专题03 从算术到代数

数学入门知识从基本算术到代数与几何数学是一门极其重要的学科，它是科学和技术发展的基础。

想要在数学领域取得成功，掌握一些基本的数学概念和技巧是非常关键的。

本文将介绍从基本算术到代数与几何的数学入门知识。

一、基本算术基本算术是数学的基础，包括加法、减法、乘法和除法。

这些运算是我们日常生活中最常用的数学运算，掌握好基本算术是进行其他数学学习的前提。

1. 加法加法是将两个或多个数值相加的运算。

例如，2 + 3 = 5。

在加法中，有一个重要的性质，即交换律，即a + b = b + a。

2. 减法减法是从一个数中减去另一个数的运算。

例如，5 - 2 = 3。

与加法类似，减法也具有交换律。

3. 乘法乘法是将两个或多个数值相乘的运算。

例如，2 × 3 = 6。

乘法还具有分配律和结合律。

4. 除法除法是将一个数分成若干份的运算。

例如，6 ÷ 2 = 3。

除法也可以表示为乘法的倒数，即a ÷ b = a × (1/b)。

二、代数代数是数学的一个重要分支，它研究数与符号之间的关系。

代数包括有关未知数的运算和关系的表达和处理。

1. 方程方程是等式的一种特殊形式，其中包含一个或多个未知数。

例如，2x + 3 = 7是一个方程，其中x是未知数。

解方程是找到使方程成立的未知数的值。

2. 不等式不等式是由不等于号（<，>，≤或≥）将两个表达式连接起来的数学语句。

例如，x > 3是一个不等式，表示x的值大于3。

解不等式是找到满足不等式的所有可能值。

三、几何几何是研究空间和图形的数学学科。

它涉及点、线、面和体等基本元素的性质和关系。

1. 点、线和面点是空间中不具有维度的对象，线是由一组点组成的对象，面是由一组线组成的对象。

2. 图形图形是由点、线和面组成的几何对象。

常见的图形包括圆、三角形、四边形等。

图形的性质和关系可以通过几何公式和定理来描述和推导。

3. 角度和距离角度是两条线之间的夹角，用度数或弧度来表示。

从算术思维到代数思维的转换初探算术思维和代数思维的特点一、算术思维和代数思维算术思维侧重于程序思维，强调的是利用数量计算求出答案的过程.这个过程具有情境性、特殊性和计算性的特点，甚至是直观的。

而代数思维的运算过程具有结构性，和算术运算不同的是其侧重将关系符号化，而且不具有直观性。

对于同一个问题，用代数思维和算术思维方式都能求得问题的解，虽然结果是一样的，但是运算和思维的逻辑是不一样的。

例如：盒子中的皮球与外面的6个皮球加起来共有23个，求盒子中一共有多少个皮球？可以列算数式23-6=（）来解答，也可以用代数式6+X=23来解。

我所教的高年级学生中，大部分学生就选择了前一种解题方式来解答，从表达式中，直接展示出题目和答案之间的关系体现了算术思维；还有少部分学生是用后者的方法来解答的。

后一种方法则体现了代数思维，即对具体的情境问题进行分析并转化为方程式，成了一种纯粹的符号运算。

二、在代数学习中可能会遇到的困难从算术思维向代数思维转换的过程中，光有练习是不够的，最重要的是要经历一个质变的过程。

学生在小学阶段已经接触过一些代数思想，例如用“设未知量为X”建立方程的方法解数学应用题，当然，他们对“未知量X”含义的了解是非常肤浅的。

进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难。

在这个过程中，会遇到的困难有：第一，符号意义的不连续；字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。

通过有关数、式、方程等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法；第二，运算客体出现扩充；从运算的角度说，代数运算主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高；第三，经常会出现程序逆向思维。

当前，学生对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延的周密性，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低。

鉴于上述的三个方面的困难，如何从算术思维向代数思维过渡呢？三、从算术思维向代数思维的转换的教学策略1.从数字到符号的转换从数字向符号转变，通俗地讲，就是用符号代替数字，使解题的焦点转移。

数学思维训练从算术到代数的过渡数学思维在我们的日常生活中扮演着重要的角色，它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式。

数学的核心是逻辑思维能力的培养，在学习过程中，从算术到代数的过渡对于锻炼学生的思维能力至关重要。

本文将探讨如何通过算术和代数的过渡来培养学生的数学思维。

1. 算术思维的培养算术是数学学习的基础，也是培养学生数学思维的起点。

在算术学习中，我们可以通过以下几个方面来培养学生的算术思维。

首先，培养学生的数字概念。

数字是算术的基本单位，学生需要理解数字的概念以及数字之间的关系。

通过游戏、实例和实际问题的解决，可以帮助学生更好地理解数字。

其次，培养学生的计算能力。

计算是算术的基本内容，学生需要熟练掌握加减乘除等计算方法。

通过多样化的练习和问题解决，可以提高学生的计算能力。

最后，培养学生的问题解决能力。

算术问题常常涉及实际生活中的情境，学生需要通过数学的思维方式解决实际问题。

教师可以设计一些真实的情境问题，引导学生进行推理和解决。

2. 代数思维的引入代数是算术的延伸和拓展，它在数学学习中起着重要的作用。

代数思维是一种抽象思维能力，通过代数学习可以培养学生的逻辑思维和推理能力。

首先，引入变量的概念。

在代数中，变量是一个重要的概念，它可以表示问题中未知的数或者数之间的关系。

学生需要理解变量的含义和使用方法，通过变量的引入，将问题转化为代数表达式。

其次，培养学生的代数表达能力。

代数表达是将实际问题转化为代数形式的重要方法，学生需要掌握代数式的写法和转化方法。

通过练习和问题解决，可以提高学生的代数表达能力。

最后，培养学生的方程求解能力。

方程求解是代数学习的重点内容，学生需要学会通过方程的设立和运算求解未知数的值。

通过练习和实际问题的解决，可以帮助学生提高方程求解的能力。

3. 从算术到代数的过渡在学习过程中，从算术到代数的过渡是一个逐步深化的过程。

在这个过程中，教师需要通过设计合理的教学内容和方法来帮助学生顺利过渡。

探索数学计算的思维方式从算术到代数的过渡与应用探索数学计算的思维方式：从算术到代数的过渡与应用数学作为一门普遍存在于我们日常生活中的学科，对我们的学习和思维方式具有深远的影响。

在数学的学习过程中，从算术到代数是一个重要的过渡阶段。

本文将探讨这一过渡阶段及其在实际应用中的思维方式。

一、算术基础：解决实际问题的初始阶段在学习数学的初期，我们首先接触到的是算术运算。

算术以四则运算为基础，通过加减乘除等运算符号对数字进行组合和计算，解决实际生活中的简单问题。

算术习题主要侧重于培养学生的计算能力和逻辑思维，让学生熟悉数的性质和运算法则。

例如，求解一个简单的加法问题：“若小明有3个苹果，小红有4个苹果，那么他们一共有多少个苹果？”这个问题通过算术运算符号“+”来表示，让学生将3和4相加，得出答案7。

这是一道简单的算数题，通过运算可以轻松求解。

二、代数的引入：引发思维方式的转变随着数学的深入学习，我们逐渐引入代数的概念。

代数是一门研究数与运算之间关系的数学分支，它以字母和符号表示未知数，并借助方程式和不等式等来描述数的关系和运算规律。

代数的引入使得数学问题更加抽象和普遍化，需要我们逐渐转变思维方式。

代数中的变量和常数是核心概念。

变量用字母来表示，它可以是任意一个未知的数，如x、y、z等。

而常数则是一个固定的数值。

通过将问题中的未知数用变量表示，我们可以建立数学方程来描述问题，并通过解方程来求解未知数。

例如，解方程“2x + 3 = 8”，我们需要找到一个数x，使得将其代入方程后等式两边相等。

通过逆运算，我们可以将已知的常数3移动到等式的另一边，得到“2x = 8 - 3”，进一步简化为“2x = 5”。

最后，将等式两边都除以常数2，得到最终的解x = 2.5。

代数中的方程求解是一种重要的思维方式，有助于我们解决更加复杂的数学问题。

三、从算术到代数的过渡：思维方式的转变与应用从算术到代数的过渡并不是一个突兀的变化，而是一个逐渐深化的过程。

n＝2S2＝4n＝3S3＝8 S4＝12…第一讲从“算术”到“代数”【知识要点】代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。

代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。

这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆，’（一堆东西），并以象形文字表示。

古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。

数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？（引自百度百科）这一讲主要让同学们熟悉用字母表示数。

【例题精选】例1、下列每个形如四边形的图案，都是由若干个圆点按照一定规律组成的．当每条边上有n(n≥2)个圆点时(包括顶点)，图案的圆点数为S n．那么，按此规律，用含有n的式子表示S n为．从图形变化规律来看。

每个图案都可以看成一个大正方形里去掉一个小正方形。

()44222-=--=nnnS。

例2、计算：⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫⎝⎛+++1998131211999121119981211199913121例3、设n是自然数，定义n!=1⨯2⨯3⨯…⨯n，若m=1!+2!+3!+…+2001!+2002!,求m的末两位数字之和。

例4、已知两个三位数defabc，的和defabc+能被37整除。

证明六位数abcdef也能被37整除。

例5、如图，一个面积为50平方厘米的正方形与另一个小正方形并排放在一下起，求ABC ∆的面积。

【A 组题】 1、若的最大值是则，，ab b a 636 321≤≤≤≤( ) A 、21 B 、2 C 、12 D 、126 2、已知a ≠0，12S a =，212S S =，322S S =，…，201020092S S =，则2010S = (用含a 的代数式表示)．a s 12=，a s 23=，a s 14=，a s 25=……根据序数奇偶变化分别对应的值来确定结果：as 12010=。

从“算术”到“代数”的飞跃作者：浦叙德来源：《初中生世界·七年级》2017年第10期在小学数学里，我们主要学习了数、图形与数据统计三方面的知识，在数的研究上，重点是数的认识和计算，所以小学数学的这块内容可以简称为“算术”.进入初中后的数学学习，知识板块由原来的三个变成代数、几何、统计与概率四个，在数的研究上，从小学的算术数上升到了初中的代数.初中代数需要经历三次飞跃，其中，第一次是从小学的算术数引进负数变成有理数，完成数扩充的飞跃，第二次是从小学具体的数引进抽象的字母，用字母代替数，从特殊到一般，完成数到式的飞跃，所以初中数学的这块内容可以简称为“代数”.由此可以看出，第3章《代数式》是小学算术与初中代数的分水岭，也是同学们在初中代数学习中必须跨越的第二道坎.那么如何才能学好本章内容呢？一、掌握概念本质是基础本章中涉及如下几个重要概念：一是“代数式”；二是“单项式”“多项式”与“整式”；三是“代数式的值”；四是“同类项”.用加、减、乘、除、乘方等运算符号把数与表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.从这个定义中可以看出，在式子中只能出现“数”“字母”“运算符号”三者，一旦出现等于号或不等号，就不是代数式.单项式与多项式统称为整式.整式是属于代数式中的比较简单的一类，整式一定是代数式，但代数式不一定是整式，代数式与整式是一般与特殊的关系.只有数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式.单项式与多项式都属于整式，它们与整式也是特殊与一般的关系，单项式是最简单的代数式.对于单项式有系数与次数的概念；对于多项式有项、次数的概念，因为多项式的项是一个单项式，所以还有项的系数与项的次数的概念.用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值.用字母表示数就产生了代数式，让“数”的问题走向“式”的问题，包括“式的认识”与“式的计算”；而代数式的值是让字母回归到具体的数.代数式与代数式的值正好完成了“从特殊到一般”，再“从一般回到特殊”的完整过程.所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.项是针对多项式而言的，实际上就是几个单项式，所以，同类项只会出现在多项式中.需要注意的是两个“相同”的条件必须同时满足，才能确定为同类项.二、掌握思想方法是关键本章中隐含了许多非常重要的思想方法.用字母表示数本身就是“字母代数”思想，又体现了“从特殊到一般”的思想；由于引进了字母，字母具有一般性，所以在研究代数式的问题中，往往需要“分类讨论”；在求解代数式的值时，有时需要用到“整体思想”，包含整体代入、整体求解等方法；在研究单项式、多项式、同类项时，往往需要用到“方程思想”.例1 我们知道：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52…根据前面各式规律，可以猜测：1+3+5+7+9+…+（2n-1）= .（其中n为自然数）.【分析】本题是一个规律探索题，在前面的学习中多次遇到，在本章再来研究，可以加深对“字母表示数”的理解.我们发现等号的左边全是连续奇数相加的式子，右边正好是奇数个数的平方，这样用字母表示数，从特殊到一般，所求左边式子是n个连续奇数的和，就可以得出右边式子是n2的结论.例2 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，[x]=1，求代数式a+b+x2-cdx的值.【分析】因为a、b互为相反数，所以a+b=0，因为c、d互为倒数，所以cd=1，因为[x]=1，这里的x可正可负，需要进行分类讨论，x=±1，所以代数式a+b+x2-cdx的值为0或者2.例3 已知代数式3x2-4x+6的值为9，求x2-[43]x+6的值.【分析】因为3x2-4x+6=9，从等式中无法直接求出x的值，所以可以从整体的角度思考，得到3x2-4x=3，从而x2-[43]x=1，把这个式子整体代入x2-[43]x+6，求出代数式x2-[43]x+6的值为7.例4 关于x的多项式（m-2）x4-xn+x-1是二次三项式，求m，n的值.【分析】这里是关于x的代数式，所以，应该把m、n作为待定字母.由多项式的项与次数的定义可知，m-2=0，并且n=2，此处根据定义得出m-2=0就体现了方程思想，所以m=2，n=2.三、掌握解题策略是保障本章中的题目类型主要有如下几类.第一类是列代数式.此类问题本质上是把通用的文字语言转化成数学独有的符号语言，在列代数式的过程中，要遵循先读先写的原则，并且严格按照代数式的书写规定进行，此处不再举例.第二类是关于单项式、多项式、整式、代数式等相关概念的认识.例5 如果关于x，y的单项式2mxay与-5nx2a-3y的差是一个单项式.（1）求（7a-22）2017的值；（2）若2mxay-5nx2a-3y=0，求（2m-5n）2018的值.【分析】关于x，y的单项式2mxay与-5nx2a-3y的差是一个单项式，说明这两个单项式是同类项，可以合并进行整式减法运算.根据同类项的定义，得2a-3=a，所以a=3.（1）由a=3，知（7a-22）2017=（-1）2017=-1；（2）因为2mxay-5nx2a-3y=0，说明这两项是同类项，可以合并进行减法运算，所以2m-5n=0，故（2m-5n）2018=0.第三类是利用直接代入法或间接代入法（整体）求代数式的值.此类问题只要严格按照解题步骤，特别需要注意把哪个式子作为一个整体，如上面的例3.第四类是根据同类项的概念，利用去括号等步骤合并同类项，进行整式的加减运算.这类问题是程序性操作问题，课本上都有规范的解决问题的例子，只要严格按照先去括号、再根据合并同类项的法则合并同类项，直到整式中没有同类项可以合并就可以了.（作者单位：江苏省无锡市新吴区教师发展中心）。

从 " 算术思维 " 到 " 代数思维 "——浅谈中小学数学教学的衔接点之一摘要：小学数学以“算术思维”为主，老师们可以借助生活中容易理解的事物作导向，学生理解起来相对简单易懂。

而初中数学以“代数思维”为主，其本质是要求引入字母符号，用字母表示数进行运算，学生无法算出一个具体的数，相对更加抽象。

所以从“算术思维”转换到“代数思维”在教学过程中，“代数思维”的教学难度更大。

因此，如何帮助学生实现思维的转变是中小学数学教师在教学过程中的重中之重。

基于此，本文将主要探讨转变思维方式的必要性，以及探讨如何从“算术思维”过渡到“代数思维”。

关键词：算术思维；代数思维；中小学数学前言：众所周知，小学生正处于成长发展的重要阶段，思维也处于形成阶段。

学习代数，不仅可以强化逻辑思维，而且有助于学生思维能力进一步提升。

因此，教师在数学教学过程中重在帮助学生理解数字与字母背后所代表的共同的具体含义，从而帮助学生实现从“算术思维”到“代数思维”的过渡。

同时也可以更系统、有条理、有技巧地将枯燥的课本知识和具体的实际问题结合起来，以此增强学生学习数学的兴趣，提高数学思维能力。

1.从“算术思维”过渡到“代数思维”的必要性在中小学数学中，主要通过计算来解决很多问题。

小学以“数”的计算为主，而初中以“代数”的计算为主。

在小学阶段，由于学生的理解能力还处于形象思维阶段，当我们用字母表示数时，学生总是难以理解，而要用字母计算，或者用代数解决实际问题时，更是难上加难。

到了初中阶段，学生必须从“数”过渡到“代数”，才能更好的学习乘方、方程、不等式、函数，几何等。

因此学生必须要转变思维方式，从形象思维转变为抽象思维，从“算术思维”转变为“代数思维”。

所以，小学高段的数学教师首先要提出用字母表示数，帮助学生认识到从“数”过渡到“代数”的必要性。

这个转变过程于学生而言有一定的困难，可能降低他们对数学学习的热情。

专题03 从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212222323223434＋…＋221003100410031004＋221004100510041005，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A 中第n 项22(1)(1)n n n n 的特征入手.【例4】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.(1)用含n 的代数式表示m ；(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a 的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m 个正方形、图②中有2n 个正方形，可设图③中有3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m ，n ，p 的等式.【例5】 化简个个个n n n 9199999999+⨯. （江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*） （1）在（*）中，从左起第m 个数记为F (m )＝22001时，求m 的值和这m 个数的积. （2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数c 和d ，使cd ＝2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋ab＝102×ab（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C. 10a＋1D. a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2—b 3，a 3＋b 5，a 4—b 7，…，其中第十个式子是（ ） A. a 10＋b 19 B. a 10-b 19 C. a 10-b 17 D. a 10-b 21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A.3a b c B. 3a b cC. a ＋b －cD. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1（山东省济南市中考试题）（广东省广州市中考试题）B 级（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________. (“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）(1)s b (1)s a (1)s b (1)sa某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高%，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元（山东省竞赛试题）7.如果用a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ）A ．22c a bB ．2c abC ．2ab cD ．22a bc(“希望杯”邀请赛试题)9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）。

从算术到代数（先阅读，再看例，最后尝试练习）完成时间：建议两天知识纵横“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra) 可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”。

著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。

”用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。

字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代表式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。

例题【例1】(河南省中考题)观察下列等式：9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来:____________.思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征, 发现一般规律.解:(n+2)2-n2=4(n+1)【例2】(竞赛题)某商品2000年比1999年涨价5%,2001年又比2000年涨价10%, 2002 年比2001年降价12%,则2002年比1999年( )A.涨价3%B.涨价1.64%C.涨价1.2%D.降价1.2%思路点拨设此商品1999年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断.解:选B.【例3】(竞赛题)有一张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割分4片, 以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问:(1)经5次分割后,共得到多少张纸片?(2)经n次分割后,共得到多少张纸片?(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?思路点拨从简单情形入手,发现纸片数的特点是解本例的关键.解:(1)因为每分割1次,就要增加3张纸片,所以经5次分割,共得到1+3×5=16 张纸片.(2)经n次分割,共得到(1+3n)张纸片.(3)若能分得2003张纸片,则1+3n=2003,3n=2002,无整数解, 所以不可能经若干次分1319割后得到2003年纸片.【例4】 (竞赛题)在右图中有9个方格,要求每个方格填入不同的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等,问:右图上角的数是多少?思路点拨 虽然要求的只是右上角的数,但是题目的条件还与其他的数有关,因此,需恰当地引进不同的字母表示数,以便充分运用已知条件.解:提示:如图,设相应方格中的数为x 1,x 2,x 3和x 4,问号处填的数为x,由已知条件得:x+x 1+x 2=x+x 3+x 4=x 1+x 3+13=x 2+19+x 4,这样,前面两个式子之和等于后面的两个式子之和, 即 2x+x 1+x 2+x 3+x 4=13+19+x 1+x 2+x 3+x 4,∴2x=13+19,得x=16.练习1. (福州市中考题)给出下列算式:12+1=1×2, 22+2=2×3, 32+3=3×4,……观察上面一列算式,你能发现什么规律,用代数式子表示这个规律:________.2. (武汉市中考题)已知:2+=22×,3+=32×,4+=42×……,23233838415415若10+=102×(a 、b 为正整数), 则a+b=_________. a b ab3. (江苏省竞赛题)若(m+n)人完成一项工程需要m 天,则n 个人完成这项工程需要________天.(假定每个人的工作效率相同)4. (河南省竞赛题)某同学上学时步行,回家时坐车,路上一共要用90分钟,若往返都坐车,全部行程只需30分钟,如果往返都步行,那么,需要的时间是________.5.一项工程,甲建筑队单独承包需要a 天完成,乙建筑队单独承包需要b 天完成, 现两队联合承包,完成这项工程需要( )天. A.B.+C.D.1a b +1a 1b ab a b +1ab6. (中考题)某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加10%, 三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份( ) A.增加10% B.减少10% C.不增不减 D.减少1%7.为了绿化环境,美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪, 如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是( )A.S 1>S 2 B.S 1<S 2 C.S 1=S 2 D.无法比较1319x 4x 3x 2x 1xED B G FC A 8. (江苏省竞赛题)从小明的家到学校,是一段长度为a 的上坡路接着一段长度为b 的下坡路( 两段路的长度不等但坡度相同).已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%,走下坡路时的速度比走平路时的速度快20%,又知小明上学途中花10分钟, 放学途中花12分钟.(1)判断a 与b 的大小;(2)求a 与b 的比值.9.观察下列各正方形图形,每条边上有n(n≥2)个圆点,每个图案中圆点的总数是S.按时规律推断出S 与n 的关系式是__________.(广西中考题)n=4,s=12n=3,s=8n=2,s=4.......10. (“希望杯”邀请赛试题)如图,将面积为a 2的小正方形与面积为b 2的大正方形放在一起(b>a>0),用a 、 b 表示三角形ABC的面积为________.11. (天津市竞赛题)已知17个连续整数的和是306,那么,紧接在这17个数后面的那17个整数的和为_________.12. (南昌市中考题)用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:(1)第4个图案中有白色地面砖_________块;(2)第n 个图案中有白色地面砖_________块.13. (江苏省竞赛题)下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.469258147014. (重庆市竞赛题)给出两列数:1,3,5,7,9,…2001和1,6,11,16,21,…,2001, 同时出现在这两列数中的数的个数为( )A.199B.200C.201D.20215. (山东泰安市中考题)一种商品每件进价为a 元,按进价增加25%定出售价,后因库存积压降价,按售价的九折出售,每件还能盈利( )A.0125aB.0.15aC.0.25aD.1.25a16.如果用a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖,那么c 名同学以同样的速度搬运a 块砖所需的小时数是( )A. B. C. D. 22c a b 2c ab 2abc22a b c 17.将1～16这16个整数填入4×4的正方形表格中,使得每行、每列、 每条对角线上四个数之和都相等，如右图所示，恰有８个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了，请你将擦掉的这８个数设法恢复出来.参考答案：1.n 2+n=n(n+1)2.1093.4.150分钟5.C6.D7.B ()m m n n+8.(1)a<b,(2)把骑车走平路时的速度作为“1”,则 ,得+=(+),0.8a 1.2b 56 1.2a 0.8b得=.a b 389.S=4n-4 10.b 2 11.595 12.(1)18;(2)4n+21213.A 设自然数从a+1开始,这100个连续自然数的和为(a+1)+(a+2)+ …+(a+100)=100a+5050.14.C 第一列数可表示为2m+1,第二列数可表示为5n+1,由2m+1=5n+1,得n=m,m=0,5,10 (10002)515.A16.D 提示:每一名同学每小时所搬砖头为块,c 名同学按此速度每小时搬砖头块.cab2c ab 17.提示:设所填表中每行、每列、每条对角线四数之和为Ｓ，则4S=1+2+3+…16=,得S=34.16172⨯ 再设左上角所擦的数为x,则左下角擦的数为14-x,右下角擦掉的数为15+x,其余各格中擦掉的数都可以表示为x 的代数式, 再将主对角线上的数相加应得34, 即30+4x=34,解得x=1.于是可以依次算出被擦掉的各数,恢复后如图所示.x16-x144125+x 8-x981010+x6-x14-x3215+x11514412679810115133216。

从“算术”走向“代数”义务教育课程标准以知识内容的顺序来安排，在总体目标中提出，要让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题”。

从算术到代数的过渡，是学生认知过程的一次转折，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段。

在小学数学教学中，要让学生逐步学会用“代数的眼睛和耳朵”思考算术和问题。

一、巧用数形结合，根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，来体现代数思想。

1、在计算教学中，教材从一年级就开始用“□”、“（）”或一些小动物图代替求知数，让学生在其中填数。

如：3+□=10；4+□=14 5+□=16……2、在一年级的问题解决教学中，也可以体现出代数思想。

如：求13比7多多少？可以用图形来表示：□□□□□□□□□□□□□△△△△△△△学生看图，能够知道数的比较方法，懂得比较数的多少的意义。

3、用可爱小动物作为计算中的求知数，让学生通过计算得出小动物们各代表着什么数，经常设计这样的练习，可以培养学生的逻辑思维能力。

二、在探索运算规律时，体现出数学代数思想在探索运算规律时，绝不能马上引进字母或符号，而是引导学生归纳总结算术中的一般规律和方法，然后用自然语言进行正确的表述，并在具体表述的指导下，将一般规律正确运用于具体问题。

经过这样一段类似训练后，学生就会感到这样叙述比较麻烦，从而引进符号，以简化表述过程，使学生从感性认识自然上升到理性认识。

比如，加法交换律教学时，应让学生观察一组加法的结果，它们具有顺序不同但结果相的特点，然后总结出加法的交换律，经过一段学习后，再引入符号表示。

小学数学给我们提供了丰富的具体素材。

关键在于我们教师要根据教学内容和学生的思维水平，运用恰当的教学方法，提出切实可行的要求，对学生进行代数思维的初步训练，发展好学生逻辑思维。

第1讲 跨越---从算术到代数一、 知识梳理数量关系或变化规律字母表示数运算律、公式、法则表示 列代数式解释代数式 运算过程 代数式求值 值的变化 推断规律代数式运算 合并同类项、去括号 【目标与方法】1．梳理所学知识，形成一定的体系，并逐步掌握用代数式表达数量关系或变化规律的方法；2．理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系； 3．经历探索事物之间的数量关系，并用字母与代数式表示，建立初步符号感，发展抽象思维．【错题回放】1．代数式书写规范．如a 的513倍写成513 a ,应为a 516． 2．代数式描述语句顺序不理解．如a ，b 两数的平方和写成()2b a +，应为22b a +． 3．合并同类项中出错．如325=-a a ，xy y x 352-=-．4．去括号中符号出错．如c b a c b a +-=+-)(，c b a c b a -+=-+32)(32．5．探索规律出错．如由1＋3＝4＝22， 1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42，1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，… 猜想1＋3＋5＋7＋…＋（2n ＋1）＝n 2 (n 为正整数)． 【典例分析】考点一：字母表示数【例1】某同学在1月份栽了一棵树，每个月测量一交树的高度，得到下列表格:⑴、按照表格的规律，6月份树的高度为________cm ； ⑵、第x 个月时，树的高度为_________cm ； ⑶、在第_________月后，树的高度会超过185cm ．【例2】（1）、某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数会比会弹古筝的人数多10人，（2）、3个球队进行单循环比赛（参赛的每个队都与其他队赛一场），总的比赛场数是多少？4个球队呢？写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数n的公式．（3）、已知n是整数，现在有两个代数式：（1）2n+3，（2）4n-1.其中能表示“任意奇数”的（）A.只有（1）B.只有（2）C.有（1）和（2）D.一个也没有（4）、第十六届亚运会即将在广州召开，这必定会再一次激起全民参与体育运动的热情，我们知道，人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关，如果用a表示一个人的年龄，b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么有b=0.8(220－a).①正常情况下，在运动时一个14岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？②一个45岁的人运动时，10秒心跳的次数为22次，他有危险吗？【例3】（1）、如图：正方形的边长为 a。

六年级下册奥数第九讲从算术到代数（一）算术与代数是数学中两门不同的分科，但它们之间关系密切.代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的加、减、乘、除四则运算，并学会了用这些四则运算去解一些不太复杂的四则应用题.归纳一下，在用算术方法解应用题时主要用到了以下三种关系：①部分数与总数的关系；②两数差的关系；③一倍数（或一份数）、倍数和几倍数的关系.第1、第2种关系用“加”、“减”法完成，第3种关系则用乘、除法完成.在解四则运算题时用到了对于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则：交换律、结合律、分配律.设a、b、c表示任意三个数，下列等式恒成立：交换律：a＋b=b+a，a×b=b×a结合律：（a+b）+c=a+（b＋c）（a×b）×c=a×（b×c）分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c.另外，在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类型.如：和倍问题、差倍问题、行程问题、百分数问题、比例问题、….对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式，并找出理由加以解释，再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术方法解应用题时，对不同类型的题用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算术方法解应用题是不带普遍性的.代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法，即用列“方程”来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一.用方程来解应用题时，首先是用一些简单的符号，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母来表示问题中待求的未知数，然后把这些未知数和已知数平等地看待，并把题目中的数量关系直接（平铺直叙）“翻译”为算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确定其中所含未知数应该等于什么样的值，即“解方程”.而解方程的原理就是对方程中的数，包括已知数和未知数，运用在“算术”中学过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都成立的，当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只要适当地运用这些法则，一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起来用代数方法解应用题的步骤如下：1.设未知数.常用x，y，z，t，s，…等字母表示.2.依题意列方程.即把所要解决的代数问题中的未知量换成代表未知数的字母，把问题中各种量间的关系“翻译”为带字母的算式表示出来，特别注意找出其中的相等关系.用两个代数式表示同一个数量，列出一个方程.因此方程是含有未知数的等式.一般说来，有n个相等关系就能列出n个方程，当然我们从中选取列方程与解方程时最方便的形式.3.解方程.目的是把原方程变成同解的形如ax＝b的方程，进而解出①用分配律去括号.而不一定能像算术中那样先把括号中数算出来.因为其中有的是未知数算不出来.如下例中的（1）变成（2）.例1 64+x=3（32-x）（1）64+x=96-3 （2）x+3x=96-64 （3）4x＝32 （4）x=8. （5）②移项.把含未知数的项与常数项（即不含未知数的项）分离开来，分别移到等号两端，注意移项变号法则.如上例中的（2）变成（3）.③合并同类项，如上例中的（3）变成（4）.④用未知数的系数去除方程两端求出x的值.如上例中的（4）变成（5）.4.验算.一是实际计算求出的根是否满足方程，不满足的都舍去，二是根据题目的实际意义，删除不合理的解.先以几个简单的四则应用题为例来对“算术解法”与“代数解法”作一比较.例2 车站给某工厂运2000箱玻璃.合同规定完好地运到一箱给5元运费.如损坏一箱，不给运费，倒赔40元.这批玻璃运到后，车站共收到运货款9190元.问损坏了几箱玻璃.解：①算术解法：假如设有损坏，2000箱玻璃全运到，则应得运货款：2000× 5= 10000（元）.和实际所得运货款相差：10000-9190=810（元）.现在让我们用一箱好的换一箱损坏的玻璃，总箱数2000不变，但每换一箱所得运货款减少：40＋5=45（元）那么换多少箱，货款正好减少多出来的810元呢？做除法：810÷45＝18（箱）.答：共换坏了18箱.②代数解法：设损坏了x箱，则没损坏的共2000-x箱.依题意列方程5（2000-x）-40x=919045x=10000-919045x=810x=18.答：损坏了18箱.比较这两种解法，可见代数方法简洁并具有高度普遍性.我们在后面的许多例题中都能充分地看出代数方法的优越性.但这决不等于说可以取消算术.这正如火车虽快决不能代替步行.在攀登高峰的崎岖的小道上还常常靠坚实的足步.下面举几个例子来看看算术方法的不可缺少.因为有的问题不易找到等量关系列方程.例3一年级72名学生共交了□52.7□元课本费，其中的百位数和百分位上的数被水弄模糊了.你能算出每人交多少元？解：72＝8 × 9，又∵（8，9）=1∴原数为25272分，∴每人应交：25272÷72=351（分）.答：每人交3.51元.例4求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小自然数.解：∵该数被6除余4 （1）又该数被10除余8 （2）∴该数是偶数.再从被9除余4的偶数中从小到大挑选符合条件（1）、（2）的数：4，4＋9×2=22，22＋9×2=40，40+9×2=58，又 58÷6=9 (4)58÷10=5 (8)58÷9＝6 (4)答：58为所求最小自然数.例5 三个学生甲、乙、丙各有若干张画片互相赠送.第一次由甲送给乙、丙画片，所送的张数等于乙、丙各人已有的画片数；第二次由乙送给甲、丙画片，所送的张数等于甲、丙各人已有的画片数；最后由丙送给甲、乙画片，所送的张数也正好等于甲、乙各人已有的画片数.这时每人的画片数都是32张.问原来甲、乙、丙三人各有多少张画片？解：用倒推法.由最后每人都是32张画片开始，在下面表格里由上行到下一行逐行填写，可知在第三次丙送画片前，乙送完画片后三人手中的画片（张）；同理，在第二次乙送画片前，甲送完画片后三人手中的画片数应分…可推知原来：丙有16张，乙有28张，甲有8＋28＋16=52（张）.答：原来甲有52张，乙有28张，丙有16张画片.例6有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地.乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出20分钟，出发后1小时40分钟追上丙.那么甲出发后需用多少分钟才能追上乙？解法1：设三车速度依次为V甲，V乙，V丙.丙比乙早出发10分钟，乙追上丙耗40分钟，是典型的追及问题：丙比甲早出发30分钟，甲追上丙耗100分钟，也是追及问题：的某个倍数代入：解法1既用了算术的追及问题公式，又用了列方程的代数方法.下面再介绍一种列表法，对解这类题更方便.解法2：我们把题中的条件按下列方式填入下面表格中：让同一列格子中填行相同路程时甲、乙、丙三辆汽车各自所需的时间，如第一列中填入稍稍转化了的已知条件：乙走40分钟的路程丙需走40＋10=50（分钟）；第二列中填入甲走100分钟的路程丙需用100＋20＋10=130（分钟）.以前两列中条件的关系，再根据当速度一定时路程与时间成正比的性质，当丙走650=[50，130]分钟的路程时乙需用40×13=520（分钟），甲则需用100×5=500分钟.由于乙比甲早出发20分钟，恰为520分钟与500分钟之差，因此甲出发后500分钟时追上乙.答：甲出发后需500分钟才能追上乙.说明：一般地，当知道丙走c分钟的路程与甲走a分钟、乙走b分钟的路程相等时，可列一方程求出所需的答案.设甲出发后ax分钟追上乙，则在本题的条件下，c=650，a=500，b=520.例7星期日小明去找同学玩了两三个小时，离开家时他看了看钟，回家时又看了看钟，发现时针与分针恰好互换了一个位置.问小明共离开家多少时间？解：因为小明离家回来时时针走到分针位置，分针走到时针位置，说明两针合起来恰好走了若干个整圈.设外出时间分为二个时段，第一段为2小时.小明出去整2小时，分针就应转过2圈，转回原处，而时针两小时走了1.把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，求原来这个两位数与新得到的两位数的和.2.一辆汽车在公路上匀速行驶，司机看见里程碑上的数字是一个两位数再过一小时，里程碑上是三位数，又恰好是第一个两位数中间加了个零（用3.在一个红钱包与一个黑钱包里分别装着6枚和8枚硬币，并且两个钱包中的总钱数相等.如果从红钱包中任取两枚硬币与黑钱包中任取的两枚硬币交换时，红钱包中的总钱数要么比原来多2分，要么比原来的钱数少2分.问两个钱包中共装了多少钱？（注：这里的硬币只有1分、2分、5分三种）。

从算术到代数的知识转变在数学学科中，算术和代数是两个重要的概念和学习内容。

算术是一种基础的数学运算方法，它注重对具体数据的计算和处理；而代数则更注重于符号和未知数之间的关系和运算规律。

从算术到代数的知识转变在数学学习中起着重要的作用，并对学生的数学思维和解决问题的能力产生着积极的影响。

一、算术与代数的定义及特点算术是最早发展起来的数学分支，它主要研究基本的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。

算术只涉及具体的数字，强调具体计算和问题解决方法。

相比之下，代数则更为抽象和符号化。

它将数学问题中的未知数用字母表示，通过符号和代数运算规律来推导和解决问题。

代数的核心概念是方程和不等式，它们描述了数值之间的关系，并通过解方程和不等式来求得未知数的取值。

二、1. 理解数的本质变化在学习算术时，我们主要关注数字间的计算和问题解决。

而在学习代数时，我们将重点转移到符号和未知数的运算和关系上。

这种转变是数学思维的一个重要标志，要求学生从关注具体数值的计算，转变为关注抽象符号的运算。

2. 掌握代数的基本概念和符号表示学习代数需要掌握一系列基本概念和符号表示方法。

例如，学生需要理解未知数的含义，并学会用字母表示未知数。

此外，学生还需要学习代数中常见的符号和运算规律，如加法、减法、乘法和除法的代数表示方法。

3. 理解方程和不等式的意义与解法方程和不等式是代数学习的核心内容。

学生需要理解方程和不等式的意义，以及它们与实际问题之间的联系。

同时，学生还需要学会解方程和不等式，找到未知数的取值范围，从而解决实际问题。

4. 运用代数解决实际问题代数作为一种数学工具，能够帮助我们解决各种实际问题。

学生需要学会将实际问题转化为代数表达式，并通过代数运算来求解。

这种能力对学生的数学思维和问题解决能力有着重要的影响。

三、从算术到代数的意义和作用1. 培养抽象思维能力从算术到代数的知识转变要求学生从具体数字的计算转向符号和未知数的运算。

这种转变培养了学生的抽象思维能力，使他们能够更灵活地思考和解决问题。