2020-2021学年江西省新余一中、宜春一中高二上学期联考数学试题 Word版

姓名，年级：时间：新余一中宜春一中2021届高二联考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）．1.已知集合{}260A x Z x x =∈--<，{}1B x x =>-，则A B =（ ）A.{}|13x x -<<B.{}012,, C 。

{}1012-,,, D.{}210--,,2。

i 是虚数单位，若2(,)1ia bi ab R i+=+∈+，则lg()a b +的值是( ） A ．2- B 。

1- C 。

0 D.123.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：2213=+,23135=++,241357=+++，…3235=+,337911=++,3413151719=+++，…根据上述分解规律，则213511m =++++,3p 的分解中最小的正整数是21，则m p +=（ ）A 。

9 B.10 C 。

11 D.124.“方程22123x y m m +=-+表示双曲线”的一个充分不必要条件是( ） A.30m -<< B 。

32m -<< C.34m -<<D.13m -<<5。

如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. 14B ．16C ．15D ．176.已知函数()2f x x bx =+的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2017S 的值为( ） A.20162017 B 。

20142015 C 。

20152016 D 。

201720187。

如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心,M是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线,NO AM 的位置关系是（ ） A.平行B 。

空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单项选择题1．（江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二8月入学考试）已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（ ）A ．6或2-B ．6或2C ．3或4-D ．3-或4【答案】A【解析】AB ==()2216x -=，解得：2x =-或6x =．故选A2．（2020江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ 的长度为( )A B ．5C D 【答案】B【解析】由题得2(3,4,0),35PQ PQ =∴=+=，所以线段PQ 的长度为5． 故答案为B3．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ）A ．13- B ．-3 C ．13D ．6【答案】A【解析】因为//m n ，所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=， 所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-．故选A ．4．（江西省新余一中、宜春一中2021届高二联考）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出NO 与AM 的坐标，即可判断位置关系．【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,0,1)M ，(1,1,0)O ，(2,1,2)N ，∴(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-．∵0NO AM ⋅=，∴直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直． 故选: C5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．2aB ．212aC ．214a D 2 【答案】C【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=，故选C. 6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OBb =，OC c =则OP =（ ）A ．111666a b c ++B ．111333a b c ++C ．111633a b c ++D ．111366a b c ++【答案】C【解析】如图所示，连接ON ，∵OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，所以13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =，∴13OP ON NP ON NM =+=+121()333ON OM ON ON OM =+-=+21()32OB OC =⨯+1132OA +⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故选C ． 7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定【答案】A【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-， 所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选A8．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ，再求向量模长即可． 【解析】()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，，(),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=，()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，，(2213a b ∴+=+-=，故选C ．9．（江西省宜春市2016-2017学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +-D ．221b 332a c -+-【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选B10．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（ ）A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++D ．111366AA AB AD '++【答案】D【解析】∵点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =， ∴111111()333236AF AE AA A E AA A C AA A C ⎛⎫''''''''==+=+=+ ⎪⎝⎭ 11()36AA A B A D '''''=++111366AA AB AD '=++，故选D ． 11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D【解析】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅，AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，i AB BP ∴⋅=，21i AB AP AB ∴⋅==，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个，故选D .12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为（ ） A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，－3) D ．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy 平面对称的点的,x y 坐标不变，只有z 坐标相反． 【解析】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-．故选D ．13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ）A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--【答案】C【分析】根据题意求出2(4,0,2)a=-，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．【解析】因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2(4,0,2)a =-，则2(4,0,2)(0,1,2)(4,1,0)a b -=---=-，故选C ．14．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x y +等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】如图，()111111112AE AA A E AA A B A D =+=++ ()11111222AA AB AD AA AB AD =++=++，所以12x y ==，所以1x y +=．故选C15．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系O xyz -中，已知两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则这两点间的距离为（ ）A BC ．D ．18【答案】B【解析】根据题意，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则12||PP =B ．16．（湖北省恩施高中2020届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B ））已知向量()1,2a =，()3,b x =，()1,1c y =--，且//a b ，b c ⊥，则x y ⋅的值为（ ）A ．6B ．32 C ．9D ．132-【答案】C【解析】∵//a b ，∴60x -=，6x =，∴向量()3,6b =， ∵b c ⊥，∴()3610y -+-=，∴32y =，∴9x y ⋅=．故选C ． 17．（四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若()1,1,0A ，()13,0,12AB =，则点B 的坐标为（ ） A ．()5,1,2-- B ．()7,1,2- C ．()3,0,1 D ．()7,1,2【答案】D【分析】首先设出点(,,)B x y z ，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果． 【解析】设(,,)B x y z ，所以(1,1,)2(3,0,1)(6,0,2)AB x y z =--==，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以712x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为(7,1,2)，故选D ．18．（广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c --B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +-D ．111442a b c -++【答案】D 【解析】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++．故选D ．19．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】因为向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，所以23p a b c =++， 设p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+⇒++-+，有13223x y x y x z +=⎧⎪-=⇒=⎨⎪=⎩，12y，3z =，p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．20．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C所成角的余弦值为（ ）A． B ．15- C ．15D．5【答案】D【分析】用向量1,,AB BC BB 分别表示11,AM BC ，利用向量的夹角公式即可求解． 【解析】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,2BC BC BB B C BC BB =-=+=，()211111111111cos ,AB BB BC BB AB BC BB A M B C A M B C A M B C⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⋅⎝〈〉===0122cos604⨯⨯+⨯==故选D21．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A．9 B．9CD ．23【答案】A【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则1C E (1,1,1)=--，设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =，则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩，取n (2,2,1)=--，则1,cos n C E =11n C E nC E⋅9==，设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ，则9sin θ=，9cos θ==．故选A ． 22．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B tt ，则A ，B 两点的距离的最小值为A．10 B．5C．5D ．35【答案】C【分析】由两点之间的距离公式求得AB 之间的距离用t 表示出来，建立关于t 的函数，转化为求函数的最小值．【解析】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+，有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95，AB ∴，故选C ．23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-，设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||(1PM ==||(11)(1PN z =--+=所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===12c =时，||PQ 取得最小值4，此时P 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点．故选B24．（云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二7月月考数学（理）试题）长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A BCD ．【答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值．【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,1,2C 、()2,1,1E ，()2,1,1AE =，()10,1,2BC =，111cos ,6AE BC AE BC AEBC ⋅<>===⋅． 因此，异面直线1BC 与AE ．故选B ． 25．（广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））在正方体ABCD --A 1B 1C1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A．5-B．5C ．D 【答案】B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【解析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，， 设平面1B BD 的法向量为() ,,x n y z =，∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，，∴10cos ,n BE n BE n BE ⋅==⋅，设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ．26．（陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（ ）A ． BC ．D 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则2=1AB ，2=1AD ，21=4AA ，0AB AD ⋅=，111cos 1AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 1AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++()1222111222AB AD AA AB AA AB AD AD AA =+++⋅+⋅+⋅==，故选B ．27．（2020届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4 B ．[]0,2 C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2．故选B ．【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题．28．（湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）A ．52B ．2C ．32D ．116【答案】A【解析】由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=．故选A ．29．（安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-， 所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以2cos QP QB QP QBx zα⋅==⋅+又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，sin QP CP QPβ⋅==所以cos β=cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 30．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53 C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=，||BP ∴==9255=， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．31．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE的一个法向量(m x=+-，底面ABC的一个法向量为(0,0,1)n =，cos|cos,|m nα=<>==当1(0,)2x∈，cosα随着x增大而增大，则α随着x的增大而减小，当1(,2)2x∈，cosα随着x增大而减小，则α随着x的增大而增大．故选D．32．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设(,,)Q x y z，根据点Q在直线OP上，求得(,,2)Qλλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB⋅取得最小值，即可求解．【解析】设(,,)Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得OQ OPλ=，即(,,)(1,1,2)x y zλ=，可得(,,2)Qλλλ，所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---，则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．33．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.34．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ）A ．24B ．23 C ．3 D ．3 【答案】C【分析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值． 【解析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1D B C A ∴()()()111,0,1,1,0,1,1,1,0BC A D BD =-=--=--， 设(),,n x y z =是平面1A BD 的一个法向量，∴100n A D n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =--，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ， ∴11126sin cos ,323BC nBC n BC nθ⋅-=〈〉===⨯， ∴23cos 1sin θθ=-1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是33， 故选C.【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角．35．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈， ()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2AP λ=，设1A P 与BD 所成角为θ，则cos 2DB APDB APθ⋅===⋅ ==12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ． 36．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A．4B ．6C．14D【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-，记直线1A C 与平面ABCD 所成角为θ，则11sin 4cos ||CA nCAn θ⋅===⋅设315cos ,,sin 222t αθ⎡⎤=+∈=≤=⎢⎥⎣⎦ 所以直线1A C 与平面ABCD ，故选A ． 二、多项选择题37．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a为单位向量 【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误．故选BD ．38．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（ ） A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅． 【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选AB.39．（广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A ．点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4 B ．到()1,0,0的距离小于1的点的集合是()(){}222,,11x y z x y z -++<C ．点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()2,2,2D ．点()1,2,0关于平面yOz 对称的点的坐标为()1,2,0- 【答案】BCD【解析】对于选项A ：点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，所以A 不正确； 对于选项B ：点(),,x y z到()1,0,0的距离小于11<，所以B 正确；对于选项C ：点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()132231,,2222,2,2⎛⎫=⎪⎝⎭+++，所以C 正确；对于选项D ：由点(),,x y z 关于平面yOz 对称的点的坐标为(),,x y z -，所以D 正确． 故选B C D ．40．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列结论正确的是（ ）A ．211AB AC a ⋅=- B ．212BD BD a ⋅= C ．21AC BA a⋅=- D ．212AB AC a ⋅=【答案】BC【解析】如下图所示：对于A 选项，()2211AB AC AB AC AB AB AD AB a ⋅=⋅=⋅+==，A 选项错误；对于B ，()()()()2221112BD BD AD AB BD DD AD AB AD AB AA AD AB a ⋅=-+=--+=+=，B 选项正确；对于C 选项，()()2211AC BA AB AD AA AB AB a ⋅=+⋅-=-=-，C 选项正确；对于D 选项，()2211AB AC AB AB AD AA AB a ⋅=⋅++==，D 选项错误．故选BC ．41．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-，所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确；()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.42．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD 【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． 43．（福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅不是定值 C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值 D ．11DC D P ⊥【答案】ACD【解析】A ．因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B ．11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos901212AA DC A P DC =+=⨯⨯=，故11AP DC ⋅=，故B 不正确； C ．1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确； D ．111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A =，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确．故选ACD44．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确．故选ABC ．45．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-，设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =，所以(1,2,1)n =， 同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确； 三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确．故选CD ．46．（山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱锥1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】BC【解析】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<< ()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=-，(111cos ,01D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<++-1301,01,,24a b D P AC ππ<<<<∴<<∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确；对于C ，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误；故选BC ．47．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD【解析】如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-,∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--,()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠， ∴AC 与AF 不垂直，A 错误．E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D ，∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等，∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离，A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△，∴1134224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确．故选BD ．48．（江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高三上学期开学测试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为1，又BC '与B C '交于点O ，则（ ）A ．AO =111222AB AC AA '++ B ．AO B C '⊥C ．三棱锥A BB O '-D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱ABC A B C '''-如图所示，向量()()111222AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA ''=+=++=+-+ 111222AB AC AA '=++，故选项A 正确；在AOC △中，1AC =，22OC，1OA ==， 222OA OC AC +≠，所以AO 和B C '不垂直，故选项B 错误；在三棱锥A BB O '-中，14BB O S '=，点A 到平面BB O '的距离即ABC 中BC 边上的高，所以h =以111334A BB O BB O V S h ''-==⨯=C 正确； 设BC 中点为D ，所以AD BC ⊥，又三棱柱是正三棱柱，所以AD ⊥平面BB C C ''，所以AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，112cos 12OD AOD OA ∠===，所以3AOD π∠=，故选项D 错误．故选AC49．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一））如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC所成角的余弦值为3C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以Q ，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==(1,2,3)n =--，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===，所以22cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛++-=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以2236⎫=⎪⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确．故选BD.50．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+， 22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=，3PA PB PC PQ ∴++=，即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确；对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=，0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=，()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=，0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+==2MN ∴=D 错误．故选ABC.三、填空题51．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝_________．。

江西省新余一中、宜春中学2021届高三数学期初联考试题 文 新人教A 版一．选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．每题中只有一项符合题目要求)i z -=1〔i 是虚数单位〕，那么22z z+=〔 〕A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．函数93)(23-++=x ax x x f ，)(x f 在3-=x 时取得极值，那么a =〔 〕 A ．2 B ．3C ．4D ．5024:22=-++y x y x C 平分的直线的方程可以是〔 〕A ．01=-+y xB ．03=++y xC ．01=+-y xD ． 03=+-y x4.如图是某几何体的三视图，那么此几何体的体积是( ) A ．36 B ．108 C ．72D ．180()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，那么A B ⋂的子集的个数是〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．1,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，|3|a b +等于( ) 7. A 10. B 13. C 15.D7．给出以下四个结论：①假设命题2000:,10p x x x ∃∈++<R ，那么2:,10p x x x ⌝∀∈++≥R ；② “()()340x x --=〞是“30x -=〞的充分而不必要条件；③命题“假设0m >，那么方程20x x m +-=有实数根〞的逆否命题为：“假设方程20x x m +-=没有实数根，那么m ≤0”；④假设0,0,4a b a b >>+=，那么ba 11+的最小值为1．其中正确结论的个数为A.1B.2C. 3D.4x y 42=的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，那么椭圆的离心率为〔 〕 A. 23- B ．21- C ．21 D ．22 9.函数)241(log )(22x x x f -+=，那么=+)103(tan)5(tanππf f 〔 〕 A ．1-B ．0C ．1D ．210.在函数||y x =〔[1,1]x ∈-〕的图象上有一点(,||)P t t ，该函数的图象与 x 轴、直线x ＝－1及 x ＝t 围成图形〔如图阴影局部〕的面积为S ，那么S 与t 的函数关系图可表示为〔 〕二．填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．设10,.tan ,23πααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭若则cos ={}n a 中，1346510,4a a a a +=+=，那么公比q 等于13．假设曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,那么k =14．定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.假设当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-,那么当10x -≤≤时,()f x = .15．实数x 、y 满足0401x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤，那么y x +2的最小值是 ．三．解答题(本大题共6小题，共75分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.〔此题总分值12分〕某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组[)14,13；第二组[)15,14，……，第五组[]18,17．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.〔I 〕假设成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； 〔II 〕设m 、n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且[][18,17)14,13,⋃∈n m ， 求事件“1>-n m 〞的概率.17. (本小题12分)函数()sin(2)sin(2)3233f x x x x m ππ=++--，假设()f x 的最大值为1〔1〕求m 的值，并求)(x f 的单调递增区间;〔2〕在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ,假设()31f B =3a b c =+，试判断三角形的形状.18. 〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：〔Ⅰ〕三角形PCD 的面积；〔II 〕三棱锥ABE P -的体积19.〔本小题总分值12分〕21()4f x x=-+点11(,)n n n P a a +-在曲线()y f x =上*n N ∈,11,0.n a a =>且 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设数列}{212+⋅n n a a 的前n 项和为n S ,假设对于任意的*n N ∈,使得212n S t t <--恒成立,求最小正整数t 的值．20.〔此题总分值13分〕椭圆()222210+=>>x y a b a b 的左右焦点为F 1，F 2，离心率为2,以线段F 1 F 2为直径的圆的面积为π， (1)求椭圆的方程；(2) 设直线l 过椭圆的右焦点F 2〔l 不垂直坐标轴〕，且与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M 〔m,0〕，试求m 的取值范围.21．R a ∈,函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f (1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; (2)当]2,0[∈x 时,求|)(|x f 的最大值.参考答案〔文〕 一．选择题 CDDBA CCBDB 二．填空题 11.10103 12. 12 13.-1 14. (1)()2x x f x +=- 15. -2三．解答题16. 解：〔Ⅰ〕由直方图知，成绩在)[16,14内的人数为：2738.05016.050=⨯+⨯〔人〕 所以该班成绩良好的人数为27人.〔Ⅱ〕由直方图知，成绩在[)14,13的人数为306.050=⨯人，设为x 、y 、z ；成绩在[)18,17 的人数为408.050=⨯人，设为A 、B 、C 、D .假设[)14,13,∈n m 时，有yz xz xy ,,3种情况；假设[)18,17,∈n m 时，有CD BD BC AD AC AB ,,,,,6种情况；假设n m ,分别在[)14,13和[)18,17内时， A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD zzAzBzCzD共有12种情况.所以根本领件总数为21种. 记事件“1>-n m 〞为事件E,那么事件E 所包含的根本领件个数有12种.∴P 〔E 〕=742112=. 即事件“1>-n m 〞的概率为47. 17解：(1) ()2sin 23cos2f x x x m =+-18．解：〔Ⅰ〕易证PCD ∆是一个直角三角形，所以32=∆PCD S 〔II 〕如图，设PB 的中点为H ，那么EH ∥BC ，而BC ⊥平面PAB ，所以HE 为三棱锥ABE P -的高，因此可求322==--PAB E ABE P V V19.解：〔1〕由题意得：014)(121>+-==-+n nn n a a a f a 且21141nn a a +=+∴数列}1{2na 是等差数列，首项112=na 公差d=4∴2143nn a =-，3412-=∴n a n 341-=∴n a n〔2〕2211111()(43)(41)44341n n a a n n n n +•==⨯--+-+由 111111111[()()()](1)415594341441n S n n n =-+-++-=--++ ∵*N n ∈, ∴14n S ≤21412--≤∴t t 解得 32t ≥∴t 的最小正整数为2 20.解： (1)由离心率为2得: c a= 2①又由线段F 1 F 2为直径的圆的面积为π得: πc 2=π, c 2=1 ② ……………2分由①, ②解得a ∴b 2=1,∴椭圆方程为2212+=x y ………………4分21.解：(Ⅰ)由得:2()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-,且(1)133331f a a =-++-=,所以所求切线方程为:1(33)(1)y a x -=--,即为:3(1)430a x y a --+-=;(Ⅱ)由得到:2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+,其中44a ∆=-,当[0,2]x ∈时,(2)0x x -≤,(1)当0a ≤时,()0f x '≤,所以()f x 在[0,2]x ∈上递减,所以|})2(||,)0({||)(|max f f x f =,因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-;(2)当440a ∆=-≤,即1a ≥时,()0f x '≥恒成立,所以()f x 在[0,2]x ∈上递增,所以|})2(||,)0({||)(|max f f x f =,因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-;(3)当440a ∆=->,即01a <<时,212()363011f x x x a x x '=-+=∴=-=+ ,且1202x x <<<,即x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,2)x2 ()f x '+ 0 -+()f x33a -递增极大值 递减 极小值递增31a -所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--,且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<所以12()|()|f x f x >,所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =; 由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<,所以 (ⅰ)当203a <<时,(0)(2)f f >,所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =,因为1()(0)12(1332(1(23)f x f a a a a -=+--+=---=,又因为203a <<,所以230,340a a ->->,所以1()(0)0f x f ->,所以max 1|()|()12(1f x f x a ==+-(ⅱ)当213a ≤<时,(2)0,(0)0f f ><,所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =,因为1()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+--+=---=,此时320a ->,当213a <<时,34a -是大于零还是小于零不确定,所以 ① 当2334a <<时,340a ->,所以1()|(2)|f x f >,所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-② 当314a ≤<时,340a -<,所以1()|(2)|f x f <,所以此时max |()|(2)31f x f a ==-综上所述:max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎩。

2020-2021学年江西省宜春市高二第一学期期末统考文数试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,a b 是非零实数，若a b >，则一定有（ ） A ．11a b b a+>+ B ．2211ab a b> C ．11a b< D ．2ab b >2．已知命题:p “2,20x R x x ∀∈-+≥”，则p ⌝是 （ ） A ．x ∀∉R 2,20x x -+>B ．x ∀∉R 200,20x x -+≤ C ．0x ∃∈R 200,20x x -+<D ．0x ∀∉R 200,20x x -+≤3．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．192B ．212 C ．2155D ．23664．设1,02a b >>，若2a b +=，则1221a b+-的最小值为（ ） A．3+B ．6C ．9D ．35．若关于x 的不等式2122x x a a +-->+有实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()(),13,-∞-+∞6．已知函数()22(21,){(2,)n n k k N f n n n k k N **=-∈=-=∈且()()1n a f n f n =++，则1299...a a a +++=（ ）A ．0B ．100C ．101-D ．99-7．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为150的直线l 与抛物线在第一、二象限分别交于,A B 两点，则BF AF=（ ）A ．3 B．7+C ．13D．3+8．已知实数,x y 满足210{2,2410x y x z x y x y -+≥≤=+-+-≥，则z 的最大值与最小值之差为（ ） A ．5B ．1C ．4D ．739．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足10986a a a +=，若存在两项,m n a a使得14a =，则21m n+的最大值为（ ） A．123+B ．115C ．910D．3+10．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2,3b A π==，且1cos cos c bC A=-，则ABC ∆的面积为 （ ）AB．C．3D或11．函数()f x 的定义域为R ,()13f =，对任意x ∈R ，都有()()'2f x f x +<则不等式()·2xxe f x e e >+的解集为（ ） A ．{}|1x x <B ．{}|1x x >C ．{|1x x <-或}1x >D ．{|1x x <-或01}x <<二、填空题12．已知ABC ∆中，2,30a b B ===，则角A =__________．13．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.14．设12,F F 为双曲线22212x y a -=的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且123F PF π∠=，若此双曲线的离心率等于2P 到y 轴的距离等于__________． 15．①242y x x=+的最小值为6；②当0,0a b >>时，114a b ++≥；③()2112,02y x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值为227； ④当且仅当,a b 均为正数吋，2a b b a +≥恒成立. 以上命题是真命题的是__________．三、解答题16．已知函数()223f x x x =--+. （1）解不等式()0f x ≥；（2）若对任意实数x ,都有()3f x a x ≥-，求实数a 的取值范围. 17．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2B π≠，且3sin 3cos cos sin AC c B B+=. （1）求b 的值； （2）若3B π=,求ABC ∆周长的范围.18．在等差数列{}n a 中，7826a a -=且2231a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若124,,a a a 成等比数列，求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nS.19．近年来，某市在旅游业方面抓品牌创建，推进养生休闲度假旅游产品升级，其景区成功创建国家5A 级旅游景区填补了该片区的空白，某投资人看到该市旅游发展的大好前景后，打算在该市投资甲、乙两个旅游项目，根据市场前期调查， 甲、乙两个旅游项目五年后可能的最大盈利率分别为01000和0080，可能的最大亏损率分别为0040和0020，投资人计划投资金额不超过5000万，要求确保亏损不四超过1200万，问投资人对两个项目各投资多少万元，才能使五年后可能的盈利最大？20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 与双曲线2212x y -=共焦点，且点()1,2P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点()2,0A 作一条动直线与椭圆C 相交于,,P Q O 为坐标原点，求OPQ ∆面积的最大值及取得最大值时直线PQ 的方程. 21．已知函数()2111ln 12f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭, 其中0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当2n ≥时，111...3ln123ln 223ln 21nn n +++>++++恒成立.参考答案1．B 【解析】依题意，令1,1a b ==-代入验证可得A,C,D 选项错误.点睛：本题主要考查实数比较大小，最快捷的方法就是代入特殊值进行验证.如果想要直接证明，则一般采用差比较法或者商比较法来比较大小，或者采用函数的单调性结合图像来比较大小.如本题中的D 选项，()2ab b b a b -=-，其中0a b ->，但是b 的范围题目没有给，故2ab b -是否为正数无法判断. 2．C 【解析】依题意，根据全称命题的否定是特称命题，需要否定结论这个概念，选C . 3．C 【解析】依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，…… 101110112221,,101155a a a a ==+=. 4．D【解析】 依题意，1322a b -+=，根据基本不等式，有1212252125232123322132b a a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⋅=⋅++≥⋅+= ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 5．A 【解析】依题意，3,1{21,123,2x y x x x -≤-=--<<≥，画出12y x x =+--的图像如下图所示，由图可知223a a +<，解得()3,1a ∈-.6．C 【解析】根据()()()()()()2123412123,235,347,9a f f a f f a f f a =+=-=-=+==+=-=，以此类推991357919519719998199101nn a==-+-+--+-=-=-∑.7．A【解析】依题意，画出图象如下图所示，设,AF n BF m ==，由于直线倾斜角为150，所以在Rt ABE ∆中，30EAB ∠=，根据抛物线的定义有12BE m n ABm n -==+，化简得3m n =，即比值为3.8．C 【解析】依题意，画出可行域如下图所示，令24m x y =+-，即1222my x =-++，画出基准的直线12y x =-，通过平移基准的直线可知，目标函数24m x y =+-在,A B 处取得最值，将,A B 坐标代入24m x y =+-，求得最值分别为1,4-，[]4,1m ∈-，故[]0,4z m =∈，最大值减最小值为4.9．B 【解析】依题意，28886a q a q a +=，解得2q .14a =得216m n q +-=，6m n +=，6m n =-，21216m n n n +=+-，由于,m n 为正整数，令1,2,3,4,5n =，求得216n n +-的值分别为2212121211,,,,542332415+++++，最大值为111255+=.10．D 【解析】依题意，()1cos cos ,cos cos b C c A b c A b C -==+，由正弦定理得sin sin cos sin cos sin()sin cos cos sin B C A B C A C A C A C =+=+=+，化简得sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin B A =.当πcos 0,2C C ==时，2πtan 6a ==12S ab ==当sin sin B A =时，为等边三角形，面积为22=D . 点睛：本题主要考查三角函数很等变换的应用，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形你给的面积公式在解三角形中的综合应用，还需要结合分类讨论的数学思想方法来求解.首先利用正弦定理和三角形内角和公式化简已知条件，由于解有两个，所以需要对三角形的情况进行分类讨论. 11．A 【解析】依题意，构造函数()()2xxg x e f x e =-，其中()1g e =，()()()20x x g x e f x f x e ⎡⎤=+-''<⎣⎦，函数为减函数，故()()1g x g >的解集为{}|1x x <.点睛：本题主要考查本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件()()2f x f x +'<，这样我们就可以构造函数()()2xxg x e f x e =-，它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出()g x 的单调性，即函数()g x 为减函数，根据单调性可求得解集. 12．60或1202sin 30=，解得sin A =，故60,120A =. 13．11(,)23-- 【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．【解析】依题意，由222{b c a c a b ===+，解得2,a c ==，根据双曲线焦点三角形面积公式有212F F 21b cotπ22tan 6P S y∠===⋅，解得y =，代入双曲线方程解得x =15．②③依题意，当12x =-时，2420y x x =+<，①错误；只要0ab >，都有2b a a b+≥恒成立，④错误.对于②，114a b ++≥≥，当且仅当1a b ==时等号成立，正确.对于③，()()()3211412122124121244327x x x x x x x x +-+-⎡⎤-=⋅--≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当1124,6x x x -==时，等号成立，正确.点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，基本不等式包括正方向的a b +≥，也包括反方向的22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，再根据合情推理与演绎推理，有33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.在利用基本不等式求最值的过程中，要注意一正二等三相等，求得最值时一定要注意验证等号成立的条件.16．（1）5{|5}3x x -≤≤;(2) 5a ≤. 【解析】试题分析：（1） 零点分段法去绝对值，将()f x 表示成分段函数，由此解得解集为55,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）原不等式等价于23x x a -++≥恒成立.左边()23235x x x x -++≥--+=，故5a ≤. 试题解析：（1）1.当0x ≤时，()22322350f x x x x x x =--+=-++=+≥ 解得50x -≤≤2.当2x ≥时，()22322310f x x x x x x =--+=--+=-+≥ 解得无解3.当02x <<时，()223223350f x x x x x x =--+=--+=-+≥ 解得503x <≤综上可知不等式解集5{|5}3x x -≤≤（2）()3f x a x ≥-恒成立，即()23f x x x a =-++≥恒成立()23235x x x x -++≥--+=,故有5a ≤.17．(1) 3b =;(2) (6,9]a b c .【解析】试题分析：（1）利用三角形内角和定理化简已知条件得到sin 3sin c B C =，利用正弦定理求得b ；（2）利用正弦定理，将三角形的三条边转化为角的形式，然后利用辅助角公式化简，最后根据三角函数值域的求法求得周长的取值范围. 试题解析：（1）：由sin 3cos cos 3sin AC c B B+=得到3sin cos sin cos 3sin B C c B B A += ()3sin cos sin cos 3sin 3sin cos 3cos sin B C c B B B C B C B C +=+=+得到：sin cos 3cos sin c B B B C =，由于cos 0B ≠，故sin 3sin c B C =由正弦定理3sin sin sin c b C B B==得到3b =; (2)由正弦定理3sin sin sin sin3a cb A C Bπ====得到)23sin sin 3sin sin 3a b c A C A A π⎤⎛⎫++=++=++-⎪⎥⎝⎭⎦13sin sin 36sin 26A A A A π⎤⎛⎫=+++=++⎥ ⎪⎝⎭⎦203A π<<,故5666A πππ<+< 得到1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，于是(]6,9a b c ++∈ 18．(1) 2939168n a n =-或n a n =;(2) 1(1)22+=-⋅+n n S n . 【解析】试题分析：（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a d ，列方程组求出1,a d ，由此求得数列的通项公式；（2）根据第一问的结论和124,,a a a 成等比数列，判断n a n =，化简22n a n n a n ⋅=⋅，这是等差数列乘以等比数列，用错位相减法求其前n 项和.试题解析：（1）781256a a a d -=+=()()()()2222311264631a a a d a d d d -=+-+=---=得到21645290d d -+=，解得1d =或2916d = 当1d =时：11a =，此时n a n =； 当2916d =时，14916a =-，此时2939168n a n =-； 2939168n a n =-或n a n =（2）由124,,a a a 成等比数列，可知n a n =则1231222322n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅ 234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅两式相减得到()11231112222222212212n n n n n n S n n n ++++--=+++-⋅=-⋅=-⋅--故()1122n n S n +=-⋅+19．甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000万元 【解析】试题分析：设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y 万元.根据已知条件可列出可行域为5000{0.40.212000,0x y x y x y +≤+≤≥≥，目标函数为0.8z x y =+，画出可行域，根据图像可知目标函数在点()1000,4000处取得最大值.试题解析：设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y 万元5000{0.40.212000,0x y x y x y +≤+≤≥≥求0.8z x y =+最大值 如图作出可行域当目标函数结果点()1000,4000A 时，0.8z x y =+取得最大值为4200 万元，此时对甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000 万元盈利最大.20．(1) 22136x y +=;(2) 2x y =+.【解析】试题分析：（1）双曲线的焦点为(0,F ，即223a b =+，将1,2代入椭圆的标准方程，由此解得226,3a b ==；（2）设出直线AB 的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式和三角形面积公式写出面积的表达式，利用换元法求得面积最大值和直线PQ 的方程. 试题解析：（1）可解得双曲线焦点坐标为(0,F ,设方程为22221(0)x y a b b a+=>>可得到：2222141{3b a a b +=∴-= , 解得 226{3a b =∴=所以椭圆C 的方程为22136x y +=（2）设直线AB 方程为2x my =+ 则()22222{22626x my y my x y =+∴++=+= 得到()2221820m y my +++=()22648210m m ∆=-+> 解得: 216m >则()()1221122121112222OPQ S x y x y my y my y y y ∆∴=-=+-+=-令t =,则2216t m +=2241442216OPQ S t t t t ∆===≤=++++当且仅当2t =时取得等号,即m =时，此时面积最大值为2此时直线PQ 方程为2x y =+. 点睛：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查双曲线和椭圆的定义与标准方程.第一问给定双曲线的方程，实际上是出椭圆焦点的坐标，利用椭圆上一点列方程组可求出椭圆,a b 的值.第二问研究有关直线和圆锥曲线相交所得三角形面积的最值，则利用弦长公式和点到直线距离公式先将面积的表达式求出来，再考虑用换元法和基本不等式来求最大值. 21．（1）见解析.（2）见解析 【解析】试题分析：（1）函数的定义域为正实数，求导通分后，通过比较导函数两个零点的大小来分类讨论函数的单调区间；（2）由（1）知，当23a =-时，函数()f x 在0,1上递减，在1,上递增，最小值为()11f =由此构造不等式()11113ln 211x x x x x >=-+++，令x n =，利用裂项求和法即可证明不等式. 试题解析：（1）：定义域为{}0x x()()()()2111111'10ax a x x ax f x x ax a ax ax -++--⎛⎫=+-+=== ⎪⎝⎭， 解得1211,x x a==， 当0a <时：()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增； 当01a <<时：()f x 在()0,1递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增； 当1a =时：()f x 在()0,+∞递增；当1a >时：()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,1a⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,+∞递增；（2）当23a =-时，()2311ln 222f x x x x =-++在()0,1递减，在()1,+∞递增 则()()2311ln 11222f x x x x f =-++≥=得到()23ln 21x x x x x +≤+=+，当2x ≥时()11113ln 211x x x x x >=-+++累加得到：当2n ≥111111111113ln123ln223ln 212231111n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭原不等式得证.（思路点评：看结论可知需要累加，右边需要列项相消，赋值时考虑二次函数处需要凑出2x x +或2x x -就能方便取倒数后裂项相消，尝试后选择23a =-）.点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用构造法证明数列不等式，还考查了分类讨论的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.第一问研究函数的单调性，要先求定义域，求导通分后进行因式分解，此时导函数有两个零点，对零点的分布进行讨论得到函数的单调区间.第二问在第一问的基础上，取a 的一个特殊值构造不等式来证明.。

江西省新余市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次段考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若0a b <<，则下列不等式正确的是（ ） A ．11a b> B ．11a b< C ．22a b <D ．a b >2,则 ）项.A ．19B ．20C ．21D ．223．在ABC ∆中，若13,cos 2a A ==-，则ABC ∆的外接圆半径是( ) A ．12B．2C．D4．若数列满足112,0;2{121, 1.2n n n n n a a a a a +≤<=-≤<，167a =，则20a 的值为（ ）A ．67B ．57C ．37D ．175．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60A =，b =，为使此三角形只有一个，则a 满足的条件是( ) A．0a <<B ．6a =C．a ≥6a =D．0a <≤6a =6．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有( )块白色地面砖块.A ．4n-2B ．3n+3C ．4n+2D ．2n+47．在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ccosC=bcosB ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形8．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则前9项的和9S 等于（ ） A ．66B ．99C ．144D ．2979．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形10．一个等比数列{}n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A ．63B ．108C ．75D ．8311．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．212．以下结论正确的个数是（ ）①若数列()243nn n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭中的最大项是第k 项，则4k =.②在ABC ∆中，若22tan sin tan sin A B B A =，则ABC ∆为等腰直角三角形. ③设n S 、n T 分别为等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和，若2132n n S n T n -=+，则772541a b =. ④ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则3cos 4B =. ⑤在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠所对边，90C =︒，则a bc+的取值范围为(. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若2220a b c +-=，则角C 的大小为 ．14．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，946S =，则5a =______.15．在ABC 中，60A =︒，1b =，则sin sin sin a b cA B C________．16．设函数()21f x x =，()()222f x x x=-，()31sin 23f x x π=，99ii a =，0,1,2,,99i =⋅⋅⋅，记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-，1,2,3k =.则1I ，2I ，3I 大小关系是______.三、解答题17．等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S ．18．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，Ccos 2sin A C+=. （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC，求a 的值.19．已知公比小于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =，且23133a S =，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()31log 1n nb S +=-，若122311112551n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+=，求n 的值. 20．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sin α的值．21．如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.（1）求ACB ∠的大小；（2）若∠=∠ACB ABC ，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值.22．已知数列{}n a 满足14?=3n n a a --（2n ≥，且*n N ∈），且134a =-，设1423log (1)n n b a +=+，*n N ∈，数列{}n c 满足()1n n n c a b =+.（1）求证：数列{}1n a +是等比数列并求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）对于任意*n N ∈，[]0,1t ∈，212n c tm m --恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【分析】利用不等式的性质或举例可判断各项的正确与否. 【详解】因为0a b <<，所以110a b<< ，因此A 错，B 对；取2,1a b =-= ，可得22a b > ，故C错误；.取1,12a b =-= ，可得a b < ，故D 错误， 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质，此类问题可用不等式的性质或举例排除，本题属于基础题. 2．C 【解析】试题分析：观察式子,其中根式里面的数字为以6为公差的等差数列.而=1255(1)?621n n ∴=+-⇒=，所以答案为C.考点：等差数列 3．D 【解析】试题分析：因为正弦定理内容2sin sin sin a b cR A B C===可以计算出外接圆的半径.1cos 2A =-sin 2A ∴==2R R ==⇒=选D.考 点: 同角的三角函数关系 正弦定理 4．B 【解析】 ∵167a =，∴215217a a =-=，323217a a =-=，43627a a ==，∴545217a a =-=，653217a a =-=，76627a a ==，…，故该数列周期为3，∴20257a a ==，故选B5．C【详解】试题分析：利用正弦定理判断解的情况所以由上图表中计算，sin 62b A == 故答案为C 考点：正弦定理应用三角形解的个数 6．C 【详解】依次为6，10，14，所以第n 个图案中有4n+2块白色地面砖块.选C. 7．C 【解析】试题分析：利用余弦定理将角转化成边在利用因式分解对式子进行化简判断三角形的形状.222222cos cos ?·22a b c a c b c C b B c b ab ac+-+-=⇒= 所以有2242242222222()()()a c c a b b a c b c b c b -=-⇒-=-+若c=b,等式成立三角形为等腰三角形，或者222a b c =+三角形为直角三角形.所以答案为C.考点：余弦定理 8．B 【分析】由等差数列的性质可求得a 4=13，a 6=9，从而有a 4+a 6=22，由等差数列的前n 项和公式即可求得答案． 【详解】解：∵在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，44339,13a a ==，66327,9a a ==， 461922a a a a +=+=，∴数列{}n a 的前9项之和1999()2299922a a S +⨯===， 故选：B 【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n 项和公式是解决问题的关键，属于基础题． 9．C 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 10．A 【解析】试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故本题正确选项为A.考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项. 11．B 【分析】先分别求S 17，S 33，S 50，再求S 17＋S 33＋S 50的值. 【详解】S 17＝1－2＋3－4＋…＋17＝－8＋17＝9， S 33＝1－2＋3－4＋…＋33＝－16＋33＝17， S 50＝1－2＋3－4＋…－50＝－25， ∴S 17＋S 33＋S 50＝9＋17－25＝1. 故答案为：B 【点睛】(1)本题主要考查数列求和，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题利用的是并项求和. 12．D 【分析】对于①,由数列为正项数列可由11n na a +>与11n n aa +<,求得n 的取值范围,进而判断出数列的单调性,比较端点处的项即可求得最大项; 对于②将正切化为弦,结合正弦函数的和角公式化简后即可判断三角形形状;对于③根据等差数列性质及等差数列前n 项和公式,化简变形即可得解;对于④由等比中项的性质,结合余弦定理化简后即可得解;对于⑤由正弦定理,将边化为角,再根据正弦函数的图像与性质即可化简求得值域. 【详解】对于①,数列()243n n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为正项数列,则()243n n a n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()()112153n n a n n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.所以()()()()()()11215152334243n n nn n n n n a a n n n n ++⎛⎫++ ⎪++⎝⎭==⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭,若11n n a a +>,即()()()152134n n n n ++⋅>+,解得210n <,即1,2,3n =时数列{}n a 为递增数列. 若11n n a a +<,即()()()152134n n n n ++⋅<+,解得210n >,即4,5,6...n =时为递减数列. 且()()34342562512334,444,39381a a ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为34a a <,所以4a 为最大项,即4k =,所以①正确.对于②,在ABC ∆中,若22tan sin tan sin A B B A =.化简可得22sin sin sin sin cos cos A BB A A B⋅=⋅,即sin sin cos cos B AA B=,所以sin cos sin cos B B A A =.两边同时乘以2,化简可得sin 2sin 2B A =,则22B A =或22A B π+=.即B A =或2A B π+=,所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形,故②错误;对于③,数列{}n a 与{}n b 为等差数列,n S 、n T 分别为等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和.根据等差数列性质及前n 项和公式可知()()113113137137131313,13,22a ab b S a T b ⨯+⨯+====而2132n n S n T n -=+,所以713713213125313241S b T a ⨯-===⨯+,故③正确; 对于④,a 、b 、c 成等比数列,所以2b ac =,且2c a =则224c a =,而222b a =则由余弦定理可得222222423cos 2224a cb a a a B ac a a +-+-===⨯.所以④正确;对于⑤,由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==,sin sin 901C ==,所以sin ,sin a c A b c B ==.由90C =︒可得90A B +=,则sin cos B A =,所以sin sin sin sin a b c cc A c BA B +++== sin cos A A +=()45A +=,因为090A <<,所以()sin 45A ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦,()(45A +∈, 所以⑤正确,综上可知,正确的有①③④⑤ 故选:D 【点睛】本题考查了数列的单调性,等差数列与等比数列的综合应用,正弦定理与余弦定理在解三角形和判断三角形形状中的应用,正弦函数的图像与性质应用,综合性强,属于中档题. 13．【解析】222222,22a b c a b c ab +-+-=∴=-，cos 2C =- ，则34C π=. 14．469【分析】根据等差数列性质及前n 项和公式,即可求得5a 的值. 【详解】根据等差数列性质及等差数列前n 项和公式可得()1995992a a S a +==， 而946S =，所以5946a =，则5469a =， 故答案为: 469. 【点睛】本题考查了等差数列性质及前n 项和公式的简单应用,属于基础题.15【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.【详解】60A=︒，1b=11sin1222bc A c==⨯⨯⨯,解得4c=，由余弦定理可得：a===所以13239sin sin sin sin3a b c aA B C A故答案为：3【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16．213I I I<<【分析】根据所给函数解析式()()12,f x f x,结合kI的表达式，代入99iia=化简.由等差数列求和公式可求得12,I I并可得与1的大小关系.将99iia=代入()3f x，由三角函数性质化简,并与特殊角的三角函数值比较,可与1比较大小,即可比较1I,2I,3I大小.【详解】因为函数()21f x x=，()()()()()()10219998k k k k k k kI f a f a f a f a f a f a=-+-+⋅⋅⋅+-，则2222222121219999999999i i i i i i--+-⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()1221299199111352991199992I +⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=+++⋅⋅⋅+⨯-=⨯=⎡⎤⎣⎦.因为()()222f x x x=-，则22221111229999999999999999i i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=--+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()2992111221002999999i i --=⨯=⨯-，所以[]221298969442024969899I =⨯+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ()22298198100980024921992999801+⎡⎤⨯=⨯⨯⨯⨯==<⎢⎥⎣⎦， 因为()31sin 23f x x π=， 则3110219998|sin 2||sin 2||sin 2||sin 2||sin 2||sin 2|3999999999999I ππππππ⎡⎤=⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅⨯-⨯⎢⎥⎣⎦12524492sin 22sin 22sin 23999999πππ⎛⎫=⨯+⨯-⨯ ⎪⎝⎭ 2492sin sin 39999ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为49sinsin 9912ππ>=sin sin 9912ππ<=所以24922sin sin 2399993ππ⎛⎛⎫-> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，而21==>⎣⎦， 所以2492sinsin 139999ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即31I >， 综上所述,1231,1,1I I I =<>， 所以213I I I <<， 故答案为: 213I I I <<. 【点睛】本题考查了函数新定义的应用，函数式的化简变形及等差数列求和的应用,利用中间值法比较大小，化简过程繁琐，属于难题.17．(1) 2nn a =. (2) 2622n S n n =-.【解析】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列{}n b 的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列{}n b 的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前n 项和． 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q 由已知得3162q =，解得2q，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得38a =，532a =，则38b =，532b =设{}n b 的公差为d ，则有1128{432b d b d +=+=解得116{12b d =-= 从而1612(1)1228n b n n =-+-=- 所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-考点：等差、等比数列的性质 18．(Ⅰ)23π【分析】（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则23A π=. （Ⅱ）由三角形面积公式可得：4bc =，结合余弦定理计算可得221a =，则a =【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，，∵，∴，即．∵∴，∴∴．（Ⅱ）由：可得．∴， ∵，∴由余弦定理得：，∴.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．（1）12133n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（2）100n =【分析】（1）根据等比数列的定义，将123a =代入即可求得公比，再由公比小于1舍去不合要求的公比，即可得数列{}n a 的通项公式.（2）将数列{}n a 的通项公式代入，即可求得数列{}n b 的通项公式.由裂项求和法即可得12231111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+，再根据题意即可求得n 的值. 【详解】（1）因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =,且23133a S =， 所以有()21111133a q a a q a q=++，代入123a =并化简可得231030q q -+= ， 解得13q =或3q =.因为公比小于1，所以13q =，由等比数列通项公式可得数列{}n a 的通项公式为12133n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.（2）根据等比数列前n 项和公式可得21133111313nn n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭- ， 所以11113n n S ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()31log 1n n b S +=-，则代入可得13log 11113n n n b +⎛⎫=- ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎦⎝⎣⎭， 所以()()()()111111121212n n n n n b n n b n +==-----++++=， 则12231111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+ 1111111123344512n n =-+-+-⋅⋅⋅+-++ 1122n =-+， 由题意可得11252251n -=+，解得100n =. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的应用，裂项求和法的综合应用，属于中档题. 20．（1）14海里/小时； （2）.【详解】（1）12,20,120AB AC BAC ︒==∠=,∴∴,∴V 甲海里/小时 ； （2）在中，由正弦定理得∴∴.点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.21．（1）4π；（2）54+【分析】（1）由正弦定理将()sin cos a c B B =+化为()sin sin sin cos A C B B =+，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；（2）先由余弦定理求出BC 的长，将平面四边形ABDC 的面积转化为两三角形ABC ∆与BCD ∆面积之和，即可求解.【详解】（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a cA C=， 所以()sin sin sin cos A C B B =+，在ABC ∆中，()sin sin A B C =+,所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+, 所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+，所以sin cos sin sin B C C B = 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠， 所以cos sin C C = 因为C 是ABC ∆的内角所以4Cπ.（2）在BCD ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =-， 因为ABC ∆是等腰直角三角形， 所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===-， 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅=， 所以平面四边形ABDC 的面积5cos sin 4BC BC D A S S D D S ∆∆=+=-+ 544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时平面四边形ABDC 的面积有最大值54+【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用，三角形面积公式的应用及面积范围的求法，属于中档题.22．(1)见解析（2）2(32)1-334nn n S +⎛⎫= ⎪⎝⎭(3) 3-4m ≤. 【分析】（1）将式子写为：()11114n n a a -+=+得证，再通过等比数列公式得到{}n a 的通项公式. （2）根据（1）得到n b 进而得到数列{}n c 通项公式，再利用错位相减法得到前n 项和n S . （3）首先判断数列{}n c 的单调性计算其最大值，转换为二次不等式恒成立，将0,1t t == 代入不等式，计算得到答案. 【详解】（1）因为14=3n n a a --，所以1441n n a a -+=+，()11114n n a a -+=+， 所以{}1n a +是等比数列，其中首项是1114a +=，公比为14，所以114n n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，114nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）()()*1423log 1n n b a n N +=+∈，所以32n b n =-，由（1）知，114nn a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又32n b n =-，所以()()n*132n N 4n c n ⎛⎫=-⨯∈ ⎪⎝⎭. 所以()()23111111147353244444n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()23411111111473532444444nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()231311111332444444nn n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111-3224n n +⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭.所以()3221-334nn n S +⎛⎫= ⎪⎝⎭.（3）()()1111313244n nn n c c n n ++⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1*1914n n n N +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以当1n =时，2114c c ==， 当2n ≥时，1n n c c +<，即1234n c c c c c =>>>>，所以当1n =或2n =时，n c 取最大值是14.只需21142tm m --， 即2304tm m --对于任意[]0,1t ∈恒成立，即 230,430,4m m m ⎧--≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩所以3-4m ≤. 【点睛】本题考查了等比数列的证明，错位相减法求前N 项和，数列的单调性，数列的最大值，二次不等式恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力.。

2020-2021学年江西省新余一中、宜春一中高二上学期联考数学试题一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)． 1.已知集合{}260A x Z x x =∈--<，{}1B x x =>-，则AB =（ ）A.{}|13x x -<<B.{}012,, C.{}1012-,,, D.{}210--,,2.i 是虚数单位，若2(,)1ia bi ab R i+=+∈+，则lg()a b +的值是（ ） A ．2- B.1- C.0 D.123.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式:2213=+,23135=++,241357=+++,…3235=+,337911=++,3413151719=+++，…根据上述分解规律,则213511m =++++,3p 的分解中最小的正整数是21,则m p +=（ ）A.9B.10C.11D.124.“方程22123x y m m +=-+表示双曲线”的一个充分不必要条件是（ ） A.30m -<< B.32m -<< C.34m -<<D.13m -<<5.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.14 B ．16C ．15D ．176.已知函数()2f x x bx =+的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行,若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ,则2017S 的值为( )A.20162017 B. 20142015 C. 20152016 D. 201720187.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线,NO AM 的位置关系是（ ） A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直8. 在ABC △中，2AB BC =，以,A B 为焦点，经过点C 的椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则( )A.12111e e -= B.12112e e -= C.2212111e e -= D.2212112e e -= 9. 在等比数列{}n a 中, 1401a a <<=,则能使不等式12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数n 是( )A.5B.6C.7D.810.已知定义在(0)+∞,上的函数()f x 满足()()xf x f x '>恒成立(其中()f x '为函数()f x 的导函数)，对于任意实数10x >，20x >，下列不等式一定正确的是( ) A.()()()1212f x x x f x f ≥⋅ B.()()()1212f x x x f x f ≤⋅ C.()()()1212f x x x f f x +>+ D.()()()1212f x x x f f x +<+11.已知点()0,2R ，曲线()()24:0C y px p =>，直线y m = (0m >且2m ≠)与曲线C 交于,M N两点，若RMN △周长 的最小值为2，则p 的值为( ) A.8B.6C.4D.212.已知函数()32113(1)f x x ax ax a =-++≤在()1212,x x x x ≠处的导数相等，则不等式()12f x x m +≥恒成立时m 的取值范围为( ) A.(],1-∞-B.(],0-∞C.(],1-∞D.4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知直线 10x y --= 与抛物线 2y ax = 相切，则 a = ． 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1210,3a a a ≠=，则105S S =___________. 15.已知三棱锥P ABC -的各顶点均在一个半径为R 的球面上,球心O 在AB 上, PO ⊥平面ABC,ACBC=则三棱锥与球的体积之比为__________. 16.已知函数32()692f x x x x =-+-，给出以下命题:①若函数()3y f x bx =+不存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是(1,)+∞; ②过点(0,2)M 且与曲线()y f x =相切的直线有三条; ③方程2()2f x x=-的所有实数的和为16. 其中真命题的序号是___________.三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．)17.(10分)已知函数()f x x a =-.(1).当2?a =时,解不等式()7|1|f x x ≥--；(2).若()1f x ≤的解集为[0,2], 11(0,0)2a m n m n+=>>,求证: 43m n +≥.18.(12分)已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos 0A A +=．有三个条件：①1a =； ②b =； ③ABCS=其中三个条件中两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积．19.(12分)随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：200名.(1).求频数分布表中,x y 的值；(2).已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.5%，“财富通”的平均年化收益率为4.5%.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X ，求X 的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.20.(12分)在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==.E M ､ 分别为棱AD PD ､的中点，PA CD ⊥. (1)证明:平面//MCE 平面PAB ；(2)若二面角P CD A --的大小为45︒，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值｡21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，点1,P ⎛- ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为-1的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点，使得11F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.22.(12分)己知函数()2ln f x ax bx x =+-．（1）当2a =-时，函数()f x 在()0,∞+上是减函数，求b 的取值范围； （2）若方程()0f x =的两个根分别为()1212,x x x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.新余一中、宜春一中2021届高二联考数学试卷答案题号 1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 答案BCCABDCACDBC13、已知直线 10x y --= 与抛物线 2y ax = 相切，则 a = ． 12答案及解析： 答案：1414、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1210,3a a a ≠=，则105S S =___________. 14答案及解析： 答案：4 解析：因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 15、已知三棱锥P ABC -的各顶点均在一个半径为R 的球面上,球心O 在AB 上, PO ⊥平面ABC ,3ACBC=,则三棱锥与球的体积之比为__________. 15答案及解析： 答案：3:8π 解析：如图:依题意, 2AB R =,又3ACBC=,90ACB ∠=, 因此3AC R =,BC R =,311133332P ABC ABC V PO S R R R -∆⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.而343R π=, 因此3334:363R R ππ==. 16、已知函数32()692f x x x x =-+-，给出以下命题:①若函数()3y f x bx =+不存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是(1,)+∞; ②过点(0,2)M 且与曲线()y f x =相切的直线有三条; ③方程2()2f x x=-的所有实数的和为16. 其中真命题的序号是___________.16答案及解析： 答案：②解析：因为32()36(93)2y f x bx x x b x =+=-++-，所以2'31293y x x b =-++，若函数326(93)2y x x b x =-++-不存在单调递减区间，则有21212(93)0b -+≤，解得1b ≥，所以①错误;设过点(0,2)M 的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则有2000023129y x x x --+=，又点00(,)x y 在曲线()y f x =上，所以320000692y x x x =-+-，代入上式，得320000032(1)(13)(13)0x x x x x ⎡⎤⎡⎤-+=---=⎣⎦⎣⎦，解得01x =或013x =+013x =-所以过点(0,2)M 且与曲线()y f x =相切的直线有三条，②正确;计算得函数32()692f x x x x =-+-的图象关于点(2,0)成中心对称，且函数22y x=-的图象也关于点(2,0)成中心对称，所以方程2()2f x x=-的所有实数根的和为2228⨯⨯=，③错误.综上所述，真命题的序号为②.17、已知函数()f x x a =-.(1).当2?a =时,解不等式()7|1|f x x ≥--; (2).若()1f x ≤的解集为11[0,2],(0,0)2a m n m n+=>>,求证: 4223m n +≥.答案：1.当2?a =时,不等式为217x x -+-≥, ∴1217x x x <⎧⎨-+-≥⎩或12217x x x ≤≤⎧⎨-+-≥⎩或2217x x x >⎧⎨-+-≥⎩,∴不等式的解集为(][),25,-∞-⋃+∞.2. ()1f x ≤,即1x a -≤,解得11a x a -≤≤+,而()1f x ≤, 解集是[]0,2,∴1012a a -=⎧⎨+=⎩,解得 1a =,所以111(0,0)2m n m n+=>>, ∴1144(4)()322322n m m n m n m n m n+=++=++≥.当且仅当1,m n==.18、已知ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b ccos0A A+=．有三个条件：①1a=；②b=ABCS其中三个条件中两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD AC⊥，求ABD∆的面积．18答案：（1cos0A A+=，所以π2sin()06A+=，即5π6A=，A为钝角，与1a b=<=矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确；显然1sin2ABCS bc A=，得bc=当①③正确时，由2222cosa b c bc A=+-，得2220b c+=-<（无解）,当②③正确时，由于bcb1c=；（2）因为5π6A=，π2CAD∠=，则π3BAD∠=,则1sin1212sin2ABDACDAB AD BADSS AC AD CAD⋅⋅∠==⋅⋅∠，13ADB ABCS S=，故ABD．19、随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：200名.1.求频数分布表中,x y 的值；2.已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.5%，“财富通”的平均年化收益率为4.5%.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X ，求X 的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息. 19答案及解析： 答案：1.据题意，得2001200200x y x y -=⎧⎨+=-⎩，所以600400x y =⎧⎨=⎩.2.据600:4003:2=，得这被抽取的5人中使用“余额宝”的有3人，使用“财富通”的有2人.10000元使用“余额宝”的利息为10000 2.5%250⨯=（元）. 10000元使用“财富通”的利息为10000 4.5%450⨯=（元）. X 所有可能的取值为500（元），700（元），900（元）. 203225C C 3(500)1C 0P X ===，113225C C 3(C 700)5P X ===，025232C C 1(900)1C 0P X ===.所以的分布列为：()500700900660101010E X =⨯+⨯+⨯=（元）.20、如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒， 12BC CD AD ==.E M ､分别为棱AD PD ､的中点，PA CD ⊥.(1)证明:平面//MCE平面PAB;(2)若二面角P CD A--的大小为45︒，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值｡20答案及解析：答案：解：（1）证明：因为点E为AD的中点，1,//2BC AD AD BC=所以四边形ABCE为平行四边形，即//EC AB.因为E M、分别为棱AD PD、的中点，//EM AP，EM EC E⋂=，所以平面//MCE平面PAB（2）如图所示，因为,PA AB PA CD AB CD⊥⊥，与为相交直线，所以AP⊥平面ABCD.不防设2AD=，则11.2BC CD AD===以与AD垂直的直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系设()()()(),0,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,AP h A D C P h=-，从而()()0,2,,1,0,0PD h CD=-=，而PCD的法向量记为()111,,m x y z=，则m PDm CD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得11120y hzx-=⎧⎨=⎩，令11y=，则122,0,1,z mh h⎛⎫== ⎪⎝⎭又面ACD的法向量为()0,0,1，二面角P CD A--的大小为45.2=，解得2h=所以()()()0,0,2,0,1,0,1,2,0P E C-，所以()()()1,1,0,0,1,2,0,0,2EC PE AP=-=-=，设平面PCE的法向量为()222,,n x y z=，则n PEn EC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得222220y zx y-=⎧⎨-+=⎩.令22y=，则222,1x z==，所以()2,2,1n=设直PA与平面PCE所成角为θ，则1sin cos,3AP nAP nAP nθ====.21、已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左，右焦点分别为()()122,0,2,0F F-，点1,P⎛-⎝⎭在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为-1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得11F M F N=？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.21答案及解析：答案：（1）因为椭圆C的左右焦点分别为()12,0F-，()22,0F，所以2c=.由椭圆定义可得2a=，解得a=222642b a c=-=-=，所以椭圆C的标准方程为22162x y+=（2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y x t=-+，由22162x yy x t⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得223()60x x t+-+-=，即()2246360x txt-+-=，()222(6)443696120t t t∆=--⨯⨯-=->，解得t-<，设()11,M x y，()22,N x y，则1232tx x+=，212364tx x-=，由于11F M F N=，设线段MN的中点为E，则1F E MN⊥，所以111F EMN K K =-=又3,44t t E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以141324F Et Kt==+，解得4t =-.当4t =-时，不满足t -<. 所以不存在满足条件的直线l . 解析：22、己知函数()2ln f x ax bx x=+-．（1）当2a =-时，函数()f x 在()0,∞+上是减函数，求b 的取值范围； （2）若方程()0f x =的两个根分别为()1212,x x x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.22答案及解析：答案：（1）∵()f x 在()0,+∞上递减，∴()140f x x b x '=-+-≤对()0,x ∈+∞恒成立.即14b x x ≤+对()0,x ∈+∞恒成立，所以只需min 14b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭. ∵0x >，∴144x x +≥，当且仅当12x =时取“=”，∴4b ≤.（2）由已知，得()()2111122222ln 0ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，∴21112222ln ln x ax bx x ax bx ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩两式相减，得()()()11212122lnx a x x x x b x x x =+-+-()()1212x x a x x b =-++⎡⎤⎣⎦.由()12f x ax b x '=+-知()12121222x x f a x x b x x +⎛⎫'=++- ⎪+⎝⎭()121112212122122121ln ln x x x x x x x x x x x x x x -⎡⎤=-=-⎢⎥-+-+⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设()120,1x t x =∈，则12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+()()21ln 1t g t t t -=-+.∴()()()()22211411t g t t t t t -'=-=>++.∴()g t 在()0,1上递增，∴()()10g t g <=.∵120x x -<，∴12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦()1210g t x x =>-. 即1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.。

2020-2021学年江西省新余市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2﹣i D．2+i2．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是（）A．，B．，C．，D．，3．如图所示的茎叶图是甲乙两位同学期末考试中六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x，y的值为（）A．2，4B．4，4C．5，6D．6，44．2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在[9，11）的学生人数为25，则n的值为（）A．40B．50C．80D．1005．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是（）A．若A＞B＞C，则sin A＜sin B＜sin CB．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin CC．a cos B+b cos A＝c sin CD．若a2+b2＜c2，则△ABC是锐角三角形6．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”．若表示B的对立事件，则一次试验中，事件发生的概率为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点（a，b）在直线x（sin A﹣sin B）+y sin B ＝c sin C上，则角C的值为（）A．B．C．D．8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．29．规定投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀，现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投标未在8环以上，用1表示该次投标在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果，经随机模拟实验产生了如下20组随机数：101 111 011 101 010 100 100 011 111 110000 011 010 001 111 011 100 000 101 101据此估计，该选手投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率为（）A．B．C．D．10．设集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈AB．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉AD．当且仅当a≤时，（2，1）∉A11．已知变量y关于x的回归方程为y＝e bx﹣0.5，其一组数据如表所示：若x＝5，则预测y 值可能为（）x1234y e e3e4e6 A．e5B．C．e7D．12．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝．若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，平面四边形OACB面积的最大值是（）A．B．C．3D．二、填空题（共4小题）.13．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b+c＝7，cos B＝﹣，则b＝．15．已知，，，（m，t∈N*且m≥2），若不等式λm﹣t﹣3＜0恒成立，则实数λ的取值范围为．16．在△ABC中，，D为边AB上的一点，且满足CD＝2，AC＝4，锐角三角形ACD 的面积为，则BC＝．三、解答题（共6小题，共70分.）17．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝3+4i，i为虚数单位．（1）若复数z1+az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；（2）若，求z的共轭复数．18．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，．（1）在区间（﹣4，4）上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；（2）设（a，b）为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b﹣a∈A∪B”的概率．19．为了监控一条生产线上的某种零件的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的18个零件的尺寸：抽取次序123456789零件尺寸9.279.269.949.879.789.659.559.439.39抽取次序101112131415161718零件尺寸9.369.429.779.839.939.349.829.959.33零件尺寸在[9，9.35）内为一级；在[9.35，9.75）内为二级；在[9.75，10]内为超标（1）求这18个数据中不超标数据的中位数；（2）在以上零件为一级的数据中，随机抽取2个数据，求其中恰有一个零件尺寸小于9.3的概率；（3）以这18个零件尺寸来估计该生产线的情况，若该生产线每日生产3600个零件，那么约有多少个零件超标．20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，2b sin C cos A+a sin A＝2c sin B；（1）证明：△ABC为等腰三角形；（2）若D为BC边上的点，BD＝2DC，且∠ADB＝2∠ACD，a＝3．求b的值．21．推进垃圾分类处理，是落实绿色发股理心的必然选择．为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．（1）某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足回归直线方程，数据统计如下：志愿者人数x（人）23456日垃圾分拣量y（千克）25304045t已知＝40，＝90，＝885，根据所给数据求t 和回归直线方程．附：，．（2）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的．①若被调查的男性居民人数为a人，请完成以下2×2列联表：类型性别喜欢垃圾分类志愿者不喜欢垃圾分类志愿者合计男性a女性合计②若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？附K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828 22．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量得cos A＝，sin B＝，∠B为钝角．（1）问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短；（2）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内．参考答案一、选择题（共12小题）.1．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2﹣i D．2+i解：＝＝＝2+i．故选：D．2．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是（）A．，B．，C．，D．，解：在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，∵总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均为，故选：A．3．如图所示的茎叶图是甲乙两位同学期末考试中六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x，y的值为（）A．2，4B．4，4C．5，6D．6，4解：根据题目中提供的茎叶图，可知：甲同学咱期末考试中六科成绩分别为：75，82，84，80+x，90，93．乙同学咱期末考试中六科成绩分别为：74，75，80+y，84，95，98．∵甲同学的平均成绩为85，∴（75+82+84+80+x+90+93）＝85，∴x＝6，∵乙同学的六科成绩的众数为84，∴y＝4，故x、y的值分别为：6，4．故选：D．4．2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在[9，11）的学生人数为25，则n的值为（）A．40B．50C．80D．100解：由学生可接受的学习时长频率分布直方图，得学习时长在[9，11）的频率为：1﹣（0.05+0.15+0.05）×2＝0.5，∵学习时长在[9，11）的学生人数为25，∴n＝＝50．故选：B．5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是（）A．若A＞B＞C，则sin A＜sin B＜sin CB．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin CC．a cos B+b cos A＝c sin CD．若a2+b2＜c2，则△ABC是锐角三角形解：对于A，若A＞B＞C，由大边对大角定理可知，则a＞b＞c，由正弦定理，可得：sin A＞sin B＞sin C，故A错误；对于B，若a＞b＞c，由正弦定理，可得：sin A＞sin B＞sin C，故B正确；对于C，根据正弦定理可得：a cos B+b cos A＝2R（sin A cos B+sin B cos A）＝2R sin（B+A）＝2R sin（π﹣C）＝2R sin C＝c≠右边．故C错误；对于D，若a2+b2＜c2，由余弦定理可得：cos C＝＜0，由C∈（0，π），可得C是钝角，故D错误；故选：B．6．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”．若表示B的对立事件，则一次试验中，事件发生的概率为（）A．B．C．D．解：掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”．若表示B的对立事件，则表示的点数是5，6，则一次试验中，基本事件总数n＝6，事件包含的基本事件为：2，4，5，6，共4个，∴事件发生的概率为P＝．故选：C．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点（a，b）在直线x（sin A﹣sin B）+y sin B ＝c sin C上，则角C的值为（）A．B．C．D．解：在△ABC中，∵点（a，b）在直线x（sin A﹣sin B）+y sin B＝c sin C上，∴a•sin A﹣a•sin B+b•sin B＝c•sin C，再利用正弦定理可得a2+b2﹣c2＝ab，故有cos C＝＝，则角C的值为，故选：B．8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．2解：当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，当n＝3时，a＝，b＝16满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．9．规定投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀，现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投标未在8环以上，用1表示该次投标在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果，经随机模拟实验产生了如下20组随机数：101 111 011 101 010 100 100 011 111 110000 011 010 001 111 011 100 000 101 101据此估计，该选手投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率为（）A．B．C．D．解：总得事件共有20种，3次中至少两次投中8环以上的共：101，111，011，101，011，111，110，011，111，011，101，101，共12种，故该选手投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率p＝＝，故选：B．10．设集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈AB．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉AD．当且仅当a≤时，（2，1）∉A解：当a＝﹣1时，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y ≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A不正确；当a＝4，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y≥1，4x+y ＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；当a＝1，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y≥1，x+y＞4，x﹣y≤2}，显然（2，1）∉A，所以当且仅当a＜0错误，所以C不正确；故选：D．11．已知变量y关于x的回归方程为y＝e bx﹣0.5，其一组数据如表所示：若x＝5，则预测y 值可能为（）x1234y e e3e4e6 A．e5B．C．e7D．解：把y＝e bx﹣0.5两边取对数，得lny＝bx﹣0.5，令z＝lny，则z＝bx﹣0.5，则：x1234z1346，，由，得3.5＝2.5b﹣0.5，故b＝1.6．∴z＝1.6x﹣0.5，y＝e1.6x﹣0.5，当x＝5时，．故选：D．12．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝．若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，平面四边形OACB面积的最大值是（）A．B．C．3D．解：∵△ABC中，＝，∴sin B cos A+cos B sin A＝sin A，即sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sin C＝sin A，∴A＝C，又b＝c，∴△ABC为等边三角形；∴S OACB＝S△AOB+S△ABC＝|OA|•|OB|sinθ+×|AB|2×＝×2×1×sinθ+（|OA|2+|OB|2﹣2|OA|•|OB|cosθ）＝sinθ+（4+1﹣2×2×1×cosθ）＝sinθ﹣cosθ+＝2sin（θ﹣）+，∵0＜θ＜π，∴﹣＜θ﹣＜，∴当θ﹣＝，即θ＝时，sin（θ﹣）取得最大值1，∴平面四边形OACB面积的最大值为2+＝．故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置）13．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为50．解：用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，由扇形统计图得：抽取的高中生人数为：200×＝50．故答案为：50．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b+c＝7，cos B＝﹣，则b＝4．解：由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得b2＝22+c2﹣2×2×c×（﹣），即b2＝4+49﹣14b+b2+7﹣b，15b＝60∴b＝4．故答案为：4．15．已知，，，（m，t∈N*且m≥2），若不等式λm﹣t﹣3＜0恒成立，则实数λ的取值范围为λ＜3．解：因为3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，归纳得到t＝m2﹣1，因为不等式λm﹣t﹣3＜0恒成立，即λm﹣m2﹣2＜0恒成立，m∈N*且m≥2，所以，令，则λ＜（f（m））min，因为，又m≥2，所以f'（m）＞0，故f（m）单调递增，所以当n＝2时，f（m）取得最小值为f（2）＝3，故λ＜3．故答案为：λ＜3．16．在△ABC中，，D为边AB上的一点，且满足CD＝2，AC＝4，锐角三角形ACD 的面积为，则BC＝．解：△ABC中，，CD＝2，AC＝4，如图所示：所以锐角三角形ACD的面积为×4×2×sin∠ACD＝，解得sin∠ACD＝；因为△ACD为锐角三角形，所以cos∠ACD＝＝；在△ACD中，由余弦定理可得：AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠ACD＝16+4﹣2×4×2×＝16，解得AD＝4；在△ACD中，由正弦定理得＝，解得sin A＝＝，在△ABC中，由正弦定理得＝，解得BC＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝3+4i，i为虚数单位．（1）若复数z1+az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；（2）若，求z的共轭复数．解：（1）复数z1＝1﹣2i，z2＝3+4i，所以z1+az2＝（1﹣2i）+a（3+4i）＝（1+3a）+（4a﹣2）i；由该复数在复平面上对应的点在第四象限，所以，解得﹣＜a＜，所以实数a的取值范围是（﹣，）；（2）化简＝＝＝＝﹣﹣i，z的共轭复数＝﹣+i．18．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，．（1）在区间（﹣4，4）上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；（2）设（a，b）为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b﹣a∈A∪B”的概率．解：（Ⅰ）由已知A＝x|﹣3＜x＜1B＝x|﹣2＜x＜3，设事件“x∈A∩B”的概率为P1，这是一个几何概型，则．（2）因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以，基本事件共12个：（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）．设事件E为“b﹣a∈A∪B”，则事件E中包含9个基本事件，事件E的概率．19．为了监控一条生产线上的某种零件的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的18个零件的尺寸：抽取次序123456789零件尺寸9.279.269.949.879.789.659.559.439.39抽取次序101112131415161718零件尺寸9.369.429.779.839.939.349.829.959.33零件尺寸在[9，9.35）内为一级；在[9.35，9.75）内为二级；在[9.75，10]内为超标（1）求这18个数据中不超标数据的中位数；（2）在以上零件为一级的数据中，随机抽取2个数据，求其中恰有一个零件尺寸小于9.3的概率；（3）以这18个零件尺寸来估计该生产线的情况，若该生产线每日生产3600个零件，那么约有多少个零件超标．解：（1）不超标数据有9.27，9.26，9.33，9.34，9.36，9.39，9.42，9.43，9.55，9.65共10个数，中位数为＝9.375，（2）由题目条件可知，零件为一级的数据共有4个，分别为9.26，9.27，9.33，9.34，则由一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{（9.26，9.27），（9.26，9.33），（9.26，9.34），（9.27，9.33），（9.27，9.34），（9.33，9.34）}，共6个基本事件组成的，设“其中恰有一个零件尺寸小于9.3“为事件A，则A＝{（9.26，9.33），（9.26，9.34），（9.27，9.33），（9.27，9.34）}共4个基本事件组成的，故P（A）＝＝，（3）由题意，零件超标的概率P＝＝，因为×3600＝1600，所以一天约有1600个零件超标．20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，2b sin C cos A+a sin A＝2c sin B；（1）证明：△ABC为等腰三角形；（2）若D为BC边上的点，BD＝2DC，且∠ADB＝2∠ACD，a＝3．求b的值．解：（1）证明：∵2b sin C cos A+a sin A＝2c sin B，∴由正弦定理可得：2bc cos A+a2＝2bc，∴由余弦定理可得：2bc•+a2＝2bc，化简可得：（b﹣c）2＝0，∴b＝c，可得：△ABC为等腰三角形．得证．（2）如图，∵∠ADB＝2∠ACD，∠ADB＝∠ACD+∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∵BD＝2DC，a＝3，∴BD＝2，CD＝AD＝1，∵∠ADB＝π﹣∠ADC，可得：cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，又由（1）可得b＝c，∴由余弦定理可得：＝﹣，可得：＝，解得：b＝．21．推进垃圾分类处理，是落实绿色发股理心的必然选择．为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．（1）某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足回归直线方程，数据统计如下：志愿者人数x（人）23456日垃圾分拣量y（千克）25304045t已知＝40，＝90，＝885，根据所给数据求t 和回归直线方程．附：，．（2）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的．①若被调查的男性居民人数为a人，请完成以下2×2列联表：类型性别喜欢垃圾分类志愿者不喜欢垃圾分类志愿者合计男性a女性合计②若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？附K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828解：（1）由表中的数据可知，，，解得t＝60，所以＝，，所以回归直线方程为；（2）①2×2列联表为：喜欢担任垃圾分类志愿者不喜欢担任垃圾分类志愿者合计男性居民a女性居民a合计2a②因为在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，所以K2＝，即a＞19.905，所以a的最小值为20，故被调查的女性居民至少有20人．22．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量得cos A ＝，sin B ＝，∠B为钝角．（1）问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短；（2）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内．解：（1）在△ABC中，因为cos A＝，sin B＝，∠B为钝角，所以sin A＝，cos B＝﹣，所以sin C＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝×（﹣）+×＝，由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1040m．假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×＝200（37t2﹣70t+50）＝200[37（t﹣）2+]，因为0≤t≤，即0≤t≤8，所以当t＝min时，甲、乙两游客距离最短．（2）由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）＝550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为vm/min，由题意得﹣3≤﹣≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[，]范围内．。

新余市2020—2021学年度上学期期末质量检测高二数学试题卷（理科）说明：1.本卷共有三个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卷上相应的位置.1.高二某班有学生52人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（▲）A.13B.14C.18D.262.计算机执行下面的算法步骤后输出的结果是（▲）（1）1=+；（4）b a b=-；（5）输出a，bb=；（3）a a ba=；（2）3A.4，-2B.4，1C.4，3D.6，03.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（▲）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球4.在ABC△一定是（▲）=⋅，那么ABCc a B△中，已知2cosA.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（▲）A.5n≤n≤ D.8n≤ C.7n≤ B.66.已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从该箱中任取（无放回，且每球取得的机会相等）3个球，则取出的3个球所得分数之和刚好为4的概率是（▲） A.121B.221C.1021D.5427.已知随机变量X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（▲）A.6-B.3C.3D.3-8.在$ABC △cos 1A A +=，2AB =，3AC =，则边BC 的长为（▲）D.49.已知圆C 的半径为2，在圆内随机取一点P ，并以P 为中点作弦AB ，则弦长AB ≤A.14B.34C.22- D.410.将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数都不相同”，B =“至少出现一个5点”，则概率()P A B =（▲） A.1011B.511C.518D.53611已知变量y 关于x 的回归方程为0.5bx y e-=，其一组数据如下表所示：若5x =则预测y 值可能为（▲）A.5eB.112eC.7eD.152e12.在体育选修课排球模块基本功（发球）测试中，计分规则如下（满分为10分）：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，…，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是（▲）A.6523B.5523C.6623D.5623二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案填写在答题卷相应位置上.13.为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第1小组的频数是100，则n=▲▲.14.下列是某厂1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是0.7y x a=-+，则a=▲▲.15.若4234012343x a a x a x a x a x+=++++，则()()2202413a a a a a++-+的值为▲▲.16.在区间[]3,5-上随机取一个实数X，则事件“1142x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭”发生的概率为▲▲.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.在二项式122xx⎫⎪⎭的展开式中，（1）求展开式中含3x项的系数：《2）》如果第3k项和第2k+项的二项式系数相等，试求k的值.18.在ABC△中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知322cos3coscosb a A Bc C--=.（1）求sinsinAB的值（2）若1cos4C=-，8c=，求ABC△的面积.19.某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，观察图中数据，完成下列问题.（1）求a的值及样本中男生身高在[]185,195（单位：cm）的人数；（2）假设用一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（3）在样本中，从身高在[)185,195（单位：cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不145,155和[]低于185cm的概率.20.如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C .测量得到数据：90ACB∠=︒，BCE∠=︒，105∠=︒，15ACD∠=︒，60ADC==米.∠=︒，1DC CECEB45（1）求CDE△的面积；（2）求A，B之间的距离.21.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数：（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.）22.某县自启动精准扶贫工作以来，将伦晚脐橙种植作为帮助农民脱贫致富的主导产业.今年5月，伦晚脐橙喜获丰收.现从已采摘的伦晚中随机抽取1000个，测量这些果实的横径，得到如图所示的频率分布直方图.（1）已知这1000个伦晚脐橙横径的平均数72.5x =，求这些伦晚脐橙横径方差2s ； （2）根据频率分布直方图，可以认为全县丰收的伦晚脐橙横径值X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（ⅰ）若规定横径为66.4～84.7mm 的为一级果，则从全县丰收的果实中任取一个，求恰好为一级果的概率； （ⅱ）若规定横径为84.7mm 以上的为特级果，现从全县丰收果实中任取一个进行进一步分析，如果取到的不是特级果，则继续抽取下一个，直到取到特级果为止，但抽取的总次数不超过n ，如果抽取次数ξ的期望值个超过8，求n 的取大值.5.9=6.1=，70.9750.838=，80.9750.817=，90.9750.796=，若()2~,X N μσ，则()0.68P X μσμσ-<<+=，()220.95P X μσμσ-<<+=）.。

江西省新余一中、宜春中学2021届高三数学期初联考试题 理 新人教A 版一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．每题中只有一项符合题目要求) 1．假设集合 },y4{},,09{2**∈=∈<-=N y B N x x x x A 那么B A ⋂中元素个数为〔 〕 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是 ( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)3． 命题2:[1,2],1p x x a ∀∈+≥，命题2:,210q x R x ax ∃∈++=，假设命题“p q ∧〞为真命题，那么实数a 的取值范围是 ( ) A.21a a ≤-≥或 B.12a a ≤-≤≤或1 C.1a ≥ D.21a -≤≤4．假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如以下列图，其顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为( )A.163 πB.193 πC.1912 πD.43π 5．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，那么不等式xx f x f 5)(2)(3--≤0的解集为 ( )A ．(－∞，－2]∪(0,2]B ．[－2,0]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,0)∪(0,2]6．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，那么实数k 的取值范围是 ( )A ．(0,3)B ．(3，163)C ．(0,3)∪(163，＋∞) D ．(0,2)7．函数f (x )＝e xcos x 的图像在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为 ( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π28．函数f(x)＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，那么f(－1)的取值范围是 ( )A ．[－32，3]B ．[32，6]C ．[3,12]D ．[－32，12]9．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.假设直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，那么实数a 的值是 ( )A ．0B ．0或－12C ．－14或－12D ．0或－1410．奇函数f (x )、偶函数g (x )的图像分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，那么a ＋b ＝ ( )A. 14B. 10C. 7D. 3二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11 .偶函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝3x＋49，那么f (log 135)的值等于________．12.如以下列图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，那么点P 恰好取自阴影局部的概率为________13．各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，那么满足a n ·a n＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．14.集合2{|10}x ax ax φ-+<=，那么实数a 的取值范围是___________．15．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，那么A 的取值范围是________．三 解答题(本大题共6小题，共75分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(本小题总分值12分)．函数52)(2+-=ax x x f 〔1>a 〕．〔1〕假设)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，求实数a 的值；〔2〕假设对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围．17(本小题总分值12分)设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2cos cos c b Ba A-=． 〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设25a =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题总分值12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)假设b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 010的n的最小值．19(本小题总分值12分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且与椭圆x 2＋y 22＝1有相同的离心率，斜率为k 的直线l 经过点M (0,1)，与椭圆C 交于不同的两点A 、B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围．20．(本小题总分值13分)如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，ED ⊥DG ，EF ∥DG .且AB ＝AD ＝DE ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1.(1)求证：BF ∥平面ACGD ；(2)求二面角D ­CG ­F 的余弦值．2021届高三年级联考数学〔理〕答题卡21．(本小题总分值14分)函数f (x )＝a e x，g (x )＝ln x －ln a ，其中a 为常数，e ＝2.718…，且函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．(1)求常数a 的值；(2)假设存在x 使不等式)(x f mx >x 成立，求实数m 的取值范围； (3)对于函数y ＝f (x )和y ＝g (x )公共定义域内的任意实数x 0，我们把|f (x 0)－g (x 0)|的值称为两函数在x 0处的偏差．求证：函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的所有偏差都大于2.新余一中宜春中学一、选择题〔10×5=50分〕二、填空题〔5×5=25分〕11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题16、〔12分〕17、〔12分〕18、〔12分〕19、〔12分〕20、〔13分〕21、〔14分〕参考答案1D 2C 3 B 4B 5D 6C 7B 8C 9D 10B11 1 12 16 13 4 14 []4,0 15 03A π<≤．16解： 〔1〕∵225)()(a a x x f -+-=〔1>a 〕,∴)(x f 在[]a ,1上是减函数，又定义域和值域均为[]a ,1，∴⎩⎨⎧==1)()1(a f af ， 即⎩⎨⎧=+-=+-15252122a a a a ， 解得 2=a ．〔5分〕 〔2〕假设2≥a ，又[]1,1+∈=a a x ，且，1)1(-≤-+a a a∴a f x f 26)1()(max -==，2min 5)()(a a f x f -==．∵对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，∴4)()(min max ≤-x f x f ， 即 4)5()26(2≤---a a ，解得 31≤≤-a ， 又2≥a ， ∴32≤≤a ．假设12,a <<2max ()(1)6,f x f a a =+=-2min 5)()(a a f x f -==，4)()(min max ≤-x f x f 显然成立， 综上13a <≤。

新余一中、万载中学、宜春中学联考数学（理）试卷一．选择题（每小题5分，共60分）1.设函数()⎩⎨⎧<-≥=0,0,x x x x x f ，()()21=-+f a f ，则=a （ ）3.-A 3.±B 1.±C 1.-D2.已知ABC ∆的内角A 满足322sin =A ，则=+A A cos sin （ ） 315.A 315.-B 35.C 35.-D3.已知集合{}{2,22-≤=+<<-=x x B a x a x A 或}4≥x ，则φ=B A 的充要条件是（ ）20.≤≤a A 22.<<-a B 20.≤<a C 20.<<a D4.下列命题中，真命题是（ ）A.存在R x ∈，使得0≤x eB.任意R x ∈，22x x > C.1,1>>b a 是1>ab 的必要条件 D.322≥+xx 对任意正实数x 恒成立 5.函数()()2234log xx x f -+=的单调递减区间是( )⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,.A ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23.B ⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,1.C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4,23.D6.已知()0012=+⎰dx mx x，则实数m 的值为（ ）31.-A 32.-B 1.-C 2.-D7.数列{}n a 的通项公式是()()121--=n a nn ，则该数列的前100项之和为200.-A 100.-B C.200 D.1008.已知首项为1，公比为32的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） 12.-=n n a S A 23.-=n n a S B n n a S C 34.-= n n a S D 23.-=9.已知平面向量c b a ,,满足：2,2,=-=∙⊥c c b c a，b a c λ+=，则实数λ的值为（ ） 4.-A 2.-B C.2 D.410.已知8723cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-x π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πx 的值为（ ）41.A 87.B 41.±C 87.±D 11.已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，()()+∞∈∈,,,10201x x x x ，则( )()()0,0.21<<x f x f A ()()0,0.21><x f x f B ()()0,0..21<>x f x f C ()()0,0.21>>x f x f D12.设函数()⎩⎨⎧>≤=0,log 0,22x x x x f x ，对任意给定的()+∞∈,2y ，都存在唯一的R x ∈，满足()(),222ay y a x f f +=则正实数a 的最小值是（ ）41.A 21.B C.2 D.4 二．填空题（每小题5分，共20分）13.已知()()1,1,1,2--B A ,O 为坐标原点，A,B,M 三点共线，且B O A O M Oλ+=31 ,则点M的坐标为： 14.函数()m x f x +-=121是奇函数，则m 的值为： 15.设函数()x x f 2sinπ=的导函数()x g 的图像位于y 轴右侧的所有对称中心从左到右依次为 n A A A 21,，O 为坐标原点，则n A O A O A O+++21的坐标为：16.如图，点列{}{}n n B A ,依次在角O 的两条边上，所有n n B A 相互平行，且所有梯形11++n n n n A B B A 的面积均相等，设2,1,21===a a a OA n n ，则数列{}n a 的通项公式为：三．解答题（17题10分，18~22题各12分，共70分）17.已知命题p ：对任意02,2≥++∈a x ax R x命题q ：存在212cos 2sin ,2=⎪⎭⎫⎝⎛-+∈x x a R x ，证明p 是q 的充分不必要条件18.设ABC ∆的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知C B A ,,成等差数列（1） 若c b a ,,成等比数列，求C B A ,, （2）若72,12==∙b C B A B，求c a ,19.等差数列{}n a 的各项均为正数，31=a ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11=b ，且960,643322==S b S b （1）求n a 与n b （2）证明4311121<+++n S S S单位得()x g 的图像，求()x g 的单调递增区间 （2）当a a ,0≠与b共线时，求()x f 的值21.已知函数()x x x x f 23ln 313-+=（1）判断()x f 是否为定义域上的单调函数，并说明理由 （2）设(]()0,,0≤-∈mx x f e x 恒成立，求m 的最小整数值22.已知()x x ln =φ()1+=x a x ϕ（1）若()()()x x x f ϕφ+=的单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求实数a 的值 （2）若()()()x x x g ϕφ+=，且对任意(]2121,2,0,x x x x ≠∈，都有()()12121-<--x x x g x g ，求实数a 的取值范围高三10月考理科数学试卷答案 选择题：CAADD BDDBC BA 填空题：13.⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 14.2115.()0,2n 16.23-=n a n 解答题：17.p 真时[)+∞=∈,1A a ， 4分 q 真时(][)+∞-∞-=∈,11, B a 8分因为A 是B 的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件 10分 18.(1)3π=B 2分 c a = 5分 A=B=C=3π6分代入3π=B 72=b 9分⎩⎨⎧==46C a 或⎩⎨⎧==64c a 12分 19.（1）()()⎩⎨⎧=+=+960396462d q d q 2分 56,2-==d d （舍弃） 8=q 5分 18,12-=+=n n n b n a 6分（2）()2+=n n S n 8分20.（1）()142sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f 2分()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122sin 2πx x g 4分增区间Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,247,245ππππ 6分（2）4tan =x 8分21.（1）令()()x g xx x f=-+=2312,()0>x 2分()xx x g 123,-=所以()x f 是定义域()+∞,0上的增函数 6分 （2）(]()0,,0≤-∈mx x f e x ，()()x h xx f m =≥8分 ()0ln 1322,>-+=xx x x h 10分 ()()()2,1231312max∈-+==e e e h x h 11分m 的最小整数值为2 12分22.（1）()()()011222,≤++-+=x x x a x x f2分在()+∞,0上的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 得29=a 4分（2）设2012≤<<x x ，()()12121-<--x x x g x g ⇔()()2211x x g x x g +<+ 5分令()()x x g x h +=，则()x h 是(]2,0上的递减函数 6分数，故227≥a 11分 所以实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,227 12分。

专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。

江西新余一中宜春中学2020-2021学年高三联考数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n ==D ．1,2m n =-=-2．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-3．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π4．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞5．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ）A ．42B ．21C ．7D ．36．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，且16||||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．22y x =±B ．32y x =±C ．y x =±D ．2y x =±7．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x = D ．3()f x x x =-8．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ) A ．B ．C ．D ．9．已知复数z 满足i•z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i10．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．2C ．23D ．16311．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( ) A ．3B ．2C ．4D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年江西省七校（新余一中、丰城九中等）高二（常规班）上学期第三次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合()(){}|310M x x x =+-≤，{}2|log 1N x x =≤，则M N ⋃=（ ） A ．3,2B ．[)-3,2 C ．[]1,2D ．(0,2]【答案】A【分析】先利用一元二次不等式和对数函数的单调性分别化简集合M ，N ，再利用集合的并集运算求解.【详解】因为()(){}{}|310|31M x x x x x =+-≤=-≤≤，{}{}2|log 1|02N x x x x =≤=<≤，所以M N ⋃={}|32x x -≤≤， 故选：A2．某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个容量为20样本，已知样本中的有个编号为053，则样本中最大的编号为（ ） A ．853 B ．854 C ．863 D ．864【答案】C【分析】确定组距，再确定已知编号为第几组第几个数据，按系统抽样的定义（等差数列的通项公式）求出最大编号． 【详解】依题意知系统抽样的组距为9004520=，053为第二组的编号，即53458=+，所以第一组抽取的编号为008，则样本中最大的编号即第20组的编号为:81945863+⨯=. 故选：C.3．下面的折线图表示某商场一年中各月份的收入、支出情况，据此判断下列说法错误的是A ．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B ．支出最高值与支出最低值的比是6：1C ．第三季度的月平均收入为50万元D ．利润最高的月份是2月份（利润=收入-支出） 【答案】D【详解】分析：通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可. 详解：A ，2至3月份的收入的变化率为80602032-=-，11至12月份的收入的变化率为7050201211-=-，故相同，A 正确；B ，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，故B 正确；C ，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为405060503++=万元，故C 正确；D ，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是806020-=万元，故D 错误. 故选D.点睛：本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目.4．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．－1【答案】A【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置．【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y 做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩可得A （1，0）， 此时Z max ＝2． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。