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第三章 线性方程组§1消元法现在来讨论一般线性方程组，所谓一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1） 的方程组，其中n 21x , ,x ,x ⋯代表n 个中未知量，s 是方程的个数， ij a (i =1,2,…,s,j=1,2,…,n)称为方程组的系数，j b (j=1,2,…,s)称为常数项。
方程组中未知量的个数与方程的个数s 不一定相等。
系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程,第二个指标j 表示它是j x 的系数。
所谓方程（1）的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组（n k k k ,,,21 ），当解集合。
如果两个方程组有相同的n 21x , ,x ,x ⋯分别用n k k k ,,,21 代入后，（1）中每个等式都变成恒等式。
方程组（1）的解的全体称为它的解集合。
解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。
如果两个方程姐有相同的解集合，它们就称为同解的。
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用下面的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21222222112211 （2） 来表示。
实际上，有了（2）之后，除去代表未知量的文字外，线性方程组（1）就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。
在中学所学的代数里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。
实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。
下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。
先看一个例子。
例如，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.522,4524,132321321321x x x x x x x x x第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-.42,241323232321x x x x x x x第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三个方程的次序交换，即得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-.6,42,132332321x x x x x x这样，我们就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）。
线性方程组（一） 线性方程组关于解的结论定理1 设b AX =为n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是)(),(A r b A r =定理2 当n 元非齐次线性方程组b AX =有解时，即r A r b A r ==)(),(时，那么（1）b AX =有唯一解⇔n r =； （2）b AX =有无穷多解⇔n r <.定理3 n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是n r A r <=)( 推论1 设A 为n 阶方阵，则n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解⇔0=A 推论2 设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则n 元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组0=AX 的解的全体所组成的向量集合{}0==ξξA V显然V 是非空的，因为V 中有零向量，即零解，而且容易证明V 对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V 成为n 维列向量空间nR 的一个子空间，我们称V 为方程组0=AX 的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把n 元齐次线性方程组0=AX 的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解时，即n r A r <=)(时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为r n -求基础解系与通解的方法是：对方程组0=AX 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例1 求⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+-+0022*********43214321x x x x x x x x x x x x 的通解解：对系数矩阵A ，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：12212310341034321211110145111111110000A ⨯⨯⨯⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭行(-1)+2行行(-1)+3行3行(-1)+1行1行(-1)+2行42)(<=A r ，有非零解，取43,x x 为自由未知量，可得一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-=4433432431,54,43x x x x x x x x x x 写成向量形式，令13k x =，24k x =为任意常数，则通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054014321k k X 可见，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054,014321ξξ为方程组的一个基础解系. （四）非齐次线性方程组1． 非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设b AX =为一个n 元非齐次线性方程组，0=AX 为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：性质1 如果21,ηη是b AX =的解，则21ηηξ-=是0=AX 的解性质2 如果η是b AX =的解，ξ是0=AX 的解，则ηξ+是b AX =的解由这两个性质，可以得到b AX =的解的结构定理：定理 设A 是n m ⨯矩阵，且r A r b A r ==)(),(，则方程组b AX =的通解为r n r n k k k X --++++=ξξξη 2211*其中*η为b AX =的任一个解（称为特解）,r n -ξξξ,,,21 为导出组0=AX 的一个基础解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组b AX =，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2 当参数a ，b 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：()()23424111110111100122101221(,)01320010132110123110111012210010100010A b a b a b a a a b a +⨯++⨯+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪----+ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎪⎪→ ⎪-+ ⎪-⎝⎭行行１行-3行行行2行-1行当1≠a 时，4)(),(==A r b A r ，有唯一解； 当1,1≠=b a 时，3),(=b A r ，2)(=A r ，无解； 当1,1-==b a 时，2)(),(==A r b A r ，有无穷多解.此时，方程组的一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++-=44334324312211x x x x x x x x x x令2413,k x k x ==为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10210121001121k k X。
§1. 线性方程组概念m 个方程n 个未知数n x x ,,1 的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1）未知数又称为元，n 个未知数的线性方程组也称为n 元线性方程组.把m 个方程写成一个矩阵等式，则方程组（1）成为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++n mn m mn n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 22122221211212111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m b b b 21再把左边写成两个矩阵的乘积，就得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n mn m m n n x x x a a a a a a a a a21212222111211=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m b b b 21 简记为 Ax =b （2） 其中 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a212222111211，x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，b =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m b b b 21 A 称为系数矩阵,b 是常数列向量,x 为未知数列向量.线性方程组(1)还可以表示成向量形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n n m m a a a x a a a x a a a x 21222122121111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m b b b 21 简记为n n x x x ααα+++ 2211=b （3）其中n ααα,,,21 是系数矩阵A 的列向量组，b =Tm b b b ),,,(21 为常数列向量.表示式(1),(2),(3)是同一个线性方程组的不同表示形式，代表的是同一个线性方程组.当b =0时，即1b =2b =…=m b =0时，方程组称为齐次的，当0≠b 时，即m b b b ,,,21 不全为0时，方程组称为非齐次的.非齐次线性方程组Ax =b 对应的齐次线性方程组，指的是Ax =0，它的系数矩阵A 与非齐次方程组Ax =b 的系数矩阵相同.（有些书称Ax =0为Ax =b 的导出组）.线性方程组(1)的一组解11a x =,22a x =,…, n n a x =，今后将写成列向量形成x =T n a a a ),,,(21 ，称为(1)的一个解向量，简称一个解.§2. 齐次线性方程组m 个方程的n 元齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 简记为Ax =0 （1） 其中A =n m ij a ⨯)(为系数矩阵，x =T n x x x ),,,(21 ，0=T )0,,0( . 方程组(1)的向量形式为n n x x x ααα+++ 2211=0 （2）其中n ααα,,,21 为A 的列向量组，0=T )0,,0( .齐次线性方程组(1)显然有解01=x ,02=x ,…, 0=n x ，这个解称为零解，记作0=x .如果齐次方程组(1)有解==αx T n a a a ),,,(21 ，且0≠α，即n a a a ,,,21 不全为0，这种解称为非零解.齐次线性方程组总有零解，但不一定有非零解.定理1. 设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解n A R <⇔)(. 当n m =时，0=Ax 有非零解0||=⇔A换句话说，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数.当方程个数等于未知数个数时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零.[证] 利用0=Ax 的向量形式(2)，即n n x x x ααα+++ 2211=0方程组(1)有非零解x =0),,,(21≠T n k k k⇔存在不全为零的数n n k x k x k x ===,,,2211 满足（2），即n n k k k ααα+++ 2211=0⇔向量组n ααα,,,21 线性相关. ⇔R n n <),,,(21ααα ⇔n A R <)(当n m =时，A 为n 阶方阵，0||)(=⇔<A n A R .（证毕） 推论：设A 为n m ⨯矩阵，则0=Ax 只有零解⇔n A R =)(.当n m =时，0=Ax 只有零解⇔0||≠A .[证].A 为n m ⨯矩阵，n A R ≤)(，只有n A R =)(及n A R <)(两种可能.因此，由定理1即可知推论成立.（证毕）定理2. 若1ξ=x ,2ξ=x 是齐次方程组0=Ax 的解，k 是任意数，则21ξξ+=x 及1ξk x =也是0=Ax 的解.[证] )(21ξξ+A =21ξξA A +=0+0=0)(1ξk A =)(1ξkA =0⋅k =0 （证毕）由定理2可知，若t x ξξξ,,,21 =是0=Ax 的解，则t t k k k x ξξξ+++= 2211也是0=Ax 解.其中t k k k ,,21是任意常数.0=Ax 的所有解组成的集合记作S ，即S ={}0|=Ax x ,称为方程组0=Ax 的解集.定理2说明S关于向量的加法及数乘运算封闭，故S 为向量空间，称为0=Ax 的解空间，S 的秩)(S R 就是S 的维数，S 的最大无关组就是S 的基.定义 齐次线性方程组0=Ax 的所有解组成的解集S 的最大线性无关组t ξξξ,,,21 称为方程组0=Ax 的基础解系.根据最大无关组的性质，tξξξ,,,21 为0=Ax 的基础解系的充要条件为t ξξξ,,,21 满足以下两个条件：(1)t ξξξ,,,21 是0=Ax 的线性无关解向量.(2)0=Ax 的任何一个解ξ都可由t ξξξ,,,21 线性表示.定理3. 设A 为n m ⨯矩阵，则齐次方程组0=Ax 的基础解系所含的向量个数为)(A R n -.(n 为未知数的个数).[证] 设r A R =)(，若n r =，根据定理1的推论，此时0=Ax 只有零解，没有基础解系，也可以说基础解系所含向量个数为n n -=0.故结论成立.现设n r A R <=)(.则A 的列向量组n αα,,1 的秩R (n αα,,1 )=r .不妨设n αα,,1 的最大无关组为r ααα,,,21 ，于是n r αα,,1 +可由r ααα,,,21 线性表示，设为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=---++rr r n r n r n n r r r r r r d d d d d d d d d αααααααααααα,22,11,2222121212121111移项得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+----=+----=+-------++000,22,11,2222212*********n r r r n r n r n r r r r r r d d d d d d d d d αααααααααααα （3） 现考虑方程组0=Ax 的向量形式(2)：n n x x x ααα+++ 2211=0等式(3)说明方程组0=Ax (即(2))有以下r n -个解：T r d d d x )0,,0,1,,,,(112111 ---==ξ. T r d d d x )0,,1,0,,,,(222212 ---==ξ.………………………………………………T r r n r n r n r n d d d x )1,,0,0,,,,(,2,1, -------==ξ.容易证明r n -ξξξ,,,21 线性无关.设Tn r r c c c c c x ),,,,,(121 +==ξ是0=Ax 的任意一个解，则有n n r r r r c c c c c ααααα++++++++ 112211=0 （4）作r n -ξξξ,,,21 的线性组合r n n r r c c c x -+++++=ξξξ 2211=Tn r r r c c c d d d ),,,,,,,(2121 ++ 根据定理2，这个线性组合也是0=Ax 的解，故有0112211=++++++++n n r r r r c c d d d ααααα （5）(4)与(5)相减，得0)()()(222111=-++-+-r r r d c d c d c ααα因为r ααα,,,21 线性无关，故有11d c -=0,22d c -=0,…,r r d c -=0，即r r c d c d c d ===,,,2211于是ξξξξ==+++=+-++T n r r r n n r r c c c c c c c c x ),,,,,(1212211即0=Ax 的任一个解ξ可由r n -ξξ,,1 线性表示.以上证明了r n -ξξ,,1 是0=Ax 的基础解系，它含有r n -个向量.（证毕）因为0=Ax 的基础解系就是0=Ax 的解集S 的最大无关组，其个数就是解集S 的秩.因此，定理3可改述为)()(A r n S R -=，即n S R A R =+)()(.(n 为未知数个数.)定理4. 若0=Ax 的基础解系为r n -ξξξ,,,21 ，则0=Ax 的所有解（称为通解）为x =r n r n k k k --+++ξξξ 2211其中r n k k k -,,,21 为任意常数,)(A R r =，n 为未知数个数.[证] 根据定理2及基础解系的定义，一方面，x =r r n k k ξξ-++ 11是齐次方程组0=Ax 的解，另一方面，0=Ax 的任一个解ξ=x 都可由r n -ξξ,,1 线性表示，即存在常数r n k k -,,1 使ξ=x =r r n k k ξξ-++ 11.故知定理的结论成立.（证毕）由此可见，解齐次线性方程组0=Ax ，就是要求其基础解系.§3. 非齐次线性方程组m 个方程n 个未知数n x x ,,1 的非齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* 简记为Ax =b （1） 其中A =n m ij a ⨯)(称为系数矩阵，b =0),,,(21≠T m b b b ，即m b b b ,,,21 不全为零.x = T n x x x ),,,(21 为未知数列向量.],[b A 称为增广矩阵. 方程组(1)的向量形式为n n x x x ααα+++ 2211=b （2）其中n ααα,,,21 是系数矩阵A 的列向量组，b =0),,,(21≠T m b b b非齐次线性方程组b Ax =不一定有解.定理1. 非齐次线性方程组b Ax =有解)(]),([A R b A R =⇔. [证]b Ax =有解x =T n k k k ),,,(21⇔存在数n n k x k x k x ===,,,2211 满足方程(2)，即 n n k k k ααα+++ 2211=b⇔向量b 可由向量组n ααα,,,21 线性表示.根据第三章§3定理1，b 可由n ααα,,,21 线性表示.⇔R ),,,,(21b n ααα =),,,(21n R ααα ⇔)(]),([A R b A R =. （证毕）定理2. (1) 若1η=x 及2η=x 是非齐次方程组b Ax =的两个解，则21y y x -=是对应齐次方程组0=Ax 的解.(2)若*=ηx 是非齐次方程组b Ax =的一个解，ξ=x 是对应齐次方程组0=Ax 的解，则ξη+=*x 是非齐次方程组b Ax =的解.[证] (1))(21ηη-A =21ηηA A -=b b -=0，故(1)成立. (2))(ξη+*A =ξηA A +*=0+b =b ，故(2)成立.（证毕）定理3. 若*=ηx 是非齐次方程组b Ax =的一个解，r n -ξξξ,,,21 是对应齐次方程组0=Ax 的基础解系，则非齐次方程组b Ax =的所有解（称为通解）为r n r n k k k x --*++++=ξξξη 2211 （3）其中r n k k k -,,,21 为任意常数.[证] 由§2定理4，r n r n k k k x --+++=ξξξ 2211是对应齐次方程组0=Ax 的通解.由上面定理2(2)可知(3)式是b Ax =的解.另一方面，设η=x 是b Ax =的任一个解，由定理2(1)，*-=ηηx 是对应齐次方程组0=Ax 的解，因而存在常数r n k k k -,,,21 ，使*-ηη= r n r n k k k --+++ξξξ 2211，即b Ax =的任一个解η=x 都可以表示成r n r n k k k x --*++++==ξξξηη 2211所以(3)式是非齐次方程组b Ax =的通解. （证毕）定理4. n 元非齐次线性方程组b Ax =有无穷多个解的充分必要条件为]),([b A R = n A R <)(.[证] 必要性：设b Ax =有无穷多个解.首先，b Ax =有解，由定理1得]),([b A R = )(A R .其次，设有两个不同解为1η=x ，2η=x ，由定理2(1)，021≠-=ηηx 是对应齐次方程组0=Ax 的非零解，由§2定理1，n A R <)(.故有]),([b A R =n A R <)(.必要性得证.充分性：设]),([b A R =)(A R =n r <，由]),([b A R =)(A R ，根据定理1，方程组b Ax =有解，设*=ηx 是它的一个解.再由)(A R =n r <，由§2定理3，对应齐次方程组0=Ax 的基础解系含)0(>-r n 个向量，设为r n -ξξ,,1 ，由上面的定理3，b Ax =的所有解为r n r n k k x --*+++=ξξη 11其中r n k k -,,1 为任意常数.因此，b Ax =有无穷多个解.（证毕）推论：设A 为n m ⨯矩阵，则n 元非齐次线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件为]),([b A R =)(A R =n .当n m =时，b Ax =有唯一解的充分必要条件为0||≠A .当有唯一解时，其唯一解为b A x 1-=，用x 的分量表示，就是克莱姆法则：j x =DD j ),,2,1(n j =，其中||A D =为系数行列式，j D 是D 中第j 列换作常数列b 的行列式.[证] 第一部分：b Ax =有唯一解⇔]),([b A R =)(A R =n 可由定理4得到。
