北京市东城区2014届高三上学期期末统一检测数学理试题

C北京市东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则A =R ð（A ）{|1x x <-，或2}x > （B ）{|1x x ≤-，或2}x ≥ （C ）{|12}x x -<< （D ）{|12}x x -≤≤ 2．复数i 1i=- （A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22-- 3．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移3π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向右平移6π个单位长度 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=（A ）27（B ）36 （C ）45（D ）635．在极坐标系中，点)4π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（A）2 （B（C）2（D ）2 6．如图，在△ABC 中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则AD BC ⋅=（A ）3（B ）4（C ）5 （D ）不能确定7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为（A ）2 （B（C（DDCBA8．已知符号函数1,0,sgn()0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2014年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设集合A={x|1＜2x＜16}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩(∁R B)=( )A.(1，4)B.(3，4)C.(1，3)D.(1，2)【答案】B【解析】试题分析：通过解不等式分别求得集合A、B，再求出集合B的补集，然后进行交集运算可答案．解：解1＜2x＜16得0＜x＜4，∴A=(0，4)；解x2-2x-3≤0得-1≤x≤3，∴B=[-1，3]，∴C R B=(-∞，-1)∪(3，+∞)；∴A∩(C R B)=(3，4)．故选：B．2.已知i是虚数单位，则=()A.1-2iB.2-iC.2+iD.1+2i【答案】D【解析】试题分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案解：故选：D .3.设a∈R，则“a=-2”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当a=-2时，两直线方程分别为l1：-2x+2y-1=0与直线l2：x-y+4=0满足，两直线平行，充分性成立．当a=1时，满足直线l1：x+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行，∴必要性不成立，∴“a=-2”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A．4.函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为()A. B. C.0 D.【答案】B【解析】试题分析：利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换可得函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解：令y=f(x)=sin(2x+φ)，则f(x+)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ)，∵f(x+)为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选：B．5.设，是两个非零向量()A.若|+|=||-||，则⊥B.若⊥，则|+|=||-||C.若|+|=||-||，则存在实数λ，使得=λD.若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||-||【答案】C【解析】试题分析：通过向量特例，判断A的正误；利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断B的正误；通过特例直接判断向量共线，判断正误；通过反例直接判断结果不正确即可．解：对于A，，，显然|+|=||-||，但是与不垂直，而是共线，所以A不正确；对于B，若⊥，则|+|=|-|，矩形的对角线长度相等，所以|+|=| |-||不正确；对于C，若|+|=||-||，则存在实数λ，使得=λ，例如，，显然=，所以正确．对于D，若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||-||，例如，显然=，但是|+|=||-||，不正确．故选：C．6.某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b 的最大值为()A. B. C.4 D.【答案】C【解析】试题分析：设棱长最长的线段是长方体的对角线，由题意所成长方体的三度，求出三度与面对角线的关系，利用基本不等式即可求出a+b的最大值解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图设长方体的长宽高分别为m，n，k，由题意得，⇒n=1，所以(a2-1)+(b2-1)=6⇒a2+b2=8，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16⇒a+b≤4当且仅当a=b=2时取等号．故选：C．7.抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解：由，得x2=2py(p＞0)，所以抛物线的焦点坐标为F()．由，得，．所以双曲线的右焦点为(2，0)．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M()，则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M()把M点代入①得：．解得p=．故选：D．8.设a＞0，b＞0()A.若2a+2a=2b+3b，则a＞bB.若2a+2a=2b+3b，则a＜bC.若2a-2a=2b-3b，则a＞bD.若2a-2a=2b-3b，则a＜b【答案】A【解析】试题分析：对于2a+2a=2b+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于2a-2a=2b-3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，∴若2a+2a=2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；对于2a-2a=2b-3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．故选：A．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9.记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10= ．【答案】10【解析】试题分析：由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．等差数列{a n}的前n项和为S n，解：∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，∴，解得a1=1，d=1，∴a10=1+9=10．故答案为：10．10.如图，PA与圆O相切于A，不过圆心O的割线PCB与直径AE相交于D点．已知∠BPA=30，AD=2，PC=1，则圆O的半径等于．【答案】7【解析】试题分析：由切线性质和勾股定理求出PA=2，由切割线定理求出PB=12，由相交弦定理求出AE=14，由此能求出圆O的半径等于7．解：∵PA与圆O相切于A，不过圆心O的割线PCB与直径AE相交于D点．∠BPA=30，AD=2，PC=1，∴∠PAD=90°，∴PO=4，PA==2，由切割线定理知(2)2=1×PB，解得PB=12，∴OC=3，BD=8，由相交弦定理知OC•BD=AD•DE，∴3×8=2DE，解得DE=12，∴AE=AD+DE=12+2=14，∴圆O的半径等于7．故答案为：7．11.若函数f(x)=kx-e x有零点，则k的取值范围为．【答案】k＞e或k＜0【解析】试题分析：原题等价于函数g(x)=，(x≠0)的值域，求导函数可得函数的单调性，可得值域，可得答案．解：当x=0时，可得f(0)=-1，故x=0不是函数的零点；当x≠0时，由函数f(x)=kx-e x有零点可得kx=e x有解，即k=，故k的取值范围为函数g(x)=，(x≠0)的值域，∵y′==，令y′＜0可得x＜1，故函数g(x)在(-∞，0)上单调递减，(0，1)上单调递减，(1，+∞)上单调递增，故当x＜0时，函数值g(x)＜0，当x＞0时，g(1)为函数的最小值，且g(1)=e，故g(x)＞e，综上可得g(x)的取值范围为g(x)＜0或g(x)＞e，故k的取值范围为：k＜0或k＞e．故答案为：k＞e或k＜0．12.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为．【答案】【解析】试题分析：化圆的方程为x2+y2-6x-8y=0为标准方程，求出圆心和半径，然后解出AC、BD，可求四边形ABCD的面积．解：圆的方程为x2+y2-6x-8y=0化为(x-3)2+(y-4)2=25．圆心坐标(3，4)，半径是5．最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是E．S ABCD=故答案为：13.已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤7，则n= ．【答案】5【解析】试题分析：要想使已知展开式中没有常数项，需(x+)n(n∈N+)的展开式中无常数项、x-1项、x-2项，利用(x+)n的通项公式讨论即可．解：设(x+)n的通项公式为T r+1，则T r+1=•x n-4r，2≤n≤7，当n=2时，若r=1，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中有常数项，故n≠2；当n=3时，若r=1，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中有常数项，故n≠3；当n=4时，若r=1，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中有常数项，故n≠4；当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中都没有常数项，故n=5满足题意；当n=6时，若r=2，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中有常数项，故n≠6；当n=7时，若r=2，(1+x+x2)(x+)n(n∈N+)的展开式中有常数项，故n≠7．综上所述，n=5时，满足题意．故答案为：5．14.设a∈R，若x＞0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，则a= ．【答案】【解析】试题分析：分类讨论，(1)a=1；(2)a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．解：(1)a=1时，代入题中不等式明显不成立．(2)a≠1，构造函数y1=(a-1)x-1，y2=x2-ax-1，它们都过定点P(0，-1)．考查函数y1=(a-1)x-1：令y=0，得M(，0)，∴a＞1；考查函数y2=x2-ax-1，显然过点M(，0)，代入得：，解之得：a=，或a=0(舍去)．故答案为：三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)15.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．( I)求的值；(II)求tan(A-B)的最大值．【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，，由正弦定理得即sin A cos B=4cos A sin B，则；(Ⅱ)由得tan A=4tan B＞0当且仅当时，等号成立，故当时，tan(A-B)的最大值为．【解析】试题分析：(1)由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sin A cos B=4cos A sin B，再利用弦化切的方法即可求的值．(2)由(1)的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tan A=4tan B＞0，则tan(A-B)可化为，再结合基本不等式即可得到tan(A-B)的最大值．16.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数；(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的数学期望．【答案】解：(I)因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．(II)因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率(III)ξ的可能取值为0，1，2，3，，，故Eξ==．【解析】试题分析：(I)这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．(II)在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．(III)求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．17.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．(Ⅰ)求证：平面ABM⊥平面PCD；(Ⅱ)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；(Ⅲ)求点N到平面ACM的距离．【答案】(Ⅰ)证明：依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD的中点可得AM=2，MC==2则=2，设D到平面ACM的距离为h，由V D-ACM=V M-ACD即2h=8，可求得h=，设所求角为θ，则sinθ==．(Ⅲ)可求得PC=6，因为AN⊥NC，由，得PN，所以NC：PC=5：9，故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由(Ⅱ)可知所求距离为．【解析】试题分析：(Ⅰ)要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；(Ⅱ)先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；(Ⅲ)先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．18.已知函数，其中a＞0．(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．【答案】解：(1)′，∵f′(x)在x=1处取得极值，f′(1)=0即a+a-2=0，解得a=1(2)′，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①当a≥2时，在区间(0，+∞)上f′(x)＞0．∴f(x)的单调增区间为(0，+∞)②当0＜a＜2时，由f′(x)＞0解得由′解得∴f(x)的单调减区间为，单调增区间为∞(3)当a≥2时，由(II)知，f(x)的最小值为f(0)=1当0＜a＜2时，由(II)②知，在处取得最小值，综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞)【解析】试题分析：(1)对函数求导，令f′(1)=0，即可解出a值．(2)f′(x)＞0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．a≥2时，在区间(0，+∞)上是增函数，(3)由(2)的结论根据单调性确定出最小值，当a≥2时，由(II)知，f(x)的最小值为f(0)=1，恒成立；当0＜a＜2时，判断知最小值小于1，此时a无解．当0＜a＜2时，(x)的单调减区间为，单调增区间为∞19.椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】解：(Ⅰ)∵左焦点(-c，0)到点P(2，1)的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2-c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．(II)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=(kx1+m)(kx2+m)==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，k AD•k BD=-1，∴，∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=-2k，．，且满足3+4k2-m2＞0．当m=-2k时，l：y=k(x-2)，直线过定点(2，0)与已知矛盾；当m=-时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．【解析】试题分析：(I)利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；(II)把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k AD•k BD=-1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．20.在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列(n∈N*)．(Ⅰ)求a2，a3，a4和b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)证明你的结论；(Ⅲ)证明：++…+＜．【答案】(Ⅰ)解：由已知得2b n=a n+a n+1，a n+12=b n•b n+1．又a1=2，b1=4，由此可得a2=6，a3=12，a4=20，b2=9，b3=16，b4=25．猜测a n=n(n+1)，b n(n+1)2．(Ⅱ)用数学归纳法证明：①当n=1时，由(Ⅰ)可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即a k=k(k+1)，b k=(k+1)2．那么当n=k+1时，a k+1=2b k-a k=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2)，b k+1==(k+2)2．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②可知a n=n(n+1)，b n=(n+1)2对一切正整数都成立．(Ⅲ)证明：=＜．n≥2时，由(Ⅰ)知a n+b n=(n+1)(2n+1)＞2(n+1)n．故++…+＜+[++…+]=+(-+-+…+-)=+(-)＜+=．【解析】试题分析：(Ⅰ)由a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列得关系式2b n=a n+a n+1，a n+12=b n•b n+1把a1=2，b1=4循环代入上面两个式子可求a2，a3，a4和b2，b3，b4，并由此猜测出{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)利用数学归纳法加以证明；(Ⅲ)当n=1时直接验证，当n大于等于2时放缩后利用裂项相消法证明．。

北京市东城区2013—2014学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）2014．4 第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1． 已知集合()(){|120}A x x x =+-≥，则R A =ð（ ）．A ．{|1x x <-或}2x >B ．{|1x x -≤或}2x ≥C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x -≤≤2． 复数i1i=-（ ）． A ．11i 22+ B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--3． 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）．A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度4． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=（ ）．A ．27B ．36C ．42D ．635． 在极坐标系中，点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭, 到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（ ）．A ．22 B ．2 C ．322 D ．26． 如图，在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则AD BC ⋅=（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．不能确定7． 若双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）．A ．2B ．22C ．233D ．28． 已知符号函数()10sgn 0010x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，，，，，则函数()()2sgn ln ln f x x x =-的零点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4D CB AQ B O D CP A 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9． 412x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项为________．（用数字作答）10． 如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2AB BC =，且2BC =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则CD =________，DAB ∠=________．11． 设不等式组02,02x y <<⎧⎨<<⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点(),P x y ，则3x y +<的概率为________．12． 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，()f x 的解析式为______，不等式()f x x <的解集为________．13． 某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）14． 如图，在三棱锥A BCD -中，2BC DC AB AD ====，2BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD中点，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为________．三、解答题共6小题，共80分． 15． （本小题共13分） 在ABC △中，sin 3cos A B a b=． （1）求角B 的值； （2）如果2b =，求ABC △面积的最大值．O CB AD16． （本小题共13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[]2,4的有8人．（1）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．a频率/组距频率/组距0.0750.0500.0250.1750.15000.12500.10000.0875乙甲0 2 4 6 8 10 12 小时0 2 4 6 8 10 12 小时17． （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，1AB PA ==，3AD =，F 是PB 中点，E 为BC 上一点． （1）求证：AF ⊥平面PBC ；（2）当BE 为何值时，二面角C PE D --为45︒．PFEDCBA18． （本小题共13分）已知函数()()24ln 1f x ax x =--，a ∈R ．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）已知点()1,1P 和函数()f x 图象上动点()(),M m f m ，对任意[]2,1m e ∈+，直线PM 倾斜角都是钝角，求a 的取值范围．19． （本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点61,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；（2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．20． （本小题共14分）已知集合{}1,2,3,4,,n ()3n ≥，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T 子集，记T 子集的个数为n a ． （1）当5n =时，写出所有T 子集； （2）求10a ；（3）记3543452222nn na a a a S =++++ ，求证：2n S <北京市东城区2013-2014学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案（理科）一、选择题 1．C 2．C 3．D 4．D 5．A6．B7．C8．B二、填空题9．11610．23；30︒11．7812．2()6=-+f x x ；(20)(2)-+∞ ，， 13．2414．248三、解答题 15．（共13分）解：（1）因为sin sin =a b A B ，sin 3cos =A Ba b， 所以sin =3cos B B ，tan =3B ． 因为(0π)B ∈，．所以π=3B ．（2）因为π=3B ，所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为2b =，所以22=42a c ac ac ++≥，所以4ac ≤（当且仅当a c =时，等号成立），所以12ABC S ac =△，sin 3B ≤，所以ABC △面积最大值为3．16． （共13分） 解：（1）由直方图知，(0.1500.1250.1000.0875)21++++⨯=a ，解得0.0375a =，因为甲班学习时间在区间[24]，的有8人，所以甲班的学生人数为8400.2=， 所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间(]1012，的人数为 400.037523⨯⨯=（人）．（2）乙班学习时间在区间(]1012，的人数为400.0524⨯⨯=（人）．由（1）知甲班学习时间在区间(]1012，的人数为3人， 在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．043447C C 1(0)C 35===P ξ， 133447C C 12(1)C 35===P ξ，223447C C 18(2)C 35===P ξ， 313447C C 4(3)C 35===P ξ．所以随机变量ξ的分布列为：ξ 01 2 3 P1351235 1835 435112184120123353535357=⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ．17．（共14分）证明（1）因为⊥PA 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ， 所以⊥PA BC ， 因为ABCD 是矩形， 所以⊥BC AB ． 因为=PA AB A ， 所以⊥BC 平面PAB ， 因为⊂AF 平面PAB ， 所以⊥BC AF ，因为=AB PA ，F 是PB 中点， 所以⊥AF PB ， 因为=PB BC B所以⊥AF 平面PBC ．（2）解：因为⊥PA 平面ABCD ，⊥AB AD ，所以以A 为坐标原点，AD 、AB 、AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设=BE a ，则(001)P ，，，()300D ，，，()10E a ，，，11022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，． 所以()310=-DE a ，，，()301=-PD，，． 设平面PDE 的法向量为()=m x y z ，，，则00.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m DE m PD，所以()3030.⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩a x y x z ， 令1=x ，得3=-y a ，3=z ，所以()133=-m a，，． 平面PCE 的法向量为11022⎛⎫== ⎪⎝⎭n AF ，，．所以21322cos 222372-⋅===⋅-+a m n m n m na a ，．所以536=a ．y xzFP E DCB A所以当536=BE 时，二面角--P DE A 为45︒．17．（共13分）解：（1）当1=a 时，2()4ln(1)=--f x x x ，定义域为(1)+∞，，242242(1)(2)()2111--+-'=-==---x x x x f x x x x x x(12)， (2)+∞，()'f x -+()f x↘ ↗所以当1=a 时，()f x 的单调递增区间为(2)+∞，，单调递减区间为(12)，． （2）因为对任意[2e 1]∈+m ，，直线PM 的倾斜角都是钝角， 所以对任意[2e 1]∈+m ，，直线PM 的斜率小于0， 即()101-<-f m m ，()1<f m ， 即()f x 在区间[21]+c ，上的最大值小于1，242(2)()211--'=-=--ax ax f x ax x x ，(1)∈+∞x ，． 令2()2=--g x ax ax①当0=a 时，()4ln(1)=--f x x 在[2e 1]+，上单调递减， max ()(2)01==<f x f ，显然成立，所以0=a ． ②当0<a 时，二次函数()g x 的图象开口向下， 且(0)2=-g ，(1)2=-g ， (1)∀∈+∞x ，，()0<g x ，故()0'<f x ，()f x 在(1)+∞，上单调递减，故()f x 在[2e 1]+，上单调递减，max ()(2)41==<f x f a ，显然成立，所以0<a ．（3）当0>a 时，二次函数()g x 的图象开口向上， 且()02g =-，()12g =-．所以()01x ∃∈+∞，，当()01x x ∈，时，()0g x <．当()0x x ∈+∞，时，()0g x >． 所以()f x 在区间()1+∞，内先递减再递增． 故()f x 在区间[]2e 1+，上的最大值只能是()2f 或()e 1f +． 所以()()21e 11f f .⎧<⎪⎨+<⎪⎩， 即()241e 141a a .<⎧⎪⎨+-<⎪⎩，所以104a <<．综上14a <．19．（共13分）解：（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点613A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，和点()01B -，．所以1b =，由2253111a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭+=，得23a =． 所以椭圆G 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠．设直线l 的方程为32y kx =+．由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2512k >．设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，，得12229262x x k x k +==-+，12623262y y y k +==+． 由BM BN =，知BQ MN ⊥，所以6611y x k +=-，即2231162962k k k k ++=--+． 化简得223k =，满足0>△．所以63k =±．因此直线l 的方程为6332y x =±+．（20）（共14分）解：（Ⅰ）当5n =时，所以T 子集：{}13，，{}14，，{}15，，{}24，，{}25，，{}35，，{}135，，． （Ⅱ）{}123412k k k ++，，，，…，，，的T 子集可分为两类： 第一类子集中不含有2k +，这类子集有1k a +个；第二类子集中含有2k +，这类子集成为{}1234k ，，，，…，的T 子集与{}2k +的并，或为{}1234k ，，，，…，的单元素子集与{}2k +的并，共有k a k +个． 所以21k k k a a a k ++=++．因为31a =，43a =，所以57a =，614a =，726a =，846a =，979a =，10133a =．（Ⅲ）因为3431372222n n na S =++++…， ①所以143111322222n n n n n a a S -+=++++… ②①-②得2343612112472222222n n n n n a n a S -++-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭…2243434121234222222n n n n a n a a a -++-++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭…22434234112121342222222n n n n a n a a a --++-++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ (1234112134222222)22n n n n n n a n S ---⎛⎫++-+++- ⎪⎝⎭ (1)2111112444222n n n n n n a S --+-⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭ 2111444n S -<++1124n S <+所以2n S <．北京市东城区高三年级第一次综合练习数学（理工类）选填解析一、 选择题 1．【答案】C【解析】解：()(){{|120}|1A x x x x x =+-=≤-≥或}2x ≥，所以{}|12R A x x =-<<ð 故选C ．2．【答案】C【解析】解：(1i)111(1i)(1i)222i i i i i +-+===-+--+ 故选C ．3．【答案】D【解析】解：sin 2sin(2)sin 2()36x x x ππ⎡⎤→-=-⎢⎥⎣⎦故选D ．4．【答案】D【解析】解：由题意知：11325439,53022a d a d ⨯⨯+=+=， 从而10,3a d ==，7898133(+7d)63a a a a a ++=== 故选D ．5．【答案】A【解析】解：由极坐标系与直角坐标系的关系，题目可以转化为点(1,1)到直线10x y --=的距离，由点到直线的距离公式可得221112211d --==+ 故选A6．【答案】B【解析】解：由题意知：22111()()()(91)4222AD BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为B ．7．【答案】C【解析】解：由题目知道双曲线的渐近线是b y x a =±，由对称性，不妨我们用,by x a=即0bx ay -=，由于和圆相切，我们可知圆心(2,1)到渐近线的距离为1，222021,b b d c b a -===+又222c a b =+Q ，从而233e = 故答案选C ．8．【答案】B【解析】解：由题意知：2221ln ,1(x)ln ,11ln ,1x x f x x x x ⎧->⎪=-=⎨⎪--<⎩，当11,'()2l n 0,x f x x x >=-⋅<()f x 是减函数，(1)1f =有一个零点；当1,x =(1)0f =是一个零点；当101,'()2ln 0,x f x x x<<=-⋅>()f x 是增函数(1)1f =-无零点故答案选B ．二、 填空题9．【答案】116【解析】解：二项式的通项为4141()(),2r rr r T C x -+=-x 的系数40,4r r -==则系数为44411216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故答案为116．10．【答案】23；30︒【解析】解：CD 是切线，CBA 是割线，由切割线定理知：22612,23CD CB CA CD =⋅=⋅=∴=; 连接,,OD BD 则0090,90,ODC ADB ∠=∠=00OD ,60,30OB BD DBA DAB ==∴∠=∴∠=故答案为23；30︒．11．【答案】78【解析】此题属于几何概型，小三角形的面积是1,2正方形的面积是4，所以概率是172148-=故答案为78．12．【答案】2()6=-+f x x ；(2,0)(2)-+∞，【解析】解：设220,0,()6(),()6x x f x x f x f x x >∴-<∴-=-=-∴=-+； 当220,6,60,(3)(2)0x x x x x x x <-<--<-+<，此时20x -<<当220,6,60,(3)(2)0,32或x x x x x x x x x >-+<+->+-><->，此时2x >，综上所述：(2,0)(2,)-⋃+∞故答案为2()6=-+f x x ；(20)(2)-+∞，， ．13．【答案】24【解析】解：由题意知，分配法共有4424A =种． 故答案为24．14．【答案】248【解析】解：,AB AD =O 为BD 的中点，AO BD ∴⊥，又,平面平面ABD BCD ⊥Q AO BCD,∴⊥即PO OCQ ⊥，设AP CQ x ==，211122212(1)(1)()33221212248P QCO OCQ x x V S PO x x x x -+-=⋅=⋅⋅-=-≤=故答案为248．。

2014年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2}B．{x|x≤﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝30，则a7+a8+a9＝（）A．27B．36C．42D．635．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离等于（）A．B．C．D．26．（5分）如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝3，D是BC的中点，则＝（）A．3B．4C．5D．不能确定7．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，则函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（x﹣）6的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）10．（5分）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB＝2BC，且BC＝2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则CD＝，∠DAB＝．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P（x，y），则x+y＜3的概率为．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当＜0时，f（x）＝x2﹣6，则x＞0时，f（x）的解析式为；不等式f（x）＜x的解集为．13．（5分）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有种．（用数字作答）14．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝DC＝AB＝AD＝，BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP＝CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，＝．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC面积的最大值．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，E为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣4ln（x﹣1），a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．（1）求椭圆G的方程；（2）设过点P（0，）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|＝|BN|，求直线l的方程．20．（14分）已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a n．（1）当n＝5时，写出所有T子集；（2）求a10；（3）记S n＝+++…+，求证：S n＜2．2014年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2}B．{x|x≤﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}【解答】解：由A中不等式解得：x≤﹣1或x≥2，∴A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，则∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}，故选：C．2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝＝﹣．故选：C．3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）的图象，故选：D．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝30，则a7+a8+a9＝（）A．27B．36C．42D．63【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则S3＝3a1+3d＝9，S5＝5a1+10d＝30，联立解得a1＝0，d＝3，∴S n＝na1+d＝，∴a7+a8+a9＝S9﹣S6＝108﹣45＝63，故选：D．5．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离等于（）A．B．C．D．2【解答】解：点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离为，故选：A．6．（5分）如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝3，D是BC的中点，则＝（）A．3B．4C．5D．不能确定【解答】解：∵D是BC边的中点，∴，由向量的运算法则可得＝，∴＝•＝＝（32﹣12）＝4．故选：B．7．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0．根据圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，可得，1＝，∴＝，，可得e＝．故此双曲线的离心率为：．故选：D．8．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，则函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：令sgn（lnx）﹣ln2x＝0得，当lnx＞0，即x＞1时，1﹣ln2x＝0，解得，x＝e；当lnx＜0，即x＜1时，﹣1﹣ln2x＝0，无解；当lnx＝0，即x＝1时，成立；故方程sgn（lnx）﹣ln2x＝0有两个根，故函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为2；故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（x﹣）6的二项展开式中的常数项为﹣20．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6的二项展开式中的常数项为＝20，故答案为：﹣20．10．（5分）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB＝2BC，且BC＝2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则CD＝2，∠DAB＝．【解答】解：连结OD，DB，则OD⊥CD．由切割线定理得CD2＝CB•AC＝12，∴CD＝2，∵OB＝2，BC＝2，∴OC＝4，∴cos∠OCD＝＝，∴∠OCD＝，故∠DAB＝．故答案为：2，．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P（x，y），则x+y＜3的概率为．【解答】解：由题意，本题是几何概型，区域D的面积为2×2＝4，满足x+y ＜3的P的区域如图阴影部分，其面积为2×2﹣＝，所以满足x+y＜3的概率为；故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当＜0时，f（x）＝x2﹣6，则x＞0时，f（x）的解析式为﹣x2+6；不等式f（x）＜x的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0由于x＜0时，f（x）＝x2﹣6，所以：f（﹣x）＝（﹣x）2﹣6由于函数f（x）是定义在R上的奇函数．所以：﹣f（x）＝x2﹣6解得：f（x）＝﹣x2+6所以：则：①当x＜0时，x2﹣6＜x整理得：（x+2）（x﹣3）＜0，解得：﹣2＜x＜3所以：﹣2＜x＜0．②当x＞0时，﹣x2+6＜x整理得：（x+3）（x﹣2）＞0解得：x＞2或x＜﹣3所以：x＞2综合①②得：不等式的解集为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：①﹣x2+6②（﹣2，0）∪（2，+∞）13．（5分）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有24种．（用数字作答）【解答】解：由题意，利用捆绑法，共有＝24种不同的分配方法．故答案为：24．14．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝DC＝AB＝AD＝，BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP＝CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．【解答】解：设AP＝x，∵O为BD中点，AD＝AB＝，∴AO⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AO⊥平面BCD．∴PO是三棱锥P﹣QCO的高．AO＝＝1．∴OP＝1﹣x，（0＜x＜1）．在△BCO中，BC＝，OB＝1，∴OC＝＝1，∠OCB＝45°．＝＝＝．∴S△OCQ＝＝∴V三棱锥P﹣OCQ＝＝．当且仅当x＝时取等号．∴三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，＝．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝∴由正弦定理知：＝＝∴sin B＝cos B，即有tan B＝∵0＜B＜π∴B＝．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，sin B＝，a＝sin A，A＝＝ab sin C＝sin（）×2×sin C＝sin（）×sin C ∴S△ABC＝sin2C+cos2C+＝sin（2C+）+≤．∴△ABC面积的最大值为．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2＝1，解得a＝0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2＝3（人）．（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2＝4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以随机变量ξ的分布列为：．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，E为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．【解答】解：（Ⅰ）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），，，F（0，，），＝（0，，），∵＝0，，∴AF⊥PB，AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC．（Ⅱ）设BE＝a，∴E（a，1，0），，，设平面PDE的法向量，则，取x＝1，得＝（1，，），平面PCE的法向量为，∵二面角C﹣PE﹣D为45°，∴cos＜＞＝＝，解得a＝，∴当BE＝时，二面角C﹣PE﹣D为45°．AF⊥平面PBC．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣4ln（x﹣1），a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣4ln（x﹣1），x∈（1，+∞），∴f（x）＝2x﹣＝＝，令f′（x）＝0，解得：x＝2，∴a＝1时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）∵对任意m∈[2，e+1]，直线PM的倾斜角都是钝角，∴对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，即＜0，f（m）＜1，即f（x）在区间[2，e+1]上的最大值小于1，f′（x）＝，x∈（1，+∞），令g（x）＝ax2﹣ax﹣2①当a＝0时，f（x）＝﹣4ln（x﹣1）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max＝f（2）＝0＜1，显然成立，∴a＝0．②当a＜0时，二次函数g（x）的图象开口向下，且g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣2，∀x∈（1，+∞），g（x）＜0，故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max＝f（2）＝4a＜0，显然成立，∴a＜0．（3）当a＞0时，二次函数g（x）的图象开口向上，且g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣2．所以∃x0∈（1，+∞），当x∈（1，x0）时，g（x）＜0．当x∈（x0，+∞）时，g （x）＞0；所以f（x）在区间（1，+∞）内先递减再递增．故f（x）在区间[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（e+1）．∴，即：，∴0＜a＜．综上：a＜．19．（13分）已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．（1）求椭圆G的方程；（2）设过点P（0，）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|＝|BN|，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．∴b＝1，由，得a2＝3．∴椭圆G的方程为．…（4分）（2）由题意知直线l的斜率k存在，且k≠0．设直线l的方程为y＝kx+．由，消去y并整理得（k2+）x2+3kx+＝0，…（5分）由，…（7分）设，MN中点为Q（x 0，y0），得，，…（8分）由|BM|＝|BN|，知BQ⊥MN，∴，即．化简得，满足△＞0．∴k＝，…（12分）∴直线l的方程为y＝．…（14分）20．（14分）已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a n．（1）当n＝5时，写出所有T子集；（2）求a10；（3）记S n＝+++…+，求证：S n＜2．【解答】解：（Ⅰ）当n＝5时，所有T子集：{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}，{1，3，5}．（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分为两类：第一类子集中不含有k+2，这类子集有a k+1个；第二类子集中含有k+2，这类子集成为{1，2，3，4，…，k}的T子集与{k+2}的并，或为{1，2，3，4，…，k}的单元素子集与{k+2}的并，共有a k+k个．所以a k+2＝a k+1+a k+k．因为a3＝1，a4＝3，所以a5＝7，a6＝14，a7＝26，a8＝46，a9＝79，a10＝133．（Ⅲ）∵，①＝，②①﹣②，得：﹣＝﹣＝＝﹣＝﹣﹣＜＜，∴S n＜2．。

东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测高 三 物 理 2014.01 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分。

考试时长100分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题，共48分）一．单项选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。

每小题只有一个选项正确。

)1．已知两个质点相距为r 时，它们之间的万有引力大小为F 。

若只将它们之间的距离变为2r ，则它们之间的万有引力大小为A ． 4FB ．2FC ．41F D ．21F 2．人站在电梯中随电梯一起运动。

下列过程中人处于超重状态的是A ．电梯加速上升B ．电梯加速下降C ．电梯匀速上升D ．电梯匀速下降3．如图所示，在粗糙水平地面上放一质量为M 的斜面，质量为m 的木块沿斜面匀速下滑，此过程中斜面保持静止，则A ．地面对斜面有水平向右的摩擦力B ．地面对斜面有水平向左的摩擦力C ．地面对斜面的支持力等于（M+m ）gD ．地面对斜面的支持力小于（M+m ）g4．正点电荷的电场线如图所示，a 、b 是电场中的两点。

下列说法中正确的是A ．a 点的电场强度一定等于b 点的电场强度B ．a 点的电场强度一定大于b 点的电场强度C ．a 点的电势一定小于b 点的电势D ．a 点的电势一定等于b 点的电势5．我国家庭照明电路用的交流电的电压瞬时值随时间变化的规律为u =311sin100πt V ，关于此交流电下列说法中正确的是A . 电压的最大值是311VB . 电压的有效值是311VC . 交流电的频率为100HzD . 交流电的周期为100s6．如图所示电路，电源内阻不可忽略。

开关S 闭合后，在滑动变阻器R 0的滑片向下滑动的过程中A ．电压表的示数增大，电流表的示数减小B ．电压表的示数减小，电流表的示数增大C ．电压表与电流表的示数都增大D ．电压表与电流表的示数都减小7．一列简谐横波某时刻波形如图所示，此时质点P 的速度方向沿y 轴正方向，则A ．这列波沿x 轴负方向传播B ．质点a 此时动能最大，加速度最小C ．再经过一个周期，质点P 运动到x=6m 处D ．当质点P 运动到最低点时，质点b 恰好运动到平衡位置 8．质量为m 的物体由静止开始下落，由于空气阻力影响物体下落的加速度为g 54，在物体下落高度为h 的过程中，下列说法正确的是A ．物体的动能增加了mgh 54 B ．物体的机械能减少了mgh 54 C ．物体克服阻力所做的功为mgh 54 D ．物体的重力势能减少了mgh 54 9．如图所示，小车静止在光滑水平地面上，小车的上表面由光滑的斜面AB 和粗糙的平面BC 组成（它们在B 处由极短的光滑圆弧平滑连接），小车右侧与竖直墙壁之间连接着一个力传感器，当传感器受压力时，其示数为正值；当传感器受拉力时，其示数为负值。

北京市东城区2014届高三数学上学期期末统一检测试题 理（含解析）本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|02}A x x =<<，{|(1)(1)0}B x x x =-+>，则A B =（ ）（A ）(0,1) （B ） (1,2) （C ）(,1)(0,)-∞-+∞ （D ） (,1)(1,)-∞-+∞（2）在复平面内，复数2ii+ 的对应点位于 （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）设a ∈R ，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行右图所示的程序框图，输出的a 的值为（ ） （A ）3 （B ）5 （C ）7（D ）9（5）在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cos B =（ ）（A ）13 （B（C （D（6）已知直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若MN ≥k 的取值范围为（ ）（A ）[33-（B ）11[,]33-（C ） (,-∞ （D ）)+∞（7）在直角梯形ABCD 中，90A ∠=，30B ∠=，AB =2BC =，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+，则μ的取值范围是（ ）（A ）[0,1] （B ） （C ）1[0,]2 （D ）1[,2]2（8）定义,,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩设实数,x y 满足约束条件2,2,x y ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩则max{4,3}z x y x y =+- 的取值范围是（ ） （A ）[6,10]-（B ）[7,10]- （C ）[6,8]- （D ）[7,8]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区普通校2014届高三3月联考（零模）数学（理科）本试卷共150分，考试用长120分钟。

第一部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合(){}ln 1A x y x ==-,集合{}2B y y x ==,则A B = A.[)0,1 B. []0,1 C . (],1-∞ D.(),1-∞2. 函数2()log f x x =与11()()2x g x +=在同一直角坐标系中的图象是A B C D 3. 已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象A. 关于点(,0)4π对称B. 关于直线8x π=对称 C . 关于点(,0)8π对称D. 关于直线4x π=对称 4. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是A.3B.13C. 3-D. 13-5. 某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为 A. 6>k B. 5>k C. 4>k D. 3>k6. 设a ∈R ，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数是()f x '，若()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为A.3y x =-B. 2y x =-C. 3y x =D. 2y x =7. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 A.71 B.61 C.51 D.418. 从一个三棱柱的6个顶点中任取4个做为顶点，能构成三棱锥的个数设为m ；过三棱柱任意两个顶点的直线(15条)中，其中能构成异面直线有n 对，则m n ，的取值分别为 A. 15，45 B. 10, 30 C. 12, 36 D. 12 , 48第二部分二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分,把答案填在题中横线上。

东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷高三 数学（理科）命题校：65中 2013年12月本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

选出符合题目要求的一项填在机读卡上。

1. 已知集合{}30R <<∈=x x A ，{}4R 2≥∈=x x B ，则=B A ( ) （A ）{}32<<x x （B ）{}32<≤x x （C ）{}322<≤-≤x x x 或 （D ） R 2. 在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3. 等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于( ) （A ）28（B ）14（C ）3.5（D ）74. 已知α，β为不重合的两个平面，直线α⊂m ，那么“β⊥m ”是“βα⊥”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 若向量a ，b 满足1=a ，b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为( )（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π 6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8（B ）83 （C ）4（D ）437. 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 ( )（A ） 22(1)(1)2x y +++= （B ）22(1)(1)4x y +++=（C ）22(1)(1)2x y -++= （D ）22(1)(1)4x y -++= 8. 已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意x ∈R ，有|()|||f x m x <，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①2)(x x f =；②x x x f cos sin )(+=；③1)(2++=x x xx f ；④)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数21,x x 均有 21212)()(x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为 ( )（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2014北京市东城区高三（一模）数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}，则∁R A=（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2} B．{x|x≤﹣1，或x≥2} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣1≤x≤2}2．（5分）复数=（）A．B．C． D．3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S5=30，则a7+a8+a9=（）A．27 B．36 C．42 D．635．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A．B．C．D．26．（5分）如图，在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=（）A．3 B．4 C．5 D．不能确定7．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（x﹣）6的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）10．（5分）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB=2BC，且BC=2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则CD= ，∠DAB= ．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P（x，y），则x+y＜3的概率为．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当＜0时，f（x）=x2﹣6，则x＞0时，f（x）的解析式为；不等式f（x）＜x的解集为．13．（5分）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有种．（用数字作答）14．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，=．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b=2，求△ABC面积的最大值．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD=，F是PB中点，E 为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣4ln（x﹣1），a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆G：+=1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．（1）求椭圆G的方程；（2）设过点P（0，）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|=|BN|，求直线l的方程．20．（14分）已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a n．（1）当n=5时，写出所有T子集；（2）求a10；（3）记S n=+++…+，求证：S n＜2．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由A中不等式解得：x≤﹣1或x≥2，∴A={x|x≤﹣1或x≥2}，则∁R A={x|﹣1＜x＜2}，故选：C．2．【解答】===﹣．故选：C．3．【解答】把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．4．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，则S3=3a1+3d=9，S5=5a1+10d=30，联立解得a1=0，d=3，∴S n=na1+d=，∴a7+a8+a9=S9﹣S6=108﹣45=63，故选：D．5．【解答】点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的直角坐标方程为 x﹣y﹣1=0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离为，故选：A．6．【解答】∵D是BC边的中点，∴，由向量的运算法则可得=，∴=•==（32﹣12）=4．故选：B．7．【解答】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，圆（x﹣2）2+y2=1的圆心为（2，0），半径为1，则由圆心到直线的距离为1，可得=1，解得a=b，c===a，则有e==．故选C．8．【解答】令sgn（lnx）﹣ln2x=0得，当lnx＞0，即x＞1时，1﹣ln2x=0，解得，x=e；当lnx＜0，即x＜1时，﹣1﹣ln2x=0，无解；当lnx=0，即x=1时，成立；故方程sgn（lnx）﹣ln2x=0有两个根，故函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为2；故选B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】（x﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x﹣）6的二项展开式中的常数项为=20，故答案为：﹣20．10．【解答】连结OD，DB，则OD⊥CD．由切割线定理得CD2=CB•AC=12，∴CD=2，∵OB=2，BC=2，∴OC=4，∴cos∠OCD==，∴∠OCD=，故∠DAB=．故答案为：2，．11．【解答】由题意，本题是几何概型，区域D 的面积为2×2=4，满足x+y＜3的P的区域如图阴影部分，其面积为2×2﹣=，所以满足x+y＜3的概率为；故答案为：．12．【解答】当x＞0时，﹣x＜0由于x＜0时，f（x）=x2﹣6，所以：f（﹣x）=（﹣x）2﹣6由于函数f（x）是定义在R上的奇函数．所以：﹣f（x）=x2﹣6解得：f（x）=﹣x2+6所以：则：①当x＜0时，x2﹣6＜x整理得：（x+2）（x﹣3）＜0，解得：﹣2＜x＜3所以：﹣2＜x＜0．②当x＞0时，﹣x2+6＜x整理得：（x+3）（x﹣2）＞0解得：x＞2或x＜﹣3所以：x＞2综合①②得：不等式的解集为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：①﹣x2+6②（﹣2，0）∪（2，+∞）13．【解答】由题意，利用捆绑法，共有=24种不同的分配方法．故答案为：24．14．【解答】设AP=x，∵O为BD中点，AD=AB=，∴AO⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴AO⊥平面BCD．∴PO是三棱锥P﹣QCO的高．AO==1．∴OP=1﹣x，（0＜x＜1）．在△BCO中，BC=，OB=1，∴OC==1，∠OCB=45°．∴S△OCQ===．∴V三棱锥P﹣OCQ====．当且仅当x=时取等号．∴三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵=∴由正弦定理知：==∴sinB=cosB，即有 tanB=∵0＜B＜π∴B=．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，sinB=，a=sinA，A=∴S△ABC=absinC=sin（）×2×sinC=sin（）×sinC=sin2C+cos2C+=sin（2C+）+≤．∴△ABC面积的最大值为．16．【解答】（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以随机变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P．17．【解答】（Ⅰ）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=PA=1，AD=，F是PB中点，∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），，，F（0，，），=（0，，），∵=0，，∴AF⊥PB，AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC．（Ⅱ）设BE=a，∴E（a，1，0），，，设平面PDE的法向量，则，取x=1，得=（1，，），平面PCE的法向量为，∵二面角C﹣PE﹣D为45°，∴cos＜＞==，解得a=，∴当BE=时，二面角C﹣PE﹣D为45°．AF⊥平面PBC．18．【解答】（1）当a=1时，f（x）=x2﹣4ln（x﹣1），x∈（1，+∞），∴f（x）=2x﹣==，令f′（x）=0，解得：x=2，∴a=1时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）∵对任意m∈[2，e+1]，直线PM的倾斜角都是钝角，∴对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，即＜0，f（m）＜1，即f（x）在区间[2，e+1]上的最大值小于1，f′（x）=，x∈（1，+∞），令g（x）=ax2﹣ax﹣2①当a=0时，f（x）=﹣4ln（x﹣1）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max=f（2）=0＜1，显然成立，∴a=0．②当a＜0时，二次函数g（x）的图象开口向下，且g（0）=﹣2，g（1）=﹣2，∀x∈（1，+∞），g（x）＜0，故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max=f（2）=4a＜0，显然成立，∴a＜0．（3）当a＞0时，二次函数g（x）的图象开口向上，且g（0）=﹣2，g（1）=﹣2．所以∃x0∈（1，+∞），当x∈（1，x0）时，g（x）＜0．当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0；所以f（x）在区间（1，+∞）内先递减再递增．故f（x）在区间[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（e+1）．∴，即：，∴0＜a＜．综上：a＜．19．【解答】（1）∵椭圆G：+=1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．∴b=1，由，得a2=3．∴椭圆G的方程为．…（4分）（2）由题意知直线l的斜率k存在，且k≠0．设直线l的方程为y=kx+．由，消去y并整理得（k2+）x2+3kx+=0，…（5分）由，…（7分）设，MN中点为Q（x0，y0），得，，…（8分）由|BM|=|BN|，知BQ⊥MN，∴，即．化简得，满足△＞0．∴k=，…（12分）∴直线l的方程为y=．…（14分）20．【解答】（Ⅰ）当n=5时，所有T子集：{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}，{1，3，5}．（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分为两类：第一类子集中不含有k+2，这类子集有a k+1个；第二类子集中含有k+2，这类子集成为{1，2，3，4，…，k}的T子集与{k+2}的并，或为{1，2，3，4，…，k}的单元素子集与{k+2}的并，共有a k+k个．所以a k+2=a k+1+a k+k．因为a3=1，a4=3，所以a5=7，a6=14，a7=26，a8=46，a9=79，a10=133．（Ⅲ）∵，①=，②①﹣②，得：﹣=﹣==﹣=﹣﹣＜＜，∴S n＜2．。

东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学 （理科）学校______________班级_________姓名____________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1621x <<}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 2．已知i 是虚数单位， 若),i 1(z i 3-=+则z=A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i 3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与 直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为A. 34πB. 2πC. 4πD.4π-5．设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为真命题的是A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6．在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为A.B.C.4D. 7 已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =8．设a ＞0，b ＞0．[A ．若2223a b a b +=+，则a ＞bB ．若2223a b a b +=+，则a ＜bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a b a b -=-，则a ＜b非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==.则_______a 10=．10．如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ,则圆O 的半径等于 ．11. 若函数()xf x kx e =-有零点，则k 的取值范围为_______.12．已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短 弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________.13．已知231(1)n x x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2 ≤ n ≤ 7，则n =______．14．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0， 则a ＝______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tanB tanA的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 16．(本小题满分13分)某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II ）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望. 17．(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（Ⅰ）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求点N 到平面ACM 的距离.18.（本小题满分14分）已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值； ()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围 .19．(本小题满分14分)椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定 点的坐标．20.（本题满分12分）在数列}b {},a {n n 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，， 成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出}b {},a {n n 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：.125b a 1b a 1b a 1b a 122n n 332211<++++++++参考答案东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学答案 （理科）一、选择题：1．B ；2．D ；3．A ；4．C ； 5．C ；6．C ；7．D ；8．A ．（第8题的提示：若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2l n 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22xf x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．）二、填空题：9．10； 10．7； 11. 0.k e k ><或； 12 . 206；13．5； 14． 23=a （第14题的提示: 函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，-1)．函数y 1＝(a －1)x －1：过M (11a -，0)，可得：a ＞1；函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，得：23a 0==或者a ，舍去0=a ，）三、解答题： 15．(本小题满分13分)（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tanBtanA=4. --------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)得tan 4tan 0A B =>,434tanB tanB13B4tan 13tanBtanAtanB 1tanB tanA )B A (tan 2≤+=+=+-=-当且仅当,2tanB ,4tanB tanB1==时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34. --------13分16．(本小题满分13分)（I ）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人. --------2分（II ）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率.32311C C 1P 21026=-=-= --------5分（III ）ξ的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=, 31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==5E =ξ. --------13分17．(本小题满分14分)（Ⅰ）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC。