G0053--04--华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十六章)第四讲：定积分与微积分基本定理

课 题： 圆锥曲线中的综合问题（一） 教学内容： 圆锥曲线中的综合习题教学目的： 通过圆锥曲线中的综合习题的分析与解答,进一步熟悉和掌握用代数的方法研究几何问题的思想与方法,并达到复习其他章节内容及提高运算能力的目的.教学重点： 进一步熟悉和掌握用代数的方法研究几何问题的思想与方法 教学过程： 一、知识概要教学要求：通过圆锥曲线中的综合习题的分析与解答,进一步熟悉和掌握用代数的方法研究几何问题的思想与方 法,并达到复习其他章节内容及提高运算能力的目的.二、典例解析例1（圆锥曲线中的综合问题）已知方向向量为()31，=v的直线l 过椭圆C ：)0( 12222>>=+b a by ax的焦点以及点(0，32-)，椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上。

⑴ 求椭圆C 的方程。

⑵ 过点E(-2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，且满足0cot 634≠∠=⋅MON ON OM ，(O 为坐标原点)，求直线m 的方程。

解：⑴直线: l y =-l的直线方程为3y x =-② 解①②得32x =，∵椭圆中心O(0，0)关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，∴23232ac=⨯=，∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴222, 6, 2c a b ===，故椭圆C 的方程为22162xy+=。

③⑵ 当直线m 的斜率存在时，设: (2)m y k x =+ ，代入③并整理得2222(31)121260k x k x k +++-=，设1122(,) (,)M x y N x y ，，则2212122212126, 3131kk x x x x k k -+=⋅=++，∴1231M N x k =-==+，点O 到直线m 的距离d =∵O M O N M O N ⋅=∠，即cos cos sin M O NO M O N M O N M O N ∠⋅∠=∠ ，又由0≠⋅ON OM 得cos 0M O N ∠≠，∴sin O M N O M O N M O N S ⋅∠== ， 而12O M N S M N d =⋅，∴M N d ⋅=31k =+，解得3k =±，此时: 2)3m y x =±+，当直线m 的斜率不存在时，: 2m x =-，也有O M N S = m 均满足 0OM ON ⋅≠，故直线m的方程为：20 2x x ±+==-或。

2012届高三年级高考复习备考计划总目：一、全年级结束教材教学，全面转入高考复习的时限二、月考安排三、省、市统测四、每月纪事表五、各学科复习计划提要具体条目：一、全年级结束教材教学，全面转入高考复习的时限原则上各学科必须在2011年10月底以前完成课程教学，全面进入总复习。

二、月考安排。

（8次）第一次：9月29（周四）——30日（周五）第二次：10月21（周五）——22日（周六）第三次：11月25（周五）——26日（六）第四次：12月23（周五）——24日（周六）第五次：二月底。

第六次：三月底。

第七次：四月底。

第八次：五月二十日左右。

注：因一月份市统测，故本月不再进行月考。

253032126三、省、市统测。

初步决定参加省一、二次统测和市一、二、三次统测。

省统测时间大概在：2012年二月（一统）、2012年四月(二统)。

市统测时间为：2011年9月26——27日（一统）、2012年1月下旬（二统）、2012年4月下旬（三统）。

四、每月纪事表。

五、各学科复习计划提要：语文备课组一、高三复习备考的总体理念1、明晰要点、突出重点高三的教学重点就是组织学生复习备考，常言说：“学时一大片，用时一条线。

”针对考点的解题要领，我们能否把平时的教学内容加以整理，使之“一线穿珠”，在学生头脑中明晰化，是学生能否在考场中加以有效运用的关键。

怎样做到对解题要领明晰化呢？有两种途径：第一种是“纵向整理”，按照《考试说明》的顺序，逐一落实考查点相关的知能要点和解题要领。

第二种是“横向整理”，按照高考语文试卷的结构安排，逐一落实第道题的解题要领。

不论采取哪一种途径，目的都是要做到“心中有类型，脚下有路子”，从把握规律的角度来强化知能，争取考试的最大自觉性。

对解题要领明晰化的要求是：首先，对考查点要清楚。

其次，对题目的类型要清楚。

然后，对相应的解题要领要清楚。

举例来说，对“正确识记现代汉语的字形”，即考卷中的辨识词语中出现的错别字，要清楚考查常用常见字，重点考查同音字、形似字，解题时可以借助“以义定形”、“字形分析”或“以音定形”等方法。

第一讲 随机抽样教学目的： 会用简单随机抽样，系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。

教学重点： 在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法；教学难点： 能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据,能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题.【知识概要】新课标教学要求：会用简单的随机抽样，分层抽样等常用的抽样方法，从总体中抽取样本。

会用本频率分布估计总体分布。

掌握利用样本对总体期望和方差进行统计的方法。

了解正态分布的意义及主要性质了解线性回归的方法和简单应用。

知识点1 总体总体：所要考察对象的全体；总体中的每一个考察对象叫个体。

样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。

样本容量：样本中个体的数目。

知识点2 简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．指出:（1）用简单随机抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为N1；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n ； 简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等,是不放回抽样. 简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础．简单随机抽样的特征：逐个、不放回抽取且保证每个个体被抽到的可能性相等．简单随机抽样必须具备下列特点：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N 是有限的；简单随机样本数n 小于等于样本总体的个数N ；简单随机样本是从总体中逐个抽取的,不放回的抽样；简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N 。

（2）最常用的简单随机抽样方法有两种：抽签法和随机数法．抽签法：制签：先将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N ），并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；抽签：抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n 次；成样：对应号签就得到一个容量为n 的样本。

第一讲 直线的方程教学目的：直线的倾斜角和斜率．直线方程的点斜式（斜截式）两点式（截距式）、直线方程的一般式 教学重点：理解直线斜率的概念，掌握直线方程的各种形式，并能根据条件熟练地求出直线方程 教学难点：根据各种条件熟练地求出直线方程【知识概要】知识点1 直线的倾斜角对于一条与X 轴相交的直线，如果把X 轴绕着直线与X 轴的交点按逆 时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

指出：在这个概念中，应清楚定义中所含有的三个条件：直线的向上方向；x 轴的正方向；小于平角的最小正角．也可以用运动变化观点来看：直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到直线时所成的最小正角． 当直线L 与X 轴平行或重合时,α=0°；直线L 与X 轴垂直时,α=90°。

所以倾斜角的范围是0°≤α<180°. 知识点2 直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用K 表示即K=tanα (α≠2π); α=2π时, 斜率K 不存在。

指出：（1）斜率是一个数值，结合正切函数y=tanx 在[0, π)（不包括2π）时的单调性，直线的倾斜（2）两个重要的基本问题:已知直线斜率的值(或范围),求倾斜角的值(或范围); 已知直线倾斜角的值(或范围),求直线斜率的值(或范围),关键是利用正切函数y=tanx 在[0, π)（不包括2π）时的图象求解. （3）在直线的所有的问题中,只要涉及到斜率的问题,一定要讨论斜率存在与不存在两种情况. （4） 直线的方向向量：设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量。

向量121x x -21F F =（1，1212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率。

第一讲 导数的概念与运算教学目的：掌握导数的概念．导数的几何意义．几种常见函数的导数公式．两个函数的和、差、积、商的导数公式．复合函数的导数公式．教学重点：掌握导数的概念；熟练地进行导数的运算 教学难点：掌握导数的概念；熟练地进行导数的运算【知识概要】新课标教学目标（1）通过丰富的实际材料体验导数概念的背景。

（2） 理解导数是平均变化率的极限；理解导数的几何意义。

（3）掌握函数y=x n（n ∈N*）的导数公式，会求多项式函数的导数。

（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

（5）通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用。

（6）通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值、文化价值及基本思想。

知识点1 曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了。

设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim→∆x =∆∆xy 0lim→∆x 0我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.指出：（1）割线PQ 斜率的极限就是曲线在点P 处的切线的斜率。

（2）若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在；反之，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，即函数)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线。

高三第一轮复习专题讲座——函数部分一、单选题．1．已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，集合}023|{2=+-=x x x A ，a x x B 2|{==, }A a ∈，则集合)(B A C U 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若命题p ：不等式11->-x x x x 的解集为}10|{<<x x ；命题q ：在△ABC 中，“B A >”是“B A sin sin >”成立的必要不充分条件，则（ ）A ．p 真q 假B ．“p 且q ”为真C ．“p 或q ”为假D ．p 假q 真3．函数)4323ln(1)(22+--++-=x x x x x x f 的定义域为（ ） A ．-∞(, 2[]4 -, )+∞ B ．4(-, 0()0 , 1) C ．4[-, 0()0 , 1]D ．4[-, 0()0 , 1)4．已知2211)11(xx xx f +-=+-，则)(x f 的解析式可取为（ ） A ．21xx + B ．212xx +-C ．212xx + D ．21xx +-5．设][x 表示不超过x 的最大整数，对于给定的∈n N *，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ，1[∈x ,)+∞，则当23[∈x , 3)时，函数x C 8的值域是（ ）A ．316[, 28] B ．316[, 56) C ．(4,28[)328 ,56) D ．(4,328(]316 ,]286．已知函数|3||4|1)(2++--=x x xx f ，则)(x f 的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称7．若函数)(x f 、)(x g 分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足x e x g x f =-)()(，则有（ ）A ．)0()3()2(g f f <<B ．)2()3()0(f f g <<C ．)3()0()2(f g f <<D ．)3()2()0(f f g <<8．设)(1x f-是函数)(21)(xxaa x f --=)1(>a 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为（ ）A ．aa 21(2-, )+∞ B ．-∞(, )212aa - C ．aa 21(2-, )a D ．a [, )+∞9．如图所示，点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着M C B A ---运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，三角形的APM 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的形状大致是（ ）A B C D10．若)(x f 和)(x g 都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是（ ）A ．512-+x x B ．512++x x C ．512-x D ．512+x二、填空题11．函数:f {1, 2, 3}→{1, 2, 3}满足)())((x f x f f =，则这样的函数个数共有 个． 12．设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+⋅x f x f ，若2)1(=f ，则=)2011(f ． 13．已知=)(x fxa x a alog4)13(+-)1()1(≥<x x 是-∞(, )+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 ．14．已知(x 0、y 0)在直线0=+by ax (a , b 为不全为零的常数)上，则2020)()(b y a x -+-的最小值为 ．15．已知函数)(x f 满足)()()(n f m f n m f ⋅=+，3)1(=f ，则=+++++++++)9()10()5()7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(22222f f f f f f f f f f f f f f f __________．三、解答题 16．设函数ax ax x f --=25lg )(的定义域为A ，若命题p ：A ∈3与q ：A ∈5有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．17．已知函数a ax x f (4)(2+=为非零实数)，设=)(x F)()(x f x f -)0()0(<>x x ，0<mn ，0>+n m ，试判断)()(n F m F +能否大于0？18．今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x 米的正方形后，沿虚线折起，做成一个无盖的长方体水箱（接口连接问题不考虑）．（1）求水箱容积的表达式)(x f ，并指出函数)(x f 的定义域； （2）若要使水箱容积不大于34x 立方米的同时，又使得底面积最大，求x 的值.19．已知：函数x x x f -++=11)(． （1）求函数)(x f 的值域；（2）设)(1)(2x f x m x F +-=，记)(x F 的最大值为)(m g ，求)(m g 的表达式． 20．已知函数)0(|11|)(>-=x xx f ．（1）当b a <<0，且)()(b f a f =时，求证：1>ab ；（2）若存在实数a , b )(b a <，使得函数)(x f y =的定义域为[a , b ]时，值域为[ma , mb ]()0≠m ，求m 的取值范围．21．已知定义在区间m -(, )0)(>m m 上，值域为R 的函数)(x f 满足：①当m x <<0时，0)(>x f ；②对于定义域内任意的实数a ，b 均满足：)()(1)()()(b f a f b f a f b a f -+=+．（1）试求)0(f ； （2）判断并证明函数)(x f 的单调性； （3）若函数)(x f 存在反函数)(x g ，当∈n N *时，求证：)21()331()131()71(2g n n g g g <+++++ ．函数部分参考答案1．B ∵A ={1, 2}，B={2, 4}，∴=B A {1, 2, 4}，于是)(B A C U ={3, 5}，故选B ． 2．A0111<-⇒->-x x x x x x ，则解集为}10|{<<x x ，则p 真；在△ABC 中有b a B A >⇔>B A B R A R sin sin sin 2sin 2>⇔>⇔，则q 假，故选A ．3．D432304302302222>+--++-≥+--≥+-≠x x x x x x x x x 014≠<≤-⇒x x 且，故选D ．4．C 令12)112(1)111(1)(11211222+=-++-+-=⇒-+=⇒+-=t t t t t f t x xx t ，故选C ．5．D 当23[∈x , 2)时1][=x ，此时4(88∈=xC x ,]316；当2[∈x , 3)时2][=x ，此时328()1(568∈-=x x C x , 28]，故选D ．6．B 由012≥-x 得)(x f 的定义域为1[-, 1]，此时22171341)(x x x xx f -=++--=，故选B ．7．D 由题意x e x g x f =-)()(，xxex g x f ex g x f --=--⇒=---)()()()(，∴2)(xx ee xf --=，2)(xxee x g -+-=，1)0(-=g ，函数)(x f 在R 上是增函数，∴02)2()3(22>-=>-ee f f ，故选D ．8．A )(x f 在(1, )+∞上单增，∴由1)(1>-x f得aa aa f x f x ff 21)1(21)1()1()]([21-=-=>⇒>-，故选A ．9．A 由已知，=y )5.22(4521)21(4341)10(21≤<+-≤<+-≤≤x x x x x x ，故选A ．10．B 方程)]([x g f x =有实数解，即为x y =与)]([x g f y =有交点，而)]([x f g y =与)]([x g f y =关于x y =对称，若)]([x g f x =有实数解，则)]([x f g x =有实数解，经过判断：xx x >++512即512++=x x y 在xy =上方，二者无公共点，故选B ．11．10 应用列举法得到满足)())((x f x f f =的对应如下： 12．213 由13)2()(=+⋅x f x f 得到)()4()(13)2(x f x f x f x f =+⇒=+，∴)(x f 是4=T 的周期函数，而201115034=-⨯，∴213)1(13)1()2011(==-=f f f ．13．71(，)31∵1≥x 时x x f a log )(=单减，∴10<<a ；∵1<x 时a x a x f 4)13()(+-=单减，∴31<a ；又函数)(x f 在-∞(, )+∞上是减函数，∴当1=x 时x a x a a log 4)13(>+-即710413>⇒>+-a a a ，故3171<<a ．14．22b a +2020)()(b y a x -+-的最小值为点(a , b )到直线0=+by ax 的距离2222||ba b a d ++=22ba +=．15．30 由已知)1(2)1()(2)1()()()()12()2()(222f n f n f n f n f n f n f n f n f n f =-=-+=-+故原式30)1(10==f ．16．解：}05|{2>--=ax ax x A ，若A ∈3，则9350953<<⇒>--a aa ；若A ∈5，则25102555<<⇒>--a aa ，若p 真q假则 251935≥≤<<a a a 或无解；若p 假q 真，则251935<<≥≤a a a 或259351<≤≤<⇒a a 或，综上，1(∈a ，9[]35，25) ．17．解：∵a ax x f (4)(2+=为非零实数)，∴=)(x F4422--+ax ax)0()0(<>x x ，∵0<mn ，∴不妨设0>m ，0<n ，又0>+n m ，∴002222>-⇒>⇒>->n m n m n m ，∵)()()(22n m a n F m F -=+，∴当0>a 时，)()(n F m F +能大于0，当0<a 时，)()(n F m F +不能大于0．18．解：（1）由已知该长方体水箱高为x 米，底面矩形长为)22(x -米，宽为)21(x -米，∴()f x =(2-2)x(12)x -x ⋅=32462x x x -+，其中正数x 满足21022>->-x x ，∴210<<x ，∴)(x f 的定义域为(0, )21．（2）由34)(x x f ≤得到0≤x 或31≥x ，∵)(x f 的定义域为(0,)21，∴2131<≤x ，此时底面积为41)43(4264)21)(22()(22--=+-=--=x x x x x x S ，31[∈x ,)21，显然)(x S 在31[,)21上是减函数，∴31=x ，即满足条件的x 为31米．19．解：（1）要使)(x f 有意义，必须101≥-≥+x x 11≤≤-⇒x ，∴)(x f 的定义域为1[-，1]，∵2[()]f x =2+[2∈, 4]且0)(≥x f ，∴)(x f 的值域为2[，2]．（2）设t x f =)(，则121122-=-t x ，∴mt mtt t m x F -+=+-=2221)121()(，2[∈t , 2]，记mt mtt m -+=221)(，2[∈t , 2]，则)(m g 即为函数)(t m 在2[∈t , 2]上的最大值．当0>m 时，)(t m 在2[,2]上单增，故2)2()(==m m g ；当0=m 时，t t m =)(在2[, 2]上单增，故2)2()(+==m m m g ；当0<m 时，若22-<m ，则0(1∈-m,)2，此时2)2()(==m m g ；若2122-≤≤-m ，则2[1∈-m, 2]，此时mm mm m g 21)1()(--=-=；若021<<-m ，则2(1∈-m, )+∞，此时2)2()(+==m m m g ．综上所述有，=)(m g)22(2)2122(21)21(2-<-≤≤---->+m m mm m m ．20．（1）证明：∵0>x ，∴=)(x f)10(11)1(11<<-≥-x xx x，于是)(x f 在(0, 1)上单减，在[1, )+∞上单增．由ba <<0且)()(b f a f =可得b a <<<10且2111111=+⇒-=-baba，∴ab b a ab 22>+=，故1>ab 即1>ab ．（2）解：由已知0>>a b ，0>m ，当10<<<b a 时，)(x f 在(0, 1)上单减，故mabmba =-=-1111ba =⇒，不符合题意．当b a ≤<<10时，0)1(=f ，值域不可能是[ma , mb ]，故只有b a <≤1．∵)(x f 在[1, )+∞上单增，∴mbb f ma a f ==)()(即mbbmaa =-=-1111⇒a , b 是方程012=+-x mx 的两根，即关于x 的方程012=+-x mx 有两个大于1的不等实根，设这两个根为x 1 、x 2，则mx x 121=+，mx x 121=，∴ 0)1)(1(0)1()1(02121>-->-+->∆x x x x ⇒210410>->->m m m 410<<⇒m ，故m 的取值范围是410<<m ．21．解：（1）令0==b a 有)0(1)0()0()0(2f f f f -+=，∴0)0(=f ．（2）令x a =，x b -=得0)()(=-+x f x f ，∴)(x f 为奇函数．设m x x <<<210，则012>-x x ，∴0)(12>-x x f ，0)(1>x f ，0)(2>x f ，∴)]()(1)[()()()()(12121212x f x f x x f x f x f x f x f ---=-+=- )()(0)]()(1)[(122112x f x f x f x f x x f >⇒>+-=，∴)(x f 在(0, m )上单增，又)(x f 为奇函数，且0)0(=f ，因此)(x f 在m -(, )0)(>m m 上单增．（3）∵)(x f 在m -(, )0)(>m m 上单增，∴)(x f 必存在反函数)(x g ，且)(x g 也为奇函数，)(x g 在R 上也单增，当0>x 时0)(>>x g m ，由)()(1)()()(b f a f b f a f b a f -+=+可得：])()(1)()([b f a f b f a f g b a -+=+，令x a f =)(，y b f =)(，则)(x g a =，)(y g b =，则上式可改写为)1()()(xyy x g y g x g -+=+对任意的x , ∈y R 都成立．∵211112111)2)(1(11)2)(1(11)2)(1(13312+⋅+++-+=+++++=+++=++n n n n n n n n n n n n ，∴211()()133g g n n n =++++(g -1)2n +11()()12g g n n =-++，∴21111()()()()7132133g g g g n n ++++=++ 11[()()]23g g -+1[()3g 1()]4g -+ )21()21()21()]21()11([g n g g n g n g <+-=+-++．。

题一各种性质的力和物体的平衡【重点知识梳理】一．各种性质的力：1．重力：重力与万有引力、重力的方向、重力的大小G = mg (g随高度、纬度、地质结构而变化)、重心（悬吊法，支持法）；2．弹力：产生条件（假设法、反推法）、方向（切向力，杆、绳、弹簧等弹力方向）、大小F = Kx (x为伸长量或压缩量,K为倔强系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) ；3．摩擦力：产生条件（假设法、反推法）、方向（法向力，总是与相对运动或相对运动趋势方向相反）、大小（滑动摩擦力：f= μN ；静摩擦力：由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解）；4．万有引力：F=G m mr122（注意适用条件）；5．库仑力：F=K q qr122(注意适用条件) ；6．电场力：F=qE (F 与电场强度的方向可以相同，也可以相反)；7．安培力：磁场对电流的作用力。

公式：F= BIL （B⊥I）方向一左手定则；8．洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力。

公式：f=BqV (B⊥V) 方向一左手定则；9．核力：短程强引力。

二．平衡状态：1．平衡思想：力学中的平衡、电磁学中的平衡（电桥平衡、静电平衡、电磁流量计、磁流体发电机等）、热平衡问题等；静态平衡、动态平衡；2．力的平衡：共点力作用下平衡状态：静止（V=0，a=0）或匀速直线运动（V≠0，a=0）；物体的平衡条件，所受合外力为零。

∑F=0 或∑F x =0 ∑F y =0；推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。

[2]几个共点力作用于物体而平衡，其中任意几个力的合力与剩余几个力（一个力）的合力一定等值反向三、力学中物体平衡的分析方法：1．力的合成与分解法（正交分解法）； 2．图解法；3．相似三角形法； 4．整体与隔离法；【分类典型例题】一．重力场中的物体平衡：题型一：常规力平衡问题解决这类问题需要注意：此类题型常用分解法也可以用合成法，关键是找清力及每个力的方向和大小表示！多为双方向各自平衡，建立各方向上的平衡方程后再联立求解。

数列中的两个问题（一）求通项基本方法例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式．解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+，得232a 2a nn 1n 1n +=++，则232a 2a nn 1n 1n =-++，故数列}2a {n n 是以1222a 11==为首，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)1n (12a nn -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)21n 23(a -=．例2 已知数列{}n a 满足)2n (a a ,2a 21n n 1≥==-，求数列{}n a 的通项公式．解：由题意)2n (a a ,02a 21n n 1≥=>=-，∴0a n > ∴1n n a lg 2a lg -=，∴{}n a lg 是以2为公比的等比数列，首项为2lg a lg 1=，∴1n 21n n 2lg 2lg 2a lg -==-，∴1n 2n 2a -=．例3 已知数列{}n a （*N n ∈）中，nn1n 1a 21a a ,1a +==+，求a n ．解：n n 1n a 21a a +=+ ，两边取倒数，得2a 1a 1n 1n +=+，∴2a 1a 1n1n =-+，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，首项1a 11=，11(1)221nn n a ∴=+-⋅=-，121n a n ∴=-． 例4 已知数列}a {n 满足98a )3n 2()1n 2()1n (8a a 122n 1n =++++=+，，求数列}a {n 的通项公式． 解：由22n 1n )3n 2()1n 2()1n (8a a ++++=+及98a 1=，得2212)312()112()11(8a a +⋅+⋅++=25242592898=⋅⋅+=， 32228(21)248348(221)(223)25254949a a +⋅=+=+=⋅+⋅+⋅，43228(31)488480(231)(233)49498181a a +⋅=+=+=⋅+⋅+⋅，由此可猜测22n )1n 2(1)1n 2(a +-+=，往下用数学归纳法证明这个结论．①当n=1时，98)112(1)112(a 221=+⋅-+⋅=，所以等式成立．②假设当n=k 时等式成立，即22k )1k 2(1)1k 2(a +-+=，则当1k n +=时，1k k a a +=+228(1)(21)(23)k k k +++22(21)1(21)k k +-=++228(1)(21)(23)k k k +++2222[(21)1](23)8(1)(21)(23)k k k k k +-+++=++ 22222(21)(23)(23)8(1)(21)(23)k k k k k k ++-+++=++22222(21)(23)(21)(21)(23)k k k k k ++-+=++22(23)1(23)k k +-=+ 22[2(1)1]1[2(1)1]k k ++-=++由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）①、②可知，等式对任何*N n ∈成立．例5 已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（1）证明 ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n（2）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有15n a <． 证：（1）∵当,111,0,211111n a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式相加可得111n a a -≥1123+++ 1n ．由已知不等式知，当n≥3时有，21111[log ]2n n a a ->．∵1a b =，∴2111[l o g ]2n na b >+=22[l o g ]2b nb+∴222[log ]n ba b n <+．（证法2）设n n f 13121)(+++=，首先利用数学归纳法证不等式.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f b a n （i ）当n=3时，由 2312213333231(3)1312a b a a a f b a a ≤=≤=++++⋅+知不等式成立．（ii ）假设当n=k （k≥3）时，不等式成立，即1()k ba f kb ≤+，则1)1(111)1()1(1+⋅++≤++=+++≤+bk k a k a k a k a k kk k(1)1(1)(1)()1(1)1(())1k bbbk k f k b bf k bf k b k +===+++++++++，即当n=k+1时，不等式也成立．由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n 又由已知不等式得211[log ]2n b a n b <+222[log ]bb n =+，n =3,4,5, ．（2）有极限，且lim 0n n a →∞=．（3）∵2222221,2[log ][log ][log ]5b b n n n <<+令，则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n 故取N=1024，可使当n>N 时，都有15n a <．（二）恒成立问题例1 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立， 记*4()1nn na b n N a +=∈-． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记*221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有32n T <； （3）设数列{}n b 的前n 项和为n R ．已知正实数λ满足：对任意正整数,n n R n λ≤恒成立，求λ的最小值．解：（1）当1n =时，111151,4a a a =+∴=-．又1151,51n n n n a a a a ++=+=+Q ，∴1n n a a +-=15n a +，即114n n a a +=-，∴数列{}n a 成等比数列，其首项114a =-，公比是14q =-，1()4nn a ∴=-，14()411()4nn nb +-∴=--． （2）由（1）知54(4)1n n b =+--，2212215525164141(161)(164)n n n n n n n nc b b --⨯∴=-=+=-+-+= 222516251625(16)3164)(16)16n n n n n n⨯⨯<=+⨯-．又1211343,,33b b c ==∴=．当1312n T =<时，．当2n ≥时，n T <43+25⨯23111()161616n +++ 1211[1()]416162513116n --=+⨯-214162513116<+⨯-693482=<． （3）由（1）知54(4)1n n b =+--．一方面，已知n R n λ≤恒成立，取n 为大于1的奇数时，设*21()n k k N =+∈，则1221n k R b b b +=+++K 12321111145()41414141k n +=+⨯-+-+-+-++K K 1232211111145[()()]4141414141k k n +=+⨯-+-++-+-+-+K K >41n -，∴41n n R n λ≥>-，即(λ4)n -1>-对一切大于1的奇数n 恒成立，4,41n λλ∴≥->-否则，（）只对满足14n λ<-的正奇数n 成立，矛盾．另一方面，当4λ=时，对一切的正整数n 都有4n R n ≤．事实上，对任意的正整数k ，有212212558(4)1(4)1n n k k b b --+=++----5208(16)1(16)4k k =+--+15164088(161)(164)k k k⨯-=-<-+，∴当n 为偶数时，设*2()n m m N =∈，则1234212()()()n m m R b b b b b b -=++++++K <84m n =；当n 为奇数时，设*21()n m m N =-∈，则1234232221()()()n m m m R b b b b b b b ---=+++++++K <8(1)4m -+=8m4-4n =，∴对一切的正整数n ，都有4n R n ≤．综上所述，正实数λ的最小值为4．例2 首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n a a n N ++=+∈ （1）证明：若1a 为奇数，则对一切2,n n a ≥都是奇数； （2）若对一切n N +∈都有1n n a a +>，求1a 的取值范围．解：（1）已知1a 是奇数，假设21k a m =-是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得213(1)14k k a a m m ++==-+是奇数．根据数学归纳法，对任何n N +∈，n a 都是奇数． （2）（方法一）由11(1)(3)4n n n n a a a a +-=--知，1n n a a +>当且仅当1n a <或3n a >．另一方面，若01,k a <<则113014k a ++<<=；若3k a >，则21333.4k a ++>=根据数学归纳法，1101,01,;33,.n n a a n N a a n N ++<<⇔<<∀∈>⇔>∀∈综合所述，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >．（方法二）由21213,4a a a +=>得211430,a a -+>于是101a <<或13a >．1n n a a +-=234n a +-2134n a -+11()()4n n n n a a a a --+-=，因为21130,,4n n a a a ++>=所以所有的n a 均大于0，因此1n n a a +-与1n n a a --同号．根据数学归纳法，n N +∀∈，1n n a a +-与21a a -同号．因此，对一切n N +∈都有1n na a +>的充要条件是101a <<或13a >．例3 已知数列}{n a 满足：1211,,2a a ==且2[3(1)]22[(1)1]0n n n n a a ++--+--=，*n N ∈． （1）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ． 解：（1）经计算33=a ，414=a ，55=a ，816=a ．当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，122)1(112-=⋅-+=∴-n n a a n ；当n 为偶数，n n a a 212=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列，n n n a a )21()21(122=⋅=∴-．因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()21()( 2为偶数为奇数n n na n n ． （2） nn n b )21()12(⋅-=，∴2311113()5()222n S =⋅+⋅+⋅11(23)()2n n -++-⋅ 1(21)()2n n +-⋅① 23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ②．①、②两式相减，得12n S = 1⋅12231112[()()()]222n ++++ 11(21)()2n n +--⋅11)21()12(211])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 32=-(2n +3)⋅11()2n +．例4 设数列｛a n ｝满足a n ＋1＝a n 2－na n ＋1，n ＝1，2，3，…，（1）当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； （2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有（ⅰ）a n ≥n ＋2；（ⅱ）2111111121≤++++++n a a a ． 解：（1）由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 32－3a 3＋1＝5．由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1（n ≥1）． （2）（ⅰ）用数学归纳法证明：①当n ＝1，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k （a k －k ）＋1≥（k ＋2）（k ＋2－k ）＋1≥k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时a k ＋1≥（k ＋1）＋2．根据①和②，对于所有n ≥1，有a n ≥n ＋2． （ⅱ）由a n ＋1＝a n （a n －n ）＋1及（ⅰ），对k ≥2，有a i ＝a k －1（a k －1－k ＋1）＋1≥a k －1（k －1＋2－k＋1）＋1＝2a k －1＋1，∴a k ≥2k －1a 1＋2k －2＋…＋2＋1＝2k －1（a 1＋1）－1．于是11211111-⋅+≤+k k a a ，k ≥2． ∑∑∑==--==+≤+≤+=+++≤+n k n k k k nk ka a a a a 2111111112131212211121111111．。

等差数列与等比数列的综合问题知识梳理（一）等差、等比数列的性质 1．等差数列{a n }的性质 （1）a m =a k +（m －k ）d ，d=km a a k m --．（2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b}（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d ．（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k+m ，a k+2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md ． （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m+n=k+l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立．（5）设A=a 1+a 2+a 3+…+a n ，B=a n+1+a n+2+a n+3+…+a 2n ，C=a 2n+1+a 2n+2+a 2n+3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列．（6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ，奇偶S S =n n a a 1+，S 2n =n （a n +a n+1）（a n 、a n+1为中间两项）；若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ，奇偶S S =nn 1-，S 2n －1=（2n －1）a n （a n为中间项）．2．等比数列{a n }的性质（1）a m =a k ·q m －k ．（2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q·q 2．（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k+m ，a k+2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m ． （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m+n=k+l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立．（5）设A=a 1+a 2+a 3+…+a n ，B=a n+1+a n+2+a n+3+…+a 2n ，C=a 2n+1+a 2n+2+a 2n+3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等比数列，设M=a 1·a 2·…·a n ，N=a n+1·a n+2·…·a 2n ，P=a 2n+1·a 2n+2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列． （二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a+d ；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a －3d ，a －d ，a+d ，a+3d ．三个数成等比数列，可设为qa ，a ，aq ，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为3qa ，qa ，aq ，aq 3．（三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1．对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d=dn+（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点．当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）．当p=0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．2．对于等比数列：a n =a 1q n －1．可用指数函数的性质来理解．当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列； 当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列．当q=1时，是一个常数列．当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列． 能力训练1．等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意自然数n ，都有a n+1＞a n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 解析：当a 1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方． 答案：D2．已知数列{a n }满足a n+2=－a n （n ∈N *），且a 1=1，a 2=2，则该数列前2002项的和为A ．0B ．－3C ．3D ．1解析：由题意，我们发现：a 1=1，a 2=2，a 3=－a 1=－1，a 4=－a 2=－2，a 5=－a 3=1，a 6=－a 4=2，…，a 2001=－a 1999=1，a 2002=－a 2000=2，a 1+a 2+a 3+a 4=0．∴a 1+a 2+a 3+…+a 2002=a 2001+a 2002=a 1+a 2=1+2=3． 答案：C3．若关于x 的方程x 2－x+a=0和x 2－x+b=0（a ≠b ）的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b 的值是A ．83 B ．2411 C ．2413D ．7231解析：依题意设四根分别为a 1、a 2、a 3、a 4，公差为d ，其中a 1=41，即a 1+a 2+a 3+a 4=1+1=2．又a 1+a 4=a 2+a 3，所以a 1+a 4=a 2+a 3=1．由此求得a 4=43，d=61，于是a 2=125，a 3=127．故a+b=a 1a 4+a 2a 3=41×43+125×127=14462=7231．答案：D4．在等比数列{a n }中，a 5+a 6=a （a ≠0），a 15+a 16=b ，则a 25+a 26的值是A ．ab B ．22ab C ．ab2D ．2ab答案：C5．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A ．210B ．220C ．216D ．215 解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（qa 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3．又q=2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220． 答案：B6．公差不为零的等差数列{a n }的第二、三及第六项构成等比数列，则642531a a a a a a ++++=_______________.解析：设公差为d （d ≠0），由题意a 32=a 2·a 6，即（a 1+2d ）2=（a 1+d ）（a 1+5d ），解得d=－2a 1，故642531a a a a a a ++++=da d a 936311++=11159a a --=53．7．等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_______________.解析：设a 1，a 3，a 11成等比，公比为q ，a 3=a 1·q=2q ，a 11=a 1·q 2=2q 2．又{a n }是等差数列，∴a 11=a 1+5（a 3－a 1），∴q=4． 8．若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则21221)(b b a a ⋅+的取值范围是_______________.解析：在等差数列中，a 1+a 2=x+y ；在等比数列中，xy=b 1·b 2．∴21221)(b b a a ⋅+=yx y x ⋅+2)(=yx y xy x⋅++222=yx +xy +2．答案：［4，+∞）或（－∞，0］．9．有一数列｛a n ｝，a 1＝a ，由递推公式a n ＋1＝nn a a +12，则该数列的一个通项公式． a n ＝_______________.答案：aa n n )12(1211-+--．10．已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2，则数列{|a n |}的前n 项和T n =_______________.答案：⎪⎩⎪⎨⎧+--72121222n n nn ).,7(),,61(**N N ∈≥∈≤≤n n n n ．11．已知数列{a n }中，a 1=65且对任意非零自然数n 都有a n+1=31a n +（21）n+1．数列{b n }对任意非零自然数n 都有b n =a n+1－21a n ．（1）求证:数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式． 证：（1）b n =a n+1－21a n =［31a n +（21）n+1］－21a n =（21）n+1－61a n ，b n+1=（21）n+2－61a n+1=（21）n+2－61［31a n +（21）n+1］=21·（21）n+1－181a n －61·（21）n+1=31·（21）n+1－181a n =31·［（21）n+1－61a n ］，∴nn b b 1+=31（n=1，2，3，…），∴{b n }是公比为31的等比数列．（2）∵b 1=（21）2－61a 1=41－61·65=91，∴b n =91·（31）n －1=（31）n+1．由b n =（21）n+1－61a n ，得（31）n+1=（21）n+1－61a n ，解得a n =6［（21）n+1－（31）n+1］． 12．已知数列{a n }中，a 1=65，a 2=3619并且数列log 2（a 2－31a ），log 2（a 3－32a ），…，log 2（a n+1－3n a ）是公差为－1的等差数列，而a 2－21a ，a 3－22a ，…，a n+1－2n a 是公比为31的等比数列，求数列{a n }的通项公式．解：∵数列{log 2（a n+1－3n a ）}是公差为－1的等差数列，∴log 2（a n+1－3n a ）=log 2（a 2－31a 1）+（n －1）（－1）=log 2（3619－31×65）－n+1=－（n+1），于是有a n+1－3n a =2－（n+1）①．又∵数列{a n+1－21a n }是公比为31的等比数列，∴a n+1－21a n =（a 2－21a 1）·3－（n －1）=（3619－21×65）·3－（n －1）=3－（n+1）．于是有a n+1－21a n =3－（n+1）②．由①－②可得61a n =2－（n+1）－3－（n+1），∴a n =n23－n32．13．设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5na ，5nb ，51+n a成等比数列，lgb n ，lga n+1，lgb n+1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n ．解：∵5na ，5nb ，51+n a成等比数列，∴（5nb ）2=5na ·51+n a，即2b n =a n +a n+1①．又∵lgb n ，lga n+1，lgb n+1成等差数列，∴2lga n+1=lgb n +lgb n+1，即a n+12=b n ·b n+1②．由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得a n+1=1+⋅n n b b ③．∴a n =n n b b 1-（n ≥2）④．将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2），∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2），∴数列{n b }为等差数列．∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29．∴n b =2+（n －1）（29－2）=21（n+1）（n=1也成立）．∴b n =2)1(2+n ．∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n=2)1(+n n （n ≥2）．又当n=1时，a 1=1也成立．∴a n =2)1(+n n ．14．已知{a n }是等比数列，a 1=2，a 3=18；{b n }是等差数列，b 1=2，b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3＞20． （1）求数列{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n 的公式；（3）设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n －2，Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论．解：（1）设{a n }的公比为q ，由a 3=a 1q 2得q 2=13a a =9，q=±3．当q=－3时，a 1+a 2+a 3=2－6+18=14＜20，这与a 1+a 2+a 3＞20矛盾，故舍去．当q=3时，a 1+a 2+a 3=2+6+18=26＞20，故符合题意．设数列{b n }的公差为d ，由b 1+b 2+b 3+b 4=26得4b 1+234⨯d=26．又b 1=2，解得d=3，所以b n =3n －1．（2）S n =2)(1n b b n +=23n 2+21n ．（3）b 1，b 4，b 7，…，b 3n －2组成以3d 为公差的等差数列，所以P n =nb 1+2)1(-n n ·3d=29n 2－25n ；b 10，b 12，b 14，…，b 2n+8组成以2d 为公差的等差数列，b 10=29，所以Q n =nb 10+2)1(-n n ·2d=3n 2+26n ．P n －Q n =（29n 2－25n ）－（3n 2+26n ）=23n （n －19）．所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n ＞Q n ；当n=19时，P n =Q n ；当n ≤18时，P n ＜Q n ．15．已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设数列{c n }对任意正整数n 均有11b c +22mb c +323b m c +…+nn n b mc 1-=（n+1）a n+1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n ．解：（1）由题意得（a 1+d ）（a 1+13d ）=（a 1+4d ）2，整理得2a 1d=d 2．∵a 1=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），∴a n =2n －1（n=1，2，3，…）．由b 2=a 2=3，b 3=a 5=9，易求得b n =3n －1（n=1，2，3，…）． （2）当n=1时，c 1=6；当n ≥2时，nn n b mc 1-=（n+1）a n+1－na n =4n+1，∴c n =（4n+1）m n －1b n =（4n+1）（3m ）n－1．∴c n =⎩⎨⎧+-1)3)(14(6n m n.,4,3,2,1⋅⋅⋅==n n ．当3m=1，即m=31时，S n =6+9+13+…+（4n+1）=6+2)149)(1(++-n n =6+（n －1）（2n+5）=2n 2+3n+1．当3m ≠1，即m ≠31时，S n =c 1+c 2+…+c n ，即S n =6+9·（3m ）+13·（3m ）2+…+（4n －3）（3m ）n －2+（4n+1）（3m ）n －1①．3mS n =6·3m+9·（3m ）2+13·（3m ）3+…+（4n －3）（3m ）n －1+（4n+1）（3m ）n ②．①－②得（1－3m ）S n =6+3·3m+4·（3m ）2+4·（3m ）3+…+4·（3m ）n －1－（4n+1）（3m ）n =6+9m+4［（3m ）2+（3m ）3+…+（3m ）n －1］－（4n+1）（3m ）n=6+9m+mm m n31])3()3[(42--－（4n+1）（3m ）n．∴S n =mm n m n31)3)(14(96-+-++22)31(])3()3[(4m m m n--．∴S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n.31,31≠=m m。

第三讲 变量间的相关关系教学目的： 认识变量间的相关关系. 明确事物间的相互联系.教学重点： 利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．教学难点： 变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想.【知识概要】知识点1 相关关系自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 两个变量之间的关系分两类：① 确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；② 带有随机性的变量间的相关关系. 如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）知识点2 两个变量间的相关关系的判断散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图，如右图.根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．如果所有样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关. 如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关. 如果散点图的点几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系. 2．变量的相关性①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。

知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 知识点3 线性相关如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系. 知识点4 求回归直线的方程从散点图上看,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线 (regression line ). 回归直线的方程简称回归方程。

第一讲 相似三角形的判定及有关性质教学目的：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。

教学重点：平行截割定理、直角三角形射影定理、平行线截得比例线段定理和相似三角形的判定与性质。

教学难点：相似三角形的判定、应用相关定理进行推理计算，求线段长、求角等。

【知识概要】知识点1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

知识点2 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论1：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

推论2：平行平面截线段成比例定理：两条直线被三个平行平面所截得对应线段成比例。

知识点3 相似三角形对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

知识点4 相似三角形判定定理预备定理：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

判定定理1：两角对应相等的两三角形相似。

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。

如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

如果一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。

指出：（1）判定两三角形相似时，可以用三边对应成比例，也可以用两角（只要两角对应相等，第三个角也对应相等）对应相等。

但两边对应成比例时，必须有夹角相等的条件。

（2）平面几何计算与证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行线截得比例线段定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立几中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法。

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互课 题： 命题教学内容： 四种命题及其关系教学目的： 理解四种命题的概念；掌握四种命题的形式，能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题.教学重点： 理解四种命题的概念、形式. 教学难点： 四种命题的关系.教学过程： 【课前复习】这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．【讲解新课】提出问题知识点1 原命题、逆命题、否命题、逆否命题一般地，在原命题中,交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.指出：① 强调：“互为”的含义；互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、 否命题与逆否命题.② 一般地，四种命题之间的相互关系的结论如下:一般地， 用p 表示原命题的条件，q 表示原命题的结论，则：原命题：若 p 则 q ； 逆命题：若 p 则 q ； 否命题：若 ⌝p 则 ⌝q ； 逆否命题：若 ⌝q 则 ⌝p 。

知识点2 四种命题的真假关系两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题⇔逆否命题。