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最优化⽅法练习题答案修改建议版本--删减版练习题⼀1、建⽴优化模型应考虑哪些要素 ?答：决策变量、⽬标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停⽌准则。
min f (x)答：针对⼀般优化模型 s.t. g i x 0,i 1,2,L m ，讨论解的可⾏域 D ，若存在⼀点 X * D ，对 h j x0, j 1,L , p于 X D 均有 f(X *) f(X)则称 X *为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列 X (1),X (2),L ,X (K)L ，满⾜ f(X (K 1)) f (X (K))，则迭代法收敛；收敛的停⽌准则有等。
练习题⼆1、某公司看中了例 2.1中⼚家所拥有的 3种资源 R 1、R2、和R 3，欲出价收购(可能⽤于⽣产附加值更⾼的产品) 的对偶问题)。
如果你是该公司的决策者，对这 3 种资源的收购报价是多少？ (该问题称为例 2.1解：确定决策变量对 3种资源报价 y 1,y 2, y 3作为本问题的决策变量。
确定⽬标函数问题的⽬标很清楚——“收购价最⼩” 。
确定约束条件资源的报价⾄少应该⾼于原⽣产产品的利润，这样原⼚家才可能卖。
因此有如下线性规划问题： min w 170y 1 100y 2 150y 35y 1 2y 2 y 3 10 s.t. 2y 1 3y 2 5y 3 18y 1, y 2,y 3 02、研究线性规划的对偶理论和⽅法(包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法) 答：略。
3、⽤单纯形法求解下列线性规划问题：x (k 1) x (k)x (k 1)x (k)x (k) min zx1x2x3minz4x2x3x1 x22x 32x12x2 x32（1） s.t. 2x1x2 x3 3x22x 3x 42 x1x34x2x3x 5 5x 1,x 2,x 3 0x i 0（i 1,2, ,5）解：(1)引⼊松弛变量 x 4， x 5，x 6min z x 1 x 2x30*x 40* x 5 0* x 6x 1 x 22x 3 x4=22x 1 x 2 x 3x5=3x6=4x1, x2, x3, x4, x5, x6 0因检验数σ2<0，故确定 x 2 为换⼊⾮基变量，以 x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量 x 4 作为换出的基变量因检验数σ3<0，故确定 x 3 为换⼊⾮基变量，以 x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量 x 5作为换出的基变量。
最优化方法引论作业Revised on November 25, 2020土建类0901 张笑闯最优化方法引论作业经过11周的学习，对最优化方法这门课程有了初步的认识，最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
本章将介绍最优化方法的研究对象、特点，以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。
主要是线性规划问题的模型、求解及其应用――运输问题；以及动态规划的模型、求解、应用――资源分配问题。
用最优化方法解决实际问题，一般可经过下列步骤：①提出最优化问题，收集有关数据和资料；②建立最优化问题的数学模型,确定变量,列出目标函数和约束条件；③分析模型，选择合适的最优化方法；④求解，一般通过编制程序，用计算机求最优解；⑤最优解的检验和实施。
上述 5个步骤中的工作相互支持和相互制约，在实践中常常是反复交叉进行。
结合我们土建类专业，由于如今房地产市场的火爆，我们毕业后极有可能从事这方面工作，下面让我们讨论一下房价的问题。
1商品房的最大利润问题某大型房地产公司投资在全国各地投资建设A和B 两种商品房，每周建筑工人工作时间为60小时，建设 A类型房平均每栋需要4周，建设 B类型房子每栋需要6周．根据市场预测，A、B两种类型房子平均销售量分别为每两年9、8栋，它们销售利润分别为、亿元。
在制定生产计划时，经理考虑下述4项目标：首先，产量不能超过市场预测的销售量；其次，工人加班时间最少；第三，希望总利润最大；最后，要尽可能满足市场需求, 当不能满足时, 市场认为B的重要性是A的2倍．试建立这个问题的数学模型．讨论：若把总利润最大看作目标，而把产量不能超过市场预测的销售量、工人加班时间最少和要尽可能满足市场需求的目标看作约束，则可建立一个单目标线性规划模型设决策变量x1，x2分别为产品A，B的产量Max Z = 12x1 + 18x24x1 + 6x2 60x1 9x1 8x1 , x2 0容易求得上述线性规划的最优解为(9,4)T 到 (3,8)T 所在线段上的点, 最优目标值为Z* = 180, 即可选方案有多种.在实际上, 这个结果并非完全符合决策者的要求, 它只实现了经理的第一、二、三条目标，而没有达到最后的一个目标。
《动态最优化基础》第3章 课后习题3.2.1（P88）对于泛函V [y ]=∫(t 2+y′2)dt T0，欧拉方程的通解是y ∗(t )=c 1t +c 2（参见联系2.2中问题1）（a ）如果初始条件是y (0)=4且终结条件是T =2，y T 是自由的，那么找出极值线。
（b ）画出一个图形来显示初始点、终结点和极值线。
解：由F =t 2+y′2可知，F y′=2y′。
根据垂直终结线的横截条件可知[F y′]t=T =0，即y ′=0。
又由于y 沿着极值曲线y ∗(t )=c 1t +c 2取值，故有y ∗′(t =2)=c 1=0。
根据初始条件y (0)=4可得y ∗(t =0)=c 2=4。
故极值曲线为：y ∗(t )=4。
图形中显示初始点、终结点和极值曲线如下：ytt=2A3.2.3（P88）令问题1中的终结条件改变为y T =5，T 是自由的 （a ）找出新的极值线。
最优终结时间T ∗是多少？ （b ）画出一个图形来显示初始点、终结点和极值线。
解：根据水平终结线的横截条件可知[F −y′F y′]t=T =0，即T2+y′2−y′∗2y′=0。
亦即y∗′(t=T)=c1=T。
根据初始条件y(0)=4可得y∗(t=0)=c2=4。
又由终结条件y T=5可得y T=c1T+c2=T2+c2=5，解得T∗=1。
故极值曲线为：y∗(t)=t+4。
图形中显示初始点、终结点和极值曲线如下：yA=4tT*=1《动态最优化基础》第4章 课后习题4.2.1（P110）对于练习2.2的问题1（V [y ]=∫(t 2+y ′2)dt T0，y (0)=0，y (1)=2）（a ）用行列式检验（4.9）检查函数F 是否关于(y,y ′)是严格凹/凸的。
（b ）如果此检验失败，利用行列式检验（4.12）或特征根检验来检查凹性/凸性。
（c ）最大化/最小化的充分条件满足吗？ 解：（a ）由被积函数F =t 2+y ′2可得：F y =0，F y′=2y ′，F y ′y ′=2，F yy =F yy′=F y′y =0故行列式|D |=|2000|，|D 1|=2，|D 2|=0。
一、选择题1．(2008年高考江苏卷)下列关于植物生长素生理作用的叙述中，正确的是()A．顶芽生长占优势时侧芽生长素的合成受到抑制B．燕麦胚芽鞘中生长素的极性运输与光照方向无关C．草莓果实的自然生长过程与生长素无关而与乙烯有关D．温特的实验中生长素从胚芽鞘尖端基部进入琼脂块的方式是主动运输解析：选B。
本题考查生长素的运输特点及激素的综合作用。
生长素从胚芽鞘尖端基部进入琼脂的方式为扩散，而在植物体内的极性运输过程是与光照无关的主动运输，顶芽产生的生长素运输到侧芽并积累，从而导致了顶端优势现象。
植物的生长发育过程受多种激素综合调节。
2．(原创题)我们常用雨后春笋来形容一些事物的快速成长。
其实不仅竹子长得快，而且与其同类的小麦、水稻、高粱等多种植物均能快速成长。
他们的快速成长主要是完成于拔节时期，华北老农常用“清明拔三节”来描述小麦在清明时节迅速长高的情形。
小麦、水稻等植物在拔节期体内含量相对增高的激素是()A．生长素B．赤霉素C．细胞分裂素D．乙烯解析：选B。
小麦等禾本科植物的拔节，主要是靠细胞伸长来完成的，而赤霉素的主要功能就是促进细胞伸长，故B为正确答案。
3．(2010年合肥质检)20世纪30年代，科学家发现单侧光能引起某些植物体内生长素分布不均匀；20世纪80年代科学家发现单侧光能引起某些植物体内抑制生长的物质分布不均匀。
现有一种植物幼苗，为了探究该幼苗向光生长的原因，将其直立生长的胚芽尖端切下，放到琼脂块上并用单侧光照射，如图。
下列结果及判断正确的是()①当a、b两侧生长素含量基本相等时，能够确定该幼苗向光生长的原因②当a、b两侧生长素含量基本相等时，不能确定该幼苗向光生长的原因③当a侧生长素含量比b侧高时，能够确定该幼苗向光生长的原因④当a侧生长素含量比b侧高时，不能确定该幼苗向光生长的原因A．①③B．②④C．②③D．①④解析：选D。
题干信息中给出了单侧光引起植物向光生长的两种原因，由图可知，若检测到a、b两侧生长素含量基本相等，可以判断单侧光能引起抑制生长的物质分布不均匀，导致植物向光生长；若检测到a侧生长素含量比b侧高，引起植物向光生长的原因可能是生长素分布不均匀，也可能与植物体内抑制生长的物质分布不均匀有关，因此不能确定。
练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。
答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。
练习题二1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。
如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。
解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。
确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。
确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。
发动机空燃比控制器引言：我主要从事自动化相关研究。
这里介绍我曾经接触过的发动机空燃比控制器设计中的优化问题。
发动机空燃比控制器设计中的最优化问题AFR =afm m && (1)空燃比由方程（1）定义，在发动机运行过程中如果控制AFR 稳定在14.7可以获得最好的动力性能和排放性能。
如果假设进入气缸的空气流量am &可以由相关单元检测得到，则可以通过控制进入气缸的燃油流量f m &来实现空燃比的精确控制。
由于实际发动机的燃油喷嘴并不是直接对气缸喷燃油，而是通过进气歧管喷燃油，这么做会在进气歧管壁上液化形成油膜，因此不仅是喷嘴喷出的未液化部分燃油会进入气缸，油膜蒸发部分燃油也会进入气缸，如方程（2）。
这样如何更好的喷射燃油成为了一个问题。
1110101122211ττττ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦f ff v X x x u x x X x y =x && (2)其中12、,==ff fv x m x m &&=f y m &,=fi u m &这里面，表示油膜蒸发量ff m &、fvm &表示为液化部分燃油、fim &表示喷嘴喷射的燃油，在τf 、τv 、X 都已知的情况下，由现代控制理论知识，根据系统的增广状态空间模型方程（3）00000011011011114.70ττττ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦ff v v a X X u +q q m y q x x x &&& (3)其中()014.7⎰taq =y -m&。
由极点配置方法，只要设计控制器方程（4），就可以使得y 无差的跟踪阶跃输入，那么y 也能较好的跟踪AFR *am /&。
最优化方法及其Matlab程序设计习题作业暨实验报告学院：数学与信息科学学院班级：12级信计一班姓名：李明学号：1201214049第三章 最速下降法和牛顿法一、上机问题与求解过程1、用最速下降法求212221216423),(x x x x x x f --+=的极小值。
解：仿照书上编写最速下降法程序如下：function [x,val,k]=grad(fun,gfun,x0) %功能：用最速下降法求解无约束化问题：min f(x) %输入：x0是初始点，fun,gfun 分别是目标函数和梯度 %输出：x,val 分别是近似嘴有点和最优值，k 是迭代次数 maxk=5000;rho=0.5;sigma=0.4;%一开始选择时选择的rho 和sibma 选择的数据不够合理，此处我参照书上的数据编写数据 k=0;epsilon=1e-5; while (k<maxk)g=feval(gfun,x0); %计算梯度 d=-g;%计算搜索方向if (norm(d)<epsilon),break ;end m=0;mk=0; while (m<20)%Armijo 搜索if (feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d) mk=m;break ;%直接利用Armijo 搜索公式,一开始的时候没有记住公式编写出现错误 end m=m+1; endx0=x0+rho^mk*d; k=k+1; end x=x0;val=feval(fun,x0) %求得每一个的函数值然后仿照书上建立两个目标函数和梯度的M 文件：function f=fun(x)f=3*x(1)^2+2*x(2)^2-4*x(1)-6*x(2); function g=gfun(x) g=[6*x(1)-4,4*x(2)-6]';选取初始点为']0,0[，调用函数程序，得出最小极值点为']500.1,6667.0[，极小值为8333.5-，在界面框中输入的程序如下：[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0) val = -5.8333 x =0.6667 1.5000 val =-5.8333 k = 10从结果可以看出迭代次数为10次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。
2、分别用牛顿法和阻尼牛顿法求解函数21222121484),(x x x x x x f --+=的极小点。
解： 牛顿法：改编书上的阻尼牛顿法，将Armijo 线性搜索公式去掉，改编为牛顿法，其中程序为：function [x,val,k]=netwn(fun,gfun,Hess,x0) %功能：用牛顿法求解无约束问题：min f(x) %输入：x0是初始点，fun,gfun,Hess 分别是求 % 目标函数值，梯度，Hesse 矩阵函数%输出：x,val 分别是近似点最优解和最优质，k 是迭代次数 maxk=500;%因为是牛顿法，感觉不能简单直接找出最佳数值，所以需要加大迭代次数 k=0;epsilon=1e-5; while (k<maxk)gk=feval(gfun,x0);%计算梯度 Gk=feval(Hess,x0);%计算Hess 矩阵 if (norm(gk)<epsilon),break ;end dk=-Gk\gk;%计算搜索方向 x0=x0+dk;%直接根据前面的算法框架，得出上面迭代步骤 k=k+1; end%只是将阻尼牛顿法，简单的删去Armijo 搜索公式 x=x0;val=feval(fun,x);然后仿照书上建立两个目标函数和梯度的M 文件：function f=fun(x)f=4*x(1)^2+x(2)^2-8*x(1)-4*x(2);function g=gfun(x)g=[8*x(1)-8,2*x(2)-4]';最后仿照书上建立Hess矩阵的M文件：function He=Hess(x)n=length(x);He=zeros(n,n);He=[8,0;0,2];选取初始点为']0,0[，调用函数程序，得出最小极值点为']2,1[，极小值为8 ，在界面框中输入的程序如下：x0=[0 0]';x,val,k]=netwn('fun','gfun','Hess',x0)x =12val =-8k =1从结果可以看出迭代次数为10次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。
下面看阻尼牛顿法：阻尼牛顿法：仿照书上编写程序并结合Armijo线性搜索步长，有算法程序如下：function [x,val,k]=znetwn(fun,gfun,Hess,x0)%功能：用牛顿法求解无约束问题：min f(x)%输入：x0是初始点，fun,gfun,Hess分别是求% 目标函数值，梯度，Hesse矩阵函数%输出：x,val分别是近似点最优解和最优质，k是迭代次数maxk=100;rho=0.50;sigma=0.4;k=0;epsilon=1e-5;while(k<maxk)gk=feval(gfun,x0);%计算梯度Gk=feval(Hess,x0);%计算Hess矩阵dk=-Gk\gk;%计算搜索方向if(norm(gk)<epsilon),break;end%检查终止准则m=0;mk=0;while(m<20)if(feval(fun,x0+rho^m*dk)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*gk'*dk)mk=m;break ; end m=m+1; endx0=x0+rho^mk*dk; k=k+1; end%Armijo 搜索公式简单的加入牛顿算法中，便得到阻尼牛顿法 x=x0;val=feval(fun,x);两个目标函数、梯度的M 文件和Hess 矩阵的M 文件与牛顿法的相同，做题时直接在源程序上进行改编。
选取初始点为']6,4[，调用函数程序，得出最小极值点为']2,1[，极小值为8-，在界面框中输入的程序如下：x0=[4 6]';[x,val,k]=netwn('fun','gfun','Hess',x0) x = 1 2 val = -8 k = 1从结果可以看出迭代次数为1次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。
3、用最速下降法程序求函数2214121)2()2()(x x x x x f -+-=的极小点，取初始点为T x )3,0(0=。
解：运用上面第一题的程序，建立两个目标函数和梯度的M 文件：function g=gfun(x)g=[4*(x(1)-2)^3+2*(x(1)-2*x(2)),-2*(x(1)-2*x(2))]'; function f=fun(x)f=(x(1)-2)^4+(x(1)-2*x(2))^2;在对话框中输入语句，计算结果为]0075.1,0151.2[。
输入界面语句如下：x0=[0 3]';[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0) val =5.1443e-08 x = 2.0151 1.0075 val = 5.1443e-08 k = 21864、用牛顿法程序求Rosenbrock 函数212212)1()(100)(-+-=x x x x f 的极小点，取初始点为t x )1,2.1(0-=。
解：利用上面一道题的牛顿法程序，两个目标函数、梯度的M 文件和Hess 矩阵的M 文件分别为：function f=fun(x)f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(x(1)-1)^2; function g=gfun(x)g=[200*(x(2)-x(1)^2)*2*x(1)+2*(x(1)-1)*x(1),200*(x(2)-x(1)^2)]'; function He=Hess(x) n=length(x); He=zeros(n,n); He=[-400,400*x(1); 400*(1),200]选取初始点为t x )1,2.1(0-=，调用函数程序，得出极小极值点为']7778.77,8422.8[-，极小值为4648.113，在界面框中输入的命令如下： >> x0=[4 6]';>> [x,val,k]=netwn('fun','gfun','Hess',x0) He = 1.0e+03 *-0.4000 -3.5265 0.4000 0.2000 x = -8.8422 77.7778 val = 113.4648 k = 500从结果可以看出迭代次数为500次，已经达到最大迭代次数，结果不可靠。
二、实验结果与心得1、通过第一题与后面两道题比较可以得出，在寻去极小值点的时候最速下降法没有牛顿法收敛的速度快。
2、通过第二题可以比较得出，牛顿法没有阻尼牛顿法收敛到最佳极小值点的速度快，迭代次数少，这与题中的线性搜索是离不开的，但是两种方法测结果形同，相差的只是时间上的区别。
3、通过做第三题的时候可以得出，在做含有高次指数幂函数时候，牛顿法搜索极小值显然有些速度较慢，迭代次数明显比指数一次的时候要多。
