随机理论在眼科病床安排优化模型中的应用——2009年全国大学生数学建模竞赛B题

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B题眼科病床的合理安排医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单，而且没有急症。

目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。

如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。

这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。

由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

眼科病床的合理安排问题摘要目前的眼科医院按FCFS 规则安排住院，医院资源利用效率较低，等待住院的病人队列越来越长。

本文中，我们针对此问题提出了优先级控制的FCFS 规则。

问题一中，我们以时间为主要考虑，提出了平均等待入院时间wa T 、平均等待手术时间sa T 、平均术后疗养时间ra T 、平均住院时间ha T 、平均逗留时间la T 和等待队长N 六个指标组成的评价体系。

对现行的FCFS 规则进行评价，指数值分别为：12.08，2.69，10.92，13.62，25.69，102。

问题二中，我们用MATLAB 软件生成符合每种疾病病人术后疗养时间的统计概率分布的随机变量及符合每种疾病病人每天门诊人数的统计概率分布的随机变量，以预测入院病人的出院时间以及未来一段时间每种疾病病人前来门诊的数目。

在此基础上，我们以平均等待手术时间最小为目标，对第二天可用病床按病种分配，产生优先级。

同种优先级下采用FCFS 规则，建立了优先级控制的FCFS 规则。

在此规则下逐天模拟，从而得出评价指标值。

之后，我们加入强制性规则，产生强制性优先级控制的FCFS 规则，并得出评价指标。

比较评价指标发现优先级控制的FCFS 规则最为优越。

针对问题三，首先根据每种疾病病人术后疗养时间和每天门诊人数的概率分布，得到在一定置信度下与病种相关的入院病人的出院时间区间和未来一段时间门诊病人的数目区间。

分别取置信区间的上、下侧，依据优先级控制的FCFS 规则逐天模拟，得到该置信度下门诊病人大致入院的时间区间的上、下侧。

问题四中，周末不安排手术引起各种疾病病人等待手术时间与星期几关系的变化导致优先级的变化。

此时采用优先级控制的FCFS 规则模拟，得出评价指标值。

周末不安排手术同样引起强制性规则的变化，此时采用强制性优先级控制的FCFS 规则，得出评价指标值。

对比评价指标值均得出周末不安排手术导致等待队长变长的结论。

之后，我们调整医院手术时间安排，得出周三、周五安排白内障手术评价指标值最优。

眼科病床合理安排数学建模优秀眼科病床合理安排摘要本文讨论了病床的合理安排问题，属于优化问题中的排队问题。

我们根据始数据利用EXCEL软件进行了统计分析，得出各类眼科病人的平均等待时间等相关数据信息。

对于问题一，我们综合考虑医院与病人的利益，提出了平均病床周转次数A、病人住院平均等待时间B、等待住院病人队列长度C、等待住院病人队列变化趋势这四项评价指标，用以对病床安排模型的优劣进行评价。

并利用该评价指标体系对医院当前的病床安排模型进行了评价。

对于问题二，我们基于医院的当前情况，以平均病床周转次数A为优化目标，以改进后的优先非抢占排队思想为依据，采用优先级随时间变化的规则来进行病床安排，并根据五类眼科病人的平均住院时间设置了初始优先度值，建立起单目标优化模型一。

我们利用模型一对前来门诊的病人重新进行病床安排，得出了相关结果。

由结果我们可以看出，模型一可以较好的解决医院的等待住院病人队列越来越长的问题。

我们利用问题一里确定的评价指标体系对模型一进行了评价，并将其与医院当前采用的模型进行了对比分析，突显出模型一的优势。

对于问题三，我们根据问题二里得出的病人信息，统计出了各类病人的平均等待时间和等待队列长度，发现在模型一的病床分配方案下，每天门诊总病人数与出院总人数大致平衡。

于是，我们可以根据各类病人的等待时间分布来给出门诊病人的入院时间区间：外伤：1天；视网膜疾病：（10，15）天；青光眼：（7，12）天；白内障单眼：（4，8）天。

白内障双眼病人需视门诊时间而定。

对于问题四，在周六、周日不安排手术的情况下，利用模型一重新对病人进行入院安排，并用评价指标体系对结果进行了评价，发现分配结果并不理想，等待队列长度很长，且等待入院的病人队列会越来越长。

因此，我们认为医院手术时间应该调整，我们建议将白内障双眼病人的手术时间由原来的每周一、周三调整到每周三、周五。

对于问题五，我们利用多服务台排队系统c/来进行求解。

眼科病床安排的评价和优化一、引言眼科疾病是一种常见的医疗需求，对于患者的视力和生活质量有着重要的影响。

为了满足患者的需求，眼科病床的合理安排至关重要。

本文将对眼科病床安排进行评价和优化，以提高患者的就诊体验和医疗效果。

二、眼科病床安排的现状评价2.1 就诊排队时间过长眼科病床安排的一个主要问题是患者就诊排队时间过长。

由于眼科疾病的特殊性，患者需要进行详细的眼科检查和测试，这导致了就诊时间的延长。

当前的病床安排方式无法满足患者的就诊需求，导致患者大量时间花费在等待中。

2.2 病床利用率不高另一个问题是眼科病床的利用率不高。

由于眼科疾病的种类繁多，不同类型的病床需求也不同。

然而，现有的病床安排方式没有考虑到不同疾病的特点，导致一些病床闲置，而其他病床则供不应求。

2.3 医疗资源分配不均衡眼科病床的分配也存在不均衡的问题。

一些地区的眼科医疗资源相对丰富，而其他地区则相对匮乏。

这导致了患者的就医不便和资源浪费的问题。

三、眼科病床安排的优化措施3.1 提高就诊效率为了缩短患者的就诊时间，可以采取以下措施：•增加眼科医生和技术人员的数量，提高就诊效率；•引入先进的眼科检查设备，减少检查时间；•优化就诊流程，减少患者等待时间；•鼓励患者提前预约就诊，减少现场排队。

3.2 优化病床利用为了提高病床利用率，可以采取以下措施：•根据不同疾病的特点，合理配置病床资源；•加强病床信息的共享和调度，避免闲置和供不应求的情况；•建立病床使用监控系统，及时掌握病床利用情况，进行调整。

3.3 平衡医疗资源分配为了解决医疗资源不均衡的问题，可以采取以下措施：•加强医疗资源的统筹规划，合理配置眼科医疗资源；•加强地区之间的合作与交流，促进医疗资源的共享；•鼓励优秀眼科医生到医疗资源匮乏的地区执业，提高医疗水平。

四、结论眼科病床安排的评价和优化是提高患者就诊体验和医疗效果的重要举措。

通过提高就诊效率、优化病床利用和平衡医疗资源分配，可以有效解决眼科病床安排中存在的问题。

眼科病床的合理安排摘要本文通过研究某医院眼科病床的合理安排问题，建立了合理的评价指标体系指导医院眼科病床的安排，旨在改善该医院眼科病人等待入院的队列越来越长的问题，使得医院和病人的利益达到“双赢”。

针对问题一，由于附表所给数据存在缺失，本文采用均值填补法对缺失数据进行填补。

由于不同类型病人的入住时间对医院床位的影响程度不同，在确定评价指标体系时，将病人分为急症型(外伤)、白内障型(双眼)、白内障型(单眼)、视网膜型疾病及青光眼型五类。

利用YAAHP层次分析软件建立层次结构模型结合每类病人的最短和最长住院时间确定四个等级，即优、良、中、差作为该医院眼科病床的合理评价指标体系，并得出医院采用FCFS规则不合理的结论。

针对问题二，由于医院的病床空余数量受各类病人的手术难度、术前准备时间、术后恢复及观察时间等因素的影响，因此以白内障型病人的手术时间为分段标准，将一个星期的时间分为三段，一方面保证医院当天安排的各类入院病人的比例与各类来诊病人的比例满足正相关的关系，另一方面通过合理分配不同类病人入院人数控制医院床位的流动速度，从而减轻医院的病床不足的压力，以此建立双目标线性规划模型，并通过MATLAB解得了三个阶段的最优结果。

针对问题三，首先将病人按类型分类，根据问题二中的求解结果，结合等待入院病人的统计情况确定各类病人所需的平均最短及最长时间，确定各类病人的大致入住时间区间。

针对问题四，以问题二的算法为基础，通过MATLAB编程计算出在目前该医院手术安排时间下，医院每天安排的不同类病人数的平均入院到出院时间，并通过问题一中的评价指标体系进行评价，评价结果处于优等，得出医院不需要对手术时间再进行调整的结论。

针对问题五，要使得平均逗留时间最短，那么各类病人的术前准备时间相应的也要最短。

根据题意可知白内障病人及外伤病人的术前准备时间为1天，青光眼、视网膜疾病病人的术前准备时间为2天，并且平均逗留时间等于等待入院时间与住院时间之和。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：2109245所属学校（请填写完整的全名）：苏州工业职业技术学院参赛队员(打印并签名) ：1. 张建波2. 傅婧3. 颜清华指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：许艾珍日期： 2009 年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病床的合理安排摘 要卫生资源的配置和优化一直是人类研究的主题，其关注度很高。

医疗服务质量的改善关系到民生，也是我国构建“和谐社会”的重要基础。

病床作为一种重要的医疗资源，其合理的安排和有效的使用能很大程度上改善医疗服务的质量和解决“看病难”的问题。

针对问题一：建立综合指标评价模型。

确立诊前延误指标、手术延误指标、就医水平指标和医务效率指标四个构成因素，通过AHP 分析方法确定四个因素在综合指标体系中所占的权重，从而成功的建立评价模型，并利用该模型对FCFS 规则计算出综合指标评价结果为：90.3624.31 4.7838.45i i U U ω==+++=∑。

针对问题二：建立动态病床安排模型。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B题眼科病床的合理安排医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单，而且没有急症。

目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。

如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。

这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。

由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

2009年全国大学生数学建模竞赛题目CUMCM2009 A 题制动器试验台的控制方法分析汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。

制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。

为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。

在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。

假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。

但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。

模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。

通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。

制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。

被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。

试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。

将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。

试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。

飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。

例如，假设有4 个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kg·m2，基础惯量为10 kg·m2，则可以组成10，20，30，…，160 kg·m2 的16 种数值的机械惯量。

眼科病床的合理配置优化模型摘要：本文将眼科患者中除外伤（一般作为急症处理）外的三种患者以平均等待时间（从门诊就诊到入院的时间 + 手术准备时间）最短衡量病床安排方案合理程度，并以此为基础建立合理的评价指标体系；利用Matlab软件对医院所提供的有关数据进行了详细的分析处理，运用排队论建立了该医院病床安排模型，将分配床位的结果（等待时间）与原来等待时间做了比较，说明运用此模式分配床位更合理；根据每个窗口最大接收病人的能力以及住院病人及等待住院的病人的统计情况，可以在门诊就诊时告诉需要住院的病人大致入院时间；同时，在周六、周日不安排手术的情况下，对该医院病床安排模型进行了相应的调整；建立了使得病人在系统内的平均逗留时间(含等待入院及住院时间)最短的病床比例分配模型。

关键词：眼科医院；病床；安排；模型；排队论一、问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，由于眼科病人的病情严重程度存在差异，有的只需要一次手术就可以治愈，有的需要二次手术(比如白内障患者分一只眼和两只眼患病两种情况)，并且在入院前和术前一般都有等待时间，在术后都有不同长度康复时间(这里指需要留院观察的时间)，会有很多患者为就诊治病而等待比较长的时间，为解决这种问题，如果医院增添服务人员和设备，就需要增加人力和物力的投资，若处理不当，很有可能对医院造成资源的浪费；不采取相应的措施，则排队等待时间太长的现象很难得到改善，对患者和社会都会带来不良影响。

为此，采用排队论的有关理论[2]，利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟，以获得反映其系统本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或评价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。

因此，医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡，以便提高服务质量，降低服务费用.。

二、问题假设1、假设就医患者在某段时间区间内到达的患者数的概率与这段时间的长度和患者数有关；2、在不相同的时间区间内到达的患者数是相互独立的；3、在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者，不存在同时到达2个以上患者的情况；4、在有限的时间区间内只能到达有限个患者，不可能有无限个患者到达；5、假定医院急诊窗口属于标准型：即急症病人不需要等待，病人一到即可就诊，并且对于需要住院、手术时均可及时得到满足。

眼科病床的合理安排数学建模眼科病床的合理安排是一项非常重要的任务，它直接关系到患者的就医体验和医院资源的充分利用。

为了解决这个问题，我们可以运用数学建模方法，通过分析和优化，制定出合理的床位安排方案。

首先，我们需要收集一些数据，如眼科病床的数量、患者的就诊时间和就诊类型等。

通过对这些数据的整理和分析，我们可以揭示患者就诊的规律和特点。

其次，我们可以将问题抽象为一个数学模型。

假设眼科病床的数量为N，就诊时间段为T，每个时间段内患者的就诊需求量为D。

我们可以将床位安排问题看作是在T个时间段内，将D个患者分配到N个床位的问题。

针对这个问题，有很多数学方法可以应用，如线性规划、整数规划和动态规划等。

其中，线性规划是一种常用的方法，它可以帮助我们找到一组最佳的床位安排方案。

在建立线性规划模型时，我们需要定义一些决策变量和约束条件。

决策变量可以表示每个时间段内每个床位的使用情况，约束条件可以确保床位的数量不超过总数，并且每个时间段内每个床位的使用量不超过需求量。

然后，我们可以使用数学软件进行求解，找到使目标函数最优的床位安排方案。

目标函数可以设置为最大化患者就诊的总体满意度，可以考虑就诊时间的合理安排和患者之间的交互等因素。

通过数学建模和优化，我们可以得到一组最佳的床位安排方案。

这样做的好处是，可以最大限度地满足患者的需求，提高病床的利用效率，减少患者的等待时间，并且提高医院资源的利用率。

同时，我们还可以根据模型的结果进行敏感性分析，探讨不同参数对床位安排方案的影响。

这有助于我们理解问题的本质和相关因素，并在实际操作中进行相应的调整和优化。

总之，眼科病床的合理安排是一个复杂的问题，但通过数学建模方法，我们可以找到一组最佳的床位安排方案。

这不仅可以提高患者的就医体验，还可以充分利用医院资源，具有重要的指导意义。

希望本文的内容能为相关研究和实践提供一些有用的参考和启示。

2010年全国大学生数学建模竞赛题目A题储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

B题2010年上海世博会影响力的定量评估2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。

从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。

请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。