江苏省南京师范大学附属中学高中物理竞赛讲座讲义：非惯性系

7.1简谐振动一、简谐运动的定义1、平衡位置：物体受合力为0的位置2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反F k x =-二、简谐运动的性质F kx =-''mx kx =-取试探解（解微分方程的一种重要方法）cos()x A t ωϕ=+代回微分方程得：2m x kx ω-=-解得： 22T πω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数cos()x A t ωϕ=+sin()v A t ωωϕ=-+2cos()a A t ωωϕ=-+由以上三个方程还可推导出：222()vx A ω+= 2a x ω=-三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。

因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。

四、常见的简谐运动1、弹簧振子(1)水平弹簧振子(2)竖直弹簧振子2、单摆（摆角很小）sin F mg mg θθ=-≈-x l θ≈因此： F k x =-其中： mg k l=周期为：222T πω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。

第一部分机械振动和机械波一、机械振动例1：一水平弹簧振子T=0.25s,A=0。

02m，从平衡位置向右运动并开始计时，经0。

12秒时振子的振动情况是（ B )A。

向右减速 B.向左加速 C.向右加速D。

向左减速再问：经1.0秒振子的位移为多大？通过了多少路程？（0；16A=0.32米）例2：把一个小球挂在一个竖直弹簧上,当它平衡后再用力向下拉伸一段距离后轻轻释手，使小球上下振动，试证明小球的振动是简谐振动。

分析为了确定小球的运动性质，需要对它作力的分析。

设弹簧的倔强系数为k，不受力时的长度为l。

小球质量为m,当挂上小球平衡时弹簧的伸长量为x。

,则根据题意有关系式mg=kx0由于小球振动时共受到弹力和重力这样两个力的作用,当弹簧的伸长量大于x时，它所受到的弹力大于重力，促使小球回到平衡位置；当弹簧的伸长量小于x0时，它所受到的弹力小于重力,也将促使它回到平衡位置，故在这种竖直弹簧振子的情况下,由重力和弹力的合力作为振动的回复力。

假设在振动过程中的某一瞬间，小球离开静止时的平衡位置（以下称静力平衡位置）为x（图8－I），并取竖直向下的方向为正方向，则回复力F= mg ＋「一k(x 。

＋x ）] = mg 一 kx 0一kx = —kx可见，挂在竖直弹簧上的振子做着以静力平衡位置为中心的简谐振动，此时回复力中的比例系数正好等于弹簧的倔强系数.例3：将一个弹簧振子的弹簧截成等长的两段，取其一段和原来的小球组成弹簧振子时的周期为原来的多少？解：一根弹簧截成相等的两段后,要使每一段产生跟原来的弹簧同样的伸长量时，弹簧产的弹力将为原来的两倍，故半根弹簧的倔强系数k ’= 2k.所以其振动周期T k m k m T 21222=='='ππ即为原来的0．707倍。

例4：在两根倔强系数分别为k 1、k 2的弹簧中间联接一个质量为m 的小球，穿在水平光滑直杆上振动起来后的周期为多少？解：首先应确定振动的性质，设小球静止在中间时，两弹簧都是自然长度,当将小球向左移使左边弹簧被压缩X 时，右边弹簧伸长X ，释放后两个弹簧作用在小球上的力都促使小球回到平衡位置，它们的合力起了回复力的作用,即 F ＝k 1x ＋k 2x ＝（k 1+k 2)x令k 1+k 2 = k ’（可称为等效劲度系数)，同时考虑到合力 F 与位移x 的方向相反,则可写成 F= k ’x可见，这个振动系统同样作着简谐振动，故振动周期21k k 2+=mT π就象弹簧的倔强系数从原来一根弹簧时的k 1（或k 2）变成等效倔强系数k 1+k 2.例1：一个摆长为 l 的单摆，在其悬点正下方1 / 2的O 1处有一颗钉子，假定摆动时碰到钉子后单摆仍然作简谐振动，那么它的周期为多少？分析：此摆的周期可以看成是由两个不同摆长的摆的半周期合成的2221T T T +=例2：一个悬挂在楼顶摆长很大的单摆，在只有一把米尺和秒表的情况下，能否测出摆长和当地的重力加速度？二、机械波〖例1〗比较男低音与女高音在空气中的频率、声速及波长。

最新高中物理竞赛讲义（完整版）目录最新高中物理竞赛讲义（完整版） (1)第0部分绪言 (4)一、高中物理奥赛概况 (4)二、知识体系 (5)第一部分力＆物体的平衡 (6)第一讲力的处理 (6)第二讲物体的平衡 (8)第三讲习题课 (9)第四讲摩擦角及其它 (15)第二部分牛顿运动定律 (19)第一讲牛顿三定律 (19)第二讲牛顿定律的应用 (20)第二讲配套例题选讲 (31)第三部分运动学 (32)第一讲基本知识介绍 (32)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (34)第四部分曲线运动万有引力 (38)第一讲基本知识介绍 (38)第二讲重要模型与专题 (40)第三讲典型例题解析 (51)第五部分动量和能量 (51)第一讲基本知识介绍 (51)第二讲重要模型与专题 (54)第三讲典型例题解析 (71)第六部分振动和波 (71)第一讲基本知识介绍 (71)第二讲重要模型与专题 (77)第三讲典型例题解析 (89)第七部分热学 (89)一、分子动理论 (90)二、热现象和基本热力学定律 (92)三、理想气体 (95)四、相变 (104)五、固体和液体 (109)第八部分静电场 (111)第一讲基本知识介绍 (111)第二讲重要模型与专题 (116)第九部分稳恒电流 (130)第一讲基本知识介绍 (130)第二讲重要模型和专题 (135)第十部分磁场 (148)第一讲基本知识介绍 (148)第二讲典型例题解析 (153)第十一部分电磁感应 (160)第一讲、基本定律 (161)第二讲感生电动势 (165)第三讲自感、互感及其它 (170)第十二部分量子论 (174)第一节黑体辐射 (174)第二节光电效应 (178)第三节波粒二象性 (187)第四节测不准关系 (190)第0部分绪言一、高中物理奥赛概况1、国际（International Physics Olympiad 简称IPhO）①1967年第一届，（波兰）华沙，只有五国参加。

力学教程第三讲 运动定律3．1．1、牛顿第肯定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它变更这种状态为止。

这是牛顿第肯定律的内容。

牛顿第肯定律是质点动力学的动身点。

物体保持静止状态或匀速直线运动状态的性质称为惯性。

牛顿第肯定律又称为惯性定律，惯性定律是物体的固有属性，可用质量来量度。

无论是静止还是匀速直线运动状态，其速度都是不变的。

速度不变的运动也就是没有加速度的运动，所以物体假如不受到其他物体的作用，就作没有加速度的运动，牛顿第肯定律指出了力是变更物体运动状态的缘由。

牛顿第肯定律只在一类特殊的参照系中成立，此参照系称为惯性参照系。

简称惯性系。

相对某一惯性系作匀速运动的参照系必定也是惯性系，牛顿第肯定律不成立的参照系称为非惯性参照系，简称非惯性系，非惯性系相对惯性系必作变速运动，地球是较好的惯性系，太阳是精度更高的惯性系。

3．1．2．牛顿第二定律(1)定律内容：物体的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向一样(2)数学表达式：ma F m F a ==∑∑或(3)理解要点①牛顿第二定律不仅提醒了物体的加速度跟它所受的合外力之间的数量关系，而且提醒了加速度方向总与合外力的方向一样的矢量关系。

在应用该定律处理物体在二维平面或三维空间中运动的问题，往往须要选择适当的坐标系，把它写成重量形式②牛顿第二定律反映了力的瞬时作用规律。

物体的加速度与它所受的合外力是时刻对应的，即物体所受合外力不管在大小还是方向上一③当物体受到几个力的作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就犹如其他力不存在—样；物体受几个力共同作用时，产生的加速度等于每个力单独作用时产生的加速度的矢量与，如图3-1-1示。

这个结论称为力的独立作用原理。

④牛顿第二定律阐述了物体的质量是惯性大小的量度，公式∑=a F m /反映了对同—物体，其所受合外跟它的加速度之比值是个常数，而对不同物体其比值不同，这个比值的大小就是物体的质量，它是物体惯性大小量度，当合外力不变时，物体加速度跟其质量成反比，即质量越大，物体加速度越小，运动状态越难变更，惯性也就越大。

1.1质点运动的基本概念运动的合成和分解一、图像法例1、蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反此，当蚂蚁爬到距巢中心L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm／s，试问：蚂蚁从A点爬到距巢中心L2=2m的B点所需的时间为多少?例2、已知一质点做变加速运动，初速度为v0，其加速度随位移线性减小的关系及加速过程中加速过程中加速度与位移之间的关系满足条件a=a0-ks，式中a为任意位置处的加速度，求当位移为s0是瞬时速度。

二、矢量运算1、矢量加法（矢量合成）（1）平行四边形法则已知两个矢量F1和F2的大小和夹角，求合矢量F合的大小和方向。

2212122cosF F F F Fθ=++212sintancosFF Fθαθ=+（2）三角形法则和多边形法则（接龙法则）（3）矢量式的脚标的接龙法则例如，人在车厢内走动，人相对于地的速度等于人相对于车的速度加上车相对于地的速度。

=+v v vr r r车车人地人地（4）矢量减法将减法变为加法然后再利用接龙法则。

例3：(1)无风的下雨天，小明坐在匀速行驶的车上，发现雨滴沿斜线下落，且与竖直方向成30 夹角，若车速为10m/s，则雨滴下落的速度为多大？(2)小明坐在以10m/s向东匀速行驶的车上，发现雨滴是竖直下落的，若雨滴对地速度为20m/s，则雨滴实际上是如何下落的？三、运动的合成和分解实例1：平抛运动实例2：滚动的车轮边缘上一个点的运动1、运动合成和分解其实就是位移、速度、加速度的合成和分解2、合运动的效果和若干个分运动的总效果相同（等效性）3、实际观察到的运动是合运动，分运动是人们为了方便研究而假想出来的。

四、运动分解的方法1、按效果分解2、正交分解：建立直角坐标系，将运动（位移、速度、加速度）分解在坐标轴方向。

例4、如图所示，在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人拉绳的速率恒为v0，试求船在离岸边s距离处时的速度。

例5、如图所示，质点A和质点B同时从A、B两点出发，分别以速度v1沿AB和以速度v2沿BC做匀速直线运动，BC和AB的夹角为α．开始时质点A和质点B相距为l，试求两质点之间的最短距离．例6、如图所示，几辆相同的汽车以等速度v，沿宽为c的直公路行驶，每车宽为b，前后两车头尾间距为a，则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间是多少？例7、有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规定为：开始时五人分别从边长为l的正五边形A 1A2A3A4A5的五个顶点出发，以相同速率v适动，如图所示．运动中A1始终朝着A3、，A3始终朝着A5，A5始终朝着A2，A2始终朝着A4，A4始终朝着A1，问：经过多长时间五人相聚?五、物体系统的运动学连接条件1、刚性杆、绷紧的不可伸长的绳上，各点在同一时刻，具有相同的沿杆、绳的分速度。

1.1质点运动的基本概念 运动的合成和分解一、图像法例1、蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反此，当蚂蚁爬到距巢中心L 1=1m 的A 点处时，速度是v 1=2cm ／s ，试问：蚂蚁从A 点爬到距巢中心L 2=2m 的B 点所需的时间为多少?例2、已知一质点做变加速运动，初速度为v 0，其加速度随位移线性减小的关系及加速过程中加速过程中加速度与位移之间的关系满足条件a=a 0-ks ，式中a 为任意位置处的加速度，求当位移为s 0是瞬时速度。

二、矢量运算1、矢量加法（矢量合成）（1）平行四边形法则已知两个矢量F 1和F 2的大小和夹角，求合矢量F 合的大小和方向。

F =212sin tan cos F F F θαθ=+ （2）三角形法则和多边形法则（接龙法则）（3）矢量式的脚标的接龙法则例如，人在车厢内走动，人相对于地的速度等于人相对于车的速度加上车相对于地的速度。

=+v v v 车车人地人地（4）矢量减法将减法变为加法然后再利用接龙法则。

例3：(1)无风的下雨天，小明坐在匀速行驶的车上，发现雨滴沿斜线下落，且与竖直方向成30 夹角，若车速为10m/s，则雨滴下落的速度为多大？(2)小明坐在以10m/s向东匀速行驶的车上，发现雨滴是竖直下落的，若雨滴对地速度为20m/s，则雨滴实际上是如何下落的？三、运动的合成和分解实例1：平抛运动实例2：滚动的车轮边缘上一个点的运动1、运动合成和分解其实就是位移、速度、加速度的合成和分解2、合运动的效果和若干个分运动的总效果相同（等效性）3、实际观察到的运动是合运动，分运动是人们为了方便研究而假想出来的。

四、运动分解的方法1、按效果分解2、正交分解：建立直角坐标系，将运动（位移、速度、加速度）分解在坐标轴方向。

例4、如图所示，在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人拉绳的速率恒为v0，试求船在离岸边s距离处时的速度。

例5、如图所示，质点A和质点B同时从A、B两点出发，分别以速度v1沿AB和以速度v2沿BC做匀速直线运动，BC和AB的夹角为α．开始时质点A和质点B相距为l，试求两质点之间的最短距离．例6、如图所示，几辆相同的汽车以等速度v，沿宽为c的直公路行驶，每车宽为b，前后两车头尾间距为a，则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间是多少？例7、有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规定为：开始时五人分别从边长为l的正五边形A 1A2A3A4A5的五个顶点出发，以相同速率v适动，如图所示．运动中A1始终朝着A3、，A3始终朝着A5，A5始终朝着A2，A2始终朝着A4，A4始终朝着A1，问：经过多长时间五人相聚?五、物体系统的运动学连接条件1、刚性杆、绷紧的不可伸长的绳上，各点在同一时刻，具有相同的沿杆、绳的分速度。

12.6物质的导电性一、金属导电1、电流强度的微观表达式在加有电压的一段粗细均匀的导体AD上选取截面C，设导体的横截面积为S。

导体每单位体积内的自由电子数为n，每个电子的电荷量为e，电荷的定向移动速率为v 在时间t内，处于相距为vt 的两截面B、C间的所有自由电荷将通过截面C。

在时间t内通过导体某截面的电量为:Q = (vtS) ne形成的电流为：I = Q/t = neSv二、液体导电1、液体金属导电与金属导电类似2、溶液导电法拉第电解定律（参考黑皮的讲解）三、气体导电1、一般情况下，气体不导电。

2、气体导电分自激放电和被激放电。

被激放电是指有其他物质作为电离剂促使空气电离。

自激放电是由于碰撞产生离子，离子在强电场中高速运动，将其它气体分子撞散，产生新的离子，从而发生类似核裂变的连锁反应。

自激放电包括：(1)辉光放电：空气稀薄，分子间距大，离子动能大，易碰撞产生新的离子。

(2)火花放电：由于电场非常大，离子动能大，易碰撞产生新的离子。

(3)弧光放电：由于温度高，离子动能大，易碰撞产生新的离子。

(4)电晕放电：原理与火花放电类似，也是电场很强。

但火花放电是两个带电体之间的，而电晕放电是一个高电压导体表面进行放电，电流较小。

四、半导体1 、半导体的导电性能介于导体和绝缘体之间。

纯净的半导体经常由硅晶体制成。

半导体通常具有热敏和光敏特性，即温度升高，电阻率减小，光线照射，电阻率减小2、半导体的掺杂掺入三价硼，缺少电子，形成空穴。

（P型半导体）掺入五价磷，多余自由电子。

（N型半导体）空穴和自由电子均可导电（载流子），增强了半导体的导电性。

3、二极管一个半导体左右掺入不同杂质，一边为P型，另一边为N型。

在中间的结合部会形成“PN 结”。

在中间，左右的空穴和自由电子进行复合，从而形成无载流子的“空间电荷区”。

因此，可以看成中间变为绝缘体。

在二极管两端加电场：(1)P 连正极，N 连负极。

左边提供正电荷，右边提供负电荷，使空间电荷区变窄甚至消失。

高一物理惯性系和非惯性系【本讲主要内容】惯性系和非惯性系⎩⎨⎧物体为参考系以相对地面匀速运动的以地面为参考系惯性系 ⎩⎨⎧运动的物体为参考系以相对地面做变速运动非惯性参考系 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=+-=相对非惯性系加速度实际力惯性力系中的表达式牛顿第二定律在非惯性定义式：定义惯性力'a F F 'ma F F maF i i i【知识掌握】【知识点精析】⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=+⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=相对非惯性系加速度实际受力惯性力系中数学表达式牛顿第二定律在非惯性达式牛顿第二定律的数学表是惯性力定义式、不是、、惯性力无反作用力力，无施力物体加速效应力，不是真实、惯性力是假想的力，注意定义式：度方向相反方向：与非惯性系加速积与非惯性系加速度的乘大小：等于物体的质量惯性力速效应，假想的力，叫由于非惯性系本身的加定义：在非惯性系中，惯性力度方向相反。

负号表示与车的加速惯性力，力我们认为受到一向左的成立，。

为了使牛顿运动定律为球应受向左的力，大小向左。

按牛顿运动定律，速，加速度为惯性系）。

小球向左加中，以车为参考系（非在上述实例分析'a F F 'ma F F ma F 321maF ma F ——ma a C i i i i i 【解题方法指导】例1. 质量为60kg 人，站在电梯的磅秤上，当电梯以0.5m/2s 加速度匀加速上升时，求磅秤读数？解：方法一：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯=+=∴=--∴N 618N 618N 618)5.08.9(60)a g (m N 0ma mg N 读数为压力为据牛顿第三定律人对秤人相对电梯静止性系）以电梯为参考系（非惯方法二：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯=+=∴=-∴N 618N 618N 618)5.08.9(60)a g (m N mamg N 读数为压力为据牛顿第三定律人对秤人相对地向上加速系）以地面为参考系（惯性分析：两个参考系得结果一样，只不过一个应用平衡条件，一个应用牛顿第三定律、原因选不同参考系，观察效果不同。

7.2振动能量一、水平弹簧振子平衡位置时，弹性势能为0，动能为212k m E mv =；振动幅度最大处，动能为0，弹性势能为212p E kA =。

由于振动过程中机械能守恒，因此：221122m E mv kA ==。

任意时刻t 时，总能量为：222222222111111sin ()cos ()222222m E mv kx mA t kA t mv kA ωωϕωϕ=+=+++==上式推导中利用了ω=二、竖直弹簧振子设弹簧原长l 0，劲度系数k ，重物质量为m ，平衡时弹簧伸长x 0，某时刻，弹簧伸长x 。

1、以弹簧原长处为零势能点（包括重力势能和弹性势能）221122E mv kx mgx =+- 2、以弹簧平衡位置为零势能点（包括重力势能和弹性势能） 22200111()222E mv kx kx mg x x =+--- 利用0mg kx =可得22011()22E mv k x x =+- 上式的物理意义为：竖直弹簧振子的能量可以看成动能加“等效弹性势能”，“等效弹性势能”的零势能点为平衡位置，即伸长x 0长度处。

“等效弹性势能”包括了通常意义的弹性势能和重力势能。

三、几种特殊的振动形式1、阻尼振动由于受到阻力作用，振幅不断减小，但周期不变2、受迫振动在周期性的外力作用下发生的振动。

受迫振动的周期等于外力的周期。

3、共振当外力的周期与系统的固有周期相同，系统发生共振。

理想情况下，共振的振幅和能量可以无限的增加，趋近于无穷大。

实际上，由于阻力存在，振动的振幅会达到某个确定值，这个值与阻力有关例1、两个相同的小球用长度一样的细线挂在同一个钩子上。

其中第一个小球向左偏转一个小角度α，第二个球（同一平面内）向右偏转α/2。

两球同时释放，经过时间t后发生弹性对心碰撞。

问碰撞后经过多少时间，挂第二个球的线又再一次偏转α/2角度?例2、如图所示，弹簧振子系统中M＝2kg，k＝100 N／m，t＝0时，x o＝10 cm；v o＝0，在h＝1 cm高处有一质量为m=0.4 kg的小物体下落，当M沿x轴负向通过平衡位置时，小物体刚好落在M上，且无反弹，试求此后两物体一起运动的规律．例3、不能发生形变的天花板上悬挂着一只轻弹簧，弹簧下端挂着的一铁块处于静止状态，这时弹簧伸长量为L，在离铁块的正下方1.5L处有一弹簧枪口，从枪口射出质量等于铁块质量的橡皮泥做成的子弹，初速度v＝3gL．子弹击中铁块和铁块一起振动起来，求：(1)系统振动周期；(2)铁块从击中开始向上运动的最大位移；(3)铁块从开始振动到第一次达到最大速度所需时间．例4、平台A质量为m，由劲度系数为k的弹簧支持。

7.1简谐振动一、简谐运动的定义1、平衡位置：物体受合力为0的位置2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反F k x =-二、简谐运动的性质F kx =-''mx kx =-取试探解（解微分方程的一种重要方法）cos()x A t ωϕ=+代回微分方程得：2m x kx ω-=-解得： 22T πω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数cos()x A t ωϕ=+sin()v A t ωωϕ=-+2cos()a A t ωωϕ=-+由以上三个方程还可推导出：222()vx A ω+= 2a x ω=-三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。

因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。

四、常见的简谐运动1、弹簧振子(1)水平弹簧振子(2)竖直弹簧振子2、单摆（摆角很小）sin F mg mg θθ=-≈-x l θ≈因此： F k x =-其中： mg k l=周期为：222T πω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。

7.2振动能量一、水平弹簧振子平衡位置时，弹性势能为0，动能为212k m E mv =；振动幅度最大处，动能为0，弹性势能为212p E kA =。

由于振动过程中机械能守恒，因此：221122m E mv kA ==。

任意时刻t 时，总能量为：222222222111111sin ()cos ()222222m E mv kx mA t kA t mv kA ωωϕωϕ=+=+++==上式推导中利用了ω=二、竖直弹簧振子设弹簧原长l 0，劲度系数k ，重物质量为m ，平衡时弹簧伸长x 0，某时刻，弹簧伸长x 。

1、以弹簧原长处为零势能点（包括重力势能和弹性势能）221122E mv kx mgx =+- 2、以弹簧平衡位置为零势能点（包括重力势能和弹性势能）22200111()222E mv kx kx mg x x =+--- 利用0mg kx =可得22011()22E mv k x x =+- 上式的物理意义为：竖直弹簧振子的能量可以看成动能加“等效弹性势能”，“等效弹性势能”的零势能点为平衡位置，即伸长x 0长度处。

“等效弹性势能”包括了通常意义的弹性势能和重力势能。

三、几种特殊的振动形式1、阻尼振动由于受到阻力作用，振幅不断减小，但周期不变2、受迫振动在周期性的外力作用下发生的振动。

受迫振动的周期等于外力的周期。

3、共振当外力的周期与系统的固有周期相同，系统发生共振。

理想情况下，共振的振幅和能量可以无限的增加，趋近于无穷大。

实际上，由于阻力存在，振动的振幅会达到某个确定值，这个值与阻力有关例1、两个相同的小球用长度一样的细线挂在同一个钩子上。

其中第一个小球向左偏转一个小角度α，第二个球（同一平面内）向右偏转α/2。

两球同时释放，经过时间t后发生弹性对心碰撞。

问碰撞后经过多少时间，挂第二个球的线又再一次偏转α/2角度?例2、如图所示，弹簧振子系统中M＝2kg，k＝100 N／m，t＝0时，x o＝10 cm；v o＝0，在h＝1 cm高处有一质量为m=0.4 kg的小物体下落，当M沿x轴负向通过平衡位置时，小物体刚好落在M上，且无反弹，试求此后两物体一起运动的规律．例3、不能发生形变的天花板上悬挂着一只轻弹簧，弹簧下端挂着的一铁块处于静止状态，这时弹簧伸长量为L，在离铁块的正下方1.5L处有一弹簧枪口，从枪口射出质量等于铁块质量的橡皮泥做成的子弹，初速度v＝3gL．子弹击中铁块和铁块一起振动起来，求：(1)系统振动周期；(2)铁块从击中开始向上运动的最大位移；(3)铁块从开始振动到第一次达到最大速度所需时间．例4、平台A质量为m，由劲度系数为k的弹簧支持。