第21讲第2课时 菱形

第21讲平行四边形、矩形、菱形、正方形,知识清单梳理)平行四边形1．定义：两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形．2．性质(1)边：对边__平行__且__相等__．(2)角：对角__相等__．(3)对角线：对角线互相平分．(4)对称性：__中心__对称．3．判定(1)两组对边分别__平行__的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形．(3)一组对边__平行__且__相等__的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别__相等__的四边形是平行四边形．(5)对角线互相__平分__的四边形是平行四边形．矩形1．定义：有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．2．性质(1)边：对边__平行__且__相等__．(2)角：四个角都是__直角__．(3)对角线：对角线互相__平分__且__相等__．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有__一__个角是__直角__的平行四边形是矩形．(2)有__三__个角是__直角__的四边形是矩形．(3)对角线__相等__的平行四边形是矩形．菱形1．定义：有一组__邻边相等__的平行四边形叫做菱形．2．性质(1)边：四边__相等__，对边平行．(2)角：对角__相等__．(3)对角线：对角线互相__垂直__、__平分__，且每一条对角线平分一组对角．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有一组__邻边相等__的平行四边形是菱形．(2)四边__相等__的四边形是菱形．(3)对角线互相__垂直__的平行四边形是菱形．正方形1．定义：有一个角是__直角__，有一组邻边__相等__的平行四边形叫做正方形．2．性质(1)边：四边__相等__，对边平行．(2)角：四个角都是__直角__．(3)对角线：对角线互相__垂直__、__平分__、__相等__，每一条对角线平分一组对角．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有一个角是__直角__、有一组邻边__相等__的平行四边形是正方形．(2)有一组邻边相等的__矩形__是正方形．(3)有一个角是直角的__菱形__是正方形．中点四边形1．顺次连接任意四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．2．顺次连接平行四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．3．顺次连接矩形各边中点，所得四边形是__菱__形．4．顺次连接菱形各边中点，所得四边形是__矩__形．5．顺次连接正方形各边中点，所得四边形是__正方__形．6．顺次连接等腰梯形各边中点，所得四边形是__菱__形．,云南省近五年高频考点题型示例)轴对称图形与中心对称图形【例1】(2019曲靖中考)平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故是轴对称图形的有3个．【答案】C平行四边形的性质和判定【例2】(2019昆明中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝ODC．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC【解析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【答案】C1．(2019曲靖中考)若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是__120__°.2．(2019云南中考)如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD.求证：(1)四边形MNCD是平行四边形；(2)BD＝3MN.证明：(1)∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵M，N分别是AD，BC的中点，∴MD＝NC，MD∥NC，∴四边形MNCD是平行四边形；(2)连接ND.∵四边形MNCD 是平行四边形， ∴MN ＝DC.∵N 是BC 的中点，∴BN ＝CN. ∵BC ＝2CD ，∠C ＝60°， ∴△NCD 是等边三角形． ∴ND ＝NC ，∠DNC ＝60°. ∵∠DNC 是△BND 的外角， ∴∠NBD ＋∠NDB＝∠DNC. ∵DN ＝NC ＝NB ，∴∠DBN ＝∠BDN＝12∠DNC＝30°，∴∠BDC ＝90°. ∵tan ∠DBC ＝DC DB ＝33，∴DB ＝3DC ＝3MN.3．(2019云南中考)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OC 的中点，求证：BE ＝DF.证明：连接BF ，DE.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点． ∴OE ＝12OA ，OF ＝12OC ，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ＝DF.矩形的性质和判定【例3】(2019云南中考)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，BE ∥AC ，CE ∥BD.(1)求tan ∠DBC 的值；(2)求证：四边形OBEC 是矩形．【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到对边平行，且BD 为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BCD 的度数，即可求出tan ∠DBC 的值；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC，∴∠ABC ＋∠BAD＝180°. ∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33； (2)∵BE∥AC，CE ∥BD ，∴四边形OBEC 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°. ∴四边形OBEC 是矩形．4．(2019云南中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若E ，F 是AC 上的两个动点，分别从A ，C 两点以相同的速度向C ，A 运动，其速度为2 cm/s.(1)当E 与F 不重合时，四边形DEBF 是平行四边形吗？说明理由；(2)若BD ＝24 cm ，AC ＝32 cm ，当运动时间t 为何值时，以D ，E ，B ，F 为顶点的四边形是矩形？说明理由．解：(1)当E 与F 不重合时，四边形DEBF 是平行四边形．理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵E ，F 两动点分别以相同的速度向C ，A 运动， ∴AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ， 即OE ＝OF ，∴BD ，EF 互相平分，∴四边形DEBF 是平行四边形； (2)∵四边形DEBF 是平行四边形， ∴当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形． ∵BD ＝24 cm ， ∴EF ＝24 cm ，∴OE ＝OF ＝12 cm ， ∵AC ＝32 cm ，∴OA ＝OC ＝16 cm ， ∴AE ＝4 cm 或28 cm ，∵E ，F 两动点的速度都是2 cm/s ， ∴t ＝2 s 或t ＝14 s ，∴当运动时间t ＝2 s 或14 s 时，以D ，E ，B ，F 为顶点的四边形是矩形．菱形的性质和判定【例4】(2019昆明中考)菱形的两条对角线分别为8，10，则菱形的面积为________．【解析】菱形的面积计算公式S ＝12ab(a ，b 为菱形的对角线长)，∴菱形的面积S ＝12×8×10＝40.【答案】405．(2019曲靖中考)菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为__20__．6．(2019云南中考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 边上的中点． (1)求证：四边形BDEF 是菱形；(2)若AB ＝12 cm ，求菱形BDEF 的周长．解：(1)∵D，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点， ∴DE ∥AB ，EF ∥BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形． 又∵DE＝12AB ，EF ＝12BC ，且AB ＝BC ，∴DE ＝EF ，∴四边形BDEF 是菱形；(2)∵AB＝12 cm ，F 为AB 的中点， ∴BF ＝6 cm ，∴菱形BDEF 的周长为6×4＝24 cm.7．(2019云南中考)如图，△ABC 是以BC 为底的等腰三角形，AD 是边BC 上的高，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点．(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S. 解：(1)∵AD 是等腰△ABC 底边上的高， ∴D 是BC 边的中点．∵点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴四边形AEDF 是平行四边形．又AB ＝AC ， ∴DE ＝DF ，∴▱AEDF 是菱形；(2)连接EF 交AD 于O 点，设AO ＝x ，EO ＝y.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3.5，x 2＋y 2＝9，∴(x ＋y)2＝9＋2xy ，∴12.25＝9＋2xy ，∴2xy ＝3.25， ∴S ＝12·2x·2y＝2xy ＝3.25.正方形的性质和判定【例5】(2019昆明中考)已知：如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF 是正方形(只写结论，不需证明)． 【解析】(1)根据矩形的性质可得AB ＝CD ，∠A ＝∠D＝90°，再根据M 是AD 的中点，可得AM ＝DM ，然后再利用SAS 证明△ABM≌△DCM ；(2)四边形MENF 是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE∥MF，NE ＝MF ，可得四边形MENF 是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM 可得BM ＝CM ，进而得ME ＝MF ，从而得到四边形MENF 是菱形；(3)当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF 是正方形，证明∠EMF＝90°，根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法． 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D＝90°. 又∵M 是AD 的中点，∴AM ＝DM. 在△ABM 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D＝90°，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS)； (2)四边形MENF 是菱形．证明如下： ∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)得BM ＝CM ，∴ME ＝MF. ∴四边形MENF 是菱形．(3)当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由：∵M 为AD 中点，∴AD ＝2AM. ∵AD ∶AB ＝2∶1，∴AM ＝AB. ∵∠A ＝90，∴∠ABM＝∠AMB＝45°. 同理∠DMC＝45°，∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°. ∵四边形MENF 是菱形， ∴菱形MENF 是正方形．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点正方形的有关计算【例1】如图，正方形ABCD 中，AE ＝AB ，直线DE 交BC 于点F ，则∠BEF＝( )A．45° B．30°C．60° D．55°【解析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．本题考查了三角形的内角和定理的运用、等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用及解此题的关键是如何把已知角与未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．【答案】A【例2】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( )A．1 B. 2C．4－2 2 D．32－4【解析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD的长，再求出BE的长，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的22倍计算即可得解．【答案】C2．创新题【例3】一个四边形四条边依次为a，b，c，d且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是________．【解析】a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bd＋d2)＝0，(a－c)2＋(b－d)2＝0，∴a－c＝0，b－d＝0，∴a＝c，b＝d.∴四边形是平行四边形．【答案】平行四边形,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.(2019海南中考)如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是( C )A．14 B．16 C．18 D．20【方法总结】掌握菱形的边、对角线的性质，四边相等，对角线互相平分且垂直，再应用勾股定理即可解决．(第1题图)(第2题图)2．(2019贵州中考)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且∠EAF＝45°，将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°，使点E 落在点E′处，则下列判断不正确的是( D )A ．△AEE ′是等腰直角三角形B ．AF 垂直平分EE′C ．△E ′EC ∽△AFDD ．△AE ′F 是等腰三角形【方法总结】本题考查了旋转的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形、正方形的性质及相似三角形的判定等知识的综合应用．3．(2019曲靖中考)如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE ＝2，AE ＝3BE ，P 是AC 上一动点，则PB ＋PE 的最小值是__10__.【方法总结】本题考查了轴对称——最短路线问题及正方形的性质，解此题通常利用“两点之间，线段最短”的性质．4．(2019临沧中考)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60 cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s(0＜t≤15)．过点D 作DF⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.(1)求证：AE ＝DF ；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； (3)当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由． 解：(1)∵△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝60°. ∴∠C ＝180°－∠B－∠A＝30°. 又∵DF⊥BC，CD ＝4t ，AE ＝2t. ∴在Rt △CDF 中，DF ＝12CD ＝2t ，∴DF ＝AE ；(2)∵DF∥AB，DF ＝AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形，当AD ＝AE 时，四边形AEFD 是菱形， 即60－4t ＝2t ，解得t ＝10， 即当t ＝10时，▱AEFD 是菱形； (3)当t ＝152时，△DEF 是直角三角形(∠EDF＝90°)； 当t ＝12时，△DEF 是直角三角形(∠DEF ＝90°)．理由如下：①当∠EDF＝90°时，DE ∥BC.∴∠ADE ＝∠C＝30°，∴AD ＝2AE. 即60－4t ＝2×2t， 解得t ＝152，∴t ＝152时，∠EDF ＝90°. ②当∠DEF＝90°时，DE ⊥EF ，∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴AD ∥EF ，∴DE ⊥AD ，∴△ADE 是直角三角形，∠ADE ＝90°. ∵∠A ＝60°，∴∠DEA ＝30°，∴AD ＝12AE.AD ＝AC －CD ＝60－4t ，AE ＝2t ，∴60－4t ＝t ，解得t ＝12.③∵四边形ADEF 是平行四边形， ∴AD ∥EF ，∴∠DFE 不可能为直角．综上所述，当t ＝152时，△DEF 是直角三角形(∠EDF＝90°)；当t ＝12时，△DEF 是直角三角形(∠DEF＝90°)．5．(2019曲靖中考)如图，在▱ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE ＝12BC ，连接DE ，CF.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若AB ＝4，AD ＝6，∠B ＝60°，求DE 的长．解：(1)在▱ABCD 中， AD ∥BC ，且AD ＝BC. ∵F 是AD 的中点， ∴DF ＝12AD ＝12BC.又∵CE＝12BC ，∴DF ＝CE ，且DF∥CE，∴四边形CEDF 是平行四边形； (2)过点D 作DH⊥BE 于点H. 在▱ABCD 中，∵∠B ＝60°， ∴∠DCE ＝60°， ∴∠CDH ＝30°， ∵AB ＝4，∴CD ＝AB ＝4，∴CH ＝12CD ＝2，DH ＝2 3.在▱CEDF 中，CE ＝DF ＝12AD ＝3，则EH ＝1.∴在Rt △DHE 中，根据勾股定理知DE ＝（23）2＋1＝13.6．(2019贵州中考)如图，DB ∥AC ，且DB ＝12AC ，E 是AC 的中点．(1)求证：BC ＝DE ；(2)连接AD ，BE ，若要使四边形DBEA 是矩形，则应给△ABC 添加什么条件，为什么？解：(1)∵E 是AC 的中点， ∴EC ＝AE ＝12AC.∵DB ＝12AC ，∴DB ＝EC.又∵DB∥EC，∴四边形DBCE 是平行四边形． ∴BC ＝DE ；(2)添加AB ＝BC.∴四边形DBEA 是平行四边形． ∵BC ＝DE ，AB ＝BC ，∴AB ＝DE.∴▱DBEA 是矩形．【方法总结】掌握平行四边形、矩形的性质及判定方法． 请完成精练本第29页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图所示的正三棱柱，它的主视图、俯视图、左视图的顺序是（ ）A.①③②B.②①③C.③①②D.①②③2．如图，,,AB AC BD 是O 的切线，切点分别是,,P C D ．若5,3AC BD ==，则AB 的长是( )A ．2B ．4C ．6D ．83．已知反比例函数2y x =-，下列说法不正确的是（ ） A ．图像必经过点()1,2- B ．y 随着x 的增大而增大C ．图像分布在第二，四象限内D ．若1x >，则20y -<< 4．电影《流浪地球》从2月5日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父子情获得大众的喜爱与支持，截止3月底，中国电影票房高达4559000000元．数据4559000000用科学记数法表示为（ ）A ．845.5910⨯；B ．945.5910⨯；C ．94.55910⨯；D ．104.55910⨯．5．下列命题中真命题的有（ ）①同位角相等；②在△ABC 中，若∠A=12∠B=13∠C ，△ABC 是直角三角形；③两条对角线互相垂直的四边形是菱形；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．A ．0B ．1C ．2D ．36．如图，直线l 1⊥x 轴于点（1，0），直线l 2⊥x 轴于点（2，0），直线l 3⊥x 轴于点（3，0），……直线l n ⊥x 轴于点（n ，0）．函数y ＝x 的图象与直线l 1、l 2、l 3、…、l n 分别交于点A 1、A 2、A 3、…、A n ；函数y ＝2x 的图象与直线l 1、l 2、l 3、…、l n 分别交于点B 1、B 2、B 3、…、B n ．如果△OA 1B 1的面积记作S 1，四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积记作S 3，…，四边形A n ﹣1A n B n B n ﹣1的面积记作S n ，那么S 2018＝（ ）A ．2017.5B ．2018C ．2018.5D ．20197．若0＜m ＜2，则关于x 的一元二次方程﹣（x+m ）（x+3m ）＝3mx+37根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个正根C ．有两个根，且都大于﹣3mD ．有两个根，其中一根大于﹣m8．下列运算正确的是（ ）A ．3a 2•a 3＝3a 6B ．5x 4﹣x 2＝4x 2C ．（2a 2）3•（﹣ab ）＝﹣8a 7bD ．2x 2÷2x 2＝09．若5-m （0，则（ ）A ．m ＜5B ．3≤m＜5C ．3≤m≤5D ．3＜m ＜5 10．不等式组222x x >⎧⎨-≥-⎩的解集在数轴上表示为( )A ．B ．C ．D ．11．如图，将曲线c 1：y ＝k x（x ＞0）绕原点O 逆时针旋转60°得到曲线c 2，A 为直线y 上一点，P 为曲线c 2上一点，PA ＝PO ，且△PAO 的面积为y 交曲线c 1于点B ，则OB 的长（ ）A ．B ．5C ．D 12．已知a 2﹣b 2＝6，a+b ＝2，则a ﹣b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．如图，在边长为1的正方形ABCD的各边上，截取AE＝BF＝CG＝DH＝x，连接AF、BG、CH、DE构成四边形PQRS．用x的代数式表示四边形PQRS的面积S．则S＝___．14．若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的方差为_____．15．如图，在一条南北走向的高速公路左侧有一古塔C，小亮爸爸驾驶汽车沿高速公路从南向北匀速行驶，上午9：00他行驶到A点时，测得塔C在北偏西37°方向，上午9：11行驶到B点时，测得塔C在南偏西63.5°方向，若汽车行驶的速度为90km/h，则在行驶的过程中，汽车离塔C的最近距离约是_____km．（sin37°≈35，tan37°≈34，sin63.5°≈109，tan63.5°≈2）16．如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．17．如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了__s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．18．若a+b ＝3，a 2+b 2＝7，则ab ＝_____．三、解答题19．计算：214sin 4522-⎛⎫︒--- ⎪⎝⎭． 20．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠ABC 的平分线交AD 于点F ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若AE ＝6，BF ＝8，平行四边形ABCD 的面积是36，求AD 的长．21．111(9)(9)339x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦22．计算：101230()3cos -+︒- 23．某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A 区域时，所购买物品享受9折优惠、指针指向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受8折优惠，其它情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同（若指针指向分界线，则重新转动转盘）（1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为 ；（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率．24．已知点A(﹣1，4)在反比例函数y ＝k x 的图象上，B(﹣4，n)在正比例函数y ＝12x 的图象上 (1)写出反比例函数y ＝k x的解析式； (2)求出点B 的坐标． 25．问题发现：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边AD 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E ，则线段BD 与CE 有何数量关系？拓展探究：如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决：如果△ABC 的边长等于，AD ＝2，直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．2 (1)1xx-+.14．515．916． 417．．18．1三、解答题19．-6【解析】【分析】将特殊三角函数值代入、先计算乘方、化简二次根式和去绝对值符号，最后相加减即可. 【详解】解：原式＝4(242⨯---＝24+＝﹣6．【点睛】考查了特殊三角函数的混合运算，解题关键是熟记特殊三角函数及其运算法则.20．(1)见解析；（2）15 2（1）由平行四边形的性质和角平分线的性质可证BA＝BE＝AF，即可证四边形ABEF是菱形；（2）由菱形的性质和勾股定理可求BE＝5，由菱形的面积公式可求AH＝245，由平行四边形的面积公式可求AD的长．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE，同理：AB＝AF∴AF＝BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形（2）如图，过A作AH⊥BE，∵四边形ABEF是菱形，∴AO＝EO＝12AE＝3，BO＝FO＝12BF＝4，AE⊥BF，∴BE5，∵S菱形ABEF＝12AE•BF＝12×6×8＝24，∴BE•AH＝24，∴AH＝245，∴S平行四边形ABCD＝AD×AH＝36，∴AD＝152．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．21．x=0根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答.【详解】111(9)(9)339x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦ 193(3)93x x x x --+=- 9299x x x --=-60x =0x =【点睛】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解题步骤是关键.注意：单个的数字或字母去分母时不要漏乘.22．【解析】【分析】按顺序依次计算负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，然后再按运算顺序进行计算即可．【详解】原式【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握负整数指数幂、三角函数值、二次根式的性质及零指数幂的规定．23．（1）14；（2）16【解析】【分析】（1）由转动转盘甲共有四种等可能结果，其中指针指向A 区域只有1种情况，利用概率公式计算可得；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中确定指针指向每个区域的字母相同的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解：（1）若选择方式一，转动转盘甲一次共有四种等可能结果，其中指针指向A 区域只有1种情况，∴享受9折优惠的概率为14，故答案为：14；（2）画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有2种结果，所以指针指向每个区域的字母相同的概率，即顾客享受8折优惠的概率为21 126=．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．(1)4yx=；(2)点B的坐标为：(﹣4，﹣2)．【解析】【分析】(1)把A(﹣1，4)代入反比例函数y＝kx即可求解；(2) 把B(﹣4，n)代入正比例函数y＝12x即可求解.【详解】解：(1)∵点A(﹣1，4)在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝(﹣1)×4＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：4yx =．(2)∵B(﹣4，n)在正比例函数y＝12x的图象上，∴12×(-4)=n，∴n＝﹣2，即点B的坐标为：(﹣4，﹣2)．【点睛】本题考查的是反比例函数和正比例函数，熟练掌握两者是解题的关键.25．问题发现：BD＝CE；拓展探究：结论仍然成立，见解析；问题解决：BD的长为2和【解析】【分析】问题发现：如图1，由平行线分线段成比例定理可得BD＝CE；拓展探究：如图2，证明△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；问题解决：分两种情况：①如图3，在直角三角形中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DG＝1，由勾股定理求出AG BG，从而计算出BD的长．②如图4，求EF的长和CF的长，根据勾股定理在Rt△EFC中求EC的长，所以BD＝EC＝【详解】解: 问题发现：如图1,BD=CE,理由是∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵DE∥BC,∴BD=CE,拓展探究：结论仍然成立,如图2,由图1得,△ADE是等边三角形,∴AD=AE,由旋转得∠BAD=∠CAE,△BAD≌△CAE,(旋转的性质)∴BD=CE,问题解决：当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时,设垂足为点F,此时有两种情况:①如图3,∵△ADE是等边三角形,AF⊥DE,∴∠DAF=∠EAF=30°,∴∠BAD=30°,过D作DG⊥AB,垂足为G,∵AD=2,∴∵∴∴BD=2（勾股定理）,②如图4,同理得△BAD≌△CAE, ∴BD=CE,∵△ADE是等边三角形, ∴∠ADE=60°,∵AD=AE,DE⊥AC,∴∠DAF=∠EAF=30°,∴EF=FD=12AD=1,∴∴,在Rt△EFC中===∴综上所述,BD的长为2和【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了等边三角形、全等三角形的性质与判定；在几何证明中，如果出现等边三角形，它所得出的结论比较多，要准确把握需要利用哪些结论进行证明；此类题的解题思路为：证明两个三角形全等或利用勾股定理求边长；如果有平行的关系，可以考虑利用平行相似来证明．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列命题，是真命题的是( )A．菱形的对角线相等B．若|a|＝|b|，那么a＝bC．同位角一定相等D．函数y＝11x的自变量的取值范围是x≠﹣12．如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝10cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1），再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A．165B．83C．85D．1033．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝40°，∠2＝50°C．∠1＝30°，∠2＝60°D．∠1＝∠2＝45°4．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120”，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE：②S△ODE＝S△BDE：③四边形ODBE的面；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.45．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径作弧，两弧交于点M、N；第二步，过M、N两点作直线分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=8，AF=6，CD=4，则BE的长是（）A ．12B ．11C ．13D ．106．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（ ）A.10B.8C.6D.47．如图，点D 在半圆O 上，半径OB ＝，AD ＝10，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，H 是AC 上一点，∠DHC ＝90°，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B ，点 B 的坐标为 (，M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 的圆心C 的坐标是( )A ．1)22B ．1)2- C ．1()2D ．1()2- 9．如图，在四边形AOBC 中，若∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则下列结论正确的有（ ） （1）A 、O 、B 、C 四点共圆 （2）AC ＝BC（3）cos ∠1＝2a bc+ （4）S 四边形AOBC ＝()sin 12a b c +⋅∠A．1个B．2个C．3个D．4个10．在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（）A．B．C．D．11．如图，已知菱形ABCD，AB=4，BAD=120∠︒，E为BC中点，P为对角线BD上一点，则PE+PC 的最小值等于( )A. B. C. D.12．下列计算正确的是（）A．=B．1)(11+-=C．﹣（﹣a）4÷a2＝a2D．2111 (xy)xy xy24-⎛⎫=⎪⎝⎭二、填空题13．方程1322xx x+=--的解为__________．14．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=_____°．15．如图，∠AOB＝10°，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2 P3；……请按照上面的要求继续操作并探究：∠P 3 P 2 P 4＝_____°；按照上面的要求一直画下去，得到点P n ，若之后就不能再画出符合要求点P n+1了，则n ＝_____． 16．已知:()521x x ++=,则x ＝______________．17．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 、E 、F 是三边的中点，则△DEF 的周长是_____．18．若点P （m ，2）与点Q （3，n ）关于x 轴对称，则P 点关于原点对称的点M 的坐标为_____． 三、解答题19．图①、图②均是3×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB 的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中各画一个△APC ，使点P 在线段AB 上，点C 为格点，且∠APC 的正切值为2．要求：（1）图①中的△APC 为直角三角形，图②中的△APC 为锐角三角形．（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹.20．现有24个劳力和1000亩鱼塘可供对虾、大黄鱼、蛏子养殖，所需劳力与每十亩产值如下表所示．另外设对虾10x 亩，大黄鱼10y 亩，蛏子10z 亩．（1）用x 的式子分别表示y 、z ；（2）问如何安排劳力与养殖亩数收益最大？21．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ．将线段AB 沿数轴向右移动，移动后的线段记为A′B′，按要求完成下列各小题（1）若点A 为数轴原点，点B 表示的数是4，当点A′恰好是AB 的中点时，数轴上点B′表示的数为 ．（2）设点A表示的数为m，点A′表示的数为n，当原点在线段A′B之间时，化简|m|+|n|+|m﹣n|．22．某市将开展演讲比赛活动，某校对参加选拔的学生的成绩按A、B、C、D四个等级进行统计，绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图，（1）求m、n的值；（2）求“C等级”所对应的扇形圆心角的度数；（3）已知成绩等级为A的4名学生中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名学生代表学校参加全市比赛，求出恰好选中一男生和一女生的概率23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）当点P运动到抛物线顶点时，求四边形ABPC的面积；（3）点Q是x轴上的一个动点，当点P与点C关于对称轴对称且以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．24．如图是云梯升降车示意图，其点A位置固定，AC可伸缩且可绕点A转动，已知点A距离地面BD的高度AH为3.4米．当AC长度为9米，张角∠HAC为119°时，求云梯升降车最高点C距离地面的高度．（结果保留一位小数）参考数据：sin29°≈0.49，cos29°≈0.88，tan29°≈0.5525．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛五，羊二，直金十二两.牛二，羊五，直金九两，牛羊各直金几何？”意思是：5头牛，2只羊共价值12两“金”.2头牛，5只羊共价值9两“金”.求每头牛，每只羊各价值多少两“金”？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．52 x14．5815．816．-5或-1或-317．618．（﹣3，﹣2）三、解答题19．见解析.【解析】【分析】根据正切函数的定义，结合网格特点作图即可．【详解】解：如图所示，图①中的△APC为直角三角形，图②中的△APC为锐角三角形．由题意可知，是DE,AB的中点，。

探索认识的奥秘第二十一课2024年部编版高考政治一轮复习课件　在实践中追求和课时2发展真理真理是客观的、具体的有条件的核心考点一追求真理是一个过程课时精练核心考点二内容索引核心考点一　真理是客观的、具体的有条件的考点精讲夯实必备知识1.真理的含义：真理是标志主观同客观相符合的哲学范畴，是人们对客观事物及其规律的正确反映。

意识、认识、真理、科学理论意识认识真理科学理论区别含义是人脑对客观存在的反映，相对于物质而言是主体对客体的能动的反映，相对于实践而言是人们对客观事物及其规律的正确反映，相对于谬误而言是真理性认识的系统化形成的理论体系，相对于个别真理而言性质有正确与错误之分属于正确的认识①内容都是客观的，形式都是主观的联系②都对人的实践活动具有能动的反作用2.真理的特征属性理解要求客观性(最基本)①原因：任何真理所反映的内容(客观事物及其规律)是客观的；真理的检验标准(实践)是客观的②表现：在同一条件下人们对同一对象的真理性认识只有一个而不可能有多个承认真理的客观性，就应当坚持“在真理面前人人平等”有条件的(空间、横向)任何真理都有自己适用的条件和范围，如果超出了这个条件和范围，真理就会变成谬误要正确把握真理的适用条件和范围具体的(时间、纵向)任何真理都是相对于特定的过程来说的，都是主观与客观、理论与实践的具体的历史的统一要随着历史条件的变化而丰富、发展和完善真理归纳提升真理是绝对性和相对性的统一3.真理与谬误的关系(1)区别：真理是标志主观同客观相符合的哲学范畴，是人们对客观事物及其规律的正确反映。

谬误是人们对客观事物及其规律的错误反映，它同真理有着严格的界限，二者是相互对立的。

(2)联系①真理与谬误相互依存，互为前提。

没有谬误作比较，就无所谓真理；没有真理作比较，也就无所谓谬误。

事实上，在人的认识过程中，不可能只有真理而没有谬误，任何人都不可能完全避免错误的发生。

②真理与谬误在一定条件下相互转化。