新课标-最新苏科版九年级数学上学期《一元二次方程》复习测试题及答案-精编试题

初三数学期末复习四（一元二次方程）一、基础练习1.方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是一元二次方程，则____m =. 2.已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 .3．若2x 2－3xy －20y 2=0，且 y ≠0， 则x y= _________. 4．关于x 的方程0)12(2=++-a x a x 的根的情况（ ）（A ）有一个实数根 （B ）无实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个不等的实数根5.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )A ．x(x ＋1)＝1035B ．x(x －1)＝1035×2C ．x(x －1)＝1035D ．2x(x ＋1)＝10356．已知αβ，为方程2420x x ++=的两实根，则=-+βαα32 ． 7．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为_________.8.如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m 的值为_________。

9．解方程：①22)25(96x x x -=+- ②2410x x +-=（配方法） ③22(1)5(1)20x x ---+=二、例题精讲例1：（1）若关于x 的方程kx 2－6x+9=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。

（2）m 取何值时，关于x 的方程mx 2+2(m －1)x+ m －3=0有两个实数根?例2：已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．例3：学校广场有一段25米长的旧围栏（如图中用线段AB 来表示）。

苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》综合知识点分类训练一．一元二次方程的定义1．若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5＝0是一元二次方程，求m的值．2．已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？二．一元二次方程的一般形式3．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）＝5的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．4．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0化为一般式后为3x2+2x﹣1＝0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．三．一元二次方程的解5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（）A．2019B．2020C．2021D．20226．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a+的值应在（）A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间7．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为（）A．2017B．2018C．2019D．20208．已知x＝为一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，且a，b为有理数，则a＝，b ＝．9．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝．10．已知a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，求代数式的值．四．解一元二次方程-直接开平方法11．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n ＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5B．﹣1，3C．﹣3，1D．﹣1，512．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解．五．解一元二次方程-配方法13．用配方法解下列方程，其中应在两端同时加上4的是（）A．x2﹣2x＝5B．2x2﹣4x＝5C．x2+4x＝5D．x2+2x＝514．当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4＝0的根．六．配方法的应用15．下列各式：①x2+2x+6＝（x+1）2+5；②；③；④；⑤变形中，正确的有（）A．①④B．①C．④D．②④16．对关于x的二次三项式x2﹣4x+9进行配方得（x+m）2+n．（1）填空：m＝，n＝．（2）当x为何值时，此二次三项式的值为7．七．解一元二次方程-公式法17．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：x2+x＝﹣，…第一步x2+x+（）2＝﹣+（）2…第二步（x+）2＝…第三步x+＝（b2﹣4ac＞0）…第四步x＝…第五步（1）嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a ≠0）的求根公式是．（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0．八．解一元二次方程-因式分解法18．解方程x2﹣x﹣2＝0时，最适当的方法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法19．对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x等于（）A．3B．﹣4C．8D．3或820．一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是．21．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是．22．已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长是方程2x2﹣5x+3＝0的根，求三角形的周长．23．已知y1＝x2﹣9，y2＝3﹣x，当x为何值时，y1＝y2？九．换元法解一元二次方程24．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（）A．﹣5或1B．﹣1或5C．1D．525．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣1十．根的判别式26．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③27．关于x的一元二次方程nx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（）A．n＜且n≠0 B．n＞C．﹣≤n＜且n≠0 D．﹣＜n≤且n≠0 28．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则k 的值为（）A．10B．C．10或D．29．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④30．已知三个实数a，b，c满足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b2≥4ac B．a＞0，b2≤4ac C．a＜0，b2≥4ac D．a＜0，b2≤4ac31．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．32．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F 是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为（）A．﹣B．3﹣C．1+D．3十一．根与系数的关系33．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．34．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？十二．一元二次方程的应用35．某初三毕业班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2256张，如果设这个班有x个学生，则可列方程（）A．B．x（x﹣1）＝2256C．（x﹣1）2＝2256D．x（x+1）＝225636．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人37．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？38．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．39．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？40．某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空土，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？答案一．一元二次方程的定义1．解：由题意，得m2﹣5m+8＝2且m﹣2≠0，解得m＝3，m的值是3．2．解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得或或，解得k＝﹣1或k＝0．故当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程；（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得，解得k＝1．故当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程．二．一元二次方程的一般形式3．解：方程（2+x）（3x﹣4）＝5整理为一般式可得3x2+2x﹣13＝0，∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是﹣13，故3、2、﹣13．4．解：整理a（x+1）2+b（x+1）+c＝0得ax2+（2a+b）x+（a+b+c）＝0，则，解得，∴a2+b2﹣c2＝9+16＝25，∴a2+b2﹣c2的值的算术平方根是5．三．一元二次方程的解5．解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，则x﹣1＝2021，解得x＝2022，所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．故选：D．6．解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣2a＝1，∴2a2﹣4a+＝2（a2﹣2a）+＝2×1+＝2+．∵4＜5＜9，∴2＜＜3．∴4＜2+＜5．即代数式2a2﹣4a+的值应在4和5之间．故选：A．7．解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，则＝2020a﹣1﹣2019a+＝a﹣1+＝﹣1＝﹣1＝2019．故选：C．8．解：因为x＝＝﹣1，代入x2+ax+b＝0得（﹣1）2+（﹣1）a+b＝0，则a+（﹣a+b）＝2﹣6，可得方程组，解得．故2，﹣4．9．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，则原式＝m2+2m+m+n＝m2+2m+（m+n）＝2021﹣2＝2019．故2019．10．解：∵a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，∴a2+3a+1＝0，∴a2+3a＝﹣1，∴＝＝＝＝﹣3．四．解一元二次方程-直接开平方法11．解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．12．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣3．故x3＝0，x4＝﹣3．五．解一元二次方程-配方法13．解：A．由x2﹣2x＝5得x2﹣2x+1＝5+1，不符合题意；B．由2x2﹣4x＝5得x2﹣2x＝，所以x2﹣2x+1＝+1，不符合题意；C．由x2+4x＝5得x2+4x+4＝5+4，符合题意；D．由x2+2x＝5得x2+2x+1＝5+1，不符合题意；故选：C．14．解：解不等式x+1＜3x﹣3，得：x＞2，解不等式3（x﹣4）＜2（x﹣4），得：x＜4，则不等式组的解集为2＜x＜4，∵x2﹣2x＝4，∴x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，则x﹣1＝±，∴x＝1或x＝1﹣，∵2＜x＜4，∴x＝1．六．配方法的应用15．解：①x2+2x+6＝x2+2x+1+5＝（x+1）2+5，变形正确；②，变形错误；③原式＝（x+）2+，变形错误；④，变形正确；⑤+，变形错误；故选：A．16．解：（1）x2﹣4x+9＝（x﹣2）2+5，∴m＝﹣2，n＝5，故﹣2，5；（2）由题意可得，x2﹣4x+9＝7，解得，x1＝2+，x2＝2﹣，当x为或2﹣时，此二次三项式的值为7．七．解一元二次方程-公式法17．解：（1）嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是x＝；故四；x＝；（2）x2﹣2x＝24，配方得：x2﹣2x+1＝24+1，即（x﹣1）2＝25，开方得：x﹣1＝±5，解得：x1＝6，x2＝﹣4．八．解一元二次方程-因式分解法18．解：由于方程中一次项系数时无理数，所以，解方程x2﹣x﹣2＝0时，最适当的方法是公式法，故选：C．19．解：当x≥﹣2时，x2+x﹣2＝10，解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合题意，舍去）；当x＜﹣2时，（﹣2）2+x﹣2＝10，解得：x＝8（不合题意，舍去）；∴x＝3．故选：A．20．解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x＝6或﹣2，∵一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，∴这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是×6×|﹣2|＝6，故6．21．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，故14．22．解：解方程2x2﹣5x+3＝0得：x＝1.5或1，当x＝1.5时，三角形的三边为1，2，1.5，此时三角形的三边符合三角形三边关系定理，即三角形的周长为1+2+1.5＝4.5；当x＝1时，三角形的三边为1，2，1，此时三角形的三边不符合三角形三边关系定理，即三角形不存在；所以三角形的周长为4.5．23．解：x2﹣9＝3﹣x，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0，x﹣3＝0，x1＝﹣4，x2＝3，即当x为﹣4或3时，y1＝y2．九．换元法解一元二次方程24．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．即x2﹣2x+1的值为1．故选：C．25．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．十．根的判别式26．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△＝b2﹣4a≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴△＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4a＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．27．解：∵关于x的一元二次方程nx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣）2﹣4n×2＞0且n≠0，4n+3≥0，解得﹣≤n＜且n≠0，故选：C．28．解：当5为腰长时，将x＝5代入原方程得25﹣7×5+k＝0，解得：k＝10，∴原方程为x2﹣7x+10＝0，∴x1＝2，x2＝5，长度为2，5，5的三条边能围成三角形，∴k＝10符合题意；当5为底边长时，△＝（﹣7）2﹣4k＝0，解得：k＝，∴原方程为x2﹣7x+＝0，∴x1＝x2＝，长度为，，5的三条边能围成三角形，∴k＝符合题意；综上，k的值为10或，故选：C．29．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴△＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：A．30．解：设y＝ax2+bx+c，∵a+b+c＝0，a﹣b+c＞0∴方程ax2+bx+c＝0有实数根，即b2﹣4ac≥0．由题意知，a+c＝﹣b，a+c＞b，∴﹣b＞b，即b＜0，又∵ab＜0，∴a＞0．故选：A．31．解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．32．解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，∵C C2∥DE，C C2＝DE，∴四边形C1DEC2是平行四边形，∴C1D＝C2E，又∵CC1关于AB对称，∴CD＝C1D，∴CD+EF＝C2F，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴CN＝，AN＝3，过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，∴MN＝C1C2＝，∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，∴∠MC2E＝∠A＝30°，在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，∴EF＝1﹣，∴C2F＝2+1﹣＝3﹣．故选：B．十一．根与系数的关系33．解：（1）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）存在．根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，∵α2+β2﹣αβ＝6，∴（α+β）2﹣3αβ＝6，即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，∵m≤；∴m的值为﹣1．34．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，∴m＝1，∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，解得：x1＝x2＝，∴菱形ABCD的边长是．（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，解得：m＝．将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，∴方程的另一根AD＝1÷2＝，∴▱ABCD的周长是2×（2+）＝5．十二．一元二次方程的应用35．解：若这个班有x个学生，则每名同学要送出贺卡（x﹣1）张，又因为是互送相片，所以总共送的张数应该是x（x﹣1）＝2256．故选：B．36．解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，则第一轮传染了x人，第二轮传染了（x+1）x人，根据题意得：1+x+（x+1）x＝121，解得：x＝10或x＝﹣12（舍去）．故选：B．37．解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．答：每天的销售利润为1050元．（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为50元．38．解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，依题意得：7.5﹣x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%设m%＝a，方程可化为：1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7化简得：32a2+54a﹣35＝0解得a＝0.5或a＝﹣（舍）∴m＝50答：m的值为50．39．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，整理，得：x2+2x﹣80＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染8个人．（2）81+81×8＝729（人）．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．40．解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532．整理，得x2﹣35x+34＝0．解得，x1＝1，x2＝34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x＝1．答：小道进出口的宽度应为1米。

苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》（难题）单元测试（一）一、选择题1.关于x的一元二次方程x2−6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A. k≥9B. k<9C. k≤9且k≠0D. k<9且k≠02.已知正数a，b是关于x的一元二次方程x2−4x−m2+2m+1=0的两个实数根，若a，b为菱形对角线的长，菱形的面积存在最大值，则m的值为()A. 2B. −1C. 1D. 任何实数3.已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2+4m−5=0的一个根为0，则m的值为()A. 1B. −5C. 1或−5D. m≠1的任意实数4.已知菱形ABCD的边长为方程x 2−9x+20=0的一个根且一条对角线长为8，则菱形ABCD的周长为()A. 16B. 32C. 20D. 16或205.有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中，ac≠0，a≠c，下列四个结论中错误的是()A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数B. 如果4是方程M的一个根，那么1是方程N的另一个根4C. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两符号也相同D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=16.如果关于x的一元二次方程x2−px+q=0的两个根分别x1=−3,x2=2，那么p,q的值分别是()A. 1，−6B. −1，−6C. −1，6D. 1，67.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法中错误的是()A. 当a>0，c<0时，方程一定有实数根B. 当c=0时，方程至少有一个根为0C. 当a>0，b=0，c<0时，方程的两根一定互为相反数D. 当ac>0时，方程的两个根同号，当ac<0时，方程的两个根异号8.在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC=16m，BD=12m，动点M从点A出发沿AC方向以2m/s的速度匀速直线运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1m/s的速度匀速直线运动到点D，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动．若点M，N同时出发，△MON的面积为1m2时，则运动时间不可能为()A. (5+√2)sB. (5−√2)sC. 5sD. (5+√3)s9.已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为()A. 0B. 1C. 3D. 不确定10.ΔABC的三边长都是方程x2−6x+8=0的解，求此三角形的周长()A. 12B. 10或12或8或6C. 10D. 12或10或6二、填空题11.已知x1，x2是一元二次方程x2+2x−4=0的两根，则(x1−1)(x2−1)=．12.已知x1、x2是关于x的方程x2+ax−2b=0的两实数根，且x1+x2=−2，x1⋅x2=1，则b a=_____ ．13.在一块长为35m，宽26m的矩形绿地上有宽度相同的两条路，如图所示，其中绿地面积为850m2，设小路的宽为Xm，根据题意列方程_____14.关于x的方程(k−1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是____________．15.某钢铁厂去年1月某种钢发产量为2000吨，3月上升到2420吨，这两个月平均每月增长的百分率为x，列方程为．16.已知方程x2−2x−5=0的两个根是m和n，则2m+4n−n2的值为______ ．三、解答题17.关于x的一元二次方程x2+4x+2m=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若x1，x2是一元二次方程x2+4x+2m=0的两个根，且x12+x22=9，求m的值．18.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元，第二周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元．(1)第二周单价降低x元后，这周销售的销量为________(用x的关系式表示)．(2)求这批旅游纪念品第二周的销售价格．19.阅读题例，解答下题：例：解方程x2−|x|−2=0(1)当x≥0时，x2−x−2=0，解得：x1=−1(不合题意，舍去)，x2=2(2)当x<0时，x2+x−2=0，解得：x1=1(不合题意，舍去)，x2=−2综上所述，原方程的解是x=2或x=−2依照上例解法解方程x2−|x−1|−1=0．20.已知关于x的方程x2−2√2(k−1)x+2k2−2k−10=0．(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2)若以方程x2−2√2(k−1)x+2k2−2k−10=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰的图象上，求满足条件的m的最小值．在反比例函数y=mx21.阅读下面的材料：例题：解方程x4−5x2+4=0。

【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。

苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》练习题-带答案基础巩固提优1.用公式法解一元二次方程3x²−4x=8时，化方程为一般式，当中的a、b、c 依次为( ).A. 3、一4、8B. 3、4、8C. 3、4、—8D. 3、—4、—82.以x=b±√b2−4c2为根的一元二次方程可能是( ).A.x²+bx+c=0B.x²+bx−c=0C.x²−bx+c=0D.x²−bx−c=03.把方程53x+13=x2−13化为一般形式是 ,其中 a= ,b= ,c=,b²−4ac=,方程的根是x₁=。

4.定义新运算“*”，规则为a∗b={a(a≥b),b(a<b),如3∗1=3,(−√5)∗√2=√2若x²+x−1=0的两根为x₁、x₂,则.x₁∗x₂= 5.用公式法解下列一元二次方程：(1)5x²+2x−1=0;(2)5x²−10x=−5。

6.解方程：(1)x²+2x−5=0;(2)2x²−3x−6=0;(3)10x²−9x+2=0;(4)6x²−4x+7=0。

7.当x为何值时，代数式5x²−x的值与4x—2的值互为相反数.思维拓展提优8. 下列方程适合用公式法解的是( ).A.(x−3)²=2B.325x²−326x+1=0C.x²−100x+2500=0D.2x²+3x−1=09.方程2x²−6x−1=0的负数根为 .10.已知a²+ab−b²=0且ab≠0,则 ba的值为 .11.用公式法解下列一元二次方程：(1)x2+118=23x;(2)3x²−2=2x。

(3)(x+1)(x—3)=1.12. 解关于x 的方程:(m−1)x²+2mx+m+3=013.对于实数a、b，新定义一种运算“※”:(a※b={ab−b2(a≥b),b2−ab(a<b),例如:∵4>1,∴4※1=4×1--1²=3.(1)计算:2※(--1)= ,(--1)※2= ;(2)若x₁和x₂是方程.x²−5x−6=0的两个根且x₁<x₂,,求x₁※x₂的值;(3)若x※2与3※x 的值相等,求x的值.14.有长为 30米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10米)，围成中间隔有一道篱笆(平行于 AB)的矩形花圃，设花圃的一边 AB 为x 米，面积为y 平方米. (1)用含x 的代数式表示y ；(2)如果要围成面积为 63 平方米的花圃，AB 的长是多少?(3)能围成面积为 78平方米的花圃吗? 若能，求出AB 的长；若不能，请说明理由.延伸探究提优15.欧几里得的《几何原本》中记载了形如 x²−2bx +4c²=0(b ⟩2c >0)的方程根的图形解法：构造 Rt△BAC ，AD 为斜边中线，且 AD =12BC,作AE⊥AD,与BC 的延长线交于点E.设DE=b,AE=2c,则 x²−2bx +4c²=0较小的根是( ).A. BD 的长度B. CE 的长度C. AC 的长度D. AE 的长度 16.请阅读下列材料：我们规定一种运算： |a c bd |=ad −bc,例如： |2345|=2×5−3×4=10−12=−2,按照这种运算的规定，请解答下列问题. (1)直接写出 |−12−20.5|的计算结果；(2)当x取何值时，|x0.5−x12x|=0;(3)若直接写出x 和y的值.17.如图,在△ABC 中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC,垂足为D,BD=2,DC=3,求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以 AB、AC 为对称轴,画出△ABD、△ACD的轴对称图形，点D 的对称点分别为点E、F,延长EB、FC 相交于点G,求证:四边形 AEGF 是正方形；(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.中考提分新题18.一元二次方程x²+4x−8=0的解是( ).A.x1=2+2√3,x2=2−2√3B.x1=2+2√2,x2=2−2√2C.x1=−2+2√2,x2=−2−2√2D.x1=−2+2√3,x2=−2−2√3参考答案1. D [解析]3x²−4x=8,化为一般式为3x²−4x−8=0,则a=3,b=—4,c=—8.故选D.2. C [解析]由题意，可知二次项系数为1，一次项系数为--b,常数项为c.故选 C.3.3x²-5x-2=0 3 —5 —2 49-1324−1+√52[解析]x²+x−1=0∵a=1,b=1,c=-1∴△=1-4×(-1)=5>0.∴x=−b±√b2−4ac2a =−1±√52.∴x1=−1+√52,x2=−1−√52.∴−1+√52>−1−√52,∴x1∗x2=−1+√52.5.(1)x1=−1+√65,x2=−1−√65(2)x₁=x₂=16.(1)x1=−1+√6,x2=−1−√6(2)x1=3+√574,x2=3−√574(3)x1=25,x2=12(4)∵△=(−4)²−4×6×7=−152<0;∴原方程无解.7.由题意，得5x²−x+4x−2=0,即5x²+3x−2=0,∴x=−3±√9+4010=−3±710,∴x1=−1,x2=25.故当x=--125₅时，代数5x²−x的值与4x—2的值互为相反数.8. D [解析]根据方程的特点及各方法的优缺点解答即可.A.此方程适合直接开平方法求解；B.此方程不适合用公式法求解；C.此方程适合配方法求解；D.此方程适合公式法求解.9.3−√11210.1±√52 [解析]由题意，得a≠0，等式两边同除a²，得1+ba−(ba)2=0令ba=t,则t²−t−1=0,解得t=1±√52,故ba=1±√52.11.(1)整理,得18x²−12x+1=0,∴△=144-4×18×1=72∘x=12±√722×18=2±√26.∗x1=2+√26,x2=2−√26.(2)整理,得3x²−2x−2=0,∴△=(−2)²−4×3×(−2)=28>0.∴x=2±√282×3=1±√73.∴x1=1+√73,x2=1−√73.(3)x1=1+√5,x2=1−√512.当m-1=0,即m=1时,方程为一元一次方程,解得x=-2;当m—1≠0，即m≠1时，方程为一元二次方程①当Δ>0,即4m²-4(m--1)(m+3)>0时,解得m<32,此时x1=−m+√3−2mm−1x2=−m−√3−2mm−1;②当△=0,即m=32时此时x₁=x₂=−3;③当Δ<0,即m>32时，方程无解.解后反思本题考查了分类讨论的思想，考虑问题要全面.13.(1)—3 6 [解析]由题意,得2※(—1)=2×(-1)-(-1)²=-2-1=-3;(-1)※2=2²-(-1)×2=4+2=6.(2)解方程x²−5x−6=0,得x₁=−1,x₂=6,所以x₁※a x₂=(−1)×6=6²−(−1)×6=42.(3)当x<2时,2²−2x=3x−x²整理得x²−5x+4=0解得x₁=1,x₂=4(舍去);当2≤x≤3时,2x−2²=3x−x²整理，得x²−x−4=0,解得x1=1+√172,x2=1−√172(舍去);当x>3时,2x−2²=x²−3x整理，得.x²−5x+4=0解得x₁=1(舍去)x₂=4。

第一章《一元二次方程》 一、选择题（每题3分，共24分） 1.下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.1122=+xx B.ax 2+bx+c=0 C 、x(x+2)=(x-1)(x-2) D. （x-1）(x+2)=1 2已知关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的一个根是2，则k 的值是（ ）A.-2B.2C.1D.-13. 若一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-44. 一元二次方程5x 2-7x+5=0的根的情况为（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根5. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程为（ ）A.（22-x ）(17-x)=300B.(22-x)(17-x)-x 2=300C.(22-x)(17-x)+x 2=300D.22×17-x 2=3006. 若分式3652-+-x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A.3 B.2 C.3或2 D.-37.已知一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长为方程（x-2）(x-4)=0的根，则这个三角形的周长为（ ）A.11B.11或13C.13D.以上选项都不正确8. 若方程()2519x -=的两根为a 和b ，且a b >，则下列结论中正确的是 （ ）A ．a 是19的算术平方根B ．b 是19的平方根C.5a -是19的算术平方根 D ．5b +是19的平方根 二、填空题：（每小题3分，共30分）9.若方程kx 2+x=3x 2+1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是 .10. 如果a+b+c=0,则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0,一定有一个根是 .11.若将方程x 2+6x=7化为（x+m ）2=16，则m= .12.已知方程4x 2=（1-x ）2，则x= .13. 已知关于x 的方程x ²－23x －k =0有两个相等的实数根，则k 的值为14.已知一个一元二次方程的根是3和-4，那么这个方程是 （写出一个符合要求的方程即可）.15.若（a 2+b 2+1）2=9,则a 2+b 2= .16.若关于x 的一元二次方程（2a+6）x 2+4x+2a 2-18=0的一个根是0，则a= .17. 已知x m =时，多项式2x x n ++的值为1-，则x m =-时，该多项式的值为 ．18.如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点P 从点A 开始沿AB 边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 和CD 边向D 点以2cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，△PBQ 的面积等于8cm 2．三、解答题：（共96分）19.（共20分）用适当方法解下列方程：（1）x²-2x-624=0 （2）4x 2-5x+1=0（3）4（2x-1）2-9(x+1)2=0 (4)x-3=4(x-3)220.（8分）已知实数m 是关于x 的方程2x 2-3x-1=0的一根，求代数式4m 2-6m-2017的值.21.（8分）对于二次三项式x 2-10x+36，小聪同学作出如下结论：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于10，你同意他的说法吗？说明你的理由.22.（8分）已知：关于x 的方程01222=-++m mx x 。

苏科版数学专题复习《一元二次方程》中考试题精选一．选择题（共11小题）1．若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则a+b的值是（）A．±2 B．±4 C．2 D．42．若x2﹣2x﹣5＝0的一个解为a，则a（2a﹣3）+a（1﹣a）的值为（）A．5 B．2√6+4C．√6D．﹣5 3．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6y+2＝0 B．ax2﹣bx+c＝0 C．1x2+x=2D．x2＝04．2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.585．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝827．若关于x的一元二次方程mx2+x﹣m2+1＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或18．若一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1 且k≠0 C．k≤1 D．k＜﹣19．解方程2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是（）A．直接开方法B．配方法C．公式法D．分解因式法10．将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（）A．（x+4）2＝3 B．（x+2）2＝﹣3 C．（x+2）2＝3 D．（x+2）2＝﹣5 11．某工厂由于管理水平提高，生产成本逐月下降．原来每件产品的成本是1600元，两个月后降至900元，若产品成本的月平均降低率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．1600（1﹣x ）2＝900B ．1600（1﹣2x ）＝900C ．1600（1﹣x 2）＝900D ．1600（1﹣x ）＝900 二．填空题（共5小题）12．一元二次方程x 2+3x +1＝0的根的判别式的值为 ．13．已知a ，b 是一元二次方程x 2+5x ﹣3＝0的两个根，则1b +1a 的值为 ． 14．2023“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为80元/盒的吕梁沙棘汁，按150元/盒的价格进行销售，每天可售出160盒．后经市场调查发现，当每盒价格降低1元时，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，设每盒价格降低x 元，则可列方程为 ．15．若实数a 、b 分别满足a 2﹣3a +2＝0，b 2﹣3b +2＝0，且a ≠b ，则1a +1b = ．16．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．三．解答题（共4小题）17．据统计，目前某市5G 基站的数量约1.5万座，计划到2023年底，全市5G 基站数是目前的4倍，到2025年底，全市5G 基站数最将达到17.34万座．（1）计划到2023年底，全市5G 基站的数量是多少万座？（2）求2023年底到2025年底，全市5G 基站数量的年平均增长率．18．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +2）x +k ﹣1＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）已知12是关于x 的方程x 2﹣（k +2）x +k ﹣1＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长．①求k的值；②求△ABC的周长．19．已知关于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值．20．按照指定方法解下列方程：（1）3x2﹣4x+1＝0（配方法）；（2）2x2−2√2x+1=0（公式法）；（3）3x（x﹣2）＝2x﹣4．。

1.2 一元二次方程的解法（练习题）-苏科版数学九年级上册一．选择题1．对于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，则b2a＝（）A．2B．C．﹣D．2．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，则a的值为（）A．7B．8C．9D．7或83．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（）A．4或5B．3C．D．3或4．无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（）A．非负数B．0C．正数D．负数5．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（）A．3，12B．﹣3，12C．3，6D．﹣3，67．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≥0且a≠1C．a＞0D．a＞0且a≠1 8．基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+＝6，当且仅当a＝3时取等号，a+的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x＞1，则4x+的最小值是（）A．6B．8C．10D．129．已知多项式A＝x2+4x+n2，多项式B＝2x2+6x+3n2+3．①若多项式x2+4x+n2是完全平方式，则n＝2或﹣2；②B﹣A≥2；③若A+B＝2，A•B＝﹣6，则A﹣B＝±8；④若（2022﹣A）（A﹣2018）＝﹣10，则（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；⑤代数式5A2+9B2﹣12A•B﹣6A+2031的最小值为2022．以上结论正确的为（）A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①④⑤10．欧几里得的《几何原本》中记载了形如x2﹣2bx+4c2＝0（b＞2c＞0）的方程根的图形解法：如图，画Rt△ABC，使∠C＝90°，AC＝2c，AB＝b，以B为圆心，BC为半径画圆，交射线AB于点D、E，则该方程较大的根是（）A．CE的长度B．CD的长度C．DE的长度D．AE的长度二．填空题11．若实数x满足2x2+5x+++1＝0，则x2+＝．12．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是．13．已知等腰三角形的腰长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，其底边长为6，则底边上的高长为．14．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是．15．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是．三．解答题16．解方程：（1）2x2﹣4x﹣1＝0；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．17．先化简，再求值：+÷（x+2y+），其中x、y满足x2+2x+10+y2﹣6y＝0．18．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若x＝2是方程的根，则m的值为．19．【阅读材料】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：（1）当x取何值时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值？最小值是多少？（2）当x＝时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值为．20．在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为．（2）求代数式x2+10x+32的最小值．（3）你认为代数式﹣+2x+5有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．（4）若7x﹣x2+y﹣11＝0，求x+y的最小值．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵a2+2a+b2﹣4b+5＝0，∴a2+2a+1+b2﹣4b+4＝0．∴（a+1）2+（b﹣2）2＝0．∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣1，b＝2，∴b2a＝2﹣2＝．故选：D．2．【解答】解：①当m＝n时，∵m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（a+1）＝0，解得，a＝8，∴关于x的方程为x2﹣6x+9＝0，解得：m＝n＝3，∵m+n＞4，∴m，n，4为边能组成三角形；②m＝4或n＝4时，∴4是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的根，∴42﹣6×4+a+1＝0，解得：a＝7，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0，解得：m＝2，n＝4，∵m+n＞4，∴m，n，4为边能组成三角形；综上所述：a的值为7或8．故选：D．3．【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，分为两种情况：①当直角边为4和5时，第三边（斜边）的长为＝；②当4为直角边，5为斜边时，第三边（为直角边）的长为＝3，所以第三边长为3或，故选：D．4．【解答】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+6b+9）+1＝（a﹣1）2+（b+3）2+1，∵（a﹣1）2≥0，（b+3）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+3）2+1＞0，即原式的值总是正数．故选：C．5．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．6．【解答】解：∵x2﹣6x+3＝0，∴x2﹣6x＝﹣3，则x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6，∴x＝﹣3，b＝6，故选：D．7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×（﹣1）＝4a≥0，解得a≥0，又∵a﹣1≠0，∴a≥0且a≠1，故选：B．8．【解答】解：4x+＝4x﹣4++4＝4（x﹣1）++4，∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴4x+＝4（x﹣1）++4≥2+4＝8，∴4x+的最小值是8．故选：B．9．【解答】解：①∵多项式x2+4x+n2是完全平方式，∴n＝±2，故结论正确；②∵B﹣A＝2x2+6x+3n2+3﹣（x2+4x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，而（x+1）2+2n2≥0，∴B﹣A≥2，故结论正确；③∵A+B＝2，A•B＝﹣6，∴（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝﹣4×（﹣6）＝64，∴A﹣B＝±8，根据②A﹣B＝﹣8故结论错误；④∵（2022﹣A+A﹣2018）2＝（2022﹣2018）2＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2（2022﹣A）（A﹣2018）＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2×（﹣10）＝16，∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；故结论正确；⑤5A2+9B2﹣12A•B﹣6A+2031＝4A2+9B2﹣12A•B+A2﹣6A+9+2022＝（2A﹣3B）2+（A﹣3）2+2022，∵（2A﹣3B）2≥0，（A﹣3）2≥0，当A＝3，B＝2时有最小值为2022，但是根据②B﹣A≥2，∴结论错误．故选B．10．【解答】解：∵x2﹣2bx+4c2＝0，∴x2﹣2bx＝﹣4c2，则x2﹣2bx+b2＝b2﹣4c2，∴（x﹣b）2＝b2﹣4c2，∴x﹣b＝±，∴x1＝b+，x2＝b﹣，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2c，AB＝b，∴BC＝＝，∴方程较大的根为AB+BC＝AB+BE＝AE的长度，故选：D．二．填空题11．【解答】解：∵2x2++5x++1＝0，∴2x2+4++5x+﹣3＝0，∴2（x2+2+）+5（x+）﹣3＝0．∴2（x+）2+5（x+）﹣3＝0．∴[2（x+）﹣1][（x+）+3]＝0．∴x+＝或x+＝﹣3．∴（x+）2＝或（x+）2＝9．∴x2+2+＝或x2+2+＝9．∴x2+＝﹣（不合题意舍去）或x2+＝7．故答案为：7．12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4m≥0且m≠0，解得：m≤且m≠0，故答案为：m≤且m≠0．13．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，则x﹣3＝0或x﹣4＝0，若腰长为3，此时三边长度为3、3、6，不符合三角形三边关系；若腰长为4，此时三边长度为4、4、6，符合三角形三边关系；底边长的高的长度为＝，故答案为：．14．【解答】解：x2﹣8x﹣5＝0，x2﹣8x＝5，x2﹣8x+42＝5+42，（x﹣4）2＝21，所以a＝﹣4，b＝21，故答案为：﹣4，21．15．【解答】解：方程2x2﹣9x+4＝0，分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x＝或x＝4，当x＝时，+2＜4，不能构成三角形，舍去，则三角形周长为4+4+2＝10．故答案为：10．三．解答题16．【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣2x﹣＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝﹣．17．【解答】解：原式＝+×，＝+×，＝+，＝，化简x2+2x+10+y2﹣6y＝0得，（x+1）2+（y﹣3）2＝0，∵（x+1）2、（y﹣3）2均大于或等于0，∴（x+1）2、（y﹣3）2均等于0，解得：x＝﹣1，y＝3，代入得：原式＝﹣．18．【解答】（1）证明：2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0，Δ＝（﹣3m）2﹣4×2×（m2+m﹣3）＝9m2﹣8m2﹣8m+24＝m2﹣8m+24＝（m﹣4）2+8，因为不论m为何值，（m﹣4）2≥0，即Δ＞0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：把x＝2代入方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0得：2×22﹣3m×2+m2+m﹣3＝0，整理得：m2﹣5m+5＝0，解得：m＝，故答案为：．19．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因为（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因为（x+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，当x＝﹣2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；故答案为：﹣2；4．20．【解答】解：（1）（x﹣1）2+3的最小值为3．故答案为：3；（2）x2+10x+32＝x2+10x+52﹣52+32＝（x+5）2+7，∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7，∴当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值为7，∴x2+10x+32的最小值为7；（3）﹣+2x+5＝﹣（x2﹣6x+9）+8＝﹣（x﹣3）2+8，∵﹣（x﹣3）2≤0，∴﹣（x﹣3）2+8≤8，∴代数式﹣+2x+5有最大值，最大值为8；（4）∵7x﹣x2+y﹣11＝0，∴y＝x2﹣7x+11，∴x+y＝x2﹣7x+11+x＝x2﹣6x+11＝x2﹣6x+32﹣32+11＝（x﹣3）2+2，∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2+2≥2，当（x﹣3）2＝0时，（x﹣3）2+2的值最小，最小值为2，∴x+y的最小值为2．。

苏科版九年级数学上册《1.1 一元二次方程》练习题-附答案基础巩固提优1.下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是( ).A.ax²+bx+c=0B.x²+1=(x+1)(x−2)C.3x²+1=0D.2x2−2x2.为增强学生体质，丰富学生的课外生活，为同学们搭建一个互相交流的平台，学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环(参赛的每两队间比赛一场)，根据场地和时间等条件，学校计划安排15场比赛.设学校应邀请x 个队参赛，根据题意列方程为( ).A. x(x+1)=15B. x(x--1)=15C.12x(x+1)=15D.12x(x−1)=153.若关于 x 的一元二次方程2x²+(k+8)x−(2k—3)=0的各项系数之和为5,则k 的值为 .4. 已知方程ax²+bx−6=0与方程ax²+2bx−15=0有一个公共解是3，求a、b的值.5.如果关于x 的方程 (m −3)x |m−1|−x +3=0是一元二次方程，求m 的值.6.已知关于x 的方程( (m +1)x m 2+1+(m −3)x −1=0.(1)当m 取何值时，此方程是一元二次方程?(2)当m 取何值时，此方程是一元一次方程?思维拓展提优7.已知 2+√3是关于 x 的一元二次方程 x²−4x+m=0的一个实数根，则实数m 的值是( ).A. 0B. 1C. —3D. —18.已知 x²−3x −4=0,则代数式 xx 2−x−4的值是( ).A. 3B. 2 C 13 D 12实验班提优训练9.若实数x 满足x2−2√2x−1=0,则x2+1x2= .10.若9a-3b+c=0且a≠0,则一元二次方程ax²+bx+c=0必有一个根是 .11.已知关于x 的方程(k−1)x²+(k+2)x−3=0.(1)当k 为何值时，此方程为一元一次方程?并求出此方程的解.(2)若此方程为一元二次方程，求k 的取值范围.12.先化简,再求值:a−2a2−1÷(a−1−2a−1a+1),其中a是方程x²−x−1=0的根.13.已知关于x 的一元二次方程(x—1)(x-2)=m+1(m 为常数).(1)若它的一个实数根是关于x 的方程-3(x-m)+6=0的根,求m的值;(2)若它的一个实数根是关于x的方程2(x一n)-4=0的根,求证::m--n≥-1.14.如图，某小区规划在一个长为 40 m、宽为26m的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都为144 m²，求甬路的宽度.(根据题意列出方程即可)延伸探究提优15.教材或资料中会出现这样的题目：把方程12x2−x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答.(1)下列式子中，哪几个是方程12x2−x=2所化的一元二次方程的一般形式? (答案只写序号)circle112x2−x−2=0;circle2−12x2+x+2=0;circle3x2−2x=4;circle4−x2+2x+4=0;circle5√3x2−2√3x−4√3=0.(2)方程12x2−x=2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系?16.请阅读下列材料：问题：已知方程x²+x−1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为y，则y=2x，即x=y2.把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−1=0,化简，得y²+2y−4=0,故所求方程为y²+2y−4=0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：(1)已知方程x²+3x−2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；(2)已知关于 x 的一元二次方程ax²−bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.中考提分新题17.已知m为方程x²+3x−2022=0的根，那么m³+2m²−2025m+2022的值为( ).A. —2022B. 0C. 2 022D. 404418.若关于 x 的一元二次方程mx²+nx−1=0(m≠0)的一个根是x=1，则m+n的值是 .参考答案1. C [解析]A.当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B.该方程化简后为−x−3=0,是一元一次方程，故本选项不符合题意；C.3x²+1=0是一元二次方程，故本是分式，不是方程，故本选项不符合题意.故选 C.选项符合题意；D.2x2−2x2. D [解析]利用安排比赛的场次数=邀请参赛的队伍数×(邀请参赛的队伍数−1)÷2,即可x(x 得出关于x的一元二次方程.由题意，得每队比赛的场次数为x−1,则总场次数为12−1)=15.故选 D.3.8 [解析]方程二次项系数、一次项系数和常数项分别为2、k+8、−(2k−3),根据二次项系数、一次项系数及常数项的和为5，得2+k+8−(2k−3)=5,解得k=8.4. ∵方程ax²+bx−6=0与ax²+2bx−15=0有一个公共解是3,∴ax²+2bx−15=ax²+bx−6.∴bx−9=0,∴3b−9=0,解得b=3.将x=3代入ax²+bx−6=0,得a×3²+3×3−6=0,解得a=−13,即a的值是−13,b的值是3.5. 由题意,得||m−1|=2且m−3≠0,解得m=−1.6.(1)当m²+1=2且m+1≠0,即m=1时，此方程是一元二次方程.(2)当m²+1=1且m+1+m−3≠0,或m+1=0且m−3≠0时，即m=0或−1时，此方程是一元一次方程.7. B [解析]根据题意，得(2+√3)2−4×(2+√3)+m=0,解得m=1.故选 B.8. D [解析]将x²−3x−4=0两边同时加上2x，得x²−x−4=2x,所以xx2−x−4=x2x=12.故选 D.9.10 [解析]·“x2−2√2x−1=0∴x−2√2−1x =0,⋯x−1x=2√2.C.(x−1x )2=8,即x2−2+1x2=8.∘x2+1x2=10.10.x=−311.(1)当k=1时，此方程为一元一次方程.此时3. x-3-0,解得x=1.(2)若此方程为一元二次方程，则A≠112. 原式=(a−3)(a+1)(a−1)+(4+1)(a−1)−(2a−1)a+1⋯=α−2(a+1)(a−1)⋅a+1a(a−2)=1a(a−1)=1a2−a∵a是方程x²−x−1=0的根a²−a−1=0a²−a=1,原式=11=113.(1)解关于x的方程-−3(x−m)+6=0得r=m+2,把.x=m+2代入方程(x−1)(x−2)=m+1得(m+2−1)(m+2−2)=m+1整理得m²=1,解得m=1或m=−1(2)解关于x的方程：2(x−n)−4=0得x=n+2,把x=n+2代入方程(x—1)(x—2)=m+1得(n+2-1)(n+2-2)=m+1整理得m=n²+n−1,所以m−n=n⁹−1.因为n²≥0,所以m-n的最小值为-114.设甬路的宽度为 xm，根据题意，得(40-2x)(26-x)=144×6化简，得2x²−92x+176=0即x²−46x+88=0.15.(1)①②④⑤(2)若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为--2a，常数项为-4a.因此二次项系数：一次项系数:常数项=1:(-2):(-4).16.(1)设所求方程的根为y,则y=-x,即x=-y,把x=-y代入方程.x²+3x−2=0,得y²−3y−2=0,即所求方程为y²−3y−2=0.(2)设所求方程的根为y，则y=1x ,即x=1y.把x=1y 代入方程ax²−bx+c=0,得α•1y2−b⋅1y+c=0,整理，得cy²−by+a=0,即所求方程为cy²−by+a=0.17. B [解析]∵m为方程.x²+3x−2022=0的根∴m²+3m−2022=0,∴m²+3m=2022,∴原式=m³+3m²−m²−3m−2022m+2022=m(m²+3m)−(m²+3m)−2022m+2022=2022m−2022−2022m+2022=0.故选 B.18.1 [解析]把.x=1代入方程mx²+nx−1=0得m+n−1=0,解得m+n=1.。

九年级数学上学期第二章《一元二次方程》综合测试题(含答案)一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.下列属于一元二次方程的是()-1=x2 D.x2-4=(x+2)2A.3x+2=5x-3B.x2=4C.x-2x+12.解方程3(2x-1)2=4(2x-1)最适当的方法是()A.直接开平方法B.配方法C.因式分解法D.公式法3.下列一元二次方程有两个相等实数根的是()A.x2-2x+1=0B.2x2-x+1=0C.4x2-2x-3=0D.x2-6x=04.若关于x的一元二次方程x2-x-m=0的一个根是x=1,则m的值是()A.1B.0C.-1D.25.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是()A.x-6=-4B.x-6=8C.x-6=4D.x+6=-46.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成,已知墙长为18米(如图1所示).设这个苗圃垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃的面积为72平方米,则x为()图1A.12B.10C.15D.87.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根,则该等腰三角形的底边长为()A.2B.4C.8D.2或48.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是()A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)9.一元二次方程(3x+1)(x-3)=2化为一般形式是.10.已知关于x的方程x2-mx+n=0的两个根是x1=0,x2=-3,则m= ,n= .11.当x= 时,代数式x2+4x与代数式2x+3的值相等.12.把一元二次方程x2-4x+3=0配方成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式,则a+b= .13.关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是.14.若x2+x=1,则3x4+3x3+3x+1的值为.15.某校要组织一次乒乓球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排2天,每天安排5场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x应满足的方程为 .16.规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15.若2⊗x=3,则x= .三、解答题(本大题共6小题,共52分)17.(12分)用适当的方法解下列方程:(1)3(x-1)2=27; (2)6x2-x-12=0;(3)(4-x)(20+3x)=100.18.(5分)已知关于x的一元二次方程x2+x+m2-2m=0有一个实数根为x=-1,求m的值及方程的另一个实数根.19.(7分)已知:关于x的一元二次方程x2+√m x-2=0有两个实数根.(1)求m的取值范围;(2)设方程的两实数根为x1,x2,且满足(x1-x2)2-17=0,求m的值.20.(8分)随着人民节能、环保意识的不断提高,我国电动汽车的年销售量逐年提高,某品牌电动汽车2018年的年销售量为30万辆,2020年的年销售量达到50.7万辆.如果每年比上一年销售量增长的百分率相同.(1)试求出该品牌电动汽车年销售量增长的百分率;(2)请你预测该品牌电动汽车2021年的年销售量能否突破100万辆大关.21.(10分)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图2,原矩形广场长50m,宽40m,要求扩建后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用为642000元,扩建后广场的长和宽应分别是多少米?图222.(10分)为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售价定为每个200元时,每天可售出300个;若销售价每个每降低1元,每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,则这种电子产品降价后的销售价为每个多少元时,公司每天可获利32000元?参考答案1.B2.C [解析] 先移项得到3(2x-1)2-4(2x-1)=0,然后利用因式分解法解方程.3.A [解析] 选项A 中,∵Δ=b 2-4ac=4-4=0,∴方程x 2-2x+1=0有两个相等的实数根;选项B 中,∵Δ=b 2-4ac=1-4×2=-7<0,∴方程2x 2-x+1=0无实数根;选项C 中,∵Δ=b 2-4ac=4+4×4×3=52>0,∴方程4x 2-2x-3=0有两个不相等的实数根;选项D 中,∵Δ=b 2-4ac=36>0,∴方程x 2-6x=0有两个不相等的实数根.故选A .4.B [解析] 把x=1代入x 2-x-m=0中,得1-1-m=0,解得m=0.故选B .5.D [解析] 开方得x+6=±4,∴另一个一元一次方程是x+6=-4.故选D .6.A [解析] 根据题意,得x (30-2x )=72,解得x 1=12,x 2=3.当x=12时,30-2x=6<18;当x=3时,30-2x=24>18(不合题意,舍去).故选A .7.A [解析]x 2-6x+8=0,(x-4)(x-2)=0,解得x 1=4,x 2=2.当等腰三角形的三边长为2,2,4时,不符合三角形三边关系定理,不能组成三角形;当等腰三角形的三边长为2,4,4时,符合三角形三边关系定理,能组成三角形,此时三角形的底边长为2.故选A .8.A [解析]∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-4+c=0,解得c=3,故原方程中c=5,则b 2-4ac=16-4×1×5=-4<0,则原方程的根的情况是不存在实数根.故选A .9.3x 2-8x-5=010.-3 0 [解析] 根据题意,得{n =0,9+3m +n =0,解得{m =−3,n =0.11.-3或1 [解析] 由题意,得x 2+4x=2x+3,解得x 1=-3,x 2=1.12.-1 [解析]x 2-4x=-3,x 2-4x+4=1,(x-2)2=1,所以a=-2,b=1,所以a+b=-2+1=-1.13.m>0且m ≠1 [解析] 根据题意得m-1≠0且Δ=22-4(m-1)×(-1)>0,解得m>0且m ≠1. 14.4 [解析]∵x 2+x=1, ∴3x 4+3x 3+3x+1=3x 2(x 2+x )+3x+1=3x 2+3x+1=3(x 2+x )+1=3+1=4.故答案为4.15.x(x -1)2=1016.1或-3 [解析] 依题意得(2+x )x=3,整理,得x 2+2x=3,所以(x+1)2=4,所以x+1=±2,所以x=1或x=-3.故答案是1或-3.17.(1)x 1=4,x 2=-2(2)x 1=32,x 2=-43 (3)方程无实数根18.解:把x=-1代入x 2+x+m 2-2m=0,得(-1)2+(-1)+m 2-2m=0,即m (m-2)=0,解得m 1=0,m 2=2.经检验,m 的两个值均符合题意.设方程的另一个实数根为x 2,则 -1+x 2=-1,解得x 2=0.综上所述,m 的值是0或2,方程的另一个实数根是x=0.19.解:(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+√m x-2=0有两个实数根, ∴Δ=(√m )2-4×1×(-2)=m+8≥0,且m ≥0,∴m ≥0.(2)∵关于x 的一元二次方程x 2+√m x-2=0有两个实数根x 1,x 2, ∴x 1+x 2=-√m ,x 1·x 2=-2,∴(x 1-x 2)2-17=(x 1+x 2)2-4x 1·x 2-17=0,即m+8-17=0,解得m=9.20.解:(1)设该品牌汽车年销售量增长的百分率为x.根据题意,得30(1+x )2=50.7.解得x 1=-2.3(不合题意,舍去),x 2=0.3=30%.答:该品牌电动汽车年销售量增长的百分率为30%.(2)由(1)得该品牌汽车年销售量增长的百分率为30%,所以该品牌电动汽车2021年的年销售量为50.7×(1+30%)=65.91(万辆)<100万辆.所以该品牌电动汽车2021年的年销售量不能突破100万辆大关.21.解:设扩建后广场的长为3x m,宽为2x m.依题意得3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000,解得x1=30,x2=-30(舍去).所以3x=90,2x=60.答:扩建后广场的长为90m,宽为60m.22.解:设这种电子产品降价后的销售价为每个x元,则降价后每天可售出[300+5(200-x)]个.依题意,得(x-100)[300+5(200-x)]=32000,整理,得x2-360x+32400=0,解得x1=x2=180.因为180<200,所以符合题意.答:这种电子产品降价后的销售价为每个180元时,公司每天可获利32000元.。

一元二次方程2010.10.24例1解方程：（1）3x2+8x-3=0；（2）9x2+6x+1=0；（3）x-2=x（x-2）；（4）x2例2不解方程判别方程2x2+3x-4=0的根的情况是（）A．有两个相等实数根； B．有两个不相等的实数根； C．只有一个实数根； D．没有实数根【点评】根据b2-4ac与0的大小关系来判断1.（2006年包头市）某印刷厂1•月份印刷了书籍60•万册，•第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？【点评】设2、3月份平均每月的增长率为x，即60+60（1+x）+60（1+x）2=2002．下列方程中肯定是一元二次方程的是（） A．-ax2+bx+c=0 B．3x2-2x+1=mx2 C．x+1x=1 D．（a2+1）x2-2x-3=03．（2006年广州市）一元二次方程x2-2x-3=0的两个根分别为（）A．x1=1，x2=-3 B．x1=1，x2=3 C．x1=-1，x2=3 D．x1=-1，x2=-34．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ •） A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=05．若一个等腰三角形三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为_____．【能力提升】6．方程（m+1）x|m|+1+（m-3）x-1=0．（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m取何值时，方程是一元一次方程．7.（2006年黄冈市）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．•某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？8．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000•元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？请你利用方程解决这一问题．9．（2006年重庆市）机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、•乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，•同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【应用与探究】10．填空：（1）方程x2+2x+1=0的根为x1=____，x2=_____，则x1+x1=______，x1·x2=_____；（2）方程x2-3x-1=0的根为x1=____，x2=_____，则x1+x2=______，x1·x2=_____；（3）方程3x2+4x-7=0的根为x1=_____，x2=_____，则x1+x2=______，x1·x2=_____．由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题练：已知x2-4x+C=0的一个根求方程的另一个根及C的值．。

一元二次方程根与系数的关系一．选择题（共4小题）1．（2022春•太仓市期末）关于x的方程（x﹣2）（x+1）＝p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根2．（2022春•兴化市期末）已知一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为（）A．2B．﹣1C．−12D．﹣23．（2022春•靖江市校级期末）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（）A．x1+x2＞0B．x1•x2＜0C．x1≠x2D．方程的根有可能为04．（2020秋•盐城期末）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（）A．0B．2020C．4040D．4042二．填空题（共4小题）5．（2022春•泰兴市期末）关于x的方程x2+2x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x1﹣x1•x2+x2＝．6．（2022春•海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为．7．（2022春•通州区期末）已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子(m3−10m+n)(n−2n)的值是．8．（2022春•启东市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m的值为．三．解答题（共4小题）9．（2022春•昆山市校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．10．（2021春•高港区期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4mx +4m 2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x 1，x 2，若12x 1＝3−12x 2，求方程的两个根．11．（太仓市期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若该方程的两根分别为x 1，x 2，且满足|x 1+x 2|＝2x 1x 2，求k 的值．12．（2020春•海陵区期末）关于x 的一元二次方程x 2+mx +m ﹣2＝0． （1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，求m 的值．一．选择题（共4小题）1．（2022秋•工业园区校级月考）已知m 、n 是一元二次方程x 2+x ﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m 2+2m +n 的值等于（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．20222．（2021•徐州模拟）已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣kx ﹣1＝0的两个实数根，下列结论一定正确的是（ ） A ．x 1≠x 2B ．x 1+x 2＞0C ．x 1•x 2＞0D ．x 1＜0，x 2＜03．（2020秋•锡山区校级月考）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个． ①方程x 2﹣x ﹣2＝0是倍根方程；②若（x ﹣2）（mx +n ）＝0是倍根方程，则4m 2+5mn +n 2＝0； ③若p 、q 满足pq ＝2，则关于x 的方程px 2+3x +q ＝0是倍根方程； ④若方程ax 2+bx +c ＝0是倍根方程，则必有2b 2＝9ac ． A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021•武进区校级自主招生）设关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a ＝0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜−211B ．27＜a ＜25C ．a ＞25D ．−211＜a ＜0 二．填空题（共4小题）5．（2021秋•宿城区校级月考）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则x 12−x 2的值为 ．6．（2020秋•姑苏区校级月考）如图，四边形ABCD 是边长为5的菱形，对角线AC ，BD 的长度分别是一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +8m ＝0的两实数根，DH 是AB 边上的高，则DH ＝ ．7．（2021•南通模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0（m ＞0），当m ＝1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则：1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2018+1β2018的值为 ．8．（2020秋•常州期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号） ①方程x 2﹣x ﹣2＝0是倍根方程；②若（x ﹣2）（mx +n ）＝0是倍根方程：则4m 2+5mn +n 2＝0； ③若p ，q 满足pq ＝2，则关于x 的方程px 2+3x +q ＝0是倍根方程； ④若方程以ax 2+bx +c ＝0是倍根方程，则必有2b 2＝9ac ． 三．解答题（共4小题）9．（2021秋•海陵区校级月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（k +1）x +k 2+k +3＝0（k 为常数）．（1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值；（2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．10．（2022秋•惠山区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．11．（2022秋•沭阳县校级月考）阅读材料并解决下列问题：材料1若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．材料2已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求nm +mn的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，∴nm +mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．12．（江都区月考）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用：求一些代数式的值．①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．一．选择题（共4小题）1．（2022春•太仓市期末）关于x的方程（x﹣2）（x+1）＝p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为x1，x2，利用根与系数的关系得x1+x2＝1＞0，x1x2＝﹣2﹣p2＜0，根据有理数的性质得到x1、x2的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．【解答】解：方程化为一般式为x2﹣x﹣2﹣p2＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣2﹣p2）＝4p2+9＞0，∴方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为x1，x2，根据根与系数的关系得x1+x2＝1＞0，x1x2＝﹣2﹣p2＜0，∴方程有一个正根和一个负根．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−b a，x1x2=ca．也考查了根的判别式．2．（2022春•兴化市期末）已知一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为（）A．2B．﹣1C．−12D．﹣2【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2，则原式=x1+x2x1x2=4−2=−2，故选：D．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．3．（2022春•靖江市校级期末）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（）A．x1+x2＞0B．x1•x2＜0C．x1≠x2D．方程的根有可能为0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1+x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意．【解答】解：A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；B、根据根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；D、由x1•x2＝﹣m2≤0，结合判别式可得出方程的根有可能为0，结论D正确，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．4．（2020秋•盐城期末）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（）A．0B．2020C．4040D．4042【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，将其代入则a2+b2+a+b中即可求出结论．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，∴则a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1是解题的关键．二．填空题（共4小题）5．（2022春•泰兴市期末）关于x的方程x2+2x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x1﹣x1•x2+x2＝2．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣4＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣4，则原式＝﹣2﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a，x1•x2=ca．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．6．（2022春•海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为2036．【分析】由m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根可得：m2＝2m+1，n2＝2n+1，m+n＝2，代入所求式子即可得到答案．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2，∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，∴2m2+4n2﹣4n+2022＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2022＝4m+2+8n+4﹣4n+2022＝4（m+n）+2028＝4×2+2028＝2036，故答案为：2036．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．7．（2022春•通州区期末）已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子(m3−10m+n)(n−2n)的值是27．【分析】利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系，采用整体代入求解．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，n−2n=n2−2n=3n n=3，原式＝9×3＝27．故答案为：27．【点评】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，利用整体思想代入求值是解题的关键．8．（2022春•启东市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m的值为﹣2．【分析】由韦达定理知x1+x2＝3，将其代入到x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6求得x2＝﹣1，代回方程中即可求得m的值．【解答】解：由题意知x1+x2＝3，∵x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6，∴3﹣3x2＝6，解得：x2＝﹣1，代入到方程中，得：1+3+2m＝0，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a，x1x2=ca．也考查了方程的解的概念．三．解答题（共4小题）9．（2022春•昆山市校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式Δ＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k 的值． 【解答】解：（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， 可得k ﹣1≠0，∴k ≠1且Δ＝﹣12k +13＞0， 可解得k ＜1312且k ≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2， ∵x 1+x 2＝0， ∴−2k−3k−1=0， ∴k =32， 又∵k ＜1312且k ≠1 ∴k 不存在．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q ＝0的两根时，x 1+x 2＝﹣p ，x 1x 2＝q ．10．（2021春•高港区期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4mx +4m 2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x 1，x 2，若12x 1＝3−12x 2，求方程的两个根．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ≥0来证明即可； （2）解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵Δ＝（4m ）2﹣4×1×（4m 2﹣9）＝16m 2﹣16m 2+36＝36＞0， ∴已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4mx +4m 2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根； （2）∵x =4m±62×1=2m ±3， ∵12x 1=3−12x 2，∴x 1+x 2＝6，∵x 1+x 2＝4m ， ∴4m ＝6，∴m=3 2，∴x=2×32±3，∴x1＝6，x2＝0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．本题也考查了不等式的解法．11．（太仓市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|＝2x1x2，求k的值．【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出Δ＝b2﹣4ac的值大于0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，再将它们代入|x1+x2|＝2x1x2，即可求出k的值．【解答】解：（1）Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4＝﹣8k+8．∵原方程有两个不相等的实数根，∴﹣8k+8＞0，解得k＜1，即实数k的取值范围是k＜1；（2）由根与系数的关系，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，∵|x1+x2|＝2x1x2，∴|2（k﹣1）|＝2k2﹣2，∵k＜1，∴2﹣2k＝2k2﹣2，化简得k2+k﹣2＝0，∴k＝1（舍）或k＝﹣2，∴k＝﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=−ba；（5）x1•x2=ca．12．（2020春•海陵区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）证明判别式大于0即可．（3）利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题．【解答】（1）解：由题意，4﹣2m+m﹣2＝0，解得m＝2，∴方程为x2+2x＝0，解得x＝﹣2或0，∴方程的另一个根为0．（2）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（3）由根与系数的关系得x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，由若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，则有（x1+x2）2﹣2x1x2+m（x1+x2）＝m2+1，∴m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝m2+1，整理得m2+2m﹣3＝0，解得m＝﹣3或1．【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．一．选择题（共4小题）1．（2022秋•工业园区校级月考）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n 的值等于（）A．2019B．2020C．2021D．2022【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝2022，则m2+2m+n＝2022+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的实数根，∴m2+m﹣2022＝0，∴m2+m＝2022，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2022+m+n，∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，∴m2+2m+n＝2022﹣1＝2021．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a，x1•x2=ca．也考查了一元二次方程的解．2．（2021•徐州模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个实数根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0D．x1＜0，x2＜0【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝k，x1•x2＝﹣1，推出x1和x2互为负倒数，再逐个判断即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝k，x1•x2＝﹣1，即x1和x2互为负倒数，∴x1≠x2，即选项A符合题意，选项B（当k为负数时，x1+x2＜0）、选项C（x1•x2＝﹣1＜0）、选项D（x1和x2不一定都是负数）都不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系是解此题的关键．3．（2020秋•锡山区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（）个．①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．A．1B．2C．3D．4【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正确；②若（x ﹣2）（mx +n ）＝0是倍根方程，x 1＝2， 因此x 2＝1或x 2＝4， 当x 2＝1时，m +n ＝0， 当x 2＝4时，4m +n ＝0，∴4m 2+5mn +n 2＝（m +n ）（4m +n ）＝0， 故②正确；③∵pq ＝2，则px 2+3x +q ＝（px +1）（x +q ）＝0， ∴x 1=−1p ，x 2＝﹣q ， ∴x 2=−q =−2p=2x 1， 因此是倍根方程， 故③正确；④方程ax 2+bx +c ＝0的根为：x 1=−b+√b 2−4ac 2a ，x 2=−b−√b 2−4ac 2a，若x 1＝2x 2，则−b+√b 2−4ac2a=−b−√b 2−4ac2a×2，即−b+√b 2−4ac2a −−b−√b 2−4ac2a×2=0，∴b+3√b 2−4ac2a=0，∴b +3√b 2−4ac =0， ∴3√b 2−4ac =−b ， ∴9（b 2﹣4ac ）＝b 2， ∴2b 2＝9ac ． 若2x 1＝x 2时，则−b+√b 2−4ac2a×2=−b−√b 2−4ac2a，则−b+√b 2−4ac2a ×2−−b−√b 2−4ac2a=0，∴−b+3√b 2−4ac2a=0，∴−b +3√b 2−4ac =0， ∴b =3√b 2−4ac ， ∴b 2＝9（b 2﹣4ac ）， ∴2b 2＝9ac ． 故④正确，∴正确的有：②③④共3个．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．4．（2021•武进区校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．a＜−211B．27＜a＜25C．a＞25D．−211＜a＜0【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y＝ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x＝1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且Δ＞0，由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，解得−27＜a＜25，∵x1+x2=−a+2a，x1x2＝9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9+a+2a+1＜0，解得−211＜a＜0，最后a的取值范围为：−211＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x＝1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜−211（不符合题意，舍去），当a＜0时，x＝1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞−2 11，∴−211＜a＜0，故选：D．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1x2=ca．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•宿城区校级月考）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则x12−x2的值为2022．【分析】由一元二次方程解的定义得到：x12=2021﹣x1；由根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣1；将x12=2021﹣x1，x1+x2＝﹣1代入整理后的代数式求值．【解答】解：∵x1是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的根，∴x12+x1﹣2021＝0，∴x12=2021﹣x1，∴x12−x2＝2021﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）+2021，∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，∴原式＝﹣（﹣1）+2021＝2022．故答案为：2022．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1•x2=ca．6．（2020秋•姑苏区校级月考）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝245．【分析】根据菱形的性质得出AB ＝5，AC ⊥BD ，AC ＝2AO ，BD ＝2BO ，求出∠AOB ＝90°，根据勾股定理得出AO 2+BO 2＝25，根据根与系数的关系得出2AO +2BO ＝2（m +1），2AO •2BO ＝8m ，变形后代入求出m 的值，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝5，AC ⊥BD ，AC ＝2AO ，BD ＝2BO ， ∴∠AOB ＝90°，∴AO 2+BO 2＝AB 2＝52＝25，∵对角线AC ，BD 的长度分别是一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +8m ＝0的两实数根， ∴2AO +2BO ＝2（m +1），2AO •2BO ＝8m ， ∴AO +BO ＝m +1，AO •BO ＝2m ，∴AO 2+BO 2＝（AO +BO ）2﹣2AO ×BO ＝25， ∴（m +1）2﹣4m ＝25， 解得：m 1＝6，m 2＝﹣4，∴当m ＝﹣4时，AO •BO ＝﹣8＜0，不符合题意，舍去， 即m ＝6，则AO •BO ＝12，AC •BD ＝2AO •2BO ＝4AO •BO ＝48， ∵DH 是AB 边上的高，∴S 菱形ABCD ＝AB •DH =12AC •BD ， ∴5DH =12×48， ∴DH =245． 故答案为：245．【点评】本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于m 的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．7．（2021•南通模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0（m ＞0），当m ＝1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则：1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2018+1β2018的值为40362019．【分析】利用根与系数的关系得到α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3；…α2018+β2018＝﹣2，α2018β2018＝﹣2018×2019．把原式变形，再代入，即可求出答案． 【解答】解：∵x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0，m ＝1，2，3，…，2018， ∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2； α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3； …α2018+β2018＝﹣2，α2018β2018＝﹣2018×2019．∴原式=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+α3+β3α3β3+⋯+α2018+β2018α2018β2018=21×2+22×3+23×4+⋯+22018×2019＝2×（1−12+12−13+13−14+⋯+12018−12019）＝2×（1−12019）=40362019，故答案为：40362019．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca．8．（2020秋•常州期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④ （填序号） ①方程x 2﹣x ﹣2＝0是倍根方程；②若（x ﹣2）（mx +n ）＝0是倍根方程：则4m 2+5mn +n 2＝0； ③若p ，q 满足pq ＝2，则关于x 的方程px 2+3x +q ＝0是倍根方程； ④若方程以ax 2+bx +c ＝0是倍根方程，则必有2b 2＝9ac ． 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m 、n 之间的关系，而m 、n 之间的关系正好适合，③当p ，q 满足pq ＝2，则px 2+3x +q ＝（px +1）（x +q ）＝0，求出两个根，再根据pq ＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，④用求根公式求出两个根，当x 1＝2x 2，或2x 1＝x 2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【解答】解：①解方程x 2﹣x ﹣2＝0得，x 1＝2，x 2＝﹣1，得，x 1≠2x 2， ∴方程x 2﹣x ﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确；②若（x ﹣2）（mx +n ）＝0是倍根方程，x 1＝2， 因此x 2＝1或x 2＝4， 当x 2＝1时，m +n ＝0， 当x 2＝4时，4m +n ＝0，∴4m 2+5mn +n 2＝（m +n ）（4m +n ）＝0， 故②正确；③∵pq ＝2，则：px 2+3x +q ＝（px +1）（x +q ）＝0， ∴x 1=−1p ，x 2＝﹣q ， ∴x 2＝﹣q =−2p=2x 1， 因此是倍根方程， 故③正确；④方程ax 2+bx +c ＝0的根为：x 1=−b+√b 2−4ac 2a ，x 2=−b−√b 2−4ac 2a， 若x 1＝2x 2，则，−b+√b 2−4ac2a=−b−√b 2−4ac2a×2，即，−b+√b 2−4ac2a −−b−√b 2−4ac2a×2＝0，∴b+3√b 2−4ac2a=0，∴b +3√b 2−4ac =0， ∴3√b 2−4ac =−b ∴9（b 2﹣4ac ）＝b 2， ∴2b 2＝9ac ． 若2x 1＝x 2时，则，−b+√b 2−4ac2a×2=−b−√b 2−4ac 2a，即，则，−b+√b 2−4ac2a×2−−b−√b 2−4ac 2a=0， ∴−b+3√b 2−4ac2a=0，∴﹣b +3√b 2−4ac =0， ∴b ＝3√b 2−4ac ， ∴b 2＝9（b 2﹣4ac ）， ∴2b 2＝9ac ． 故④正确， 故答案为：②③④【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 三．解答题（共4小题）9．（2021秋•海陵区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）．（1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值；（2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据菱形的性质知四边相等，方程的两根为菱形相邻两边长，得Δ＝0，求出k；（2）根与系数的关系求出两根之和、两根之积，根据菱形的两对角线互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出k．【解答】解：（1）∵方程的两根为菱形相邻两边长，∴此方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+k+3）＝0，4（k2+2k+1）﹣4k2﹣4k﹣12＝0，4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12＝0，4k﹣8＝0，k＝2，（2）不存在，理由如下：∵该方程的两解是菱形的两对角线长，∴a+b＝2（k+1），ab＝k2+k+3，设菱形的两对角线长a，b．∵菱形的两对角线互相垂直平分，∴由勾股定理得，(b2)2+(a2)2=4，b2 4+a24=4，b2+a2＝16，∴b2+2ab+a2﹣2ab＝16，（a+b）2﹣2ab＝16，[2（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16，解得k=−3±3√52，∵Δ＝4k﹣8，∴4k﹣8≥0．∴k≥2，∵k=−3±3√52＜2，∴不存在满足条件的常数k．【点评】此题主要考查了根与系数的关系、菱形的判定与性质，掌握根的判别式、菱形的性质、勾股定理的综合应用，第二问求出k时，一定注意4k﹣8≥0这个知识点．10．（2022秋•惠山区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，计算即可；（2）根据根与系数的关系求出x2＝2，代入原方程计算即可．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴Δ＝25﹣4m≥0，解得，m≤25 4；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，∵3x1﹣2x2＝5，∴3x1+3x2﹣5x2＝5，∴﹣5x2＝﹣10，解得，x2＝2，把x＝2代入原方程得，m＝6．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．11．（2022秋•沭阳县校级月考）阅读材料并解决下列问题：材料1若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．材料2已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求nm +mn的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，∴nm +mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝−15．（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．【分析】（1）5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，则x1+x2=−ba=−2，x1x2=c a=−15．（2）由题意m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，由此可得结论；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，由此可得结论．【解答】解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，∴x1+x2=−ba=−2，x1x2=c a=−15．故答案为：﹣2，−1 5；（2）∵m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，∴m+n＝1，mn=−1 3，∴m2n+mn2＝mn（m+n）=−13×1=−13；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，∴p+2q＝7，2pq＝2，∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．12．（江都区月考）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题：（1）填空：方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，则x1+x2＝5，x1x2＝3．（2）应用：求一些代数式的值．①已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值；②如果互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，求a3+6b﹣5的值．【分析】（1）利用题目中所给关系直接求解即可；（2）①利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值，再代入计算即可；②把a3+6b﹣5化成a3﹣a2+a2+6b ﹣5，再利用根的定义及根与系数的关系可求得答案．【解答】解：（1）∵方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1与x2，∴x1+x2＝﹣（﹣5）＝5，x1x2＝3，故答案为：5；3；（2）①∵x1、x2是方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x1x2＝2，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣4+1＝﹣1；②∵互异实数a，b满足方程a2﹣a﹣5＝0，b2﹣b﹣5＝0，∴a、b为方程x2﹣x﹣5＝0的两根，∴a+b＝1，a2﹣a＝5，∴a3+6b﹣5＝a3﹣a2+a2+6b﹣5＝a（a2﹣a）+a2+6b﹣5＝5a+6b+a2﹣5＝5a+6b+a＝6a+6b＝6（a+b）＝6．【点评】本题主要考查根与系数的关系，理解一元二次方程两根和、两根积与系数a、b、c的关系是解题的关键．。

解一元二次方程一．选择题（共4小题）1．（2022春•惠山区校级期末）一元二次方程x 2﹣8x ﹣1＝0，配方后可变形为（ ）A ．（x ﹣4）2＝17B ．（x ﹣4）2＝18C ．（x ﹣8）2＝1D ．（x ﹣4）2＝12．（2022春•如皋市期末）关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．123．（2022春•吴江区期末）新定义运算：a ※b ＝a 2﹣ab +b ，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x ※2＝5的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根4．（2022春•宿豫区期末）下列关于x 的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2﹣4x +4＝0B ．x 2﹣mx +4＝0C ．x 2﹣4x ﹣m ＝0D ．x 2﹣4x ﹣m 2＝0二．填空题（共4小题）5．（2022春•宝应县期末）一个直角三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +12＝0的两根，则该直角三角形的面积是 ．6．（2022春•亭湖区校级期末）一元二次方程x 2﹣4x +3＝0配方为（x ﹣2）2＝k ，则k 的值是 ．7．（2020秋•泰兴市期末）已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x +1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．8．（2021秋•溧阳市期末）若一元二次方程x 2﹣4x +k +2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．三．解答题（共4小题）9．（2022春•姜堰区期末）解下列方程：（1）x 2﹣6x ﹣4＝0；（2）x+1x−1−4x 2−1=1．10．（2022春•玄武区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0（m 为常数）．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若x＝2是方程的根，则m的值为．11．（2022春•张家港市期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝，b＝；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．12．（2021春•无锡期末）阅读材料：我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式a2±2ab+b2分解成（a ±b）2，而对于a2+2a﹣3这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝（a+1）2﹣4＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）．请用“配方法”解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣6a+5．（2）已知ab=34，a+2b＝3，求a2﹣2ab+4b2的值．（3）若将4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，试求常数m的值．一．选择题（共4小题）1．（2021春•秦淮区期末）一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．0B．1C．2D．32．（宿迁期末）若关于x的方程kx2﹣x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤16B．k≤1 16C．k≤16，且k≠0D．k≤116，且k≠03．（常熟市期末）已知关于x的方程x2+kx+1＝0和x2﹣x﹣k＝0有一个根相同，则k的值为（）A．﹣1B．0C．﹣1或2D．24．（如皋市校级期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若b＝2√ac，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，其中正确的（）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④二．填空题（共4小题）5．（2020秋•新吴区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为．6．（鼓楼区期末）如果关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，那么ba的值为．7．（镇江期末）已知△ABC的三边分别是a、b、c，且满足√a−3+b2−4b+4=0，则c的取值范围是．8．（滨湖区期末）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解．三．解答题（共4小题）9．（2021秋•盱眙县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．10．（玄武区期末）已知：关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2﹣2k﹣2＝0．（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围．（2）若此方程有一个根是1，求k的值．11．（鼓楼区校级期末）学习了完全平方公式以后，小明有了下面的发现：因为x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，不论x取什么值，（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1．因此，代数式x2﹣2x+2的值不小于1．这种把一个多项式或一个多项式中的某一部分化为一个完全平方式或几个完全平方式和的方法，称为配方法．请用配方法解决下列问题：（1）填空：①a2+6a+15＝（a+3）2+ ．②若（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，则a＝，b＝．（2）已知m2+4m+n2﹣6n+13＝0，求m、n的值．（3）比较代数式3x3+2x2﹣4x﹣3与3x3+x2+2x﹣12的大小．12．（鼓楼区校级期末）先阅读后解题．已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0．所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3．利用以上解法，解下列问题：（1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c．一．选择题（共4小题）1．（2022春•惠山区校级期末）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0，配方后可变形为（）A．（x﹣4）2＝17B．（x﹣4）2＝18C．（x﹣8）2＝1D．（x﹣4）2＝1【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程x2﹣8x﹣1＝0，整理得：x2﹣8x＝1，配方得：x2﹣8x+16＝17，即（x﹣4）2＝17．故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2022春•如皋市期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝36﹣4m＝0，解得：m＝9．故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．3．（2022春•吴江区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5的根的情况为（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】先利用新定义得到x2﹣2x+2＝5，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x※2＝5，∴x2﹣2x+2＝5，即x2﹣2x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．（2022春•宿豫区期末）下列关于x的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣4x+4＝0B．x2﹣mx+4＝0C．x2﹣4x﹣m＝0D．x2﹣4x﹣m2＝0【分析】先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．【解答】解：A 、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，该方程有两个相等的实数根，不符合题意；B 、Δ＝（﹣m ）2﹣4×1×4＝m 2﹣16，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；C 、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m ）＝16+4m ，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；D 、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m ）2＝16+4m 2＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意．故选：D ．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键．二．填空题（共4小题）5．（2022春•宝应县期末）一个直角三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +12＝0的两根，则该直角三角形的面积是 6或3√72． 【分析】先解出方程x 2﹣7x +12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵x 2﹣7x +12＝0，∴x ＝3或x ＝4．①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是12×3×4＝6； ②当长是4的边是斜边时，第三边是√42−32=√7，该直角三角形的面积是12×3×√7=3√72． 故答案为：6或3√72．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．6．（2022春•亭湖区校级期末）一元二次方程x 2﹣4x +3＝0配方为（x ﹣2）2＝k ，则k 的值是 1 ．【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k 的值．【解答】解：∵x 2﹣4x +3＝0，∴x 2﹣4x ＝﹣3，∴x 2﹣4x +4＝﹣3+4，∴（x ﹣2）2＝1，∵一元二次方程x 2﹣4x +3＝0配方为（x ﹣2）2＝k ，∴k ＝1，故答案为：1．【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．7．（2020秋•泰兴市期末）已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x +1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 a ＜3且a ≠2 ．【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x +1＝0有两个不相等的实数根，∴{a −2≠0△=22−4(a −2)×1＞0， 解得：a ＜3且a ≠2．故答案为：a ＜3且a ≠2．【点评】本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．8．（2021秋•溧阳市期末）若一元二次方程x 2﹣4x +k +2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 k＜2 ．【分析】根据根的判别式得出Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4×1×（k +2）＞0，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣4x +k +2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4×1×（k +2）＝8﹣4k ＞0，解得：k ＜2，故答案为：k ＜2．【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能根据根的判别式得出关于k 的不等式是解此题的关键．三．解答题（共4小题）9．（2022春•姜堰区期末）解下列方程：（1）x 2﹣6x ﹣4＝0；（2）x+1x−1−4x 2−1=1．【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）方程两边都乘（x +1）（x ﹣1）得出（x +1）2﹣4＝（x +1）（x ﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1）x 2﹣6x ﹣4＝0，x 2﹣6x ＝4，配方，得x 2﹣6x +9＝4+9，（x ﹣3）2＝13，开方得：x ﹣3=±√13，解得：x 1＝3+√13，x 2＝3−√13；（2）x+1x−1−4x 2−1=1，x+1x−1−4(x+1)(x−1)=1，方程两边都乘（x +1）（x ﹣1），得（x +1）2﹣4＝（x +1）（x ﹣1），解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，（x +1）（x ﹣1）＝0，所以x ＝1是增根，即原方程无解．【点评】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能正确配方是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．10．（2022春•玄武区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0（m 为常数）．（1）求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若x ＝2是方程的根，则m 的值为 5±√52． 【分析】（1）根据根的判别式求出Δ＝（m ﹣4）2+8，再根据根的判别式得出答案即可；（2）把x ＝2代入方程，得出关于m 的一元二次方程，再求出方程的解即可．【解答】（1）证明：2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0，Δ＝（﹣3m ）2﹣4×2×（m 2+m ﹣3）＝9m 2﹣8m 2﹣8m +24＝m 2﹣8m +24＝（m ﹣4）2+8，因为不论m 为何值，（m ﹣4）2≥0，即Δ＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：把x ＝2代入方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0得：2×22﹣3m ×2+m 2+m ﹣3＝0，整理得：m 2﹣5m +5＝0，解得：m =5±√52， 故答案为：5±√52．【点评】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的解等知识点，能熟记根的判别式的内容和一元二次方程的解的定义是解此题的关键．11．（2022春•张家港市期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m 2﹣2mm +2n 2﹣8n +16＝0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣8n +16＝0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣8n +16）＝0，∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝6，b＝﹣3；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．【分析】（1）将a2+4ab+5b2+6b+9＝0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出a，b的值；（2）将a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出a，b的值，根据三角形的三边关系求出c；（3）让多项式3a2+3a﹣4与2a2+4a﹣6作差，结果配方，根据偶次方的非负性判断大小．【解答】解：（1）a2+4ab+5b2+6b+9＝a2+4ab+4b2+b2+6b+9＝（a+2b）2+（b+3）2＝0，∴a+2b＝0，b+3＝0，解得a＝6，b＝﹣3．故答案为：6，﹣3；（2）a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝a2﹣4a+4+2b2﹣4b+2＝（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，解得a＝2，b＝1，∵a、b、c是△ABC的三边长，∴1＜c＜3，∵c是正整数，∴c＝2；（3）A＞B，理由如下：∵A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，A﹣B＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣2a2﹣4a+6＝a2﹣a+2＝（a−1 2）2+74，∵（a−12）2≥0，∴（a−12）2+74＞0，∴A＞B．【点评】本题考查了配方法的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，本题属于中档题．12．（2021春•无锡期末）阅读材料：我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式a2±2ab+b2分解成（a ±b）2，而对于a2+2a﹣3这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝（a +1）2﹣4＝（a +1+2）（a +1﹣2）＝（a +3）（a ﹣1）．请用“配方法”解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣6a +5．（2）已知ab =34，a +2b ＝3，求a 2﹣2ab +4b 2的值．（3）若将4x 2+12x +m 分解因式所得结果中有一个因式为x +2，试求常数m 的值．【分析】（1）利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；（2）利用完全平方公式将a 2﹣2ab +4b 2进行因式分解，转化为含有ab =34，a +2b ＝3的式子即可求解；（3）设另一个因式为4x +n ，将（x +2）（4x +n ）展开，得出一次项的系数，继而求出m 的值．【解答】解：（1）a 2﹣6a +5＝a 2﹣6a +9﹣4＝（a ﹣3）2﹣4＝（a ﹣3+2）（a ﹣3﹣2）＝（a ﹣1）（a ﹣5）；（2）∵ab =34，a +2b ＝3，∴a 2﹣2ab +4b 2＝a 2+4ab +4b 2﹣6ab ＝（a +2b ）2﹣6ab ＝32﹣6×34=92；（3）4x 2+12x +m ＝4（x 2+3x +m 4）＝4[（x +32）2−9−m 4]， ∵有一个因式为x +2，∴9−m 4=（12）2=14， ∴9﹣m ＝1，∴m ＝8．【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，配方法的应用等知识，掌握公式的应用是解题的关键．一．选择题（共4小题）1．（2021春•秦淮区期末）一元二次方程ax 2+2x +1＝0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据方程有两个相等的实数根得出b 2﹣4ac ＝0，再求出a 即可．【解答】解：∵一元二次方程ax 2+2x +1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝22﹣4×a ×1＝4﹣4a ＝0，解得：a ＝1，故选：B ．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2﹣4ac 有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．2．（宿迁期末）若关于x的方程kx2﹣x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤16B．k≤1 16C．k≤16，且k≠0D．k≤116，且k≠0【分析】分类讨论：当k＝0，方程变形为﹣x+4＝0，此一元一次方程有解；当k≠0，Δ＝（﹣1）2﹣4×k×4≥0，方程有两个实数解，得到k≤116且k≠0，然后综合两种情况即可得到实数k的取值范围．【解答】解：当k＝0时，﹣x+4＝0，此时x＝4，有实数根；当k≠0时，∵方程kx2﹣x+4＝0有实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×k×4≥0，解得：k≤1 16，此时k≤116且k≠0；综上，k≤1 16．故选：B．【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac间的关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．3．（常熟市期末）已知关于x的方程x2+kx+1＝0和x2﹣x﹣k＝0有一个根相同，则k的值为（）A．﹣1B．0C．﹣1或2D．2【分析】把两个方程相减，求出x的值，代入求出k的值．【解答】解：方程x2+kx+1＝0减去x2﹣x﹣k＝0，得（k+1）x＝﹣k﹣1，当k+1≠0时，解得：x＝﹣1．把x＝﹣1代入方程x2﹣x﹣k＝0，解得k＝2．当k+1＝0时，k＝﹣1代入方程得x2﹣x+1＝0在这个方程中Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程无解．故选：D．【点评】灵活求出方程的一个根，代入求出k的值．4．（如皋市校级期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若b＝2√ac，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，其中正确的（）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．【解答】解：①若b＝2√ac，方程两边平方得b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，所以方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac＝0中根的判别式也是b2﹣4ac＞0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac2+bc+c＝0成立，当c≠0时ac+b+1＝0成立；当c＝0时ac+b+1＝0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，可得x0=−b±√b2−4ac2a，把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选：B．【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．二．填空题（共4小题）5．（2020秋•新吴区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为m＜4．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，解得：m＜4．故答案为：m＜4．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．6．（鼓楼区期末）如果关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，那么ba的值为4．【分析】先求出方程的根，得出关于m的不等式，求出m的值，代入后即可求出答案．【解答】解：解方程ax2＝b得：x2=b a，∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，∴（m+1）2=ba，（2m﹣4）2=ba，∴b＝a（m+1）2，b＝a（﹣2m+4）2，∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，∴m+1＝﹣2m+4（m+1和﹣2m+4互为相反数），解得：m＝1，方程的两根为±2，即4=b a，b＝4a，∴ba =4aa=4，故答案为：4．【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，能得出关于m的一元一次方程转是解此题的关键．7．（镇江期末）已知△ABC的三边分别是a、b、c，且满足√a−3+b2−4b+4=0，则c的取值范围是1＜c＜5．【分析】由两非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，利用三角形的三边关系即可得出c 的范围．【解答】解：∵√a−3+（b﹣2）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝3，b＝2，则c的范围为3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．（滨湖区期末）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解x3＝0，x4＝﹣3．【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣3．故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．三．解答题（共4小题）9．（2021秋•盱眙县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，∴m、n的值分别为2、4，∴△ABC的周长为10；当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；综上可知△ABC的周长为10．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．10．（玄武区期末）已知：关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2﹣2k﹣2＝0．（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围．（2）若此方程有一个根是1，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝﹣8k+24≥0，解之即可得出k的取值范围；（2）将x＝1代入原方程，解之即可求出k值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2﹣2k﹣2＝0有实数根，∴Δ＝[﹣2（k﹣2）]2﹣4（k2﹣2k﹣2）＝﹣8k+24≥0，解得：k≤3．（2）将x＝1代入原方程得1﹣2（k﹣2）+k2﹣2k﹣2＝k2﹣4k+3＝（k﹣1）（k﹣3）＝0，解得：k1＝1，k2＝3．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程有实数根，找出Δ＝﹣8k+24≥0；（2）将x＝1代入原方程求出k值．11．（鼓楼区校级期末）学习了完全平方公式以后，小明有了下面的发现：因为x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，不论x取什么值，（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1．因此，代数式x2﹣2x+2的值不小于1．这种把一个多项式或一个多项式中的某一部分化为一个完全平方式或几个完全平方式和的方法，称为配方法．请用配方法解决下列问题：（1）填空：①a2+6a+15＝（a+3）2+ 6．②若（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，则a＝1，b＝﹣2．（2）已知m2+4m+n2﹣6n+13＝0，求m、n的值．（3）比较代数式3x3+2x2﹣4x﹣3与3x3+x2+2x﹣12的大小．【分析】利用配方法、偶次方的非负性计算即可．【解答】解：（1）①a2+6a+15＝a2+6a+9+6＝（a+3）2+6，故答案为：6；②（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，（a﹣1）2+（b+2）2＝0，a﹣1＝0，b＝2＝0，解得，a＝1，b＝﹣2，故答案为：1；﹣2；（2）m2+4m+n2﹣6n+13＝0，m2+4m+4+n2﹣6n+9＝0，（m+2）2+（n﹣3）2＝0，m+2＝0，n﹣3＝0，解得，m＝﹣2，n＝3，（3）3x3+2x2﹣4x﹣3﹣（3x3+x2+2x﹣12）＝3x3+2x2﹣4x﹣3﹣3x3﹣x2+2x+12＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2≥0，则3x3+2x2﹣4x﹣3≥3x3+x2+2x﹣12．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．12．（鼓楼区校级期末）先阅读后解题．已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0．所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3．利用以上解法，解下列问题：（1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c．【分析】（1）先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得x和y的值；（2）同理可得a和b的值，再由三角形的三边关系可得c的值．【解答】解：（1）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，∴x＝2，y＝﹣1；（2）a2+b2＝12a+8b﹣52，（a2﹣12a+36）+（b2﹣8b+16）＝0，（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣6）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，∴a＝6，b＝4，∵△ABC为等腰三角形，∴c＝4或6．【点评】此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式．。