精二次函数动轴动区间问题

成稿标题：深入解析九年级二次函数中的区间动轴的解题方法一、引言在九年级数学中，学习二次函数是一个重要的内容。

而在二次函数的解题中，区间动轴是一个关键的概念和解题方法。

本文将深入探讨九年级二次函数中的区间动轴的解题方法，帮助读者更深入地理解和掌握这一知识点。

二、区间动轴的概念1. 区间的概念在解析区间动轴之前，首先需要了解区间的概念。

区间是数轴上两个点之间的所有实数的集合。

通常表示为[a, b]，其中a和b为区间的端点。

2. 动轴的定义动轴是指二次函数图像的对称轴，也就是抛物线的对称轴。

它是二次函数图像的一个重要特征，也是解题的关键之一。

三、区间动轴的解题方法在九年级数学中，解决二次函数中区间动轴的问题需要掌握一定的解题方法。

下面将从简到繁，逐步介绍区间动轴的解题方法。

1. 确定二次函数的图像需要根据给定的二次函数，确定其图像的开口方向和顶点的坐标。

这一步是确定区间动轴的基础。

2. 确定动轴的坐标根据二次函数的一般式或标准式，可以求出动轴的坐标。

动轴的坐标通常表示为(x, y)，其中x为动轴的横坐标，y为动轴的纵坐标。

3. 确定区间根据二次函数的图像和动轴的坐标，可以确定区间的范围。

通过分析二次函数图像和动轴的位置关系，可以得出区间的范围。

4. 解答问题根据确定的区间范围和动轴的坐标，可以解答与区间动轴相关的具体问题。

这一步是将区间动轴的解题方法应用到实际问题中，从而得出问题的解答。

四、个人观点和理解区间动轴是二次函数解题中的一个重要概念，也是解答问题的关键之一。

通过深入理解和掌握区间动轴的解题方法，可以更加灵活地应用到实际问题中，并得出准确的结论。

在学习二次函数时，我认为深入理解区间动轴的解题方法是十分重要的，可以帮助我们更好地理解和掌握这一知识点。

五、总结与回顾本文对九年级二次函数中的区间动轴的解题方法进行了深入的探讨，并从概念、解题方法和个人观点三个方面进行了详细的介绍。

通过本文的阅读，读者可以更加全面、深刻和灵活地理解区间动轴的解题方法，从而在解答相关问题时能够得心应手。

（精）二次函数动轴动区间问题二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ?b aac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。

（2）当[]-bam n 2，时若-<b< p="">am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

图1练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。

图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

二次函数动轴定区间问题是什么，一道简单题给你说明今天有高中小朋友问什么是动轴定区间问题。

这类问题其实很常见，也很基础。

不少同学以前
基础差，所以没有掌握住核心。

现在举一个简单例子，你能口算出答案吗？
二次函数有一类问题叫做“动轴定区间”问题，也就是说对称轴是含有参数的，要研究这样的函数
在给定区间的单调性问题。

解决方法也不止一种，①可以直接求导数，导函数的正负号反映了原
函数的单调性。

本题的导函数是一次函数，解决起来很简单。

②或者不求导，讨论对称轴和区间
的关系，利用图像也能很快得到答案。

具体过程就不写了，不是我偷懒，是怕把你们惯懒了。

与本题相对的，还有“定轴动区间”和“动轴动区间”问题，原理大同小异，都是结合图像解答，用
分类讨论的时候注意别晕菜就行。

实用标准文案二次函数在闭区间上的最值、知识要点:一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般 分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况 设 ，求 在上的最大值与最小值。

二、例题分析归类: （一）、正向型求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形: 区间变；（3）轴变，区间定；（4 ）轴变，区间变。

1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1.函数在区间［0，3］上的最大值是 _____________ ，最小值是 __________解：函数是定义在区间［0，3］上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2 ），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在］0, 3 :上,如图1所示。

函数的最大值为，最小值为。

分析:配方，得顶点为、对称轴为时, 它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在 ［m ，n ］上 的最值:的最小值是 的最大值是(2 )当中的较大者。

时, ，由 ，由 可类比得结论。

上是增函数则 上是减函数则 的最小值是 的最大值是 ，最大值是，最小值是是指已知二次函数和定义域区间,（1 ）轴定，区间定；（2 ）轴定,，最大值为g一7q A101322、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2.如果函数定义在区间上，求的最小值。

练习•已知 解：由已知 ，求函数 ,可得 将二次函数配方得 的最值。

，即函数 是定义在区间 上的二次函数。

图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间，其对称轴方程 ，顶点坐标 ，且，如图2所示。

函数 的最小值为解：函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

X JI\/1T i jj d1 L Hl x图1如图1所示，若顶点横坐标在区间 石 t 1 计1 x to Hl图2图3 左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。

二次函数问题二次函数最值对于二次函数y=a(x-m)2+n,x ∈[t,s]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。

为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。

然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 １、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =32、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠02)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122ax a-=(Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202x =-∈-a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f -≠(Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =-∈-0310,43a x =>=-距右端点2较远(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得32a -±=当302a -+=<时034[,2]2x =-∉-当302a --=<时034[,2]2x =∈-综收所述34a =或32a --=评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。

二次函数定轴动区间
二次函数的定轴动区间是指二次函数的图像在某个区间内是单调递增或单调递减的区间。

对于一般的二次函数 y = ax^2 + bx + c，其中 a ≠ 0，其定轴动区间可以通过以下步骤确定：
1. 计算二次函数的导数，即 y' = 2ax + b。

2. 解一元一次方程 2ax + b = 0，得到 x = -b / (2a)。

这个解就是二次函数的顶点横坐标，也是二次函数的对称轴的横坐标。

3. 根据二次函数的导数的符号来确定定轴动区间：
- 如果 a > 0，则二次函数的图像开口向上，对应的定轴动区间是 (-∞, -b / (2a)) 和 ( -b / (2a), +∞)。

即在 (-∞, -b / (2a)) 区间内，二次函数是单调递减的；在 ( -b / (2a), +∞) 区间内，二次函数是单调递增的。

- 如果 a < 0，则二次函数的图像开口向下，对应的定轴动区间是 (-∞, -b / (2a)) 和 ( -b / (2a), +∞)。

即在 (-∞, -b / (2a)) 区间内，二次函数是单调递增的；在 ( -b / (2a), +∞) 区间内，二次函数是单调递减的。

需要注意的是，如果二次函数的 a = 0，则不是一个二次函数，而是一个一次函数 y = bx + c，它是一个直线，没有定轴动区间的概念。

二次函数动轴动区间最值问题求解二次函数动轴动区间最值问题需要将二次函数转化成标准形式：$y = ax^2 + bx + c$，然后根据二次函数的性质进行分析。

首先，二次函数的动轴是$x = -\frac{b}{2a}$，即二次函数的平衡位置，该点的纵坐标为$\frac{-\Delta}{4a}$，其中 $\Delta = b^2 - 4ac$ 是二次函数的判别式。

1. 若 $a > 0$，则二次函数开口向上，动轴为最低点，动区间为整个实数集 $(-\infty, +\infty)$。

在动轴两侧取两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$，比较它们的纵坐标值可得：$f(x_1) = ax_1^2 + bx_1 + c$$f(x_2) = ax_2^2 + bx_2 + c$若 $x_1 < x_2$，则有$f(x_1) < f(-\frac{b}{2a}) < f(x_2)$所以动区间的最小值是 $-\infty$，最大值是 $+\infty$。

2. 若 $a < 0$，则二次函数开口向下，动轴为最高点。

根据二次函数的对称性，动区间为 $(-\infty, -\frac{b}{2a}]$ 和 $[\frac{-b}{2a}, +\infty)$。

在动区间的两个端点取两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$，比较它们的纵坐标值可得：$f(x_1) = ax_1^2 + bx_1 + c$$f(x_2) = ax_2^2 + bx_2 + c$若 $x_1 < \frac{-b}{2a} < x_2$，则有$f(x_1) > f(-\frac{b}{2a})$ 且 $f(x_2) > f(-\frac{b}{2a})$所以动区间的最小值是 $f(-\frac{b}{2a})$，最大值是 $+\infty$。

需要注意的是，若二次函数有定义域的限制，则动区间也受到限制。

⼆次函数动轴与动区间问题
⼆次函数作为初⾼中衔接部分内容，是整个⾼中数学课程学习的难点，也是⾼考的重点，应扎实掌握。

有关⼆次函数的问题很多，现本⽂重点就⼆次函数动轴与动区间问题重点讲解下，供同学们参考学习。

观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，⽽有时候⼜分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。

不难观察：⼆次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或⼆次函数的顶点取到。

第⼀个例题中，这个⼆次函数是开⼝向上的，在闭区间上，它的最⼩值在区间的两个端点或⼆次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；⽽它的最⼤值不可能是⼆次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

根据这个理解，不难解释第⼆个例题为什么这样讨论。

二次函数定轴动区间问题例题这个动区间是什么呢？其实就是我们要在某个范围内观察这个抛物线的表现。

就像你去公园遛狗，你不可能让它随便跑啊，是吧？得给它设定个范围，不然它就像脱缰的野马，东奔西跑，根本管不住。

比如说，咱们的二次函数y = ax² + bx + c，这个时候就得把自变量 x 限定在一个区间 m, n 里。

想象一下，m 和 n 就是你那条狗的“围栏”，保证它不乱跑。

嘿，接下来我们来点实际的。

假设有个二次函数，y = 2x² 8x + 5。

哎，先不急着算，咱先看看这函数的开口方向。

因为前面的系数 2 是个正数，所以它开口朝上。

好，接下来我们就找找这条抛物线的最低点在哪儿。

我们可以用顶点公式，顶点 x 坐标是b/(2a)，这里 b 是 8，a 是 2，所以算一算，得 x = 2。

然后把这个 x 带回去，哎呀，得到了最低的 y 值，也就是 2。

好，现在我们知道了最低点在 (2, 2) 这儿。

接下来呢，咱就可以确定动区间了。

比如我们给定的区间是 1, 4，那我们就得在这个区间内算一算 y 的最大值和最小值。

想象一下，这就像选水果，你得知道哪个最甜。

先把 1 和 4 带进去，算一算 y 值。

x = 1，带进去得y = 2(1)² 8(1) + 5，结果是 1。

然后 x = 4，带进去，得y = 2(4)²8(4) + 5，结果是 5。

天哪，没想到 4 是个小甜点！然后咱再看看在 x = 2 的时候，y = 2。

这就好比你在冰淇淋店里，选了个大草莓口味。

所以，在这个区间 1, 4，y 的最小值是 1，最大值是 5。

说实话，这就像是把一块大蛋糕切成三份，分别是1、2 和5。

那你说，这个区间的图像是什么样的？想象一下，抛物线从 1 开始，然后慢慢上升，经过 2，最后到达 5，就像是秋天的苹果，越往上越红，真是让人眼馋。

这样一来，我们就完成了这个动区间的问题。

是不是觉得挺简单的？就像和朋友在公园聊天一样轻松。

二次函数（轴动区间定）求值域问题微课一．教学目标：知识：使学生掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。

思想：数形结合的思想和分类讨论的思想。

能力：培养学生敏锐的观察力、运算的准确性、思维的灵活性、发散性、独立性、合作性。

创新：培养学生发现问题的创新意识、探索问题的创新精神，以及多层次、多角度思考问题的创新思维。

二．教学重点：对称轴不定、区间定的二次函数最值问题三．教学难点：分类讨论思想的正确运用。

四．教学过程：悟方法：“轴动区间定”可看作对称轴沿x 轴移动过程中，函数最值的变化，即对称轴在区间的左、右两侧及对称轴在定区间上的变化情况，同时要注意二次函数图象开口方向及端点情况，并抓住“三点一轴”数形结合，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论思想即可。

例：求函数2cos cos 2++=x a x y 的值域。

解：令x t cos =，[]1,1-∈t ，则[]1,1,4222222-∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t a a t at t y 其对称轴为2a x -= ①当12-≤-a 即2≥a 时，()a f y -=-=31min ，()a f y +==31max ，值域[]a a +-3,3； ②当021≤-<-a 即20<≤a 时，4222min a a f y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，()a f y +==31max ，值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a a 3,422； ③当120≤-<a 即02<≤-a 时，4222min a a f y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，()a f y -=-=31max ，值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a a 3,422；④当12>-a 即2-<a 时，()a f y +==31min ，()a f y -=-=31max ，值域[]a a -+3,3 综上所述：当2-<a 时，值域为[]a a -+3,3；当02<≤-a 时，值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a a 3,422； 当20<≤a 时，值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a a 3,422； 当2≥a 时，值域[]a a +-3,3.五．课堂小结：对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键是抓住二次函数图象的开口方向、对称轴及定义区间，应用数形结合的思想求解。