，②()()()23f x xf x f x '<<，其中()f x '为()f x 的导函数，则（ ）A. B. C. D.【点睛】.变式1．（2015福建理，10）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫<⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭考向4．构造导函数，结合函数奇偶性求解抽象函数不等式例4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ()10f =，()0xf x >的解集是__________．变式1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数, ()10f -=，当0x >时， ()()0xf x f x -<'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．变式2．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()1y f x =+为偶函数， ()21f =，则不等式()xf x e <的解集为________．考向5．构造导函数，结合函数对称性解抽象不等式的解法例5．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，其导函数()f x '，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '⎡⎤+++<⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（ ）A. ()1,+∞B. (),1-∞-C. ()1,1-D. ()(),11,-∞-⋃+∞变式1．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数()f x '，若()()f x f x '<，且()()12f x f x +=-，()20163f =，则不等式()3x f x e <的解集为________．考向6．构造导函数，多次求导，求解抽象函数不等式 例6．若函数()f x 满足()(()ln )f x x f x x '=-，且11()e e f =，则1(e )()1exef f '<+A.B.C.D.考向7．抽象不等式与大小比较例7．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足： ()()'0f x f x +<与()1f 的大小关系是（ ）A.B.C. D. 不确定《抽象函数不等式》试题精选1．已知()y f x =为()0,∞+上的可导函数，且有()()'0f x f x x+>，则对于任意的(),0,a b ∈+∞，当a b >时，有( )A ．()()af a bf b <B ．()()af a bf b >C ．()()af b bf a >D ．()()af b bf a < 2．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-⋃+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足()()212x f x xf x x'+=且()11f =，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．2e B ．0C D ．2e4．已知5ln 4a π=，4ln5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．若,,22x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0x x y y ->，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x y <B ．x y >C ．x y <D ．x y >6．已知函数12()(1)x f x e x -=+-（其中e 为自然对数的底数），则使(2)(1)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．1(,1)(,)3-∞-+∞ D ．11(,)(,)33-∞-+∞7．已知定义在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且对于任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()()cos sin f x f x x x '<，则（ ）A 3π4πf ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B π64π⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C π64π⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D 3π6πf ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>9．定义在()0,+∞上的函数()x 满足()'10xf x +>，()2ln2f =-，则不等式()0xf ex +>的解集为（ ）A ．()0,2ln2B ．()0,ln2C ．()ln2,+∞D ．()ln2,110．定义在R 上的可导函数()f x 满足()1f x '<，若()()1231f m f m m --≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为'()f x ，若()'()1f x f x -<，(0)4f =则不等式()31x f x e >+的解集为（ ）A ．(,0)(0,)-∞+∞ B ．(0,)+∞ C ．(3,)+∞ D ．(,0)(3,)-∞⋃+∞12．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-⋃+∞B ．(3,0)(0,3)-⋃C ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞D ．(,3)(0,3)-∞-13．已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．已知()'f x 是函数()f x (0x R x ∈≠且)的导函数，当0x >时，()()'0xf x f x -<，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<15．设4log 3a =，5log 4b =，0.012c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<16．（2016·新课标Ⅰ，8）若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．cc b a <B ．cc ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <2021届高三一轮复习难点突破（2）——抽象函数不等式问题探究例2．()()'f x f x >，()'0F x ∴<，即函数()F x 在定义域上单调递减， ()01f =，所以不等式等价为()()0F x F <，解得0x >，故不等式的解集为()0,+∞. 变式1，∴()F x 在R 上是减函数．等价于()()1F x F <，∴1x >．故不等式的解集是()1∞+，．变式2．【解析】设g (x )= ()()()11x x ef x e -----，则g ′(x )=− ()1x e --f (x )+ ()1x e --f ′(x )+ ()1x e --=()1x e --[f ′(x )−f (x )+1]，∵f (x )−f ′(x )>1,∴f ′(x )−f (x )+1<0，∴g ′(x )<0，∴y =g (x )在定义域上单调递减，g (1)=2017， ∵()120171x f x e ->⋅+,∴()()()11x x e f x e ----->2017= g (1)，得到g (x )>2017=g (1)，∴g (x )>g (1)，得x <1，∴()120171x f x e->⋅+的解集为(),1-∞，例3． ()0,x ∈+∞，∵()0,x ∀∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<，∴()0f x >， ()0g x '>， ∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∴()()12g g <，即()()412f f <，()0,x ∈+∞，∵()0,x ∀∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<， ()0h x '<， ∴函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∴()()12h h >，即D. 变式1．解析：由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以11f k ⎛⎫-⎪-⎝⎭11k k >--，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定； 构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k>，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断．故选C ．例4．()()()2''0xf x f x g x x-=>，所以()g x 的单调递增区间为()0,+∞，因为()()()()f x f x g x g x xx---===--，所以()g x 单调递减区间为(),0-∞，因为()10f =，所以()10g =，()10g -=，所以当1x <-时， ()0g x >；当10x -<<时， ()0g x <； 当01x <<时， ()0g x <；当1x >时，()0g x >．因为不等式()0xf x >的解集等价于()0g x >，因为当1x <-或1x >时，()0g x >， 所以不等式()0xf x >的解集{|1x x <-或1}x >.变式1．【解析】令()()()()()2,0f x xf x f x g x g x xx -''==<，所以()g x 在()0.+∞上是减函数，又()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数，因此()()110g g -==，当01x <<时， ()0g x >，所以()0f x >，同理，当1x <-时， ()0g x <，所以()0f x >，综上应填()(),10,1-∞-⋃.变式2．【解析】∵()1y f x =+为偶函数，∴()1y f x =+的图象关于0x =对称， ∴()y f x =的图象关于1x =对称，∴()()20f f =，又∵()21f =，∴()01f =， （x R ∈）又∵()()f x f x '<，∴()()'0f x f x -<，∴()0g x '<，∴()y g x =单调递减，∵()xf x e <，∴，即()1g x <，，∴()()0g x g <，∴0x >，故答案为()0,+∞.例5．【解析】由题意设()()()1g x x f x =+，则()()()()'1'g x f x x f x =++， 当1x <-时，()()()()11'0x f x x f x ⎡⎤+++<⎣⎦，∴当1x <-时， ()()()1'0f x x f x ++>，则()g x 在(),1-∞-上递增，函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，∴函数()1f x -的图象关于点()0,0中心对称，则函数()1f x -是奇函数，令()()()11h x g x xf x =-=-，()h x ∴是R 上的偶函数，且在(),0-∞递增，由偶函数的性质得：函数()h x 在()0,+∞上递减，()()10h f = ，∴不等式()()10xf x f ->化为： ()()1h x h >，，解得11x -<<， ∴不等式解集是()1,1-，故选C. 变式1．【解析】函数()f x 是偶函数，()()()122f x f x f x ∴+=-=-， ()()3f x f x ∴+=，即函数()f x 是周期为3的周期函数， ()()()2016367203f f f =⨯==，()g x ∴在R 上是单调递减，不等式()3x f x e <等价于即()(0)g x g <，0x >，∴不等式()3xf x e <的解集为()0,+∞.例6．首先从要解的不等式出发，1(e )()1exef f '<+，两边同除以e ，得111(e )()e e exf f '<+， 观察，右边是e x对应的函数值，要是左边能变成某一个变量的函数值，则可以考虑利用函数单调性来解决，观察其结果，对照()(()ln )f x x f x x '=-可知，1111()()e e e ef f '=+，则原不等式等价于解不等式：1(e )()ex f f <.下面考虑函数()f x 的单调性，对()(()ln )f x x f x x '=-两边求导，得：1()()ln (())f x f x x x f x x ''''=-+-，变形得ln 1()x f x x +''=，易知1()0f e''=，所以1()()f x f e ''≥，由11111()(()ln )f f e e e e e '=-=，解得1()0f e'=， 所以1()()0f x f e''≥=，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以1(e )()exf f <等价于1e ex<，解得1x <-， 所以不等式1(e )()1exef f '<+的解集为(,1)-∞-，选A.例7．【解析】令()()xg x e f x =，则()()()0x g x e f x f x ⎡⎤=+⎣'<⎦'，所以函数()g x 在R 上单调递减. 因为210m m -+>，所以21m m -<，所以()()21g m m g ->，即()()2211m mef m m e f -->，所以()()2211mm f m m f e -+->．选A.一、单选题1．【答案】B 不妨设h （x ）=xf （x ），则h′（x ）=f （x ）+xf′（x ）．∵当x ＞0，有()()'0f x f x x+＞，∴当x ＞0时，xf′（x ）+f （x ）＞0，即h′（x ）＞0，此时函数h （x ）单调递增，则对于任意的a ，b ∈（0，+∞），当a ＞b 时，则g （a ）＞g （b ），即af （a ）＞bf （b ），故选B ．2．【答案】A 构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃.故选A .3．【答案】A()()212x f x xf x x '+=，令()()2g x x f x =，则()()()212g x x f x xf x x'='+=， ()()1111f g =∴=，， ()()21ln 1ln ,x g x x f x x +∴=+=，()312ln xf x x --∴'=， ∴当120x e -<<时，()312ln 0x f x x --'=>，当12x e -> 时，()312ln 0x f x x--'=<， ∴当12x e-=时，()11222max 121ln 2e ef x f e e ---⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭+===．故选：A ． 4．【答案】C 解：令ln ()()x f x x e x =≥，21ln ()x f x x-'=，可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减， ln 4ln 5,5ln 44ln 5,45a b ππππ∴>∴>∴>，同理可得：44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ>∴>∴>∴>∴>，∴b a c <<. 故选：C. 5．【答案】D 设函数()sin f x x x =，函数为偶函数，则()'sin cos 0f x x x x =+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立. 即函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减. sin sin 0x x y y ->，即()()f x f y >，根据单调性知x y >. 故选：D .6．【答案】B 解：∵12()(1)x f x e x -=+-，∴1122(1)(11)x xf x e x e x +-+=++-=+，112(1)(11)x f x ex ---=+--()22(1)xxex e x f x -=+-=+=+，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当1x ≥时，12()(1)x f x e x -=+-，1()2(1)0x f x e x -'=+-≥，∴函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，由对称性可知，函数()f x 在(),1-∞上单调递减， ∵(2)(1)f x f x >-，∴2111x x ->--，∴()()22212x x ->-，化简得()()110+->x x ，解得1x <-，或1x >，故选：B ．7． 【答案】A 解：构造函数()cos ()g x x f x =⋅，则()()cos ()sin 0g x f x x f x x '='-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， ()g x ∴在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以3ππ4π6g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以coscoscos6644ππππππ33f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12624πππ23f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3π4πf ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4π6π⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π6πf ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确的是A ； 8．【答案】A30b >，20a >，20c >，ln 0b ∴<，ln 0a <，ln 0c >，01b ∴<<，01a <<，1c >；320bb>>，ln 0b <，232ln ln ln a b ba b b∴=<， 令()()201ln xf x x x=<<，则()()()22122ln 2ln 2ln 2ln ln ln x x xx x x x f x x x ⎛⎫⋅-⋅- ⎪⎝⎭'==， 当01x <<时，ln 0x <，10x-<，()0f x '∴<，()f x ∴在()0,1上单调递减， 22ln ln a ba b<，即()()f a f b <，b a ∴<，c a b ∴>>. 9．【答案】C 设()()ln g x f x x =+，则1'()1'()'()0xf x g x f x x x+=+=>， ∴()g x 在(0,)+∞上是增函数，不等式()0xf e x +>可化为()ln 0(2)ln 2xxf e e f +>=+，即()(2)x g e g >，∴2x e >，ln 2x >．故选C ．10．令()()g x f x x =-，()()10g x f x '='-<，故()y g x =单调递减.()()1221f m m f m m -≥-+-，即()()12g m g m ≥-，12m m ≤-，13m ≤.因此，m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.11．【答案】B 解：设()()x x g x e f x e --=-，则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x ----'=-+'+=--'-， ()()1f x f x -'<，()()10f x f x ∴-'-<，()0g x ∴'>，()y g x ∴=在定义域上单调递增，()31x f x e >+，()3g x ∴>，00(0)(0)(0)1413g e f e f --=-=-=-=，()(0)g x g ∴>．0x ∴>，()31x f x e >+∴（其中e 为自然对数的底数）的解集为(0,)+∞．故选：B ．12．【答案】D 解：设()()()F x f x g x =,则'''()()()()()F x f x g x f x g x =+，由当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，则函数()y F x =在(),0-∞为增函数， 又()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则()y F x =在R 上为奇函数， 则函数()y F x =在()0,∞+为增函数，又(3)0g -=，所以(3)0F -=，则(3)0F =，则()0F x <的解集为(,3)(0,3)-∞-，即不等式()()0f x g x <的解集是(,3)(0,3)-∞-，故选：D.13．【答案】A 根据题意，设()()cos f x g x x =，其导数为''2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x+=，又由02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，则函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数， 又由()f x 为定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的奇函数，则()()()()cos()cos f x f x g x g x x x --===-，则函数()g x 为奇函数， 所以函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，()()4()cos ()4cos 4cos 4cos 4f f x f x f x xg x g x x πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭<⇒<⇒<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以42x ππ<<，即不等式的解集为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A. 14．【答案】C 【解析】令()()f xg x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'=，∵0x >时，()()0xf x f x '-<， ∴()g x 在0,递减，又0.2222log 5log 421220.20.04>=<=，＜，， ∴0.222log 520.2>>，∴()()()0.222log 520.2g g g <<，∴c a b <<，故选C.15．【答案】B 【解析】因为108981041048576,5390625,51953125,465536,359049=====；所以991010109554545log 4log 50.9<⇔<⇔<=；881010108554545log 4log 50.8>⇔>⇔>=； 881010810444334log 3log 40.8>⇔<⇔<=；所以54log 4log 3>，即a b <；设()21,0xf x x x =--<，则 ()'2ln 21,xf x =-由于0x <，所以021x <<；又0ln 21<<，所以02ln 21x <<， 所以()'2ln 210x fx =-<；所以()f x 在(),0-∞上单调递减，所以()()0=0f x f >；所以当0x <时，21x x >+， 所以0.0120.0110.990.9->-+=>， 所以0.015log 40.90.092-<<<；所以b c <；综上a b c <<. 故选:B.（2016·新课标Ⅰ，8）【答案】C 解析：由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误； 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b>⇔>，D 错误；故选C ．中山一中2021届高三一轮复习难点突破（2）——抽象函数不等式问题探究以抽象函数为背景、题设条件等考查函数不等式的解法问题是近几年高考的热门问题，函数和不等式是高考复习中的两大重点和难点，对于求解抽象函数不等式问题，往往需要综合应用函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、定义域、值域等知识，属于综合性比较强的问题，可难可易，在备考中，要引起我们的重视．【典型母题】（2015全国卷Ⅱ，12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【解法探究】构造函数()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x '-'=． 因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞单调递减； 又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数， 所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-.故选A ．【方法、技巧、规律】函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决. 【探源、变式、扩展】考向1．直接解抽象函数不等式例1（2017新课标Ⅰ，5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【点睛】函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等．本题的关键在于将()121f x -≤-≤，转化成()()()121f f x f ≤-≤-，再利用()f x 在()-∞+∞，单调递减，脱去抽象符合“f ”, 转化为一般不等式121x -≤-≤求解．考向2．构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式例2．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数是()f x '，且满足()()f x f x >'，()01f =，则不等式__________．()()'f x f x >，()'0F x ∴<，即函数()F x 在定义域上单调递减， ()01f =，所以不等式等价为()()0F x F <，解得0x >，故不等式的解集为()0,+∞.【点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.对于构造函数求导数问题，常见的构造有：（1）对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=，更一般地，遇到()()0'≠>a a x f ，即导函数大于某种非零常数(若a =0，则无需构造)，则可构()()ax x f x h -=；（2）对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=； （3）对于()()0'>+x f x f ，构造()()x f e x h x=；（4）对于()()x f x f >'[或()()0'>-x f x f ]，构造()()xe xf x h =； （5）对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =； （6）对于()()0'>-x f x xf ，构造()()xx f x h =； （7）对于()()0'>x f x f ，分类讨论：(1)若()0>x f ，则构造()()x f x h ln =； (2)若()0<x f ，则构造()()[]x f x h -=ln ；变式1．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数, ()1e f =,对任意实数x 都有()()20f x f x '->,则不___________.，∴()F x 在R 上是减函数．等价于()()1F x F <，∴1x >．故不等式的解集是()1∞+，．变式2．()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x -'>， ()12018f =，则不等式()120171x f x e->⋅+（其中e 为自然对数的底数）的解集为_____． 【解析】设g (x )= ()()()11x x e f x e -----，则g ′(x )=− ()1x e--f (x )+ ()1x e --f ′(x )+ ()1x e--=()1x e-- [f ′(x )−f (x )+1]，∵f (x )−f ′(x )>1,∴f ′(x )−f (x )+1<0，∴g ′(x )<0，∴y =g (x )在定义域上单调递减，g (1)=2017， ∵()120171x f x e ->⋅+,∴()()()11x x e f x e ----->2017= g (1)，得到g (x )>2017=g (1)，∴g (x )>g (1)，得x <1，∴()120171x f x e->⋅+的解集为(),1-∞，考向3．多次构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式例3．函数()f x 在定义域()0,+∞内恒满足：①()0f x >，②()()()23f x xf x f x '<<，其中()f x '为()f x 的导函数，则（ ）A. B.C.D.()0,x ∈+∞，∵()0,x ∀∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<，∴()0f x >， ()0g x '>，∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∴()()12g g <，即()()412f f <，()0,x ∈+∞，∵()0,x ∀∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<， ()0h x '<， ∴函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∴()()12h h >，D. 【点睛】本题主要考查了函数的导数与单调性的关系，即()0f x '>得函数单调递增， ()0f x '<得函数单调递减，解决该题最大的难点在于构造函数，难度较大； ()0,x ∈+∞()0,x ∈+∞，利用导数研究其单调性即可得出结论.变式1．（2015福建理，10）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 解析：由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->， 故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭， 所以11f k ⎛⎫-⎪-⎝⎭11k k >--，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭， 所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k>，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断． 故选C ．考向4．构造导函数，结合函数奇偶性求解抽象函数不等式例4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ()10f =，()0xf x >的解集是__________．()()()2''0xf x f x g x x -=>，所以()g x 的单调递增区间为()0,+∞，因为()()()()f x f x g x g x xx---===--，所以()g x 单调递减区间为(),0-∞， 因为()10f =，所以()10g =，()10g -=，所以当1x <-时， ()0g x >；当10x -<<时， ()0g x <； 当01x <<时， ()0g x <；当1x >时，()0g x >． 因为不等式()0xf x >的解集等价于()0g x >， 因为当1x <-或1x >时，()0g x >，所以不等式()0xf x >的解集{|1x x <-或1}x >.变式1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数, ()10f -=，当0x >时， ()()0xf x f x -<'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________． 【答案】()(),10,1-∞-⋃ 【解析】令()()()()()2,0f x xf x f x g x g x xx -''==<，所以()g x 在()0.+∞上是减函数，又()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数，因此()()110g g -==，当01x <<时， ()0g x >，所以()0f x >，同理，当1x <-时， ()0g x <，所以()0f x >，综上应填()(),10,1-∞-⋃.变式2．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()1y f x =+为偶函数， ()21f =，则不等式()xf x e <的解集为________．【解析】∵()1y f x =+为偶函数，∴()1y f x =+的图象关于0x =对称，∴()y f x =的图象关于1x =对称，∴()()20f f =，又∵()21f =，∴()01f =， （x R ∈）又∵()()f x f x '<，∴()()'0f x f x -<，∴()0g x '<，∴()y g x =单调递减， ∵()xf x e <，∴，即()1g x <，，∴()()0g x g <，∴0x >，故答案为()0,+∞.考向5．构造导函数，结合函数对称性解抽象不等式的解法例5．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，其导函数()f x '，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '⎡⎤+++<⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（ ）A. ()1,+∞B. (),1-∞-C. ()1,1-D. ()(),11,-∞-⋃+∞ 【解析】由题意设()()()1g x x f x =+，则()()()()'1'g x f x x f x =++， 当1x <-时，()()()()11'0x f x x f x ⎡⎤+++<⎣⎦，∴当1x <-时， ()()()1'0f x x f x ++>，则()g x 在(),1-∞-上递增，函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，∴函数()1f x -的图象关于点()0,0中心对称，则函数()1f x -是奇函数，令()()()11h x g x xf x =-=-，()h x ∴是R 上的偶函数，且在(),0-∞递增，由偶函数的性质得：函数()h x 在()0,+∞上递减，()()10h f = ，∴不等式()()10xf x f ->化为： ()()1h x h >，，解得11x -<<，∴不等式解集是()1,1-，故选C.变式1．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数()f x '，若()()f x f x '<，且()()12f x f x +=-，()20163f =，则不等式()3x f x e <的解集为________．【解析】函数()f x 是偶函数，()()()122f x f x f x ∴+=-=-， ()()3f x f x ∴+=，即函数()f x 是周期为3的周期函数，()()()2016367203f f f =⨯==，()g x ∴在R 上是单调递减，不等式()3x f x e <等价于即()(0)g x g <，0x >，∴不等式()3x f x e <的解集为()0,+∞.考向6．构造导函数，多次求导，求解抽象函数不等式 例6．若函数()f x 满足()(()ln )f x x f x x '=-，且11()e ef =，则1(e )()1exef f '<+A.B.C.D.解题分析：一般来说，解函数不等式，我们常用的思路是利用函数的单调性，在已知函数单调性的条件下，通过比较函数值的大小，从而确定变量的大小关系，进而解出不等式．本题比较复杂，结构特征不是很明显．首先从要解的不等式出发，1(e )()1exef f '<+，两边同除以e ，得111(e )()e e exf f '<+， 观察，右边是e x对应的函数值，要是左边能变成某一个变量的函数值，则可以考虑利用函数单调性来解决，观察其结果，对照()(()ln )f x x f x x '=-可知，1111()()e e e ef f '=+，则原不等式等价于解不等式：1(e )()ex f f <.下面考虑函数()f x 的单调性，对()(()ln )f x x f x x '=-两边求导，得：1()()ln (())f x f x x x f x x ''''=-+-，变形得ln 1()x f x x +''=，易知1()0f e''=，所以1()()f x f e ''≥，由11111()(()ln )f f e e e e e '=-=，解得1()0f e'=， 所以1()()0f x f e''≥=，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以1(e )()exf f <等价于1e ex<，解得1x <-， 所以不等式1(e )()1exef f '<+的解集为(,1)-∞-，选A.考向7．抽象不等式与大小比较例7．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足： ()()'0f x f x +<与()1f 的大小关系是（ ）A.B.C.D. 不确定【解析】令()()xg x e f x =，则()()()0x g x e f x f x ⎡⎤=+⎣'<⎦'，所以函数()g x 在R 上单调递减. 因为210m m -+>，所以21m m -<，所以()()21g m m g ->，即()()2211m mef m me f -->，所以()()2211m m f m m f e-+->．选A.结语综上所述，我们可以看出，抽象函数不等式的的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符号“f ”,转化为一般不等式求解．所以函数的单调性是函数和不等式的纽带，只有利用好这一条性质，问题才能得到有效的解决．而在实际解决抽象函数不等式的过程中，我们还要考虑函数有关的性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，并且此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，再利用函数单调性解决.抽象函数不等式问题属于综合性比较强的问题，可难可易，在备考中，我们只有准确理解了抽象函数的特点，才可能正确找到“解题之钥”．绝密★启用前2019-2020学年度???学校12月月考卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．（2020·重庆高三月考（理））已知()y f x =为()0,∞+上的可导函数，且有()()'0f x f x x+>，则对于任意的(),0,a b ∈+∞，当a b >时，有( ) A ．()()af a bf b < B ．()()af a bf b > C ．()()af b bf a > D ．()()af b bf a <【答案】B 【解析】 【分析】构造函数h （x ）=xf （x ），根据函数的单调性判断即可． 【详解】不妨设h （x ）=xf （x ），则h′（x ）=f （x ）+xf ′（x ）． ∵当x ＞0，有()()'0f x f x x+＞，∴当x ＞0时，xf′（x ）+f （x ）＞0，即h′（x ）＞0，此时函数h （x ）单调递增， 则对于任意的a ，b ∈（0，+∞），当a ＞b 时，则g （a ）＞g （b ），即af （a ）＞bf （b ）， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题． 2．（2020·江西省上高二中高二月考（文））设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =.所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e =，等便于给出导数时联想构造函数. 3．（2020·河南省高二期中（理））已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足()()212x f x xf x x'+=且()11f =，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．2e B ．0CD ．2e【答案】A 【解析】 【分析】由题意构造函数()()2g x x f x =，可解得()()21ln 1ln xg x x f x x+=+=，，利用导数判断函数()f x 的单调性，求得最大值即可． 【详解】()()212x f x xf x x '+=，令()()2g x x f x =，则()()()212g x x f x xf x x'='+=， ()()1111f g =∴=，， ()()21ln 1ln ,x g x x f x x +∴=+=，()312ln xf x x --∴'=， ∴当120x e -<<时，()312ln 0x f x x --'=>，当12x e -> 时，()312ln 0x f x x --'=<， ∴当12x e-=时，()11222max 121ln 2e ef x f e e ---⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭+===．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，解题的关键是构造函数()()2g x x f x =，逻辑性较强，属于中档题．4．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（理））已知5ln 4a π=，4ln5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C 【解析】 【分析】 令ln ()()xf x x e x=≥，利用导数研究函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】 解：令ln ()()x f x x e x =≥，21ln ()xf x x-'=， 可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减，ln 4ln 5,5ln 44ln 5,45a b ππππ∴>∴>∴>，同理可得：44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ>∴>∴>∴>∴>， ∴b a c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 5．（2020·江西省南昌二中高二月考（文））若,,22x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0x x y y ->，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x y < B ．x y >C ．x y <D ．x y >【答案】D 【解析】 【分析】设函数()sin f x x x =，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到()()f x f y >，得到答案.。

谈谈高考中抽象函数的解题策略高考中的抽象函数是数学领域的一个重要概念，对于解题有着重要作用。

抽象函数是指将一个数域映射到另一个数域的映射关系，常常用来描述问题中的一种变化规律。

通过了解和掌握抽象函数的基本特性以及解题策略，可以帮助考生更好地应对高考数学题目中的抽象函数相关内容。

首先，我们来了解抽象函数的基本概念和性质。

在高考中，抽象函数通常是通过给定的“对应关系”来定义的，可以是显式定义，也可以是通过表格、图像、关系式等方式给出。

解题时需要根据给出的信息，确定抽象函数的定义域和值域，并利用这种对应关系进行推导和计算。

在解题过程中，考生需要掌握抽象函数的一些基本性质。

首先，抽象函数具有唯一性，即给定定义域中的每个元素在函数的映射关系下只有唯一的值域元素。

其次，对于两个抽象函数，可以进行加、减、乘、除等基本运算来得到新的抽象函数。

此外，抽象函数还可以进行复合运算，即将一个抽象函数的值域作为另一个抽象函数的定义域，从而得到复合函数。

基于上述的基本概念和性质，可以总结出一些高考中抽象函数的解题策略。

首先是确定抽象函数的定义域和值域，考生需要仔细阅读题目中给出的信息，了解抽象函数的取值范围。

其次是掌握函数的性质，了解如何通过运算得到新的抽象函数。

这可以帮助考生在解题过程中进行推导和计算，进一步得到问题的解答。

另外，对于一些较为复杂的抽象函数，在解题过程中可以考虑使用函数图像的性质。

通过绘制函数图像，可以直观地观察到函数的变化趋势和特点，从而更好地理解抽象函数的规律。

同时，绘制函数图像也可以帮助考生验证解答的正确性，从而提高解题的准确度。

此外，在解题过程中，考生还需要注意一些常见的解题思路和方法。

例如，可以通过构造具体的数值进行取值的计算和推导。

通过给出特定的函数值，可以进一步了解抽象函数的性质和规律。

此外，还可以通过构造反函数或逆函数的方式来求解问题。

通过求解反函数或逆函数，可以更好地理解和掌握抽象函数的特性，从而解决实际问题。

高考数学一轮复习抽象函数求解技巧我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，下文是抽象函数求解技巧，希望可以帮助到同学们。

函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。

此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。

因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。

然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。

下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。

例：设y=蕊(x)是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)对任意的u,v[-1，1]，都有f(u)-f(v)u-v。

(Ⅰ)证明：对任意的x[-1，1]，都有x-11-x;(Ⅱ)证明：对任意的u,v[-1，1]，都有f(u)-f(v)1。

解题：(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x[-1，1]时，有f(x)=f(x)-f(1)x-1=1-x,即x-11-x.(Ⅱ)证明：对任意的u,v[-1，1]，当u-v1时，有f(u)-f(v)1当u-v1，uv0,不妨设u0，则v0且v-u1,其中v(0，1]，u[-1，0)要想使已知条件起到作用，须在[-1，0)上取一点，使之与u 配合以利用已知条件，结合f(-1)=f(1)=0知，这个点可选-1。

同理，须在(0，1]上取点1，使之与v配合以利用已知条件。

所以，f(u)-f(v)f(u)-f(-1)+f(v)-f(1)u+1+v-1=1+u+1-v=2-(v-u )1综上可知，对任意的u,v[-1，1]都有f(u)-f(v)1.抽象函数求解技巧的全部内容及时这些，希望考生可以完全掌握。