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集合论与图论基础题在数学中，集合论和图论是两个重要的分支。
集合论研究元素的归类和组织，而图论研究元素之间的关系和连接。
本文将通过一些基础题目来介绍集合论和图论的基本概念和应用。
1. 集合论1.1. 基本概念在集合论中，我们首先需要了解集合的概念及其相关术语。
一个集合是由一些确定的元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，而集合中的元素用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示一个包含元素1、2和3的集合。
1.2. 集合的运算在集合论中，还有一些常见的集合运算：并集、交集和补集。
- 并集（Union）：将两个或多个集合中的元素合并成一个集合。
记作A∪B，表示包含了属于集合A或集合B的所有元素。
- 交集（Intersection）：将两个或多个集合中共有的元素取出来，形成一个新的集合。
记作A∩B，表示包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。
- 补集（Complement）：给定一个全集U和一个集合A，A对于U 的补集是指在U中但不在集合A中的元素组成的集合。
记作A'或者A^c，表示不属于A的所有元素。
1.3. 集合的关系在集合论中，还可以通过比较集合的元素来描述集合之间的关系。
- 包含关系：如果集合A中的所有元素都属于集合B，我们称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
- 相等关系：如果两个集合A和B具有相同的元素，互相包含对方的所有元素，我们称它们相等，记作A=B。
- 真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合A和集合B不相等，我们称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
2. 图论2.1. 基本概念图是由一些顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图论研究顶点和边之间的关系及其相关性质。
2.2. 有向图与无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
- 有向图：图中的边有方向，连接顶点A和顶点B的边从A指向B，记作(A, B)。
- 无向图：图中的边没有方向，连接顶点A和顶点B的边可以从A到B，也可以从B到A，不加箭头表示。
《集合论与图论》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：CS31111课程名称：集合论与图论英文名称：SET THEORY AND GRAPH THEORY课程学时：64；讲课学时： 48；实验学时：上机学时：习题学时：16;课程学分：4.0开课单位：计算机科学与技术学院授课对象：计算机大类专业（包括计算机科学与技术、物联网工程、生物信息学、信息安全）、软件工程大类专业开课学期： 1春先修课程：工科数学分析、线性代数二、课程目标《集合论与图论》是计算机大类/软件工程大类专业的一门专业基础课程。
本课程为后继的专业基础课及专业课提供必要的数学工具，为描述离散模型提供数学语言。
该课程的设置主要是为了培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学修养及计算机科学素质。
要想用计算机解决问题就要为它建立数学模型，即描述研究对象及对象与对象之间的联系，并通过事物之间的联系找出事物的运动规律。
集合论与图论为此提供了强有力的描述工具与推理理论。
本课程的目标是通过理论学习，为计算机科学与技术专业的后继课及将来的科学研究提供必要的相关数学知识，提供建立离散系统的数学模型的数学描述工具；使学生正确地理解概念，正确地使用概念进行推理，养成一个好的思维习惯，理解理论与实践的关系；引导学生观察生活、社会和大自然，分析事物间的联系，建立系统的模型，提出和解决其中的复杂工程问题。
课程具体目标如下：课程目标1：掌握集合论与图论的基本概念、基本原理、基本方法等基本知识，培养形式化、模型化的抽象思维能力，使学生能够利用集合论与图论的概念、理论与方法识别、表达计算相关的复杂工程问题，逐步学会为计算类复杂工程问题建立数学模型；课程目标2：掌握直接证明法、反证法、数学归纳法、构造法等常用的证明方法，培养机械化、自动化的逻辑推理能力，使学生能够利用集合论与图论的概念、理论与方法并通过文献研究分析复杂工程问题，并能获得有效的结论，理解并逐步设计求解这些问题的算法基本思想；课程目标3：掌握资料查阅方法，学会对课堂所学理论知识进行扩展，培养自学能力。
《集合论与图论》课程示范性教学设计
1 本课程教学方法
（一）教学方法
在这里，仅总结一下我的教学方法，不细展开，因此不涉及专业术语和与专业有关的例子。
以下仅是一些指导思想：
（1 ）启发式、由浅入深、从直观到抽象。
要用些生动的例子帮助学生理解抽象概念的含义，但要做到生动而有趣又不失概念的准确性和推理的严格性，使学生易于接受，又了解直观背景。
（2 ）突出基本思想及方法，强调规律性，提高学生的抽象能力。
要从哲学的高度强调概念是第一位的，引导学生思考问题时必须清楚理解所涉及的概念，使问题有一个明确的提法，引导学生掌握从问题到建立数学模型这一抽象过程的方法。
（3 ）利用集合论某些概念和理论与方法总结已学过的知识（如微积分、线性代数）找出本质的规律或主线，使学生认识事物内部的深刻规律。
其次，随时指出在后继课如何应用这些知识、在科技论文中将怎样出现这些知识的应用。
这不仅提高了学习的积极性，也使学生增强了学习的目的性。
（4 ）只要有可能就要以建立数学模型组织教学，讲习题也不例外。
这样，能使学生加深印象—任何时候都要抓住事物的本质与事物之间的联系。
（5 ）鼓励学生多问为什么，为什么会是这样子而不是那个样子。
不是教会学生怎样去使用工具、去模仿或复制，而是要教会学生独立思考，发现问题，提出问题和解决问题的思考，否则思维会退化。
（5 ）适当地提出一些未解决的问题。
尚无答案的问题是摆在我们及学生面前的有无限价值的东西，因为支持大学的最高准则是探究未知领域。
事实上，在每年教此课时，提一些问题确实有学生在思考。
（6 ）注意每个学科（内部）的美。
如果某部分很丑或太复杂，人们倾向于认为是不清楚的和暂时的，它没有真正反映客观规律，因为我们相信，越接近终极真理，我们的解释中的不自然的东西就越少。
科学是以越来越完美、有力的理论向终极真理发展的。
（二）关于素质教育、培养创新精神的人才的思考
素质教育应该是各类教育的核心，而培养创新人才则是高等教育的任务（见高等教育法，第五条）。
在这里讨论这个题目不太合适，因为题太大。
其实，在（五）中就本课的特点贯穿了素质教育和培养创新人才的思想。
以下只扼要地总结一下。
1 ）教会学生如何进行逻辑推理，如何进行正确地思维，如何在纷繁的事物中抓住主要的联
系，如何使用明确的概念等至关重要，在任何一个学科中这些工作都是至关重要。
•教会学生理解基本概念、基本原理，强调真正理解，只教会他们使用公式、工具会限制学生的未来，甚至使思维蜕化。
•重在理解信息，从中获取知识。
重点是主动地理解，而不是被动地使用，以提高学习能力，增强适应性，创造我们的生活。
•我鼓励学生多提些问题，要有“刨根问底”的精神，不要轻信书本和老师讲的东西，只有理解了的知识才是你学到了的。
•只要可能应介绍其中的美，简单蕴含着美。
复杂的理论和概念可能是我们尚未抓住事物的本质，自然界应该是美的。
•结合教学内容，站在哲学的高度，利用辩证法的思想作适当评述是绝对必要的。
2 各部分重点及难点
本课程的内容分为两部分，即集合论、图论。
集合论是整个数学基础之一，在这里讲的是朴素集合论，而不是公理化集合。
图论虽是一个独立的分支，在本课中可视为集合论的一个应用，它研究在一个有限集合上定义了一个二元关系所组成的系统。
研究任一离散系统，要为它建立数学模型，就要描述研究对象及对象与对象之间的联系，并通过事物之间的联系找出事务的运动规律。
集合论与图论为此提供了强有力的描述工具与推力理论，而具有一个二元关系的有限系统用图作为模型是十分自然而有用。
•集合及其运算
集合、子集、集合的相等关系、幂集；集合并、交、差、对称差、补集、迪卡尔乘积运算，各运算的性质及相互联系；有穷集合的基数、基本计数法则、容斥原理及应用。
本章中证明两个集合相等的方法是学生必须掌握的重点，也是各门课都用的地方。
告诉学生必考！
•映射
基本定义、鸽巢原理、映射的一般性质、映射的合成、逆映射、置换、二元运算、应用。
重点：映射的性质、合成运算和应用。
讲授时强调映射是描述事物之间联系的工具。
从计算的角度看微积分*
•关系
二（n ）元关系、几个特殊二元关系、二元关系的表示、关系的合成运算、传递闭包、等价关系与集合的划分、偏序关系。
重点：合成运算、传递闭包、等价关系。
讲授时要做到：
1 ）利用等价关系为线性代数穿一条主线* ；
2 ）介绍合成运算、传递闭包在专业课中是怎样应用的；
3 ）（偏序）关系是数学三大结构之一。
•无穷集合的基数
可数集及其性质、存在不可数集—对角线法，基数及其比较、连续统、罗素悖论与数学危机。
重点：可数集的性质、对角线法、基数的概念、存在不可数集。
本章特点：本课最难的部分，建立合理的“无穷观”涉及到认识论、逻辑、哲学。
建议教师读点数学史、方法论的书。
下面的书是值得读的：
1 ．M. 克莱因著，数学—确定性的丧失，李宏魁译，湖南科学基数出版社，1997 。
2 ．徐利治著，数学方法论选讲，华中工学院出版社，198
3 。
3 ．A.W.Moore, 无穷简史，科学，1996.?
•模糊集合论
由于学时限制，本章只介绍这一新兴分支是怎样由经典集合推广到模糊集合、介绍它的应用范围。
因此，只让学生了解这一分支，在应用中有能力自学或看懂有关文献。
•图
图、路、圈、连通图、偶图、补图、欧拉图、哈密顿图、图的邻接矩阵、最短路径问题。
重点：图、路、圈、欧拉图、哈密顿图
•树、割点和桥
树及其性质、生成树、割点和桥及其特征性质，最小生成树问题。
重点：树及其性质，为了避免与“数据结构与算法”课重复，最小生成树问题只讲基本思想。
•连通度和匹配
顶点连通度与边连通度及其关系、偶图的匹配、Hall 定理。
重点：基本概念、Hall 定理。
讲法：联系通信系统，交叉开关网络，任务安排讲解背景、意义及应用介绍。
•平面图和图的着色
平面图及其欧拉公式、图的着色、五色定理，介绍计算机证明四色猜想。
重点：平面图和图的着色概念，欧拉公式。
讲法：借此机会介绍Turing 奖、NP- 完全问题等“常识”知识。
•有向图
强连通、有根树、有序树、二元树。
3 参考教材
[1] 王义和，离散数学引论（修订版），哈尔滨工业大学出版社，2000 年3 月，第1-10 章。
[2] C.L.Liu ，Elements of Discrete Mathematics ，Second Edition ，McGraw-Hill Book Company ，1990 。
[3] J.A. 邦迪，U.S.R. 默蒂，图论及其应用，吴望名等译，科学出版社，1987 。
[4] 朱一清，离散数学，电子工业出版社，1997 。
4 作业安排
我们的教材每节后均有习题。
习题分两类，一类是只要理解了基本概念、理论和方法就能容易做出。
另一类习题是需要灵活应用学过的知识才能解答出来。
本课的特点是习题几乎都是证明题，很少有计算题。
从批改作业情况看，学生缺乏证明中的
逻辑推理训练。
由于没有公式可套，全靠语言表达，这又暴露出很多学生的语言表达能力差。
答疑不仅是回答学生提出的问题，也是了解学生的思想、基础、心状的机会，指导他们如何学习，也是向学生学习的机会。
5 考题设计
本课笔试，考卷中考核概念是否理解；是否掌握基本理论和基本方法；考核学生能否灵活应用基本概念、基本理论、基本方法；较难题。
6 成绩评定
基本概念占30% ，基本理论和基本方法占40% ，灵活应用基本概念、基本理论、基本方法占20% ，较难题占10% 。
合计100% 。
