练习112(对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系) - 答案

曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）I s=⎰，其中C是抛物线2y x=上点(0,0)O到(1,1)A之间的一段弧；解: 由于C由方程2y x=（01x≤≤）给出，因此1I s x x===⎰⎰⎰123211(14)1)1212x⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.（2）dCI x s=⎰，其中C是圆221x y+=中(0,1)A到B之间的一段劣弧；解:C AB=的参数方程为：cos,sinx yθθ==()42ππθ-≤≤，于是24cosIππθ-=⎰24cos1dππθθ-==⎰．（3）(1)dCx y s++⎰，其中C是顶点为(0,0),(1,0)O A及(0,1)B的三角形的边界；解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Cx y ds++⎰(1)OAx y ds=++⎰(1)ABx y ds+++⎰(1)BOx y ds+++⎰，由于OA:0y=，01x≤≤，于是ds dx===，故13(1)(01)2x y ds x dx++=++=⎰⎰OA，而:AB1y x=-,01x≤≤，于是ds==．xyoABC10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． 综上所述33(1)322Cx y ds -+=+=+⎰． （4）22Cx y ds +⎰，其中C 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1C 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ=．于是22201cos222Cx y ds d πθθ+=⋅=⎰⎰．（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示， 2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222A BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰（6）2ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨+=⎩. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而2221222a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为11cos ,22:, 02.11cos ,22x a a y z a x a a θθθπθ⎧=+⎪⎪⎪Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩由于d s θθθ==. 则332π2π2222 01ds sin d sin d 222y a θθθθΓ===⎰⎰2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ==，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．3 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。

对坐标的曲线积分
坐标的曲线积分是指对于曲线上的各个点，按照其在坐标系中的
坐标值进行积分的过程。

这种方法常用于研究曲线的长度、变化率、
等量关系等问题。

具体来说，在平面直角坐标系中，对于一条曲线C，其通常可以
表示为 y=f(x)，其中f(x)是曲线的方程。

对于该曲线上任意一点
(x,y)，都可以通过对x、y分别积分的方式得到其到曲线起点的弧长。

具体而言，对于一条曲线C，其长度可以表示为：
L = ∫a~b √(1+f'(x)²)dx
其中f'(x)表示f(x)的导数，a,b是曲线C的起点和终点。

在曲线积分中，坐标的变化直接与曲线的弧长和函数值相关，因
此坐标的曲线积分往往可以用于描述曲线在不同位置上的变化情况。

例如，在应用物理中，我们经常需要计算物体在曲线轨道上的运动情况，这时就需要用到坐标的曲线积分。

值得注意的是，坐标的曲线积分可以用于任意维度的空间中，例
如在三维坐标系中，对于曲线C可以表示为
(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t))，其长度可以表示为：
L = ∫a~b √(f'(t)²+g'(t)²+h'(t)²)dt
总之，坐标的曲线积分是一种基本的数学工具，在物理学、几何学、计算机科学等领域得到了广泛应用。

熟练掌握坐标的曲线积分，
可以更好地理解和解决涉及曲线的各种问题。

十 曲线积分及曲面积分习题(一) 对弧长的曲线积分1. 计算ds y x L ⎰+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解 32032222202222222cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x L πππ==++=+⎰⎰⎰.2. 计算ds x L ⎰，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.解 )12655(12141210210-+=++=⎰⎰⎰dx x x dx x ds x L . 3．计算⎰L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解⎰L yds ＝dy y y dy y y ⎰⎰+=+202202421)2(1 4．计算⎰+L ds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ⎰+L ds y x )(＝23211)(10=++⎰x x . 5．计算⎰L xyzds ，其中L 是曲线2321,232,t z t y t x ===)10(≤≤t 的一段. 解 ⎰L xyzds ＝⎰⎰+=++13102223)1(232)2(121232dt t t t dt t t t t t6．计算22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界. 解22x y Leds +⎰＝⎰1L ＋⎰2L ＋⎰3L7．设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点(),x y 处它的线密度为(),x y μ,试用对弧长的曲线积分分别表达(1)这条曲线弧对x 轴,y 轴的转动惯量,x y I I ； (2) 这条曲线弧的质心坐标,x y .解 〔1〕⎰=L x dS y I 2μ ⎰=L y dS x I 2μ〔2〕⎰⎰=LL dSy x dS y x x x ),(),(μμ ⎰⎰=LL dSy x dS y x y y ),(),(μμ (二) 对坐标的曲线积分1．计算⎰+L xdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧. 解⎰+Lxdy ydx ＝0]cos cos )sin (sin [20=+-⎰dt t tR R t R t R π2．计算⎰+L ydx xdy ，其中L 分别为〔1〕沿抛物线22x y =从)0,0(O 到)2,1(B 的一段； 〔2〕沿从)0,0(O 到)2,1(B 的直线段.； 〔3〕沿封闭曲线OABO ，其中)0,1(A ,)2,1(B . 解 〔1〕⎰=+=1022)24(dx x x x I .〔2〕2)22(1=+=⎰dx x x I .〔3〕⎰+L ydx xdy ＝⎰⎰⎰++BO AB OA3．计算⎰-+++L dz y x zdy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.解 直线方程为312111-=-=-z y x ，其参数方程为13,12,1+=+=+=t z t y t x ，t 从0变到1.4．计算2()L xydx x y dy x dz +-+⎰，其中L 是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 从0=t 到π=t 上的一段.解 dt t b a t a t a t a t a t a t a I ⎰+-+-•=π22]cos cos )sin cos ()sin (sin cos [5．设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化成对弧长的曲线积分. 解 由于)3,2,1()3,2,1(),,(2y x t t dt dz dt dy dt dx ==，故229411cos yx ++=α，229412cos yx x ++=β，229413cos yx y ++=γ.(三) 格林公式及应用1．计算⎰-L ydy x dx xy 22，其中L 为圆周222a y x =+，取逆时针方向. 解⎰-Lydy x dx xy 22＝0)22(=--⎰⎰Ddxdy xy xy2．计算⎰+--L dy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1( 的一段弧.解 y x P -=2,)sin (2y x Q +-=3. 计算(1)()xxL ye dx x e dy +++⎰，其中L 为椭圆22221x y a b+=的上半周由点(,0)A a 到(,0)B a -的弧段.解 x ye P +=1,x e x Q +=4. 计算3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy -+-+⎰,其中L 为在抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧．解 322cos P xy y x =-，2212sin 3Q y x x y =-+5. 计算⎰+-L y x xdy ydx )(222，其中L 为圆周2)1(22=+-y x ，L 的方向为逆时针方向. 解 )(222y x y P +=，)(222y x x Q +-=，当022≠+y x 时， L 所围区域为D ，由于D ∈)0,0(0>r ，作位于D 内的小圆周222:r y x l =+.记L 及l 所围区域为1D ，在1D 上应用格林公式，得⎰+-L y x xdyydx )(222－⎰+-l y x xdy ydx )(222＝0其中l6. 计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==，)20(π≤≤t 所围成区域的面积.解 ⎰-=L ydx xdy A 21＝2024224283)cos sin 3sin cos 3(a dt t t a t t a ππ=+⎰7. 证明曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内及路径无关，并计算积分值.解 〔1〕42y xy P -=，324xy x Q -=xQ y x y P ∂∂=-=∂∂342在整个xoy 面上成立 故曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内及路径无关.〔2〕⎰⎰+=21L L I ＝8．验证dy x xydx 22+在整个xoy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求这样的一个),(y x u . 解 〔1〕验证略；〔2〕y x dy x y x u yABOA2020),(=+=+=⎰⎰⎰9．试用曲线积分求dy y x dx y x )cos ()sin 2(++的原函数. 解 y x P sin 2+=，y x Q cos =，xQ y y P ∂∂==∂∂cos 在整个xoy 面上成立 所以 ⎰++=),()0,0()cos ()sin 2(),(y x dy y x dx y x y x u(四) 对面积的曲面积分1．计算⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解⎰⎰∑+dS y x )(22＝⎰⎰⎰⎰∑∑+212. 计算⎰⎰∑++dS z y x )223(，其中∑为平面1432=++z y x在第一卦限的局部.解 dxdy y x y x I xyD ⎰⎰-+-+--++=22)34()2(1))321(223(，3．计算⎰⎰∑dS z 2，其中∑为球面2222a z y x =++.解⎰⎰∑dS z 2＝⎰⎰⎰⎰--=++--xyxy D D y x dxdy y x a a dxdy z z y x a 2222222221)(2 4．计算⎰⎰∑++dS z y x )(，∑是球面0,222≥=++z a z y x .有问题解 ⎰⎰----++=xyD dxdy y x a y x a y x I 222222)(5．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=.解 ⎰⎰∑=zdS M ＝dxdy y x y x xyD 22221)(21+++⎰⎰＝2012d d πρ⎰(五) 对坐标的曲面积分1．计算⎰⎰∑zdxdy y x 22，其中∑是球面2222R z y x =++的下半局部的下侧.解⎰⎰∑zdxdy y x 22＝dxdy y x R y x xyD ⎰⎰--2222 2．计算⎰⎰∑++yzdzdxxydydz xzdxdy ，其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 4321∑+∑+∑+∑=∑3．计算⎰⎰∑++=dxdy z h dxdz y g dydz x f I )()()(，其中h g f ,,为连续函数，∑为平行六面体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:外表的外侧. 解 654321∑+∑+∑+∑+∑+∑=∑ 所以321I I I I ++=4．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为半球面222y x a z --=的上侧. 解⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21222dydz x dydz x dydz x同理：02=⎰⎰∑dzdx y故⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222＝42a π.5．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是柱面122=+y x 被0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的局部的前侧. 解⎰⎰∑=0zdxdy同理：π43=⎰⎰∑ydzdx故⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝π23.6．设∑为平面x z a +=在柱面222x y a +=内那一局部的上侧，下面两个积分的解法是否正确？如果不对，给出正确解法. 〔1〕3()()x z dS a dS a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积；〔2〕3()()x z dxdy a dxdy a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积.解 〔1〕正确；〔2〕错误.正确解法是：(六) 高斯公式利用高斯公式计算:1．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为球面2222a z y x =++的内侧.解 2223()I x y z dv Ω=-++⎰⎰⎰ 240003sin Rd d r dr ππθϕϕ=-⎰⎰⎰5125R π=-2．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面22y x z +=在第一卦限中10≤≤z 局部的下侧.解 补充曲面：)0,0,1(,1:221≥≥≤+=∑y x y x z ，取上侧； )1,10(,0:22≤≤≤≤=∑z x x y ，取左侧；)1,10(,0:23≤≤≤≤=∑z y y x ，取后侧.∑，1∑，2∑与3∑构成闭曲面，所围的空间闭区域记为Ω，由高斯公式，得3．计算⎰⎰∑+++-dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，∑为正方体Ω的外表并取外侧,其中解 ()I y x dv Ω=+⎰⎰⎰＝4000)(a dz y x dy dx aa a =+⎰⎰⎰4．计算⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (222γβα，其中∑是由222z y x =+及)0(>=h h z 所围成的闭曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是此曲面的外法线的方向余弦.解 2()2()2I x y z dxdydz x y dxdydz zdxdydz ΩΩΩ=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(七) 斯托克斯公式1．计算⎰-+-++L dz z y dy z x dx z y )()()2(，其中L 为平面1=++z y x 及各坐标面的交线，取逆时针方向为正向. 解 由斯托克斯公式，得 ＝1.2．计算⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中L 是从)0,0,(a 经)0,,0(a 与),0,0(a 回到)0,0,(a 的三角形.解 由斯托克斯公式，得(八) 曲线积分及曲面积分自测题1．计算曲线积分 (1)ds y x L⎰+22，其中L 为圆周ax y x =+22；解 :cos (-)22L r a ππθθ=≤≤(2) ⎰L zds ，其中Γ为曲线)0(,sin ,cos 0t t t z t t y t t x ≤≤===； 解ds == (3)⎰+-Lxdy dx y a )2(，其中L 为摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=上对应t 从0到π2的一段弧；解⎰+-Lxdy dx y a )2(=20{[(2(1cos ))](1cos )(sin )sin }a a t a t a t t a t dt π---+-⎰(4)⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(，其中Γ是曲线32,,t z t y t x ===上由01=t 到12=t 的一段弧；解⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)((5)⎰-+-Lx xdy y e dx y y e)2cos ()2sin (，其中L 为上半圆周0,)(222≥=+-y a y a x 沿逆时针方向；解 补充积分路径1:0L y =，x从0到2a.sin 2,cos 2x x P e y y Q e yy =-=-2．计算曲面积分 (1)⎰⎰∑++222z y x dS，其中∑是介于平面0=z 及H z =之间的圆柱面222R y x =+；解x =dS ==(2)⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y)()()(222，其中∑为锥面)0(22h z y x z ≤≤+=的外侧；解 11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰(3) ⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑为半球面22y x R z --=的上侧；解11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰(4)⎰⎰∑++++3222)(z y x zdxdyydzdx xdydz ，其中∑为曲面)0(9)1(16)2(5122≥-+-=-z y x z 的上侧； 解 0I = 〔利用高斯公式〕(5) ⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑为球面)0,0(1222≥≥=++y x z y x 外侧. 解⎰⎰∑xyzdxdy =12xyzdxdy xyzdxdy ∑∑+⎰⎰⎰⎰3．证明：22yx ydyxdx ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数. 解 在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G G 内， 所以存在(,)u x y ，使22xdx ydydu x y+=+. 取积分路径：(1,0)(,0)(,)x x y →→ 4．计算其中Γ为平面1=++z y x 及各坐标面的交线，从z 轴正向看取逆时针方向.解 由斯托克斯公式，得 ＝1.5．求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标. 解 设面密度为ρ，重心(,,)x y z 由对称性：0x y == 故重心的坐标为(0,0,)2a.。

⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼗⼀章答案[1]习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22x y Leds +?，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第⼀象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ，其中Γ为折线ABCD ，这⾥A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ?，其中L 为摆线的⼀拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有⼀段铁丝成半圆形y =，其上任⼀点处的线密度的⼤⼩等于该点的纵坐标，求其质量。

解曲线L 的参数⽅程为()cos ,sin 0x a y a π==≤≤ds ad ??==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a π===?? 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()Lxy dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的⼀段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+?，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针⽅向绕⾏）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-?，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的⼀段直线；（4）dx dy ydz Γ-+?，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这⾥A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-?，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧。

（以下各题解析仅供参考，大家还可想想其他方法.）1、计算下列对坐标的曲线积分 （1）d Lx y x ⎰，其中L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的区域在第一象限内的整个边界（取逆时针方向）； 答案： 312a π-解析： 方法一本题考查课本第131页知识点——本题中的有向曲线段L （图1）由逆时针方向弧段2221:()(0)L x a y a y -+=≥和x 轴上直线段2:0(:02)L y x a =→两个部分构成. 分别求出两条积分弧段上的曲线积分，再求和.先看2221:()(0)L x a y a y -+=≥，其方程可化为 参数方程cos sin x a a ty a t =+⎧⎨=⎩，由于L 的方向取作逆时针方向，可知起点(2,0)a 对应的0t =，终点(0,0)对应的t π=.本题只要求对坐标x 的曲线积分，根据上述知识点中的计算公式，有1d L x y x ⋅⎰20(1a π=+⎰30(1a π=-⎰3(cos d )a t t π=-⋅⋅⎰图1利用倍角公式降次凑微分32001cos 2[d sin d(sin )]2ta t t t ππ-=-⋅+⎰⎰330011sin (d cos 2d )223ta t t t πππ=-⋅-+⎰⎰3011[cos 2d()0]22122a t t ππ⋅=-⋅⋅-⋅+⎰33301(sin 2)(0)2422a t a a ππππ=-⋅-⋅=-⋅-=-. 再看x 轴上直线段2:0(:02)L y x a =→0y =⎩. 根据对坐标的曲线积分计算公式，有2d L x y x ⋅⎰2000d ax x =⋅=⎰.综上所述，所求积分d Lx y x ⎰1233d d 022L L x y x x y x a a ππ=⋅+⋅=-+=-⎰⎰.方法二 利用格林公式——本题只要求对坐标x 的曲线积分d Lx y x ⎰，我们可以记(,)P x y xy =，(,)0Q x y =，求得P x y ∂=∂，0Q x ∂=∂，这里P Qy x∂∂≠∂∂. 本题中的{(,)|02,0D x y x a y =≤≤≤≤，如图1 (1) 所示，化为极坐标{(,)|0,02cos }2D a πρθθρθ=≤≤≤≤（方程222x y ax +=可化为22cos a ρρθ=），容易验证本题满足格林公式的条件，根据格林公式来计算积分值（本题中是把曲线积分化为二重积分计算）——d 0d Lx y x y +⎰()d DQ P x yσ∂∂=-∂∂⎰⎰ (0)d Dx σ=-⎰⎰2cos 20d (cos )d a πθθρθρρ=-⋅⎰⎰凑微分图1 (1)==3383134222a a ππ=-⋅⋅⋅=-.（大家可以对比方法一和方法二的运算量，选取简便的方法或自己熟悉的方法计算.） （2）2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x θ=，cos y θ=，sin z θ=上对应θ从0到π的一段弧；答案：313ππ-解析： 本题中的积分弧段Γ（图2）是一条有向空间 曲线，根据已知条件中Γ的参数方程及指定的方向，可 2d d()cos sin s d(o in c )s πππθθθθθθ=+-⎰⎰⎰20d ()sin c si o d n c s d os πππθθθθθθθθ-=+⋅-⋅⎰⎰⎰2220d (sin cos )d ππθθθθθ=-+⎰⎰31d 3ππθθ=-⎰33ππ=-.（本题中的积分弧段是空间曲线，而格林公式是讨论平面上的情况，因此不适用格林公式.）图2为了计算简便， 可以根据积分的性质， 把这两个积分合并在一起.1331(242213421(253n n n n n n π----为偶数为奇数（3）(2)d d Ly x x y -+⎰，其中L 为摆线sin 1cos x t ty t=-⎧⎨=-⎩对应10t =到22t π=的一段弧； 答案： 2π-解析： 本题中的积分弧段L （图3）是一条有向平面曲线， 根据已知条件中L 的参数方程及指定的方向，可得(2)d d Lx y x y -+⎰220si [2()]d()1cos 1cos ()d()n sin t t t t t t ππ-+-=---⎰⎰2201c cos s (1)()d os sin )d in (t t t t t t t ππ-+-=+⋅⋅⎰⎰22220(1cos )d (sin sin )d t t t t t t ππ=-+⋅-⎰⎰22222201d cos d sin d sin d t t t t t t t t ππππ=-+⋅-⎰⎰⎰⎰2222201d (cos sin )d sin d t t t t t t t πππ=-++⋅⎰⎰⎰22201d 1d d(cos )t t t t πππ=-+-⎰⎰⎰2200(cos )(cos )d t t t t ππ=⋅---⎰220(cos )cos d t t t t ππ=-⋅+⎰20(210)sin 202tππππ=-⋅-+=-+=-.（本题中的积分弧段是摆线，用参数方程表示比较简便，要转化成直角坐标情形比较麻烦，所以，不方便利用格林公式转化成二重积分计算.） （4）22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧；答案： 1415-解析： 方法一本题中的积分弧段L （图4）是一条有向平面曲线， 根据已知条件中L 的方程及指定的方向（:11x -→），可得为了计算简便， 可以根据积分的性质， 把这两个积分合并在一起.分部积分法“反、对、幂、指、三”图3图422(2)d (2)d Ly y y y x x x x -+-⎰1122121222(2)d [()2)]d()x x x x x x x x --=-⋅+-⋅⎰⎰11234311(2)d (2)(2)d x x x x x x x --=-+-⋅⎰⎰111123541111d 2d 2d 4d x x x x x x x x ----=-+-⎰⎰⎰⎰351111435x x --=-⋅221443515=-⋅=-.方法二 利用格林公式——本题中的积分弧段L 并不是封闭的，所以 ， 不能直接用格林公式计算，要通过做辅助线， 围出一个闭区域，再利用格林公式计算 .做辅助线1:1(:11)L y x =→-，与2:(:11)L y x x =-→共同围出了闭区域2{(,)|11,1}D x y x x y =-≤≤≤≤，如图4（1）所示，L 和L 1 是D 的正向边界（观察者沿边界走的时候，D 位于其左手边）.本题中2(,)2P x y x xy =-，2(,)2Q x y y xy =-，可求得2P x y ∂=-∂，2Qy x∂=-∂，这里P Qy x∂∂≠∂∂. 容易验证在闭区域D 满足格林公式的条件，根据格林公式，有 12222(2)d (2)d (2)d (2)d LL x xy x y xy y x xy x y xy y-+-+-+-⎰⎰()d (22)d DDQ P y x x y σσ∂∂=-=-+∂∂⎰⎰⎰⎰，也即 12222(2)d (2)d (22)d (2)d (2)d LL Dxxy x y xy y y x x xy x y xy y σ-+-=-+--+-⎰⎰⎰⎰211122112d ()d (21)d (121)d(1)xx x y y x x x x --=---⋅+-⋅⎰⎰⎰22211121112()d (2)d 02x x y x yx x x x --=--++⎰⎰奇函数在对称区间 的定积分为0图4 (1)奇函数在对称区间 的定积分为0431311112()d 0223x x x x x --=--++-⎰51111222140002535315x x--=--++-=-++=-. （5）d Lx y ⎰，其中L 为指数曲线e x y =上从点(0,1)A 到点(ln 2,2)B 的一段弧；答案： 2ln2-1解析： 方法一本题只要求对坐标y 的曲线积分，本题中的积分弧段L （图5）是一条有向平面曲线，根据已知条件中L 的 方程及指定的方向（:0ln 2x →），可得d Lx y ⎰ln 2d()e x x =⎰ln 2ln 2(e )e d x x x x =⋅-⎰ln 20(ln 220)e x=⋅--2ln 2(21)2ln 21=--=-.方法二 利用格林公式—— 本题只要求对坐标y 的曲线积分d Lx y ⎰，我们可以记(,)0P x y =，(,)Q x y x =，求得0P y ∂=∂，1Q x ∂=∂，这里P Qy x∂∂≠∂∂. 本题中的积分弧段L 并不是封闭的，所以 ，不能直接用格林公式计算，要 做辅助线，围出一个闭区域，如图5（1） 所示，再利用格林公式计算 .顺着L 的方向做辅助线1:ln 2(:20)L x y =→，2:0(:ln 20)L y x =→，3:0(:01)L x y =→，它们与L 共同围出了闭区域图5分部积分法“反、对、幂、指、三”图5 (1)奇函数在对称区间 的定积分为0{(,)|0ln 2,0e }x D x y x y =≤≤≤≤，但是，L 和L 1、L 2、L 3并不是D 的正向边界，而是123d )(0d d )(0d d )(0d d )L L L y x x y x x y x x y ++++++⎰⎰⎰)d (10)d DDP y σσ-∂-=-∂⎰⎰，也即 123d 1d (d d d )LL L L Dx y x y x y x y σ=-++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（请大家自己试着完成后续计算，再对比两种方法的运算量. 从本题可以看出，格林公式并不是“万能”的，有些情况下，用格林公式并不能简化计算. ） （6）d Lx y ⎰，其中L 为由两坐标轴及直线123x y+=所围成的三角形区域整个边界并取逆时针方向；答案： 3解析： 方法一本题只要求对坐标y 的曲线积分，本题中的积分 弧段L （图6）由三条有向直线段构成，要分别求出三条 线段上的曲线积分再求和.先看1:1(:20)23x y L x +=→，即1(:203(1)):2xL x y ⋅-→=，有 1d L x y ⎰02332d()x x -=⎰ 023()d 2x x =⋅-⎰203()d 2x x =⋅--⎰23d 2x x =⎰ 2203()22x =⋅3(40)34=⋅-=. 再看20:(:30)x L y y y=⎧→⎨=⎩，有2d L x y ⎰030d 0y ==⎰.最后看3:(:02)0x xL x y =⎧→⎨=⎩，有3d L x y ⎰20d00x ==⎰.综上所述，d Lx y ⎰123d d d 3003L L L x y x y x y =++=++=⎰⎰⎰.（说明：从本题可以看出，在坐标轴上求曲线积分比在其他积分弧段上求曲线积分简便.）图6方法二 利用格林公式—— 本题只要求对坐标y 的曲线积分d Lx y ⎰，我们可以记(,)0P x y =，(,)Q x y x =，求得0P y ∂=∂，1Q x ∂=∂，这里P Qy x∂∂≠∂∂. 本题中的积分弧段L 是封闭的，围出了闭区域3{(,)|02,03}2xD x y x y =≤≤≤≤-，如图6（1） 所示，L 是D 的正向边界，容易验证在闭区域D 满足格林公式的条件，根据格林公式，有0d d Lx x y +⎰1()d (10)d 2332DDQ P x y σσσ∂∂=-=-==⋅⋅=∂∂⎰⎰⎰⎰. （从本题来看，用格林公式更简便.）（7）2(2)d L x xy y +⎰，其中L 为上半椭圆22221(0)x y y a b+=≥并取逆时针方向，这里a ，b 为常数且0a >，0b >；答案：243ab解析： 方法一本题只要求对坐标y 的曲线积分，本题中的有向 弧段L 如图7所示.先把上半椭圆22221(0)x y y a b +=≥方程化为参数方程cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩，L 的方向取作逆时针方向，将起点(,0)a 代入参数方程可得对应的0t =，将终点(,0)a -代入参数方程可得对应的π=⎰0π=⎰0π=⎰2a = 图71331(242213421(253n n n n n n π----为偶数为奇数图6 (1)222200cos cos d 2cos sin d a b t t t abt t t ππ=⋅+⋅⎰⎰22220(1sin )d(sin )2cos d(cos )a b t t abt t ππ=--⎰⎰3222200cos 1d(sin )sin d(sin )23ta b t a b t t abπππ=--⎰⎰322200sin (11)(sin )()233t a b t a b ab ππ--=⋅-⋅- 222(2)0023a b a b ab -=⋅-⋅- 240+3ab =.方法二 利用格林公式——本题中的积分弧段L 并不是封闭的，所以 ， 不能直接用格林公式计算，要通过做辅助线， 围出一个闭区域，再利用格林公式计算 .做辅助线1:0(:)L y x a a =-→，与2222:1(0,:)x y L y x a a a b +=≥→-共同围出了闭区域{(,)|,0D x y a x a y =-≤≤≤≤，如图7（1）所示，L 和L 1 是D的正向边界（观察者沿边界走的时候，D 位于其左手边）.本题只要求对坐标y 的曲线积分2(2)d Lx xy y +⎰，我们可以记(,)0P x y =，2(,)2Q x y x xy =+，求得0P y ∂=∂，22Q x y x ∂=+∂，这里P Qy x∂∂≠∂∂. 容易验证在闭区域D 满足格林公式的条件，根据格林公式，有1220d (2)d 0d (2)d LL x xxy y x x xy y +++++⎰⎰()dDDQ Px y σ∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰2(2)d 2LDx xy y +=⎰⎰⎰202(0d d )(20)d(0)aaaax y y x x --=+-+⋅⎰⎰⎰凑微分图7 (1)22(02aay x -=-⎰22222()d 2aab x b a x --=⎰2222d d aaaab b x x x a--=⋅-⎰⎰2、计算d ()d Lx y x y x y +-⎰，其中L 为：（1）抛物线2x y =上从点(0,0)O 到点(1,1)A 的一段弧； （2）从点(0,0)O 到点(1,1)A 的直线段；（3）先沿x 轴从点(0,0)O 到点(1,0)B ，再沿平行于y 轴的直线到点(1,1)A 的折线.答案： （1）1730（2）13 （3）12-解析： （1）本题中的有向弧段2:(:01)L x y y =→ 如图8所示，此时，d ()d Ly y x x y x +-⎰1122020()d()()d y y y y y y =⋅+-⎰⎰112022()()d ()d y y y y y y y =⋅⋅+-⎰⎰1114202d d d y y y y y y =+-⎰⎰⎰52311102523y y y =⋅+-2111752330=+-=.（2）本题中的有向弧段:(:01)L x y y =→ 如图9所示，此时，d ()d Ly y x x y x +-⎰11()d ()d y y y y y y =⋅+-⎰⎰11200d 0d y y y =+⎰⎰31133y ==.图8图923222222422333a ab x ab ab b a ab a -=⋅-⋅=-=.先看:(:01)0OB x xL x y =⎧→⎨=⎩，此时，d ()d OBL x x x y y y +-⎰11()d ()0d 000x x x =⋅+-=⎰⎰.再看1:(:01)BA x L y y y =⎧→⎨=⎩，此时， d ()d Ly y x x y x +-⎰11()d()()111d y y y =⋅+-⎰⎰11000d 1d y y y =+-⎰⎰211111222y y=-=-=-. 综上所述，11d ()d 0()22Lx y x y x y +-=+-=-⎰.说明：上述三个小题中，被积函数都是相同的，起点和终点也是相同的，但是积分弧段不同，在不同积分弧段上求出的曲线积分也不同.从下一节的内容中，我们将会看到，被积函数、起点和终点都相同，但是积分弧段不同时，只要满足特定的条件，在不同积分弧段上求出的曲线积分也会相同.3、单位质点在力F y i x j =+的作用下，由原点(0,0)O 沿抛物线2y x =移动到点(1,1)A ，求变力F 所作的功.答案： 1解析： 本题考查以下知识点——图10（3）本题中的有向曲线L （见图10）由:(:01)0OB x x L x y =⎧→⎨=⎩和1:(:01)BA x L y y y =⎧→⎨=⎩两个部分构成. 先分别求出两条积分弧段上的曲线积分，再求和.沿抛物线2y x =移动到点(1,1)A ，此变力F 所作的功d d LW y x x y =+⎰.本题中的有向弧段2:(:01)L y x x =→如图11所示，此时，d d Lx x y y +⎰1111222d d()d )2(d x x x x x x x x x =+=+⋅⎰⎰⎰⎰123103d 1x x x ===⎰.图114、设力F 的方向沿纵轴负方向，其大小等于作用点的横坐标的平方，求该力作用下质点沿抛物线21x y =-从点(1,0)A 到点(0,1)B 所作的功. 答案： 815-解析： 根据已知条件“力F 的方向沿纵轴负方向，其大小等于作用点的横坐标的平方”，可知F F 的作用下，沿抛物线21x y =-从点(1,0)A 到点(0,1)B y .本题中的有向弧段2:1(:01)L x y y =-→ 如图12所示. 此时，20d d Lx x y -⎰2102(1)d y y =--⎰1240(12)d y y y =--+⎰1112401d 2d d y y y y y =-+-⎰⎰⎰351110235y y y =-+⋅-21813515=-+-=-.图12附录证明：（1）20sin d 2sin d nnx x x x ππ=⎰⎰；（2）20cos d 2cos d nnx x x x ππ≡⎰⎰. 证：（1）根据积分区间的可加性，有22sin d sin d sin d nnn x x x x x x ππππ=+⎰⎰⎰，要证明“20sin d 2sin d nnx x x x ππ=⎰⎰”，只需证明“202sin d sin d nnx x x x πππ=⎰⎰”. 下面就来证明202sind sin d nn x x x x πππ=⎰⎰——左边x t ==令=x 令2202sin d sin d sin d 2sin d nnnn x x x x x x x x πππππ=+=⎰⎰⎰⎰.（2）根据积分区间的可加性，有202cos d cos d cos d nnn x x x x x x ππππ=+⎰⎰⎰，下面就来分析2cos d nx x ππ⎰和20cos d n x x π⎰的关系——x t ==令==x 令综上所述，20cos d 2cos d nn x x x x ππ≡⎰⎰，而是——200202cos d ,cos d 2cos d ,n nn x x n x x x x n πππ⎧=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩⎰⎰⎰当为偶数时当为奇数时.。