数学人教版九年级下册用割补法求坐标系中图形的面积

A
A
（1） 能否通过小房子的各点坐标求出小房子的面积引入课题 回顾旧知
1.若P （-2,4）则点P 到x 轴的距离为 点P 到y 轴的距离为
2.若A （2,0） B （5,0） 则AB=
若A （0,3），B （0,-5） 则AB=
若A （2,3），B （2,6） 则AB=
若A （4,1），B （-3,1） 则AB=
3.已知：A （1,4），B （-4,0），C （2,0）则三角形ABC 的面积
（二）探索方法
若A （4,0），B （3,3），C （0,2）求四边形OABC 的面积
复习在平面直角坐标系内①两点在
轴上；②两点不在轴上却与坐标轴平行；
两点间的距离。

为解
决简单三角形面积
做铺垫。

通过小组合作交流，不仅可以突破难点，学习更多解题方
法。

同时，利用面积和差求得.渗透转化
思想解；通过不同方法的选择，培养学生设计解决问题方案
时要考虑可行性的习惯；通过一题多解发展学生的创新思维.
（三）巩固练习
已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．学生体验解题方法和技巧，感受解题的快乐。

通过自我展示，提高学生的语言表达能力，锻炼他们的胆识。

（四）归纳方法
1、知识方面
在平面直角坐标系中，求面积的方法有：2、数学思想方面1、通过自己的归纳总结，逐步提高学生提炼方法和技巧的
意识。

2、通过学生的表述，。

求图形面积问题中的数学思想方法2.河北省承德市第二中学河北省承德市 067000初中数学的学习中有很多求图形面积的问题，图形有多种多样，求图形的面积的方法也有很多种。

一、规则图形面积求解。

规则图形面积求解方法，最基础、最简单、最常用的就是公式法名称图形公式长方形S=ab菱形S= ab正方形S=a2三角形S= ah平行四边形S=ah梯形S= （a+b)h圆S=πr22扇形S=πr 例如：菱形的两条对角线长分别为6和8，则其面积为：S=×6×8=24二、非规则图形面积的求解有很多不是上面的规则图形，不能运用公式法来直接求面积，或者有些虽然是规则图形，但是无法求出公式中对应量，也不能直接求出面积，就得选择其他方法，总结出如下几种方法：（一）坐标系中的割补法1.利用补形法求图形的面积例1：如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，－3)，你能求出△ABC的面积吗？解：过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B的平行于x轴的直线交于点D和点E，则四边形ADEC为直角梯形．∵A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，－3)，∴AD＝4，CE＝6，DB＝4，BE＝1，DE＝5.＝(AD＋CE)·DE－AD·DB－CE·BE＝×(4＋6)×5－×4×4－×6×1＝∴S△ABC14.2.利用分割法求图形的面积S四边形OBCA ＝S△ACD＋S梯形ODCBS四边形ABCD＝S△ADE＋S△BCF＋S梯形EFCD例2：在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点坐标分别是O(0，0)、A(－4，10)、B(－12，8)、C(－14，0)、求四边形OABC的面积．解：过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则D(－4，0)，E(－12，0)．∴BE＝8，AD＝10，OD＝4，DE＝8，CE＝2.∴S四边形OABC＝S△AOD＋S△BCE＋S梯形ABED＝OD·AD＋CE·BE＋(BE＋AD)·DE＝×4×10＋×2×8＋×(8＋10)×8＝100.（二）转化法例3：如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为(B)A．4 cm2 B．8 cm2 C．12 cm2 D．16 cm2例4：如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是(B)A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n例5：如图，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，直角∠EOF绕点O旋转．若OE，OF分别与DA，AB延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝S正方形ABCD.还可以具体分为以下几种转化方法：1.直接相加法：如图，半圆的面积+正方形的面积=总面积2.相减法：如图，阴影面积=正方形面积-圆面积3.重新组合法：如图，沿两条对称轴剪开，重新组合成第二个图，阴影部分在四个角处，再用减法。

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

第一讲 坐标系中的面积计算知识导航1.铅垂法求三角形的面积是几何问题中常见问题之一，方法较多，比如面积公式、割补、等积变形三角函数，而在坐标系中求三角形面积，最常用为铅垂法.思路概述（1）A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”（2）过点C 做x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅锤高” 公式：22D C B A ABC y y x x S -⋅-=⨯=∆铅锤高水平宽 解题的关键在于求得D 点坐标.所谓“铅垂法”实则就是割补法，对于此类求坐标系中的三角形面积形成了一套完整的解法，即已知三角形三个顶点即可求此三角形面积，取名“铅锤法”，建议解答题最好先证明.引例1：在平面直角坐标系，已知A （1,1）、B （7,3）、C （4,7），求此△ABC 的面积.引例2：（2019•海南改编）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +5经过A （﹣5，0），B （﹣4，﹣3）两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值；思考：在像引例2这种求面积的问题中，一般选取两定点做水平宽，若第三个点并不在两定点之间，则铅锤高如何做？方法总结铅垂法本质即割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，确定出其对应的铅锤高！（1）取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅锤高. 2铅锤高水平宽⨯=-=∆∆∆BCD ABD ABC S S S（2）取BC 作水平宽，过点A 作铅锤高AD.练一练（2019•宜宾改编）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 与直线y ＝kx +b 都经过A （0，﹣3）、B （3，0）两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标，并求△P AB 面积的最大值．2.最值、定值、等值引例3：如图，抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接BP 、PC.（1）最值问题：①当PBC ∆面积最大时，求面积最大值及P 点坐标.②过点P做PH⊥BC交BC于点H，求PH最大值.（2）定值问题若点P在抛物线上且△PBC的面积为3时，求点P的横坐标.思路1：铅垂法列方程求解思路2：构造等积变形（3）等值问题：若点p在抛物线上且△PBC的面积等于△BOC的面积，求P点的横坐标.思路1：化等值问题为定值问题思路2：等积变形3.四边形的面积对于特殊四边形，考虑面积公式，对于一般四边形，连接对角线即可分两个三角形，求两个三角形面积之和即可.引例4:（2019•东营改编）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y 轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标.真题演练1.（2010•宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（﹣3，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2013•宜宾改编）如图，抛物线y1＝x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．（1）请直接写出抛物线y2的解析式；（2）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．3.（2019•绵阳改编）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；4.（2019•聊城改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0），点B （4，0），与y 轴交于点C （0，8），连接BC ．又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．（1）求抛物线的表达式；（2）作PF ⊥BC ，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt △PFD 面积的最大值．5.（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y=21x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于另一点C （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使S △P AB ＝S △OAB ？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；6.（2019•临沂改编）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S ＝S△P AC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．△P AM。

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

突破数学压轴题解题策略平面直角坐标系中的面积问题解题策略1【专题攻略】面积问题是初中常考内容，一般应用以下几种方法解决：一是“直接法”，即套用求面积的公式.二是常用“割补法”.割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可.补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分.三是“平行线转化法”，即利用平行线之间的距离处处相等，同底等高模型转化面积来解决.在平面直角坐标系中求面积时，必然会用到线段长度，这里会涉及到利用两点之间的距离公式来求距离.在平面直角坐标系中有两点A（x1,y1）、B（x2,y2），则AB2=（x 1- x2）2 + （y1– y2）2 .若两点平行于坐标轴，则两点之间的距离可以直接用横或纵坐标的差来求.【复习回顾】：例1如图Δ ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，0），B（-2，0），C（2，4），求ΔABC的面积.例2如图2，点C为平面直角坐标系中的任意一点，已知点A （-5，0），点B （3, 0）Δ ABC的面积为12，试说明点C的坐标特点.例3如图Δ ABC三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求Δ ABC的面积.y >6 -5 - D4 - 3 - 2 - 1 -x-1 01 2 3 4 5 6 7 -1- -2 - 图4图5例4如图4，在四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 的四个点的坐标分别为（0，2），（1，0），（6，2）（2, 4）求四边形 ABCD 的面积.类型3 三边均不与坐标轴平行例5在图5的直角坐标系中，Δ ABC 的顶点都在网格点上，其中，A 点坐标为 （2，一 1），则Δ ABC 的面积为 ________________________ .y,:4(?1)〆o123 4 1例6如图，已知Δ ABC中，A（4，1），B （4，5），C （-1，2），求Δ ABC的面积.例7如图，以O A为边的ΔOAB的面积为2，试找出符合条件得且顶点是第一象限格点的点C，你能找出几个这样的例8已知：A（0,1）,B（2,0）,C（4，3）.（1）在坐标系中描出各点，画出ΔABC（2）求ΔABC的面积；（3）设点P在坐标轴上，且ΔABP与ΔABC的面积相等，求点P的坐标.。

坐标系中的不规则图形的面积求法及三角形面积万能公式关于规则图形与不规则图形，没有明确定义。

求图形面积的时候，三角形，平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形我们可以认为是规则的，因为它们都有面积公式，直接可以求出面积。

在平面直角坐标系中，(1)、如果计算这些图形面积所需要的边与坐标轴平行（或垂直），且已知顶点的坐标，都可以直接求出这些图形的面积。

（2）如果计算这些图形面积所需要的边不与坐标轴平行（或垂直），我们可以认为它不规则，因为面积不好求，所以考虑借助平面直角坐标系的性质，通过向坐标轴作垂线（或平行）进行转化，将图形进行割补成一些边与坐标轴平行（或垂直），且顶点坐标已知的规则图形，通过规则图形面积的和差来计算这个不规则图形的面积。

割补法：割法就是同样把图形割成几个规则图形，补法就是把图形补成一个规则图形.北师大版八上教材有这样一道题目，在如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD 各个定点的坐标分别是A （0,0），B （3，6）C （14，8），D （16，0），确定这个四边形的面积.尽管顶点坐标已知，但是此四边形没有公式可以直接计算出面积，所以考虑使用割补法.割法：过B,C 分别作x 轴的垂线交x 轴于E 、F,如图，根据点的坐标易求得，AE=3，BE=6，EF=11，DF=2，CF=8.所以，四边形面积就是两个三角形面积和一个梯形面积和。

只往x 轴作垂线？可以向y 轴作垂线进行分割吗？当然可以如此分割，如右图，过B 作BE 垂直于y 轴交CD 于点E很容易求出△BCE 的面积和梯形ABED 的面积，之和即是。

所以，在进行平面直角坐标系中的分割的时候，并无一定向x轴或者y 轴作垂线的要求，都可以考虑，关键是分割之后的图形面积计算所需的线段长是否易得。

也就是新得的点的坐标是否易求。

补法：借助平面直角坐标系的性质，过C 和D 分别向y 轴，x 轴作垂线，交y 轴于点E,两垂线交于点F,此时，四边形AEFD 是矩形，四边形ABCE 是不规则四边形，可以进行分割。

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

中考数学小专题复习----用割补法求坐标系中三角形的面积（教学设计）广州市绿翠现代实验学校东陈云兰【学习背景】本学期我校初三数学中考总复习资料选用的是《三段六步专题设计》，“三段六步”指的是复习总结教学模式的一个实操性基本程序，三段是指回顾激活原有知识，思考重建认知结构、提取新知迁移巩固三个阶段。

经过中考第一轮的基础复习，常会遇到在平面直角坐标系中求与三角形面积有关的综合题。

为了能够更好地掌握此类题目的解题方法和解题技巧，特安排此节单课时专题复习课。

目的是通过选取与任教班级学生学情相符的一些例题，通过典例分析和巩固练习，学会研究问题时把数和形结合起来考虑，利用割补的方法把一些不能直接计算的三角面积形转化成可以直接计算的三角形，从而求出相关的面积。

【学情分析】本班学生是初二重新再分班后的第二层次，有一定的基础，但严重缺乏尖子生和自觉学习能力，每次考试均分在100±5分左右，120分以上的同学也就五六个。

对最后三大题存在畏难情绪，尤其是对一些少见或稍难的题型，没有较好的解题思路去分析问题和解决问题，所以掌握一种最基础最常见的解题方法（割补法），学会在最后三题的第1，2问多拿分，以增强学生的信心和提升数学中考成绩。

【教学目标】1、理解并会用割补法求平面直角坐标系中三角形的面积。

2、体会数学中的转化思想和数形结合思想。

【教学重点】利用割补的方法求面积。

【教学难点】具有一定的观察能力和化归能力教学环节：1、新课引入例、已知点A（－3，0），点C（0，3），且点B的坐标为（－1，4），计算△ABC的面积。

BCA2、探究割补（假设如果△ABC的某边和该边上的高无法从已知三点坐标直接求出，必须通过图形的割补，你有何解决方法？）图1 图2图3 图4图5 图6 环节二：以抛物线作为知识背景运用割补法的常见题型（2012.广东广州第24题改编）如图，已知，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 。

专题05平面直角坐标系中求图形面积类型一、直接用公式求面积例1.如图，在平面直角坐标系中，点()0,4A b 为y 轴正半轴上一点，点()3,0B b 是x 轴正半轴上一点，其中b 满足()316b +=．（1）求点A ，B 的坐标．（2）点C 为x 轴上一点，且ABC 的面积为12，求C 点的坐标．【答案】（1）()0,4A ，()3,0B ；（2）点C 的坐标为()3,0-或()9,0【解析】（1）由()316b +=得1b =，∴()04A ，，()30B ，．（2）设点C 的坐标为()0x ，，则3BC x =-，由1（）可知4OA =，∴1432ABC S x =⨯⨯-= 12，解得：9x =或3-．∴点C 的坐标为()30-，或()90，．【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知点(),0A a ，(),0B b ，a 、b 满足方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一点，且6ABC S = ，请求出C 的坐标．【答案】（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）【解析】（1）解方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，解得：31a b =-⎧⎨=⎩，∴A （-3，0），B （1，0）；（2）由（1）可知：AB =4，∵S △ABC =12AB •OC =6，∴12×4×OC =6，解得OC =3，∴C （0，3）．故答案为：（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）类型二、割补法求面积例1.如图，三角形ABC 的面积等于（）A ．12B ．1122C ．13D ．1132【答案】D【解析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，如图所示：由题意可得，3BO =，3OC =，6AD =，3CD =，∴6OD =，∴ABC BOC ACDBODA S S S S ∆∆∆=--梯形111()222BO AD OD BO OC CD AD=+⋅-⋅⋅-⋅⋅111(36)63336222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯54918222=--272=，即272ABC S ∆=，故选：D ．【变式训练1】如图，连接AB 、BC 、AC ，则△ABC 的面积是（）A ．312B ．3C ．212D ．2【答案】C【解析】长方形AGDE 的面积为：3×2=6，AGC 的面积：3×1÷2=1.5，CDB △的面积：2×1÷2=1，ABE △的面积：2×1÷2=1，故ABC 的面积为：6-1.5-1-1=2.5，故答案为：C ；【变式训练2】如图，三角形ABO 中，()2,3A --，()2,1B -，A B O ''' 是ABO 平移之后得到的图形，并且O 的对应点O '的坐标为()5,4．（1）作出ABO 平移之后的图形A B O ''' ，并写出A '、B '两点的坐标分别为A '______，B '_____；（2）()00,P x y 为ABO 中任意一点，则平移后对应点P 的坐标为______．（3）求ABO 的面积；【解析】（1）如图，△A 'B 'O '即为所求，A '、B '两点的坐标分别（3，1），（7，3）．故答案为：（3，1），（7，3）．（2）点P '的坐标为（x 0+5，y 0+4）．故答案为：（x 0+5，y 0+4）．（3）S △ABO =3×4-12×2×3-12×1×2-12×4×2=4．【变式训练3】在平面直角坐标系xoy 中，△ABC 的位置如图所示，点A ，B ，C 都在格点上．（1）分别写出下列顶点的坐标：A ________；B ________；（2）请在图中画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A ′B ′C ′；（3）计算出△ABC 的面积．【答案】（1）(-1,6)，(-2,0)；（2）见解析；（3）152【解析】（1）由图知，点A 的坐标为(-1,6)，点B 的坐标为(-2,0)，故答案为：(-1,6)，(-2,0)（2）由图得，点C 的坐标为(-4,3)，则点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A ′，B ′，C ′坐标分别为(1,6)，(2,0)，(4,3)，依次连接A ′，B ′，C ′，即得△A ′B ′C ′，所得图形如图所示（3）过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E则ABC AOD CED ADEC S S S S =-- 梯形111(36)31623222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯152=类型三、点的存在性问题例1.如图，在平面直角坐标系中，点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，其中0a >，点A 为BC 的中点，若4BC =，解决下列问题：（1）BC 所在直线与x 轴的位置关系是；（2）求出a 的值，并写出点A ，C 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使得三角形PAC 的面积等于5？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）平行；（2）()1,2A ，()3,2C ；（3）存在，P 点坐标为()0,3-或()0,7【解析】（1）∵点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，∴BC 所在直线与x 轴的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）∵4BC =，∴()34a a --=，∴1a =，∴B （-1，2），C （3，2），∵A 为BC 的中点，∴()1,2A ．（3）存在点P ．设()0,P m ，∵2AC =，∴12252m ⨯⨯-=，∴3m =-或7.∴P 为()0,3-或()0,7．【变式训练1】如图，在直角坐标系中，已知()0,2A ，()3,0B ，()3,4C 三点．（1）求四边形AOBC 的面积；（2）是否存在点()0.5P x x ,，使2ABC AOBC S S = 四边形？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）9；（2）存在，()189P --,或(18,9)【解析】如图，∵34C （，），∴33CD ==．∵()34C ，，30B （，），∴404CB =-=，∴4312DCBO S =⨯=四边形．∵()04D ，，()02A ，，∴422DA =-=，∴11236322DCA S =⨯⨯=⨯= ．∵DCA AOBC DCBO S S S =- 四边形四边形，∴1239AOBC S =-=四边形．（2）由（1）得1239AOBC S =-=四边形设存在点()0.5P x x ，，使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．∵△AOP 的面积=122x x ⨯⨯=，∴29x =⨯，∴18x =±∴存在点P （18，9）或（-18，-9），使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．【变式训练2】如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∥x 轴，求t 的值；（2）如图2，当t ＝2时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）t 的值为1.5；（2）点M 的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，1）．【解析】（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO=BC=3，∵△APB为等腰直角三角形，∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP=3，∴t=3÷2=1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t=2时，OP=4，①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP=PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP=∠PDM，∠APO=∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA=DM=3，OP=PD=4，∴M（8，-3）；②如图，若△ABP≌△MPB，连接AM，则AP=PB=BM，∠APB=∠MBP=90︒，∴AP∥MB，且AP=MB，∴四边形APBM是平行四边形，y轴于点E，又∠APB=∠MBP=90︒，∴四边形APBM是正方形，∴AP=AM，过点M作ME⊥同理可证△AOP≌△MEA（AAS），∴OA=EM=3，OP=AE=4，∴M（3，7）；③如图，若△ABP≌△MPB，则AP=BP=BM，过点M 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点F 、G ，过点M 作MH ⊥BF 于点H ，∴四边形FGMH 是矩形，∴MH =FG ，MG =HF ，同理可证△AOP ≌△PFB ≌△BHM （AAS ），∴OA =PF =BH =3，OP =BF =MH =4，∴MG =HF =BF -BH =1，OG =OP +PF +FG =11，∴M （11，1）；综合以上可得点M 的坐标为（3，7），（8，-3），（11，1）．【变式训练3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作第1个正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作第2个正方形2221A B C C ，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积是______．【答案】404235(2⨯【解析】()()1,0,0,2,A D 正方形ABCD ，1,2OA OD ∴==,,AD AB ===190,DAO ADO DAO BAA ∠+∠=︒=∠+∠1,ADO BAA ∴∠=∠190,DOA ABA ∠=∠=︒ 1,AOD A BA ∴ ∽1,AO OD A B AB ∴=15,2AO AB A B OD ∴== 正方形111A B C C，1113222A B A C ∴====⨯同理可得：22232442A B ⎛⎫=+==⨯ ⎪⎝⎭33332A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭······20212021202132A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以第2021个正方形的面积是22021404233=5.22⎡⎛⎫⎛⎫⨯⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦故答案为：404235.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭。

第22讲用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

用割补法求坐标系中的图形面积
学习重点：已知图形的面积求图形的顶点坐标.
例题：
1.如图;A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点;
且A 、B 、C 三点的坐标分别为3;3、6;4、4;6．
1请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐
标；
2求这个平行四边形的面积．
练习：
1.如图;在△AOB 中;A 、B 两点的坐标分别为2;4和6;2;求△AOB 的面积． 例
2.已知点A 的坐标为4;0;点B 在y 轴上;点O 为坐标原
点;且△AOB 的面积为6;求点B 的坐标．
例3.如图;在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD;
已知AD=3;AO=8;OC=5．
1若点P 在y 轴上且POC PAD S S Δ=Δ;求点P 的坐标；
2若点P 在梯形内且POC PAD S S ΔΔ=;PCD PAO S S ΔΔ=;求点P 的坐
标．
练习：
2.在平面直角坐标系xOy中;A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上;且
P的坐标.
3.如图所示;每个小方格都是边长为1的正方形;点A;B是方格纸的两个格点即正方形的顶点;在这个4×4的方格纸中;找出格点C;使△ABC的面积为1个平方单位的三角形的个数是
A.8
B.9
C.10
D.11
4.已知点Aa;0和点B0;4两点;且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于8;求a的值.。

割补法求平面直角坐标系内面积
首先，我们需要确定要求解的曲线以及积分的区间。

假设我们
要求解的曲线为y=f(x)，并且我们要求解的区间为[a, b]。

接下来，我们将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为
Δx=(b-a)/n。

然后我们在每个小区间内选择一个x值，记为xi，
然后计算对应的y值，记为yi=f(xi)。

接着，我们可以利用割补法的思想来逼近曲线下面积。

我们将
每个小区间内的面积近似为矩形的面积，即ΔAi = yi Δx。

然后
将所有小矩形的面积相加，即ΣΔAi = Σyi Δx。

当n趋向于无
穷大时，这个和就会趋近于曲线下的面积。

最后，我们可以利用定积分的概念来表示曲线下的面积，即A
= ∫[a, b] f(x) dx。

这里的定积分就是将割补法逼近的和Σyi
Δx在区间[a, b]上的极限，表示曲线与x轴之间的面积。

在实际计算时，我们可以利用数值积分的方法，比如梯形法则
或者辛普森法则来进行近似计算。

这些方法都是基于割补法的思想，通过将区间分成若干小段，并在每个小段上进行近似计算，最终得
到曲线下面积的近似值。

总之，割补法是一种常用的数值积分方法，可以用来求解平面直角坐标系内曲线与坐标轴围成的图形的面积。

通过将区间分割，并在每个小区间上进行面积的近似计算，最终可以得到曲线下面积的近似值。

两招搞定坐标系中求图形面积在平面直角坐标系中，利用相关点的坐标可以求坐标系中多边形的面积，常见的有补形和分割两种方法.下面举例如下，供同学们参考.一、补形法例1 如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（－1，1），C（－2，2），求三角形ABC的面积.图1分析：本题中三角形ABC的任何一边都不在坐标轴上且不与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解.可运用补形法，将三角形补成一个长方形，把求一般三角形的面积问题转化为求长方形面积与直角三角形面积差的问题.解：如图1，过点A，B分别作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线.易得S长方形ADFE=2×3=6，S三角形ADC=12×2×2=2，S三角形ABE=12×1×3=1.5，S三角形BFC=12×1×1=0.5.所以S三角形ABC=S长方形ADFE－（S三角形ADC+S三角形ABE+S三角形BCF）=6－（2+1.5+0.5）=2.温馨提示：当两点在平行于x轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值.二、分割法例2 如图2，在平面直角坐标系中，四边形OABC各个顶点的坐标均为整数，则四边形OABC的面积为.图2分析：利用分割法，把四边形分割成两个三角形与一个梯形，分别求出各部分的面积，求和即为四边形OABC的面积.解：如图2，过点B，C分别作BD，CE垂直于x轴.由图形易得，A（6，0），B（4，4），C（2，3），D（4，0），E（2，0）.则S三角形OCE=12×2×3=3，S三角形ABD=12×2×4=4，S梯形的CEDB=12×（3+4）×2=7.所以S四边形OABC=S三角形OCE+ S三角形ABD+ S梯形的CEDB = 3+4+7=14.故填14.温馨提示：解决平面直角坐标系中的四边形面积问题，一般思路是将不规则图形转化为规则图形，再利用相关的图形面积公式求解.。