集合论与图论

超图表示
结点用标号表示 超边用环绕它的全部关联结点的封闭曲
线表示 例
通路
设H=<V, E>是一个超图，A、B是V中的 结点，则H中从A到B的一条通路是一个 边的序列E1, E2, …, Ek (k1)，该序列满 足下列条件：
（1）AE1, BEk； （2）对于所有1 i k，Ei Ei+1 。 边序列E1, E2, …, Ek为从E1到E每条边的关联结点为两个， 限制了线图的表达能力。现实世界中， 广泛地存在着各种各样的多元联系，难 以用线图直观地表达。
超图
一个超图H是一个有序二元组H=<V, E>， 其中V是一个有限集，V中的元素称为H 的结点，E是一个超边的集合。E中每一 条超边都是V的一个非空子集，并使得V 中每个结点至少属于E中的一条超边。
连通
在超图H中，如果两个结点（或边）之间 存在一条通路，则称它们是连通的。
如果一个边的集合中每一对边都是连通 的，则称该边集是连通的。
连通支
一个超图H中的任一极大连通边集以及它 们的关联结点一起称作H的一个连通支。
子图
设H=<V, E>，H’=<V’, E’>都是超图，如 果V’ V，E’ E，则称H’是H的一个子 图。
化简超图
设H=<V, E>是一个超图，如果边集E中 不存在任何一条边是另一条边的真子集， 则称H是一个化简超图。
对于任意一个超图H，通过从图中删去那 些为别的边所真包含的超边而得到一个 化简超图，称这个化简超图为H的化简图， 记为RED(H)。
投影图
设H=<V, E>是一个超图，结点集V’ V， 则我们称超图RED(<V’, EV’>)为H到V’的 投影, 记作HV’，其中EV’={e EV’: eE}{ }，EV中的每一条边通常也称作H的一 条子边。

离散数学的基础知识离散数学是计算机科学、数学和信息科学的一门重要学科，它研究的是离散结构，即不连续的数学对象，例如集合、图、函数和关系等。

离散数学的基础知识对于我们理解和应用计算机科学中的算法、数据结构、逻辑和推理等方面都至关重要。

本文将介绍离散数学的一些基本概念和应用。

一、集合论在离散数学中，集合是一个重要的概念。

集合是由确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。

集合的运算有并、交、补、差等。

集合还可以用列表、描述法、泛函法等方式表示。

在计算机科学中，集合常用于表示数据的存储和操作。

二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的另一个基础知识，它研究的是推理和论证的规律。

逻辑主要包含命题逻辑和谓词逻辑两个方面。

命题逻辑研究的是命题的真假和推理的方法，谓词逻辑则扩展了命题逻辑，研究的是谓词和量词的运算。

命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。

命题可以用真值表、逻辑公式等方式表示。

逻辑运算包括非、与、或、蕴含和等价等。

命题逻辑的推理方法有代入法、消解法、假设法等。

三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图的性质和图的应用。

图是由节点和边组成的数学模型，用来表示事物之间的关系。

图论主要研究顶点的度、路径的搜索、连通性、环的存在性等问题。

图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。

在图中，节点之间的连接关系称为边，边可以有权重。

图的表示方法有邻接矩阵、邻接表等。

图的应用包括网络分析、城市规划、路线规划等。

四、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支，它研究的是集合的选择和排列方式。

组合数学在计算机科学中有重要的应用，例如密码学、编码理论和算法设计等方面。

组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式系数等。

排列是从一组元素中选取特定顺序的方式，组合是从一组元素中选取特定组合的方式。

二项式系数是计算排列和组合数量的重要方法。

组合数学的应用有很多，包括选择算法、排列算法、图的着色等。

五、数论数论是离散数学中研究整数性质的一个分支，它研究的是整数之间的关系和性质。

02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。

以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。

2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。

3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。

在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。

4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。

5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。

6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。

7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。

8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。

9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。

这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。

第1讲 命题逻辑基础
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真

℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式

集合论与图论基础题在数学中，集合论和图论是两个重要的分支。

集合论研究元素的归类和组织，而图论研究元素之间的关系和连接。

本文将通过一些基础题目来介绍集合论和图论的基本概念和应用。

1. 集合论1.1. 基本概念在集合论中，我们首先需要了解集合的概念及其相关术语。

一个集合是由一些确定的元素组成的整体。

通常用大写字母表示集合，而集合中的元素用小写字母表示。

例如，集合A={1, 2, 3}表示一个包含元素1、2和3的集合。

1.2. 集合的运算在集合论中，还有一些常见的集合运算：并集、交集和补集。

- 并集（Union）：将两个或多个集合中的元素合并成一个集合。

记作A∪B，表示包含了属于集合A或集合B的所有元素。

- 交集（Intersection）：将两个或多个集合中共有的元素取出来，形成一个新的集合。

记作A∩B，表示包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。

- 补集（Complement）：给定一个全集U和一个集合A，A对于U 的补集是指在U中但不在集合A中的元素组成的集合。

记作A'或者A^c，表示不属于A的所有元素。

1.3. 集合的关系在集合论中，还可以通过比较集合的元素来描述集合之间的关系。

- 包含关系：如果集合A中的所有元素都属于集合B，我们称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。

- 相等关系：如果两个集合A和B具有相同的元素，互相包含对方的所有元素，我们称它们相等，记作A=B。

- 真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合A和集合B不相等，我们称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。

2. 图论2.1. 基本概念图是由一些顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。

图论研究顶点和边之间的关系及其相关性质。

2.2. 有向图与无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。

- 有向图：图中的边有方向，连接顶点A和顶点B的边从A指向B，记作(A, B)。

- 无向图：图中的边没有方向，连接顶点A和顶点B的边可以从A到B，也可以从B到A，不加箭头表示。

注：如果将空集 ∅ 看作集族，则称 ∅ 为空集族。
我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合
我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。
定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A 。
1
定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A⊂ B。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 。
注 1：容易看出 A ⊕ B = ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) 2: A ⊕ ∅ = A , A ⊕ A = ∅ 。
我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交，并，差运算。
P 和 Q 的并，记为 P ∪ Q ，它也是一个多重集，使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和 Q 中重数的最大者； P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示，使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者； P 和 Q 的差用 P − Q 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数，那么该元素在 P − Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数，否则它在 P − Q 中的重数为 0 。类似地，对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。

离散数学的基础知识离散数学作为现代数学的一门重要分支，在计算机科学、通信工程、信息技术等领域发挥着重要的作用。

本文将介绍离散数学的基础知识，共分为三个部分：集合论、逻辑和图论。

一、集合论集合是离散数学中的基本概念，它是一个由元素组成的整体。

例如，{1，2，3}就是一个集合，其中1、2、3是元素。

集合的描述通常采用列举法或描述法。

列举法即列举集合中的元素。

例如，{1，2，3}、{a，b，c，d}等都是集合。

描述法则是通过一些规则来描述集合中的元素。

例如，{x | x是正整数且小于10}表示由所有小于10的正整数组成的集合。

集合之间有一些常见的运算：并集：将两个集合中的元素合并起来，形成一个新的集合。

例如，{1，2，3}和{3，4，5}的并集为{1，2，3，4，5}。

交集：取两个集合中相同的元素组合成一个新的集合。

例如，{1，2，3}和{3，4，5}的交集为{3}。

补集：设A为一个集合，A'为其补集，则A'包含所有不在A 中的元素。

除此之外，集合中还有子集、空集、全集等重要概念。

子集指的是一个集合中的所有元素为另一个集合的元素，则前者是后者的子集。

空集指的是一个不包含任何元素的集合，全集则是该领域的所有元素的集合。

二、逻辑逻辑是进行推理和论证的基础。

在离散数学中，布尔代数是逻辑的一种基础形式。

它是一种将推理和论证过程化为运算的数学体系。

常见的布尔运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）。

与运算表示只有两个值同时为真，结果才为真。

例如，1 AND 1 为真，1 AND 0 为假。

或运算表示两个值中至少一个值为真，结果才为真。

例如，1 OR 0 为真，0 OR 0 为假。

非运算表示取反，将真变为假，将假变为真。

例如，NOT 1 为假，NOT 0 为真。

布尔代数的一个重要应用是逻辑电路的设计。

逻辑电路是指由逻辑门和连线构成的电路，其中逻辑门实现着不同的布尔运算。

三、图论图论是离散数学中的重要分支。

《集合论与图论》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：CS31111课程名称：集合论与图论英文名称：SET THEORY AND GRAPH THEORY课程学时：64；讲课学时： 48；实验学时：上机学时：习题学时：16;课程学分：4.0开课单位：计算机科学与技术学院授课对象：计算机大类专业（包括计算机科学与技术、物联网工程、生物信息学、信息安全）、软件工程大类专业开课学期： 1春先修课程：工科数学分析、线性代数二、课程目标《集合论与图论》是计算机大类/软件工程大类专业的一门专业基础课程。

本课程为后继的专业基础课及专业课提供必要的数学工具，为描述离散模型提供数学语言。

该课程的设置主要是为了培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学修养及计算机科学素质。

要想用计算机解决问题就要为它建立数学模型，即描述研究对象及对象与对象之间的联系，并通过事物之间的联系找出事物的运动规律。

集合论与图论为此提供了强有力的描述工具与推理理论。

本课程的目标是通过理论学习，为计算机科学与技术专业的后继课及将来的科学研究提供必要的相关数学知识，提供建立离散系统的数学模型的数学描述工具；使学生正确地理解概念，正确地使用概念进行推理，养成一个好的思维习惯，理解理论与实践的关系；引导学生观察生活、社会和大自然，分析事物间的联系，建立系统的模型，提出和解决其中的复杂工程问题。

课程具体目标如下：课程目标1：掌握集合论与图论的基本概念、基本原理、基本方法等基本知识，培养形式化、模型化的抽象思维能力，使学生能够利用集合论与图论的概念、理论与方法识别、表达计算相关的复杂工程问题，逐步学会为计算类复杂工程问题建立数学模型；课程目标2：掌握直接证明法、反证法、数学归纳法、构造法等常用的证明方法，培养机械化、自动化的逻辑推理能力，使学生能够利用集合论与图论的概念、理论与方法并通过文献研究分析复杂工程问题，并能获得有效的结论，理解并逐步设计求解这些问题的算法基本思想；课程目标3：掌握资料查阅方法，学会对课堂所学理论知识进行扩展，培养自学能力。

《集合论与图论》第1讲
p q r
0 0 0 0 1 1 1 1
2018/5/28
pqr
1 1 1 1 1 1 0 1
14
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
永真式(tautology)
• 永真式:在各种赋值下取值均为真(重言式) • 永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式) • 可满足式：非永假式
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
11
命题符号化
简单命题： 联结词：
• 合取联结词： • 析取联结词： • 否定联结词： • 蕴涵联结词： • 等价联结词：
p,q,r,p1,q1,r1,…
逻辑真值：
0，1
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
12
真值表(truth-table)
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
16
常用逻辑等值式(关于与)
幂等律(idempotent laws) AAA AAA 交换律(commutative laws)
ABBA
ABBA
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
17
常用逻辑等值式(关于与)
结合律(associative laws) (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律(distributive laws)
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
• 《集合论与图论》
• 第二部分 图论
• 第7章 • 第8章 • 第9章 • 第10章 • 第11章 • 第12章 • 第13章 • 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图

集合论中的图论研究在数学领域中，集合论和图论是两个重要的研究方向。

本文将探讨集合论中与图论相关的研究，旨在了解它们之间的联系和应用。

一、引言集合论作为数学的基础理论之一，探讨了元素之间的关系和性质。

而图论则研究了具有一定结构和相互关联的对象。

尽管集合论和图论在研究对象和方法上存在差异，但它们之间有着密切的联系和交叉应用。

二、集合与图的对应关系集合和图是两种不同的数学结构，但它们之间存在着相互映射的关系。

在集合论中，集合元素之间的关系可以用图的边来表示。

例如，给定一个集合S，可以构建一个图G，其中集合S的元素对应于图G 的顶点，而S中的关系对应于G中的边。

三、图的表示方式图可以用多种方式来表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种形式。

邻接矩阵是一个二维数组，其中矩阵的行和列分别表示图的顶点，矩阵元素表示两个顶点之间是否存在边。

邻接表则是用链表的形式表示图的结构，每个顶点对应一条链表，链表的节点表示与该顶点相邻的其他顶点。

四、图的性质与集合的应用在集合论中，我们常常使用交集、并集和补集等操作来研究集合的性质。

而在图论中，我们可以运用这些操作来研究图的性质。

例如，图的交集可以用来表示两个图的公共部分，图的并集可以用来表示两个图的合并，图的补集可以用来表示对图中顶点或边的补充。

五、集合与图的应用场景集合论和图论在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在社交网络中，人际关系可以用图来表示，每个人可以看作是图的一个顶点，人与人之间的关系可以表示为图的边。

通过分析社交网络的图结构，我们可以研究社群、影响力传播等问题。

另外，在电路设计和通信网络中，图论也被广泛应用于解决路由问题、网络拓扑设计等。

六、集合论与图论的扩展除了传统的集合论和图论，还有一些相关的研究领域，如拓扑学、网络流理论等。

拓扑学研究的是空间和形状的性质，而网络流理论则研究网络中物质或信息的传输情况。

这些领域与集合论和图论有着密切的联系，共同构成了数学的一个重要分支。

集合论与图论
REPORTING
https://
• 集合论基础 • 图论基础 • 集合论与图论的联系 • 集合论与图论的应用 • 集合论与图论的未来发展
目录
PART 01
集合论基础
REPORTING
WENKU DESIGN
集合的定义与性质
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。集合具有确定性、互异性和无序性等基本 性质。
离散概率论
离散概率论是计算机科学中研究离散随机事件的数学分支，集合论 为其提供了数学框架，用于描述概率空间和随机事件。
计算机科学中的图论应用
01
02
03
计算机网络
图论在计算机网络中用于 描述网络拓扑结构、路由 算法、最短路径算法等问 题。
操作系统
操作系统的进程管理和通 信可以通过图论进行建模 和分析，例如进程间的依 赖关系和通信路径。
集合论与图论的结合将在计算机科学中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思路 和方法。
集合论与图论的交叉研究在其他学科的应用前景广泛
集合论与图论的交叉研究将在其他学科中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思 路和方法。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
集合论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着计算机科学的飞速发展，集合论在数据结构、算法设计、离散概率论等领域的应用将更加广 泛和深入。
图论的发展趋势
图论与其他数学分支的结合将更加紧密
图论与代数、拓扑、组合数学等分支的结合将更加紧密，推动图论理论的进一步丰富和发展。
图论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着大数据和人工智能的兴起，图论在数据挖掘、机器学习、社交网络分析等领域的应用将更加广泛和深入。

答疑
时间： （待定） 地点： 理科楼群#1，1625室 电话： 62765818 Email：
liu_tian@ liutian@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田北京大学计算机系 2001年2月
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册， ， 耿素云，北大出版社，1998年2月
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 ， 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
内容介绍
《离散数学》
《集合论与图论》 《代数结构与组合数学》 《数理逻辑》
内容介绍
《集合论与图论》
第一部分 集合论
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 集合 二元关系 函数 自然数 基数
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
进度安排
第1周 第2--7周 第8--17周 第8、15周 第18周 预备知识（数理逻辑） 集合论（6周） 图论（10周） 测验（2次） （机动）
成绩评定
书面作业占10%，4--5题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
作业
时间：每周日交上周作业，下周日发回 顺序：每次交一个班，1、2、3班轮流 讲解：每次作业都有课上讲解 要求：正确、完全、简洁、清楚 Correct，Complete，Concise，Clear 提示：独立完成作业，可以讨论，但要 杜绝抄袭