2014线代B 答案(1)

(A)若A,Bபைடு நூலகம்可逆，则A+B也可逆；(B)若A,B皆可逆，则AB也可逆；
(C)若A+B皆可逆，则A－B也可逆；(D)若A+B可逆，则A,B皆可逆．
4、若n维向量组 线性相关，则向量组内可由向量组的其余向量线性表出．
(A)任何一个向量；(B)没有一个向量；
(C)至少有一个向量；(D)至多有一个向量．
六、（15分）设 是非齐次线性方程组 的一个解， 是对应齐次方程组的一个基础解系．试证
（1） ， 线性无关；
（2） ， 是非齐次方程组 的（n-r+1）个线性无关的解．
5、非齐次线性方程组 有非零解是条件成立．
(A)rankA=5；(B)rank(A∣b)=5；
(C)rankA= rank(A∣b)=5；(D)rankA= rank(A∣b)=4．
三、（15分）计算行列式 的值．
四、（15分）已知向量组 ，在该向量组中求 的一组基，并把其余向量用这组基表示．
五、（15分）当a，b为何值时，线性方程组 无解，有唯一解，有无穷解？当有无穷多解时求通解．
二、选择题（每小题5分，共20分）
1、设n阶矩阵A与B等价，则必有
(A)当 时， ；(B)当 时， ；
(C)当 时， ；(D)当 时， ．
2、设A为三阶矩阵，将A的第二行加到第一行得B，再将B的第一列的－1倍加到第二列得C，记 ，则
(A) (B) (C) (D)
3、设A,B皆为n阶方阵，则以下结论正确的是

线性代数期末试题一、填空题 （每小题3分，共15分）1．设3阶矩阵A 与B 相似，且B 的特征值为1,2,2，则14A E --=2．若四阶行列式的第1行元素依次为1,0,2,,a - 第3行元素的余子式依次为5,6,4,1,-则a =_________3．若向量组1(,1,1,1)T αλ=，2(1,,1,1)T αλ=，3(1,1,,1)T αλ=，4(1,1,1,)T αλ=，其秩为3，则 λ=4．设方阵A 满足方程2(0),A bA cE O c ++=≠ E 为单位矩阵，则=-1A5. 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A 和B 都是n 阶方阵, 下列正确的是( )（A ） 222()2A B A AB B +=++ （B ）111()A B A B ---+=+（C ）若0AB =, 则0A =或0B = （D ）()T T T AB A B =2．设,,A B C 均为n 阶方阵，且AB BC CA E ===. 则222A B C ++=（ ）（A ） 3E （B ） 2E （C ） E （D ） 03．设βααα,,,321均为n 维向量，又βαα,,21线性相关，βαα,,32线性无关，则下列正确的是（ ）（A ）321,,ααα线性相关 （B ）321,,ααα线性无关 （C ）1α可由βαα,,32线性表示 （D ）β可由21,αα线性表示4．设A 和B 都是n 阶非零方阵, 且0AB =, 则A 的秩必( )（A ）等于n （B ）小于n （C ）大于n （D ）不能确定5．设n 阶矩阵A 的伴随阵为12340,,,,A ηηηη*≠是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解向量, 则0Ax = 的基础解系向量个数为 ( )（A ）不确定 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个三、（10分） 已知2AB A B =+， 其中110011101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求B 四、（12分）设向量组1(2,1,4,3)T α=，2(1,1,6,6)T α=--，3(1,2,2,9)T α=---，4(1,1,2,7)T α=-，5(2,4,4,9)T α=. 求该向量组的最大无关组向量，并把其余向量用最大无关组向量线性表示.五、（13分）设矩阵433231213A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1.求A 的特征值与特征向量；2. 判断A 是否可以对角化，并说明理由.六、（15分）讨论λ取何值时, 线性方程组1231232123244x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩1.有惟一解；2. 无解；3.有无穷多个解, 并求其通解.七、（10分）设123,,ααα均为三维列向量，矩阵123(,,)A ααα=，且1A =. 若123123123(,23,34)B ααααααααα=++++++ ，计算B .八、（10分）设0ξ是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r -ξξξ 是对应的齐次线性方程组的基础解系. 证明： 向量001010,,,n r n r --==+=+ηξηξξηξξ是非齐次线性方程组Ax b =线性无关的解向量.线性代数 解答一、填空题1. 3 ;2. -3 ; 3 -3 ; 4. A bEc+-; 5. 2 二、单项选择题1. C;2. A;3. C;4. B;5. D三、(2)A E B A += ⇒ 1(2)B A E A -=+～100011010101001110⎛-⎫ ⎪ - ⎪⎪ -⎭⎝011101110B ⎛-⎫⎪=- ⎪⎪-⎭⎝四、 ()1234521112101041121401103,,,,,46224000133697900000A ααααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即124,,ααα为一个极大无关组. 312,ααα=-- 5124433.αααα=+-五、2433231(2)(4)0,213A E λλλλλλ----=--=--=-A 的特征值1234, 2.λλλ===由0331014211011,211000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 基础解系为111,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ得对应1λ=0的全部特征向量为111111,(0)1k k k ⎛⎫⎪=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭ξ由2331002211011,211000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基础解系为201,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ对应232λλ==的全部特征向量为222,(0)k k ≠ξ；2.不能对角化。

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。

说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.21-C.21D.23.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2115.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】A.0B.1C.2D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错误、不填均无分、 6.设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是7.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T)2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为11.设向量组TT T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 15.设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定， 则实数t 的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013=D 的值。

2014-2015-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、32 2 、3 3 、1 4、2 5、0二（每小题3分，共15分）1 B2 B3 C4 A5 D三（5分）0321103221036666=D ……………………………………………………（2分） 40000400121011116---=…………………………………………… （2分）96-=……………………………………………………………（1分）四（10分）1-=A ，A 可逆…………………………………………………（1分） 121)(---=-=A A E A A B ……………………………………………………（4分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→100100110010211001,E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ……………………………………………………………（4分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000120B …………………………………………………………………（1分） 五（15分）()211111211112-=-----λλλλλλλ………………………………………………（5分） 0≠λ且2≠λ时，有唯一解…………………………………………………（2分）2=λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100051103111111111133111,b A3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解…………………………………………（3分）0=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001111111111111111,b A3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，1321+--=x x x 取2312,c x c x ==得方程组通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00110101121321c c x x x x ………………………（5分）六（12分）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000010000712100230102301085235703273812,,,,54321a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000100000121002301……………………………………（4分） 向量组秩为3，……………………………………………………………（2分） 一个最大无关组为：521,,a a a ……………………………………………（2分） 21323a a a +=………………………………………………………………（2分） 2152a a a -=…………………………………………………………………（2分） 七（10分）证明：设存在数1k ，2k ，3k ，使0332211=++βββk k k ………………（2分） 将1β，2β，3β带入并整理得0)32()()2(33212321131=+-+-+-++αααk k k k k k k k …………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+03200232132131k k k k k k k k ， 因0312111201=---，故齐次线性方程组有非零解，…………………（4分）从而存在1k ，2k ，3k 不全为零，使0332211=++βββk k k ，从而1β，2β，3β是线性相关的。

x1 x3 = 四、（12 分）问 为何值时, 线性方程组 4 x1 x2 2 x3 = +2 有解，并求出解的一般形式. 6 x x 4 x =2 +3 3 1 2
2013-2014 学年第二学期《线性代数 B》期终考试试卷(A 卷)
六、 （12 分）设 V 为所有二阶对称方阵按照通常矩阵的加法和数乘运算构成的线性空间，在 V 上定义如下变换：对任意 A V , T ( A) (1) 证明： T 是 V 上的一个线性变换； (2）求变换 T 在基 A1
a b 1、 行列式 b 1
b a b 2
T
b b a 3
b b 的第四行元素的代数余子式之和 A41 A42 A43 A44 b 4
T T
.
0 1 0 1 1 X AX B ，求 X . 二、（10 分）解矩阵方程: 设 A 1 1 1 ， B 2 0 1 0 1 5 3
1
.
审核教师签名： 课名：线性代数Ｂ
)、期终考试(√)、重考( )试卷
.
考试考查：考试
年级 题号 得分
专业 一
二
学号 三

四
姓名 五
六
任课教师 七 总分
.
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分 100 分．考试时间为 120 分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）
一、填空与单项选择题（每小题 4 分，共 32 分）
五、 （12 分）求一个正交变换 x Py, 把二次型 f 4x2 3x3 4x1 x2 4x1 x3 +8x2 x3 化为标准
2 2
形，并写出标准形．

1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

xi x j 的正定性。
i =1
1i jn
3. (16 分) 设二次型 f ( x1, x2, x3 ) = xT Ax = ax12 + 2x22 − 2x32 − 2bx1x3 (b 0) ，其中 A 的特征值之 和为 1，特征值之积为 −12 。(1) 求参数 a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型 f ( x1, x2, x3 ) 化 为标准形，并写出正交变换和标准形；(3) f ( x1, x2, x3 ) = 1 表示何种曲面？(重要)
)。 (D) P2P1−1
7. 设矩阵 A, B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB = C ，且 B 可逆，则( )。
(A) C 的行向量组与 A 的行向量组等价 (B) C 的列向量组与 A 的列向量组等价
(C) C 的行向量组与 B 的行向量组等价 (D) C 的列向量组与 B 的列向量组等价
8. 不可对角化的矩阵的是( )。
⎛ 2 −2 2 1
=
⎜ ⎜
2
2 −2
1
⎜⎝ −2 2 2
⎛1 1
三、1. 解
B
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
1 −1
⎜
⎝3 2
⎞ ⎛1 0 0 1 4 1 4 0 ⎞
⎛1 1
⎟ ⎟
→
⎜ ⎜
0
1⎟⎠ ⎜⎝ 0
1 0
0 1
0 14
14 0
1
4
⎟ ⎟
，(6
分)
1 4⎟⎠
X
=
1 4
⎜ ⎜
0
⎜⎝ 1
1 0
1 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 −1 −1 −1 ⎞
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2014年秋季学期《高等代数 》课程期末考试试卷（B 卷）注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单项选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1、下列命题为真的是( ).A. 最大公因式是唯一的；B. 有理数域是最小的数域；C. 若2()()p x f x , 则()p x 是()f x 二重因式；D.若()f x 有重根, 则()f x有重因式, 反之亦然。

2、排列318742695的逆序数是 （ ）(A)8 ； (B)14 ； (C)10 ； (D) 都不对3、设 1=k h d g fe c ba ，则=---khd g fe cb a 621226 ( ).A.0B. -12C.-24D.64. 设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则下列命题为假的是（ ）.A. 如果r ααα,,,21Λ线性无关，则它必是s ααα,,,21Λ的一个极大线性无关组；B. 如果每个向量)1(s i i ≤≤α都可以由向量组s ααα,,,21Λ的一个部份组it i i ααα,,,21Λ线性表出，则r t =C. 如果向量组t βββ,,,21Λ的秩为r ，则t βββ,,,21Λ一定与s ααα,,,21Λ等价D. 如果向量组t βββ,,,21Λ与s ααα,,,21Λ等价，则t βββ,,,21Λ的任何r 个线性无关的向量都是它的极大线性无关组5、A, B 为n 阶方阵，下列结论正确的是（ ）1. 若1=AB , 则B 可逆；2.,AB AC B C ==若则；3. 0,00AB A B ===若则或;4. 若1=AB , 则无法判断A 可逆。

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111211120A ，则=1-A ； 2. 一个向量组的一部分线性相关，则整个向量必 ，如果一向量线性无关，则它的任意一个部分组必 。

3、B AXA =，A 可逆，则=X4、设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********,,（1）的系数矩阵与增广矩阵分别为A 和A ，则（1）有解的充要条件是 ，（1）有无穷多个解的充要条件是 .5、13-x 在有理数域, 复数域上的标准分解式为 , .B AXA =三、计算题（每小题8分，共24分）1．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x , 其中53()258f x x x x =--,()3g x x =+;三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名命题教师 审题教师…………….………….……试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………2．计算行列式2464273271014543443342721621-3. 用非退化线性替换化下列二次型为标准型, 并利用矩阵验算所得结果:121323422x x x x x x -++;四、（本题14分）讨论λ取什么值时, 下列方程组有解, 并求解:12312321231,,;x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩五、（本题10分）如果,==AB BA AC CA , 证明:()(),()().+=+=A B C B C A A BC BC A六、（本题12分）证明: 如果向量组12,,,r αααL 线性无关,而12,,,,r αααβL 线性相关,则向量β可由12,,,r αααL 线性表出.七、（本题10分）若21，33=∈⨯A RA ， 求*10)31(1A A --。

e2

1
1
0
1 2

1 1

,
e3

2
1 6

1 1

2 0 2
(3)取 P (e1 e2 e3 )
1

6
2 2
3 3
1 ，正交变换 x Py ， 1
第 6页（A 卷，共 7页）
第 1页（A 卷，共 7页）
6. 已知 n 阶方阵 A 满足 A2 A 2E O ,则【 】.
A. A E 与 A 2E 均可逆
B. A 与 E A 均可逆
C. A 可逆， E A 不可逆
D. A 不可逆， E A 可逆
7. 下列说法错误的是【 】. A. 实对称矩阵的特征值均为实数 B. 实反对称矩阵的特征值为零或虚数 C. 实正交矩阵的特征值的模为 1 D. 若 A 与 B 相似，则 A 与 B 合同
0 1
1 0
0 1



0 0
1 0
0 1
0 1
1 0
01
1 0 2

A

(B

2E )1


0
1
0

.
1 0 1
第 4页（A 卷，共 7页）
6. AT A* AT A A* A AT A | A | E
| A |2 ( | A |)3 | A | 0 or | A | 1 .
10．曲线 ez y2 关于 Oz 轴旋转而成的旋转曲面方程为【 】.
二、计算题与证明题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）

2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。

《线性代数辅导讲义》练习参考答案
1 0 0 2 1 5 0 1 0 4 2 10 0 0 1 1 0 2
解得，
k11 2, k12 4, k13 1,
即
k21 1, k22 2, k23 0,
k31 5, k32 10, k33 2.
解此线性方程组，
1 0 1 1 1 3 1 0 1 1 1 3 1 0 1 1 1 3 0 1 3 1 2 4 0 1 3 1 2 4 0 1 3 1 2 4 1 1 5 1 3 a 0 1 4 0 2 2 0 0 1 1 0 2
η2 η3 Aη2 Aη3 β β 0 ，不是非齐次方程组 Ax β 的解． 2 2 2
所以选（C） ．
第 160 页 答案 2 解析 显然 ααT 是实对称矩阵， r αα 可对角化．

T
1，
α 为 3 维单位向量． αT α 1
ααT α α ， 故有特征值 1 ，
A E BA η 0 Aη ABAη 0
E AB Aη 0
Aη 0 （若 Aη 0 ， E BA η η BAη η 0 ，与 η 是非零解矛盾）
E AB x 0 有非零解 Aη ．
齐次线性方程组有非零解， E AB 不可逆，与题设条件矛盾． 假设不成立， E BA 可逆． 方法三 （行列式）
1 0 0 1 0 0 根据题设条件 A 1 1 0 B ， 0 0 1 B E 0 0 1 0 1 0
即 P2 ΑP1 E , Α P21 EP11 P2 P11 ．

5．二次型 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+x32-2x1x2+4x1x3-2x2x3 的矩阵是 平方项 xi^2 的系数放在主对角 线 第 i 行第 i 列 位置 xixj 的系数除 2 放在第 i 行第 j 列 和 第 j 行第 i 列 位置 得二次型的矩阵 A.
非选择题部分
注意事项： 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
1 2 的第三项均为 0
4．设 A 为 3 阶矩阵，且 r(A)=2，若 1 ， 2 为齐次线性方程组 Ax=0 的两个不同的解。k
为任意常数，则方程组 Ax=0 的通解为 A．k 1 C． k
1 2 2
B．k 2 D． k
1 2 2
定理：若 a1,a2 是 Ax=b 的两个不同的解,即 Aa1=b,Aa2=b, 则 A(a1-a2)=Aa1-Aa2=b-b=0,因此 a1-a2 是齐次方程组的解,而 A 的秩是 2,故基 础解系的个数为 3-2=1,于是有 a1-a2 恰好是 Ax=0 的基础解系. 2 为通解 k 1 2
2．设 A，B 为 4 阶非零矩阵，且 AB=0，若 r(A)=3，则 r(B)= A．1 C．3 B．2 D．4 因为 B≠0 所以 r(B)>=1 因为 AB =0 所以 r(A)+r(B)<=4 所以 r(B) <= 4-r(A) = 4-3=1 所以 r(B)=1
3．设向量组 1 =(1，0，0)T， 2 =(0，1，0)T，则下列向量中可由 1 ， 2 线性表出的是 A．(0，-1，2)T C．(-1，0，2)T B．(-1，2，0)T D．(1，2，-1)T 只要第三项不是 0 就错了，因

若齐次线性方程组AX=0有无穷多组解，则非齐次线性方程组AX=b是否也必有无穷多组解？非齐次线性方程组求解线代B复习题篇一:若齐次线性方程组AX=0有无穷多组解，则非齐次线性方程组AX=b 是否也必有无穷多组解？第2页┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉第3页第4页第5页第六章习题解答篇二:若齐次线性方程组AX=0有无穷多组解，则非齐次线性方程组AX=b 是否也必有无穷多组解？习题六1. 用矩阵的行初等变换法解方程组2x1x22x3 3 （1）x1x2x3 1.3x x x 5123x13x2x32x4 4 3x 4x2x3x 6 1234（2） .x15x24x3x4 112x17x2x36x4 5解：(1) x1 1,x2 1,x3 1(2) x1 3,x2 1,x3 2,x4 12. a取什么值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？ax1＋x2x3 1x1ax2x3 ax x ax a2.3 12a 1时，a 2a 1,2时，解：唯一解；无穷解；时，无解.3. 试证，线性方程组383a11x1a12x2 a1nxnb1 ax ax ax b 2112222nn2 an1x1an2x2 annxn bn,对任何b1, b2, …, bn都有解的充分必要条件是系数行列式D 0.证明：必要性：设i i (a1i,a2i,...,ani)T，i 1,2, ,n.i (0,0, ,0,1,0, ,0),.i 1,2, ,n由已知向量组 1, 2,..., n可由向量组 1, 2,..., n线性表示.因此，向量组 1, 2,..., n与 1, 2,...,n等价，从而 1, 2,..., n线性无关，秩为n.所以，D 0.充分性：因为D 0.由克拉默法则可知，以D为系数行列式的有唯一解.所以结论成立.x1 x2 4. 证明， x3x 4x5384 x2＝a1x3＝a2x4＝a3 x5＝a4x1＝a5有解的充分必要条件是a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.证明：对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换，将其化为11000 0110000110 00011 00000 a1 a2 a3 a4 5 ai i 1原方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等ai 15i 0.5. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系： x13x2x32x40 5x x2x3x 0 1234(1) x11x2x5x 0234 1 x4 0. 3x15x22x15x2＋x33x4 03x1＋4x2－2x3x4 0 (2) x2x x3x 01234 2x115x2 6x313x4 0.38553 解：(1) ,,1,0 1414T(2) 1,1,0,1. T 11 , ,,0,1 , 22 T6. 设A是n阶方阵，证明，若秩A ＝秩A2, 则齐次线性方程组AX＝0与A2X＝0有完全相同的解.证明：设AX=0的解空间为W1，AX=0的解空间为W2，显然AX=0的解是AX=0的解.因此，W1 W2.又dimW1=n-秩A= n-秩A2= dimW2若秩A＝n，那么dimW1=dimW2=0，故W1=W2. 若秩A＝rn,设 1, 2,..., n r是W1的一个基，那么22 1, 2,... ,n r也是W2中线性无关的向量，因此 1, 2,..., n r也是W2的基. 所以, W1=W2.7. 设n阶方阵A的各行元素之和都为零，且秩A＝n－1，求方程组AX＝0的所有解.3861 1解:C . ,C为任意常数。

解： 把1 ,2 ,3 ,4 按列排成矩阵并进行初等行变换把矩阵化为行阶梯型矩阵：
本题 得分
1 0 2 1
1 0 2 1
1
2
0
1
r2 r1
0
2
2
0
A (1 ,2 ,3 ,4 ) 2
2
1 5
3 1
0 4
r4 r3 r3 2r1 r5 r1
0 0
1 4
1 2 ………… 2 分
…………………………… 2 分
山
大 学
A 的全部特征值为 1 2 1 , 3 5 …………………………… 4 分
试
卷
当 1 2 1时，求出齐次线性方程组 (E A) X 0 的基础解系：
2 2 2
1 1 1
1 1
(E
A)
2 2
2 2
2 2
r
0 0
0 0
0 0
，基础解系为 1
10
分）设
A
2
1
2
，（1）试求
A
的特征值和特征向量；（2）利
2 2 1
用（1）的结果，求矩阵 E A1 的特征值，其中 E 为 3 阶单位矩阵。
本题
1 2 2
得分
解：（1）特征多项式为 E A 2 1 2 ( 1)2( 5)
2 2 1
燕
从而特征方程为 ( 1)2 ( 5) 0
共
x11 x2 (1 2 ) x3(1 2 3) 0 ……………… 2 分
本题 得分
页 整理得 ( x1 x2 x3)1 (x2 x3)2 x33 0 ……………… 3 分
第
由于 1
,2
,3

解：
=
（3 分）
2 3 4 3 0 1 2 5
1234 1 2 3 4
5 10 15
0 0 10
(1)41 2 6 10 (1) 0 2 0 （3 分）
1分） 2 0
13. 求向量组1 (1, 2,3) , 2 (0,1, 2), 3 (1,1,1) 的秩和一个最大无关组.
一本《线代》练习一答案第 3页（共 4 页）
3
17. 已知向量组1, 2 ,, r 线性无关,证明向量组 1 1, 2 1 2 , ,
r 1 2 r 也线性无关.
1 0
1 1
1 1
证明：因为 (1, 2 ,, r ) (1, 2 ,, r ) 0 0 1 (3 分), 1
(B) ( AB)2 B 2 A2
(C) ( AB)T BT AT
(D) ( AB)1 A1 B 1
3. 设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 则下列说法错误的是( B )
(A) A 0
(B) Ax 0 有非零解
(C) R( A) n
(D) A 的特征值均非零
4. A 是 n 阶正交矩阵, 则下列结论不正确的是( A )
3 0 0 0 (C) 0 3 0 0
0 0 3 0
3 0 0 0 (D) 0 0 0 0
0 0 0 0
二、 填空题(4×5=20 分)
6.
向量 (2,
3)
在
R
2
中的一组基
1
(1, 1),
2
(2, 0) 下的坐标是
3, -1/2
3 4 2 7. 设 1 , 2 , 3 为 A 1 5 1 的全部特征值, 则 1 2 3 2
(A) A2 A

2013--2014第一学期线性代数课程试卷（期末）（A 卷）参考答案与评分一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设n 阶方阵B A ,等价，则（ C ）（A ） B A = （B ）B A ≠ （C ）0≠A 则必有0≠B （D ） B A -= 2.对矩阵54⨯A ，以下结论正确的是（ B ）（A ）A 的秩至少是4 （B ）A 的列向量组线性相关 （C ）A 的列向量组线性无关 （D ）A 中存在4阶非零子式 3．A 是n m ⨯矩阵，R(A)= m<n, 则下列正确的是( D )（A ）A 的任意m 个列向量线性无关 （B ）A 的任意一个m 阶子式必不为零 （C ）A 经过初等行变换必可化为)0,(m E 的形式（D ）齐次线性方程组AX=0有无穷解4.设二次型323121232221321222444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则( C )（A ）f 的秩为1 （B ）f 的秩为2 （C ）f 为正定二次型（D ）f 为负定二次型 5. 若三阶方阵A 的三个特征值为1，2，-3,属于特征值1的特征向量为T )1,1,1(1=β,属于特征值2的特征向量为T )0,1,1(2-=β，则向量T )1,0,2(21--=--=βββ（ D ） （A ）是A 的属于特征值1的特征向量 （B ）是A 的属于特征值2的特征向量 （C ）是A 的属于特征值-3的特征向量 （D ）不是A 的特征向量 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为__负____。

7. 设A 是3×3矩阵，2-=A ，把A 按列分块为],,[321ααα=A ，其中 j α)3,2,1(=j 是A 的第j 列，则________6___,3,21213=-αααα。

8.X 和Y 是nR 中的任意两个非零向量，记TY X A =，则矩阵A 的秩是___1___.9. 若n 元线性方程组有唯一解，且其系数矩阵的秩为r ，则r 与n 的关系必为__r =n___.10. 设向量空间{}R x x x x x W T∈=21121,)3,2,(，则W 的维数等于__2__ _。

线性代数b习题册答案《线性代数习题册答案》线性代数作为数学的一个重要分支，在现代科学和工程领域中扮演着至关重要的角色。

而习题册作为学习的重要辅助工具，更是帮助学生巩固知识、提高能力的重要途径。

本文将为大家提供一份线性代数习题册的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握线性代数的知识。

1. 矩阵A的秩为2，求矩阵A的列空间的一组基。

答：首先我们需要找到矩阵A的列空间，然后再找到列空间的一组基。

假设矩阵A的列向量为a1, a2, a3，那么列空间为Span{a1, a2, a3}。

由于矩阵A的秩为2，所以列空间的维数为2，即列空间是一个二维的子空间。

我们可以通过消元法将矩阵A化为行阶梯形矩阵，然后找到列空间的一组基。

最终得到列空间的一组基为{a1, a2}。

2. 设A为3阶方阵，且det(A)≠0，证明A可逆。

答：由于det(A)≠0，所以矩阵A的行列式不为0，那么根据线性代数的知识我们知道，矩阵A是可逆的。

因为行列式不为0意味着矩阵A的列向量线性无关，从而矩阵A是满秩的，所以A可逆。

3. 给定矩阵A和B，证明det(AB) = det(A)·det(B)。

答：我们可以利用行列式的性质来证明这个等式。

首先，我们知道行列式的值不受行列互换的影响，所以det(AB) = det(BA)。

然后，我们知道矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式，即det(AB) = det((AB)T) = det(BTA) = det(B)·det(A)。

所以det(AB) = det(A)·det(B)。

通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的知识是如此的丰富和深刻。

希望大家能够通过不断地练习和思考，更好地掌握线性代数的知识，提高自己的数学能力。

同时也希望本文提供的答案能够对大家有所帮助。