角.圆中有关的角.AAAdoc
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角的概念解析角是几何学中一个重要的概念,它是由两条射线共同确定的一个图形。
角常用来讨论线段之间的相对位置和旋转方向,并被广泛应用于各个领域的数学问题中。
本文将对角的概念、性质和角度单位进行详细解析。
一、概念解析角是由两条射线共同确定的一个图形,这两条射线称为角的边,相交的点称为角的顶点。
角可表示为∠ABC或∠CBA,其中A、B、C分别代表角的顶点和边。
根据角的大小,可以将其分为三类:锐角、直角和钝角。
- 锐角:角的大小小于90°;- 直角:角的大小等于90°;- 钝角:角的大小大于90°。
二、角的性质1. 角的度量角的度量是用角度来表示的,角度是角相对于一个圆的弧上所对应的弧度数。
一个完整的圆共有360°,每个角度可以等分为60分,每一分再等分为60秒。
2. 角的对立角在平面几何中,角的对立角是指与其顶点和边分别在同一直线上的两个角。
对立角互为补角,即其角度数之和为180°。
例如,∠ABC与∠CBD为对立角,则∠ABC + ∠CBD = 180°。
3. 角的互补角和余补角互补角是指角度数之和为90°的两个角,而余补角是指角度数之和为180°的两个角。
例如,∠ABC与∠CBD为互补角,则∠ABC +∠CBD = 90°;若∠ABC与∠CBD为余补角,则∠ABC + ∠CBD = 180°。
4. 角的平分线角的平分线是指将角分为两个相等的角的射线。
角的平分线通过角的顶点,并将角划分为两个度数相等的角,即∠ABC = ∠CBD。
5. 角的内部、外部与共线角角的内部是指位于角边所在直线两侧的点构成的集合;角的外部是指不在角内部的点构成的集合;共线角是指由一个点和两条相交的射线所确定的两个角,这两个角的顶点和边分别在同一直线上。
三、角度单位角度单位有两种常用的表示方法:度(°)和弧度。
度是在几何学中最常用的角度单位,将一个完整的圆等分为360等份。
圆中的角理论回顾:圆中的角包括圆周角、圆心角、弦切角, 辅以圆内角、圆外角、圆内接四边形的内角与外角的变化特点.复习目的:要求同学们熟练地辨认这些角, 能通过连线构造这些角, 注重这些角的变化和跳跃特点, 在计算与证明过程中, 灵活地使用它们. “等量跳跃”是这些角在使用过程中最大的特征.训练解题:1. 已知:如图1, BC为⊙O的直径, A为⊙O上一点, AD⊥BC于D, EA切⊙O于A, 交BC延长线于E, ∠EAD=54°, 则∠DAC=__________.2. 已知:如图2, ⊙O的半径OA⊥OB, 过A的一条直线交OB于C, 交⊙O于E, 过E引⊙O的切线交OB的延长线于D, 且EC=ED, 则∠A=__________.3. 已知:如图3, 从直径AB的延长线上一点C作圆的切线CD, 切点为D, ∠ACD的平分线交AD于E, 则∠CED=__________.4. 已知:如图4, P为⊙O外一点, PA切圆于A, 从PA中点M引⊙O割线MNB, ∠PNA=128°, 则∠PBA=__________.5. 已知:如图5, DC切⊙O于C, DA交⊙O于P、B两点, AC交⊙O于Q, PQ为⊙O直径,PQ交BC于E, ∠A=18°, ∠D=35°, 则∠PEC=__________.6. 已知:如图6, QA切⊙O于点A, QB交⊙O于B, C, P是弧BC上任意一点, ∠P=114°, ∠AOC=70°, 则∠Q=__________.7. 已知:如图7, CD是半圆直径, 圆心为O, A是DC延长线上的一点, E是半圆上一点, AE连线交圆于B, 如果AB=OD, ∠EOD=75°, 则∠BAO=__________.8. 已知:如图8, PA、PB切⊙A于A、B, AC⊥PB于C, 交⊙O于D, ∠DBC=14°,则∠APB=__________.圆中的线段理论回顾:由垂径定理得出的弓形计算, 相交弦定理、切割线定理、平行与比例的关系、相似与比例的关系.复习目的:要求同学们熟记这些用于计算线段的基本理论, 解题时多设未知数, 引进方程思想, 构造相似或利用相似得比例求相关线段是重点, 亦是难点, 做题时多悟.训练解题:9. 已知:如图9, AB是⊙O直径, 弦CD⊥AB于G, F是CG中点, 延长AF交⊙O于E, CF=2, AF=3, 则EF=__________.10. 已知:如图10, AB是⊙O直径, AC是⊙O的弦, 过弧BC中点D作AC的垂线交AC的延长线于E, 若DE=2, EC=1, 则⊙O直径=__________.11. 已知:如图11, 在△ABC中, ∠C=90°, ⊙O是△ABC的内切圆, 切点是D、E、F, AO交BC于G, 若AC=3, CG=1, 则⊙O的半径=__________.12. 已知:如图12, P是⊙O的直径AB延长线上一点, PC切⊙O于C, PC=6, BC∶AC=1∶2, 则AB=__________.13. 已知:如图13, PT切⊙O于T, PA交⊙O于A、B, 交直径CT于D, CD=2, AD=3, BD=4, 则PB=__________.14. 已知:如图14, PA、PB切⊙O于A、B, AC是⊙O直径, PC交⊙O于D, ∠APB=60°, AC=2, 则CD=__________.15. 已知:如图15, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=4, BC=3, 以BC上一点为圆心作⊙O与AC、AB都相切, 交BC于D, 则BD=__________.16. 已知:如图16, A是⊙O直径CB延长线上一点, 过A作⊙O切线A T, T为切点, ∠ATB=30°, ⊙O半径为4, 则AC=__________.17. 已知:如图17, AB切⊙O于B, BC是直径, AC交⊙O于D, DE是切线, CE⊥DE, DE=3, CE=4, 则AB=__________.18. 已知:如图18, EF切⊙O于F, EDC, EAB为圆割线, AB=35, DC=50, AD∶BC=1∶2,则EF=__________.直线与圆的证明19. 已知:如图19, P为⊙O外一点, PA、PB分别切⊙O于A、B, OP与AB相交于M, C是弧AB上一点.求证:∠OPC=∠OCM.20. 已知:如图20, A是⊙O上一点, 割线PC交⊙O于B、C两点, D是PC上的一点, 且PD是PB和PC的比例中项, PD=PA, 连结AD并延长交⊙O于点E.求证:BE=CE.21. 已知:如图21, AB是半圆的直径, AC⊥AB, AB=AC, 在半圆上任取一点D, 作DE⊥CD交直线AB于E, BF⊥AB交线段AD的延长线于点F.①设弧AD是x度的弧, 若要使点E在线段BA的延长线上, 则x的取值范围是________,若在线段AB上呢?其范围__________.②不论点D在半圆的什么位置时, 图中除AB=AC外, 还有两条线段一定相等, 请你指出并证明之.22. 已知:如图22, Rt △ABC 中, ∠C =90°, 以BC 边为直径做半圆半AB 于E, 交AC 边的中线BD 于F. 求证:BC ∶BE =CF ∶EF.23. 以下几个图形中, 直线y =-43x +3与圆相切, 试求切点坐标, 同学们亦可总结此类求点坐标的规律.。
2.2 与圆有关的角一个角有一个顶点和两条边,顶点和边相对于一个圆的位置关系分别有各种情况,由此可得到不同类型的与圆有关的角。
1.圆心角我们已经知道,顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的两边都与圆相交,两边所夹⌒。
的的弧是这个圆心角所对的弧。
如图2-28,∠AOB是圆心角,它所对的弧是AB在圆周上给定一条弧,由分别过弧的端点的两条半径所确定的圆心角,是这条弧所对的圆心角。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等;相等的弧所对的圆心角相等。
2.圆周角操作⌒上的任意两点,试分别作出∠AMB、如图2-29,圆心角∠AOB=70°,M、N是APB∠ANB,并量出这两个角的度数。
如上所作的∠AMB和∠ANB,它们的顶点都在⊙O上,两边都与圆相交。
分别度量这两个角,所得角度都是35°,说明它们都等于∠AOB的度数的一半。
顶点在圆周上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的两边所夹的弧,是这个圆周角所对的弧;由圆周上一点分别与弧的两端点的连线确定的圆周角,是这条弧所对的圆周角。
⌒,与圆心角∠AOB 在图2-29中,∠AMB和∠ANB是圆周角;它们所对的弧都是AB所对的弧相同。
如果圆周角与圆心角所对的弧相同,那么这两个角之间的大小有以下关系:圆周角定理一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
试一试在⊙O上取一点A,以A为顶点画一些圆周角;在观察圆心与圆周角的位置关系,有几种可能的情况?通过画图可见,圆心与圆周角的位置关系有三种情况:圆心在圆周角的一边上,圆心在圆周角的内部,圆心在圆周角的外部。
对于圆心与圆周角位置关系的三种情况,分别画圆周角;在画出与圆周角所对的弧相同的圆心角,如图2-30所示。
下面,我们来证明圆周角定理。
已知:如图2-30,在⊙O 中,BC ⌒ 所对的圆周角是∠BAC ,所对的圆心角是∠BOC 。
求证:∠BAC=21∠BOC 。
分析:如果圆心O 在圆周角∠BAC 的一边上,入股2-30⑴,这时圆心角∠BOC 恰好为等腰三角形AOC 的外角,可推出结论;如果圆心O 在∠BAC 的内部或外部,如图2-30⑵、⑶,那么可考虑构造如图2-30⑴的图形,将问题转化。
年 级 初三 学 科 数学 编稿老师 田一鹏 课程标题 圆中有关的角一校 张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 掌握和圆有关的角:圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。
2. 掌握圆内接四边形的性质定理。
3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系,并能运用这些关系解决有关问题。
二、重难点提示重点:弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。
难点:圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。
一、圆中有关的角⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角1. 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。
OCB把整个圆周等分成360份,每一等份弧是1°的弧,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等,那么它们相对应的其余各组量都相等。
2. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
OBCA一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等;反之也成立。
直径所对的圆周角是直角。
BCAO3. 圆内角:顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角。
P OBA圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。
DPB COA4. 圆外角:顶点在圆外,并且两边都和圆相交(或相切)的角叫圆外角。
DPBCAO圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差(较大弧的度数减去较小弧的度数)的一半。
5. 弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论②如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
数学中的角的概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数学中的角是几何学中的重要概念之一,它在几何图形的研究和解决实际问题中起着重要作用。
角的概念贯穿于整个数学学科,并且在许多实际应用中都具有重要意义。
本文将对角的定义、角的种类以及角在实际生活中的应用进行深入探讨,以期帮助读者全面了解角的概念及其重要性。
通过学习角的知识,读者不仅可以丰富数学知识,还可以更好地应用数学解决实际生活中的问题。
1.2 文章结构文章结构部分:本文将从引言开始,首先概述本篇文章要讨论的内容,接着介绍文章的结构,说明各个部分的内容安排和逻辑,最后说明本文的目的和意义。
接下来将进入正文部分,分别讨论角的定义、角的种类以及角的应用。
最后,结论部分将对角的重要性进行总结,并具体阐释角在实际生活中的应用和对数学学习的启示。
通过这样的结构安排,可以使读者清晰地了解本文要讨论的内容和各部分之间的联系,也能更好地理解数学中的角的概念。
1.3 目的目的部分:本文旨在深入探讨数学中角的概念,通过对角的定义、种类和应用进行系统的介绍和分析,旨在帮助读者更好地理解和掌握角的概念,进而拓展数学知识,提高数学应用能力。
同时,通过对角在实际生活中的应用和对数学学习的启示进行讨论,旨在激发读者对数学学习的兴趣,以及更深层次的思考和学习方式。
通过本文的阅读,读者可以更好地认识到角在数学中的重要性,以及在生活和学习中的实际应用价值,进而促进对数学学科的全面发展。
2.正文2.1 角的定义:角是由两条射线以一个公共端点相交而形成的图形部分。
这个公共端点被称为角的顶点,而两条射线分别被称为角的边。
角可以用符号表示为∠ABC,其中A是角的顶点,B和C分别是角的两边的端点。
角的大小通常用角的度数来表示,通常以度()为单位。
角的大小也可以用弧度来表示,在数学中,一个完整的圆的周长为360度或2π弧度。
角度可以用度数或弧度数进行测量,这取决于具体的问题和需求。
在数学中,角是一种重要的概念,它在几何学和三角学中有着广泛的应用。
九年级数学圆中的角知识点在九年级数学学习中,圆是一个重要的几何图形,而圆中的角也是其中的一个重要概念。
本文将为您介绍九年级数学圆中的角的知识点。
一、圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。
在一个圆中,以圆心为顶点的角所对的弧长恰好等于该角的大小。
这是因为在圆的任意两点之间,弧长与圆心角是相等的。
二、弧度制和度数制在计量圆心角时,我们通常使用度数制和弧度制。
度数制是我们较为熟悉的角度计量方式,一圆的度数为360°。
而弧度制则是将角度的度数转换为弧长与半径之比的计量方式,通常用π来表示。
三、圆内切、圆心角在圆内切问题中,我们经常遇到的一个重要概念是圆心角。
当两个圆相切时,连接切点与圆心所形成的角即为圆心角。
在圆内切问题中,我们可以利用相关的角关系来求解问题。
四、弦和弦心角在圆中,一条弦是连接圆上两个点的线段。
而以圆内任意一点为顶点的角,它的两条边分别为切线和与切线相交的弦,我们称之为弦心角。
在求解弦心角时,我们可以利用圆周角的性质来推导和计算。
五、相交弦和相交弦心角当两条弦在圆内相交时,所形成的角即为相交弦心角。
相交弦心角是圆内切角和圆周角的重要推论。
我们可以利用相交弦心角的性质来解决圆内相交问题,如求解弦的长度以及圆内接四边形的性质等。
六、正多边形的圆内角和圆心角在正多边形中,每个内角都相等,且每个内角都对应一个圆心角。
通过研究正多边形的特性,我们可以得出正多边形内角的计算公式,从而在解决相关题目时能够更加便捷地计算。
七、切割圆和弧长的概念圆的切割是指通过特定的线段将圆分割成几个部分。
在切割圆的过程中,我们需要关注到切割弧的长度。
通过计算切割弧的长度,我们可以更好地掌握切割圆的相关知识点,并应用到实际问题中。
结语通过本文的介绍,希望能够帮助九年级的同学们掌握圆中的角的知识点。
在数学学习中,理论的掌握和实践能力的培养同样重要,希望同学们能够通过大量的练习和实例分析,不断提升自己的数学能力。
加油!。
七年级数学角知识点总结在七年级的数学学习中,角是一个非常重要的知识点。
它既是其他几何概念的基础,也是后续学习的重要内容。
本文将对七年级数学角知识点作一总结。
一、角的概念角是由两条射线(即零点)共同确定的图形部分,其中一个射线是起始边(即始边),另一个射线是结束边(即终边)。
角的度数表示的是始边逆时针旋转到终边的度数大小。
二、角的分类1.锐角:度数小于90度的角。
2.直角:度数等于90度的角。
3.钝角:度数大于90度小于180度的角。
4.平角:度数等于180度的角。
三、角的要素1.零点:角的起始点。
2.始边:角的开始边。
3.终边:角的结束边。
4.内部点:位于角内部的点。
5.外部点:位于角外部的点。
四、角的度数计算1.弧度制:以单位圆的半径为一,圆心角所对的弧长为该角的弧度数。
即1弧度等于180度/π。
2.角度制:以90度为直角,180度为平角,360度为一周。
五、角的运算1.同角:具有相同终边的角。
2.补角:两个角的和为90度。
3.余角:两个角的和为180度。
4.对顶角:共享相同的零点,相互之间无直接关系的两个角,其度数相等。
5.相邻角:共享相同的零点和始边,终边指向各自角的两个角。
六、角的常用概念1.角平分线:将一个角平分成两个相等的角的射线,称为该角的平分线。
2.垂线:从一个点向一条直线竖直(垂直)地延伸出去的线段,称为该点到直线的垂线。
3.角平分线定理:在一个角内部,过角的顶点引一条角平分线,则该条角平分线所分割角的两个邻角为相等角。
4.垂线定理:在平面直角坐标系中,过一点作与坐标轴垂直的直线所截坐标轴成的两条线段的乘积相等,即一个点到直线的垂线上的两个线段长度乘积相等。
以上为七年级数学角知识点的主要内容,通过本文的阅读,相信同学们能够对角的概念、分类、要素、度数计算、运算等方面有了更深入的理解,为后续的几何学习打好基础。
与圆相关的角
一、圆心角:顶点在圆心的角.
我们知道,一个周角是360︒. 把圆周分成360份,每一份叫做1︒的弧. 因此,n ︒的圆心角对的弧是n ︒的弧;反之,n ︒的弧所对的圆心角的度数是n ︒. 从而有 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
如图,在O 中,AOB AB ∠=.
二、圆周角:顶点在圆周上,并且两边都与圆相交的角.
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如图,在O 中,11
22
CAD COD CD ∠=∠=.
三、圆内角:顶点在圆内的角.
圆内角定理 圆内角的度数等于它及其对顶角所对的弧的度数之和的一半.
如图,在O 中,()
1
2
AEB ADB CAD AB CD ∠=∠+∠=
+. 四、圆外角:顶点在圆外,并且两边都与圆相交的角.
圆外角定理 圆外角的度数等于它所夹的弧的度数之差的一半.
如图,在O 中,()
1
2
AEB ADB CAD AB CD ∠=∠-∠=
-. 五、弦切角:顶点在圆上,一边与圆相交、一边与圆相切的角. 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
如图,在O 中,1
2
CBD BAD BD ∠=∠=。
角的知识点总结角是数学中的一个重要概念,它在几何学、三角学以及其他数学分支中都起着至关重要的作用。
本文将对角的基本定义、测量方法以及一些关键性质进行总结。
1. 角的基本定义角是由两条不共线的线段所确定的图形。
两条线段称为角的边,它们的公共端点称为角的顶点。
2. 角的测量方法角的测量通常使用度和弧度两种单位。
- 度:角度的度量用符号°表示,可以沿着一条射线从初始位置旋转多少度来测量角的大小。
一个完整的旋转为360°,半个旋转为180°,一个直角为90°。
- 弧度:角度的弧度制用符号rad表示,定义为半径等于1的圆上的弧所对的圆心角。
一个完整的旋转为2π弧度,半个旋转为π弧度,一个直角为π/2弧度。
3. 角的分类根据其大小,角可以分为以下几种类型:- 零角:角度为0°或0弧度,两边重合。
- 锐角:角度小于90°或弧度小于π/2。
- 直角:角度为90°或弧度为π/2,两边垂直相交。
- 钝角:角度大于90°但小于180°,或弧度大于π/2但小于π。
- 平角:角度为180°或弧度为π,两边呈直线。
4. 角的性质角具有许多重要的性质和定理,下面介绍几个常见的性质:- 余角和补角:一个角的余角是指与该角相加等于90°的角,它们的两边互相垂直。
一个角的补角是指与该角相加等于180°的角,它们的两边共线。
- 对顶角:两个交叉线之间形成的相对角称为对顶角,对顶角的度数是相等的。
- 内角和外角:对于任何凸多边形,内角之和等于多边形内角的个数减2乘以180°,而外角之和等于360°。
- 同位角:当一条直线被多个交叉线切割时,同位角是指位于两条平行线之间的对应角,它们的度数相等。
5. 角的应用角的概念和性质在几何学中有广泛的应用,例如:- 三角函数:三角函数正弦、余弦和正切是角度的函数,它们在三角学和物理学中经常用到。
角的初步认识引言在几何学中,角是一个非常重要的概念。
它不仅在日常生活中存在,而且在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将从几何学的角度探讨角的基本概念、属性和常见类型,以帮助读者更好地理解和运用角的知识。
角的定义角是由两条射线或线段的相同起点所形成的图形。
起点称为角的顶点,两条射线或线段称为角的边。
角的度量角的度量用弧度或度来表示。
在初中数学中,我们通常使用度来度量角。
一个完整的圆周被等分为360个等份,每一份被称为一度(°)。
角的度量可以是正数、负数或零,具体取决于角是顺时针还是逆时针旋转得到的。
角的符号表示在几何学中,我们常常使用大写字母来表示角。
例如,角A可以表示为∠A。
这种符号表示方式简洁明了,易于理解。
角的常见属性顶角和非顶角当两条射线或线段相交时,形成的角称为顶角。
顶角的顶点是两条射线或线段的共同端点。
而非顶角则是与顶角形成线性对立的角。
直角直角是指形成的角度为90°的角。
直角是几何学中最基本的角度之一,也是最常见的角度之一。
在直角下,两条相交的线段彼此垂直。
钝角钝角是指形成的角度大于90°且小于180°的角。
与直角相比,钝角的度数更大。
锐角锐角是指形成的角度小于90°的角。
锐角的度数较小,非常常见。
同位角同位角是指两条平行线被一对相交线所切分的对应角。
同位角具有相等的度数。
对顶角对顶角形成的两个角是相等的。
当两条直线在一点上与第三条直线相交时,形成的相邻角是对顶角。
内角和外角一条射线从一点伸出与另一条射线相交,形成的内角是小于180°的角。
另外,形成的外角是大于180°而小于360°的角。
角的运算角的加法两个角的和是指将一个角的边延长到与另一个角的边相交,这样形成的新角的度数等于两个角的度数之和。
角的减法两个角的差是指将一个角的边延长到与另一个角的边相交,这样形成的新角的度数等于第一个角的度数减去第二个角的度数。
专题08 与圆有关的角知识网络重难突破知识点一圆心角1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数等于它所对的弧的度数.2.圆心角性质定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各组量都相等.【典例1】(2020•项城市三模)如图,圆O通过五边形OABCD的四个顶点.若=150°,∠A=75°,∠D=60°,则的度数为何?()A.25°B.40°C.50°D.60°【点拨】连接OB,OC,由半径相等得到△OAB,△OBC,△OCD都为等腰三角形,根据∠A=75°,∠D=60°,求出∠1与∠2的度数,根据的度数确定出∠AOD度数,进而求出∠3的度数,即可确定出的度数.【解析】解:连接OB、OC,∵OA=OB=OC=OD,∴△OAB、△OBC、△OCD,皆为等腰三角形,∵∠A=75°,∠D=60°,∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×75°=30°,∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°,∵=150°,∴∠AOD=150°,∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣30°﹣60°=60°,则的度数为60°.故选:D.【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系,多边形内角与外角,弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键.【变式训练】1.(2019秋•鹿城区月考)一个圆的内接正多边形中,一边所对的圆心角为72°,则该正多边形的边数是()A.6 B.5 C.4 D.3【点拨】根据正多边形的中心角=计算即可.【解析】解:设正多边形的边数为n.由题意=72°,∴n=5,故选:B.【点睛】本题考查正多边形的有关知识,解题的关键是记住正多边形的中心角=.2.(2019秋•余杭区期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,的度数为α,以点C为圆心,BC长为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则∠A的度数为()A.45°﹣αB.αC.45°+αD.25°+α【点拨】连接OD,求得∠DCE=α,得到∠BCD=90°﹣α,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.【解析】解:连接OD,∵的度数为α,∴∠DCE=α,∵∠ACB=90°,∴∠BCD=90°﹣α,∵BC=DC,∴∠B=(180°﹣∠BCD)=(180°﹣90°+α)=45°+α,∴∠A=90°﹣∠B=45°﹣α,故选:A.【点睛】本题考查了圆心角,弧,弦,直角三角形的性质,等腰三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.3.(2019秋•鄞州区期末)如图,AB为⊙O的直径,点D是弧AC的中点,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于点F,若AC=12,AE=3,则⊙O的直径长为()A.10 B.13 C.15 D.16【点拨】连接OF,首先证明AC=DF=12,设OA=OF=x,在Rt△OEF中,利用勾股定理构建方程即可解决问题.【解析】解:如图,连接OF.∵DE⊥AB,∴DE=EF,=,∵点D是弧AC的中点,∴=,∴=,∴AC=DF=12,∴EF=DF=6,设OA=OF=x,在Rt△OEF中,则有x2=62+(x﹣3)2,解得x=,∴AB=2x=15,故选:C.【点睛】本题考查垂径定理,圆心角,弧,弦之间的关系等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.4.(2019春•西湖区校级月考)如图,AB是⊙O的直径,M、N分别是AO,BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,则的度数60°.【点拨】根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答.【解析】解:∵AB是⊙O的直径,M、N分别是AO,BO的中点,∴2OM=OC,2ON=OD,∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴∠CMO=∠DNO=90°,∴∠MCO=∠NDO=30°,∴∠MOC=∠NOD=60°,∴∠COD=180°﹣60°﹣60°=60°,∴的度数是60°,故答案为:60°【点睛】此题考查圆心角、弧、弦,关键是根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答.5.(2018秋•丽水期中)如图,已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径,点C是弧AB的中点,M、N分别是OA、OB的中点.求证:MC=NC.【点拨】根据弧与圆心角的关系,可得∠AOC=∠BOC,又由M、N分别是半径OA、OB的中点,可得OM=ON,利用SAS判定△MOC≌△NOC,继而证得结论.【解析】证明:∵弧AC和弧BC相等,∴∠AOC=∠BOC,又∵OA=OB,M、N分别是OA、OB的中点∴OM=ON,在△MOC和△NOC中,,∴△MOC≌△NOC(SAS),∴MC=NC.【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键.知识点二圆周角1.圆周角:顶点在圆上,两边分别和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.2.圆周角性质定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.【典例2】(2019秋•义乌市期末)如图,已知AB为半圆O的直径,AC,AD为弦,且AD平分∠BAC.(1)若∠ABC=28°,求∠CBD的度数;(2)若AB=6,AC=2,求AD的长.【点拨】(1)利用圆周角定理得到∠C=∠ADB=90°,则根据互余计算出∠CAB=62°,再根据角平分线的定义得到∠CAD=∠CAB=31°,然后根据圆周角定理得到∠CBD的度数;(2)连接OD交BC于E,如图,先利用勾股定理计算出BC=4,由∠CAD=∠BAD得到=,根据垂径定理得到OD⊥BC,BE=CE=BC=2,则OE=1,然后根据勾股定理计算出BD,接着计算出AD.【解析】解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠C=∠ADB=90°,∴∠CAB=90°﹣28°=62°,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠CAB=31°,∴∠CBD=∠CAD=31°;(2)连接OD交BC于E,如图,在Rt△ACB中,BC==4,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,∴=,∴OD⊥BC,∴BE=CE=BC=2,∴OE=AC=×2=1,∴DE=OD﹣OE=3﹣1=2,在Rt△BDE中,BD==2,在Rt△ABD中,AD==2.【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.【变式训练】1.(2019秋•海曙区期末)如图,点A,B,C,D在⊙O上,AC是⊙O的直径,若∠CAD=25°,则∠ABD 的度数为()A.25°B.50°C.65°D.75°【点拨】先根据圆周角定理得到∠ADC=90°,∠ABD=∠ACD,然后利用互余计算出∠ACD,从而得到∠ABD的度数.【解析】解:∵AC是⊙O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=90°﹣∠CAD=90°﹣25°=65°,∴∠ABD=∠ACD=65°.故选:C.【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.2.(2020•绍兴)如图,点A,B,C,D,E均在⊙O上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD的度数为()A.45°B.60°C.75°D.90°【点拨】首先连接BE,由圆周角定理即可得∠BEC的度数,继而求得∠BED的度数,然后由圆周角定理,求得∠BOD的度数.【解析】解:连接BE,∵∠BEC=∠BAC=15°,∠CED=30°,∴∠BED=∠BEC+∠CED=45°,∴∠BOD=2∠BED=90°.故选:D.【点睛】此题考查了圆周角定理.注意准确作出辅助线是解此题的关键.3. (2020•温州一模)如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠AOC=∠B,则∠D的度数为60°.【点拨】根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D,根据题意得到∠B=2∠D,根据圆内接四边形的对角互补列式计算,得到答案.【解析】解:由圆周角定理得,∠AOC=2∠D,∵∠AOC=∠B,∴∠B=2∠D,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠D+∠B=180°,∴∠D+2∠D=180°,解得,∠D=60°,故答案为:60.【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.4.(2019春•西湖区校级月考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E连接EB、DE,EC=2,BC=6,则⊙O的半径为 4.5.【点拨】连接BE,AD,求出CD,根据圆周角定理求出∠CAD=∠CBE,证△CAD∽△CBE,得出比例式,求出AC,即可得出答案.【解析】解:连接BE,AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵BC=6,AB=AC,∴CD=BD=3,∵由圆周角定理得:∠CAD=∠CBE,∵∠C=∠C,∴△CDA∽△CEB,∴=,∴=,解得:AC=9,∵AB=AC,∴AB=9,∴⊙O的半径为=4.5,故答案为:4.5.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,圆周角定理,相似三角形的性质和判定等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.5.(2019秋•温州期末)如图,点A、B、C、D、E都在⊙O上,AC平分∠BAD,且AB∥CE,求证:=.【点拨】由于AC平分∠BAD则∠BAC=∠DAC,再利用平行线的性质得∠BAC=∠ACE,所以∠DAC =∠ACE,然后根据圆周角定理得到结论.【解析】证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∵AB∥CE,∴∠BAC=∠ACE,∴∠DAC=∠ACE,∴=.【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.6.(2018秋•西湖区校级期中)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E.(1)求证:BE=CE;(2)若∠B=75°,求弧DE的度数;(3)若BD=3,BE=4,求AC的长.【点拨】(1)连结AE,如图,由圆周角定理得∠AEC=90°,而AB=AC,则根据等腰三角形的性质即可判断BE=CE;(2)连结OD、OE,如图,在Rt△ABE中,利用互余计算出∠BAE=15°,再根据圆周角定理得∠DOE =2∠DAE=30°,然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得到弧DE的度数为30°;(3)连结CD,如图,BC=2BE=8,设AC=x,则AD=x﹣3,由圆周角定理得∠ADC=90°,在Rt △BCD中,利用勾股定理得CD2=55,然后在Rt△ADC中再利用勾股定理得到(x﹣3)2+55=x2,接着解方程求出x即可.【解析】解:(1)证明:连结AE,如图,∵AC为直径,∴∠AEC=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE;(2)解:连结OD、OE,如图,在Rt△ABE中,∠BAE=90°﹣∠B=90°﹣75°=15°,∴∠DOE=2∠DAE=30°,∴弧DE的度数为30°;(3)解:连结CD,如图,BC=2BE=8,设AC=x,则AD=x﹣3,∵AC为直径,∴∠ADC=90°,在Rt△BCD中,CD2=BC2﹣BD2=82﹣32=55,在Rt△ADC中,∵AD2+CD2=AC2,∴(x﹣3)2+55=x2,解得x=,即AC的长为.【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了等腰三角形的判定与性质.知识点三圆内接四边形1.圆的内接四边形:如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.2. 圆内接四边形的性质:圆的内接四边形的对角互补.【典例3】(2018秋•崇川区校级月考)如图,⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.(1)若∠E=∠F,求证:∠ADC=∠ABC;(2)若∠E=∠F=40°,求∠A的度数;(3)若∠E=30°,∠F=40°,求∠A的度数.【点拨】(1)根据外角的性质即可得到结论;(2)根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果;(3)连结EF,如图,根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A,再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2,则∠A=∠1+∠2,然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°,解方程即可.【解析】解:(1)∠E=∠F,∵∠DCE=∠BCF,∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,∴∠ADC=∠ABC;(2)由(1)知∠ADC=∠ABC,∵∠EDC=∠ABC,∴∠EDC=∠ADC,∴∠ADC=90°,∴∠A=90°﹣40°=50°;(3)连结EF,如图,∵四边形ABCD为圆的内接四边形,∴∠ECD=∠A,∵∠ECD=∠1+∠2,∴∠A=∠1+∠2,∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°,∴2∠A+30°+40°=180°,∴∠A=90°﹣=55°.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,在应用此性质时,要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角,而不是邻角互补.【变式训练】1.(2019秋•越城区期末)如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠A:∠C=5:7,则∠C=()A.210°B.150°C.105°D.75°【点拨】根据圆内接四边形对角互补可得∠C=180°×=105°.【解析】解:∵∠A+∠C=180°,∠A:∠C=5:7,∴∠C=180°×=105°.故选:C.【点睛】此题主要考查了圆内接四边形,关键是掌握圆内接四边形对角互补.2.(2020•仙居县模拟)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠BCD=143°,则∠BOD的度数是()A.77°B.74°C.37°D.43°【点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠A,再根据圆周角定理解答即可.【解析】解:∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BCD=143°,∴∠A=180°﹣∠BCD=37°,由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=74°,故选:B.【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.3..如图,已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形,分别延长AB和DC,它们相交于P,若∠APD =60°,AB=5,PC=4,则⊙O的面积为()A.25πB.16πC.15πD.13π【点拨】连接AC,由圆周角定理可得出∠ACD=90°,再由圆内接四边形的性质及三角形内角和定理可求出∠P AC=30°,由直角三角形的性质可求出AP、AC的长,由相似三角形的判定定理及性质可得出CD的长,再根据勾股定理接可求出AD的长,进而求出该圆的面积.【解析】解:连接AC,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∵∠APD=60°,∴∠P AC=30°,∴AP=2PC=2×4=8,∵AB=5,∴PB=8﹣5=3,∵四边形ABCD是以AD为直径的圆内接四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°,∵∠BCD+∠PCB=180°,∴∠BAD=∠PCB,∠APD=∠APD,∴△PCB∽△P AD,∴=,即=,PD=6,∴CD=PD﹣PC=6﹣4=2,∴AC===4,在Rt△ACD中,AD===2.∴OA=AD=,∴⊙O的面积=π×()2=13π.故选:D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理,解答此题的关键是作出辅助线,构造出直角三角形求解.4.(2019秋•萧山区期中)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AE⊥CB交CB的延长线于点E,若BA平分∠DBE,AD=5,CE=,则AE=2.【点拨】连接AC,由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠BAE=∠CDA,∠ABD=∠ACD,从而得到∠ACD=∠CDA,得出AC=AD=5,然后利用勾股定理计算AE的长.【解析】解:连接AC,如图,∵BA平分∠DBE,∴∠ABE=∠ABD,∵∠ABE=∠CDA,∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=∠CDA,∴AC=AD=5,∵AE⊥CB,∴∠AEC=90°,∴AE===2.故答案为:2.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识;熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键.6.(2019•黄埔区一模)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AD,BC的延长线交于点E,F是BD延长线上一点,∠CDE=∠CDF=60°.(1)求证:△ABC是等边三角形;(2)判断DA,DC,DB之间的数量关系,并证明你的结论.【点拨】(1)根据圆内接四边形的性质得到∠CDE=∠ABC=60°,根据圆周角定理、等边三角形的判定定理证明;(2)在BD上截取PD=AD,证明△APB≌△ADC,根据全等三角形的性质证明结论.【解析】(1)证明:∵∠CDE=∠CDF=60°,∴∠CDE=∠EDF=60°,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠CDE=∠ABC=60°,由圆周角定理得,∠ACB=∠ADB=∠EDF=60°,∴△ABC是等边三角形;(2)解:DA+DC=DB,理由如下:在BD上截取PD=AD,∵∠ADP=60°,∴△APD为等边三角形,∴AD=AP,∠APD=60°,∴∠APB=120°,在△APB和△ADC中,,∴△APB≌△ADC(AAS),∴BP=CD,∴DB=BP+PD=DA+DC.【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质,掌握圆内接四边形的性质是解题的关键.巩固训练1.(2019秋•福田区期末)下图中∠ACB是圆心角的是()A.B.C.D.【点拨】根据圆心角的概念判断.【解析】解:A、∠ACB不是圆心角;B、∠ACB是圆心角;C、∠ACB不是圆心角;D、∠ACB不是圆心角;故选:B.【点睛】本题考查的是圆心角的概念,掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键.2.(2019秋•诸暨市期末)用直角三角板检查半圆形的工件,下列工件哪个是合格的()A.B.C.D.【点拨】根据90°圆周角所对的弦是直径即可判断.【解析】解:根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确,其他均不正确;故选:C.【点睛】本题考查圆周角定理、解题的关键是灵活运用圆周角定理解决问题,属于中考常考题型.3.(2019秋•拱墅区校级期末)下列语句中,正确的是()①相等的圆周角所对的弧相等;②同弧或等弧所对的圆周角相等;③平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧;④圆内接平行四边形一定是矩形.A.①②B.②③C.②④D.④【点拨】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断.【解析】解:①在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等,本说法错误;②同弧或等弧所对的圆周角相等,本说法正确;③平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,本说法错误;④圆内接平行四边形一定是矩形,本说法正确;故选:C.【点睛】本题考查的是命题的真假判断,掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键.4.(2019春•西湖区校级月考)圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A:∠B:∠C:∠D的可能的值是()A.1:2:3:4 B.4:2:3:1 C.4:3:1:2 D.4:1:3:2【点拨】因为圆的内接四边形对角互补,则两对角的和应该相等,比值所占份数也相同,据此求解.【解析】解:∵圆的内接四边形对角互补,∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°,∴∠A:∠B:∠C:∠D的可能的值是4:3:1:2.故选:C.【点睛】要掌握圆的内接四边形对角互补的特性.5.(2018秋•句容市校级月考)如图,AB,CD是⊙O的直径,弦CE∥AB,弧CE的度数为40°,∠AOC 的度数70°.【点拨】连接OE,由弧CE的度数为40°,得到∠COE=40°,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE=(180°﹣40°)÷2=70°,而弦CE∥AB,即可得到∠AOC=∠OCE=70°.【解析】解:连接OE,如图,∵弧CE的度数为40°,∴∠COE=40°,∵OC=OE,∴∠OCE=∠OEC,∴∠OCE=(180°﹣40°)÷2=70°,∵弦CE∥AB,∴∠AOC=∠OCE=70°.【点睛】本题考查了在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也对应相等,等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理.6.(2020•浙江自主招生)如图,MN是⊙O的直径,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为弧AN 的中点,P是直径MN上一动点,则P A+PB的最小值为.【点拨】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置,然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算.【解析】解:作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则P点就是所求作的点.此时P A+PB最小,且等于AC的长.连接OA,OC,∵∠AMN=30°,∴∠AON=60°,∴弧AN的度数是60°,则弧BN的度数是30°,根据垂径定理得弧CN的度数是30°,则∠AOC=90°,又OA=OC=1,则AC=.【点睛】此题主要考查了确定点P的位置,垂径定理的应用.7.(2019春•西湖区校级月考)如图,在⊙A中,弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD,已知DE=6,BC=9,∠BAC+∠EAD=180°,则⊙A的直径等于3.【点拨】延长CA,交⊙A于点F,易得∠BAF=∠DAE,由圆心角与弦的关系,可得BF=DE,由圆周角定理可得:∠CBF=90°,然后由勾股定理求得弦CF的长即可.【解析】解:作直径CF,连结BF,如图,∵∠BAC+∠EAD=180°,而∠BAC+∠BAF=180°,∴∠DAE=∠BAF,∴,∴DE=BF=6,∵CF是直径,∴∠CBF=90°,∴CF===3,故答案为:3.【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理.正确作出辅助线是解题的关键.8.(2019秋•香坊区校级期中)如图,AB为 ⊙O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F.且=.(1)求证:OE=OF;(2)作半径ON⊥AB于点M,若AB=8,MN=2,求OM的长.【点拨】(1)连接OA、OB,证明△AOE≌△BOF(ASA),即可得出结论;(2)连接OA,由垂径定理得出AM=AB=4,设OM=x,则OA=ON=x+2,在Rt△AOM中,由勾股定理得出方程,解方程即可.【解析】(1)证明:连接OA、OB,如图1所示:∵OA=OB,∴∠A=∠B,∵=,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE和△OBF中,,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴OE=OF;(2)解:连接OA,如图2所示:∵OM⊥AB,∴AM=AB=4,设OM=x,则OA=ON=x+2,在Rt△AOM中,由勾股定理得:42+x2=(x+2)2,解得:x=3,∴OM=3.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理等知识;熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和垂径定理是解题的关键.9.(2019秋•滨江区期中)如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC 交于点E.(1)若∠B=70°,求弧CD的度数;(2)若AC=24,DE=8,求半圆O的半径.【点拨】(1)根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC的度数,根据平行线的性质求出∠AOD的度数,然后求出∠DOC的度数可确定弧CD的度数;(2)先证明OE⊥AC得到AE=CE=AC=12,设半径为r,则OE=r﹣8,然后利用勾股定理得到(r ﹣8)2+122=r2,然后解方程即可.【解析】解:(1)连接OC,如图,∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,又∠B=70°,∴∠BAC=20°,∵OD∥BC,∴∠AOD=∠B=70°,又OD=OA,∴∠OAD=55°,∴∠DAC=35°,∴∠DOC=2∠DAC=70°,∴的度数是70°;(2)∵OD∥BC,∴∠OEA=∠ACB=90°,∴OE⊥AC,∴AE=CE=AC=12,设半径为r,则OE=r﹣8,在Rt△AOE中,(r﹣8)2+122=r2,解得r=5,即半圆O的半径为5.【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.10.(2020•雅安)如图,四边形ABCD内接于圆,∠ABC=60°,对角线BD平分∠ADC.(1)求证:△ABC是等边三角形;(2)过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E,若AD=2,DC=3,求△BDE的面积.【点拨】(1)根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断;(2)过点A作AE⊥CD,垂足为点E,过点B作BF⊥AC,垂足为点F.根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD,分别求出△ABC,△ACD的面积,即可求得四边形ABCD的面积,然后通过证得△EAB≌△DCB(AAS),即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.【解析】(1)证明:∵四边形ABCD内接于圆.∴∠ABC+∠ADC=180°,∵∠ABC=60°,∴∠ADC=120°,∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB=60°,∴∠ACB=∠ADB=60°,∠BAC=∠CDB=60°,∴∠ABC=∠BCA=∠BAC,∴△ABC是等边三角形.(2)过点A作AM⊥CD,垂足为点M,过点B作BN⊥AC,垂足为点N.∴∠AMD=90°,∵∠ADC=120°,∴∠ADM=60°,∴∠DAM=30°,∴DM=AD=1,AM===,∵CD=3,∴CM=CD+DM=1+3=4,∴S△ACD=CD•AM=×=,Rt△AMC中,∠AMD=90°,∴AC===,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=,∴BN=BC=,∴S△ABC=×=,∴四边形ABCD的面积=+=,∵BE∥CD,∴∠E+∠ADC=180°,∵∠ADC=120°,∴∠E=60°,∴∠E=∠BDC,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠EAB=∠BCD,在△EAB和△DCB中,,∴△EAB≌△DCB(AAS),∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.【点睛】本题考查圆内接四边形的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理,三角形的面积等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.。
角的定义与分类在我们日常生活和数学的世界里,角是一个常见而又重要的概念。
无论是在建筑设计、物理学研究,还是在简单的几何图形中,角都扮演着不可或缺的角色。
那么,究竟什么是角?角又有哪些不同的分类呢?让我们一起来探索。
角,从直观上理解,就是由两条有公共端点的射线组成的图形。
这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的两条边。
比如说,我们把时钟的指针看作射线,当时针从 12 点转到 3 点,就形成了一个角。
再比如,打开的扇子,扇骨与扇骨之间也会形成角。
角的大小与边的长短无关,而是取决于两条边张开的程度。
这就好比扇子,即使扇骨变长或变短,但只要张开的幅度不变,角的大小就不会改变。
接下来,让我们来看看角的分类。
按照角的大小,我们可以把角分为以下几类:首先是锐角,锐角是指大于 0 度而小于 90 度的角。
想象一下一个锐角,就像是一个陡峭的小山坡,角度比较小,比较尖锐。
比如三角板中的 30 度角、45 度角都是锐角。
然后是直角,直角等于 90 度。
在生活中,像书本的角、正方形和长方形的角通常都是直角。
直角给人的感觉是方方正正,规规矩矩的。
钝角则是大于 90 度而小于 180 度的角。
钝角就像是一个比较平缓的山坡,角度比较大,比较钝。
比如 120 度、150 度的角就是钝角。
当角的度数等于 180 度时,我们称之为平角。
平角看起来就像是一条直线,但要注意,它可不是直线,因为它是由一个顶点和两条方向相反的射线组成的。
还有周角,周角等于 360 度。
想象一下,一个顶点,一条射线绕着它旋转一圈,回到原来的位置,就形成了一个周角。
周角就像是一个完整的圆。
了解角的定义和分类对于我们解决很多数学问题和实际生活中的测量、设计等都非常有帮助。
在数学的几何题目中,经常会要求我们计算角的度数或者判断角的类型。
比如,给出一个三角形的三个内角的度数,让我们判断它是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
这时候,我们就需要根据角的分类来进行判断。
角的认识与性质角是几何学中的基本概念之一,它是由两条射线共同确定的一对线段。
在几何学中,我们经常使用角来描述和解决各种问题。
本文将就角的认识和性质进行详细介绍和探讨。
一、角的定义角由两个射线共同确定,这两个射线称为角的边,它们相交的端点称为角的顶点。
角的顶点常常用大写字母表示,如∠ABC,其中A称为顶点,B和C分别称为边。
角用度(°)或弧度(rad)来度量。
度数是常用的单位,弧度则是数学中更为常用的单位。
二、角的种类1. 零角:两条边重合的角称为零角,记作∠AOB,其中O为顶点,A、B为边上的两点。
2. 直角:两条互相垂直的射线所形成的角称为直角,记作∠BOC,其中O为顶点,B和C为边上的两点。
直角的度数为90°,或者π/2弧度。
3. 锐角:度数小于90°的角称为锐角,记作∠AOD,其中O为顶点,A和D为边上的两点。
4. 钝角:度数大于90°但小于180°的角称为钝角,记作∠EOF,其中O为顶点,E和F为边上的两点。
5. 满角:度数等于180°的角称为满角,记作∠GOH,其中O为顶点,G和H为边上的两点。
三、角的性质1. 角的对立角性质:如果∠ABC是一个角,那么它的对立角∠DBE 也是一个角,并且∠ABC+∠DBE=180°。
对立角的性质在解决几何问题时非常有用,可以通过对立角之间的关系来求解未知角度大小。
2. 角的余角性质:如果∠ABC是一个角,则与其相邻且不共边的角∠ABD称为角ABC的余角,∠CBD称为角ABC的补角。
角ABC和它的余角和补角的度数之和都等于90°,即∠ABC+∠ABD=90°,∠ABC+∠CBD=90°。
3. 角的平分角性质:如果一条射线能够将一个角分成两个相等的角,那么这条射线称为该角的平分线。
平分线将原始角分为两个相等角,它们的度数也相等。
4. 角的相等性质:如果两个角的度数相等,那么这两个角是相等的,记作∠A=∠B。
第十五讲 与圆有关的角一、知识要点:1. 与圆有关的角(1)圆心角: 叫圆心角. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角: 的角,叫圆周角.圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. (3)圆心角与圆周角的关系.同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .典型题1.如图,A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=30° 则∠BOC 的大小是( ) A .60○ B .45○ C .30○ D .15○典型题2.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B , 点C 在⊙O 上.如果∠P =50○ ,那么∠ACB 等于( ) A .40○ B .50○ C .65○ D .130○2.在在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆周角 ,相等的圆周角所对的弧 ,同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的 。
典型题3.如图,AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦,∠CAB =∠CBA , ∠COB 与∠COA 相等吗?为什么?典型题4.如图,∠A 是⊙O 的圆周角,∠A =30°, 则∠BOC= °, ∠OBC= °3.半圆或直径所对的圆周角都是 °,90°的圆周角所对的弦是圆是 。
典型题5.填空:(1)如图,AB 是⊙O 的直径,∠DCB=30°,则∠ACD= °, ∠ABD= °D(2)如图,⊙O 的直径AB=10,弦BC=5,∠B= ° 4.三角形的内心和外心(1)确定圆的条件:三个点确定一个圆. (2)三角形的外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的 ,圆心就是 的交点,叫做三角形的外心. (3)三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的 ,圆心是 的交点,叫做三角形的内心。
典型题6. 在△ABC 中,∠A=62°,点I 是外接圆圆心,则∠BIC=___________二、例题讲解(中考热点及延伸)例1.如图1,A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 是⊙O 的八等分点,求∠HDF 。
与圆有关的角主讲:黄冈中学高级教师 汤长安 一周强化 一、一周知识概述 (一)圆周角 1、顶点在圆上,两条边都和圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3、圆周角定理的推论: 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角等于 90° ;90° 的圆周角所对的弦是直径. 4、圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补. 推论:圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角. (二)弦切角 1、弦切角:顶点在圆上,一条边和圆相交,另一条边和圆相切的角叫做弦切角. 2、弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 二、重点难点疑点突破 1、对圆周角的理解定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.突破:①如图,∠AOB 与∠ACB 是 的度数等于 的度数一半.对的圆心角与圆周角,故有:,∠AOB=2∠ACB,∠ACB1②定理的作用是勾通圆心角,圆周角之间的数量关系.③定理的证明. (1)为什么要分情况证明? 应不应分情况,主要看各种情况的证明方法是否相同,相同,不分情况;不同,则必须分情况,而且分情况要分得 正确,不能重复或遗漏.而圆周角定理的证明,分三种情况,它们的证法都不相同,故要分情况证明. (2)如何分类讨论? 以圆上任意一点为顶点的圆周角,虽然有无数多个,但它们与圆心的位置关系,归纳起来有三种情况: ①圆心在角的一边上;②圆心在角的内部;③圆心在角的外部. (3)如何证明定理? 先证明第一种情况,再用第一种情况证明第二、三种情况. 2、对圆周角定理的两个推论的理解 (1)推论 1:①是圆中证角相等最常用的方法之一.②若将推论 1 中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦所对的圆周角有两种可能,一般情况不相等(如图中的∠1 与∠2).③推论 1 中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”, 离开这个前提条件, 结论不成立(如图 中的 ).2(2)推论 2 应用广泛,一般地,如果题目中有直径时,往往作出直径上的圆周角——直角;如果需要直角或证明垂直 时,也往往作出直径即可解决问题,推论也是证明弦是直径常用的办法. 3、对圆的内接四边形定理的理解 (1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词,是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角. (2)定理的另一个含义是对角和相等(都为 180° ). (3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据. (4)使用定理时,要注意观察图形,不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置. 4、对弦切角的理解 ①弦切角所夹的弧是构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧. ②弦切角定理的证明可以仿照圆周角定理的证明,也分三种情况,第一种情况是特殊情况,其它两种是一般情况, 可通过作辅助线转化为第一种情况. ③弦切角可以是锐角、钝角、直角,一条切线和过切点的弦形成两个弦切角. ④弦切角=它所夹弧对的圆周角=所夹弧对的圆心角的一半=所夹弧的度数一半. 三、解题方法技巧点拨 1、圆心角、圆周角和弧之间的换算 例 1、已知:如图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD 交 AB 于 P,且∠APD=60° ,∠COB=30° ,则∠ABD=________度.分析:要求圆周角∠ABD,可求同弧所对的圆心角∠AOD 的度数,而∠AOD=∠ODC+∠APD,故只须求∠ODC,3而∠ODC=∠C=∠OPD-∠COB=30° ,故∠AOD 可求. 解:连结 OD.∵∠C=∠APD-∠COB,∠APD=60° ,∠COB=30° .∴∠C=60° -30° =30° . ∵OC=OD,∴∠ODC=∠C=30° ,∴∠AOD=∠APD+∠ODC=60° +30° =90° ,例 2、如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=80° ,以 AB 为直径的半圆交 AC 于 D,交 BC 于 E.求的度数.分析:只需求出所对圆周角的度数就可以了,为此可连结 AE,构造圆周角∠BAE、∠DAE.点评:(1)辅助线 AE,构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形,因此在关于直径的问题中,常添辅助线使之构 成直角三角形. (2)本题还有副产品 BE=EC,你注意了吗?该副产品有时很有用. 2、圆内角、圆外角、圆周角、弧之间的运算题 圆内角:角的顶点在圆内的角叫做圆内角. 圆外角:角的顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角.4例 3、如图,圆的弦 AB、CD 延长线交于 P 点,AD、BC 交于 Q 点,∠P=28° ,∠AQC=92° ,求 cos∠ABC 的值.分析:圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系,故圆内角∠AOC 与圆外角∠P 可通过圆周角∠ABC(∠ADC)与 ∠A(∠C)建立起联系。
角的知识点总结角是数学中一个非常重要的概念,它在几何、三角函数等领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下关于角的相关知识点。
一、角的定义角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。
这两条射线叫做角的边,它们的公共端点叫做角的顶点。
角也可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
二、角的表示方法1、用三个大写字母表示,顶点字母写在中间,如∠AOB。
2、用一个大写字母表示,这个大写字母必须是顶点处的字母,且角的两边上没有其他角,如∠A。
3、用一个数字表示,如∠1。
4、用一个希腊字母表示,如∠α。
三、角的度量1、角的度量单位是度、分、秒。
1 度= 60 分,1 分= 60 秒,1 周角= 360 度,1 平角= 180 度。
2、我们通常使用量角器来测量角的度数。
四、角的分类1、锐角:大于 0 度小于 90 度的角。
2、直角:等于 90 度的角。
3、钝角:大于 90 度小于 180 度的角。
4、平角:等于 180 度的角。
5、周角:等于 360 度的角。
五、角的比较1、度量法:用量角器测量出角的度数,然后比较大小。
2、叠合法:将两个角的顶点和一条边重合,比较另一条边的位置。
六、角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
例如,如果∠AOC =∠BOC,那么 OC 就是∠AOB 的平分线。
七、余角和补角1、余角:如果两个角的和等于 90 度(直角),就说这两个角互为余角,简称互余。
即:∠A +∠B = 90°,则∠A 与∠B 互余。
2、补角:如果两个角的和等于 180 度(平角),就说这两个角互为补角,简称互补。
即:∠C +∠D = 180°,则∠C 与∠D 互补。
3、性质:同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等。
八、对顶角1、定义:两个角有公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角。
角的认识与分类在我们的日常生活中,角是不可或缺的几何概念之一。
从几何学的角度来看,角是由两条线段构成,相交点称为顶点。
了解角的基本定义对于我们理解几何问题十分重要。
本文将介绍角的认识与分类,以帮助读者更好地了解角的概念。
一、角的认识1. 基本定义角是由两条线段构成,它们有一个公共的端点,我们称之为顶点。
两条线段分别称作角的两个边。
从某个角的顶点开始,顺时针或逆时针旋转一定角度所形成的图形也是一种角。
角用希腊字母表示,常用的有α、β、γ、θ等。
2. 角的度量为了度量角的大小,在18世纪,数学家将角抽象出来,引入了角度的概念。
角度的度量以圆为标准,将一个圆周平均分成360个部分,每一部分称为一度(°)。
通常用“度”来表示角的大小,例如60°,120°等。
在平面几何中,一个角的大小范围是0到360度之间。
3. 角的性质- 一个角的度数不能为负数或大于360度;- 角的度数不随其所在图形的大小和位置而改变;- 零角是由一条线段本身所组成的,即角的两条边在同一直线上;- 平角是指由两条互相垂直的线段所构成的角,它的度数是180°;- 对于一个角的两条边,边的长度不会影响角的大小。
二、角的分类1. 锐角一个角的度数小于90度时,它被称为“锐角”。
锐角是尖锐的,其顶点的两侧相对边缘越来越接近,但不重合。
锐角反映了两个线段之间的相对位置,例如一个45度锐角是一半的90度直角。
2. 直角当一个角的度数等于90度时,它被称为“直角”。
直角是非常重要的概念,在几何中经常会出现。
例如,矩形就是由四个直角组成的图形。
3. 钝角当一个角的度数大于90度小于180度时,它被称为“钝角”。
钝角比锐角要“慢”,其两侧相对边缘相互分开,而不是相互靠近。
钝角强调线段之间跨度的宽度,例如一个135度的钝角是一半的270度的横跨的角。
4. 全角一个完整的角,其度数为360度,被称为“全角”。
全角就像一个能围绕一圈的“弧”,它是把一个圆沿圆周分成等长度的部分形成。
圆中有关的角
1、如图,已知AB、CD是⊙O的两条直径,弦DE//AB,如果为40°的弧,求∠BOC的度数。
2、如图,△ABC是等边三角形,P为上任意一点,求证:PA=PB+PC
3、如图,已知∠E=30°,AB=BC=CD;求∠ACD的度数。
4、如图,已知⊙O的弦AB、CD相交于E、的度数为60°的度数为100°;
求∠AEC的度数。
5、如图,以O为圆心,∠AOB=120°,弓形高ND=4cm,矩形EFGH的两个顶点E、F在弦AB上,
H、G在上,且EF=4HE;求HE的长。
6、如图,⊙O的弦AB与半径OC交于F,AF=3,BF=5,CF=1;求⊙O的半径。
7、如图所示,⊙O中,AB、AC为两条弦,且∠BAC=120°,AB=AC=3cm,
求⊙O的直径。
8、如图,以的顶点A为圆心,AB为半径作圆,交AD、BC于E、F,延长BA交⊙
A于G,求证:
9、如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,D、E在⊙O上;求证:BD=DE
10、如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、
AD、BD的长。
11、如图,BC为⊙O的直径,A D⊥BC,垂足为D,,BF与AD交于E。
(1)求证:AE=BE;
(2)若A、F把半圆三等份,BC=12,求AE的长。
12、如图,⊙O的半径为5,弦AB=53,C是⊙O上一点,求∠ACB的度数。
13、如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=40°,求∠DCF的度数。
14、如图,AB是⊙O的直径,C D⊥AB于D,AD=9cm,DB=4cm,求CD、AC的长。
15、如图,AB、CD是⊙O的弦,∠A=∠C。
求证:AB=CD
16、如图,AB是半圆的直径,O是圆心,C是半圆上一点,E是弧AC的中点,OE交弦AC
于D,若AC=8,DE=2,求OD的长。
2,A为弧BD的中点,E为弦AC的中点,且在BD上。
求:17、如图,⊙O半径是2,弦BD=3
四边形ABCD的面积。