精二次函数动轴动区间问题

二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。

（2）当[]-∉bam n 2，时 若-<bam 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。

二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

图1练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。

图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

二次函数动轴动区间最值问题求解二次函数动轴动区间最值问题需要将二次函数转化成标准形式：$y = ax^2 + bx + c$，然后根据二次函数的性质进行分析。

首先，二次函数的动轴是$x = -\frac{b}{2a}$，即二次函数的平衡位置，该点的纵坐标为$\frac{-\Delta}{4a}$，其中 $\Delta = b^2 - 4ac$ 是二次函数的判别式。

1. 若 $a > 0$，则二次函数开口向上，动轴为最低点，动区间为整个实数集 $(-\infty, +\infty)$。

在动轴两侧取两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$，比较它们的纵坐标值可得：$f(x_1) = ax_1^2 + bx_1 + c$$f(x_2) = ax_2^2 + bx_2 + c$若 $x_1 < x_2$，则有$f(x_1) < f(-\frac{b}{2a}) < f(x_2)$所以动区间的最小值是 $-\infty$，最大值是 $+\infty$。

2. 若 $a < 0$，则二次函数开口向下，动轴为最高点。

根据二次函数的对称性，动区间为 $(-\infty, -\frac{b}{2a}]$ 和 $[\frac{-b}{2a}, +\infty)$。

在动区间的两个端点取两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$，比较它们的纵坐标值可得：$f(x_1) = ax_1^2 + bx_1 + c$$f(x_2) = ax_2^2 + bx_2 + c$若 $x_1 < \frac{-b}{2a} < x_2$，则有$f(x_1) > f(-\frac{b}{2a})$ 且 $f(x_2) > f(-\frac{b}{2a})$所以动区间的最小值是 $f(-\frac{b}{2a})$，最大值是 $+\infty$。

需要注意的是，若二次函数有定义域的限制，则动区间也受到限制。

专题35、二次函数在闭区间上的最值一、二次函数解析式的三种形式(1)一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠． (2)顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠(3)两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠。

2()(0)f x ax bx c a =++≠ 0a >0a <图象定义域 RR值域24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦单调性在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上递减， 在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上递增，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递减 奇偶性0b =时为偶函数，0b ≠时既不是奇函数也不是偶函数图象特点 ①对称轴：2bx a=-；②顶点：24(,)24b ac b a a --解决二次函数图象与性质问题的注意点⑴抛物线的开口方向、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论;⑵要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”（作草图），再“定量”（看图求解），事半功倍。

二次函数在闭区间上的最值问题一般有以下三类题型(1)定轴动区间，此时讨论对称轴与区间端点的位置关系． (2)定区间动轴，此时讨论对称轴与区间的位置关系．⑶轴定区间定：此时题目相对比较简单，只需要作出图形分析即可。

注意：对于闭区间上含参数的二次函数的最值，应对系数进行讨论，要遵守分类讨论中的三原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，决不无原则地分类讨论．一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设2()(0)f x ax bx c a =++≠，要求函数()f x 在[,]x m n ∈上的最大值与最小值。

⼆次函数动轴与动区间问题
⼆次函数作为初⾼中衔接部分内容，是整个⾼中数学课程学习的难点，也是⾼考的重点，应扎实掌握。

有关⼆次函数的问题很多，现本⽂重点就⼆次函数动轴与动区间问题重点讲解下，供同学们参考学习。

观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，⽽有时候⼜分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。

不难观察：⼆次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或⼆次函数的顶点取到。

第⼀个例题中，这个⼆次函数是开⼝向上的，在闭区间上，它的最⼩值在区间的两个端点或⼆次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；⽽它的最⼤值不可能是⼆次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

根据这个理解，不难解释第⼆个例题为什么这样讨论。

二次函数定轴动区间问题例题这个动区间是什么呢？其实就是我们要在某个范围内观察这个抛物线的表现。

就像你去公园遛狗，你不可能让它随便跑啊，是吧？得给它设定个范围，不然它就像脱缰的野马，东奔西跑，根本管不住。

比如说，咱们的二次函数y = ax² + bx + c，这个时候就得把自变量 x 限定在一个区间 m, n 里。

想象一下，m 和 n 就是你那条狗的“围栏”，保证它不乱跑。

嘿，接下来我们来点实际的。

假设有个二次函数，y = 2x² 8x + 5。

哎，先不急着算，咱先看看这函数的开口方向。

因为前面的系数 2 是个正数，所以它开口朝上。

好，接下来我们就找找这条抛物线的最低点在哪儿。

我们可以用顶点公式，顶点 x 坐标是b/(2a)，这里 b 是 8，a 是 2，所以算一算，得 x = 2。

然后把这个 x 带回去，哎呀，得到了最低的 y 值，也就是 2。

好，现在我们知道了最低点在 (2, 2) 这儿。

接下来呢，咱就可以确定动区间了。

比如我们给定的区间是 1, 4，那我们就得在这个区间内算一算 y 的最大值和最小值。

想象一下，这就像选水果，你得知道哪个最甜。

先把 1 和 4 带进去，算一算 y 值。

x = 1，带进去得y = 2(1)² 8(1) + 5，结果是 1。

然后 x = 4，带进去，得y = 2(4)²8(4) + 5，结果是 5。

天哪，没想到 4 是个小甜点！然后咱再看看在 x = 2 的时候，y = 2。

这就好比你在冰淇淋店里，选了个大草莓口味。

所以，在这个区间 1, 4，y 的最小值是 1，最大值是 5。

说实话，这就像是把一块大蛋糕切成三份，分别是1、2 和5。

那你说，这个区间的图像是什么样的？想象一下，抛物线从 1 开始，然后慢慢上升，经过 2，最后到达 5，就像是秋天的苹果，越往上越红，真是让人眼馋。

这样一来，我们就完成了这个动区间的问题。

是不是觉得挺简单的？就像和朋友在公园聊天一样轻松。

⎝ ⎭ [ ]2a ⎝ 2a ⎭ 二次函数动轴与动区间上的最值问题注：这一块，是整个高中函数的一大重难点，很多学生死活学不明白。

上过我的课的同学应该知道，这样类型的题目，我们应该是分类讨论。

希望大家好好看看下面我整理的题型及方法分类。

看完之后，这一块以后不再是个问题。

一、 知识要点：二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为： 对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ，求 f (x ) 在 x ∈[m ，n ] 上的最大值与最小值。

⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b分析：将 f (x ) 配方，得顶点为 - 2a ， 4a ⎪ 、对称轴为 x = - 2a当a > 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f (x ) 的最值： （ 1 ）当 - b ∈[m ，n ] 时， f (x ) 的最小值是 f ⎛- b ⎫⎪ =f (m )、f (n ) 中的较大者。

（2）当- b ∉ m ，n 时2a[ ] 4ac - b 2 ，f (x ) 的最大值是4a 若- b < m ，由 f (x ) 在 m ，n 上是增函数则 f (x ) 的最小值是 f (m ) ，最大值是 f (n ) 2a若n < - b 2a，由f (x) 在[m，n]上是减函数则f (x) 的最大值是f (m) ，最小值是f (n) 当a < 0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

二次函数定轴动区间
二次函数的定轴动区间是指二次函数的图像在某个区间内是单调递增或单调递减的区间。

对于一般的二次函数 y = ax^2 + bx + c，其中 a ≠ 0，其定轴动区间可以通过以下步骤确定：
1. 计算二次函数的导数，即 y' = 2ax + b。

2. 解一元一次方程 2ax + b = 0，得到 x = -b / (2a)。

这个解就是二次函数的顶点横坐标，也是二次函数的对称轴的横坐标。

3. 根据二次函数的导数的符号来确定定轴动区间：
- 如果 a > 0，则二次函数的图像开口向上，对应的定轴动区间是 (-∞, -b / (2a)) 和 ( -b / (2a), +∞)。

即在 (-∞, -b / (2a)) 区间内，二次函数是单调递减的；在 ( -b / (2a), +∞) 区间内，二次函数是单调递增的。

- 如果 a < 0，则二次函数的图像开口向下，对应的定轴动区间是 (-∞, -b / (2a)) 和 ( -b / (2a), +∞)。

即在 (-∞, -b / (2a)) 区间内，二次函数是单调递增的；在 ( -b / (2a), +∞) 区间内，二次函数是单调递减的。

需要注意的是，如果二次函数的 a = 0，则不是一个二次函数，而是一个一次函数 y = bx + c，它是一个直线，没有定轴动区间的概念。

当二次函数，对称轴不固定，所求区间也不固定时，讨论起来当然会显得复杂一些，但如果我们能抓住问题的本质，即区间端点与轴的位置关系。

进行讨论，仍然可以顺利解决问题，一起来看。

先看例题：例：若函数2()(3)4()([,))f x x a x a x a =-+-∈+∞，求f (x )的最小值.注意：当区间为无限区间时，只有轴与区间的位置关系，只有两种。

规律整理：轴动区间动求二次函数的最值：分类讨论区间与对称轴的位置关系，然后由单调性讨论确定二次函数的最值。

练：是否存在实数m ，使函数2111()()424g x x m x =-++在区间[,2]m m +有最小值-5？若存在，请求出实数m 的值；若不存在请说明理由.解：先求函数的对称轴为：21x m =+(1)21,1,m m m +<<-对称轴在[,2]m m +的左边，函数在所求区间单调递增， 所以有min ()()5,g x g m ==- 解得21117()()5,3()4243g m m m m m m =-++=-=-=或舍 (2)212,11,m m m m ≤+≤+-≤≤对称轴在[,2]m m +中，所以在顶点处取到最小值， 即：min ()(21)5,g x g m =+=- 解得2111(21)(21)()(21)5,424g m m m m +=+-+++=- 11))22m m =-=--舍或舍 注意：此时两个解都不在分类区间中，所以都要舍去。

(3)212,1,m m m +>+>对称轴在[,2]m m +右侧，函数在所求区间单调递减， 所以有，min ()(2)5,g x g m =+=- 解得：2111(2)(2)()(2)5,424g m m m m +=+-+++=-1)1m m =--=-+舍或综上，31m m =-=-+或总结：轴动区间动，是二次函数中最复杂的问题，但我们应该结合其它类型问题，综合思考。