2019高三数学上学期第一次联考试题 理

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）14.已知,则_______【答案】【解析】原式化为，，所以，，填。

（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可求出．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查同角的三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基础题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。

【详解】，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

2019年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若随机变量～，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：随机变量～，且，．故选：A．由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．2.函数的图象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数的定义域为R，，故排除A，C；，当时，，可知在上为减函数，排除B．故选：D．由函数的定义域及排除A，C，再由导数研究单调性排除B，则答案可求．本题考查函数的图象及图象变换，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．3.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图其中四边形是为体现直观性而作的辅助线当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据几何体的直观图：由于直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，该几何体的俯视图为有对角线的正方形．故选：B．直接利用直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同，从而得出俯视图形．本题考查的知识要点：直观图和三视图之间的转换，主要考查学生的空间想象能力和转化能力，属于基础题型．4.设i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：由，得，即．的虚部为．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.执行如图的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入A.B.C.D.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为120．可得横线处应填入的条件为．故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6.设实数x，y满足，则的最大值是A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：而的几何意义表示过平面区域内的点与点的连线的斜率，由，解得：，，故选：D．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．7.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：，推不出，推不出，“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．首先转化，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．8.函数的图象的一条对称轴方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：．由，得，，当时，，即函数的对称轴为，故选：B．利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数的对称性，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．9.将多项式分解因式得，m为常数，若，则A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】解：由，，可得：，解得，即为：，时，，故选：D．由两，通过，求出m，然后利用二项式定理求解即可．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，则其内切球与四个面都相切的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：过顶点V做平面ABC是正三棱锥，为中心，过O做，垂足为D，连接VD，则为侧面与底面成的二面角，侧面与底面成的二面角，，，，，，．，为内切球的半径．，内切球的表面积．故选：B．过顶点V做平面ABC，过O做，垂足为D，连接VD，则为侧面与底面成的二面角，从而，分别求出OD、AB、VD的长，由此利用等体积法求解．本题考查棱锥的外接球球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于A. 2B. 4C.D.【答案】A【解析】解：，，，，，，，，故选：A．先根据正余弦定理求出，，再将，化为，后用数量积可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．12.如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列已知数列的项数为4，记事件A：集合2，3，4，，事件B：为“局部等差”数列，则条件概率A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由已知数列{x n}的项数为4，记事件A：集合{x1，x2，x3，x4}{1，2，3，4，5}，则事件A的基本事件为：，，，，，共5个，在满足事件A的条件下，事件B：{x n}为“局部等差”数列有，共1个，即条件概率P（B|A）=，故选：C．由即时定义可得：事件A的基本事件为：，，，，，共5个，在满足事件A的条件下，事件B：{x n}为“局部等差”数列有，共1个，由条件概率可得：P（B|A）=，得解．本题考查了对即时定义的理解及条件概率，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样抽方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为______．【答案】12【解析】解：高中部女教师有6人，占，则高中部人数为x，则，得人，即抽取高中人数15人，则抽取初中人数为人，则男教师有人故答案为：12根据高中女教师的人数和比例，先求出抽取高中人数，然后在求出抽取初中人数即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据人数比例以及男女老少人数比例建立方程关系是解决本题的关键．14.设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且，若，则的值为______．【答案】3【解析】解：根据题意画出图形，如图所示；抛物线，焦点，准线为；设，，则，解得，；，，又，，解得．故答案为：3．根据题意画出图形，结合图形求出抛物线的焦点F和准线方程，设出点M、N的坐标，根据和求出的值．本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是中档题．15.设，，c为自然对数的底数，若，则的最小值是______．【答案】【解析】解：，，则，即，由基本不等式得，则，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为．故答案为：．利用定积分计算出，经过配凑得出，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式可得出的最小值．本题考查定积分的计算，同时也考查了利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题．16.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意函数可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，有一个零点，函数图象的右半部分为开口向上的3次函数的一部分，必须有两个零点，，，如上图，要满足题意：，，可得，解得．综合可得，故答案为：．由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，3次函数的图象由最小值并且小于0，x大于0的部分，只有两个交点．本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.正项等比数列中，已知，．Ⅰ求的前n项和；Ⅱ对于Ⅰ中的，设，且，求数列的通项公式．【答案】解：Ⅰ正项等比数列的公比设为q，已知，，可得，，解得，，即；Ⅱ，且，可得．【解析】Ⅰ正项等比数列的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求求和；Ⅱ由，结合数列的分组求和和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和求和方法：分组求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇～年梅雨季节的降雨量单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：Ⅰ“梅实初黄暮雨深”假设每年的梅雨天气相互独立，求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；Ⅱ“江南梅雨无限愁”在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为元，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？需说明理由【答案】解：Ⅰ频率分布直方图中第四组的频率为，则江南Q镇在梅雨季节时降雨量超过350mm的概率为，所以Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率为或；Ⅱ根据题意，总利润为元，其中，700，600，400；所以随机变量万元的分布列如下图所示；则总利润万元的数学期望为万元，因为，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大．【解析】Ⅰ由频率分布直方图计算对应的频率，利用频率估计概率，求出对应的概率值；Ⅱ根据题意计算随机变量的分布列和数学期望，比较得出结论和建议．本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题．19.已知椭圆的离心率为，且经过点．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ设O为椭圆的中心，点，过点A的动直线l交椭圆于另一点B，直线l上的点C满足．，求直线BD与OC的交点P的轨迹方程．【答案】解：Ⅰ椭圆的离心率，且，，，椭圆的标准方程为，Ⅱ设直线l的方程为当t存在时，由题意，代入，并整理可得，解得，于是，即，设，，解得，于是，，，，，，直线BD与OC的交点P的轨迹是以OD为直径的圆除去O，D两点，轨迹方程为，即，【解析】Ⅰ根据椭圆的离心率和，即可求出椭圆的方程，Ⅱ设直线l的方程为当t存在时，由题意，代入，并整理可得，求出点B的坐标，根据向量的运算求出点C的坐标，再根据向量的运算证明，即可求出点P的轨迹方程本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，函数与方程的思想的应用．20.如图，在多面体ABCDE中，AC和BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2．Ⅰ作平面CDE与平面ABE的交线l并写出作法及理由；Ⅱ求证：平面平面ACE；Ⅲ若多面体ABCDE的体积为2，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值．【答案】解：Ⅰ过点E作或的平行线，即为所求直线l．理由如下：和BD交于一点，，B，C，D四点共面，又四边形ABCD边长均相等，四边形ABCD为菱形，从而，又平面CDE，且平面CDE，平面CDE，平面ABE，且平面平面，．证明：Ⅱ取AE的中点O，连结OB，OD，，，，，，平面OBD，平面OBD，，又四边形ABCD是菱形，，又，平面ACE，又平面BDE，平面平面ACE．解：Ⅲ由多面体ABCDE的体积为2，得，，设三棱锥的高为h，则，解得，，平面ABE，以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，0，，1，，1，，1，，1，，设平面BCE的法向量y，，则，取，得，设直线DE与平面BCE所成角为，则．直线DE与平面BCE所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ过点E作或的平行线，即为所求直线由AC和BD交于一点，得A，B，C，D四点共面，推导出四边形ABCD为菱形，从而，进而平面CDE，由此推导出．Ⅱ取AE的中点O，连结OB，OD，推导出，，从而平面OBD，进而，由四边形ABCD是菱形，得，从而平面ACE，由此能证明平面平面ACE．Ⅲ由，得，求出三棱锥的高为，得平面ABE，以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面BCE 所成角的正弦值．本题考查两平面的交线的求法，考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.已知函数，其中a为常数．Ⅰ若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a之值；Ⅱ若对，都有，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ函数的导数为，由题意可得，，可得切线方程为，即有，解得；Ⅱ若对，，在递减，当时，，在递减，，由恒成立，可得，与矛盾；当时，，在递增，可得即，由恒成立，可得且，可得；当时，，，且在递减，可得存在，，在递增，在递减，故，由恒成立，可得，，可得，又的最大值为，由，，可得，设，，，可得在递增，即有，即，不等式恒成立，综上可得a的范围是．【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由题意可得a的方程，解方程可得a；Ⅱ若对，，在递减，讨论，，，结合函数的单调性和不等式恒成立思想，以及函数零点存在定理，构造函数法，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数零点存在定理和分类讨论思想方法，以及各种函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为其中t为参数在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系两种坐标系的单位长度相同中，直线l的极坐标方程为．Ⅰ求曲线C的极坐标方程；Ⅱ求直线l与曲线C的公共点P的极坐标．【答案】解：Ⅰ平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为其中t为参数，曲线C的直角坐标方程为，，将，代入，得曲线C的直角坐标方程为，，将，代入，得，曲线C的极坐标方程为Ⅱ将l与C的极坐标方程联立，消去，得，，，，方程的解为，即，代入，得，直线l与曲线C的公共点P的极坐标为【解析】Ⅰ由曲线C的参数方程求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．Ⅱ将l与C的极坐标方程联立，得，从而，进而方程的解为，由此能求出直线l与曲线C的公共点P的极坐标．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查直线与曲线的公共点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，且a，b，．Ⅰ若，求的最小值；Ⅱ若，求证：．【答案】解：Ⅰ由柯西不等式可得，当且仅当时取等号，即；，即的最小值为．证明：Ⅱ，，故结论成立【解析】Ⅰ根据柯西不等式即可求出最小值，Ⅱ根据绝对值三角不等式即可证明．本题考查了柯西不等式和绝对值三角形不等式，考查了转化和化归的思想，属于中档题．。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001...D. -1/32. 函数f(x) = 2x - 3的图象是（）A. 斜率为正的直线B. 斜率为负的直线C. 平行于x轴的直线D. 平行于y轴的直线3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项an = （）A. 25B. 28C. 31D. 344. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则角C的余弦值cosC = （）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/45. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，其图象的对称轴方程是（）A. x = 1B. x = 2C. y = 1D. y = 46. 已知数列{an}的通项公式an = 3n - 2，则数列的前10项和S10 = （）A. 154B. 160C. 162D. 1667. 若等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则第5项an = （）A. 16B. 32C. 64D. 1288. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于y轴的对称点为（）A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (-2, 3)D. (2, -3)9. 若log2(x + 3) = 3，则x = （）A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 1，则函数的值域为（）A. [0, +∞)B. (0, +∞)C. [1, +∞)D. (1, +∞)二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 函数y = 2x + 1在x=1时的函数值为__________。

12. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第5项an =__________。

13. 若log3(2x - 1) = 2，则x =__________。

2019-2020学年江西省⾼三（上）第⼀次⼤联考数学试卷2（含答案解析）2019-2020学年江西省⾼三（上）第⼀次⼤联考数学试卷2⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =lg(1?x)}，B ={y|y =2x +1}，则( )A. A ∩B ={x|x <0}B. A ∪B =RC. A ∪B ={x|x >1}D. A ∩B =? 2. 已知集合M ={x|?2x +1>0}，N ={x|x 12 B. a <12 C. a ≤12 D. a ≥12 3. 下列命题中的真命题是( )A. 2>5B. (?1)2<0C. 12≥5D. a 2<04. 函数f(x)=x 2?2ax +3在区间[2,3]上是单调函数，则a 的取值范围是( )A. a ≤2或a ≥3B. 2≤a ≤3C. a ≤2D. a ≥35. 函数y =lnx 2的图像可能是( )A. B.C. D.6. 设函数f (x ?2)=2x +5，则f (2)=( )A. 11B. 13C. 15D. 97. 如果log 12x x >1D. x >y >1 8. 已知x ，y ∈R ，则“x +y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的( )A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充分且必要条件D. 不充分也不必要条件 9. 已知函数f(x)=2lnx +x 22+(5?m)x 在(4,5)上单调递增，则实数m 的取值范围是( )A. (?∞,5+2√2]B. (?∞,192)C. (?∞,5+2√2)D. (?∞,192] 10. 已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x ≤0时，f(x)=log 2(1?x).若f(a 2?1)<1，则实数a 的取值范围是( )A. (?√2,0)∪(0,√2)B. (?√2,√2)C. (?1,0)∪(0,1)D. (?1,1)11. 函数f(x)={1?x 2(x <1)2?x (x ≥1),f[f(?4)]=( ) A. 12 B. 18 C. 2 D. 812.已知函数f(x)=lnx?(a+1)x，若关于x的不等式f(x)>0恰有3个整数解，则这3个整数解为()A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.函数f(x)=1xlnx的单调递增区间是______ ．14.曲线f(x)=2?xe x在点(0,2)处的切线⽅程为______ ．15.命题“?x∈[?1,1]，x2?3x+1<0”的否定是______．16.函数的最⼤值为______，此时x=__________________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70.0分）17.已知：命题p：和是⽅程的两个实根，且不等式对任意实数m∈[?1,1]恒成⽴；命题q：函数的定义域为R.若命题p是假命题，命题q是真命题，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=a?b2x+1(a,b为常数)是奇函数，且f(1)=13．(1)求实数a，b的值；(2)若函数g(x)=(4x?1)f(x)?k有两个不同零点，求实数k的取值范围；19.已知函数f(x)=e x?x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)>kx对任意的x>0恒成⽴，求实数k的取值范围．20.已知函数f(x)=x2?2ax+2，x∈[?2,3]．(1)当a=?2时，求函数f(x)的最⼤值和最⼩值．(2)求y=f(x)在区间[?2,3]上的最⼩值．21.已知函数f(x)=xlnx+ax+b在(1,f(1))处的切线为2x?2y?1=0．(1)求实数a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．+ln(1+x)22.设函数f(x)=11+x(1)求函数f(x)的单调区间；x2+1．(2)证明：当x∈(0,1)时，f(x)<(1?ln2)x3+12-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A ={x|y =lg(1?x)}={x|x <1}，B ={y|y =2x +1}={y|y >1}，∴A ∩B =?．故选：D ．先分别求出集合A 和B ，利⽤交集定义能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集、并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能⼒，考查函数与⽅程思想，是基础题．2.答案：D解析：解：M ={x|?2x +1>0}={x|x <12}，∵M ?N ，由数轴得∴a ≥12.故选：D ．化简集合M ，利⽤数轴求解．本题考查了集合的包含关系，属于基础题．3.答案：C解析：解：∵2>5为假命题；(?1)2=1<0为假命题；12≥5为真命题a 2≥0恒成⽴，a 2<0为假命题；故选C根据实数⼤⼩的关系，可以判断A ，C 的真假，根据实数平⽅具有⾮负性，可以判断B ，D 的真假，进⽽得到答案．本题考查的知识点是命题的真假判断与应⽤，是对真假命题定义的直接考查，属于基础题，认真解答，属于送分题．4.答案：A解析：解：∵函数f(x)=x 2?2ax +3的图象是开⼝⽅向向上，且以x =a 为对称轴的抛物线故函数f(x)=x 2?2ax +3在区间(?∞,a]为减函数，在区间[a,+∞)上为增函数，若函数f(x)=x 2?2ax +3在区间[2,3]上为单调函数，则a ≤2，或a ≥3，故答案为：a ≤2或a ≥3．故选：A ．由已知中函数的解析式f(x)=x 2?2ax +3，根据⼆次函数的图象和性质，判断出函数f(x)=x 2?2ax +3在区间(?∞,a]为减函数，在区间[a,+∞)上为增函数，由函数f(x)=x 2?2ax +3在区间[2,3上为单调函数，可得区间在对称轴的同⼀侧，进⽽构造关于a的不等式，解不等式即可得到实数a 的取值范围．本题考查的知识点是⼆次函数的性质，其中根据函数f(x)=x2?2ax+3在区间[2,3]上为单调函数，判断出区间在对称轴的同⼀侧，进⽽构造关于a的不等式是解答本题的关键．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的图像．【解答】解：因为函数为偶函数，图像关于y轴对称，故排除C，D⼜函数y=lnx2在(0,+∞)上为增函数，故排除A，故选B．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的基本概念，是基础题．令x=4，代⼊解析式即可求值．【解答】解：因为f(x?2)=2x+5，令x=4，所以f(2)=f(4?2)=2×4+5=13．故选B．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查了对数函数的单调性．利⽤底数⼩于1时，对数函数为减函数得出x，y，1的⼤⼩关系．【解答】解：log12x2y<0=log121，因为为减函数，则x>y>1．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，属于简单题．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进⾏解答即可．【解答】解：若x≤12且y≤12”，则x+y≤12+12=1成⽴，即必要性成⽴，当x=1，y=0时，满⾜x+y≤1，但x≤12且y≤12不成⽴，即充分性不成⽴，则“x+y≤1”是“x≤12且y≤12”必要不充分条件，故选：B．9.答案：D解析：解：函数在(4,5)上单调递增，∴f′(x)=2x+x+5?m≥0，化为：m≤2x+x+5，⽽g(x)=2x+x+5在(4,5)上单调递增，∴g(x)>g(4)=192．∴m≤192．则实数m的取值范围是(?∞,192].故选：D．函数f(x)=2lnx+x22+(5?m)x在(4,5)上单调递增，f′(x)≥0，化为：m≤2x+x+5，⽽g(x)=2x+x+5在(4,5)上单调递增，即可得出最⼩值．本题考查了利⽤导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．10.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，⼀元⼆次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1?x)为减函数，结合偶函数f(x)满⾜f(?1)=1，可得答案．。

2019北京市朝阳区高三一模数 学（理）2019．3本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则A B =IA ．{|2}x x >-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R2．在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．41()x x-的展开式中的常数项为A ．12-B ．6-C ．6D ． 124．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩, 则函数()f x 的值域是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞U5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+12π1-1O 3π xy712π6．记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为 A ．4B ．2C ．83D ．438．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A ．5B ．6C ．7D ．8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．10．执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为 ．11．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___． 12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ．13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至正（主）视图俯视图侧（左）视图第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．14．在平面内，点A是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==u u u r u u u u r ，0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤u u u r u u u r u u u r所表示的区域的面积是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，21a =，120A ∠=︒，ABC △的面积等于3，且b c <． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos2B 的值． 16．（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]L 分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；乘车等待时间（分钟）0.036乙站O400.0480.0080.0160.052O405101520253035频率/组距0.0480.0120.0280.0360.0120.040甲站频率/组距乘车等待时间（分钟）3530252015105图1图2（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．19．（本小题满分14分）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．EDCBA F20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21n n n a a a ++=-，N n ∈*． （Ⅰ）若123,1a a ==，写出910100,,a a a 的值； （Ⅱ）证明：数列{}n a 中存在值为0的项；（Ⅲ）证明：若12,a a 互质，则数列{}n a 中必有无穷多项为1．数学试题答案一、选择题：（本题满分40分）二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由已知得2221=sin 2=2cos120.S bc A b c bc ⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c ⎧⎨+⎩ 解得=1,=4b c ⎧⎨⎩，或=4,=1.b c ⎧⎨⎩ 因为b c <，所以1b =．………………………………………………….8分（Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=， 即sin 14B =．所以2213cos 2=12sin 11414B B -=-= ……………………………….13分 16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”，C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P M 的估计值为0.5．乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(++⨯=，故()P N 的估计值为0.4．又121()()()()255P C P MN P M P N ==⋅=⨯=. 故事件C 的概率为15．………………………………………………………….6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25. 显然，X 的可能取值为0,1,2,3且2(3,)5~X B .所以033327(0)()5125P X C ===；1232354(1)()55125P X C ==⋅=； 2232336(2)()55125P X C ==⋅=；33328(3)()5125P X C ===. 故随机变量X 的分布列为26355EX =⨯= .……………….13分 17．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF I 平面ABCD AD =， 所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF CD ⊥．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=︒，所以,,AB AD AF 两两垂直．分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ，所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==u u u r u u u r u u u r．设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 即20,0. x y z +=⎧⎨=⎩ 令2x =，则1y =-， 所以(2,1,0)=-n ．设直线BF 与平面CDE 所成角为θ，则|2(1)|10sin |cos ,|552BF θ⨯-=〈〉==⨯u u u r n ．……………….9分 （Ⅲ）设( (01])BMBDλλ=∈，， 设()111,,M x y z ，则()1111,,(1,1,0)x y z λ-=-， 所以1111,,0x y z λλ=-==，所以()1,,0M λλ-，所以()1,,0AM λλ=-u u u u r．设平面AFM 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则0,0.AM AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rm m 因为()0,0,1AF =u u u r ，所以000(1)0,0. x y z λλ-+=⎧⎨=⎩令0x λ=，则01y λ=-，所以(,1,0)λλ=-m ．zD y Dx DEDCB A FM在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM 等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE ⋅=u u u rm ．因为()1,2,1CE =--u u u r，由0CE ⋅=u u u r m ，所以2(1)0λλ---=， 解得2[0,1]3λ=∈， 所以线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，且23BM BD =．……………….14分 18． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x-'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞．不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()eaf a =，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极小值e ()eaf a =，无极大值．……………………………………………….13分 19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意a =1b =，1c ==所以离心率c e a ==，左焦点(1,0)F -．………………………………………….4分 （Ⅱ）当00y =时直线l 方程为x =或x =l 与椭圆C 相切．当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222000(2)4440y x x x x y +-+-=， 由题知，220012x y +=，即220022x y +=，所以 22220000(4)4(2)(44)x y x y ∆=-+-=220016(22)0x y +-=． 故直线l 与椭圆C 相切．………………………………………………………….8分（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =2211(1)FA FB x y ⋅=+-u u u r u u u r 2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=， 所以FA FB ⊥u u u r u u u r ，即90AFB ∠=o ．当00y ≠时，由2200(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得22220000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则20012202(2)1y x x x y ++=+，2012202101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++2002054422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+u u u r u u u r1212121x x x x y y =++++ 2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 2200205(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥u u u r u u u r ，即90AFB ∠=o ．故AFB ∠为定值90o ． ………………………………………………………….14分20． (本小题满分13分)解：(I)9101000,1,1a a a ===．.………………………………………………………….3分 (II)反证法：假设i ∀,0.i a ≠由于21n n n a a a ++=-，记1,2max{}M a a =.则12,a M a M ≤≤. 则32101a a a M <=-≤-，43201a a a M <=-≤-,54302a a a M <=-≤-，65402a a a M <=-≤-，L ，220016[2(1)]x y =--依次递推，有76503a a a M <=-≤-，87603a a a M <=-≤-…，则由数学归纳法易得21,.k a M k k *+≤-∈N当k M >时，210,k a +<与210k a +>矛盾.故存在i ，使=0.i a所以，数列{}n a 必在有限项后出现值为0的项．………………………………………….8分 (III)首先证明：数列{}n a 中必有“1”项．用反证法，假设数列{}n a 中没有“1”项，由(II)知，数列{}n a 中必有“0”项，设第一个“0”项是m a (3)m ≥，令1m a p -=，1,p p >∈N *，则必有2m a p -=，于是，由1233||||m m m m p a a a p a ----==-=-，则32m a p -=，因此p 是3m a -的因数， 由2344|||2|m m m m p a a a p a ----==-=-，则4m a p -=或3p ，因此p 是4m a -的因数. 依次递推，可得p 是12,a a 的因数，因为1p >，所以这与12,a a 互质矛盾．所以，数列{}n a 中必有“1”项． 其次证明数列{}n a 中必有无穷多项为“1”.假设数列{}n a 中的第一个“1”项是k a ，令1k a q -=，1,q q >∈N *， 则111k k k a a a q +-=-=-，若1k a +=11q -=，则数列中的项从k a 开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若111k a q +=->，则213212,1k k k k k k a a a q a a a +++++=-=-=-=，若221k a q +=-=，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若221k a q +=->，则从k a 开始的项依次为1,1,2,1,3,4,1q q q q ----，……，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．……13分。

重庆市南坪中学校2019届高三数学上学期月考试题 理考试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}(){}|sin ,x R ,|lg A y y x B x y x ==∈==-，则AB =（）A ．(]0,1B ．[)1,0-C ．[]1,0-D ．(],1-∞ 2.已知复数满足i z i 3)31(=+，则（）A ．i 2323+ B ．i 2323- C ．i 4343+ D ．i 4343- 3.设命题2:,ln p x R x x ∀∈>，则为（）A ．2000,ln x R x x ∃∈> B ．2,ln x R x x ∀∈≤ C ．2000,ln x R x x ∃∈≤ D ．2,ln x R x x ∀∈<4.已知平面向量 与 00 相互垂直， =（﹣1，1）||=1，则|+2|=（ ） A ．B ．C ．2D ．5.已知实数()ln ln ln ,ln ,2a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（） A ．37 B ．273C ．73 D ．773 7.执行如图所示的程序框图，若输入2,1==b a ，则输出的（）A ．25.1B ．375.1C ．4375.1D ．40625.18.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则把函数()f x 的图像向左平移6π后得到的函数图象的解析式是（）A ．2sin 2y x =B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10.已知数列{}n a 满足:)2112,11n a a +==+, 则12a =（）A ．B ．122C ．145D ．17011.已知函数()()1,1010lg 2,10x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若()()282f m f m -<，则实数的取值范围是（） A ．()4,2- B ．()4,1- C ．()2,4- D ．()(),42,-∞-+∞12.已知函数()21,g x m x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

徐汇区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷 2018.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为___________.2.已知全集U =R ，集合{}2,,0A y y x x x -==∈≠R ，则U A =ð___________. 3.若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为___________.4.若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________. 5.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________.6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =r是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()1,n n a a +均在l 上.若26a =，则3a 的值为 .7.已知()212nx n N x *⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x 项的系数是 .（结果用数值表示）8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：其他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为___________人.9.已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()(1,2)g x f x x =∈，则()g x 的反函数为______________________.10.已知函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1，，则b a -的最大值是___________.11.已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩.若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．12.已知圆M :1)1(22=-+y x ，圆N :1)1(22=++y x .直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点.点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.设R θ∈，则“=6πθ”是“1sin =2θ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）（A ）16 （B ） （C ）163 （D ）128315.对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”.已知函数：①sin y x =；②y ，下列结论正确的是( )（A ）①、②均不是“蝶型函数” （B ）①、②均是“蝶型函数”（C ）①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数” （D ）①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数”16.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S .若对任意的*n N ∈，都有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） （A ）2 （B ）53 （C ）32 （D ）43三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1.（1）正方体''''ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线'A B 是异面直线？（2）若,M N 分别是','A B BC 的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2(),2ax f x x -=+其中.a R ∈ （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π∠=. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点,A B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里. （1）求海域ABCD 的面积；海（2） 现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B点. 判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴长为1,直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于,A B 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆Γ于N，ON =u u u r u u ur ,求k 的值； （3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=u u u r u u u r ，当4556λ≤≤时，求OAB ∆的面积S 的范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知项数为0n 0(4)n ≥项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：①011,n a a m ==(m 为正整数)；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =…；③任取数列{}n a 中的两项,()p q a a p q ≠，剩下的02n -项中一定存在两项,()s t a a s t ≠，满足p q s t a a a a +=+. 则称数列{}n a 为Ω数列.（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并说明理由；（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中*123,,d d d N ∈，求证：1234,2,4d d d ≥≥≥；（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.徐汇区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案。

2019年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，或，；；．故选：C．可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，以及交集、补集的运算．2.已知，，其中i是虚数单位，则的虚部为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，则的虚部为．故选：D．把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知正项等比数列的前n项和为，若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：正项等比数列的前n项和为，，，解得 ，，．故选：B ．利用正项等比数列 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出 ，，由此能求出 的值． 本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 某班男生与女生各一组进行古诗词默写比赛，两组每个同学得分的茎叶图如图所示，男生组和女生组得分的平均数分别为 、 ，标准差分别为 、 ，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；甲的平均数是，乙的平均数是 ；甲的方差是s 1 ， 标准差是 ；乙的方差是， 标准差是 ； ， ． 故选：D ．根据茎叶图中的数据，求出甲、乙的平均数和方差，得出标准差，通过比较可以得出结论．本题考查了利用茎叶图中的数据求平均数和方差的问题，作为选择题也可以利用平均数与方差表示的含义，估算出结果，是基础题．5. 已知实数x 、y 满足，则 的最大值与最小值之和为A. 5B.C. 6D. 7【答案】B【解析】解：由实数x 、y 满足，作出可行域如图，的几何意义为原点O 到可行域内点的距离的平方， 由图可知，O 到直线 的距离最小为： ． 可行域内的点与坐标原点的距离最大： ． 的最大值与最小值之和为：．故选：B ．由约束条件作出可行域，由 的几何意义，即原点O 到可行域内点的距离的平方，结合点到直线的距离公式以及两点间距离公式求得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6. 的展开式中 的系数为A.B. 1024C. 4096D. 5120【答案】C【解析】解： ，二项展开式 的通项为 ， 二项展开式 的通项为 ，令，得，所以，展开式中 的系数为 ．故选：C ．先将二项式变形为 ，分别写出两个二项式展开式的通项，并分别令x 的指数为10，求出两个参数的值，代入展开式之后将两个系数相减可得出答案．本题考查二项式定理求指定项的系数，考查二项式定理的应用，同时也考查了计算能力，属于中等题．7. 已知还数 ，将函数 的图象向右平移个单位，得到数 的图象，则函数图象的一个对称中心是A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，将函数 的图象向右平移个单位，得到数 的图象， 即， 由，得，，当 时，，即函数 的一个对称中心为， 故选：C ．利用三角函数的平移关系求出 的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象变换和性质，求出函数 的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．8. 已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A.B. C.D.【答案】A【解析】解：根据三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，截去一个圆锥体，如图所示；则该几何体的体积为．故选：A ．根据三视图知该几何体是棱长为2的正方体截去一个圆锥体，结合图中数据求出该几何体的体积．本题利用几何体三视图考查了求几何体体积的应用问题，是基础题．9. 函数的大致图象为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，排除，B，C，当时，，则，排除A，故选：D．利用，以及函数的极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键．10.已知三棱锥中，平面平面BCD，，，，则三棱锥的外接球的表面积A. B. C. D.【答案】C【解析】解：平面平面BCD，平面平面，，平面BCD，平面ABD，，则是边长为的等边三角形，由正弦定理可得，的外接圆直径为．所以，三棱锥的外接球直径为，．因此，该球的表面积为．故选：C．先利用平面与平面垂直的性质定理得出平面ABD，并利用正弦定理计算出的外接圆直径2r，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出答案．本题考查球体表面积的计算，考查平面与平面垂直的性质定理，解决本题的关键在于找出线面垂直，并利用合适的模型求出球体的半径，同时也考查了计算能力，属于中等题．11.倾斜角为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图为的垂直平分线，可得，且，可得，，由双曲线的定义可得，，即有，即有，，，由，可得，可得，即，，则渐近线方程为．故选：A．由垂直平分线性质定理可得，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.1642年，帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机年，莱布尼茨改进了帕斯卡的计算机，但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂，随即提出了“二进制”数的概念之后，人们对进位制的效率问题进行了深入的研究研究方法如下：对于正整数n，，我们准备nx不同的卡片，其中写有数字0，1，，的卡片各有n张如果用这些卡片表示n位x进制数，通过不同的卡片组合，这些卡片可以表示x个不同的整数例如，时，我们可以表示出共个不同的整数假设卡片的总数nx为一个定值，那么x进制的效率最高则意味着nx张卡片所表示的不同整数的个数最大根据上述研究方法，几进制的效率最高？A. 二进制B. 三进制C. 十进制D. 十六进制【答案】B【解析】解：设为一定值．则nx张卡片所表示的不同整数的个数，，假设x，，则，两边求导可得：，可得时，函数y取得最大值．比较，的大小即可．分别6次方可得：，，可得，．根据上述研究方法，3进制的效率最高．故选：B．设为一定值可得nx张卡片所表示的不同整数的个数，，假设x，，可得，利用求导研究其单调性即可得出．本题考查了利用研究函数的单调性极值与最值、进位制，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则______．【答案】【解析】解：函数，，．故答案为：．推导出，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知向量，单位向量满足，则向量的坐标为______．【答案】或【解析】解：设向量，则，又，，即，；由解得或；则向量的坐标为或故答案为：或设出向量的坐标，根据题意列出方程组求单位向量的坐标．本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，是基础题．15.已知抛物线C：的焦点F为椭圆的右顶点，直线l是抛物线C的准线，点A在抛物线C上，过A作，垂足为B，若直线BF的斜率，则的面积为______．【答案】【解析】解：抛物线C：的焦点F为椭圆的右顶点，，．设，，可得．故A在上，可得．，则的面积为．故答案为：．可得设，，可得求得，即可得的面积．本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．16.已知正项数列的前n项和为，数列的前n项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项【答案】45【解析】解：，可得，且；由，解得；由，解得；推得，，时，，，由，当时，，当时，，当时，．综上可得数列中最接近2019的是第45项．故答案为：45．分别令，2，3，，归纳得到，再由数列的递推式可得数列的通项公式，进而计算所求值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A为锐角，，，的面积为．设D为AC的中点，求BD的长度；求的值．．解得：，角A为锐角，，为AC的中点，，在中，由余弦定理可得：．，，，在中，由余弦定理可得：，由正弦定理，可得：．【解析】由已知利用三角形面积公式可求，由角A为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求，由D为AC的中点，可求，在中，由余弦定理可得BD的值．由已知在中，根据余弦定理可得BC，进而根据正弦定理可得的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．18.田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望．【答案】解：记事件A：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜．对于事件A，三次比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜．因此，；设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量，则随机变量的可能取值为和1000，若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为P，则．随机变量的分布列如下表所示：所以，．因此，田忌一年赛马获利的数学期望为金．【解析】由题意知，田忌第三场比赛必输，则前两场比赛都胜，因而利用相互独立事件的概率乘法公式可得出答案；先计算出田忌比赛一次获胜的概率，并计算出田忌比赛一次获利的数学期望，再这个期望上乘以12即可得出田忌一年赛马获利的数学期望．本题考查离散型随机变量及其数学期望，解决本题的关键就是弄清概率的类型，并计算出相应事件的概率，考查计算能力，属于中等题．19.已知三棱柱中，，，，．求证：面面ABC；若，在线段C上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由，【答案】证明：如图，，四边形为菱形，连接，则，又，且，平面，则，又，即，平面，而平面ABC，面面ABC；解：以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，，，，0，，2，，0，，0，设在线段AC上存在一点P，满足，使得二面角的平面角的余弦值为．则．0，，，，，．设平面的一个法向量为，由，取，得；平面的一个法向量为．由，解得：舍，或．故在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的平面角的余弦值为．【解析】由，可得四边形为菱形，则，又，利用线面垂直的判定可得平面，得到，结合，即可证明平面，从而得到面面ABC；以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设在线段AC上存在一点P，满足，使得二面角的平面角的余弦值为，利用二面角的平面角的余弦值为求得值得答案．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．20.已知椭圆E的方程为，离心率，且矩轴长为4．求椭圆E的方程；已知，，若直线l与圆相切，且交椭圆E于C、D两点，记的面积为，记的面积为，求的最大值．【答案】解：设椭圆E的焦距为，椭圆E的短轴长为，则，由题意可得，解得，因此，椭圆E的方程为；由题意知，直线l的斜率存在且斜率不为零，不妨设直线l的方程为，设点、，由于直线l与圆，则有，所以，．点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，将直线l的方程与椭圆E的方程联立，消去y并整理得．由韦达定理可得，．由弦长公式可得．所以，．当且仅当时，即当时，等号成立．因此，的最大值为12．【解析】根据题意列出有关a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可得出椭圆E的方程；设直线l的方程为，先利用原点到直线l的距离为2，得出m与k满足的等式，并将直线l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，计算出弦CD的长度的表达式，然后分别计算点A、B到直线l的距离、，并利用三角形的面积公式求出的表达式，通过化简，利用基本不等式可求出的最大值．本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的方程以及直线与圆的位置关系，同时也考查了韦达定理法在椭圆综合中的应用，属于中等题．21.已知函数在上是增函数．求实数a的值；若函数有三个零点，求实数k的取值范围．【答案】解：当时，是增函数，且，故当时，为增函数，即恒成立，函数的导数恒成立，当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，则，即．若，则在R上是增函数，此时最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故，当时，有一个零点，，故0也是故的一个零点，故当时，有且只有一个零点，即有且只有一个解，即，得，，则，在时有且只有一个根，即与函数，在时有且只有一个交点，，由得，即得，得，此时函数递增，由得，即得，得，此时函数递减，即当时，函数取得极小值，此时极小值为，，作出的图象如图，要使与函数，在时有且只有一个交点，则或，即实数k的取值范围是．【解析】根据分段函数的单调性，结合导数判断函数在上单调递增即可讨论时不满足，则，根据分段函数单调在时，已经存在两个零点，在等价为当时，有且只有一个零点，利用参数法分离法结合图象进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，以及函数零点个数问题，求函数的导数，研究函数的单调性和极值以及利用参数法分离法，以及数形结合是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，难度较大．22.在平面直角坐标系xOy中，将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；已知点且直线l与曲线C交于A、B两点，求的值．【答案】解：将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，设为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点，依题意，得．由，得，曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为．直线l的直角坐标方程为．点且直线l与曲线C交于A、B两点，在直线l上，把直线l的参数方程代入，得：，则，．．【解析】设为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点，依题意，得由此能求出曲线C 的普通方程；由直线l的极坐标方程，能求出直线l的直角坐标方程．求出直线l的参数方程代入，得：，由此能求出的值．本题考查曲线的普通方程、直线的直角坐标方程的求法，考查两线段的倒数和的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．23.已知函数．解不等式；若，使成立，求实数m的取值范围．【答案】解：或或解得不等式的解集为由得令，则，，【解析】分三种情况去绝对值解不等式再相并；由得，在构函数，求出最小值为，转化为可解得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

四川省内江市高中2019-2020学年高三上学期理数第一次模拟试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合 A ={1,2,m} ， B ={3,4} ，若 A ∪B ={1,2,3,4} ，则实数 m 为（ ）A ．1 或 2B ．2 或 3C ．1 或 3D ．3 或 42．（2分）已知复数 z =i2i+1（ i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．（2分）割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为 3.1416 ，在半径为 1 的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ） A ．1πB ．3πC ．√3πD ．3√32π4．（2分）在二项式(x 2−1x )5 的展开式中，含 x 4 的项的系数是（ ）． A ．−10 B ．−5 C ．10 D ．55．（2分）函数 y =f(x) 在 P(1,f(1)) 处的切线如图所示，则 f(1)+f ′(1)= （ ）A ．0B ．12C ．32D ．−126．（2分）已知等比数列 {a n } 是递增数列， a 2=2 ， S 3=7 ，则数列 {1a n} 的前 5 项和为（ ） A ．31B ．31 或 314C ．3116D ．3116 或 3147．（2分）函数 f(x)=x 2−2x −2|x|+1 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2分）已知向量 a ⃗ =(√2cosθ,√2sinθ) ， θ∈(π2,π) ， b⃗ =(0,1) ，则向量 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为（ ） A ．3π2−θB ．π2+θC ．θ−π2D ．θ9．（2分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的 n = （ ）A ．5B ．4C ．3D ．910．（2分）定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足：任意 x 1 ， x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2) ，有 f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0 ，则（ ） A ．f(2log23)<f(log 319)<f(−log 122)B ．f(−log 122)<f(log 319)<f(2log23) C ．f(2log 319)<f(−log 122)<f(2log 23)D ．f(2log 23)<f(−log 122)<f(log 319)11．（2分）函数 f(x)=x(x −S 1)(x −S 2)⋯(x −S 8) ，其中 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，若 a n =1n(n+1) ，则 f ′(0)= （ ）A ．112B ．14C ．18D ．1912．（2分）已知函数 f(x)={−x 2−2x,x ≤0|log 2x|,x〉0，若 x 1<x 2<x 3<x 4 ，且 f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4) ，则下列结论：①x 1+x 2=−1 ，②x 3x 4=1 ，③0<x 1+x 2+x 3+x 4<12，④0<x 1x 2x 3x 4<1 ，其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）已知随机变量 ζ 服从正态分布 N(2,δ2) ，则 P(ζ<2)= . 14．（1分）设函数 f(x)=lg(1−x) ，则函数 f(f(x)) 的定义域为 .15．（1分）已知函数 y =f(x) 是定义域为 (−∞,+∞) 的奇函数满足 f(−3−x)+f(x −1)=0 .若f(1)=1 ，则 f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f(2020)= .16．（1分）对于函数 f(x)=√3sin(ωx −π3)+1 （其中 ω>0 ）：①若函数 y =f(x) 的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为 π4 ，则 ω=2 ；②若函数 y =f(x) 在 (−π3,π4) 上单调递增，则 ω 的范围为 [12,103] ；③若 ω=2 ，则 y =f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程为 √3x −2y −1=0 ；④若 ω=2 ， x ∈[0,π2] ，则 y =f(x) 的最小值为 −12 ；⑤若 ω=2 ，则函数y =√3sin2x +1 的图象向右平移 π3 个单位可以得到函数 y =f(x) 的图象.其中正确命题的序号有 .（把你认为正确的序号都填上）三、解答题 (共7题；共65分)17．（10分）ΔABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，设 (sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC . （1）（5分）求 A ；（2）（5分）当 a =6 时，求其面积的最大值，并判断此时 ΔABC 的形状.18．（10分）某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.附： K 2=n(da−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)（其中 n =a +b +c +d ）（1）（5分）由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（2）（5分）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望.19．（10分）已知函数 f(x)=lnx x. （1）（5分）求函数 f(x) 的单调区间；（2）（5分）证明对一切 x ∈(0,+∞) ，都有 lnx <2x e −x 2ex 成立.20．（10分）已知数列 {log 2(a n −1)}(n ∈N ∗) 为等差数列，且 a 1=3 ， a 3=9 .（1）（5分）求数列 {a n } 的通项公式；（2）（5分）设 b n =2a n −1 ， S n 为数列 {b n } 的前 n 项和，若对任意 n ∈N ∗ ，总有 S n <m−43，求 m 的取值范围. 21．（10分）已知函数 f(x) 满足： f(x)=f ′(x)e x−1−f(0)x +12x 2 .（1）（5分）求 f(x) 的解析式；（2）（5分）若 g(x)=f(x)−12x 2 ，且当 x >0 时， (x −k)g ′(x)+x +1>0 ，求整数k 的最大值.22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程{x=1+3cost,y=−2+3sint（t为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴）中，直线l的方程为√2ρsin(θ−π4)=m(m∈R).（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆心C到直线l的距离等于2，求m的值. 23．（10分）函数f(x)=|x+a|+|x−2|.（1）（5分）当a=1时，求不等式f(x)≤5的解集；（2）（5分）若f(x)≥4，求a的取值范围.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】 ∵ 集合 A ={1,2,m} ， B ={3,4} ，且 A ∪B ={1,2,3,4} ， ∴m =3 或 4 .故选：D.【分析】根据并集的运算结果可得出实数 m 的值.2．【答案】A【解析】【解答】 ∵z =i 2i+1=i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i 5=25+15i ，因此，复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.【分析】利用复数的除法运算将复数 z 表示为一般形式，即可得出复数 z 在复平面内对应的点所在的象限.3．【答案】B【解析】【解答】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2π12=π6，所以，半径为 1 的圆的内接正十二边形的面积为 12×12×12×sin π6=3 ，因此，在半径为 1 的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为 3π .故选：B.【分析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.4．【答案】C【解析】【解答】解：对于 T r+1=C 5r (x 2)5−r (−1x)r=(−1)r C 5r x 10−3r ， 对于10﹣3r ＝4， ∴r ＝2，则x 4的项的系数是C 52（﹣1）2＝10 故选 C ．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为4求得．5．【答案】A【解析】【解答】解:因为切线过 (2,0) 和 (0,−1) ,所以 f ′(1)=0+12−0=12,所以切线方程为 y =12x −1 ,取 x =1 ,则 y =−12 ,所以 f(1)=−12,所以f(1)+f′(1)=−12+12=0.故选:A.【分析】由切线经过坐标轴上的两点求出切线的斜率f′(1)和切线方程,然后求出f(1),即可得到f(1)+f′(1)的值.6．【答案】C【解析】【解答】设等比数列{a n}的公比为q，由题意得{a2=a1q=2S3=a1(1+q+q2)=7，解得{a1=1q=2或{a1=4q=12，由于等比数列{a n}是递增数列，则a1=1，q=2，∴1a n+11a n=a na n+1=1q=12，且1a1=1，所以，数列{1a n}是以1为首项，以12为公比的等比数列，因此，数列{1a n}的前5项和为1×(1−125)1−12=3116.故选：C.【分析】设等比数列{a n}的公比为q，根据题意求出a1和q的值，并确定出等比数列{1a n}的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列{1a n}的前5项和的值.7．【答案】B【解析】【解答】解:因为f(x)=x2−2x−2|x|+1,所以f(0)=0,排除ACD.故选:B.【分析】根据f(x),求出f(0),即可排除错误选项.8．【答案】C【解析】【解答】解:因为a⃗=(√2cosθ,√2sinθ), b⃗=(0,1),所以cos<a ,b⃗>=a⃗⃗ ⋅b⃗⃗|a⃗⃗ ||b⃗⃗ |=√2sinθ√2=sinθ,因为θ∈(π2,π),所以<a ,b⃗>=θ−π2,所以向量a⃗与b⃗的夹角为θ−π2 .故选:C.【分析】直接用向量的夹角公式求出两向量的夹角即可. 9．【答案】B【解析】【解答】当 n =1 时， a =152， b =4 ，满足进行循环的条件； 当 n =2 时， a =454 ， b =8 ，满足进行循环的条件；当 n =3 时， a =1358 ， b =16 ，满足进行循环的条件； 当 n =4 时， a =40516， b =32 ，不满足进行循环的条件； 故答案为：B【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出 n ，分析循环中各变量的变化情况，可得答案.10．【答案】A【解析】【解答】解:由任意 x 1 , x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2) ,有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0 ,知 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减,又 f(x) 为 R 上的偶函数, 所以 f(2log 23)=f(3) < f(log 319)=f(−2)=f(2) < f(−log 122)=f(1) ,即 f(2log 23)<f(log 319)<f(−log 122) .故选:A .【分析】根据条件可知 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减,然后结合 f(x) 的奇偶性比较函数值的大小即可.11．【答案】D【解析】【解答】解:因为 a n =1n(n+1) ,所以 a n =1n −1n+1 , 所以 S n =[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)] = 1−1n+1=n n+1. 由 f(x)=x(x −S 1)(x −S 2)⋯(x −S 8) ,得 f ′(x)=(x −S 1)(x −S 2)⋯(x −S 8)+x[(x −S 1)(x −S 2)⋯(x −S 8)]′,所以 f ′(0)=S 1S 2⋯S 8=12×23×⋯×89=19.故选:D .【分析】先利用裂项相消法求出 S n ,再求出 f ′(x) ,进一步求出 f ′(0) 的值.12．【答案】C【解析】【解答】画出函数 f(x) 的大致图象如下图，得出 x 1+x 2=−2 ， x 3x 4=1 ，①错、②正确； 且 −2<x 1<−1<x 2<0 ， 12<x 3<1<x 4<2 ，x 3+x 4=1x 4+x 4∈(2,52) ，则 x 1+x 2+x 3+x 4=−2+1x 4+x 4∈(0,12) ，③正确；因为 x 1x 2=x 1(−2−x 1)=−x 12−2x 1=−(x 1+1)2+1∈(0,1) ，所以 x 1x 2x 3x 4=x 1x 2∈(0,1)④正确.故选C.【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质可得 x 1+x 2=−2 ， x 3x 4=1 ，数形结合求出 −2<x 1<−1<x 2<0 ,12<x 3<1<x 4<2，进而可得结果. 13．【答案】12【解析】【解答】解:因为随机变量 ζ 服从正态分布 N(2,δ2) , 所以正态曲线关于 ζ=2 对称,所以 P(ζ<2)=12 .故答案为: 12.【分析】根据正态曲线的对称性,直接求解即可.14．【答案】（-9，1）【解析】【解答】解:因为 f(x)=lg(1−x) ,所以 f(f(x))=lg(1−f(x))=lg[1−lg(1−x)] .由 {1−lg(1−x)>01−x >0 ,得 {1−x <10x <1 ,所以 −9<x <1 , 所以函数 f(f(x)) 的定义域为 (−9,1) . 故答案为: (−9,1) .【分析】先求出 f(f(x)) ,然后根据对数函数的真数大于0,求出其值域.15．【答案】0【解析】【解答】解:因为 y =f(x) 是定义域为 (−∞,+∞) 的奇函数满足 f(−3−x)+f(x −1)=0 ,所以 f(0)=0 , f(x −1)=−f(−3−x)=f(x +3) , 则 f(x)=f(x +4) ,所以 f(x) 的周期 T =4 ,又 f(1)=1 ,所以 f(3)=f(−1)=−f(1)=−1 , f(4)=f(0)=0 ,令 x =−1 ,则 f(−3+1)+f(−2)=2f(−2)=0 ,所以 f(−2)=0 ,所以 f(2)=−f(−2)=0 , 所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0 ,所以 f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f(2020)= 504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0 . 故答案为:0.【分析】根据 y =f(x) 是定义域为 (−∞,+∞) 的奇函数满足 f(−3−x)+f(x −1)=0 ,得到 f(0)=0 和 f(x) 的周期,再结合 f(1)=1 ,求出 f(1) , f(1) , f(3) 和 f(4) 的值,进一步得到答案.16．【答案】①④【解析】【解答】解:①若函数 y =f(x) 的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为 π4 ,则 T 4=π4 ,所以 T =π ,所以 ω=2πT =2 ,故①正确; ②当 x ∈(−π3,π4) ,则 ωx −π3∈(−ωπ3−π3,ωπ4−π3) ,因为 ω>0 ,所以若函数 y =f(x) 在 (−π3,π4) 上单调递增,则 {−ωπ3−π3≥−π2ωπ4−π3≤π2 , 所以 ω≤12 ,又 ω>0 ,所以 0<ω≤12 ,故②错误;③当 ω=2 时, f(x)=√3sin(2x −π3)+1 ,则 f(0)=−12 ,f ′(x)=2√3cos(2x −π3) ,所以切线的斜率 k =f ′(0)=√3 ,所以 y =f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程为 2√3x −2y −1=0 ,故③错误;④当 ω=2 时, f(x)=√3sin(2x −π3)+1 ,当 x ∈[0,π2] 时, 2x −π3∈[−π3,2π3] ,所以当 sin(2x −π3)∈[−√32,1] ,所以 f(x)min =√3×(−√32)+1=−12,故④正确;⑤当 ω=2 时, f(x)=√3sin(2x −π3)+1 ,若 y =√3sin2x +1 的图象向右平移 π3 个单位, 则 y =√3sin[2(x −π3)]+1=√3sin(2x −2π3)+1≠f(x) ,故⑤错误.故答案为:①④.【分析】①根据条件,可得 T 4=π4,然后利用周期公式求出 ω ;②根据 f(x) 在 (−π3,π4) 上单调递增,可得 {−ωπ3−π3≥−π2ωπ4−π3≤π2 ,然后求出 ω 的范围;③当 ω=2 时,求出f (0)和f (x )的导函数,然后求出(0,f(0)) 处的切线方程的斜率 k =f ′(x) ,再求出切线方程即可;④根据 x ∈[0,π2] ,直接利用整体法求出f (x )的值域,从而得到f (x )的最小值;⑤直接求出函数 y =√3sin2x +1 的图象向右平移 π3 个单位的解析式即可.17．【答案】（1）解： ∵(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ， ∴(b −c)2=a 2−bc ， ∴b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理得 cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12， ∵0∘<A <180∘ ， ∴A =60∘（2）解：由余弦定理和基本不等式得 a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc ≥2bc −bc =bc ， ∴bc ≤a 2=36 ，当且仅当 b =c =a =6 时，等号成立，∴ΔABC 的面积 S ΔABC =12bcsinA ≤12×36×√32=9√3 .此时，由于 b =c =6 ， A =60∘ ，则 ΔABC 是等边三角形【解析】【分析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出 cosA =12，再结合角 A 的取值范围可得出角 A 的值；（2）对 a 利用余弦定理，利用基本不等式求出 bc 的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出 b =c ，可判断出此时 ΔABC 的形状.18．【答案】（1）解：根据茎叶图中的数据作出 2×2 列联表如表所示,根据 2×2 列联表中的数据,得 K 2=40×(10×4−16×10)226×14×20×20≈3.956>3.841 ,所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. （2）解：甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生人数为6. 由题意可知X 的取值分别为 X =0 , X =1 , X =2 ,则P(X =0)=C 22C 62=115 ； P(X =1)=C 21⋅C 41C 62=815 ； P(X =2)=C 42C 62=615 . ∴X 的分布列为其数学期望EX=0×115+1×815+2×615=43【解析】【分析】(1)根据茎叶图中的数据填写列联表,然后计算K2,再对照表得出结论;(2)先确定甲班人数X的所有可能取值,然后分别求其概率,再得到X的分布列和数学期望.19．【答案】（1）解：函数f(x)=lnxx 的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=1−lnxx2.令f′(x)>0，即lnx<1，解得0<x<e；令f′(x)<0，即lnx>1，解得x>e.因此，函数y=f(x)的递增区间是(0,e)，递减区间是(e,+∞)（2）解：要证lnx<2xe −x2e x，即证lnxx<2e−xe x，构造函数g(x)=2e−xe x，其中x>0.由（1）知，函数f(x)=lnxx 在x=e处取得极大值，亦即最大值，即f(x)max=f(e)=1e.∵g(x)=2e−xe x，∴g′(x)=x−1e x.令g′(x)<0，得0<x<1；令g′(x)>0，得x>1 .所以，函数y=g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞).则函数y=g(x)在x=1处取得极小值，亦即最小值，即g(x)min =g(1)=1e.∴f(x)max≤g(x)min，所以，lnxx<2e−xe x，因此，lnx<2xe−x2e x【解析】【分析】（1）求出函数y=f(x)的定义域和导数，然后分别解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，可得出函数y=f(x)的递增区间和递减区间；（2）要证lnx<2xe −x2e x，即证lnxx<2 e−xe x，构造函数g(x)=2e−xe x，证明出f(x)max≤g(x)min，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可.20．【答案】（1）解：设等差数列{log2(a n−1)}的公差为d，则2d=log2(a3−1)−log2(a1−1)=log28−log22=2，解得d=1，∵log2(a1−1)=log22=1，∴log2(a n−1)=1+(n−1)×1=n，∴a n−1=2n，∴a n=2n+1（2）解：∵b n=2a n−1=22n=12n−1，∴b n+1b n=12n12n−1=2n−12n=12，且b1=1，所以，数列{b n}是以1为首项，以12为公比的等比数列，则Sn=1×(1−12n)1−12=2(1−12n)，由于数列{S n}单调递增，S1=1，∴1≤S n<2，对任意n∈N∗，总有S n<m−43，∴m−43≥2，解得m≥10.因此，实数m的取值范围是[10,+∞).【解析】【分析】（1）设等差数列{log2(a n−1)}的公差为d，利用a1、a3求出d的值，可求出数列{log2(a n−1)}的通项公式，再利用对数式化指数式可求出a n；（2）求出数列{b n}的通项公式，利用定义判断数列{b n}为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出S n，可求出S n的取值范围，即可得出关于m的不等式，解出即可.21．【答案】（1）解：∵f(x)=f′(x)e x−1−f(0)x+12x2,∴f′(x)=f′(x)e x−1−f(0)+x,令x=1得, f(0)=1,即f(x)=f′(1)e x−1−x+12x2,令x=0得, f′(1)=e,∴函数f(x)的解析式为f(x)=e x−x+12x2（2）解：由(1)有g(x)=e x−x,则g′(x)=e x−1,∴(x−k)g′(x)+x+1=(x−k)(e x−1)+x+1,故当x>0时, (x−k)g′(x)+x+1>0等价于k<x+1e x−1+x(x>0)①,令ℎ(x)=x+1e x−1+x(x>0),则ℎ′(x)=−xe x−1(e x−1)2+1=e x(e x−x−2)(e x−1)2,令函数H(x)=e x−x−2,易H(x)在(0,+∞)上单调递增,而H(1)<0, H(2)>0,所以H(x)在(0,+∞)内存在唯一的零点,故ℎ′(x)在(0,+∞)内存在唯一的零点,设此零点为x0,则x0∈(1,2).当x∈(0,x0)时, ℎ′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时, ℎ′(x)>0.∴ℎ(x)在(0,+∞)内的最小值为ℎ(x0).又由ℎ′(x0)=0可得e x0=x0+2∴ℎ(x0)=x0+1e x0−1+x0=1+x0∈(2,3),∴k≤2,∴k<x+1e x−1+x(x>0)恒成立,则整数k的最大值为2.【解析】【分析】(1)直接对f(x)求导,然后令x=1,求出f′(0),再令x=0,求出f′(1),从而得到f(x)的解析式;(2)先求出g(x)的解析式,然后利用分离参数法求出k的范围,进一步得到整数k的最大值. 22．【答案】解：（Ⅰ）消去参数t，得到圆C的普通方程为(x−1)2+(y+2)2=9.由√2ρsin(θ−π4)=m，得ρsinθ−ρcosθ−m=0.所以直线l的直角坐标方程为x−y+m=0.（Ⅱ）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1−(−2)+m|2=2，解得m=−3±2√2【解析】【分析】(Ⅰ)消去参数可得圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程分别为(x−1)2+(y+2)2=9, x−y+m=0；(Ⅱ)由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得m=−3±2√223．【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=|x+1|+|x−2|.当x≤−1时，f(x)=−(x+1)+(2−x)=−2x+1≤5，解得x≥−2，此时−2≤x≤−1；当−1<x<2时，f(x)=x−1+2−x=1≤5成立，此时−1<x<2；当x≥2时，f(x)=x+1+x−2=2x−1≤5，解得x≤3，此时2≤x≤3.综上所述，不等式f(x)≤5的解集为[−2,3]（2）解：由于不等式f(x)≥4在R上恒成立，则f(x)min≥4.由绝对值三角不等式可得f(x)=|x+a|+|x−2|≥|(x+a)−(x−2)|=|a+2|，∴|a+2|≥4，即a+2≤−4或a+2≥4，解得a≤−6或a≥2.因此，实数a的取值范围是(−∞,−6]∪[2,+∞)【解析】【分析】（1）将a=1代入函数y=f(x)的解析式，然后分x≤−1、−1<x<2、x≥2三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式f(x)≤5，即可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出函数f(x)=|x+a|+|x−2|的最小值为|a+2|，由题意可得出|a+2|≥4，解出该不等式即可得出实数a的取值范围.。

（山东省潍坊市2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题）7.若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单一增区间是（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】【剖析】联合左加右减，获得新函数分析式，联合正弦函数的性质，计算单一区间，即可。

【详解】联合左加右减原则单一增区间知足，应选 A。

【点睛】本道题观察了正弦函数平移及其性质，难度中等。

（福建省宁德市2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）6.将函数的图象向右平移个单位，获得函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.C【答案】【分析】【剖析】联合左加右减，计算的分析式，联合余弦函数的性质，计算对称轴，即可。

【详解】联合左加右减原则对称轴知足，解得，当，，应选C。

【点睛】本道题观察了三角函数平移以及余弦函数的性质，难度中等。

（福建省宁德市2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）15.如图是某斜拉式大桥的部分平面构造模型，此中桥塔，与桥面垂直，且米，米，米.为上的一点，则当角达到最大时，的长度为__________米．【答案】 3【分析】【剖析】本道题利用正切角和公式以及对勾函数的性质,判断最大时的x 的值，即可。

【详解】设,令,则故当,解得时,最大,此时【点睛】本道题观察了正切角的和公式和对勾函数的性质，难度较大。

（湖北省2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）6.若在上是增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】利用协助角公式，化简函数的分析式，再依据正弦函数的单一性，求得m 的最大值．【详解】解：若f（ x）＝ sinx cosx＝ 2（sinx cosx）＝ 2sin（ x）在[ ﹣ m， m]（ m＞0）上是增函数，∴﹣ m，且m．求得 m，且m，∴ m，故m的最大值为，应选： C．【点睛】此题主要观察协助角公式，正弦函数的单一性，观察转变能力与计算能力，属于中档题．（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）6.将函数图象上各点的横坐标缩短到本来的，纵坐标不变，而后向左平移个单位长度，获得图象，若对于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】剖析：依据三角函数的图象变换关系求出的分析式，联合三角函数的图象进行求解即可.详解：将函数图象上个点的横坐标缩短到本来的，纵坐标不变，获得，而后向左平移，获得，因为，所以，当时，，函数的最大值为，要使在上有两个不相等的实根，则，即实数的取值范围是，应选 C.点睛：此题主要观察了三角函数的图象与性质，此中解答中求出函数的分析式以及利用整体变换法是解答的重点，侧重观察了学生剖析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题.（山东省德州市2019 届高三期末联考数学（理科）试题）17.已知函数的最小正周期为，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，获得函数的图像.（1）求函数的单一递加区间；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值.【答案】（ 1）（2）【分析】【剖析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（ x）的分析式，再依据正弦函数的单一求得函数f（ x）的单一递加区间．（2）先利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的分析式，在锐角△ ABC 中，由 g（）＝0，求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得bc 的最大值，可得△ABC 面积的最大值．【详解】（ 1）由题得：函数==，由它的最小正周期为，得，∴由，得故函数的单一递加区间是（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，获得函数的图像，在锐角中，角的对边分别为，若，可得，∴.因为，由余弦定理，得，∴，∴，当且仅当时获得等号 .∴面积，故面积的最大值为【点睛】此题主要观察三角恒等变换，函数y＝ Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单一性，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．（广西桂林、贺州、崇左三市2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）6.将函数（）图像向右平移个单位长度后与原函数图像重合，则的最小值为（）A.6B.C.2D.【答案】 A【分析】∵函数数（的图象向右平移个单位后与原图象重合，又，故其最小值是6．应选 A．【点睛】此题观察由的部分图象确立其分析式，此题判断出是周期的整数倍，是解题的重点．（湖南省长沙市2019 届上学期高三一致检测理科数学试题）9.已知是函数图象的一个最高点，是与相邻的两个最低点 .设，若，则的图象对称中心能够是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】【剖析】联合题意，分别计算各个参数，代入特别值法，计算对称中心，即可。

—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————“皖南八校”2019届高三第一次联考数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题題5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}{}20,21A x x x B x x =->=>，则A I B ＝A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞ 2．设i 是虚数单位，且20191i ki ki -=-，则实数k ＝ A ．2 B ．1 C ．0 D ．1- 3．函数()(0xf x a a =>且1)a ≠是增函数的一个充分不必要条件是 A ．102a <<B ．0<a<1C ．2<a<3D ．a>1 4．偶函数()f x 在(,0]-∞上是增函数，且(1)1f =-，则满足(23)1xf ->-的实数x 的取值范围是A ．(1,2)B ．(-1,0)C ．(0,1)D ．(-1,1) 5．如图在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，3BC EC =u u u r u u u r ，F 为AE 的中点，则BF u u u rA ．1233AB AD -u u u r u u u r B ． 2133AB AD -+u u ur u u u rC ．1233AB AD -+u u u r u u u r D ．2133AB AD -u u ur u u u r6．若函数cos sin y x x =+在区间（－a ，a ）上是单调函数，则实数a 的取值范围是 A ．(0,]π B ．3(0,]4π C ．(0,]2π D ．(0,]4π7．设不等式组220240330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，所表示的平面区城为M ，若直线(2)1y k x =--的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．3[,1]2-- C ．3(,]2-∞- D ．[1,3]- 8．设{}n a 是等差数列，185,11a a ==，且11,1n n n a b b b +=-=，则11b ＝ A ．59 B ．64 C ．78 D ．86 9．函数(4)log 1(0,1)x ay a a +=->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线1x ym n+=-上，且 m ＞0，n ＞0，则3m ＋n 的最小值为A ．13B ．16C ．1162+D ．28 10．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移个3π单位长度，再向上平移2个单位长度，得到()g x 的图象则()g x ）图象的一条对称轴为直线A ．12x π=B ．4x π=C ．3x π=D ． 512x π=11．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，若对任意1(0,),(())2x f f x x∈+∞-=恒成立，则1()6f 的值是A ．5B ．6C ．7D ．812．设函数()f x 在R 上存在导数'()f x ，对任意的x R ∈，有()()0f x f x --=，且[0,)x ∈+∞时，'()2f x x >．若(2)()44f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为A ．(,1]-∞ B. [1,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知α是第二象限角，且3sin 5α=，则sin()______4πα+= 14用{}min ,a b 表示a 、b 两个数中的最小，设11()min ,()4f x x x x⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象，x 轴与直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积为__________。

蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.2. 设是复数的共轭复数，且，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】，故.3. 若满足约束条件则的最小值为（）A. -3B. 0C. -4D. 1【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.4. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知等差数列的前项和为，且满足，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设等差数列的公差为,,联立解得，则，故选B.6. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由于角为第三象限角，故，.7. 已知，则（）A. 18B. 24C. 36D. 56【答案】B【解析】，故，.8. 已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”中应填的执行语句是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，要计算，首先，下一个应该加，再接着是加，故应填.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥和一个三棱锥组合而成.故体积为.10. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵点，关于直线对称，，又∵直线经过点，∴直线的方程为，的中点坐标为，∴，化简整理得，即，，解得，（舍去），故选C.11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.12. 定义在上的奇函数满足：当时，（其中为的导函数）.则在上零点的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】构造函数，，由于当时，，故当时，为增函数.又，所以当时，成立，由于，所以，由于为奇函数，故当时，，即只有一个根就是.【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，是两个不同的平面向量，满足：，则__________．【答案】【解析】，，解得，当时，两个是相同的向量，故舍去，所以.14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为__________．【答案】【解析】依题意有，，，故.15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点，若，则点的纵坐标为__________．【答案】【解析】由于三角形为直角三角形，而，即为中点，设，而，故，代入抛物线方程得，即点的纵坐标为.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先根据题目所给的条件画出图像，突破口就在题目所给条件，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得是的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可得到所求的结果.16. 已知满足，，，则__________．（用表示）【答案】【解析】依题意，与已知条件相加可得.....................三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角的对边分别为，且，（1）求的面积；（2）若，求的周长.【答案】(1) （2）的周长为【解析】【试题分析】（1）根据余弦定理，由得到，，在利用三角形面积公式可求得面积.（2）利用三角形内角和定理，有,展开后结合已知条件可求得.利用正弦定理求得，利用配方法可求得由此求得周长为.【试题解析】（1）∵，∴，即，∴；（2）∵，∴由题意，∴，∵，∴，∴∵，∴．∴的周长为．18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的大小为60°，求二面角的大小.【答案】(1)见解析（2）90°【解析】【试题分析】（1）由于是等边三角形，结合勾股定理，可计算证明三条直线两两垂直，由此证得平面，进而得到平面平面.（2）根据（1）证明三条直线两两垂直，以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用和所成角为计算出点的坐标，然后通过平面和平面的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.【试题解析】（1）∵，且是等边三角形∴，，均为直角三角形，即，，∴平面∵平面∴平面平面（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．令，，∴，，，．设，则，．∵直线与所成角大小为60°，所以，即，解得或（舍），∴，设平面的一个法向量为．∵，，则即令，则，所以．∵平面的一个法向量为，∵，，则即令，则，，∴．∴，故二面角的大小为90°．19. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布. （1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：，，，，，，，.【答案】(1) （2）①②生产线异常，需要进一步调试【解析】【试题分析】（1）依题意可知满足二项分布，根据二项分布的公式计算出，然后用减去这个值记得到的值.利用二项分布的期望公式，直接计算出的值.（2）分别计算出均值和标准差，计算的范围，发现不在这个范围内，根据原理可知需要进一步调试.【试题解析】（1）由题意知：或，，∵，∴；（2）①所以②结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．20. 已知椭圆经过点，离心率.（1）求的方程；（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】【试题分析】（1）依题意可知，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率斜率不存在时，不符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立.【试题解析】（1）因为椭圆，经过点，所以．又，所以，解得．故而可得椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线的方程为，即，联立，得．设，，则所以为定值，且定值为-1．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个，要确定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式，列方程组来求的椭圆的标准方程.考查直线和圆锥曲线位置关系，要注意直线斜率不存在的情况.21. 已知函数，（其中为自然对数的底数，）.（1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1) ，（2）【解析】【试题分析】（1）依题意求得切点为，斜率为，由此列方程组可求得的值.（2）将原不等式等价变形为，构造函数，利用导数求得的最大值为，由此求得的最小值. 【试题解析】（1），．（过程略）（2）令，则，当时，单调递增，而，∴时，不合题意当时，令，则，∵为减函数，∴时，，单调递增，时，，单调递减，∴，即．（△）但，等号成立当且仅当且．故（△）式成立只能即．【点睛】本题主要考查导数与切线有关的知识.考查利用导数解不等式恒成立问题.解决导数与切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，联络点在于切点的横坐标，以此建立方程组，求得未知参数的值.不等式恒成立问题往往可以考虑构造函数法，利用函数的最值来求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.（1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若与相交于两点，求.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）对方程两边乘以，由此求得曲线的普通方程.对的参数方程利用加减消元法可求得的普通方程.（2）将的参数方程代入，利用韦达定理和直线参数的几何意义，来求的弦长的值. 【试题解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（2）将的参数方程代入的方程，得，得：解得，∴．23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数与的图象恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，分别求解每一段的解集.由此计算不等式的解集.（2）先求得函数的最小值，求得函数的最大值，比较这两个数值的大小，即可求得有公共点时，实数的取值范围. 【试题解析】（1）当时，，由得，；（2），该二次函数在处取得最小值，因为函数，在处取得最大值故要使函数与的图象恒有公共点，只需要，即．。