湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高一下学期5月月考数学试题

2019-2020学年高三第二学期月考数学试卷（理科）一、选择题.1．设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数z=（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）3．已知(x3+ax)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．504．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c ＝2a，则sin B的值为（）A．34B．√74C．1D．√336．执行如图所示的程序框图，若输出的k＝6，则输入整数p的最大值是（）A．32B．31C．15D．167．已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回归方程为y =1.3x ﹣1，则m 的值为（ ） x 1 2 3 4 y 0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.88．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，直线y =√3x 与C 相交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则C 的离心率为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√3−12D ．√3−19．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2，则AC →⋅AD →的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．1610．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且X ～N （3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若X ～N （μ，σ2），有P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9974） A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.977211．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是（ ） ①直线②圆③椭圆④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④12．已知P ＝{α|f （α）＝0}，Q ＝{β|g （β）＝0}，若存在α∈P ，β∈Q ，使得|α﹣β|＜n ，则称函数f （x ）与g （x ）互为“n 距零点函数”若f （x ）＝log 2020（x ﹣1）与g （x ）＝x 2﹣ae x （e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1e2，4e ] B ．(1e，4e 2] C ．[4e2，2e ) D ．[4e 3，2e2) 二、填空题13．∫ 30|x ﹣1|dx ＝ ．14．已知函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，则φ的值是 ．15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 （用数字回答）． 16．已知α，β，γ∈(0，π2)，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝2，则cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为 ． 三、解答题17．已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，求点C 1到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D ﹣AB ﹣P 的大小为π4？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＞0，S n 2＝a n +12﹣λS n +1，其中λ为常数． （1）证明：S n +1＝2S n +λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19．如图，过抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点P （1，2），作两条直线分别交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y 1+y 2的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距b ∈[﹣1，3]时，求△ABP 面积S △ABP 的最大值．20．响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人． （1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2＞k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.84121．已知函数f （x ）＝xlnx +ax +1，a ∈R ．（1）当时x ＞0，若关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围； （2）当n ∈N *时，证明：n 2n+4＜ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n＜n n+1．22．已知直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t曲线C 的参数方程为{x =1cosφy =2tanφ．（1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为（1，1），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值． 23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：ba +a b+c+c b≥2；（2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，求a+b+cx+y+z的值．参考答案一、选择题1．设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数z=（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）2＝4i，得z=4i(1+i)2=4i2i=2，∴z=2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）【分析】利用配方法判断命题p为真，举例说明命题q为假，再由复合命题的真假判断得答案．解：∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞0，∴命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0为真命题；由a2＜b2，不一定有a＜b，如a＝1，b＝﹣2，则命题q：若a2＜b2，则a＜b为假命题．∴p∨q为真命题；p∨（￢q）为真命题；￢p∨q为假命题；￢p∨（￢q）为真命题．故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．3．已知(x3+ax)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．50【分析】由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n，a．再利用通项公式即可得出．解：由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n＝5，a＝2．∴展开式中通项公式T k+1=∁5k（x3）5﹣k(2x)k=2k∁5k x15﹣4k，令15﹣4k＝7，解得k＝2．∴x 7的系数=22∁52=40． 故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ） A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n }、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出a 1，由等比数列的通项公式求出答案即可． 解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n }，且公比为12，∵6天后共走了378里，∴S 6=a 1(1−126)1−12=378，解得a 1＝192，∴第三天走了a 3＝a 1×(12)2=192×14=48，故选：B ．【点评】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题． 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则sin B 的值为（ ） A ．34B ．√74C ．1D ．√33【分析】由已知结合正弦定理可得a ，b ，c 的关系，然后结合余弦定理及同角平方关系即可求解．解：由题意可得，sin 2B ＝sin A sin C ， 由正弦定理可得，b 2＝ac ， 又c ＝2a ，则可得b =√2a ，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 24a 2=34，所以sin B=√1−9=√74．16故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角平方关系的应用，属于基础试题．6．执行如图所示的程序框图，若输出的k＝6，则输入整数p的最大值是（）A．32B．31C．15D．16【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量k的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S k循环前/1 1第一圈是 2 2第二圈是 4 3第三圈是8 4第四圈是16 5第五圈是32 6第六圈否可得：范围16＜p≤32，即输入整数p的最大值是32．故选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y 关于x 的线性回归方程为y =1.3x ﹣1，则m 的值为（ ） x 1 2 3 4 y 0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.8【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．解：由题意，x =2.5，代入线性回归方程为y =1.3x ﹣1，可得y =2.25， ∴0.1+1.8+m +4＝4×2.25， ∴m ＝3.1． 故选：B ．【点评】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础． 8．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，直线y =√3x 与C 相交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则C 的离心率为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√3−12D ．√3−1【分析】可解得点A 、B 坐标，由AF ⊥BF ，得AF →•BF →=0，把b 2＝a 2﹣c 2代入该式整理后两边同除以a 4，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围解：由{x 2a 2+y 2b 2=1y =√3x，消y 可得得（3a 2+b 2）x 2＝a 2b 2，解得x ＝±√3a 2+b 2，分别代入y＝±√3ab√3a 2+b2， ∴A （√3a 2+b 2，√3ab √3a 2+b 2），B （√3a 2+b ，√3ab √3a 2+b ），∴AF →=（√3a 2+b 2+c ，√3ab √3a 2+b 2），BF →=（c √3a 2+b ，√3ab √3a 2+b ）， ∴AF →•BF →=c 2−a 2b23a 2+b2−3a 2b23a 2+b2=0，∴c 2=4a 2b23a 2+b2，（*）把b 2＝a 2﹣c 2代入（*）式并整理得4a 2c 2﹣c 4＝4a 2（a 2﹣c 2）， 两边同除以a 4并整理得e 4﹣8e 2+4＝0，解得e 2＝4﹣2√3 ∴e =√3−1， 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．9．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2，则AC →⋅AD →的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．16【分析】结合已知得到AC →=−3AB →+4AD →代入数量积的计算即可 解：∵在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2， ∴AC →⋅AD →=（AB →+BC →）•AD →＝（AB →+4BD →）•AD →＝[AB →+4（AD →−AB →）]•AD →＝（﹣3AB →+4AD →）•AD →＝﹣3AB →⋅AD →+4AD →2 ＝0+4×22＝16； 故选：D ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 10．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且X ～N （3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若X ～N （μ，σ2），有P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.0456B．0.6826C．0.9987D．0.9772【分析】利用正态分布的对称性来求解．解：P（X≤3100）＝P（X≤3000+2×50）＝1−12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝0.9772，故选：D．【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题目．11．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是（）①直线②圆③椭圆④抛物线A．①②B．①③C．①②③D．②④【分析】先根据题意画出示意图，将题中仰角相等转化成比例式，从而得到线段相等，进而建立空间直角坐标系，化简即可得到点的轨迹解：设电线杆的下端分别为B，D且高度分别为a，b以B为原点，BD所在直线为y轴建系，由仰角的正切相等知a|PD|＝b|PB|，设D（0，t）P（x，y）⇒a√x2+(y−t)2)=b√x2+y2则当a＝b时，点P的轨迹为BD的垂直平分线，当a≠b时，点P的轨迹为圆，故选：A．【点评】本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查曲线方程的建立，考查方程与曲线的关系，解题的关键是“仰角相等”转化成比例式12．已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x （e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1e 2，4e] B ．(1e，4e 2] C ．[4e 2，2e) D ．[4e 3，2e 2) 【分析】由g （x ）＝x 2﹣ae x ＝0，得x 2＝ae x ，即a =x 2ex ．构造函数h(x)=x 2ex (x ∈(1，3))，结合导数可判断单调性，进而可求．解：易知函数f （x ）只有一个零点2，故P ＝{2}，由题意知|2﹣β|＜1，即1＜β＜3．由题意知，函数g （x ）在（1，3）内存在零点， 由g （x ）＝x 2﹣ae x ＝0，得x 2＝ae x ，所以a =x 2ex ．记h(x)=x 2ex (x ∈(1，3))，则h′(x)=2xe x −e x x 2(e x )2=x(2−x)e x，x ∈(1，3)． 所以当x ∈（1，2）时，h '（x ）＞0，函数h （x ）单调递增；当x ∈（2，3）时，h '（x ）＜0，函数h （x ）单调递减； 所以h(x)≤h(2)=4e 2，而h(1)=1e ，h(3)=9e 3＞1e ，1e ＜h(x)≤h(2)=4e 2， 所以实数a 的值范围为(1e ，4e 2]． 故选：B ．【点评】本题主要考查了利用但是研究函数的单调性求解函数的最值，属于中档试题 二、填空题 13．∫ 30|x ﹣1|dx ＝52．【分析】将：∫03|x ﹣1|dx 转化成∫01（1﹣x ）dx +∫13（x ﹣1）dx ，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解：∫03|x ﹣1|dx ＝∫01（1﹣x ）dx +∫13（x ﹣1）dx ＝（x −12x 2）|01+（ 12x 2﹣x ）|13=52．故答案为：52【点评】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．已知函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，则φ的值是π3．【分析】直接利用函数的图象的应用求出结果．解：函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，所以cos π6=√32=sin(2×π6+φ）， 所以：φ=π3(0＜ϕ＜π2)． 故答案为：π3．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 70 （用数字回答）．【分析】要求交点个数，等价转化为将8个点任意取4个分为一组，总共有多少组．由此结合排列组合公式加以计算，可得本题答案 解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形， 该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点， 故交点个数为C 84=70． 故答案为：70【点评】本题给出圆上的8个同的点，求经过其中任意两点作弦在圆内所得交点个数．着重考查了圆的性质和排列组合公式等知识，属于基础题 16．已知α，β，γ∈(0，π2)，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝2，则cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为√2 ．【分析】根据基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin 2α+sin 2β)=√2cosγ，同理可得sin β+sin γ≤√2cosα，sin γ+sin α≤√2cosβ，进一步求出cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值．解：由题意，知sin 2α+sin 2β+sin 2γ＝1，由基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin 2α+sin 2β)=√2cosγ， 同理sinβ+sinγ≤√2(sin 2β+sin 2γ)=√2cosα， sinγ+sinα≤√2(sin 2γ+sin 2α)=√2cosβ， 上述式子相加可得cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ≥√2．所以cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为√2．故答案为：√2．【点评】本题考查了基本不等式和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想，属基础题． 三、解答题17．已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，求点C 1到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D ﹣AB ﹣P 的大小为π4？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ，从而可求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，点B 1恰好为AB 的中点，所以P 为B 1C 1中点，故点C 1到平面APB 的距离与点B 1到平面APB 的距离相等．（3）由于二面角D ﹣AB ﹣B 1为直二面角，故只要考查二面角P ﹣AB ﹣B 1是否为π4即可．解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ． 由于AB ＝πr ＝π，AD ＝π，所以这实际上是一个正方形． 所以曲线Γ的长度为BD =√2π．（2）当θ=π2时，点B 1恰好为AB 的中点，所以P 为B 1C 1中点， 故点C 1到平面APB 的距离与点B 1到平面APB 的距离相等． 连接AP 、BP ，OP ．由AB ⊥B 1P 且AB ⊥A 1B 1知：AB ⊥平面APB ，从而平面A 1B 1P ⊥平面APB ．作B 1H ⊥OP 于H ，则B 1H ⊥平面APB ，所以B 1H 即为点B 1到平面APB 的距离． 在Rt △OB 1P 中，OB 1=1，B 1P =BB 1̂=π2，所以OP =√12+(π2)2=√π2+42．于是：B 1H =OB 1×B 1P OP =1×π2√π+42=√π+4． 所以，点C 1到平面APB 的距离为√π2+4．（3）由于二面角D ﹣AB ﹣B 1为直二面角，故只要考查二面角P ﹣AB ﹣B 1是否为π4即可． 过B 1作B 1Q ⊥AB 于Q ，连接PQ ．由于B 1Q ⊥AB ，B 1P ⊥AB ，所以AB ⊥平面B 1PQ ，所以AB ⊥PQ ． 于是∠PQB 1即为二面角P ﹣AB ﹣B 1的平面角． 在Rt △PB 1Q 中，B 1Q =sinθ，B 1P =BB 1̂=θ． 若∠PQB 1=π4，则需B 1P ＝B 1Q ，即sin θ＝θ．令f （x ）＝sin x ﹣x （0＜x ＜π），则f ′（x ）＝cos x ﹣1＜0， 故f （x ）在（0，π）单调递减．所以f （x ）＜f （0）＝0，即sin x ＜x 在（0，π）上恒成立． 故不存在θ∈（0，π），使sin θ＝θ．也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D ﹣AB ﹣B1为π4．【点评】本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，S n2＝a n+12﹣λS n+1，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用已知条件通过a n+1＝S n+1﹣S n，推出S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，然后证明：S n+1＝2S n+λ；（2）求出数列的通项公式，利用数列是等比数列，求解即可．【解答】（1）证明：∵a n+1＝S n+1﹣S n，S n2=a n+12−λS n+1，∴S n2=(S n+1−S n)2−λS n+1，∴S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，∴a n＞0，∴S n+1＞0，∴S n+1﹣2S n﹣λ＝0；∴S n+1﹣2S n+λ（2）解：∵S n+1＝2S n+λ，S n＝2S n﹣1+λ（n≥2），相减得：a n+1＝2a n（n≥2），∴{a n}从第二项起成等比数列，∵S2＝2S1+λ即a2+a1＝2a1+λ，∴a2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，∴a n={1，n=1(λ+1)2n−2，n≥2，若使{a n}是等比数列则a1a3=a22，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，∴λ＝1经检验得符合题意．【点评】本题考查数列的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．19．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y1+y2的值；（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．【分析】（1）由P在抛物线上，将P的坐标代入抛物线方程可得p，进而点到抛物线方程，再由A，B的坐标满足抛物线方程，结合两直线的倾斜角互补，可得它们的斜率之和为0，化简计算可得所求值；（2）由点差法结合直线的斜率公式可得直线AB的斜率，设直线AB的方程为y＝﹣x+b （b∈[﹣1，3]），联立抛物线方程，消去y，可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，结合三元均值不等式，计算可得所求最大值．解：（1）点P（1，2）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，可得2p＝4，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x，由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，k PA+k PB=y1−2x1−1+y2−2x2−1=y1−2y124−1+y2−2y224−1=4y1+2+4y2+2=0，则y1+y2＝﹣4；（2）由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），则k AB=y1−y2x1−x2=4y1+y2=−1，可设直线AB的方程为y＝﹣x+b（b∈[﹣1，3]），联立抛物线方程y2＝4x，可得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，△＝（2b+4）2﹣4b2＝16（1+b）＞0，且x1+x2＝2b+4，x1x2＝b2，则|AB|=√1+1•|x1﹣x2|=√2•√(x1+x2)2−4x1x2=√2•√(2b +4)2−4b 2=4√2√1+b ， P （1，2）到直线AB 的距离为d =|1+2−b|2=3−b2， 可得S △ABP =12|AB |•d ＝2（3﹣b ）√1+b =√2•√(2+2b)(3−b)2≤√2•√(2+2b+3−b+3−b 3)3=32√39，当且仅当2+2b ＝3﹣b ，即b =13时，上式取得等号， 则S △ABP 的最大值为32√39． 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，考查直线的斜率公式的运用，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20．响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人． （1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2＞k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.841【分析】（1）根据所给条件，制作列联表，求出K 2的观测值k =43＞1.323，由所给临界值表得在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关． （2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ＝m +n ，根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：男 女 总计 喜欢阅读古典文学 64 36 100 不喜欢阅读古典文学56 44 100 总计12080200所以K 2的观测值k =n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(64×44−56×36)2120×80×100×100=43，因为K 2的观测值k =43＞1.323， 由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ＝m +n ， 根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，P(ξ=1)=P(m =1，n =0)=C 31C 22C 53⋅C 22C 42=120， P(ξ=2)=P(m =1，n =1)+P(m =2，n =0)=C 31C 22C 53⋅C 21C 21C 42+C 21C 32C 53⋅C 22C 42=310， P （ξ＝3）＝P （m ＝1，n ＝1）+P （m ＝2，n ＝1）+P （m ＝3，n ＝0）=C 31C 22C 53+C 32C 21C 53+C 20C 32C 53⋅C 22C 42=715， P =(ξ=4)=P(m =2，n =2)+P(m =3，n =1)=C 32C 21C 53⋅C 22C 42+C 20C 33C 53⋅C 21C 21C 42=16； P(ξ=5)=P(m =3，n =2)=C 20C 33C 53⋅C 22C 42=160， 所以ξ的分布列是：ξ 12345p12031071516160所以Eξ=1×120+2×310+3×715+4×16+5×160=145． 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．已知函数f （x ）＝xlnx +ax +1，a ∈一、选择题．（1）当时x ＞0，若关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围；（2）当n∈N*时，证明：n2n+4＜ln22+ln232+⋯+ln2n+1n＜nn+1．【分析】（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得−a≤lnx+1x恒成立，即−a≤(lnx+1x)min．令F(x)=lnx+1x．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）由n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n项和．因此只需证明1(n+1)(n+2)＜ln2n+1n＜1n(n+1)即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx﹣x+1≥0，即lnx≥x−1x．令x=n+1n＞1，即得lnn+1n＞1−nn+1=1n+1．可得ln2n+1n＞(1n+1)2＞1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．现证明ln2n+1n＜1n(n+1)，即2ln√n+1n√n√n+1=√n√n+1=√n+1n−√n n+1．通过构造函数利用导数研究函数的单调性极值即可证明2lnx＜x−1x(x＞1)．解：（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得−a≤lnx+1x恒成立，即−a≤(lnx+1x)min．令F(x)=lnx+1x．则F′(x)=1x−1x2=x−1x2．∴函数F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴函数F(x)=lnx+1x的最小值为F（1）＝1．∴﹣a≤1，即a≥﹣1．∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．（2）∵n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n项和．∴只需证明1(n+1)(n+2)＜ln2n+1n＜1n(n+1)即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx﹣x+1≥0，即lnx≥x−1 x．令x=n+1n＞1，即得lnn+1n＞1−nn+1=1n+1．∴ln2n+1n＞(1n+1)2＞1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．现证明ln2n+1n＜1n(n+1)，即2ln√n+1n1n√n+1=n+1−nn√n+1=√n+1n−√n n+1．（*）现证明2lnx ＜x −1x(x ＞1)．构造函数G(x)=x −1x−2lnx （x ≥1），则G′(x)=1+1x2−2x=x 2−2x+1x 2≥0． ∴函数G （x ）在[﹣1，+∞）上是增函数，即G （x ）≥G （1）＝0． ∴当x ＞1时，有G （x ）＞0，即2lnx ＜x −1x成立． 令x =√n+1n，则（*）式成立．综上，得1(n+1)(n+2)＜ln 2n+1n＜1n(n+1)．对数列{1(n+1)(n+2)}，{ln 2n+1n}，{1n(n+1)}分别求前n 项和， 得n 2n+4＜ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n＜n n+1．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．已知直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t曲线C 的参数方程为{x =1cosφy =2tanφ． （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为（1，1），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值． 【分析】（1）先求出直线l 和曲线C 的普通方法，然后利用点到直线的距离公式求出，曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）将直线l 的方程改写为{x =1−√2t2y =1+√2t2，然后代入曲线C 中，再根据|PA |•|PB |＝|t 1t 2|求出|PA |•|PB |的值．解：（1）直线l 的普通方程为x +y ﹣2＝0， 曲线C 的普通方程为x 2−y 24=1，故曲线C 的右顶点（0，1）到直线l 的距离d =√22．（2）将直线l 的参数方程改为{x =1−√2t2y =1+√2t2，并代入x 2−y 24=1，得3t 2−10√2t −2=0，设其两根为t 1，t 2，则t 1+t 2=10√23，t 1t 2=−23，∴|PA |•|PB |＝|t 1t 2|=23．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题． 23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：ba +a b+c+c b≥2；（2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，求a+b+cx+y+z的值．【分析】（1）直接利用三元基本不等式求出ba+a b+c+c b的最小值，即可证明b a+a b+c+c b≥2；（2）柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（x 2+y 2+z 2）≥（ax +by +cz ）2，再结合方程组即可得到a ，b ，c 之间的关系，进一步求出a+b+c x+y+z 的值．解：（1）由三元基本不等式知，ba+a b+c +c b=b a+a b+c+b+c b−1≥3√b a ⋅a b+c ⋅b+c b −1=2，当且仅当ba =a b+c =b+cb时取等号， ∴b a+a b+c+c b≥2．．（2）由柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（x 2+y 2+z 2）≥（ax +by +cz ）2， ∵{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，结合上述不等式取等号，可设ax =b y=c z=k （k ＞0），即a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，∴a 2+b 2+c 2＝k 2（x 2+y 2+z 2），∴4＝9k 2，∴k =23， ∴a+b+c x+y+z=k =23．【点评】本题考查了利用基本不等求最值和柯西不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．。

2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若sin(α+π)=34，则cos(α+π2)=()A. 34B. −34C. √74D. −√742.设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足·=0，·=0，·=0，则△BCD的形状是()A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定3.设是两个非零向量，下列选项正确的是()A. 若，则B. 若，则C. 若，则存在实数，使得D. 若存在实数，使得，则4.已知平面向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(x,3)，且a⃗⊥b⃗ ，则实数x的值为()A. 9B. 1C. −1D. −95.已知α是第一象限角，其终边与单位圆交点P的横坐标为13，绕坐标原点O将射线OP按逆时针方向旋转π3，所得射线与单位圆交于点Q，则点Q的纵坐标为()A. 2√3−16B. 2√2−36C. 2√6+16D. 2√2+√366.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+12(ω>0)，且f(α)=−12，f(β)=12，若|α−β|的最小值为3π4，则ω的值为()A. 1B. 13C. 23D. 27.设sin()=，sin2=()A. B. C. D.8.已知函数f(x)=sinx+sin(x+π3)，x∈[0,π]，则f(x)的值域为()A. [−√3,√3]B. [−√32,√3] C. [√32,√3] D. [−2,2]9. 已知空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ .点M 在OA 上，且OM =2MA ，点N 为△ABC 重心，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2>AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( ) A. 不等边三角形 B. 三条边不全等的三角形 C. 锐角三角形D. 钝角三角形11. 已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么+|等于A.B.C.D. 412. 如图是函数y =sin(ωx +φ)的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 12π B. 19π2+1 C. 19π2−1 D. 13π2−1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,2)且k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −3b ⃗ 垂直，则k 的值为______ ． 14. 已知钝角α满足cosα=−35，则tan(α+π4)的值为______． 15. 计算cos210°=______．16. 已知平面内M ，N ，P ，Q 四点，其中N ，P ，Q 三点共线，且MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μMP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 函数f(x)=Asin(ωx −π6)+1(A >0,ω,0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈(0,π2)，则f(α2)=2，求α的值．18.在平面直角坐标系中，已知向量，，．(1)若，求tan x的值；(2)若与的夹角为，求的值．19.已知函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[712π,56π]上的最小值以及取得该最小值时x的值．20.(1)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,−4a)，其中a≠0，求2sinα+cosα．(2)已知sinθ+cosθ=1，θ∈(0,π)，求sinθ−cosθ的值．521.(10分)设向量，函数．(Ⅰ)求函数的最大值与最小正周期；(Ⅱ)求使不等式成立的的取值范围．22.设函数f(x)=x2+|x−a|，g(x)=a．x(1)当a=0时，解关于x的不等式f(x)>2；(2)求函数f(x)的最小值；(3)若∀t∈(0,2)，∃x∈R使f(x)=g(t)成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：若sin(α+π)=34=−sinα，则cos(α+π2)=−sinα=34，故选：A．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式化简式子，属于基础题．2.答案：C解析：【思路点拨】通过·，·，·的符号判断△BCD各内角的大小，进而确定出三角形的形状．解：·=(−)·(−)=·−·−·+=>0，同理·>0，·>0.故△BCD为锐角三角形．3.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于是两个非零向量对于A.若，则，可知不垂直，对于B.若，则，两边平方不成立，对于C.若，则存在实数，使得成立，对于D.若存在实数，使得，则，只有方向相反的时候成立故答案为C。

湖南省长沙一中 师大附中 雅礼中学 长郡中学五月份联考试卷数学（理科）试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.1.a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A. 2B.3C.2D. 12.已知集合123A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭ZN ，{}2450B x x x =--≤，则A B =I （ ） A. {}1,0,1,3- B. {}1,0,1,2- C. {}1,0,1- D. {}0,1,2,33.如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A. 2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5是浙江省．B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C. 2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元． 4.设02x π≤≤sin cos x x =-，则（ ） A .0x π≤≤B.744x ππ≤≤C.544x ππ≤≤D.322x ππ≤≤5.设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A. ③④B. ①③C. ②③D. ①②6.已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，若()22f =，则()2019f 的值为（ ） A. 2B. 0C. 2-D. 2±7.若()*3nx n N ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a，则a a-=⎰（ ） A. 36πB.812πC.252πD. 25π8.已知向量a r 与b r 的夹角为θ，定义a b ⨯r r 为a r 与b r 的“向量积”，且a b ⨯r r是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=r r r r ，若()2,0u =r，(1,u v -=r r ，则()u u v ⨯+=r r r（ ）A.B.C. 6D. 9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. y x =±B. 2y x =±C.y =D. y =10.已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（ ）A. 3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）B. 53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）C .22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D. 2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 11.在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A. 28πB. 7πC. 14πD. 21π12.已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()3,1--B. ()2,1--C. (],3-∞-D. (],2-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.设变量x ，y ，z 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩…，则目标函数23z x y =+的最小值是______.14.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．15.过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若33MN =，则l 的斜率为______.16.如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，65OC =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在BC 上，则裁出三角形面积的最大值为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22181a a =+，公差0d >，1S 、4S 、16S 成等比数列，数列{}n b 满足()22log 1log nn b a x =-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）已知11n n n c a a +=，求数列{}n n c b +的前n 项和n T .18.如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形, ,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面ABCD 224,2,AB AD CD PC a E ====,是PB 的中点.（1）.求证:平面EAC ⊥平面PBC ; （2）.若二面角P AC E --6,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.19.已知圆M ：(2264x y++=及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G 在MA上，且满足2NA NB =u u u r u u u r ，0GB NA ⋅=u u u r u u u r，点G 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线12y x =和12y x =-分别交于P 、Q 两点.当12k >时，求OPQ ∆（O 为坐标原点）面积的取值范围.20.超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii ）若1p =采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈21.记{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如{max =.已知函数(){}2max 1,2ln f x x x =-，()2221max ln ,242g x x x x a x a a ⎧⎫⎛⎫=+-+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（1）设()()()21312h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.请考生在第22~23题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P作直线l 的垂线交曲线C 于,D E 两点(D 在x 轴上方)，求11PD PE-的值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|2||23|f x x a x a =-+-+． （1）当2a =时，解关于x 不等式()9f x ≤；（2）当2a ≠时，若对任意实数x ，()4f x ≥都成立，求实数a 的取值范围．。

2020届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期5月质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{012}M xx =<+<∣，{}221x xP x -=<∣，则M P ⋂=（ ）A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,1)-【答案】B【解析】利用指数不等式以及一元二次不等式的解法化简集合，再进行交集运算. 【详解】{}012{|11}M x x x x =<+<=-<<，202220x x x x -⇒<-<，解得01x << (1,1)M ∴=-，(0,1)P =，∴(0,1)M P ⋂=故选：B 【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，涉及了指数不等式，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．已知复数z 满足(1)34z i i -=-，其中i 为虚数单位，则在复平面内，复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算求得72i z -=，根据共轭复数的概念得到72i z +=，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】 ∵34(34)(1)71(1)(1)2i i i iz i i i --+-===--+. ∴72i z +=，所以复数z 对应的点为71,22⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义，属于基础题.3．已知4log 6a =，0.1log 2b =，322c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】B【解析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】302440.10.1log 6log 41,log 2log 0,02211->=<=<<=1a ∴>，0b <，01c <<，即a c b >>故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，属于基础题.4．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲､乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬､扶､捡､顶中的两个动作，两人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是（ ） A ．35B ．712C ．14D ．512【答案】C【解析】记“甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡””为事件A .列举出全部基本事件，求出事件A 包含的基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式，求出事件A 的概率. 【详解】记“甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡””为事件A .全部基本事件为：(爬，扶)、(爬，捡)、(爬，顶)、(扶，爬)、(扶，捡)、(扶，顶)、(捡，爬)、(捡，扶)、(捡，顶)、(顶，爬)、(顶，扶)、(顶，捡)共12个. 事件A 包含(爬，扶)、(爬，捡)、(扶，捡)共3个基本事件 故事件A 的概率：()14P A = 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.5．已知m 、n 为常数，则||||2x m y n -+-≤是22()()4x m y n -+-≤的（ ）条件 A ．充要 B ．必要不充分C ．充分不必要D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】利用不等式表示的几何意义，根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断． 【详解】设(,)P x y ，(,)H m n ，则满足不等式||||2x m y n -+-≤的点(,)P x y 在以(2,),(,2),(2,),(,2)A m n B m n C m n D m n -++-为顶点的正方形ABCD 内部（含正方形的边），满足不等式22()()4x m y n -+-≤的点(,)P x y 在以(,)H m n 为圆心，2为半径有圆内（含圆周），而正方形ABCD 是圆H 的内接正方形，∴(){},2x y x m y n -+-≤(){}22,()()4x y x m y n -+-≤，∴应选充分不必要条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件与集合包含关系是解题关键．6．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>，1x 、2x 为函数()f x 的两个极值点，若12x x -的最小值为2π，则（ ） A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 在2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 【答案】B【解析】根据极值点之间的关系，求得函数周期以及ω，再求函数的单调区间即可. 【详解】函数的解析式()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可得：22T T ππ=⇒=， 即2ππω=，则2ω=.函数的解析式为：2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ-≤+≤+，即5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3222232k x k πππππ+≤+≤+，即7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 不存在满足题意的单调减区间。

湖南省长沙市雅礼中学2019届高三5月考试题数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的1.已知集合，则A B＝A. B. (1,2) C. (2, ) D. （，0）【答案】A【解析】【分析】解集合A与集合B，求得集合的交集即可。

【详解】解集合A可得集合B为}所以A B＝所以选A【点睛】本题考查了集合的简单并集运算，属于基础题。

2.设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的判断，分别作为条件推理即可。

【详解】若x，y中至少有一个数大于1（如x=1.1，y=0.1），则x2＋y2＞2不成立若x2＋y2＞2（如x=-2，y=-2）则x，y中至少有一个数大于1不成立所以“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的既非充分又非必要条件所以选D【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，属于基础题。

3.已知直线m，n和平面，满足m⊥n，m⊥，⊥，则A. n⊥B. n∥C. n∥或nD. n∥或n【答案】D【解析】【分析】根据空间几何的垂直平行关系，找出反例即可。

【详解】根据条件，画出示意图反例如下图可分别排除A、B、C所以选D【点睛】本题考查了空间几何垂直平行关系的判断，注意解题方法的选择，属于基础题。

湖南省2020届雅礼中学高三5月质量检测卷
理科数学
（本试卷满分 150 分，考试时间： 120 分钟）
第I卷选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
l已知集合A={xlx2-x-6>0},B={-4,-3,3,4}, 则AnB=
A.{-4,-3,3,4}
B.{-4,-3,3} c.{-4,3,4} D.{-4,-3,4}
2已知复数Z沥足z(l一i)= 3-4i, 其中1为虚数单位则在复平面内，复数；对应的点在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限D第四象限
3. 已知a=log心，b=log32,c=22, 则a,b,c的大小关系是
A. a >b>c
B. a > c >b
C. c>a >b
D.c>b> a
4若直线x+ay-2=0与3x-6y+I=0乖且，则三项式（矿－乌5的展开式中x的系数为A.-2 B.-2 C.2D.2
5已知函数/(x)足定义在R上的偶函数，在仅间[o,+oo)上单调递Jfl'且，/(2)=0, 则不等式/(l o g2x)> 0的解织为
I
A.(-oo,-)U(4,+co)
4
I
C.(一，1)U(4,+oo)
4 B. (一，2)U(2,4)
4
D.(O, 一）UC4, 如）
4
6 《宋人扑枣图轴》处作T-宋朝的中闪如画，现收藏丁·中因台北故宫博物院．该作品简介：
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2019-2020学年湖南省长沙市第一中学高一下学期5月阶段性测试数学试题一、单选题1．已知点(sin ,tan )P αα在第二象限，角α顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，则角α的 终边落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据点P 的位置，得到不等式组，进行判断角α的终边落在的位置． 【详解】点()sin ,tan P αα在第二象限sin 0tan 0ααα<⎧⇒⇒⎨>⎩在第三象限，故本题选C ．【点睛】本题考查了通过角的正弦值和正切值的正负性，判断角的终边位置，利用三角函数的定义是解题的关键．2．已知cos 2πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭且2πϕ<，则tan ϕ=（ ）A ．3-B C ．D【答案】D【分析】根据诱导公式化简然后得出具体的ϕ，简单计算即可.【详解】∵cos sin 22πϕϕ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，∴sin ϕ=，又2πϕ<，∴3πϕ=，∴tan ϕ=故选: D.3．随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机，对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来.为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包括老、中、青三个年龄段的1500人中采取分层抽样的方法抽取50人进行调查，已知这50人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为A ．490B ．390C ．1110D ．410【答案】B【分析】由题意可知老年人所占的比例为134%40%26%--=，据此求解老年人的人数即可.【详解】由题意结合分层抽样的定义可知，这个群体里老年人人数为1500(134%40%)150026%390⨯--=⨯=. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查统计图表的识别与应用，属于基础题. 4．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x∈时，()0f x<，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．5．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点()P m n,的坐标，那么点P在圆2215x y+=内部的概率是（）A．13B．25C．29D．49【答案】C【分析】连续掷两次骰子，构成的点的坐标有36个，依次找出满足2215x y+<的点的坐标，数出个数，用概率公式计算即可.【详解】连续掷两次骰子，构成的点的坐标有6636⨯=个，而满足2215x y+<的有()1,1，()1,2，()1,3，()2,1，()2,2，()2,3，()3,1，()3,2，共8个，∴82369P==. 故选：C.6．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设制作扇子的扇形面积为1S,圆面中剪去部分面积为2S，当12510.618SS-=≈时，扇面看上去形状较为美观，那么此时制作扇子扇形的圆心角的度数约为A．o127.50B．o137.50C．o147.50D．o150.50【答案】B【分析】由题意知，1S与2S所在扇形的圆心角的比即为它们的面积比，设1S与2S所在扇形圆心角分别为α，β，列出方程，解得.【详解】解：由题意知，1S与2S所在扇形的圆心角的比即为它们的面积比，设1S与2S所在扇形圆心角分别为α，β则10.6182αβ=≈ 360αβ+=︒222.50β∴≈︒，137.50α≈︒故选：B【点睛】本题考查扇形的面积相关计算问题，属于基础题.7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】由已知确定函数的周期，再确定函数在[0,1]上的单调性，然后由周期变形，利用单调性比较大小．【详解】∵()f x 是奇函数，且()()()2f x f x f x +=-=-，∴()f x 的周期为4， ∴()2018f =()()20f f =，201931222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，202042333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∵[]0,1x ∈时，()2xf x =cos x -单调递增，∴()12230f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角()0ααπ≤≤的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A ，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为Q ．记线段BQ 的长为y ，则函数()y fα=的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】sin()cos 2Q BQ y παα==+= ，所以选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、多选题9．已知m ，n 表示两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 【答案】BC【分析】采用逐一验证，根据线线、线面相关的判定定理以及性质定理进行判断即可. 【详解】对于选项A ，若//m α，//n α，则m 与n 可能相交､平行或异面，A 错误； 由直线与平面垂直的性质得选项B 正确； 依据直线与平面垂直的性质定理得C 正确；选项D 中m 可能与平面α平行､垂直､斜交或在平面α内. 故选：BC10．下列说法中正确的是A ．若事件A 与事件B 是互斥事件，则()0P AB =B ．若事件A 与事件B 是对立事件：则()1P A B ⋃=C ．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D ．把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 【答案】ABC【分析】由对立事件和互斥事件的定义可依次判断各个选项得到结果. 【详解】事件A 与事件B 互斥，则不可能同时发生，()0P A B ∴=，A 正确； 事件A 与事件B 是对立事件，则事件B 即为事件A ，()1P AB ∴=，B 正确；事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，C 正确；“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，D 错误. 故选：ABC .【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的辨析，考查对于基础定义的理解，属于基础题. 11．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加B ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C ．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加 【答案】AD【分析】根据柱状图给定的信息，作差比较，即可求解.【详解】依题意，设2016年高考考生人数为x ，则2019年高考考生人数为1.5x ， 由24%1.528%8%0x x x ⋅-⋅=⋅>，所以A 项正确； 由7(40%1.532%)32%8x x x ⋅-⋅÷⋅=，所以B 项不正确； 由8%1.58%4%0x x x ⋅-⋅=⋅>，所以C 项不正确； 由28%1.532%10%0x x x ⋅-⋅=⋅>，所以D 项正确. 故选：AD.【点睛】本题主要考查了统计图表的识别和应用，其中解答中熟记柱状图表表示的含义是解答的关键，属于基础题. 12．已知()2cos 6x f x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的相邻两条对称轴的距离为2π，则有（ ） A ．点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图像的一个对称中心 B ．直线12x π=是函数()f x 图像的一条对称轴C ．函数()f x 在2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数D ．将函数()f x 的图像向右平移6π个单位后，对应的函数是奇函数 【答案】ABD【分析】依据题意可得ω，然后根据余弦函数的性质逐一验证即可. 【详解】由题可知：22T T ππ=⇒=，所以2ω=，即()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；注意到403f π⎛⎫=⎪⎝⎭，故为对称中心，A 正确； 又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即12x π=是函数()f x 图像的一条对称轴，B 正确；而7212f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，且72,1243πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()f x 在2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，C 错误；()f x 的图像向右平移6π个单位后可得2sin 2y x =为奇函数，故D 正确.故选：ABD三、填空题13．已知(),5,21A x x -，()1,,2B x x 两点，当AB 取最小值时，x 的值为___________. 【答案】3【分析】用空间两点间的距离公式计算可得AB =可以求出AB 取最小值时x 的值.【详解】∵AB ==令()221227f x x x =-+，则对称轴为3x =，且当3x =时，()min 9f x =，即3AB = 所以当3x =时A ､B 两点间距离取最小值3. 故答案为：3.14．期中考试结束后，某教师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间t (分钟)和数学成绩y (分)之间的一组数据如下表所示：通过分析，发现数学成绩y 对学习数学的时间t 具有线性相关关系，其回归方程0.716y t =+，则表格中m 的值是___________.【答案】63【分析】利用回归方程过样本中心点(),t y 求解即可. 【详解】由图表可得：30407090120705t ++++==，∴0.7701665y =⨯+=，则31498795655m y ++++==，即63m =.故答案为：6315．在平面直角坐标xOy 中，已知圆C :()221x m y -+=及点(1,0)A -,(1,2)B ,若圆C上存在点P 使得2212PA PB +=,则实数m 的取值范围是___________.【答案】[-【分析】设出点P 的坐标，它满足()22001x m y -+=①，由2212PA PB +=,可以得到等式()220014x y +-=②，由题意可知点P 是①②的公共部分，也就是说两圆有公共交点，利用圆与圆的位置关系，可以得到实数m应满足2121-≤+，求解这个不等式即可.【详解】设()00,P x y ，则有()22001x m y -+=，①它表示圆心为(),0m ，半径为1的圆，又2212PA PB += ()220014x y ⇒+-=②，它表示圆心为（0，1）半径为2的圆，若圆C 上存在点P 使得2212PA PB +=，这就是说要同时要满足①②，也就是说两圆有公共点，所以有2121m -≤+⇒-≤≤，所以实数实数m的取值范围是⎡-⎣.【点睛】本题考查了符号语言与图形语言之间的转化，考查了圆与圆的位置关系，考查了转化思想，考查了运算能力.16．函数1,02()52sin(2),06xx f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩，若方程()f x a =恰有三个不同的解，记为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是______. 【答案】55(1,)33ππ- 【分析】画出函数()f x 的图像，根据图像与y a =有三个不同的交点，判断出123,,x x x 的位置，由此求得123x x x ++的取值范围.【详解】画出函数()f x 的图像如下图所示，由图可知110x -<<，由于5π52sin π262f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，23,x x 关于5π6x =对称，即235π3x x +=.所以1235π5π133x x x -<++<.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查指数函数和三角函数图像的画法，考查三角函数的对称性，属于中档题.四、解答题17．已知()()()()23sin()cos tan 2sin 5tan 2f παπααπαπααπ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=+--. （1）化简()fα；（2）若α是第三象限角，且1cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f απ+的值； （3）若20203πα=，求()f α的值. 【答案】（1）αcos αf ；（2）26（3）12.【分析】（1）由诱导公式，同角间的三角函数关系化简；（2）由诱导公式得sin α，平方关系得cos α，最后再由诱导公式计算出()f απ+； （3）利用诱导公式化简求值．【详解】（1）()()2sin sin tan sin sin cos sin sin tan tan cos fαααααααααααα--==-=-=--； （2）∵1cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，α是第三象限角，∴1sin 5α=-，226cos 1sin 5αα=--=-， ∴()()26cos cos 5f απαπα+=-+==-； （3）∵202067333ππαπ==+，∴()1cos cos 673cos 332f ππααπ⎛⎫=-=-+== ⎪⎝⎭. 18．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC .（1）证明：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）设2AB PC ==，1AC =，求二面角B PA C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）21919. 【分析】（1）依据题意可得PC BC ⊥，根据圆的性质可得BC AC ⊥，最后根据面面垂直的判定定理可得结果.（2）作CM PA ⊥，通过证明PA ⊥平面BCM ，找到二面角B PA C --的平面角BMC ∠，然后简单计算即可.【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴BC AC ⊥，又∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BC ⊥，∵PC AC C ⋂=，PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC .又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ；（2）∵BC ⊥平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以PA BC ⊥过C 作CM PA ⊥于M ，连接BM ，BC CM C =,,BC CM ⊂平面BCM ，所以PA ⊥平面BCM则BM PA ⊥，∴BMC ∠即为二面角B PA C --的平面角， 5CM =，3BC =，∴315tan 225BMC ∠==. ∴219cos 19BMC ∠=. 19．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内的概率．【答案】（1）平均分68，众数65；（2）35【分析】（1）先求得成绩在区间[)80,90内的频率，然后根据平均数的计算公式，计算出平均分，利用最高的小长方形求得众数.（2）先求得[)80,90、[]90,100的人数，然后用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间[)80,90内的频率为()10.00520.0150.0200.045100.1-⨯+++⨯=. 所以平均分0.05450.15550.45650.2075x =⨯+⨯+⨯+⨯0.10850.059568+⨯+⨯=， 众数的估计值是65.（2）设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”，由题意可知成绩在区间[)80,90内的学生所选取的有：0.01010404⨯⨯=人， 记这4名学生分别为a ，b ，c ，d ，成绩在区间[]90,100内的学生有0.00510402⨯⨯=人，记这2名学生分别为e ，f ， 则从这6人中任选2人的基本事件为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”的可能结果为：(),a e ，(),a f ，(),b e ，(),b f ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共9种，所以()93155P A ==． 故所求事件的概率为：35． 【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查根据频率分布直方图估计平均数和总数，考查古典概型的计算，属于基础题.20．已知圆22:24200C x y x y +---=及直线l ：(21)(1)74()m x m y m m R +++=+∈.(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最小值及此时的直线方程.【答案】(1)证明见解析；(2) 250x y --=.【分析】（1）根据直线过的定点在圆内，得出直线与圆总相交．（2）作图分析出当直线l 与半径CM 垂直与点M 时|AB |最短，利用勾股定理求出此时|AB |的长，再运用两直线垂直时斜率相乘等于−1，求出此时直线l 的方程．【详解】解：(1)证明：直线l 的方程可化为(4)(27)0x y m x y +-++-=， 由方程组40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ 所以直线过定点M (3，1)，圆C 化为标准方程为22(1)(2)25x y -+-=，所以圆心坐标为(1，2)，半径为5，因为定点M (3，1)到圆心(1，2)的距离为5=，所以定点M (3，1)在圆内，故不论m 取什么实数，过定点M (3，1)的直线l 与圆C 总相交；(2)设直线与圆交于A 、B 两点，当直线l 与半径CM 垂直与点M 时，直线l 被截得的弦长|AB |最短，此时AB ====， 此时12AB CM k k =-=，所以直线AB 的方程为12(3)y x -=-，即250x y --=.故直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为l 的方程为250x y --=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，当直线l 与半径CM 垂直于点M 时|AB |最短是解题的关键，是中档题．21．已知函数()()log x a f x a t =+(0a >，1a ≠)，其定义域为D ， （1）若D =R ，求实数t 的取值范围；（2）若存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，求实数t 的取值范围.【答案】（1）[)0,+∞；（2）1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据等价转化为0x a t +>恒成立问题，简单计算即可.（2）根据复合函数的单调性（同增异减），不管1a >还是01a <<，函数()f x 单调递增，然后列出式子计算即可.【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ，所以0x a t +>恒成立，所以x t a >-恒成立，因为0x a -<，所以0t ≥，所以t 的取值范围为[)0,+∞.（2）注意不论1a >还是01a <<，都有()f x 在定义域上单调递增，由()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值为[],m n 可知，22log log m a n a a t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，即22m m n n a t a a t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， ∴m ，n 是20x x a a t --=的两个根，设2xu a =(0>u )， 因为m n <，所以20u u t --=有2个不等的正实数根，∴140t ∆=+>且两根之积，0t ->，解得104t -<<， ∴实数t 的取值范围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：第（1）问等价转化为恒成立问题；第（2）问通过判断函数单调性，然后列出式子22log log m a n a a t ma t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，并转化为m ，n 是20x x a a t --=的两个根便于计算.22．函数()()cos f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0πϕ-≤≤)的图像如图所示，其图像经过点()0,1A ，5,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求出此函数的解析式以及函数的单调递增区间；（2）是否存在实数m ，满足不等式()()sin sin A A ϕϕ>？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()2cos 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，单调递增区间为424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )；（2）存在，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）代入()0,1A ，5,03B π⎛⎫⎪⎝⎭坐标，求出ω的表达式和ϕ的值，利用周期的范围确定ω，从而求得解析式.（2）由定义域求出12m -≤≤函数()g x =()1sin 2sin 23A x x πωϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用其单调区间求解即可. 【详解】（1）由题意得2A =，代入点()0,1A ，则有1cos 2ϕ=，3πϕ=-.又代入5,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭可得： 5cos 033ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即52332k πππωπ-=+，解得1625k ω=+，注意到523T π≥，即103T π≥， 从而35ω≤，因此12ω=，即()2cos 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当2223x k k ππππ--≤≤，即424433k x k ππππ-≤≤+时，原函数单调递增. 所以原函数的单调递增区间为424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). （2）依题意，m 满足2223040m m m ⎧-++≥⎨-+≥⎩，解得12m -≤≤.因为()2223144m m m -++=--+≤，所以02≤，同理02≤≤.设()g x =()1sin 2sin 23A x x πωϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 令1222232k x k πππππ-+≤-≤+ 54433k x k ππππ-+≤≤+ 故可知()g x 在区间[]0,2上为增函数 ()()sin sin A A ϕϕ>，g g >>，即12m >成立即可，所以存在1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使()()sin sin A A ϕϕ>成立. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.。