高等工程数学》科学出社吴孟达版习题答案章

计算机技术专业研究生（工程硕士）培养方案（085211）一、培养目标计算机技术领域重点研究如何扩展计算机系统的功能和发挥计算机系统在各学科、各类工程、人类生活和工作中的作用。

计算机技术是信息社会中的核心技术，也是实现现代化的关键技术之一。

计算机技术工程硕士的培养目标是面向国民经济信息化建设和发展的需要、面向企事业单位对计算机技术人才的需求，培养高层次实用型、复合型计算机技术和计算机工程管理人才。

具体要求是：1、计算机技术工程硕士专业学位获得者应拥护党的基本路线和方针、政策；热爱祖国，遵纪守法，具有良好的职业道德和创业精神，具有科学严谨和求真务实的学习态度和工作作风，身心健康。

2、计算机技术工程硕士专业学位获得者应掌握计算机领域扎实的基础理论和宽广的专业知识；具有很强的工程实践能力，具备运用先进的工程化方法、技术和工具从事数据分析、软件设计、系统开发和维护等工作的能力，以及工程项目的组织与管理能力、团队协作能力、技术创新能力和市场开拓能力。

3、掌握一门外语，具备良好的阅读、理解和撰写外语资料的能力和进行国际化交流的能力。

二、学习方式及年限采用全日制学习方式，学习年限一般为2年。

三、培养方式采用课程学习、校外专业实践和学位论文相结合的培养方式。

课程设置厚基础理论、重实际应用、博前沿知识，着重突出专业实践类课程和工程实践类课程。

校外专业实践是计算机技术工程硕士研究生培养中的重要环节，鼓励研究生到企业实习，可采用集中实践与分段实践相结合的方式。

工程硕士专业学位研究生的校外专业实践安排在第三学期，实践时间原则上不少于1学期。

学位论文选题应来源于工程实际或具有明确的工程技术背景。

硕士生的培养，采取以导师为主、导师与指导小组集体培养相结合的方式。

培养采用系统理论学习、进行科学研究、参加学术活动和社会实践活动相结合的办法。

既要使硕士生牢固掌握基础理论和专业知识，又要培养硕士生具有从事科学研究、高校教学工作的能力。

高等工程数学知到章节测试答案智慧树2023年最新南京理工大学第一章测试1.有限维线性空间上范数1,范数2之间的关系是参考答案:等价2.赋范线性空间成为Banach空间，需要范数足？参考答案:完备性3.标准正交系是一个完全正交系的充要条件是满足Parseval等式参考答案:对4.在内积空间中，可以从一组线性无关向量得到一列标准正交系参考答案:对5.矩阵的F范数不满足酉不变性参考答案:错6.与任何向量范数相容的矩阵范数是？参考答案:算子范数7.正规矩阵的谱半径与矩阵何种范数一致参考答案:矩阵2范数8.矩阵收敛，则该矩阵的谱半径参考答案:小于19.矩阵幂级数收敛，则该矩阵的谱半径参考答案:小于110.正规矩阵的条件数等于其最大特征值的模与最小特征值的模之商参考答案:对第二章测试1.l矩阵不变因子的个数等于( )参考答案:矩阵的秩2.Jordan标准形中Jordan块的个数等于( )参考答案:初等因子的个数3.Jordan块的对角元等于其( )参考答案:初等因子的零点4.n阶矩阵A的特征多项式等于( )参考答案:A的n个不变因子的乘积;A的n阶行列式因子5.下述条件中，幂迭代法能够成功处理的有( )参考答案:主特征值是实r重的;主特征值有两个，是一对共轭的复特征值;主特征值有两个，是一对相反的实数;主特征值只有一个6.n阶矩阵A的特征值在( )参考答案:A的n个行盖尔圆构成的并集与n个列盖尔圆构成的并集的交集中;A的n 个列盖尔圆构成的并集中;A的n个行盖尔圆构成的并集中7.不变因子是首项系数为1的多项式参考答案:对8.任意具有互异特征值的矩阵，其盖尔圆均能分隔开参考答案:错9.特征值在两个或两个以上的盖尔圆构成的连通部分中分布是平均的参考答案:错10.规范化幂迭代法中，向量序列uk不收敛参考答案:错第三章测试1.二阶方阵可作Doolittle分解参考答案:错2.若矩阵A可作满秩分解A=FG,则F的列数为A的（）参考答案:秩3.矩阵的满秩分解不唯一.参考答案:对4.酉等价矩阵有相同的奇异值.参考答案:对5.求矩阵A的加号逆的方法有（）参考答案:满秩分解;Greville递推法;奇异值分解;矩阵迭代法6.若A为可逆方阵，则参考答案:对7.用A的加号逆可以判断线性方程组Ax=b是否有解？参考答案:对8.A的加号逆的秩与A的秩相等参考答案:对9.若方阵A是Hermite正定矩阵，则A的Cholesky分解存在且唯一.参考答案:对10.是Hermite标准形.参考答案:错第四章测试1.（）是利用Gauss消去法求解线性方程组的条件.参考答案:系数矩阵的顺序主子式均不为0;所有主元均不为02.关于求解线性方程组的迭代解法, 下面说法正确的是（）.参考答案:J法和GS法的敛散性无相关性;若系数矩阵A对称正定, 则GS迭代法收敛3.如果不考虑舍入误差, （）最多经n步可迭代得到线性方程组的解.参考答案:共轭梯度法4.关于共轭梯度法, 下面说法正确的是（）参考答案:B和C都对5.下面哪些是求解线性方程组的迭代解法（）.参考答案:共轭梯度法;最速下降法6.若系数矩阵A对称正定, 则（）参考答案:可用Cholesky法求解线性方程组7.任意线性方程组都可以通过三角分解法求解.参考答案:错8.最速下降法和共轭梯度法的区别在于选取的搜索方向不同.参考答案:对9.广义逆矩阵法可用于任意线性方程组的求解.参考答案:对10.Gauss消去法和列主元素法的数值稳定性相当.参考答案:错第五章测试1.对于凸规划，如果x为问题的KKT点，则其为原问题的全局极小点参考答案:对2.对于无约束规划问题，如果海塞阵非正定，我们可采用哪种改进牛顿法求解原问题？参考答案:构造一对称正定矩阵来取代当前海塞阵，并一该矩阵的逆乘以当前梯度的负值作为方向3.共轭梯度法中，为参考答案:FR公式4.内点罚函数法中常用的障碍函数有参考答案:倒数障碍函数;对数障碍函数5.广义乘子罚函数的优点是在罚因子适当大的情形下，通过修正拉格朗日乘子就可逐步逼近原问题的最优解？参考答案:对6.分子停留在最低能量状态的概率随温度降低趋于( ).参考答案:17.模拟退火算法内循环终止准则可采用的方法.参考答案:固定步数;由接受和拒绝的比率控制迭代步8.背包问题是组合优化问题吗？参考答案:对9.单纯形算法是求解线性规划问题的多项式时间算法.参考答案:错10.对于难以确定初始基本可行解的线性规划问题，我们引入人工变量后，可采用哪些方法求解原问题？参考答案:两阶段法;大M法第六章测试1.如果不限定插值多项式的次数，满足插值条件的插值多项式也是唯一的（）参考答案:错2.改变节点的排列顺序，差商的值不变（）参考答案:对3.Hermite插值只能用插值基函数的方法求解（）参考答案:错4.在最小二乘问题中，权系数越大表明相应的数据越重要（）参考答案:对5.加窗傅里叶变换时频窗的长宽比是信号自适应的（）参考答案:错6.傅里叶变换域的点和时间域上的点是一一对应的（）参考答案:错7.若f(t)的傅里叶变换为，则 f(2t)的傅里叶变换为 ( )参考答案:8.小波函数对应了（）参考答案:高通滤波器第七章测试1.有界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。

软件工程硕士专业学位硕士培养方案（2023年修订）专业代码：085212一、培养目旳培养在计算机软件系统理论体系支撑下旳“实用型”、“应用型”高层次软件工程技术和管理人才。

使学生可以掌握软件工程领域坚实旳基础理论和广阔旳专业知识、管理知识，可以按照软件系统工程思想进行大型软件设计、开发、研制、产品化、实行、组织、管理和关键技术研究；在毕业时可以从事软件工程独立设计和实现大型软件系统、软件产品旳研制及关键技术旳研究，并可以对软件开发过程进行全面管理。

详细规定是：1. 软件工程硕士专业学位获得者应很好地掌握马克思主义、毛泽东思想和邓小平理论；拥护党旳基本路线和方针、政策；热爱祖国，遵纪遵法，具有良好旳职业道德和创业精神，具有科学严谨和求真务实旳学习态度和工作作风，身心健康。

2. 软件工程硕士专业学位获得者应掌握计算机领域扎实旳基础理论和广阔旳专业知识；具有很强旳工程实践能力，具有运用先进旳工程化措施、技术和工具从事软件分析、设计、开发、维护等工作旳能力，以及工程项目旳组织与管理能力、团体协作能力、技术创新能力和市场开拓能力。

3. 软件工程硕士专业学位获得者应到达基本旳数学和语言规定；纯熟掌握英语，具有良好旳阅读和撰写外语资料旳能力和进行国际化交流旳能力；拥有很好旳沟通技巧和团体协作能力，通晓和遵守有关法律和职业道德。

二、学习方式及年限采用全日制学习方式，学习年限一般为3年。

三、培养方式采用课程学习、实践环节和学位论文相结合旳培养方式。

课程设置厚基础理论、重实际应用、博前沿知识，着重突出专业实践类课程和工程实践类课程。

软件工程实践环节规定学生直接参与软件工程项目实践，完毕必要旳技术方案设计、软件开发、项目管理等工作，并在所获得旳工程实践成果基础上完毕学位论文旳撰写。

学位论文可以是研究论文或技术汇报，以及有关旳工作成果。

具有2年及以上企业工作经历旳工程类硕士专业学位硕士专业实践时间应不少于6个月，不具有2年企业工作经历旳工程类硕士专业学位硕士专业实践时间应不少于1年。

1i n
1 P{ X 1 x, X 2 x, , X n x} 1 (1 P{ X x}) n 1 (1 F ( x)) n ;
因为 X ( n ) max X i ，所以 FX ( n ) ( x) P{ X ( n ) x} P{ X 1 x} P{ X n x} F ( x ) 。
11. 解：因 X ~ N (80,20 2 ) ，样本容量为 100，所以 X ~ N (80,4) ，
3
P{ X 80 3} P{
X 3 2
3 3 } 2(1 ( )) 2 * (1 - normcdf(3/2)) 0.1336 。 2 2
3 )， 10
12. 解：设 X 1 , X 2 , , X 10 和 Y1 , Y2 , , Y15 为 N ( 20,3) 两独立样本，则 X ~ N (20,
2
2 ( n) ， X
X1 ~ t ( n) ， X2 / n
所以 X
2
X1 /1 ~ F (1, n) 。 X2 / n
9. 解：MATLAB 命令为（1）norminv(0.99)； （2）norminv(0.04)； （3）chi2inv(0.975,15);(4) chi2inv(0.025,15);(5) chi2inv(0.95,50);(6) chi2inv(0.95,100);(7) tinv(0.975,19);(8) tinv(0.975,99); (9) finv(0.95,2,6);(10) finv(0.05,3,40);(11) finv(0.05,2,6);(12) finv(0.01,3,40) 10.解：因 X ~ N (1,4) ，样本容量为 16，所以 X ~ N (1,

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T a 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T 4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。

也是一组标准正交基。 19. 解：系数矩阵 A
2 1 1 1 3 1 0 0 1 4 ，可得基础解系为 1 1 1 0 1 0 1 1 1 5
f1 (0,1,1,0,0) , f 2 (1,1,0,1,0) ， f 3 (4,5,0,0,1) ，Schmidt 正交化得，
1
13.按 P21 欧氏空间定义 2.1，逐条验证， 1） 不满足第 （2 ） 条， （4） 条， 故不是欧氏空间; 不满足第（4）条，故不是欧氏空间；3）都满足，故是欧氏空间。 14. 按 P21 欧氏空间定义 2.1，逐条验证，都满足，故是欧氏空间。 15. 设向量 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 与三个向量正交，则有
所以对两组基有相同坐标的非零向量可取为 (c, c, c,c)(c 0). 5. 由第 7 页子空间定义可得，1）向量满足加法和数乘封闭，是子空间；2）向量不满足加 法或数乘封闭，故而不是子空间。 注：从几何上看，子空间过原点，而不过原点的都不是。 6. 两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价， 即可以互相线性表示。 解：因对应分量不成比例，故 α1 (1,1,0,0), α2 (1,0,1,1) ， β1 (1,1,0,0), β2 (1,0,1,1) 线性
2
T1T2 ( x1 , x2 ) T1[T2 ( x1 , x2 )] T1 ( x1 , x2 ) ( x2 , x1 ) T2T1 ( x1 , x2 ) T2 [T1 ( x1 , x2 )] T2 ( x2 , x1 ) ( x2 , x1 )
11.略。 12. 解：1）因为 T ( x1 , x2 , x3 ) ( 2 x1 x2 , x2 x3 , x1 ) ，按照 P18 (1.21)，可知

，。

]‘；了、批，、/“；。

曾国藩《高等工程数学》习题二参考答案（姚仰新，罗家洪，庄楚强，华南理工大学出版社）由于时间仓促，错误难免，请把意见发到fzmath@ ，谢谢.1、1）因为61*1105.0590450000018284.0590457182818284.271828.2-⨯≤=-=- e x ，所以有效数字为6位，其误差为5*11021)(-⨯≤x e ，相对误差为5*110221)(-⨯⨯≤x e r 。

2）因为 03539833.14159292113355*2==x ， 8979323851415926535 .3=π，所以716-*2105.0103790624223120.266764188979323851415926535 .303539833.14159292-⨯≤⨯=-=-πx所以有效数字为7位，其误差为6*21021)(-⨯≤x e ，相对误差为6*210321)(-⨯⨯≤x e r 。

2、解：1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=251000532500532565331743532][232121252321232121b A ， 回代可得23=x ，12=x ，41-=x ，即方程组的解为)1,2,4(-。

2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=25495725562525562000501045120105010452105010104521011.03321104520111.031045321][b A〉‘；，。

回代可得4.13-=x ，22=x ，2.11=x ，即方程组的解为)4.1,2,2.1(-。

3) 分三个步骤：（i ）求分解式LU A =. 求Doolittle 分解，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==21210102011010121101LU A ，‘。

高等工程数学Ⅲ智慧树知到课后章节答案2023年下南京理工大学南京理工大学第一章测试1.有界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。

（）A:对 B:错答案:错2.二维热传导方程的古典显格式稳定性条件是（）A: B: C:其余都不对 D:答案:3.关于边值问题和变分问题，下列说法不正确的是（）。

A:所有选项都不对 B:Ritz形式和Galerkin形式的变分问题的解均称为相应边值问题的广义解 C:Ritz形式的变分问题比Galerkin形式的变分问题适用范围更广 D:Ritz形式的变分问题要求对称，而Galerkin形式的变分问题无此要求，因此两种变分形式之间无联系答案:所有选项都不对;Ritz形式的变分问题比Galerkin形式的变分问题适用范围更广;Ritz形式的变分问题要求对称，而Galerkin形式的变分问题无此要求，因此两种变分形式之间无联系4.无界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。

（）A:错 B:对答案:对5.二维热传导方程的Crank-Nicolson格式是无条件稳定的。

（）A:错 B:对答案:对6.考虑有界弦振动方程定解问题：其对应的本征值和本征函数分别是（）：A:B: C:D:答案:7.一维抛物型方程的Du-Fort-Frankel格式如下：，其截断误差为（）A: B: C: D:答案:8.一维对流方程的蛙跳格式的截断误差为。

（）A: B: C:答案:9.关于偏微分方程求解的有限元方法，下列说法正确的是（）。

A:有限元方法通常选取分片连续的多项式函数空间作为近似函数空间 B:对于第二、三类边界条件的定解问题，采用有限元方法无需处理边界 C:二维情形，有限元方法在区域剖分时，只能选择三角形单元或者矩形单元 D:有限元方法是基于Ritz-Galerkin方法提出的，通常选取传统幂函数作为近似函数空间的基底答案:有限元方法通常选取分片连续的多项式函数空间作为近似函数空间;对于第二、三类边界条件的定解问题，采用有限元方法无需处理边界10.一维对流方程的隐式迎风格式是（）A: B: C:D:答案:第二章测试1.在一元线性回归模型中，是的无偏估计。

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]Ta 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R 2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：T T T T 1234=[1,0,0,0],=[0,1,0,0],=[0,0,1,0],=[0,0,0,1]αααα和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：11234205612927331336112923x 112190018101373926x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦－－－－－1＝－－27－－6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。

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第一章 函数一、选择题1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数A. x x y +=tan B 。

y x =C. )1()1(-⋅+=x x yD. x xy 2sin 2⋅=2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 33)(,)(x x g x x f == B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-==C. 11)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】A. +arctan y x x = B 。

cos y x =C. arcsin y x =D 。

sin y x x =⋅4. 下列函数中,定义域是[,+]-∞∞，且是单调递增的是【 】A. arcsin y x =B. arccos y x =C 。

arctan y x = D. arccot y x =5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)πB. (,)22ππ- C 。

[,]22ππ- D 。

(,+)-∞∞6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】A. arcsin y x = B 。

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]Ta 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]Ta 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T3．在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T4．试证：在R2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。

2019年高等工程数学试题答案一、（15分）设210120003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，计算()ρA 、225max =x Ax 及()2cond A 。

解：12321012001;3003λλλλλλλ---=--=⇒===-I A ()3ρ=A 2||||()3是正规矩阵ρ∴== A A A 2222515max 5max 5155==∞===x x xAx AA ()2331是正规矩阵∴== A cond A 二、（10分）讲述一下求解矩阵A 的最靠近*λ的特征值的思路、步骤。

答：**对使用逆幂法，求出其按模最小的特征值再加上。

λλ-A I 000u v =≠任取*11()max()k k k k k u A I v u v u λ--⎧=-⎪⎨=⎪⎩*1()max()k k kk k A I u v u v u λ-⎧-=⎪⎨=⎪⎩即**()A I P A I LUλλ--=对进行选列主元的三角分解有1max()k k k kk k k Ly PvUu y u v u -⎧⎪=⎪⎪∴=⎨⎪⎪=⎪⎩1max()max()k ik i u x v x λλ*⎧→⎪⎪⎨⎪→⎪⎩－有三、（18分）已知矩阵200226044-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求P 使得1-P AP 为A 的Jordan 标准型，同时需要求出A 的Jordan 标准型。

解：200226044λλλλ+-=-----I A ()()23+28λλ=-D 211D D ==()()23+28λλ=-d 211d d ==初等因子：()()2+2 8，λλ-Jordan 标准形：2128-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭J 1123212,[]8令--⎛⎫⎪==-= ⎪ ⎪⎝⎭P AP J P p p p 11121223332[032]512[0]228[011]∴=-∴=-=-=-==TT TAp p p Ap p p p Ap p p 15002131,2201使得-⎛⎫⎪ ⎪⎪∴=-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P P AP J四、(20分)已知241111212,212211⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A b ，（1）求A 的满秩分解；（2）求A +；（3）判断Ax b =是否有解，有解时求极小范数解，无解时求极小范数最小二乘解。