一轮优化探究理数(苏教版)课件：第十一章 第九节 二项式定理

学案62 二项式定理导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．自主梳理1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a a n ＋C 1n a a n －1b 1＋…＋C r n a a n －r b r ＋…＋C n n a b n (n ∈N *)，这个公式叫做__________．①二项展开式：右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．③二项式系数：在二项展开式中各项的系数__________(r ＝____________)叫做二项式系数．④通项：在二项展开式中的____________________叫做二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项为展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝____________________________.2．二项式系数的性质(1)C m n ＝C n －m n ；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r <n －12时，______________________；当r >n －12时，C r ＋1n <C rn ； (4)当n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________________________取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数______________________________、__________________________相等，且同时取得最大值；(5)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝______，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝______.自我检测1．(2011·福建改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于________．2．(2011·陕西改编)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．3．(2010·四川)⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是______．4．(2011·山东)若(x －ax2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．5．已知n 为正偶数，且⎝⎛⎭⎫x 2－12x n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是______．(用数字作答)探究点一 二项展开式及通项公式的应用例1 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．变式迁移1(2010·湖北)在(x＋43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．探究点二二项式系数的性质及其应用例2(1)求证：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n·2n－1；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．变式迁移2(2010·上海卢湾区质量调研)求C22n＋C42n＋…＋C2k2n＋…＋C2n2n的值．探究点三求系数最大项例3已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．变式迁移3 (1)在(x ＋y )n 的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于________．(2)已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n ，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而第r ＋1项的系数为C r n an －r b r. 2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意：C r n an －r b r 是第r ＋1项，而不是第r 项． 3．在(a ＋b )n 的展开式中，令a ＝b ＝1，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ；令a ＝1，b ＝－1，得C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＝0，∴C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”．4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n .(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n 不是很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx .利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·山东实验中学模拟)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有________项．2．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．3．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x a n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．4．(2010·烟台高三一模)如果⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是________．5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________．6．(2011·湖北)(x －13x)18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)7．(2010·济南高三一模)(x －12x)6的展开式中的常数项为________．8.⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 210的展开式中的常数项是________． 二、解答题(共42分)9．(14分)(1)设(3x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4. ①求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； ②求a 0＋a 2＋a 4； ③求a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)．10．(14分)利用二项式定理证明对一切n ∈N *，都有2≤⎝⎛⎭⎫1＋1n n <3.11．(14分)已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．学案62 二项式定理答案自主梳理1．(1)二项式定理 ②n ＋1 ③C r n 0,1,2，…，n ④C r n an －r b rC r n a n －r b r 2.(3)C r n <C r ＋1n(4)C n 2n C n ＋12n C n －12n(5)2n 2n －1 自我检测 1．40解析 (1＋2x )5的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r ，令r ＝2，得x 2的系数为22·C 25＝40.2．15解析 设展开式的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )r ·(－2－x )6－r ，即T r ＋1＝C r 6·(－1)6－r ·22rx ·2rx －6x ＝C r 6·(－1)6－r ·23rx －6x ，∴3rx －6x ＝0恒成立．∴r ＝2，∴T 3＝C 26·(－1)4＝15.3．－160x4．4 解析 (x －a x 2)6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r ·(a )r ·x －2r ＝C r 6x 6－3r (－1)r ·(a )r . 令6－3r ＝0，得r ＝2.故C 26(a )2＝60，解得a ＝4.5．－52解析 n 为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n ＝6，第4项系数为C 36⎝⎛⎭⎫－123＝－52. 课堂活动区例1 解题导引 (1)通项T r ＋1＝C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式的第r ＋1项，而不是第r 项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C r n ，r ＝0,1,2，…，n ，与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．解 (1)通项公式为T r ＋1＝C r n xn －r 3⎝⎛⎭⎫－12r x －r3＝C r n⎝⎛⎭⎫－12r x n －2r 3，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2， ∴所求的系数为C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎨⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N .令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈N ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2. 变式迁移1 6解析 展开式的通项T r ＋1＝C r 20·x20－r ·(43y )r ＝C r 20·x 20－r ·y r ·3r 4. 由0≤r ≤20，r4∈Z 得r ＝0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有6项．例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C 0n ＝C n n ＝C n ＋1n ＋1，C k n＝C n －k n ，k C k n ＝n C k －1n －1等式子的变形技巧；(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f (x )、除式g (x )[g (x )≠0]、商式q (x )与余式的关系及余式的范围．(1)证明 方法一 设S ＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋(n －1)·C n －1n ＋n C n n ， ① ∴S ＝n C n n ＋(n －1)C n －1n ＋(n －2)C n －2n ＋…＋2C 2n ＋C 1n ＝n C 0n ＋(n －1)C 1n ＋(n －2)C 2n ＋…＋2C n －2n ＋C n －1n ，②①＋②得2S ＝n (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝n ·2n .∴S ＝n ·2n －1.原式得证． 方法二 ∵k n C k n ＝k n ·n ！k ！(n －k )！＝(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝C k －1n －1，∴k C k n ＝n C k －1n －1.∴左边＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋…＋n C n －1n －1 ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1＝右边．(2)解 S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数． 故S 被9除的余数为7.变式迁移2 解 (1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n . 令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n＝22n ； 再令x ＝－1得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n 2n＝0.两式相加，再用C 02n ＝1，得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n ＝22n2－1＝22n －1－1.例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n 是偶数，则中间一项[第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项]的二项式系数最大；如果n 是奇数，则中间两项[第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项]的二项式系数相等且最大；(2)求展开式系数最大的项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项． 解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为 f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n . 由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0， ∴2n ＝－31(舍)，或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25⎝⎛⎭⎫x 233(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫x 232(3x 2)3＝270x 223. (2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r )． 假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. 故展开式中系数最大的项为T 5＝405x 263.变式迁移3 11,12,13(1)解析 分三种情况：①若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11,12,13.(2)解 (ⅰ)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (ⅱ)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.∴9.4≤k ≤10.4.∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.课后练习区1．5 2.－2 3.7 4.21 5．－121解析 (1－x )5中x 3的系数为－C 35＝－10，(1－x )6中x 3的系数为－C 36＝－20，(1－x )7中x 3的系数为－C 37＝－35，(1－x )8中x 3的系数为－C 38＝－56.所以原式中x 3的系数为－10－20－35－56＝－121.6．17解析 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x18－r (－13x)r ＝(－1)r (13)r C r 18x 18－3r2. 令18－3r2＝15，解得r ＝2.∴含x 15的项的系数为(－1)2(13)2C 218＝17.7．－52解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－12r ·x －r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 6·x 6－2r ， 令6－2r ＝0，得r ＝3.∴常数项为T 3＋1＝⎝⎛⎭⎫－123C 36＝－52. 8．4 351解析 ⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 210＝⎣⎡⎦⎤(1＋x )＋1x 210＝C 010(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2＋C 210(1＋x )81x 4＋C 310(1＋x )71x 6＋C 410(1＋x )61x8＋…， 从第五项C 410(1＋x )61x8起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C 010×C 010，C 110×C 29，C 210×C 48，C 310×C 67.故原三项展开式中常数项为C 010C 010＋C 110C 29＋C 210C 48＋C 310C 67＝4 351. 9．解 (1)①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16. (3分) ②令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－3－1)4＝256， 而由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16， 两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝136. (6分)③令x ＝0得a 0＝(0－1)4＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4－a 0 ＝16－1＝15.(9分)(2)证明 ∵32n ＋2－8n －9＝32·32n －8n －9 ＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n －8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C n n·1)－8n －9 (12分)＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9 ＝9×82×(8n －2＋C 1n ·8n －3＋…＋C n －2n )＋64n ＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n ]，显然括号内是正整数，∴原式能被64整除． (14分)10．证明 因为⎝⎛⎭⎫1＋1n n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·⎝⎛⎭⎫1n 2＋C 3n ·⎝⎛⎭⎫1n 3＋…＋C n n ·⎝⎛⎭⎫1n a n ＝1＋1＋12！ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋13！ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋1n ！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n …⎝⎛⎭⎫1n .(4分)所以2≤⎝⎛⎭⎫1＋1n n <2＋12！＋13！＋…＋1n ！(7分)<2＋11·2＋12·3＋…＋1(n －1)n＝2＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝3－1n<3，(10分) 仅当n ＝1时，⎝⎛⎭⎫1＋1n n ＝2；(12分)当n ≥2时，2<⎝⎛⎭⎫1＋1n n <3. 故对一切n ∈N *，都有2≤⎝⎛⎭⎫1＋1n n <3. (14分)11．解 由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101，化简得n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．(2分) (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(4分)(2)通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝C r 8·(－2)r·x 8－r2－2r ， 令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1.故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.(8分)(3)设展开式中的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为C r －18·2r －1，C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1，若第r ＋1项的系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r －18·2r －1≤C r 8·2r，C r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r ，解得5≤r ≤6.(12分)又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 792x －11. 由n ＝8知第5项二项式系数最大． 此时T 5＝1 120x －6.(14分)。

§10.3二项式定理1.二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数.式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，用T r＋1表示，即展开式的第r＋1项：T r＋1＝C r n a n－r b r.2.二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .3.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n－mn.(2)增减性与最大值：二项式系数C r n，当r <n ＋12时，二项式系数是递增的；当r >n ＋12时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大.当n 是奇数时，那么其展开式中间两项21+n T 和121++n T 的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n . 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n＋…＝2n －1.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项. (×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项. (×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关. (√)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项. (×) 2.(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于________.答案40解析T r＋1＝C r n a n－r b r＝C r515－r(2x)r＝C r5×2r×x r，令r＝2，则可得含x2项的系数为C25×22＝40.3.在(x2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________.答案7解析由题意有n＝8，T r＋1＝C r8(12)8－r(－1)r x8－43r，r＝6时为常数项，常数项为7.4.已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n等于________.答案63解析逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝26－C0n＝64－1＝63.5.设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.答案0解析a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C1021，所以a10＋a11＝C1021－C1121＝0.题型一求二项展开式的指定项或指定项系数例1 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项.思维启迪 先根据第6项为常数项利用通项公式求出n ，然后再求指定项. 解 (1)通项公式为 T r ＋1＝C r n 3rn x- ⎝⎛⎭⎫－12r x －r 3＝C r n ⎝⎛⎭⎫－12r 32rn x -.因为第6项为常数项，所以r ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z0≤r ≤10r ∈N，令10－2r 3＝m (m ∈Z )，则10－2r ＝3m ，r ＝5－32m ，∵r ∈N ，∴m 应为偶数.∴m 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2.思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可.(1)(2013·江西改编)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________.(2)(x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________.答案 (1)40 (2)40解析 (1)T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ， 令10－5r ＝0得r ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40. (2)令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此(x ＋1x )(2x －1x )5展开式中的常数项即为(2x －1x )5展开式中1x 的系数与x 的系数的和.(2x －1x)5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1)r ·x －r ＝C r 525－r x 5－2r ·(－1)r . 令5－2r ＝1，得2r ＝4，即r ＝2，因此(2x －1x )5展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2r ＝－1，得2r ＝6，即r ＝3，因此(2x －1x )5展开式中1x的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40.所以(x ＋1x )(2x －1x )5展开式中的常数项为80－40＝40.题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题例2在(2x －3y )10的展开式中，求：(1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.思维启迪 求二项式系数的和或各项系数的和的问题，常用赋值法求解. 解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1， ①令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11.(1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和.解 (1)由已知得C 1m ＋2C 1n ＝11，∴m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1) ＝m 2－m 2＋(11－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1 ＝⎝⎛⎭⎫m －2142＋35116. ∵m ∈N *，∴m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， ∴f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3. 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30.题型三二项式定理的应用例3(1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位)思维启迪(1)将已知式子按二项式定理展开，注意转化时和25的联系；(2)近似值计算只要看展开式中的项的大小即可.解(1)原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋C n－2n52＋C n－15＋C n n)＋5n－an＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋C n－2n52)＋25n＋4－a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C08＋C18·0.02＋C28·0.022＋C38·0.023≈1.172.思维升华(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.(1)(2012·湖北改编)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a等于________.(2)S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数为________.答案(1)12(2)7解析(1)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C02 012522 012－C12 012522 011＋…＋C2 011×52×(－1)2 011＋2 012×(－1)2 012＋a.C2 0122 012因为52能被13整除，所以只需C2 012×(－1)2 012＋a能被13整除，2 012即a＋1能被13整除，所以a＝12.(2)S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是整数，∴S被9除的余数为7.混淆二项展开式的系数与二项式系数致误典例：(14分)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992.求在⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中， (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项.易错分析 本题易将二项式系数和系数混淆，利用赋值来求二项式系数的和导致错误；另外，也要注意项与项的系数，系数的绝对值与系数的区别. 规范解答解 由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n ＝32，解得n ＝5.[2分] (1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即C 510＝252.∴二项式系数最大的项为 T 6＝C 510(2x )5⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－8 064.[8分] (2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大，∴T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 10·210－k ·x 10－2k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10≥2C k －1102C k 10≥C k ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－k ≥2k ，2(k ＋1)≥10－k ，解得83≤k ≤113，[12分]∵k ∈Z ，∴k ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项， T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.[14分] 温馨提醒 (1)本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念.(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同；项数和项的不同.(3)本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别.方法与技巧1.通项为T r＋1＝C r n a n－r b r是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，而不是第r项，这里r＝0,1，…，n.2.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.4.运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.失误与防范1.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.2.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.3.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.4.在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a、b.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、填空题1.(2012·天津改编)在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为________. 答案 －40解析 因为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 525－r x 10－2r (－1)r x －r ＝C r 525－r (－1)r x 10－3r ， 令10－3r ＝1，得r ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 2.(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于________. 答案 7解析 (1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6，由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7. 3.(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________. 答案 15解析 设展开式的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )6－r ·(－2－x )r ＝C r 6·(－1)r ·212x －2rx ·2－rx ＝C r 6·(－1)r ·212x －3rx ，∴12x －3rx ＝0恒成立.∴r ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 4.若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为________.答案 4解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)， ∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.5.若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于________. 答案 32(3n －1)解析 在展开式中，令x ＝2得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n －1).6.二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________.(用数字作答) 答案 10 解析T r ＋1＝C r 5x5－r y r (r ＝0,1,2,3,4,5)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝2r ＝3，∴含x 2y 3的系数为C 35＝10.7.(2012·浙江)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________. 答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r ·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.8.(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________. 答案 0解析 ∵T r ＋1＝C r 20(－21x )r ＝(－1)r·C r 20·2r x ， ∴x 与x 9的系数分别为C 220与C 1820. 又∵C 220＝C 1820，∴C 220－C 1820＝0.二、解答题9.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1. ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187. 10.已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n ， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n，∴n 2－21n ＋98＝0. ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8. ∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432.(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去).设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1. ∴9.4≤k ≤10.4，∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16 896x 10. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1.若(x ＋a )2(1x －1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为________.答案 1或9解析 由于(x ＋a )2＝x 2＋2ax ＋a 2，而(1x －1)5的展开式通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·x r －5，其中r ＝0,1,2，…，5.于是(1x －1)5的展开式中x －2的系数为(－1)3C 35＝－10，x －1项的系数为(－1)4C 45＝5，常数项为－1，因此(x ＋a )2(1x －1)5的展开式中常数项为1×(－10)＋2a ×5＋a 2×(－1)＝－a 2＋10a －10，依题意－a 2＋10a －10＝－1，解得a 2－10a ＋9＝0，即a ＝1或a ＝9. 2.若(3x －1x )n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为________.答案 －405解析 令x ＝1得2n ＝32，所以n ＝5， 于是(3x －1x)5展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5(3x )5－r (1x )r ＝(－1)r C r 535－r x 5－2r ， 令5－2r ＝3，得r ＝1，于是展开式中含x 3的项的系数为(－1)1C 1534＝－405，故选C.3.从(4x ＋1x )20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为________.答案 27解析 (4x ＋1x)20的展开式通项为T r ＋1＝C r 20(4x )20－r (1x)r ＝C r 20r x 435-，其中r ＝0,1,2，…，20. 而当r ＝0,4,8,12,16,20时，5－34r 为整数，对应的项为有理项，所以从(4x ＋1x )20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为P ＝621＝27. 4.(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________. 答案 －240解析 ∵T r ＋1＝(－1)r C r 10x 10－r y r ， ∴－C 310＋(－C 710)＝－2C 310＝－240.5.在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答). 答案 7解析 由条件易知(1＋x )3、(1＋x )3、(1＋3x )3展开式中x 的系数分别是C 13、C 23、C 33， 即所求系数是3＋3＋1＝7.6.若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2的值为________. 答案 1解析 设f (x )＝(2－x )10，则 (a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2 ＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10) ＝f (1)f (－1)＝(2－1)10(2＋1)10＝1. 7.设函数f (x ，y )＝(1＋my)x (m >0，y >0).(1)当m ＝3时，求f (6，y )的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4，且a 3＝32，求∑i ＝04a i ；(3)设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足f (n,1)＝m n f (n ，t )，求证：f (2 010,1 000t )>7f (－2010，t ).(1)解 f (6，y )＝(1＋m y )6，故展开式中二项式系数最大的项是第4项T 4＝C 36(3y )3＝540y 3. (2)解 f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4＝(1＋m y)4，a 3＝C 34m 3＝32，所以m ＝2. i ＝04a i ＝(1＋21)4＝81.(3)证明 由f (n,1)＝m n f (n ，t )， 得(1＋m )n＝m n(1＋m t )n ＝(m ＋m 2t)n ，即1＋m ＝m ＋m 2t，m ＝t ，f (2 010,1 000t )＝(1＋m 1 000t)2 010＝(1＋11 000)2 010>1＋C 12 01011 000＋C 22 010(11 000)2＋C 32 010(11 000)3＋C 42 010(11 000)4>1＋2＋2＋43＋23＝7.而f (－2 010，t )＝(1＋m t )－2 010＝(1＋1t )－2 010<1.故f (2 010,1 000t )>7f (－2 010，t ).。

一、填空题1．(x y －y x)6的展开式中，x 3的系数等于________． 解析：设含x 3项为第(k ＋1)项，则T k ＋1＝C k 6·(x y )6－k ·(－y x )k ＝C k 6·x 6－k ··(－y )k ·＝C k 6···(－y )k ， ∴6－k －k 2＝3，即k ＝2，∴T 3＝C 26·x 3·1y 2·y 2＝C 26·x 3，其系数为C 26＝6×52＝15.答案：15(只写C 26或C 46也可)2．已知n 为正偶数，且(x 2－12x )n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是________．(用数字作答)解析：n 为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n ＝6，第4项系数为C 36(－12)3＝－52. 答案：－523．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.(用数字作答)解析：由题设令x ＝0得a 0＝(－2)5＝－32，令x ＝1得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝(1－2)5＝－1，故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－(－32)＝31.答案：314．(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．解析：(1＋x ＋x 2)(x －1x )6＝(1＋x ＋x 2)·(C 06x 6(－1x )0＋C 16x 5(－1x )1＋C 26x 4(－1x )2＋C 36x 3·(－1x )3＋C 46x 2(－1x )4＋C 56x (－1x )5＋C 66x 0(－1x)6)＝(1＋x ＋x 2)(x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6)． 所以常数项为1×(－20)＋x 2·15x 2＝－5.答案：－55．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________．(用数字作答)解析：由条件易知(1＋x )3，(1＋x )3，(1＋3x )3展开式中x 项的系数分别是C 13，C 23，C 33，即所求系数是3＋3＋1＝7答案：76．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________.解析：(1＋2)5＝C 05(2)0＋C 15(2)1＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292，由已知，得41＋292＝a ＋b 2，∴a ＋b ＝41＋29＝70.答案：707．(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________．解析：－C 310＋(－C 710)＝－2C 310＝－240.答案：－2408．(x y －y x )4的展开式中x 3y 3的系数为________．解析：(x y －y x )4＝x 2y 2(x －y )4，只需求(x －y )4的展开式中含xy 项的系数：C 24＝6.答案：69．若(1－2x )2 009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 009x 2 009(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009的值为________．解析：a r ＝(－1)r C 2 009－r 2 009·12 009－r ·2r ，则a 1，a 2，…，a r 都能表示出来，则a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009＝(－1)r C 2 009－r 2 009＝(1－2)2 009＝－1. 答案：－1二、解答题10．设(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5；(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2.解析：设f (x )＝(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(－3)5＝－243.(1)∵a 5＝25＝32，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝f (1)－32＝－31.(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－f (－1)＝243.(3)∵f (1)－f (－1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，∴a 1＋a 3＋a 5＝2442＝122. (4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5)＝f (1)×f (－1)＝－243.11．已知(a 2＋1)n 的展开式中各项系数之和等于(165x 2＋1x)5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．解析：由( 165x 2＋1x )5得，T k ＋1＝C k 5(165x 2)5－k (1x)k ＝令T k ＋1为常数项，则20－5k ＝0，∴k ＝4，∴常数项T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，∴C 24a 4＝54，∴a ＝±3.12．已知(x －124x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．解析：依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n (12)，C 2n (12)2，且2C 1n ·12＝1＋C 2n (12)2，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，∴展开式的第k ＋1项为C k 8(x )8－k (－124x )k(1)证明：若第k ＋1项为常数项，当且仅当16－3k 4＝0，即3k ＝16，∵k ∈Z ，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k 4为整数， ∵0≤k ≤8，k ∈Z ，∴k ＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.。

第3讲 二项式定理分层训练B 级 创新能力提升1．(2010·四川卷)⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________． 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中第4项为T 3＋1＝C 3623·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x . 答案 －160x2．(2011·安徽卷)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.解析 T r ＋1＝C r 21x 21－r (－1)r ＝(－1)r C r 21x21－r ， 由题意知a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，∴a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.答案 03．(2011·浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．解析 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 12r ＝C r 6(－a )r x 6－32r ， B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a ＞0，∴a ＝2.答案 24．(2011·新课标全国卷改编)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．解析 令x ＝1，由已知条件1＋a ＝2，则a ＝1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＋C 25(2x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋C 35(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＋C 45(2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝32x 5－80x 3＋80x －401x ＋101x 3－1x 5，则常数项为40.答案 405．(2013·天一中学，淮阴中学，海门中学调研)把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i 行共有2i －1个正整数，设a ij (i ，j ∈N *)表示位于这个数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数．(1)求a 69的值；(2)用i ，j 表示a ij ；(3)记A n ＝a 11＋a 22＋a 33＋…＋a nn (n ∈N *)，求证：当n ≥4时，A n >n 2＋C 3n .12 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15… … … … …(1)解 a 69＝25＋(9－1)＝40.(2)解 ∵数表中前(i －1)行共有1＋2＋22＋…＋2i －2＝(2i －1－1)个数，则第i 行的第一个数是2i －1，∴a ij ＝2i －1＋j －1.(3)证明 ∵a ij ＝2i －1＋j －1，则a nn ＝2n －1＋n －1(n ∈N *)，∴A n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)＋[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2n－1＋n (n －1)2， 当n ≥4时，A n ＝(1＋1)n －1＋n (n －1)2>C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋C 3n －1＋n (n －1)2＝n 2＋C 3n .6．(2012·苏锡常镇调研)从函数角度看，组合数C r n 可看成是以r 为自变量的函数f (r )，其定义域是{r |r ∈N ，r ≤n }．(1)证明：f (r )＝n －r ＋1rf (r －1)； (2)利用(1)的结论，证明：当n 为偶数时，(a ＋b )n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大．证明 (1)∵f (r )＝C r n ＝n ！r ！(n －r )！，又∵f (r －1)＝C r －1n ＝n ！(r －1)！(n －r ＋1)！， ∴n －r ＋1r f (r －1)＝n －r ＋1r n ！(r －1)！(n －r ＋1)！ ＝n ！r ！(n －r )！. 则f (r )＝n －r ＋1r f (r －1)成立． (2)设n ＝2k ，∵f (r )＝n －r ＋1r f (r －1)，f (r －1)>0，∴f (r )f (r －1)＝2k －r ＋1r . 令f (r )≥f (r －1)，∴2k －r ＋1r≥1. 则r ≤k ＋12(等号不成立)．∴r ＝1,2，…，k 时，f (r )>f (r －1)成立．反之，当r ＝k ＋1，k ＋2，…，2k 时，f (r )<f (r －1)成立．∴f (k )＝C k 2k 最大．即(a ＋b )n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大.。