第20讲真题_计算和作图

第二十三讲尺规作图与无刻度直尺作图命题点1 五种基本尺规作图类型一判定作图结果1．（2021•广元）观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解答】解：根据基本作图，A、D选项中为过C点作AB的垂线，B选项作AB的垂直平分线得到AB边上的中线CD，C选项作CD平分∠ACB．故选：C．2．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．类型二根据作图步骤进行计算、证明或结论判断3．（2021•贵阳）如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．则b的长可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解答】解：根据题意得b＞AB，即b＞3，故选：D．4．（2021•杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC 的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB 于点P，则AP：AB＝（）A．1：B．1：2C．1：D．1：【答案】D【解答】解：∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAB＝×90°＝45°，∵EP⊥AB，∴∠APE＝90°，∴∠EAP＝∠AEP＝45°，∴AP＝PE，∴设AP＝PE＝x，故AE＝AB＝x，∴AP：AB＝x：x＝1：．故选：D．5．（2021秋•广州期中）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心C．∠BAD＝∠CAD D．AD是三角形的高【答案】C【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD．故选：C．6．（2021•怀化）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP 并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线，A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故选项A错误，不符合题意；B、△ABC的重心是三条中线的交点，故选项B错误，不符合题意；C、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，故选项C正确，符合题意；D、△ABC的外心是三边中垂线的交点，故选项D错误，不符合题意；故选：C．7．（2021•济宁）如图，已知△ABC．（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．（2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．（3）作射线AP交BC于点D．（4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（）A．B．1C．D．4【答案】C【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，∴∠EAD＝∠F AD，EA＝ED，F A＝FD，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠F AD＝∠EDA，∴DE∥AF，同理可得AE∥DF，∴四边形AEDF为平行四边形，∴四边形AEDF为菱形，∴AE＝AF＝2，∵DE∥AB，∴＝，即＝，∴CD＝．故选：C．8．（2021•河北）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对【答案】D【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和EF都是⊙O 的直径，∴OM＝ON，OE＝OF，∴四边形MENF是平行四边形，∵EF＝MN，∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图形可知当∠MOF＝∠AOB，∴S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图形可知，这样的点P不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，故选：D．9．（2021•鄂州）已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】B【解答】解：由作法得OD＝OC，DO＝DE，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣40°）＝70°，∵DO＝DE，∴∠DEO＝∠DOE＝40°，∵∠OCD＝∠CDE+∠DEC，∴∠CDE＝70°﹣40°＝30°．故选：B．10．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．+1B．+3C．+1D．4【答案】C【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故选：C．１１．（2021•新疆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则∠BDC＝°．【答案】80【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°，由作图过程可知：DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝40°+40°＝80°，故答案为：80．１２．（2021•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．作法：如图．（1）画B'C′＝BC；（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，∴△A'B'C′≌．（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是．（填序号）①AAS②ASA③SAS④SSS【答案】（１）AB，AC，△ABC（SSS）．（２）④【解答】解：（1）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，，∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．故答案为：AB，AC，△ABC（SSS）．（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，故答案为：④．１３．（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中点，∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．【答案】BC，三线合一【解答】解：（1）如图，点D即为所求．（2）在△ABC中，BA＝BC，D是CA的中点，∴CA⊥DB（三线合一），∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．故答案为：BC，三线合一．类型三依据要求直接作图１４．（2021•重庆）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC 于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）【答案】略【解答】解：如图：猜想：DF＝3BF，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AC＝2AB，∴AO＝AB．∵∠BAC的角平分线与BO交于点F，∴点F是BO的中点，即BF＝FO，∴OB＝OD＝2BF，∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．１５．（2021•嘉峪关）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．【答案】（１）略（２）BF＝BC．【解答】解：（1）①如图，直线DE，线段AD，线段CD即为所求．②如图，点F，线段CD，BD，BF即为所求作．（2）结论：BF＝BC．理由：∵DE垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵AD＝DF，∴DF＝DC，＝，∴∠DBC＝∠DBF，∵∠DFB+∠DAC＝180°．∠DCB+∠DCA＝180°，∴∠DFB＝∠DCB，在△DFB和△DCB中，，∴△DFB≌△DCB（AAS），∴BF＝BC．１６．（2021•烟台）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．【答案】略【解答】解：（1）如图所示，①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；③如图，⊙O与AB交于点M；（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在EF上，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切线．（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，∴＝＝，由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴＝，即＝，解得DO＝6，故⊙O的半径为6．类型四转化类作图１７．（2021•陕西）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】略【解答】解：如图，点P为所作．１８．（2021•南京）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【答案】（１）略（２）略【解答】解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．方法二：作P点关于点O的对称点P′，以PO为半径作圆O，连接PP′，设原来的圆O半径为r，以AB（即2r）的长度为半径，P′为圆心画圆，交弧PP′于点Q，连接PQ，交于原来的圆O于点D，点D即为切点（中位线能证明OD是半径且垂直PQ）．１９．（2021•福建）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK，垂足为A．（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC ＝60°，CD∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点．【答案】略【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为所作；（2）证明：设PQ交AD于G，BC交AD于G′，∵DQ∥AP，∴＝，∵DC∥AB，∴＝，∵P，Q分别为边AB，CD的中点，∴DC＝2DQ，AB＝2AP，∴＝＝＝，∴＝，∴点G与点G′重合，∴直线AD，BC，PQ相交于同一点．命题点２无刻度直尺作图20．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O 于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BF A 的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△F AP≌△BAC，则点P即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AC＝＝．故答案为：．（Ⅱ）如图，点P即为所求．故答案为：如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BF A的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△F AP≌△BAC，则点P即为所求．类型一网格中作图２１．（2021•吉林）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，四边形ABDE即为所求．２２．（2021•武汉）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝DH．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．（2）如图，线段CG，点H即为所求类型二根据图形性质作图２３．（2021•湖北）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图1中，线段BF即为所求．（2）如图2中，线段BG即为所求．２４．（2021•江西）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求；（2）如图2中，直线a即为所求．。

专题尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。

4.中考要求：（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【例题3】(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）【例题4】（2019•山东青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．一一、选择题1.（2019•广西北部湾）如图,在△ABC中，AC=BC, ∠A=400，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．400B．450 C．500D．6002.（2019·贵州贵阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（）A．2B．3C．D．3.（2019•河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．4．（2019•山东潍坊）如图，已知∠AO B．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接C D．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是（）专题典型训练题A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE 5．(2019•湖北宜昌)通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是( )A．B．C．D．6.（经典题）作一条线段等于已知线段。

2023中考真题抢先练：数学网格作图1.（2023达州18题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点上.（1）将△ABC 向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC 扫过的面积.第1题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）如解图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如解图，△A 2B 2C 2即为所求；第1题解图（3）由图可得，△ABC 为等腰直角三角形，∴51222=+==BC AB ，AC =101322=+，∴25552121=´´=×=D BC AB S ABC ，∴△A 1B 1C 1在旋转过程中扫过的面积为2ABCACA S S D +扇形290360p ´=+52=52π+52.反比例与一次函数性质综合题2.（2023自贡24题）如图，点A (2，4)在反比例函数xm y =1图象上，一次函数b kx y +=2的图象经过点A ，分别交x 轴，y 轴于点B ，C ，且△OAC 与△OBC 的面积比为2：1.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请直接写出y 1≥y 2时，x 的取值范围.第2题图【推荐区域：安徽江西甘肃】【参考答案】解：（1）将A （2，4）代入x m y =1中得24m =，解得m =8，∴xy 81=，∵C （0，b ），∴12OAC S OC D =·2=b ，∵△OAC 与△OBC 的面积比为2：1，∴b OB OC S OBC 2121=´=D ，解得OB =1，∴B （-1，0）或（1，0），①将A （2，4），B （-1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+-=+=，，b k b k 024解得ïîïíì==，，3434b k ∴34342+=x y ；②将A （2，4），B （1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+=+=，，b k b k 024解得îíì-==，，44b k ∴442-=x y ；综上可知，一次函数的解析式为34342+=x y 或442-=x y ；（2）当34342+=x y 时，x ≤-3或0＜x ≤2；当442-=x y 时，x ≤-1或0＜x ≤2.解直角三角形的实际应用3.（2023达州19题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱，如图所示，秋千链子的长度为3m ，当摆角∠BOC 恰为26°时，座板离地面的高度BM 为0.9m ，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC 为50°，求座板距地面的最大高度为多少m?(结果精确到0.1m ；参考数据：sin 26°=0.44，cos 26°≈0.9，tan 26°≈0.49，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)第3题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：如解图，过点B 作BD ⊥ON 于点D ，过点A 作AE ⊥ON 于点E ，作AF ⊥MN于点F，第3题解图∴四边形BDNM，AENF均为矩形，∴BM=DN=0.9，AF=EN，在Rt△OBD中，OD=OB·cos26°=3cos26°，∴ON=OD+DN=3cos26°+0.9，在Rt△OAE中，OE=OA·cos50°=3cos50°，∴EN=ON-OE=3cos26°+0.9-3cos50°，∴AF=3cos26°+0.9-3cos50°≈3×0.9+0.9-3×0.64=1.68≈1.7（m），答：座板距地面的最大高度为1.7m.4.（2023重庆A卷24题）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A—D—C—B；②A—E—B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向.( 1.41≈1.73)（1）求AD的长度；(结果精确到1千米)（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②?第4题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：（1）如解图，过点D作DF⊥AB于点F.第4题解图由题意可知，AB∥CD，BC⊥AB，∴四边形BCDF是矩形，且BC=10，CD=14.∴DF=BC=10，在Rt△ADF中，∠DAF=45°，∴AD≈14（千米），答：AD的长度约为14千米；（2）由题意可知，EA⊥AB，∠ABE=90°-60°=30°，∵AF=DF=10，BF=CD=14，∴AB=AF+BF=10+14=24，∴在Rt△ABE中，AE AB BE=2AE线路①：AD+CD+BC≈38.1（千米），线路②：AE+BE41.52（千米），∵38.1＜41.52，∴小明应选择线路①.二次函数的实际应用5.（2023南充23题）某工厂计划从A ，B 两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x 件，已知A 产品成本价m 元/件(m 为常数，且4≤m ≤6)，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B 产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y 元，y (元)与每日产销x （件）满足关系式201.080x y +=.（1）若产销A ，B 两种产品的日利润分别为1w 元，2w 元，请分别写出1w ，2w 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）分别求出产销A ，B 两种产品的最大日利润；(A 产品的最大日利润用含m 的代数式表示)（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由.[利润=(售价一成本)×产销数量一专利费]【推荐区域：安徽河北云南江西】【参考答案】解：（1）根据题意，得30)8(1--=x m w ，0≤x ≤500.)01.080()1220(22x x w +--=80801.02-+-=x x ，0≤x ≤300；（2）∵8-m >0，∴1w 随x 的增大而增大，又0≤x ≤500，∴当x =500时，1w 的值最大，39705001+-=m w 最大.1520)400(01.080801.0222+--=-+-=x x x w .∵-0.01<0，对称轴为直线x =400，当0≤x ≤300时，2w 随x 的增大而增大，∴当x =300时，2w 最大=-0.01×(300-400)2+1 520=1 420（元）.（3）①若最大1w =最大2w ，即-500m +3970=1420，解得m =5.1；②若最大1w >最大2w ，即-500m +3970>1 420，解得m <5.1；③若最大1w <最大2w ，即-500m +3 970<1420，解得m >5.1.又∵4≤m ≤6，∴综上可得，为获得最大日利润：当m =5.1时，选择A ，B 产品产销均可；当4≤m <5.1时，选择A 种产晶产销；当5.1<m ≤6时，选择B 种产品产销.二次函数性质综合题6.（2023遂宁25题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线c bx x y ++=241经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C (2，-2)且垂直于y 轴.过点B 的直线1l 交抛物线于点M ，N ，交直线l 于点Q ，其中点M ，Q 在抛物线对称轴的左侧.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当BM ：MQ =3：5时，求点N 的坐标；（3）如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接PQ ，PO ，其中PO 交1l 于点E ，设△OQE 的面积为1S ，△PQE 的面积为2S ，求12S S 的最大值.第6题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）由题意得0b 2124c =ìïïí-=ï´ïî，，解得01c b =ìí=-î，，∴抛物线的解析式为y =214x -x ；（2）如解图，过点M ，Q 作MD ⊥x 轴，QH ⊥x 轴分别于点D ，H ，第6题解图∴DM ∥HQ ，∴△BDM ∽△BHQ ，∴BM BQ =DM HQ ，∴38=2DM ，∴DM =34，∴点M 的纵坐标为-34，代入y =34x 2-x 中，解得x M =1或x M =3，∵点M 在抛物线对称轴的左侧，∴x M =1，∴点M （1，-34），设直线BM 的解析式为y =kx +b 1，将点M （1，-34）和点B （2，0）代入，得113=402k b k b ì-+ïíï=+î，，解得13=432k b ìïïíï=-ïî，，∴直线BM 的解析式为y =2343-x ，联立2143342y x x y x ì=-ïïíï=-ïî，，解得134x y =ìïí=-ïî，或63x y =ìí=î，，∵点N 在对称轴的右侧，∴点N （6，3）；（3）由题意可知，点Q 的坐标为（0，-2），设点P （m ，14m 2-m ），由题意得直线y OP =（14m -1）x ，直线l 1的解析式为y BQ =x -2，联立1(1)42y m x y x ì=-ïíï=-î，，∴点E 的横坐标为x E =88m -，∴S 1=21OQ ·x E =21×2×m -88=m-88，S 2=21OQ ·(P E x x -）=21×2（m -m-88）=m m m ---8882，∴22188888S m m m S m ---=-=1812-+-m m =1)4812+--m （，∵81-＜0，∴当m =4时，12S S 有最大值，最大值为1，∴12S S 的最大值为1.。

一级注册建筑师考试《建筑方案设计（作图题）》真题解析（2020年真题）遗址博物馆（2020年真题）一、设计任务书（一）任务描述华北某地区，依据当地遗址保护规划，结合遗址新建博物馆一座（限高8m，地上一层，地下一层）。

总建筑面积5000m2。

（二）用地条件基地西、南侧临公路，东、北侧毗邻农田，详见地形图（图3－16－1）。

（三）总平面设计要求1．在用地红线范围内布置出入口、道路、停车场、集散广场和绿地；在建筑控制线范围内布置建筑物。

2．在基地南侧设观众机动车出入口一个，人行出入口一个，在基地西侧设内部机动车出入口一个；在用地红线范围内合理组织交通流线，须人车分流；道路宽7m，人行道宽3m。

3．在基地内分设观众停车场和员工停车场，观众停车场设小客车停车位30个，大客车停车位3个（每个车位13m×4m），非机动车停车场200m2；员工停车场设小客车停车位10个，非机动车停车场50m2。

4．在基地内结合人行出入口设观众集散广场一处，面积不小于900m2，进深不小于20m；设集中绿地一处，面积不小于500m2。

（四）建筑设计要求博物馆由公众区域（包括陈列展览区、教育与服务设施区）、业务行政区域（包括业务区、行政区）组成。

各区分区明确，联系方便。

各功能房间面积及要求详见表3－16－1、表3－16－2，主要功能关系见示意图（图3－16－2）。

本建筑采用钢筋混凝土框架结构（建议平面柱网以8m×8m为主）。

各层层高均为6m，室内外高差300mm。

1．公众区域观众参观主要流线：入馆→门厅→序厅→多媒体厅→遗址展厅→陈列厅→文物修复参观廊→纪念品商店→门厅→出馆。

一层：（1）门厅与遗址展厅（上空）、序厅（上空）相邻，观众可俯视参观两厅；门厅设开敞楼梯和无障碍电梯（图例详见图3－16－3）各一部，通达地下一层序厅；服务台与讲解员室、寄存处联系紧密；寄存处设置的位置须方便观众存、取物品。

（2）报告厅的位置须方便观众和内部工作人员分别使用，且可直接对外服务。

作图题11 滑轮组作图一．作图技巧滑轮组绕线作图（1）绳子段数n 的计算方法：①距离关系确定：n ＝Sh(S 为绳端移动距离,h 为重物移动距离)；②力关系确定：F G n 总。

（2）找“起点”：根据“奇动偶定”的原则确定绳子的起点位置,即若n 为偶数,绳子从定滑轮绕起,若n 为奇数,绳子从动滑轮绕起。

二．真题精练1.（西藏中考真题）如图所示,一物体静止在斜面上,图中已经画出了支持力的示意图,请画出物体受到的重力与摩擦力的示意图。

【答案】 解：如图所示：【考点】重力示意图,摩擦力的示意图【解析】【解答】重力的方向始终是竖直向下的,物体受到的静摩擦力的方向与物体运动趋势的方向相反,如下图所示：【分析】物体受到的重力竖直向下；物体受到的摩擦力和物体相对运动方向相反。

2.（南京中考真题）如图（a）所示,空缆车随缆绳做匀速直线运动,在图（b）中画出缆车的轿厢（以方框表示）受力示意图（不计空气阻力）。

【答案】解：如图所示：【考点】弹力,重力及其大小的计算【解析】【解答】空缆车随缆绳做匀速直线运动,则轿厢也是做匀速直线运动,受力平衡,受到竖直向下的重力G和竖直向上的拉力F的作用,这两个力大小相同,作用点在轿厢的中心,示意图如图所示：【分析】作重力的示意图,力的作用点在物体几何中心上,方向竖直向下,重力用字母G表示,作绳子拉力的示意图,力的作用点在接触点上,方向指向绳子收缩的方向,用字母F表示。

3.（连云港中考真题）如图所示,物体A放在B上,在水平拉力F作用下一起向右做匀速直线运动,不计空气阻力,画出物体A的受力示意图。

【答案】解：如图所示；【考点】力的三要素及力的示意图,重力示意图【解析】【解答】物体A放在B上,在水平拉力F作用下一起向右做匀速直线运动,物体A处于平衡状态,A受到重力和支持力,从物体A的重心沿竖直向下和竖直向上分别画出重力和支持力的示意图,如图所示：【分析】物体受到的重力竖直向下,支持力和支撑面垂直。

2024年广西中考数学真题试卷一、单项选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）1. 下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温,其中气温最低的是（）A. B. C. D.2. 端午节是中国传统节日,下列与端午节有关的文创图案中,成轴对称的是（）A. B.C. D.3. 广西壮族自治区统计局发布的数据显示,2023年全区累计接待国内游客8.49亿人次．将849000000用科学记数法表示为（）A. 90.84910⨯ B. 88.4910⨯ C. 784.910⨯ D. 684910⨯4. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”,为了防止受拉力时脱开,榫头成梯台形,形似燕尾,如图是燕尾榫正面的带头部分,它的主视图是（）A. B. C. D.5. 不透明袋子中装有白球2个,红球1个,这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球,取出白球的概率是（）A. 1B. 13C.12D.236. 如图,2时整,钟表的时针和分针所成的锐角为（）A. 20︒B. 40︒C. 60︒D. 80︒7. 如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点P 的坐标为()2,1,则点Q 的坐标为（ ）A. ()3,0B. ()0,2C. ()3,2D. ()1,28. 激光测距仪L 发出的激光束以5310km ⨯的速度射向目标M ,s t 后测距仪L 收到M 反射回的激光束．则L 到M 的距离dkm 与时间s t 的关系式为（ ） A. 53102d t ⨯= B. 5310d t =⨯ C. 52310d t =⨯⨯ D. 6310d t =⨯ 9. 已知点()11,M x y ,()22,N x y 在反比例函数2y x =的图象上,若120x x <<,则有（ ） A. 120y y << B. 210y y << C. 120y y << D. 120y y << 10. 如果3a b +=,1ab =,那么32232a b a b ab ++的值为（ ）A. 0B. 1C. 4D. 911. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思为:现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱．三年共得100钱．问:出租的田有多少亩？设出租的田有x 亩,可列方程为（ ） A. 1345x x x ++= B. 100345x x x ++= C. 3451x x x ++= D. 345100x x x ++=12. 如图,边长为5的正方形ABCD ,E ,F ,G ,H 分别为各边中点,连接AG ,BH ,CE ,DF ,交点分别为M ,N ,P ,Q ,那么四边形MNPQ 的面积为（ ）A. 1B. 2C. 5D. 10二、填空题（本大题共6小题,每小题2分,共12分．）13. 已知1∠与2∠为对顶角,135∠=︒,则2∠=______°．14.________．15. 八桂大地孕育了丰富的药用植物．某县药材站把当地药市交易的400种药用植物按“草本、藤本、灌木、乔木”分为四类,绘制成如图所示的统计图,则藤本类有______种．16. 不等式7551x x +<+的解集为______．17. 如图,两张宽度均为3cm 的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60︒,则重合部分构成的四边形ABCD 的周长为______cm ．18. 如图,壮壮同学投掷实心球,出手（点P 处）的高度OP 是7m 4,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5m ,高度是4m ．若实心球落地点为M ,则OM =______m ．三、解答题（本大题共8小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算:()()2342-⨯+-20. 解方程组:2321x y x y +=⎧⎨-=⎩ 21. 某中学为了解七年级女同学定点投篮水平,从中随机抽取20名女同学进行测试,每人定点投篮5次,进球数统计如下表:（1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数（2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”,七年级共有200名女同学,请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数．22. 如图,在ABC 中,45A ∠=︒,AC BC >．（1）尺规作图:作线段AB 的垂直平分线l ,分别交AB ,AC 于点D ,E :（要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母）（2）在（1）所作的图中,连接BE ,若8AB =,求BE 的长．23. 综合与实践在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干．重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留0.5kg 水．浓度关系式:0.50.5d d w=+前后．其中d 前,d 后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度;w 为单次漂洗所加清水量（单位:kg ）【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【动手操作】请按要求完成下列任务:（1）如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水？（2）如果把4kg 清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标？（3）比较（1）和（2）的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法．24. 如图,已知O 是ABC ∆的外接圆,AB AC =．点D ,E 分别是BC ,AC 的中点,连接DE 并延长至点F ,使DE EF =,连接AF ．（1）求证:四边形ABDF 是平行四边形（2）求证:AF 与O 相切 （3）若3tan 4BAC ∠=,12BC =,求O 的半径． 25. 课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x 的二次函数223y x ax a =++-的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出4a =-,求二次函数223y x ax a =++-的最小值．①请你写出对应的函数解析式②求当x 取何值时,函数y 有最小值,并写出此时的y 值【举一反三】老师给出更多a 的值,同学们即求出对应的函数在x 取何值时,y 的最小值．记录结果,并整理成下表:注:*为②的计算结果．【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现．”甲同学:“我发现,老师给了a 值后,我们只要取x a =-,就能得到y 的最小值．”乙同学:“我发现,y 的最小值随a 值的变化而变化,当a 由小变大时,y 的最小值先增大后减小,所以我猜想y 的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式223y x ax a =++-,解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由．26. 如图1,ABC 中,90B ,6AB =．AC 的垂直平分线分别交AC ,AB 于点M ,O ,CO 平分ACB ∠．图1 图2（1）求证:ABC CBO △∽△（2）如图2,将AOC ∆绕点O 逆时针旋转得到A OC ''△,旋转角为()0360a α︒<<︒．连接A M ',C M ' ①求A MC ''△面积的最大值及此时旋转角α的度数,并说明理由①当A MC ''△是直角三角形时,请直接写出旋转角α的度数．2024年广西中考数学真题试卷解析一、单项选择题.1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】B4. 【答案】A5. 【答案】D6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】A9. 【答案】A10. 【答案】D11. 【答案】B12. 【答案】C【解析】解:∵四边形ABCD 是正方形∴AB BC CD DA ===,AB CD ∥,AD BC ∥,90DAB ABC BCD CDA ∠=∠=∠=∠=︒ ∵E ,F ,G ,H 分别为各边中点 ∴12CG DG CD AH ===,12AE AB = ∴DG CG AE ==∴四边形AECG 是平行四边形∴AG CE ∥同理//DF BH∴四边形MNPQ 是平行四边形∵AG CE ∥ ∴1DQ DG PQ CG== ∴DQ PQ =同理AM QM =∵DG AH =,90ADG BAH ∠=∠=︒,AD BA =∴()SAS ADG BAH ≌∴DAG ABH ∠=∠∵90DAG GAB ∠+∠=︒∴90ABH GAB ∠+∠=︒∴90QMN AMB ∠=∠=︒,同理90AQD ∠=︒∴平行四边形MNPQ 是矩形∵90AQD AMB ∠=∠=︒,DAG ABH ∠=∠,AD BA =∴()AAS ADQ BAM ≌∴DQ AM =又DQ PQ =,AM QM =∴DQ AM PQ QM ===∴矩形MNPQ 是正方形在Rt ADQ △中,222AD DQ AQ =+∴()22252QM QM =+∴25QM =∴正方形MNPQ 的面积为5故选:C ． 二、填空题．13. 【答案】3514. 【答案】2(答案不唯一)15. 【答案】8016. 【答案】<2x -17. 【答案】18. 【答案】353【解析】解:①出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5m ,高度是4m ． 设抛物线解析式为:()254y a x =-+把点70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得:72544a +=解得:9100a =- ①抛物线解析式为:()2954100y x =--+ 当0y =时,()29540100x --+= 解得,153x =-（舍去）,2353x = 即此次实心球被推出的水平距离OM 为35m 3． 故答案为:353三、解答题．19. 【答案】8-20. 【答案】212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩21. 【答案】（1）众数为1,中位数为2,平均数为1.9（2）估计为“优秀”等级的女生约为50人22. 【答案】（1）见详解 （2）【小问1详解】解:如下直线l 即为所求．【小问2详解】连接BE 如下图:①DE 为线段AB 的垂直平分线①BE AE =①45EBA A ∠=∠=︒①90BEA ∠=︒①ABE 为等腰直角三角形①sin BE A AB ==①822BE AB =⋅=⨯=23. 【答案】（1）只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg 清水． （2）进行两次漂洗,能达到洗衣目标;（3）两次漂洗的方法值得推广学习【小问1详解】解:把0.01%d =后,0.2%d =前代入0.50.5d d w =+前后 得.0.50.2%0.01%05w=+⨯ 解得9.5w =．经检验符合题意∴只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg 清水．【小问2详解】解:第一次漂洗:把2kg w =,0.2%d =前代入0.50.5d d w =+前后 ∴0.50.2%0.04%0.52d ⨯==+后第二次漂洗:把2kg w =,0.04%d =前代入0.50.5d d w =+前后 ∴0.50.04%0.008%0.52d ⨯==+后 而0.008%0.01%<∴进行两次漂洗,能达到洗衣目标【小问3详解】解:由（1）（2）的计算结果发现:经过两次漂洗既能达到洗衣目标,还能大幅度节约用水 ∴从洗衣用水策略方面来讲,采用两次漂洗的方法值得推广学习．24. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3）10【小问1详解】证明:①点D ,E 分别是BC ,AC 的中点∴BD CD =,AE CE =又∵AEF CED ∠=∠,DE EF =∴AEF CED △≌△∴AF CD =,F EDC ∠=∠∴AF BD =,∥AF BD∴四边形ABDF 是平行四边形【小问2详解】证明:如图,连接AD①AB AC =,D 为BC 中点①AD BC ⊥①AD 过圆心①∥AF BD∴AF AD ⊥而OA 为半径∴AF 为O 的切线【小问3详解】解:如图,过B 作BQ AC ⊥于Q ,连接OB①3tan 4BAC ∠= ①34BQ AQ = 设BQ 3x =,则4AQ x =①5AC AB x ===①CQ AC AQ x =-=①BC ==12=①5x ==①5AB x ==∵AB AC =,12BC =,AD BC ⊥①6BD CD ==∴18AD ==设O 半径为r∴18OD r =-①()222186r r =-+解得:10r =①O 的半径为10．25. 【答案】（1）①287y x x =--;②当4x =时,y 有最小值为23-（2）见解析（3）正确,114-【解析】解:（1）①把4a =-代入223y x ax a =++-,得: ()()22244387y x x x x =+⋅-+--=--∴287y x x =--②∵()2287423y x x x =--=--∴当4x =时,y 有最小值为23-（2）∵()222233y x ax a x a a a =+-+-=++-∵抛物线的开口向上∴当x a =-时,y 有最小值∴甲的说法合理（3）正确∵()222233y x ax a x a a a =+-+-=++-∴当x a =-时,y 有最小值为23a a -+-即:22min 111324y a a a ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭ ∴当12a =时,min y 有最大值,为114-．26. 【答案】（1）见解析 （2）①180α=︒;②120︒或240︒【小问1详解】证明:∵MO 垂直平分AC∴OA OC =∴A ACO ∠=∠∵CO 平分ACB ∠∴ACO OCB ∠=∠∴A OCB ∠=∠又B B ∠=∠∴ABC CBO △∽△【小问2详解】解:①∵90B∴90A ACO OCB ∠+∠+∠=︒∴30A ACO OCB ∠=∠=∠=︒ ∴1122BO CO AO == 又6AB AO BO =+=∴2BO =,4AO =∵MO 垂直平分AC ∴122OM AO ==,2AC AM =,∴AM∴AC =取A C ''中点M ',连接OM ',MM ',作MN A C ''⊥于N由旋转的性质知AOC A OC ''≌,OM '为OM 旋转α所得线段∴OM A C '''⊥,A C AC ''==,2OM OM '==根据垂线段最短知MN MM '≤又MM OM OM ≤'+'∴当M,O ,M '三点共线,且点O 在线段MM '时,MN 取最大值,最大值为224+= 此时180α=︒∴A MC ''△面积的最大值为142⨯=②∵246MC MO OC ''≤+=+=,A C ''=∴MC A C '''<同理MA A C '''<∴A MC ''△为直角三角形时,只有90A MC ''∠=︒当A 和C '重合时,如图∵AOC A OA '≌∴30A CAO '∠=∠=︒,30OAA OCA '∠=∠=︒∴120A OA '∠=︒∵90AMO ∠=︒∴60AOM ∠=︒∴180A OA AOM '∠+∠=︒∴A ',O ,M 三点共线∴A MC ''△为直角三角形此时旋转角120A OA α'=∠=︒当A '和C 重合时,如图同理30OCC CAO '∠=∠=︒,30C OCA '∠=∠=︒ ∴120COC '∠=︒ ∵AO CO =,60AOM ∠=︒ ∴60COM AOM ∠=∠=︒ ∴180COM COC '∠+∠=︒ ∴C ',O ,M 三点共线 又90AMO ∠=︒∴A MC ''△为直角三角形 此时旋转角360240A OA α'=︒-∠=︒综上,旋转角α的度数为120︒或240︒时,A MC ''△为直角三角形．。

专题06 电功率一、选择题1．（2022·广西贺州·九年级期末）有两个额定电压相同的电热水壶甲和乙，甲的额定功率为1800W，乙的额定功率为1200W．两个电热水壶都正常工作时，下列说法中正确的是（）A．甲电热水壶两端的电压较高B．电流通过甲电热水壶做功较快C．通过两个电热水壶的电流相等D．相同时间内，两个电热水壶消耗的电能一样多2．（2022·湖南湖南·九年级期末）如下图甲所示，闭合开关后，在滑片P由b端向a端移动的过程中，电压表示数U随滑动变阻器的电阻R2变化的关系图像如下图乙所示，下列说法错误的是（）A．电源电压是6VB．R2的最大阻值是20ΩC．R1的电阻是10ΩD．当滑片P移动中点时，10s内电流通过R1产生的热量是18J3．（2022·河北沧州·九年级期末）如图所示，将标有“12V6W”的灯泡1L和“12V3W”的灯泡2L接在12V的电路中，闭合开关，不考虑温度对灯丝电阻的影响，下列说法中正确的是()A．电路总功率等于9W B．电路总功率大于9WC．灯泡1L和2L一样亮D．灯泡2L比灯泡1L亮4．（2022·河北保定·九年级期末）如图所示，图甲是某款即热式电热水龙头，图乙是它的电路原理图，R1和R2是阻值分别为22Ω和44Ω的电热丝。

通过旋转手柄改变与开关S接触的两个相邻触点，实现冷水、温水、热水挡的切换。

则（）A．开关S接触2、3触点时，水龙头放出的是热水B．开关S接触3、4触点时，电热丝R1，R2串联C．水龙头在温水挡正常工作时的电流是15AD．水龙头在热水挡正常工作时的功率是3300W5．（2022·贵州·贞丰县黔峰学校九年级期末）额定电压均为6V的甲、乙两灯，U-I图线如图所示下列说法正确的是A．甲、乙两灯的电阻均随电压增大而减小B．甲、乙两灯的额定功率之比为4:1C．甲、乙两灯并联接在电压为2V的电源两端时，电阻之比为3：2D．甲、乙两灯串联接在电压为8V的电源两端时，实际功率之比为1:36．（2022·安徽·萧县城北初级中学九年级期末）将规格都是“220V 180W”的一台电冰箱、一台电脑和一床电热毯，分别接入同一家庭电路中，若通电时间相同，则下列说法正确的是A．电冰箱产生的热量最多B．电脑产生的热量最多C．电热毯产生的热量最多D．三者产生的热量一样多7．（2022·广东东莞·九年级期末）如图中，灯泡L1、L2分别标有“6V 3W”“6V 6W”字样，电源电压不变，开关S闭合，①只闭合S1，灯泡L1、L发光；②只闭合S2，灯泡L2、L发光，灯泡L在②中比在①中（设灯丝电阻不变）（）A．电功率较大，亮度较亮B．电功率较小，亮度较暗C．电功率相同，亮度相同D．电功率较大，亮度较暗8．（2022·浙江·宁波东海实验学校九年级期末）如图甲所示电路，电源电压恒为6V，滑动变阻器R的规格为“25Ω、1A”，电流表量程选择“0~0.6A”，电压表量程选择“0~3V”，小灯泡上标有“4.5V、0.3A”字样，其I-U图像如图乙所示，闭合开关S，为保证电路安全，在移动滑片P的过程中，下列选项正确的是（）A．电路的最大功率是3.6WB．小灯泡的最小功率是0.75WC．电流表的最小示数是0.15AD．电流表的最大示数是0.4A二、填空题9．（2022·黑龙江·甘南县兴十四学校九年级期末）如图所示电路中，电源电压恒为6V，R1=30Ω，只闭合开关S时，电流表示数为_______A；同时闭合开关S、S1，电流表示数为0.5A，则通电1分钟电阻R2产生的热量为________J．10．（2022·广西贺州·九年级期末）如图是探究电流通过导体产生的热量与______关系的实验装置，实验中用U 形管内液面的______反映导体产生热量的多少.通电一段时间后，容器______（选填“甲”或“乙”）内电阻丝产生的热量较多。

中考数学之尺规作图真题汇编一、网格纸作图【2019·武汉】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；（2）如图所示，点G即为所求；（3）如图所示，线段EM即为所求．【2019·无锡】按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出⊙O的内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．【解答】解：（1）如图1，连结AO并延长交圆O于点C，作AC的中垂线交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求．（2）①如图2，连结AC，BD交于点O，连结EB交AC于点G，连结DG并延长交CB 于点F，F即为所求②如图3所示，AH即为所求．【2020·安徽】如图1，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网M N在网格线上，格线的交点)为端点的线段AB，线段,()1画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段11A B(点A B分别为,A B的对应点)；11()2将线段11B A ，绕点1B ，顺时针旋转90︒得到线段12B A ，画出线段12B A ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）先找出A ，B 两点关于MN 对称的点A 1，B 1，然后连接A 1B 1即可； （2）根据旋转的定义作图可得线段B 1A 2．【详解】（1）如图所示，11A B 即为所作；（2）如图所示，12B A 即为所作．【点睛】本题主要考查作图-旋转与轴对称，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称的定义与性质．【2021·荆州】如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED 与AD 的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：（1）以线段AD 为边画正方形ABCD ，再以线段DE 为斜边画等腰直角三角形DEF ，其中顶点F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．【分析】（1）根据正方形，等腰直角三角形的定义画出图形即可．（2）画出边长为的正方形即可．【解答】解：（1）如图，正方形ABCD，△DEF即为所求．（2）如图，正方形BKFG即为所求．二、角平分线【2021·铜仁】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．步骤2：分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M．步骤3：作射线AM交BC于点F．则AF的长为（）A．6B．3C．4D．6【分析】利用基本作图得到AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到FH＝FC，再根据勾股定理计算出AC＝6，设CF＝x，则FH＝x，然后利用面积法得到×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，最后利用勾股定理计算AF的长．【解答】解：由作法得AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，∴FH＝FC，在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，设CF＝x，则FH＝x，∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，∴×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．故选：B．三、垂直平分线【2019·泰州】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴BD＝5．【2021·北部湾】如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D，连接AC．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E(不要求写作法，保留作图痕迹)；(3)在(2)的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB=5，求CE的长．【答案】(1)证明：∵AB//CD，∴∠ACD=∠CAB，在△ABC和△CDA中，{∠B=∠D∠CAB=∠ACD AC=CA，∴△ABC≌△CDA(AAS)；(2)解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：(3)解：由(1)知：△ABC≌△CDA，∵四边形ABCD的面积为20，∴S△ABC=S△CDA=10，∴12AB⋅CE=10，∵AB=5，∴CE=4．【2019·盐城】如图，AD是△ABC的角平分线．（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接DE、DF，四边形AEDF是形．（直接写出答案）【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．（2）∵AD平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠AOE＝∠AOF＝90°，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵EF垂直平分线段AD，∴EA＝ED，F A＝FD，∴EA＝ED＝DF＝AF，∴四边形AEDF是菱形．故答案为菱形．四、全等或相似【2019·福建】如图，已知△ABC为和点A'.(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC;(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.(2)证明(略)【答案】见解析【解析】【2021·贵港】尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB ＞AC．（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．CBACBA【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD即可．（2）作∠ADT＝∠ACB，射线DT交AC于点E，点E即为所求．【解答】解：（1）如图，点D即为所求．（2）如图，点E即为所求．五、三角形四心（内心、外心、重心、垂心）【2019·陇南】已知：在△ABC中，AB=AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______．【答案】25π【解析】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE=4，BE=EC=3，在Rt△OBE中，OB=√32+42=5，∴S圆O=π•52=25π．故答案为25π．（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．五、其他类型【2021·山西】已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质即可作出图形；（2）根据平移的性质即可作出图形．【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求；（2）如图2中，直线a即为所求．。

主题20 滑轮组的计算中考真题（2011年成都市）为了将放置在水平地面上、重G＝100 N的重物提升到高处，小明同学设计了如图甲所示的滑轮组装置．当小明用图乙所示随时间变化的竖直向下拉力F拉绳时，重物的速度v和上升的高度h随时间t变化的关系图像分别如图丙和丁所示．若重物与地面的接触面积S＝5×10－2m2，不计摩擦，绳对滑轮的拉力方向均可看成在竖直方向，求：(1)在2～3 s内，拉力F的功率P及滑轮组的机械效率η．(2)在1～2 s内，拉力F做的功W．(3)在0～1 s内，重物对地面的压强p．【解析】(1)在2～3 s内，重物做匀速运动，v3＝2.50 m／s，拉力F3＝40 N，因为连接动滑轮的绳子有三根，所以拉力F的作用点下降的距离是重物上升高度h3的三倍．P＝F3v3＝100 W；η＝（W有用／W总）×100%＝[Gh3／(3F3h3)]×100%＝83.33%；(2)在1～2 s内，拉力F2＝50 N，重物上升高度h2＝1.25 m．W＝3F2h2，代入数据解得W＝187.5 J；(3)动滑轮重G动＝3F3－G＝20N,在0～1s 内．拉力F1＝30N．把动滑轮和重物看成整体，则这个整体受到向下的重力、向上的支持力以及三根绳向上的拉力的作用处于静止状态．支持力F支＝G＋G动－3F1＝30N，重物对地面的压力F压＝F支＝30 N，P＝F压／S ＝30 N／(5×10－2m2)＝600 Pa．拓展延伸1．随着社会的发展，人们生活水平的提高，人们的住房条件也得到了很大的改善．小明家最近购置了一套新房，为了帮助爸爸将重600 N的装修材料运送到6m高的楼上，小明利用物理课上学过的滑轮组，设计了如图甲所示的材料搬运方案（其中每个滑轮重30 N，绳子足够长，所能承受的最大拉力为250N，不计绳重及摩擦）．(1)计算说明绳子的拉力是否超过绳子的最大承受力？(2)小明爸爸观察该装置后，想如果将该装置的滑轮位置颠倒（图乙）是否会更省力一些，请你按照小明爸爸的想法，用笔画线在乙图绕上绳子并说明小明爸爸的想法是否正确．(3)求两种方案的机械效率之比？(4)综合分析评估两个方案，你认为哪个方案更好一些？说明理由．2．一辆汽车不小心开进了泥潭中，司机取来一套滑轮组欲将汽车从泥潭中拉出，如图所示．若车重为8×104 N，汽车受到的阻力为车重的0.03倍，滑轮组的机械效率为80%，问：(1)司机至少需用多大的力才能将汽车从泥潭中拉出？(2)若拉动汽车时，汽车前进的速度为0.1m／s，则司机做功的功率是多少？3．如图所示，用滑轮组拉着重600N的物体A沿水平方向匀速移动，在40 s内移动了8m，拉力F做的功为1 280 J．(1)求拉力F的大小和功率；(2)若滑轮组的机械效率为95%，求动滑轮的重力（不计绳重及绳子与滑轮间的摩擦）．精要评点本主题以滑轮组为纽带，重在考查学生利用相关知识进行计算的能力，滑轮组的呈现方式富有变化．既有竖直方向的，又有水平方向的，还有竖直方向与水平方向结合的；既有一定一动的．也有一定二动的，还有二定一动的；既有明确给出已知条件的，又有将已知条件隐含在函数图像上的，通过上述的处理，能有效地考查学生灵活应用物理知识解决实际问题的综合能力，涉及本套试题的知识点及其相关计算公式有：滑轮组绳子自由端的拉力F＝(G物＋G动）/n……①，绳子自由端移动的距离与物体移动距离的关系S＝nh……②，机械效率的计算公式η＝W有用／W总……③，η＝G／nF……④，η＝G/(G＋G动)……⑤，重力G＝mg……⑥，功率P＝W／t……⑦，P＝Fv……⑧．失分点跟踪1．在综合分析评估两个方案时，失分在不能从效率、省力、安全这三个方面进行综合考虑．事实上，小明的方案机械效率高，爸爸的方案比较省力，但小明的方案比较安全，综合上述三个因素分析，还是小明的方案好．2．在计算司机做功的功率时，失分在错将汽车前进的速度当作司机拉动绳子的速度，导致错解得功率P＝Fv＝75 W．在求拉力F的大小时，失分也在错将物体移动8m视为拉力F移动的距离为8 m，导致计算的错误．所以在有关滑轮组的计算中，一定要注意，物体的移动距离或速度与绳子自由端移动距离或速度是不同的，它们之间的换算关系是s＝nh，v绳＝nv物．参考答案1．(1)没有(2)如答图正确．(3)22／21．(4)小明的方案更好一些．2．(1)750N．(2)300W．3．(1)32 W；(2)8N．一、选择题（本题共12小题，每小题各2分，共24分）1．下面是对日常生活中一些物品的质量和长度的估计，其中最接近实际的是A．一个苹果的质量约为1.5kg B．20个鸡蛋的质量约为500gC．比赛用篮球的直径约为25cm D．普通学生课桌的高度约为150cm2．为宣传“绿色出行，低碳生活”理念，三个好朋友在某景点进行了一场有趣的运动比赛。

基本作图及计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率基本作图2013.2014.2015.2016.20172018.2019.2020.2021.2020十年10考初中阶段常见的基本作图有：1.作一条线段的和、差2.作一个角等于已知角、尺规作角的和与差3.作角平分线4.作垂线、线段的垂直平分线5.作全等三角形、等腰三角形6.过员外一点作圆的切线7.作正多边形8.格点作图9.旋转、平移、对称作图10.相似与位似作图【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一证明：如图，过点A作DE∥BC．方法二证明：如图，过点C作CD∥AB．【例2】（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中点，∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2017•北京）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C＝90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．2．（2016•北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．3．（2015•北京）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．4．（2020•北京）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC＝∠BAC（）（填推理的依据）．∴∠ABP＝∠BAC．5．（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．6．（2018•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线P A，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交P A的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝，CB＝，∴PQ∥l（）（填推理的依据）．7．（2014•北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠P AB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．8．（2013•北京）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优1．（2022·北京丰台·二模）已知：如图，射线AM．求作：△ABC，使得∠ABC=90∘，∠BAC=30∘．作法：①在射线AM上任取一点O（不与点A重合）；①以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线AM于A，C两点；①以点C为圆心，CO长为半径画弧，交AC⌢于点B；①连接AB，BC．△ABC就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：证明：连接OB．在①O中，OB＝OC在①C中，OC＝＝BC①OB＝OC＝BC①①OCB是等边三角形①∠ACB=60∘①AC是①O的直径，①①ABC＝_________°（_________）（填推理的依据）．①∠ACB+∠BAC=90∘①∠BAC=30∘．2．（2022·北京朝阳·二模）已知：线段AB．求作：①ABC，使得∠A=90∘，∠C=30∘．作法：①分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线AB的一侧相交于点D；①连接BD并延长，在BD的延长线上取一点C，使得CD=BD；①连接AC．①ABC就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接AD．①AB=BD=AD，①①ABD是等边三角形（①）（填推理的依据）．①∠B=∠ADB=60∘．①CD=BD，①CD=AD．①∠DAC=∠ACB．①∠ADB=∠DAC+∠ACB（①）（填推理的依据）=2∠ACB．①∠ACB=30∘．①∠BAC=90∘．3．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=2α，在△ABC的外侧作直线AP(90°−a<∠PAC<180°−2a)，作点C关于直线AP的对称点D，连接AD,BD,BD交直线AP于点E．(1)依题意补全图形；(2)连接CE，求证：∠ACE=∠ABE；(3)过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE,2EF,DE之间的数量关系，并证明．4．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB=AC．求作：直线AD，使得AD//BC．小明的作法如下：①以点A为圆心、适当长为半径画弧，交BA的延长线于点E，交线段AC于点F；EF的长为半径画弧，两弧在∠EAC的内部相交于点D；①分别以点E,F为圆心、大于12①画直线AD．直线AD即为所求，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明。

一级注册建筑师《场地设计》（作图题）考试题库（真题整理）简答题1.设计条件1.下页图为一城市广场和城市道路关系图，道路路面宽2 4m，广场120m×45m。

2.广场坡度为1%，道路横坡坡度为2.5%，纵坡坡度为1%。

3.广场C、D、E点的高程分别为85.00、85.00、85.60。

答案：D参考评分标准2.设计条件1.沿正南北走向的场地剖面如图所示。

2.在城市道路与已建商住楼之间的场地上拟建层高为4.5m的商业建筑一座。

3.城市规划要求拟建建筑退后道路红线不小于15m，并保证在人行道上视点高度1.5m处至少能看到观光塔60m以上部分。

4.已建、拟建建筑均为条型建筑，且南北向布置；耐火等级多层为二级，高层为一级。

5.当地住宅建筑的日照间距系数为1.5。

6.应满足国家有关规范要求。

答案：B3.设计条件1.某城市广场及其紧邻的城市道路如图所示。

2.广场南北向及东西向排水坡度均为1.0%，A、B两点高程为101.60。

3.人行道纵向坡度为1.0%（无横坡），人行道路面与广场面之间为无高差连接。

答案：解题要点1.满足设计任务书与题意要求。

解题的关键在理解广场与人行道之间的“无高差连接”，同时又不在同一个坡面上。

广场地面南北方向和东西方向的排水坡度随人行道，都是1.0%；而广场地面的实际坡向则是由东北向西南，呈450斜向。

坡度应为1.4%。

2.根据A、B两点高程、坡度与坡向正确理解场地条件，并进行三维空间思维。

3.根据要求和场地条件绘制场地和道路等高线。

4.根据绘制出的等高线正确估算C、D两点高程。

5.正确运用设计等高线法进行场地竖向设计。

作图提示1.分析、计算与画（标）出C点的场地高程为101.75m。

2.分析、计算与画（标）出D点的场地高程为101.95m。

3.分析、计算与画（标）出城市广场的坡度为1.4%。

4.分析、计算与画（标）出城市广场最高点的高程为102.20m。

4.设计条件：·某坡地上已平整出三块台地，如图(a)所示。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考物理真题集锦——专题三：力学作图1.（2019贵港，21）用手把小球压在弹簧上，弹簧被压缩到A点，松手后小球向上运动，如图所示。

请在图中画出小球离开弹簧后所受到的力的示意图（O为小球的重心，空气对小球的作用力忽略不计）。

2.（2019德阳，17）如图所示，雨燕沿虚线方向匀速自由飞翔，在图中画出雨燕所受重力和空气对它的作用力的示意图。

3. (2019衡阳，20)如图所示，小球被固定在静止的金属框架上，画出小球所受作用力的示意图。

4.(2019邵阳，30)一个物体静止在斜面上，如图所示，请做出物体所受重力的示意图。

5.（2019年郴州，24）如图所示，用细线拉住的小球静止在水中，请画出小球所受重力的示意图（重心已画出）。

6.（2019临沂，28）如图所示，一瓶饮料静置在停止运转的传送带上。

请在图中画出饮料瓶受重力的示意图。

（图中的A点为饮料瓶的重心）7.（2019常德，24）画出下图中小球所受重力的示意图。

8.(2019怀化，29)如图所示，小球悬挂在天花板上静止不动，请画出小球所受重力的示意图；9.(2019上海，16)重为10牛的物体静止在水平地面上,用力的图示法在图4中画出它所受的重力G。

10.（2019徐州，34）如图乙所示，一个实心球静止在水平地面上，请画出它所受重力G的示意图．11.（2019襄阳，19）请画出正方体木块所受的重力的示意图12.（2019新疆，18）请在图中画出足球所受重力的示意图。

13.（2019淮安，20）画出图中靜止在斜面上的茶杯所受重力的示意图.14. (2019扬州，23）如图，是一块质量分布均匀的半圆形量角器，将其用细线悬挂在天花板上。

请你用作图的方法找出重心O 点的位置。

15.（2019攀枝花，24）小球在竖直平面内摆动，请画出小球摆动到A时所受重力的示意图。

16.（2019海南，18）在图中画出茶壶受重力的示意图。

2005年西北工业大学硕士研究生入学试题一、简答题（每题8分，共40分）1. 请简述二元合金结晶的基本条件有哪些。

2. 同素异晶转变和再结晶转变都是以形核长大方式进行的，请问两者之间有何差别？3. 两位错发生交割时产生的扭折和割阶有何区别？4. 请简述扩散的微观机制有哪些？影响扩散的因素又有哪些？5. 请简述回复的机制及其驱动力。

二、计算、作图题：（共60分，每小题12分）1. 在面心立方晶体中，分别画出、和、，指出哪些是滑移面、滑移方向，并就图中情况分析它们能否构成滑移系？若外力方向为[001]，请问哪些滑移系可以开动？2. 请判定下列位错反应能否进行，若能够进行，请在晶胞图上做出矢量图。

（1）（2）3. 假设某面心立方晶体可以开动的滑移系为，请回答：（1）给出滑移位错的单位位错柏氏矢量；（2）若滑移位错为纯刃位错，请指出其位错线方向；若滑移位错为纯螺位错，其位错线方向又如何？4. 若将一块铁由室温20℃加热至850℃，然后非常快地冷却到20℃，请计算处理前后空位数变化（设铁中形成1mol空位所需的能量为104675 J，气体常数为8.314J/mol·K）。

5. 已知三元简单共晶的投影图，见附图，（1）请画出AD代表的垂直截面图及各区的相组成（已知TA>TD）；（2）请画出X合金平衡冷却时的冷区曲线，及各阶段相变反应。

三、综合分析题：（共50分，每小题25分）1. 请对比分析加工硬化、细晶强化、弥散强化、复相强化和固溶强化的特点和机理。

2. 请根据所附二元共晶相图分析解答下列问题：（1）分析合金I、II的平衡结晶过程，并绘出冷却曲线；（2）说明室温下I、II的相和组织是什么？并计算出相和组织的相对含量；（3）如果希望得到共晶组织和5%的β初的合金，求该合金的成分；（4）分析在快速冷却条件下，I、II两合金获得的组织有何不同。

2005年西北工业大学硕士研究生入学试题参考答案一、简答题（每题8 分，共40 分）1. 请简述二元合金结晶的基本条件有哪些。

尺规作图知识归纳＋真题解析【知识归纳】一）尺规作图1．定义只用没有刻度的和作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．二）五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三）基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．【知识归纳答案】一）尺规作图1．定义只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．二）五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三）基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．真题解析一．选择题（共8小题）1．如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．【解答】解：连接EG，∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，∴∠1=∠2，∴AG⊥DE，OD=DE=3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AD=DG．∵AG⊥DE，∴OA=AG．在Rt△AOD中，OA===4，∴AG=2AO=8．故选B．2．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】直接根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【解答】解：由题意可得，GH垂直平分线段EF．故选C．3．如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．4．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【考点】N2：作图—基本作图．【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P 作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】N2：作图—基本作图；KO：含30度角的直角三角形．【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B．6．如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B．以点F为圆心，EF长为半径画弧C．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧【考点】N2：作图—基本作图．【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．学科网7．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是（）A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC=BC?AH D．AB=AD【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．【解答】解：A、正确．如图连接CD、BD，∵CA=CD，BA=BD，∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确．B、错误．CA不一定平分∠BDA．C、错误．应该是S△ABC=?BC?AH．D、错误．根据条件AB不一定等于AD．故选A．8．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）A．B．C．D．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．学科网二．填空题（共5小题）9．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP 射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为15．【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，∴∠DAQ=∠BAQ．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，∴∠DAQ=∠DQA，∴△AQD是等腰三角形，∴DQ=AD=3．∵DQ=2QC，∴QC=DQ=，∴CD=DQ+CQ=3+=，∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．故答案为：15．10．如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．则∠AOC的大小为20°．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠AOB=20°．故答案为：20°．11．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝56°．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF=∠DAC=34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣34°=56°，∴∠α=56°．故答案为：56．学科网12．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是a+b=0．【考点】N2：作图—基本作图；D5：坐标与图形性质；J5：点到直线的距离．【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数．【解答】解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，又∵点P（a，b）第二象限内，∴b=﹣a，即a+b=0，故答案为：a+b=0．13．图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义．．【考点】N3：作图—复杂作图；MA：三角形的外接圆与外心．【分析】由于90°的圆周角所对的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，然后作AB 的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径．故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义．三．解答题（共8小题）14．如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．【考点】N2：作图—基本作图；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM=∠ABC即可；（2）根据△ACD与△ABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可．【解答】解：（1）如图所示，射线CM即为所求；。

2017全国中考数学真题知识点45尺规作图（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1.（2017浙江衢州,7，3分）下列四种基本尺规作图分别表示①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点作已知直线的垂线．则对应选项中作法错误．．的是（）①②③④A．①B．②C．③D．④答案：C，解析：①利用有三条边对应相等的两个三角形全等及全等三角形对应角相等可作一个角等于已知角；②利用有三条边对应相等的两个三角形全等及全等三角形对应角相等可作一个角的平分线；③根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可作已知线段的垂直平分线，但是这里只确定了一个点，不能确定直线，③错误；④根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可过直线外一点作已知直线的垂线．2. 8．（2017浙江义乌，8，4分）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了下图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA，若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是AA．7°B．21°C．23°D．24°答案：C，解析：设∠E＝x°，则∠FAE＝∠FEA＝x°，∠ACF＝∠AFC＝∠FAE＋∠FEA＝2x°．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥DC，∴∠DCE＝∠E＝x°．∵∠BCD＝90°，∴∠ACB＋∠ACF＋∠ECD＝90°，即21°＋2x°＋x°＝90°，∴x＝23，∴∠ECD＝23°．3. 8．（2017湖北宜昌，3分）如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，交EF于点O,连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EF D．GH平分AF答案：C，解析：根据尺规作图方法和痕迹可知GH是线段EF的垂直平分线，故选C．4.（2017湖北随州，6，3分）如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）画弧①，分别交OA、OB于点E、FC．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧答案：D，解析：作一个角等于已知角，依据是用“SSS”说明三角形全等，显然图中已满足“OE＝OE，OF ＝OG”，只要添加“EF＝EG”，故作图痕迹②的圆心是点E，半径是EF长．G5.8．(2017浙江绍兴，4分)在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了下图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB =21°，则∠ECD的度数是A．7°B．21°C．23°D．24°【答案】C．【解析】CxECDBECDxxxAEFACFACBBABCDxACFAFCACFxAFCFEAFAExAEF故选又，是矩形，四边形设,23,//,2390221,9090,2,,2,,︒==∠∴︒=∴︒=++︒∴︒=∠+∠+∠∴︒=∠∴=∠∴∠=∠=∠∴∠=∠=∠6.（2017湖北襄阳，9，3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，.以点C为圆心，CB 长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E；作射线CE交AB于点F.则AF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8答案：B，解析：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=30°，BC=4，∴AC==tan3BCA∠43.由作图可知，CF⊥AB，∴AF=AC·cos30°=43×23=6.7.（2017山东东营，7，3分）如图，在□ABC D中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（）A．5 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠EAB，∴∠EAB =∠AEB，∴AB=EB，由作图可得，AB=AF，∴EB=AF，又∵AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形，再由AB=AF，可得□AB EF是菱形。

2021年考研数学二的第20题
2021年考研数学二的第20题是一道关于矩阵和向量的问题，题目要求求一个向量α使得Aα=b，其中A是已知矩阵，b是已知向量。

解法一：直接求解法
1.写出方程组：Aα=b。

2.使用高斯消元法或者迭代法求解该方程组，得到向量α的各个分量。

解法二：利用特征值和特征向量
1.计算矩阵A的特征值和特征向量。

2.如果A有唯一的一个特征值λ，并且对应的特征向量是α，那么Aα=b 可以通过λ和α求解。

3.如果A有多个特征值，则需要找到一个特征值λ和对应的特征向量α使得Aα≈b。

解法三：利用QR分解
1.对矩阵A进行QR分解，得到QA=R。

2.令α=Q^Tb，即α是b在A的左特征向量构成的矩阵Q的转置列向量。

3.验证Aα=b是否成立。

解法四：利用奇异值分解（SVD）
1.对矩阵A进行奇异值分解，得到A=UΣV^T。

2.令α=VΣ^Tb，即α是b在A的右特征向量构成的矩阵V的列向量。

3.验证Aα=b是否成立。

专题25 尺规作图☞解读考点知识点名师点晴尺规作图尺规作图概念了解什么是尺规作图五种基本作图1．画一条线段等于已知线段会用尺规作图法完成五种基本作图，了解五种基本作图的理由，会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．2．画一个角等于已知角3．画线段的垂直平分线4．过已知点画已知直线的垂线5．画角平分线会利用基本作图画较简单的图形．1．画三角形会利用基本作图画三角形较简单的图形．2．画圆会利用基本作图画圆．☞2年中考【2015年题组】1．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】D．第1 页共32 页考点：作图—复杂作图．考点：作图—复杂作图．2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（下列结论错误的是（ ）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 【答案】D．【解析】【解析】试题分析：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．．直角三角形斜边上的中线． 3．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（的度数，结果为（ ）A．80°B．90°C．100°D．105°【答案】B．【解析】【解析】试题分析：如图，试题分析：如图，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．作图—基本作图．基本作图．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．的长是（ ）若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D．基本作图．考点：1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—基本作图．5．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（ ）规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（A．B．C．D．【答案】A．考点：作图—基本作图．考点：作图—基本作图．6．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB=c ，一条直角边BC=a ．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是（是直角的依据是（ ）A ．勾股定理．勾股定理B ．直径所对的圆心角是直角．直径所对的圆心角是直角C ．勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理D ．90°的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径 【答案】B ． 【解析】【解析】试题分析：由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点，以O 为圆心，AB 为半径作圆，然后以B 为圆心BC=a 为半径花弧与圆O 交于一点C ，故∠ACB 是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角．故选B ． 考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理的逆定理；3．圆周 角定理．角定理．7．如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP=3172，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）证明，∴只需连接一对角线就行）【答案】作图见试题解析．【答案】作图见试题解析．考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．8．）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是 ．请回答：小芸的作图依据是【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．．作图题．考点：1．作图—基本作图；2．作图题．9．已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．上．（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）如图2，设∠BAC 的平分线AD 交BC 于E ，⊙O 半径为5，AC=4，连接OD 交BC 于F ．①求证：OD ⊥BC ； ②求EF 的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2）①证明见试题解析；②3217．【解析】【解析】 试题分析：（1）按照作角平分线的方法作出即可；）按照作角平分线的方法作出即可；（2）①由AD 是∠BAC 的平分线，得到CD BD =，再由垂径定理推论可得到结论；，再由垂径定理推论可得到结论；②由勾股定理求得CF 的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得34EFFD CEAC==，即可求得37EF CF =，继而求得EF 的长．的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周．压轴题．角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）【答案】答案见试题解析．【答案】答案见试题解析．【解析】【解析】试题分析：①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取试题解析：满足条件的所有图形如图所示：试题解析：满足条件的所有图形如图所示：考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．．压轴题．11．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD ，已知OA=5，若扇形OAD （∠AOD ＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ．【答案】（1）作图见试题解析；（2）158．【解析】【解析】 试题分析：（1）作AE 的垂直平分线交⊙O 于C ，G ，作∠AOG ，∠EOG 的角平分线，分别交⊙O 于H ，F ，反向延长，反向延长 FO ，HO ，分别交⊙O 于D ，B 顺次连接A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，八边形ABCDEFGH 即为所求；即为所求； （2）由八边形ABCDEFGH 是正八边形，求得∠AOD 的度数，得到AD 的长，设这个圆锥底面圆的半径为R ，根据圆的周长的公式即可求得结论．，根据圆的周长的公式即可求得结论． 试题解析：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH 即为所求；即为所求；（2）∵八边形ABCDEFGH 是正八边形，∴∠AOD=3608×3=135°，∵OA=5，∴AD 的长=1355180p ´=154p ，设这个圆锥底面圆的半径为R ，∴2πR=154p，∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．复杂作图．12．手工课上，老师要求同学们将边长为4cm 的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）【答案】答案见试题解析．【答案】答案见试题解析．（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；得到的最小等腰直角三角形面积即可；（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．试题解析：根据分析，可得：试题解析：根据分析，可得：．．操作型．考点：1．作图—应用与设计作图；2．操作型．13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB）．（要求保留作图痕迹，不写作法）（1）用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）所在圆的半径．（2）若AB的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB所在圆的半径．【答案】（1）作图见试题解析；（2）50m．试题解析：（1）如图1，点O为所求；为所求；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=12AB=40，设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，在Rt△OAD中，∵222OA OD BD=+，∴222(20)40r r=-+，解得r=50，即AB所在圆的半径是50m．考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理；3．垂径定理的应用；4．作图题．．作图题．14．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．的度数．【答案】（1）证明见试题解析；（2）40°．°．考点：1．作图—基本作图；2．等腰三角形的判定与性质．．等腰三角形的判定与性质．15．如图，射线P A切⊙O于点A，连接PO．（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OP A（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明PC是⊙O的切线；的切线；（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求AB的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析，证明见试题解析；（2）839p．【解析】【解析】试题分析：（1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；的切线；（2）先证明△P AB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．，用弧长公式计算即可．试题解析：（1）作图如右图，作图如右图，连接连接OA，过O作OB⊥PC，∵P A切⊙O于点A，∴OA⊥P A，又∵∠OPC=∠OP A ，OB ⊥PC ，∴OA=OB ，即d=r ，∴PC 是⊙O 的切线；的切线；（2）∵P A 、PC 是⊙O 的切线，∴PA=PB ，又∵AB=AP=4，∴△P AB 是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt △AOP 中，tan60°tan60°==4OA ，∴OA=433，∴431203180AB l p ´´==839p ．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算；3．作图—基本作图．基本作图．16．如图，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB=30°．（1）利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接CD （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．的面积之比．【答案】（1）作图见试题解析；（2）12．试题解析：（1）如图所示；）如图所示；考点：1．作图—复杂作图；2．圆周角定理．．圆周角定理．17．）图①，图②，图③都是4×4×44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：图：为一边画一个等腰三角形；（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；为一边画一个正方形；（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．）作图见试题解析．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）作图见试题解析．【解析】【解析】的等腰三角形即可； 试题分析：（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为5的等腰三角形即可；的正方形；（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为5的正方形；（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．个：试题解析：（1）如图①，符合条件的C点有5个：；的面积最大．（3）如图③，边长为10的正方形ABCD的面积最大．．考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．18．）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均，每个小正方形的顶点叫做格点．为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．【答案】（1）答案见试题解析；（2）答案见试题解析．）答案见试题解析．所示；试题解析：（1）如图1所示；（2）如图2、3所示；所示；考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图． 19．）如图，已知Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝45°． （1）（4分）用尺规作图，在CA 的延长线上截取AD ＝AB ，并连接BD （不写作法，保留作图痕迹）； （2）（4分）求∠BDC 的度数；的度数； （3）（4分）定义：在直角三角形中，一个锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ÐÐ=cot ，根据定义，利用图形求cot22.5°的值．的值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）22.5°；（3）21+．试题解析：（1）如图，）如图，（2）∵AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD ，而∠BAC=∠ADB+∠ABD ，∴∠ADB=12∠BAC=12×45°45°=22.5°=22.5°，即∠BDC 的度数为22.5°；（3）设AC=x ，∵∠C=90°，∠BAC=45°，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴BC=AC=x ，AB=2AC=2x ，∴AD=AB=2x ，∴CD=2x x +=(21)x +，在Rt △BCD 中，cot∠BDC=DC BC =(21)xx+=21+，即cot22.5°cot22.5°==21+． 考点：1．作图—复杂作图；2．解直角三角形；3．新定义；4．综合题．．综合题．20．）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．（1）尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；作法，请标明字母；（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求DE 的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2）32p ．试题解析：（1）如图，）如图，⊙C 为所求；为所求；（2）∵⊙C 切AB 于D ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°30°=60°=60°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，在Rt △BCD 中，∵cos ∠BCD=CD BC ，∴CD=3cos30°CD=3cos30°==332，∴DE 的长=33602180p ×=32p． 考点：1．作图—复杂作图；2．切线的性质；3．弧长的计算；4．作图题．．作图题．21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角．的一个外角． 实验与操作：实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） （1）作∠DAC 的平分线AM ；（2）作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接AE ，CF ． 猜想并判断四边形AECF 的形状并加以证明．的形状并加以证明．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，四边形AECF 的形状为菱形．的形状为菱形． 【解析】【解析】考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质；4．作图题；5．探究型；6．菱形的判定．．菱形的判定．22．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点若多边形的各顶点都在方格纸的格点若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为1-+=nb ma S ，其中m ，n 为常数．为常数． （1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；、菱形；（2）利用（1）中的格点多边形确定m ，n 的值．的值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）112m n =ìïí=ïî．（2）∵格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为：1-+=nb ma S ，其中m ， n 为常数，为常数，∴三角形：3816S m n =+-=，平行四边形：3816S m n =+-=，菱形：5416S m n =+-=，则38165416m n m n +-=ìí+-=î，解得：112m n =ìïí=ïî． 考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．23．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a ，b ，c ，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．的整数个单位长度． （1）用记号（a ，b ，c ）（a≤b≤c ）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a ＜b ＜c 的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）；（2）答案见试题解析．）答案见试题解析． 【解析】【解析】 试题分析：（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：①作射线AB ，且取AB=4；②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C ； ③连接AC 、BC ．则△ABC 即为满足条件的三角形．即为满足条件的三角形．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系．．三角形三边关系．24．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．如何计算如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick ，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式121-+=b a S ，其中a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图，4=a ，6=b ，616214=-´+=S ．（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．个格点，并写出它的面积．（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为27，且每条边上除顶点外无其它格点．（注：图甲、图乙在答题纸上）（注：图甲、图乙在答题纸上）【答案】． 【解析】【解析】 试题分析：（1）根据皮克公式画图计算即可；）根据皮克公式画图计算即可；（2）根据题意可知a=3，b=3，画出满足题意的图形即可．，画出满足题意的图形即可． 试题解析：（1）方法不唯一，如图①或图②所示：）方法不唯一，如图①或图②所示：（2）方法不唯一，如图③或图④所示：）方法不唯一，如图③或图④所示：考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图． 25．【问题提出】【问题提出】用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 【问题探究】【问题探究】不妨假设能搭成m 种不同的等腰三角形，为探究m 与n 之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论． 【探究一】【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形．此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．根木棒这一种情况，不能搭成三角形． 所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1． 综上所述，可得：表①综上所述，可得：表①n 3 4 5 6 m 1 0 1 1 【探究二】【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （只需把结果填在表②中）（只需把结果填在表②中） 表②表②n 7 8 9 10 m 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n是正整数，把结果填在表③中）分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2 m 【问题应用】：（写能搭成多少种不同的等腰三角形？（写用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余）（只填结果）出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了，其中面积最大的等腰三角形每腰用了 根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？试题解析：（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，能搭成二种等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形三角形根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=10时，m=2．故答案为：2；1；2；2．问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k．问题应用：2016÷2016÷4=5044=504，504﹣1=503，当三角形是等边三角形时，面积最大，2016÷2016÷3=6723=672，∴用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．根木棒．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．．压轴题．【2014年题组】年题组】1．）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是（ ）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS 【答案】B ．考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．2．模）如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别如下：下：甲：①作OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点．两点． ②连接AB ，AC ．△ABC 即为所求作的三角形．即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．两点．即为所求作的三角形．②连接AB，BC，CA．△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）对于甲、乙两人的作法，可判断（A．甲、乙均正确．甲、乙均错误．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误．甲错误，乙正确．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【答案】A．【解析】【解析】试题分析：根据甲的思路，作出图形如下：试题分析：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，BD,∵OD=BD，OD=OB,∴OD=BD=OB,∴△BOD为等边三角形,∴∠OBD=∠BOD=60°,又BC垂直平分OD，∴OM=DM,∴BM为∠OBD的平分线,∴∠OBM=∠DBM=30°,又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,同理∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,∴△ABC 为等边三角形,故乙作法正确,故选A 考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．度角的直角三角形．3．）如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是，并直接写出旋转角度是 ．【答案】90°．°．【解析】【解析】试题分析：如图所示：旋转角度是90°．°．考点：作图-旋转变换．旋转变换．4．）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为的度数为 【答案】105°．°．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．5．）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，。

11.4 算法与框图1．算法算法通常是指对一类问题的机械的、统一的求解方法．2．流程图流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．3．三种基本逻辑结构(1)依次进行多个处理的结构称为顺序结构，是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为(2)选择结构是先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构．其结构形式为(3)循环结构是指需要重复执行同一操作的结构，需要重复执行的同一操作称为循环体．循环结构又分为当型和直到型．其结构形式为【套路秘籍】---千里之行始于足下4．算法语句(1)赋值语句用符号“←”表示，“x←y”表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x 同类型的变量或表达式．一般格式为：变量名←表达式．(2)输入、输出语句用输入语句“Read a，b”表示输入的数据依次送给a，b，用输出语句“Print x”表示输出运算结果x.(3)条件语句条件语句的一般形式是If A ThenBElseCEnd If(4)循环语句①当型循环a．While循环当循环次数不能确定时，可用“While”语句来实现循环．“While”语句的一般形式为While p循环体End Whileb．For循环当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示，“For”语句的一般形式为For I From“初值”To“终值”Step“步长”循环体End For②直到型循环直到型循环的一般形式为Do循环体Until pEnd Do【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一 程序框图例1 (1)如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5，则输出的y 的值为________．（2）如图给出的是计算12＋14＋16＋18＋…＋196的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是________．【答案】（1）－15 （2）i >48【解析】（1）由题意，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x <0，5－4x ，x ≥0，当x ＝5时，y ＝5－4×5＝－15，所以输出的y 的值为－15.（2）程序运行过程中，各变量值如下： 第1次循环：S ＝0＋12＝12，n ＝4，i ＝2，第2次循环：S ＝12＋14，n ＝6，i ＝3，第3次循环：S ＝12＋14＋16，n ＝8，i ＝4，依次类推，第48次循环：S ＝12＋14＋16＋18＋…＋196，n ＝98，i ＝49，退出循环体．所以判断框内应填入的条件是i >48. 【举一反三】1.执行如图所示的流程图，输出的s 值为________．【答案】 56【解析】 初始化数值k ＝1，s ＝1， 循环结果执行如下：第一次：s ＝1＋(－1)1·12＝12，k ＝2，k ＝2≥3不成立；第二次：s ＝12＋(－1)2·13＝56，k ＝3，k ＝3≥3成立，循环结束，输出s ＝56.2．执行如图所示的流程图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝________.【答案】 37【解析】 第一步运算：S ＝11×3＝13，i ＝2； 第二步运算：S ＝13＋13×5＝25，i ＝3；第三步运算：S ＝25＋15×7＝37，i ＝4>3.故S ＝37.考向二 算法案例【例2】（1）．用辗转相除法求510和357的最大公约数（ ） A ．51B ．27C ．8D ．3（2）下列各数转化成十进制后最小的数是 ( ) A ．111111(2)B ．210(6)C ．1000(4)D ．81(9)（3）用秦九韶算法计算函数7542()75422f x x x x x x =+++++，当1x =时的值，则3V =__________．【答案】（1）A （2）A （3）16【解析】（1）由辗转相除法得51035711533571532511535130=⨯+⎧⎪=⨯+⎨⎪=⨯+⎩，故51为510和357的最大公约数.选A.（2）111111(2)= 1×25+1×24+1×23+1×22+1×2+1=63； 210(6)=2×62+1×6+0=78； 1000(4)=1×43=64； 81(9)=8×9+1=73故选A.（3）由秦九韶算法可得：f （x ）=7x 7+5x 5+4x 4+2x 2+x+2=（（（（（（7x ）x+5）x+4）x ）x+2）x+1）x+2． 当x=1时的值，则V 0=7，V 1=7×1=7，V 2=7×1+5=12，V 3=12×1+4=16． 故答案为：16． 【举一反三】1．用秦九韶算法求多项式()5424231f x x x x =+-+，当3=x 时，3=v __________.【答案】123.【解析】根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：()()()()()420301f x x x x x x =++-++40=v ，143214v =⨯+=，2143042v =⨯+=，34233123v =⨯-=，3123v ∴=.故答案为：123.2．十进制数2015等值于八进制数为（ ） A ．3737（8） B ．737（8）C ．03737（8）D ．7373（8）【答案】A【解析】因为2015=3×83+7×82+3×81+7×80 所以十进制数2015等值于八进制数为：3737.故选：A3．用更相减损术求117和182的最大公约数时，需做减法的次数是( ) A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】∵182−117=65，117−65=52，65−52=13，52−13=39，39−13=26，26−13=13，∴13是117和182的最大公约数，需做减法的次数是6.故答案为：C.1．阅读流程图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为________．【答案】 9【解析】 i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11<－1.故输出i ＝9.2．()21001101 与下列哪个值相等( )． A ．()8115 B ．()8113 C ．()8114 D ．()8116【答案】A 【解析】【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行6543210(2)10011011202021212021277=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．210(8)11518185877=⨯+⨯+⨯=．210(8)11318183875=⨯+⨯+⨯=．210(8)11418184876=⨯+⨯+⨯=．210(8)11618186878=⨯+⨯+⨯=．故选：A ．3．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A F ~共16个计数符合，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9A B C D E F十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如用十六进制表示：1B+F =A ，则用十六进制表示B D ⨯=（ ） A ．3E B ．3E C ．8F D ．8F【答案】D【解析】B D ⨯用十进制表示为1113143⨯=，而14381615=⨯+，所以用十六进制表示为8F .选D.4．下列各数中最小的是（ ） A ．(2)10101 B ．(8)221 C ．(6)1011D ．81【答案】A【解析】由题意知4321(2)10101120212021221=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；210(8)221282818145=⨯+⨯+⨯=；3210(6)101116061616223=⨯+⨯+⨯+⨯=.故选A.5．将八位数(8)135化为二进制数为（ ）A ．()21110101B ．()21010101C ．()21011101D ．()21111001【答案】C【解析】135（8）=1×82+3×81+5×80=93（10）． 利用“除2取余法”可得 93（10）=1011101（2）． 故选：C ．6．一个k 进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k 不可能是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．7【答案】D【解析】3进制最小的三位数：()()3610013=；4进制最小的三位数：()()4610024=；5进制最小的三位数：()()5610041=；7进制最小的三位数：()()76100121=∴一个7进制的三位数不可能与某6进制的二位数等值本题正确选项：77．用秦九韶算法求多项式234()1232f x x x x x =++-+在1x =-时的值，2v 的结果是（ ）A ．–4B ．–1C ．5D ．6【答案】D【解析】()(((23)1)2)1f x x x x x =-+++，02v =,10032(1)35v v x =-=⨯--=-，∴ 21015(1)16v v x =+=-⨯-+=，故选D ．8．将十进制数47化为二进制数，根据二进制数“满二进一”的原则，采用“除二取余法”，得如下过程：472231=⨯+，232111=⨯+，11251=⨯+，5221=⨯+，2210=⨯+，1201=⨯+，把以上各步所得余数从后面到前面依次排列，从而得到47的二进制数为101111，记作:(2)47101111=.类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则(3)47=（ ）A ．202B ．1202C ．1021D ．2021【答案】B 【解析】注意到：473152,15350,5312=⨯+=⨯+=⨯+，1301=⨯+，结合题意可得：3(47)1202=.故选：B .9．观察：472231=⨯+，232111=⨯+，11251=⨯+，5221=⨯+，2210=⨯+ ，1201=⨯+，从而得到47的二进制数为101111，记作：()247101111=，类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则()347=（ ） A ．202 B ．1202C ．021D ．2021【答案】B【解析】因为473152,1535,5312,2302=⨯+=⨯=⨯+=⨯+， 所以4712729032=⨯+⨯+⨯+，故()3471202=，故选B.10．计算机常用的十六进制是逢十六进一，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如：用十六进制表示，E +D =1B ，则A ×B = ( ) A ．6E B ．72C ．5FD ．5B【答案】A【解析】由十进制表示A ×B =10×11=110，而110=6×16+14=6E (16)． 故答案为：A.11．关于进位制的说法错误的是 ( )A ．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统B ．二进制就是满二进一,十进制就是满十进一C ．满几进一,就是几进制,几进制的基数就是几D ．为了区分不同的进位制,必须在数的右下角标注基数 【答案】D【解析】一般情况下,不同的进位制须在数的右下角标注基数,但十进制可以不用标注,故D 错误.故选D.12．电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit ）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l ，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte ）”是更大的存储单位，18Byte bit =，因此1字节可存放从()200000000至()211111111共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（ ）A．254 B．381 C．510 D．765【答案】B【解析】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为11000000，1100000，110000，11000，1100，110，11，共7个.转化为十进制并相加得()()()()()()() 76655443322110+++++++++++++381 22222222222222=，故选B. 13．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出的v值为（）A．9×210−2B．9×210+2C．9×211+2D．9×211−2【答案】C【解析】根据题意，初始值v=10,x=2，程序运行如下：k=9,v=10×2+9k=8,v=10×22+9×2+8k=7,v=10×23+9×22+8×2+7...k =0,v =10×210+9×29+...+1×21+0×20 =9×211+2 故选C 项.14．执行下面的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．8B ．18C ．26D ．80【答案】C 【解析】从算法流程图中提供的算法程序可得10213233333327126S =-+-+-=-=，此时314n =+=，运行程序结束，由题设输出26S =，应选答案C 。