工程数学基础教程课后习题答案
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工程数学基础习题解答
习题一
A
一、判断题
1.√；，
2.√；
3.×；
4.×；
5.×；
6.×；
7.×；
8.√；
9.√；10.×.
二、填空题
1.;C C A B
2.111(){1,2,3,4},(){,,},(){,,},(){1,4},(){2,3};f f a b e f A a b e f B f b --=====D R
3.满;
4.2sup =
E ,3inf -=E ; 5.0; 6.0; 7. n ; 8.Y .
B
1.证 ()y f A B ∀∈⋂,x A B ∃∈⋂使得)(x f y =.由x A B ∈⋂,得x A ∈,且x B ∈故()()y f x f A =∈且()y f B ∈,即()()y f A f B ∈⋂,因此()()()f A B f A f B ⋂⊂⋂.
当f 是单射时,只需证明()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂即可： ()()(),y f A f B f ∀∈⋂⊂R f 由是单射知,().
(),(),1X y f x y f A y f B x ∃=∈∈∈使得且
,,()(),x A x B x A B y f x f A B ∴∈∈∈⋂=∈⋂且即从而故()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂.
是可能的，例如,
2:,[2, 0],[1, 3],[1, 0].f x
x A B A B =-=-⋂=-取则()([1,0])[0, 1], f A B f ⋂=-=于是而
[][]()()0, 4[0, 9]0, 4.f A f B ⋂=⋂=从而有 .
2. 证（1）n ∀∈,有)2 ,2(12 ,12][-⊂-+-n n ,故 ∞
=-⊂-+-1)2 ,2(12 12][n n ,n .
另一方面,)2 ,2(-∈∀x ,k ∃∈
,使][12 ,12k k x -+-∈,故 ∞
=-+-∈1
][12 12n n ,n x ,于是
⊂
-)2 ,2( ∞
=-+-1
][12 12n n
,n .
因此, ∞
=-+-=
-1
][12 ,12)2 ,2(n n
n .
（2）n ∀∈,有)12 ,12(]2 ,2[n n +--⊂-,故 ∞
=+--⊂-1)12 ,12(]2 ,2[n n n .
另一方面,对任意]2 ,2[-∉x ,即2>x ,k ∃∈
,使得212>+>k
x ,即
)12 ,12(k k x +--∉,从而 ∞
=+--∉1)12 ,12(n n n x ，故 ∞
=-⊂+--1
]2,2[)12 ,12(n n n .
因此, ∞
=+--=
-1
)1
2,12(]2,2[n n n .
3. sup ,sup ,sup ,.A A A μμμμ''===证设且要证唯一只需证明即可
sup ,,,sup ,,;.inf .
A A A A A μμμμμμμμμμ'''=≤=''≤= 因为是最小上界而是的上界故又因为是最小上界而是
的上界故因此 类似地可以证明是唯一的 4. 证 设{}D Y αα∈是线性空间X 的一族子空间,要证D Y X αα∈⋂也是的线性子空间.显然D Y αα∈⋂≠∅，z 只需证明.D Y X αα∈⋂对的线性运算是封闭的事实上，,D
x y Y αα∈∀∈⋂及,λ∀∈,从而对每一个D ∈α,有,x y Y α∈,故x y Y α+∈,x Y αλ∈.于是,D x y Y αα∈+∈⋂,D x Y ααλ∈∈⋂.因此,D
Y αα∈⋂是X 的线性子空间. 5. ,,,W f g W λ∀∈∀∈证显然包含零多项式故非空；又及，有
()(0)()(0)(0)(0)(0)(0)[(0)(0)][(0)(0)]000,f g f g f g f g f f g g '''''+++=+++=+++=+=即
;()(0)()(0)(0)(0)[(0)(0)]00,.
f g W f f f f f f f W λλλλλλλ'''+∈+=+=+==∈即 [0, 1].n W P 所以,是的线性子空间
111102112
1001121 [0, 1],(),()2.(0)(0)0,0,,()(1).
n n n n n n n n n n n f W P f x a x a x a x a f x na x a x a f f a a a a f x a x a x a x a x -----'∀∈⊂=++++=+
++'+=+==-=++++-设则由
得即故
23(1,,,,),dim .n x x x x W W n -=由上可知,是的一个基故
6. 1(1),(0)0.()0,0.T T T x T T x -⇒===“”:因为是线性的故有于是,若则由存在知是单射,从而有 1T T -⇐“”:要证存在,只需证明是单射：
121212121212,,((),()()()0,0,,.
x x X T x T x T x x T x T x x x x x T ∀∈=-=-=-==当)即时由条件得即故是单射 1112121211221122(2),,,,,s.t.,,(),().y y Y x x X y Tx y Tx x T y x T y λλ--∀∈∀∈∃∈====及即于是有
1111111221122112211221122(+)[()()][()]()(),T y y T T x T x T T x x x x T y T y λλλλλλλλλλ-----=+=+=+=+
1:.T Y X -→故是线性的
7. 22
22
:,.B A σ⨯⨯→
解首先验证是线性的然后求其在即下的矩阵
22
1212,,,,X X k k σ⨯∀∈
∀∈由的定义，有 1
0010
000,
,
,
0001
00
1()B ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1122011221012021122(+)(+)+()+(),k X k X A k X k X k A X k A X k X k X σσσ===
22
22
:
.σ⨯⨯→故是线性的
1112
21
22
1
00
10
00
0,,,0
00
01
00
1E E E E B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
关键是求基元的像在基下的坐标：
()()()1111122122111
0000000,00,T
a
b a
c
d c
E aE E cE E E a c σσ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
===+++=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即
()()()1211122122120
10
00000,00,T
a
b a c
d c E E aE E cE E a c σσ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
===+++=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即
()()()21111221222100010000,00,T
a
b b
c
d d
E bE E dE E E b d σσ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
===+++=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即