第一章 朴素集合论

公理集合论公理集合论把一些符号组成的表达式称为集合，是一种纯粹形式化的理论，彻底摆脱了集合直观语义的束缚。

公理集合论建立在若干公理组成的公理系统之上。

最著名的集合论公理系统是由德国逻辑学家Zermelo和Frankel等人提出的ZFC公理系统。

它包含10组公理，一部分公理规定集合应当具有的几个简明性质，另外一部分公理定义了可称为集合的表达式。

本讲我们先了解公理集合论的渊源，然后重点学习ZFC公理系统。

1.康托的朴素集合论和罗素悖论在思考和表达时，我们会把一些对象视为一个整体，并称之为某某类（class）或者某某集合（set）。

例如，所有的实数构成一个类，实数类又可划分为有理数和无理数等两个类。

这些概念的出现显然是我们对于思考对象进行分类的自然结果，并非人为定义的。

因此，古代数学中就出现了这个概念（古希腊？）。

18世纪的数学家欧拉和19世纪的数学家布尔都分别用这个概念论证亚里士多德逻辑学中的推理模式的正确性。

而对于集合的研究始于19世纪德国数学家康托（Cantor）。

当戴德金用有理数的分割来定义实数时，康托把实数集合作为研究对象。

他证明了实数集合的无穷大比自然数集合的无穷大更大。

这个有趣的发现促使他研究更多更大的无穷集合，发现了一个又一个新颖的关于无穷集合的性质。

这些结果发表在1874年的一篇论文中，开创了集合论这门新的数学分支。

康托在这篇文章中对集合的定义如下（翻译为英文）：A set is a gathering together into a whole of definite, distinct objects of our perception or of our thought – which are called elements of the set.显然，这是关于集合的直觉概念，并不是严格的定义（formal definition），我们称之为集合概念的朴素定义（naïve definition）。

第1章朴素集合论1.设f : X →Y , A, B ⊂Y , 则下面不正确的命题是( ).A. A = f(f−1(A))B. f−1(A ∩B) = f−1(A) ∩f−1(B)C. f−1(A\B) = f−1(A)\f−1(B)D. f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪f−1(B)2.对任意集合X, Y, Z, 下面命题正确是( ).A. card X ≤card Y ⇒X ⊂YB. X ⊂Y ⇒card X ≤card YC. X ≠ Y ⇒card X ≠ card YD. X Y ⇒card X < card Y3.设R 是从X 到Y 的一个关系, 则R(A ∩B) = R(A) ∩R(B). ( )4.给定函数f : X →Y , 则关系f−1 : Y →X.( )5.给定X = {1, 2, 3}, 则X 上的关系R = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (2, 1)} 是从X 到X 的一个函数. ( )6.考虑整数集Z 上的模5 等价关系, 则商集[9] = [134]. ( )7.有理数集是可数集, 无理数集的基数为ℵ. ( )8.设R ⊂X ×Y , 则称R 是从X 到Y 的一个____________.9.设X 上的一个关系R. 若△(X) ⊂R, 其涵义为____________ , 则称关系R 是________________ 的; 若R = R−1, 其涵义为_______________ , 则称关系R 是_____________ 的;若R ◦R ⊂R, 其涵义为, 则称关系R 是_______________ 的. 满足以上三个条件的关系称为______________ .关系.等价关系,商集,自然映射.可数集,ℵ0.1.设X 上关系R 是自反的. 试证: R 是等价关系当且仅当(a, b) ∈R, (a, c) ∈R ⇒(b, c) ∈R.2.设X, Y 是集合, f : X →Y . 试证:R = {(x1, x2) ∈X ×X; f(x1) = f(x2)}是X 上的等价关系, 而且f˜: X/R →Y[x]→f(x)是良定义的(well-defined), 且是单射.3.设A ⊂ B ⊂C, 且card A = card C. 试证:card A = card B = card C. (提示: 利用Cantor-Bernstein 定理.)4.设f : X →Y , A, B ⊂Y . 试证:f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪f−1(B).5.设f : X →Y , A ⊂X, B ⊂Y , 试证:B ∩f(A) = f(f−1(B) ∩A).6.设f : X →Y , 试证: f−1(f(A)) ⊃A;f−1(f(A)) = A ⇔f(A) ∩f(X\A) = ∅.第2 章拓扑空间与连续映射1.设X = {0, 1, 2}, 下面不是X 上的拓扑的集族是( ).A. {∅, {1} , {1, 2} , X}B. {∅, {0} , X}C. {∅, {0, 1} , {0, 2} , {2} , X}D. {∅, {0} , {1, 2} , X}2.设X 是拓扑空间, A ⊂ B ⊂X, 下面不正确的命题是( )A. d(A) ⊂d(B)B. A o⊂B oC. A c⊂B cD. A−⊂B−3.设X 是拓扑空间, 下面不正确的命题是( )A. ∅−= ∅B. X−= XC. (A ∩B)−= A−∩B−D. (A ∪B)−= A−∪B−4.设X = {a, b}, T = {∅, {a} , X}, 则d ({a}) = ( ), {a}−= ( ), {a}o = ( ).A. ∅B. XC. {a}D. {b}5.设X = {a, b, c, d},T = {∅, {a} , {b, c, d} , X}, 则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D. 46.设X = {a, b, c, d}, T = {∅, {a} , {b, c, d} , X},点 b 的开邻域个数为( ).A. 1B. 2C. 3D. 47.设(X, T ) 是拓扑空间, A ⊂X, 则A o是包含于A 的( ) 开集.A. 最小B. 最大C. 既不是最大也不是最小D. 以上都不对8.设(X, T ) 是拓扑空间, A ⊂X, 则A−是包含A 的( ) 闭集.A. 最小B. 最大C. 既不是最大也不是最小D. 以上都不对9.设 X 是一个拓扑空间, A, B ⊂ X, 则下列关系中错误的是 ( )A. d(A ∪ B) = d(A) ∪ d(B)B. B A B A Y Y =C. d(A ∩ B) = d(A) ∩ d(B)D. A A =10.离散空间的任一子集是 ( )A. 开集B. 闭集C. 既开又闭D. 非开非闭11.在实数空间 R 中, 下列集合是开集的是 ( )A. 整数集 ZB. 有理数集 QC. 无理数集D. 整数集的补集 Z c12.设 (X, ρ) 是拓扑空间, x ∈ X, A ⊂ X, 则ρ(x, A) = 0 ⇔ x ∈ ( ), ρ(x, A c ) = 0 ⇔ x ∈ ( ), ρ(x, A) = ρ(x, A c ) = 0 ⇔ x ∈ ( ),ρ(x, A c ) > 0 ⇔ x ∈ ( ).A. A oB. A −C. ∂AD. A oc13.拓扑空间中的开集一定不是闭集.( )14.设 T1, T2 都是 X 上的拓扑, 则 T1 ∪ T2 也是 X 上的拓扑. ( )（花写T ）15.在拓扑空间 (X, T ) 中, 若 A ⊂ X, 则 d(A)是闭集. ( )16.在实数下限拓扑空间 R l 中, [0, ∞) 是开集.( )17.设 B 是拓扑空间 (X, T ) 的一个基,B ⊂ B ˜ ⊂ T , 则 B ˜ 也是该拓扑空间的一个基. ( )18.设 S 是拓扑空间 (X, T ) 的一个子基,S ⊂ S ˜ ⊂ T , 则 S ˜ 也是该拓扑空间的一个子基. ( )19.在拓扑空间 (X, T ) 中, 设 x ∈ X, A ⊂ X,则 x0 ∈ d(A) 蕴含存在 A\ {x 0} 中的序列 {x n }收敛于 x 0. ( )20.在度量空间 (X, T ) 中, 设 x 0 ∈ X, A ⊂ X,则 x 0 ∈ d(A) 等价于存在 A\ {x 0} 中的序列 {x n }收敛于 x 0. ( )21.设 A 是离散空间 X 的子集, 则A o =______________ , A − =_______________ .22.设 X 是拓扑空间, A ⊂ X, x ∈ X, 如果_____________ , 则称 x 是 A 的凝聚点.23.在实数空间R 中, 区间[0, 1) 的内部是______ , Q 的内部是_________ , Q 的导集是______ , Q 的闭包是______, Q 的边界是_____________ .24点集拓扑的中心任务是研究______________ .25.设X 是拓扑空间, 如果_____________________ , 则称U ⊂X 是点x ∈X 的一个邻域.度量空间拓扑空间邻域凝聚点, 导集内点, 内部边界点, 边界基, 子基同胚映射1.设 (X, ρ) 是度量空间, 试证:|ρ(x, y) − ρ(x, z)| ≤ ρ(y, z), ∀ x, y, z ∈ X.2.设 (X, ρ) 是度量空间,),(1y x αρρ=,)10(<<α ,),(1),(2y x y x ρρρ+=试证: (X, ρ1), (X, ρ2) 均是度量空间.3.设 {}∞=1i i p 是 X 上的一列度量, 试证:),(1),(21),(1y x y x y x i i i i ρρρ+=∑∞= , 也是 X 上的度量.4.设 X = {a, b, c},T1 = {∅, {a} , {a, b} , {a, c} , X} ,T2 = {∅, {b} , {a, b} , {b, c} , X} .试证: T1, T2 都是 X 上的拓扑, 但 T1 ∪ T2 却不是 X 上的拓扑.5.设X = {a, b, c} , T = {∅, {a} , {b, c} , X} .试证: (X, T ) 是一个拓扑空间; 再设 A = {b}, 试求 d(A), 并判断它是否为闭集.6.设 X 是度量空间, A ⊂ X, 试证: d(A) 是闭集7.设 X 是有限补拓扑空间, A ⊂ X, 试证: ⎩⎨⎧=为无限集，为有限集，A X A A A8.设 X 是拓扑空间, A ⊂ X, 试证:A o −o − = A o −.证明:A o − ⊃ A o −o ⇒ A o − ⊃ A o −o −,A o ⊂ A o − ⇒ A o = A oo ⊂ A o −o⇒ A o − ⊂ A o −o −9.设 (X, TX), (Y, TY) 是两个拓扑空间,f : X → Y . 试证以下条件等价:1 . f 连续;2 . ∃ Y 的基 BY , B ∈ BY ⇒ f −1(B) ∈ TX;3 . ∃ Y 的子基 SY , S ∈ SY ⇒ f −1(S) ∈ TX;4 . ∀ x ∈ X, U ∈ Uf(x) ⇒ f −1(U) ∈ Ux;5 . ∀ x ∈ X, ∃ f(x) 的邻域基 Vf(x),V ∈ Vf(x) ⇒ f −1(V ) ∈ Ux;6 . ∀ x ∈ X, ∃ f(x) 的邻域子基 Wf(x),∀ W ∈ Wf(x)⇒ f −1(W) ∈ Ux.第3 章子空间, 积空间, 商空间1.设X = {1, 2, 3},T = {∅, X, {1, 2} , {1, 3} , {1} , {2}}, A = {2, 3},则X 的子空间 A 的拓扑是_________________ .2.相对拓扑是使得内射连续的( ) 的拓扑.A. 最小B. 最大C. 既不是最大也不是最小D. 以上都不对3.积拓扑是使积空间到每个坐标空间的自然投射都连续的( ) 的拓扑.A. 最小B. 最大C. 既不是最大也不是最小D. 以上都不对4.设X = X1 ×···×Xn 是拓扑空间X1, ···, Xn 的拓扑积空间, 则下列哪个性质不是投射pi : X →Xi 的性质( )A. pi 是满射B. pi 是连续映射C. pi 是闭映射D. pi 是开映射5.设X1, X2 是两个拓扑空间, X1 ×X2 是它们的积空间, A ⊂X, B ⊂Y . 则下列命题错误的是( )A. BA⨯⨯=BAB. ∂(A ×B) = (∂A ×B ¯) ∪(A ¯×∂B)C. ∂(A ×B) = ∂A ×∂BD. (A ×B)o = A o×B o6.设(X, T ) 为拓扑空间, f : X →Y , 则Y 上的商拓扑是使得f 连续的( ) 的拓扑.A. 最小B. 最大C. 既不是最大也不是最小D. 以上都不对7.离散空间的商空间一定是( ), 平庸空间的商空间一定是( ).A. 离散空间B. 平庸空间C. 既不是离散空间, 也不是平庸空间D. 以上都不对8.设[0, 1] 是实数空间R 的子空间, 则(0, 1/2]是[0, 1] 中的开集. ( )9.设[0, 1) 是实数空间R 的子空间, 则[0, 1/2)是[0, 1) 中的开集. ( )10.设[0, 1) 是实数下限拓扑空间Rl 的子空间,则[1/2, 1) 是[0, 1) 中的开集. ( )11.开映射的复合还是开映射. ( )12.闭映射的复合还是开映射. ( )13.商映射的复合还是商映射. ( )14.设X, Y 是两个拓扑空间, f : X →Y 是商映射, 则f 是满射. ( )15.设X, Y 是两个拓扑空间, f : X →Y 是单射, 且是商映射则 f 是同胚. ( )16.设Y 是拓扑空间X 的一个开(闭) 子集, 则Y 作为X 的子空间时称为X 的开(闭) 子空间.试证:1. 如果Y 是拓扑空间X 的一个开子空间, 则A ⊂Y 是Y 中的开集⇔A 是X 中的开集.2. 如果Y 是拓扑空间X 的一个闭子空间, 则A ⊂Y 是Y 中的闭集⇔A 是X 中的闭集.第4章连通性1.设X 是拓扑空间, 则X 中的单点子集是X的通连子集. ( )2.设X 是连通空间, Y ⊂X, 则Y 是X 的连通子集. ( )3，设X 是不连通空间, Y ⊂X, 则Y 是X 的,不连通子集. ( )4.设Y 是R 的连通子集, 则Y 是区间. ( )5.设I 是R 的区间, 则Y 是R 的连通子集.( )7.设X, Y 是拓扑空间, X 是局部连通空间,f : X →Y 连续, 则f(X) 也是局部连通空间. ( )8.设X 是一拓扑空间, C 为其一连通分支, 若X 的连通子集Y 适合Y ¯∩C ≠∅, 则Y ⊂ C. ( )注记：书上的定理是这么说的: 设X 是一拓扑空间, C 为其一连通分支,若X 的连通子集Y 适合Y ∩ C ≠∅, 则Y ⊂ C. (狗的嘴里叼着肉就能全部吃掉它)现在的情形是: 如果把肉放到狗嘴边, 那么狗能否吃到肉呢注记：这是连通分支的“吸星大法”的增强形式.9.设X 是一拓扑空间, C 为其一道路连通分支, 若X 的道路连通子集Y 适合Y ∩C ≠∅,则Y ⊂ C. ( )注记. 这是道路连通分支的“吸星大法”.10.设O 是R n的开集, 则O 是连通的⇔O 是道路连通的. ( )11.设A ⊂R, 则A 是连通的⇔A 是道路连通的. ( )12.设O 是Rn 的开集, 则O 的道路连通分支是它的一个连通分支. ( )13.拓扑空间的连通分支可以是闭集, 也可以是开集. ( )提示：考虑有理数集Q 的连通分支.14.拓扑空间的道路连通分支是闭集. ( )提示：考虑拓扑学家的正弦曲线.15.拓扑空间的连通分支的闭包是连通的. ( )16.拓扑空间的道路连通分支的闭包也是道路连通的. ( )提示：考虑拓扑学家的曲线.1 . 多于一个点的离散空间是___________ 的.2 . 平庸空间是____________ 的.3 . 设X = {a, b, c}, T1 = {∅, {a} , {b, c} , X},T2 = {∅, {a} , X}, 则拓扑空间(X, T1)是______________ 的, 拓扑空间(X, T2)是_________________ 的.(选填: 连通, 不连通).是______ 的; Q 作为R 的子空间是______ 的; R\Q 作为R 的子空间是_______________的; {代数数} 作为R 的子空间是_____________ 的; {超越数} 作为R 的子空间是______________ 的; Z 作为R 的子空间是___________ 的. (选填: 连通, 不连通).\ {0} 是________ 空间, R2\ {0}是________空间. (选填: 连通, 不连通).6.考虑拓扑学家的正弦曲线(the topologist’ssine curve)S = {(x,sin x /1) ; 0 < x ≤1}则对∀ A ⊂{0} ×[−1, 1],S ∪A 是______________ 的.(选填: 连通, 不连通).证明:这是连通的. 由sin 1/x= y ∈[−1, 1] ⇒1/x= arcsin y + 2kπ⇒x = 1/(arcsin y + 2kπ)知S ∋(1/( arcsin y + 2kπ) , y) →(0, y) (k →∞) .于是S ¯= S ∪{0} ×[−1, 1]. 按照如下结论:X 为拓扑空间, Y 为X 的连通子集, Y ⊂Z ⊂Y , ¯则Z 连通即知结论成立.连通性, 局部连通性和道路连通性的区别和联系:1 . 连通未必局部连通, 比如拓扑学家的曲线.2 . 连通未必道路连通空间, 比如拓扑学家的曲线.3 . 局部连通未必连通, 比如R 的子空间(0,1) ∪(1,2); 多于一个点的离散空间.4 . 局部连通未必道路连通, 比如多于一个点的离散空间.5 . 道路连通一定连通.6 . 道路连通未必局部连通, 比如X = {(x, y) ∈R2; 0 ≤x ≤1, y = n x, n = 1,2, ···或y = 0} .连通性, 局部连通性和道路连通性是否为可遗传的性质(拓扑空间X 具有, 则X 的子空间也具有), 是否为对闭子空间可遗传的性质(拓扑空间X 具有, 则X 的闭子空间也具有), 是否为对开子空间可遗传的性质(拓扑空间X具有, 则X 的开子空间也具有):1 . 连通性不是可遗传的性质. 比如R 连通, 但R 的开子空间(0,1) ∪(1,2)不连通; R 的闭子空间Q 不连通.2 . 局部连通是是对开子空间可遗传的性质, 即若X 为局部连通空间, Y 是X 的开子空间, 则Y 也是局部连通空间.3 . 道路连通空间不是可遗传的性质. 比如R 连通, 但R 的开子空间(0,1) ∪(1,2) 不连通; R 的闭子空间Q 不连通.1.设X 是一拓扑空间, A, B 在X 中隔离,A1 ⊂A, B1 ⊂B, 试证: A1, B1 在X 中隔离.2.设X 是一拓扑空间, x, y ∈X 是连通的, E是X 的一个既开又闭的子集, 试证: x, y ∈ E 或者x, y E.3.设X, Y 是拓扑空间, f : X →Y 连续,f(X) ⊂Z ⊂Y , 试证:f˜: X →Zx →f(x)也连续.注记. 本题在书上第140 页证明定理时引用过.4.考虑实数空间R 的两个子空间X = {0, 1, 2, 3, ···} , Y = {0, 1, 1 /2, 1/ 3, ···}及 f : X →Y 定义为f(0) = 0, f(n) = 1/n(n = 1, 2, 3, ···).试证:1 . X 是离散空间;2 . X 是局部连通空间;3 . f 是连续的一一映射;4 . Y 不是局部连通空间.本题说明局部连通性不是在连续映射下保持不变的性质.5.(书Page 147 第5 题). 设X 是拓扑空间, 若∀x ∈X, ∀U ∈Ux, ∃道路连通V ∈Ux, . x ∈V ⊂U,则称X 是一局部道路连通空间. 再设Y ⊂X, 若Y 在相对拓扑下是局部道路连通的, 则称Y 是X 的局部道路连通子集.1 . 局部道路连通空间是局部连通空间.2 . 局部道路连通性是在开的连续映射下保持不变的性质.3 . 局部道路连通性是有限可积性质.4 . 设O 是局部道路连通空间X 的开集, 则O 是X 的连通子集⇔O 是X 的道路连通子集.第5 章有关可数性的公理1.设(X, ρ) 是度量空间, D 是X 的一个可数稠密子集, 则{B(d, r);d ∈D,0 < r ∈Q} 是X的一个可数基. ( )2.设X 是Lindelöff 空间, Y 是X 的闭子空间, 则Y 也是Lindelöff 的. ( )3.设X 是拓扑空间, A 是X 不可数的Lindelöff 子空间, 则A ∩d(A) ≠∅. ( )1 . Rn 的子空间_____________是A2 空间.2 . A2 空间_____________ 是A1 空间.3 . A2 空间________________ 是可分的.4 . 可分的度量空间__________ 是A2 空间.5 . A2 空间的子空间____________ 可分6 . 可分度量空间的子空间____________ 可分.(以上选填: 一定, 未必)7.设X 是拓扑空间, D ⊂X, 若D−= X, 则称D 是X 的______________ 子集; 若 D 是可数集, 则称X 是__________________ 的.8. 在实数空间R 中, Q 的闭包是__________ .9.. 设(X, T ) 是拓扑空间, ∞∉X, 令X∗= X ∪{∞} , T ∗= {A ∪{∞}; A ∈T } ∪{∅} .则在X∗中, {∞}−= ______________.10.设 A 是一集族, B 是一集. 若∪A∈A A ⊃B,则称 A 是 B 的一个_________ ; 当A 是可数族时, 称A 是B 的_______________ ; 当A 是有限族时, 称 A 是 B 的__________ ; 若∃A1 ⊂ A , . ∪A∈A1 A ⊃B, 则称A1 是A的____________ .在拓扑空间X 中, 若 A 是X 的子集族,B ⊂X, 则称 A 是 B 的__________ .11.设X 是拓扑空间, 它的每个开覆盖都有一个_______ , 则称X 为Lindelöff 空间.空间________ 是Lindelöff 的;Lindelöff 空间______________ 是A2 的, 但Lindelöff 的度量空间_____________ 是A2 的.(选填: 一定, 未必)13.设X 是A1 空间, 给定x ∈X 及x 处的一个可数邻域基{}∞=1n n U.1) . 试构造出 x 处的一个递减可数邻域基{}∞=1n n V .2 ). 任取n n V x ∈, 试证: x x n n =∞→lim .14 . 试给出度量空间 (X, d) 在 x ∈ X 处的一个可数邻域基.15 . 试给出 R 的一个可数基.。

第二篇 集合论集合代数、关系、函数、有限集与无限集是以集合概念为基础而相互关联的一个整体，同时它们也存在明显的发展过程：集合代数→关系→函数→有限集与无限集。

第一章 集合论初步“ 没有任何人能将我们从Cantor 所创造的这个乐园（集合论）中驱赶出去！”D. Hilbert重点：1 集合运算的10个规律； 2 集合成员表的构造 3 证明集合相等的方法 4 幂集的概念§ 1.1 集合的基本概念1.1.1 集合与元素一、集合的概念集合是数学中一个最基本的概念（就象几何中的点一样原始），很难用别的词来定义它。

通常只是给予一种描述，即：把确定的不同的一些对象（或元素）作为一个整体来考虑时，这个整体便称为是一个集合。

例如：英文字母中的所有字母；全国的高等学校；直线上的所有点；所有的整数（I ），正整数（+I ），负整数（-I ），有理数（Q ），实数（R ），自然数（包含0）（N ）。

集合用大写英文字母表示，集合中的元素用小写英文字母表示。

元素a 属于集合A ，记为A a ∈，若元素a 不属于集合A ，则记为A a ∉。

注释1 集合的特性。

1）集合中的元素具有确定性。

定义集合的方式不能具有二义性，即对给定的一个集合A 和元素a 而言，a 和A 的关系是确定的，a 要么属于A ，要么不属于A 。

例，所有好看的花构成的集合就具有不确定性。

2）集合中的重复元素不影响集合（即集合的元素互不相同），例如，{}b a ,余{}b b b a ,,,认为相同。

3）集合的元素具有无序性。

注释2 特殊的集合。

1）不包含任何元素的集合是空集，记为∅。

例如：}01|{2是实数且x x x =+。

2）在一定范围内，如果所有集合都是某一集合的部分，则称该集合为全集，记为E ，全集是相对的。

如在数学分析中的数，对我们讨论的问题而言，我们限定在实数范围，因此，实数是全集。

但在复分析中的数是复数，因此，复数是全集。

3）有限集合与无限集合。

第一章集合论基础1.2.1 证明集合的包含关系方法一.用定义来证明集合的包含关系是最常用也是最基本的一种方法。

要证明A⊆B，首先任取x∈A，再演绎地证出x∈B成立。

由于我们选择的元素x是属于A的任何一个，而非特指的一个，故知给出的演绎证明对A中含有的每一个元素都成立。

当A是无限集时，因为我们不能对x∈A，逐一地证明x∈B成立，所以证明时的假设“x是任取的”就特别重要。

例1.2.1 设A，B，C，D是任意四个非空集合，若A⊆C，B⊆D，则A×B⊆C×D。

证明：任取(x，y) ∈A×B，往证(x，y) ∈C×D。

由(x，y) ∈A×B知，x∈A，且y∈B。

又由A⊆C，B⊆D知，x∈C，且y∈D，因此，(x，y) ∈C×D。

故，A×B⊆C×D。

1.2.2 证明集合的相等方法一.若A，B 是有限集，要证明集合A=B当然可以通过逐一比较两集合所有元素均一一对应相等即可，但当A，B 是无限集时，一般通过证明集合包含关系的方法证得A⊆B，B⊆A即可。

例1.2.2 设A，B，C，D是任意四个集合，求证（A×B）⋂（C×D）=（A⋂C）×（B⋂D）。

证明：首先证明（A×B）⋂（C×D）⊆（A⋂C）×（B⋂D）。

任取（x,y）∈（A×B）⋂（C×D），则（x,y）∈（A×B），且（x,y）∈（C×D），故x∈A，y∈B，x∈C，y∈D，即x∈A⋂C，y∈B⋂D，因此，（x,y）∈（A⋂C）×（B⋂D）。

由于以上证明的每一步都是等价的，所以上述论证反方向进行也是成立的。

故可证得（A⋂C）×（B⋂D）⊆（A×B）⋂（C×D）。

因此，（A×B）⋂（C×D）=（A⋂C）×（B⋂D）。

《点集拓扑学》第一章集合论初步本章介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识．至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述．旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。

这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著．即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运算，大小的比较(＜和≤)，和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的．此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理．§1.1集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体．例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等．集合也常称为集，族，类．集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点，或成员．集合也可以没有元素．例如平方等于2的有理数的集合，既大于1又小于2的整数的集合都没有任何元素．这种没有元素的集合我们称之为空集，记作．此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集．集合的表示法：（1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式．（2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号{x|关于x的一个命题P}表示使花括号中竖线后面的那个命题P成立的所有元素x构成的集合．例如，集合{x|x为实数，并且0<x<1}即通常所谓开区间（0，1）．在运用集合这种定义方式时有时允许一些变通，例如集合{是实数}便是集合{，其中x是实数}的简略表示,不难明白这个集合实际上是由全体非负实数构成的．集合表示方式中的竖线“|”也可用冒号“：”或分号“；”来代替．（3）列举法：也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合．例如{}表示由元素构成的集合．如果确实不至于发生混淆，在用列举的办法表示集合时容许某种省略．例如，有时我们可以用{1，2，3，…}表示全体正整数构成的集合，用{1，3，5，…}表示全体正奇数相成的集合．但我们并不鼓励这种做法，因为后面的规律不是很清楚，容易产生误解．我们再三提请读者注意：不管你用任何一种方式定义集合，最重要的是不允许产生歧义，也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的．在本书中，我们用：表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；Z表示全体整数构成的集合，称为整数集；Q表示全体有理数构成的集合，称为有理数集；R表示全体实数构成的集合，称为实数集；并且假定读者熟知这些集合．以下是一些常用的记号：∈：表示元素与集合的关系，如：x∈X ，x∈{x}等：表示集合与集合的关系，如：A B （等价于）(这个记号即是通常数学课本中的)：表示与上述相反的含义．=：表示两个集合相等，如：A=B（等价于）以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题，从直觉着去看也是自明的．定理1.1.1 设A，B，C都是集合，则（l）A＝A；（2）若A＝B，则B＝A；（3）若A＝B，B=C，则A＝C．定理1.1.2 设A，B，C都是集合，则（l）A A；（2）若A B，B A，则A＝B；（3）若A B，B C，则A C．证明（l）显然．（2）A B意即：若x∈A，则x∈B；B A意即：若x∈B，则x∈A．这两者合起来正好就是A＝B的意思．（3）x∈A．由于A B，故x∈B；又由于B C，从而x∈C．综上所述，如果x∈A就有x∈C．此意即A C．因为空集不含任何元素，所以它包含于每一个集合之中．由此我们可以得出结论：空集是惟一的．设A，B是两个集合．如果A B，我们则称A为B的子集；如果A是B的子集，但A又不等于B，即A B，A≠B，也就是说A 的每一个元素都是B的元素，但B中至少有一个元素不是A的元素，这时，我们称A为B的真子集.我们常常需要讨论以集合作为元素的集合，并且为了强调这一特点，这类集合常称为集族.例如，A={{1},{1,2},{1,2,3}}是一个集族.它的三个元素分别为:{1},{1,2},{1,2,3}及.设X是一个集合，我们常用P（X）表示X的所有子集构成的集族，称为集合X的幂集．例如，集合{1,2}的幂集是P={{1},{1,2},{2},}.本章中所介绍的集合论是所谓“朴素的”集合论．在这种集合论中，“集合”和“元素”等基本概念均不加定义而被认作是自明的．正因为如此，历史上曾经产生过一些悖论.而对于绝大多数读者来说了解朴素的集合已是足够的了，只是要求他们在运用的时候保持适当的谨慎，以免导致逻辑矛盾．例如，我们应当知道一个集合本身不能是这个集合一个元素．即：若A是集合则A∈A不成立．这一点是容易理解的．例如，由一些学生组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学生．因此，我们不能说“所有集合构成的集合”，因为如果有这样一个“集合”的话，它本身既是一个集合，就应当是这个“所有集合构成的集合”的一个元素了．也因此，我们应当能够了解一个元素a和仅含一个元素a的单点集{a}是两回事，尽管我们有时为了行文的简便而在记号上忽略这个区别．作业：掌握集合、元素的概念、表示法熟练区分“∈”与“”的意义§1.2集合的基本运算在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算，这三种运算的基本规律，以及它们与集合的包含关系之间的基本关联．定义1.2.1 设A与B是两个集合．集合{x|x∈A或x∈B}称为集合A与集合B的并集或并，记作AUB，读为A并B．集合{x|x∈A且x∈B}称为集合A与集合B的交集或交，记作A∩B，读为A交B．若A∩B=，则称集合A与集合B无交或不相交；反之，若A∩B≠，则称集合A与集合B有（非空的）交．集合{x|x∈A且x B}称为集合A与集合B的差集，记作A＼B或A －B，读为A差B，或A减B．关于集合的并、交、差三种运算之间，有以下的基本规律．定理1.2.1 设A，B，C都是集合．则以下等式成立：（1）幂等律A∪A＝AA∩A=A（2）交换律A∪B＝B∪A A∩B=B∩A（3）结合律(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)（4）分配律(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)（5）DeMongan律A-(BUC)=（(A-B)∩(A-C)A-((B∩C)＝(A-B)U(A-C)集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联．定理1.2.2 设A，B是两个集合．下列三个条件等价：（l）A B；（2）A∩B＝A；（3）A∪B＝B．定义1.2.2 设X是一个基础集．对于X的任何一个子集A，我们称X－A为A（相对于基础集X而言）的补集或余集记作．我们应当提醒读者，补集的定义与基础集的选取有关．所以在研究某一个问题时，若用到补集这个概念，在整个工作过程中基础集必须保持不变．定理1.2.3 设X是一个基础集．若A，B为X的子集，则以上证明均只须用到集合的各种定义,此处不证,略去.作业:熟记这两节的各种公式.掌握证明两个集合A=B与A B的基本方法（）§1.3关系我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系．为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念．定义1.3.1 设X和Y是两个集合．集合{（x，y）|x∈X，y∈Y}称为X与Y的笛卡儿积，记作X×Y，读为X叉乘Y．其中(x，y)是一个有序偶，x称为（x，y）的第一个坐标，y称为（x，y）的第二个坐标．X称为X×Y的第一个坐标集，Y称为X×Y的第二个坐标集．集合X与自身的笛卡儿积X×X称为X的2重（笛卡儿）积，通常简单记作．有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号是一样的，有时容易混淆．因此在可能发生混淆的情形下应当加以说明，以避免误解．给定两个集合，通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合，这个办法对于读者并不陌生．以前学过的数学中通过实数集合构作复数集合，通过直线构作平面时，用的都是这个办法．我们应当注意，一般说来集合X与集合Y的笛卡儿积X×Y完全不同于集合Y与集合X的笛卡儿积Y×X．定义1.3.3 设X，Y是两个集合．如果R是X与Y的笛卡儿积X×Y 的一个子集，即R X×Y，则称R是从X到Y的一个关系．定义1.3.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系，即R X×Y．如果(x，y）∈R，则我们称x与y是R相关的，并且记作xRy．如果A X，则Y的子集{y∈Y|存在x∈A使得xRy}称为集合A对于关系R而言的象集，或者简单地称为集合A的象集，或者称为集合A的R象，并且记作R（A），R（X）称为关系R的值域．关系的概念是十分广泛的．读者很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数（映射），等价，序，运算等等概念都是关系的特例．这里有两个特别简单的从集合X到集合Y的关系，一个是X×Y 本身，另一个是空集 ．请读者自己对它们进行简单的考查．定义1.3.5 设R是从集合X到集合Y的一个关系，即R X×Y．这时笛卡儿积Y×X的子集{（y，x）∈Y×X|xRy}是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且记作．如果B Y，X的子集（B）是集合B的象,我们也常称它为集合B对于关系R而言的原象，或者集合B的R原象．特别，关系的值域（Y）也称为关系R的定义域．定义1.3.6 设R是从某个X到集合Y的一个关系，即R X×Y，S 是从集合y到集合Z的一个关系，即S Y×Z．集合{（x，z）∈X×Y|存在y∈Y使得xRy并且ySz}是笛卡儿积X×Z的一个子集，即从集合X到集合Z的一个关系，此关系称为关系R与关系S的复合或积，记作S R．定理1.3.1 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y 到集合Z的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系．则：证明(略)定理1.3.2 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从某个Y 到集合Z的一个关系．则对于X的任意两个子集A和B，我们有：（1）R（A∪B）＝R（A）∪R（B）；（2）R（A∩B）R（A）∩R（B）；（3）（S R）（A）＝S(R(A))．证明(略)在本节的最后我们要提到有限个集合的笛卡儿积的概念，它是两个集合的笛卡儿积的概念的简单推广．定义 1.3.7设是n＞1个集合．集合称为的笛卡儿积，并且记作或者其中为有次序的n元素组，(i=1,2,…n)称为n元素组的第i个坐标，（i＝1，2，…，n）称为笛卡儿积的第i个坐标集．n＞1个集合X的笛卡儿积X×X×…×X常简单地记作n个集合的笛卡儿积的概念读者必然也不会感到陌生，在线性代数中n维欧氏空间作为集合而言就是n个直线（作为集合而言）的笛卡儿积．需要提醒读者的是，如果你在给定的n个集合中交换了集合的次序，一般说来得到的笛卡儿积会是完全不同的集合．至今我们并未定义“0个集合的笛卡儿积”，此事将来再以某种方式补充．（参见§9．1）作业:理解“关系”的概念,掌握“关系”与“映射”的异同,“映射”与“函数”的异同.(映射要求象惟一,关系没要求.函数要求定义域与值域是数域,而映射不一定)掌握运算乘积的概念与性质掌握集合的笛卡儿积中元素的形式§1.4等价关系初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念．在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间．定义1.4.1 设X是一个集合．从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系．集合X中的关系{（x，x）|x∈X}称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△（X）或△．定义1.4.2 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果△(X)R，即对于任何x∈X，有xRx；关系R称为对称的，如果，即对于任何x，y∈X，如果xRy则yRx；关系R称为反对称的，如果，即对于任何x，y∈X，xRy和yRx不能同时成立；关系R 称为传递的，如果R R R，即对于任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz．集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系．容易验证集合X中的恒同关系△（X）是自反、对称、传递的,因此是X中的一个等价关系．集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“相等关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集{（A，B）|A，B∈P(X)，A=B}从定理1.1.l中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P（X）中的一个等价关系．集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“包含关系”可以理解为集合P(X）×P(X)的子集{（A，B）|A，B∈P (X)，A B}根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是P(X)中的一个等价关系．集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“真子集关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集{(A，B)|A，B∈P(X)，A B,A≠B}根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的，因而不是P(X)中的一个等价关系．实数集合R中有一个通常的小于关系＜，即R×R的子集{（x，y）|x，y∈R，x＜y}容易验证关系＜是反对称的，传递的，但不是自反的．设p是一个素数，我们在整数集合Z中定义一个关系≡p如下：={（x，y）∈Z×Z|存在n∈Z使得x－y=np}关系常称为模p等价关系，容易验证模p等价关系是自反的，对称的，传递的，因此是Z中的一个等价关系．定义1.4.3 设R是集合X中的一个等价关系．集合X中的两个点x，y，如果满足条件：xRy，则称x与y是R等价的，或简称为等价的；对于每一个x∈X，集合X的子集：{y∈X|xRy}称为x的R等价类或等价类，常记作或[x]，并且任何一个y∈都称为R等价类的一个代表元素；集族{| x∈X}称为集合X相对于等价关系R而言的商集，记作X／R．我们考虑整数集合Z中的模2等价关系,易见，13和28．因此1与3是等价的，2和8也是等价的．整数2所属的等价类是所有偶数构成的集合，每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素．此外易见，商集Z/有且仅有两个元素：一个是所有奇数构成的集合，另一个是所有偶数构成的集合．下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类，使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中.定理1.4.1 设R是非空集合X中的一个等价关系．则：（1）如果x∈X，则x∈，因而；（2）对于任意x，y∈X，或者=，或者证明（1）设x∈X，由于R是自反的，所以xRx，因此x∈,∴≠．（3）对于任意x，y∈X，如果，设z∈[x]∩[y].此时有zRx,且zRy．由于R是对称的，所以xRz．又由于R是传递的，所以xRy．对于任何一个t∈，有tRx，由上述xRy和R的传递性可见tRy，即t∈．这证明同理可证．因此=(注意:要证或者…或者…,应从以下入手:否定掉一个,去证另一个)在初等数论中我们早就知道整数模（素数）p的等价关系将整数集合Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作，称为整数x的模p同余类．让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：首先将固定向量定义为平面（或n维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固定向量构成的集合（暂时记为X）中定义一个关系～，使得两个固定向量x和y～相关（即x～y）当且仅当x能通过平面（或n维欧氏空间）的一个平移与y重合．容易验证这个关系～是X中的一个等价关系．每一个～等价类便称为一个自由向量．作业:熟练掌握等价关系,等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成§1.5映射数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线性代数中的线性变换概念等等都是读者所熟知的概念．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的映射概念．定义1.5.1 设F是从集合X到集合Y的一个关系．如果对于每一个x∈X存在惟一的一个y∈Y使得xFy，则称F是从X到Y的一个映射，并且记作F：X→Y．换言之，F是一个映射，如果对于每一个x∈X：（1）存在y∈Y，使得xFy；（2）如果对于∈Y有和，则．定义1.5.2 设X和Y是两个集合，F：X→Y(读做F是从X到Y的一个映射)．对于每一个x∈X，使得xFy的唯一的那个y∈Y称为x的象或值，记作F（x）；对于每一个y∈Y，如果x∈X使得xFy（即y是x的象），则称x是y的一个原象（注意：y∈Y可以没有原象，也可以有不止一个原象）．由于映射本身便是关系，因此，如果F是从集合X到集合Y的一个映射，那么：（1）对于任何A X，象F（A）有定义，并且F(A)={F(x)|x∈A}（2）对于任何B Y，原象（B）有定义，并且（B）={x∈X|F(x)∈B}(注意:(x)与 ({x})的异同,前者不一定有意义,而后者总存在；前者表示元素，后者表示集合)（3）如果Z也是一个集合并且G：Y→Z，则关系的复合G F作为一个从X到Z的关系有定义；（4）作为从Y到X的一个关系有定义，但一般说来不是一个从Y到X的映射(这要看F是否是一一映射)；（5）F的定义域有定义，并且它就是X；(意味着X中的每个元素都必须有象)（6）F的值域有定义，并且它就是F（X）．(F(X)不一定充满Y) 定理1.5.1 设X，Y和Z都是集合．如果F：X→Y和G：Y→Z，则G F：X→Z；并且对于任何x∈X，有G F（x）＝G(F(x))(这实际上是映射的积的本质)证明(略)(但要理解上式等号左右两边的不同含义,前者是两个映射的积（也是一个映射）作用在x上,后者是F先作用在x上,然后G 再作用在F(x)上)．今后我们常用小写字母f，g，h，……表示映射．定理1.5.2 设X和Y是两个集合，f:X→Y．如果A，B Y 则（1）（A∪B）＝（A）∪（B）；（2）（A∩B）＝（A）∩（B）；（3）（A-B）＝（A）-（B）．简言之，映射的原象保持集合的并，交，差运算．证明(略)．定义1.5.3 设X和Y是两个集合，X→Y．如果Y中的每一个点都有原象（即f的值域为Y，亦即f（X）=Y），则称f是一个满射，或者称f为一个从X到Y上的映射；如果X中不同的点的象是Y中不同的点（即对于任何，如果，则有，则称f 是一个单射；如果f既是一个单射又是一个满射，则称f为一个既单且满的映射，或者一一映射．如果f（X）是一个单点集，则称f是一个常值映射，并且当f（X）={y}时，我们也说f是一个取常值y的映射．易见，集合X中的恒同关系△（X）是从X到X的一个一一映射，我们也常称之为（集合X上的）恒同映射或恒同，有时也称之为单位映射，并且也常用记号或i：X→X来表示它．根据定义易见，对于任何x∈X，有i(x)=x．概言之，恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射．由于下面的这个定理，一一映射也称为可逆映射．定理1.5.3 设X和Y是两个集合．又设f:X→Y．如果f是一个一一映射，则便是一个从Y到X的映射（因此我们可以写：Y→X），并且是既单且满的．此外我们还有：和证明(略)定理1.5.4 设X，Y和Z都是集合，f:X→Y，g：Y→Z．如果f 和g都是单射，则gof:X→Z也是单射；如果f和g都是满射，则gf:X→Z也是满射．因此，如果f和g都是一一映射，则g f:X→Z也是一一映射．这个定理的证明留给读者．定义1.5.4 设X和Y是两个集合，A是X的一个子集．映射f:X→Y 和g：A→Y如果满足条件g f即对于任何a∈A有f（a）=g（a），则称g是f的限制，也称f是g的一个扩张，记作．特别地，恒同映射：X→X在X的子集A上的限制：A→X称为内射．这时我们有对于任何a∈A，(a)=a．将映射定义作为一种特别的关系，从理论上来说是十分清晰的．这样做的本意在于使得在我们的理论系统中除了“集合”和“元素”不再有任何未经定义的对象．如果每一次定义一个映射都要将这个映射写成它的定义域与值域的笛卡儿积的一个子集，这毕竟是件麻烦事；因此我们在定义映射时宁愿采用我们从前惯用的办法：为定义域中的每一个点指定值域中的一个点作为它的象．以下我们定义往后经常要用到的两个映射作为例子．定义1.5.5 设是n＞0个集合，1≤i≤n．从笛卡儿积到它的第i个坐标集的投射（或称第i个投射）：X→定义为对于每一个定义1.5.6 设R是集合X中的一个等价关系．从集合X到它的商集X/R的自然投射：p:X→X/R定义为对于每一个x∈X，p（x）=．作业:熟练掌握本节的所有定义与定理；注意定理1.3.2(2)与定理1.5.2的区别；熟练记忆P23习题1. 2与定理1.5.2．§1.6集族及其运算设Γ是一个集合．如果对于每一个γ∈Γ，指定了一个集合A，我们就说给定了一个有标集族，或者在不至于引起混淆的情形下干脆说给定了一个集族，同时Γ称为（有标）集族的指标集．定理1.6.2 设是一个非空的有标集族，A是一个集合．则（1）对于任何，（2）分配律：（3）DeMorgan律：证明（略）如果集族满足条件：对于每一个γ∈Γ，都是某一个集合X的子集，这时我们称这个集族为集合X的一个子集族．以下的两个定理讨论关系和映射与集族运算之间的关联．定理1.6.3 设R是从集合X到集合Y的一个关系，则对于集合X 的任何一个非空子集族，有证明（略）（这个定理对关系成立，当然对映射更成立．注意这两个公式，一个是等式，一个是包含于关系．）定理1.6.4 设X和Y是两个集合，f：X→Y．则对于集合Y的任何一个非空子集族，有简言之，集族的原象保持集族的并与交运算．证明（略）作业：熟练记忆这3个定理！§1.7 可数集，不可数集，基数定义1.7.1 设X是一个集合．如果X是空集或者存在正整数n∈N 使得集合X和集合{1，2，…，n}之间有一个一一映射，则称集合X是一个有限集，不是有限集的集合称为无限集；如果存在一个从集合X 到正整数集的单射，则称集合X是一个可数集，不是可数集的集合称为不可数集．(注意:无限集可能是可数集,也可能是不可数集)显然，凡有限集皆是可数集，但可数集可为无限集．例如，正整数集本身便是一个可数集，但它不是有限集．定理1.7.1 任何可数集的任何一个子集都是一个可数集．定理1.7.2 设X和Y是两个集合，f:X→Y是一个映射．如果X 是可数集，则f（X）也是一个可数集．定理1.7.3 集合X是一个可数集当且仅当存在从正整数集到集合X的一个满射．定理1.7.4 如果集合X和集合Y都是可数集，则笛卡儿积X×Y 也是一个可数集．特别，集合×是一个可数集．定理1.7.5 设是一个集族．如果指标集Γ是可数集并且对于每一个γ∈Γ,也是可数集，则并集是可数集．定理1.7.8 实数集合R是不可数集．作业:以上这些定理均要熟练记忆,证明过程不要求记.§1.8选择公理(略)本章总结：本章是点集拓扑学的预备知识，点集拓扑学需要对集合进行各种运算，因此就必须熟记本章的各种有关集合的运算公式：（1）若干个集合的并、交、差运算：定义1.2.1与定理1.2.1，定义1.6.1与定理1.6.2（2）若牵涉到两个空间之间集合的关系，则就要用到：定义1.5.2，定理1.5.2，定理1.6.4与定理1.6.3(此定理中的关系R当然适用于映射f)，及课本P23习题1.2.另：本章中有关等价类的概念及乘积空间，乘积空间到分空间的投射等概念也要深刻地理解好．。