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第7讲函数连续及运算2009

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《函数的连续》课件

《函数的连续》课件
在闭区间上的连续函数一定取得最大值和最小值。
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。

高等数学——连续函数的运算与性质

高等数学——连续函数的运算与性质

连续函数的运算与性质一、基本内容1. 连续函数的和、差、积、商的连续性：连续函数的和、差、积、商仍然连续。

2. 复合函数的连续性：设)(x u ϕ=在点0x 连续, 且00)(u x =ϕ, 而)(u f y =在点0u u =连续, 则)]([x f ϕ在点0x 也连续。

3. 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.4. 闭区间上连续函数的性质：1）最值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

2）有界性定理：在闭区间上连续的函数一定有界。

3）零点定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号，则在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少存在一点ξ（b a <<ξ），使0)(=ξf 。

4）介值定理：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值A a f =)(及B b f =)(，则对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间),(b a 至少有一点ξ（b a <<ξ），使C f =)(ξ（b a <<ξ）5）推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。

二、学习要求1. 了解初等函数的连续性。

2. 知道在闭区间上连续函数的性质。

三、基本题型及解题方法题型1 求初等函数在其定义区间内某点的极限解题方法：只需求初等函数在该点的函数值。

即)()(lim 0→0x f x f x x =, （∈0x 定义区间）【例1】 求极限：52lim20+-→x x x ； 解：因为 52)(2+-=x x x f 是初等函数，而0=x 是定义区间内的点，所以 52lim 20+-→x x x =5500=+-【例2】 求下列极限：（1）xx x sin ln lim 0→； （2）x x e 1lim ∞→。

解：（1）x x x sin ln lim 0→=x x x sin lim ln 0→=1ln =0 （2）x x e 1lim ∞→=x x e 1lim ∞→=0e =1 题型2 利用闭区间上连续函数的性质证明一些相关问题，如讨论方程的实根，函数的有界性等解题方法：一般解题步骤1）作辅助函数2）寻找闭区间，使辅助函数在该区间端点处的值异号，利用零点定理。

第1-7讲 连续

第1-7讲 连续

x0 为f ( x) 的连续点(continuous point).
令x=x0 +x, 则 y = f (x) − f (x0 )
当 x → 0 时 ， x → x0,
故上述定义等价于
定义2: 设函数
在
内有定义, 若
则称函数 在 x0 处连续.
可见 , 函数 在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
(2)振荡间断点 : 当
时，f(x)的值来回振荡
例5 求间断点并判断类型.
解 f ( x)在x = 0处无定义，
x = 0是f ( x)的间断点. 又 lim sin x = 1
x→0 x
x = 0是f ( x)的可去间断点.
解 lim f ( x) = lim x2 − 1 = 2, 且f (1) = 1
x→0−
x→0−
lim f (x) = lim(2x − b) = −b
x→0+
x→0+
又 f (x)在x=0处连续，
lim f (x) = lim f (x)
x→0−
x→0+
故 b = −1
4.连续函数与连续区间
在开区间上每一点都连续的函数,叫做在该区 间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
(
x
)在x0处的左极限存在且
lim
x→ x0−
f (x) =
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处左连续(left − hand continuity);
若函数f
(
x
)在x0处的右极限存在且
lim
x→ x0+
f (x) =
f ( x0 ),

《函数连续性》课件

《函数连续性》课件

02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
总结词
极限存在准则
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函 数在该点连续。
总结词
四则运算连续性
详细描述
函数的四则运算保持连续性，即两个连续函数进行 加、减、乘、除运算后仍为连续函数。
复合函数连续性
总结词
详细描述
复合函数在某点连续，当且仅当内外函数在该点都连续 。
《函数连续性》ppt课 件
contents
目录
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
总结词
描述函数在某点或某范围内的极限状 态
详细描述
函数在某一点或某范围内的极限状态 ，如果函数在这一点或这个范围内的 极限值等于该点的函数值，则函数在 该点或该范围内连续。
详细描述
一致连续性是指在函数的整个定义域内，对 于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使 得当|x'-x''|<δ时，有|f(x')-f(x'')|<ε。也就是 说，无论x'和x''在定义域内取何值，只要它
们足够接近，函数值的变化就会足够小。
紧致性定理
总结词
紧致性定理是函数连续性的一种重要性质，它表明在闭 区间上的连续函数必定可以取到其最大值和最小值。
函数连续性的几何意义
总结词
表示函数图像在某点或某范围的连续变化
详细描述
函数连续性的几何意义可以理解为函数图像在某一点或某范围内没有间断、断裂或跳跃，图像平滑过 渡。
函数连续性的性质

高等数学第七节初等函数连续

高等数学第七节初等函数连续

五、连续的应用举例
1.利用函数的连续性求极限
f(x)为初等函数 x0 定义区间
lim xx0
f
(x)
f (x0 )
例1 求 lim ln sin x
解
x 2
y ln sin x是初等函数, 是其定义域内一点，
2
lim lnsin x lnsin
x
2
0
2
2、求函数的连续区间
例2
求函数y
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
y
y f (x)
oa
2
y
M
B
C y f (x)
a
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
1 b x m
定理 2 (介值定理)如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，m 与M 分别为 f (x)在闭区间[a,b]上的最小值与最大值，则对于 介于m与M 之间的任一实数c(m c M )，至少存在一点
(a b),使得 f ( ) c.
定理 2(零点定理) 如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，
且 f (a) 与 f (b) 异 号 ， 则 在 (a ,b )内 至 少 有 一 点 ， 使 得 f ( ) 0.
y
y f (x)
ao
1 2 3 b x
例5 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
初等函数的连续性
一、 基本初等函数在定义域内是连续的. 二、四则运算的连续性
定理 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)

第1-7讲函数的间断点连续函数的运算及初等函数的连续性

第1-7讲函数的间断点连续函数的运算及初等函数的连续性

在 x x0 处连续，且 g(x0 ) u0 ，而函数 y f u 在点 u u0 处连续，则复合函数
y f [g(x)] 在点 x x0 处连续．
证明将上面定理中令 u0 g(x0 ) 即得． 以上两定理我们可以推广到有限次复合的情形．
例5 讨论函数 y sin 1 在 0,1 上的连续性．
x
解 1 在 0,1 上连续， sin u 在 1, 上连续，故函数 y sin 1 在 0,1 上连续
x
x
借助以上各定理，我们不难得到．
■四 初等函数的连续性
利用连续函数的定义和以上各定理，我们可以一一证明五类基本初等函数都是连续的，
再由以上各定理，我们可得：
一切初等函数在其定义区间内都是连续的．
xx0
u u0
……（2）
（1）式说明 lim 与 f 可以交换符号次序．
（2）式则说明可以用中间值作代换．
这样 lim x 1 lim x 1 1
x2
x2
再令上面定理中的 u0 g(x0 ) 得连续复合函数定理： 定理 4 设函数 y f [g(x)] 由函数 y f (u) 与 u g(x) 复合而成，U (x0 ) Df g ．若函数 u g(x)
如：1． lim 1 x2 1；2． lim 1 x2 1
x0
x5
x
26 1 ；3． lim sin x
5
x x
2
1
2
2
到此为止，我们求极限的初等方法就介绍完了，其它方法以后再作介绍．我们所用的方
法通常有：
1．用连续性（首先考虑的方法）
2．利用等价无穷小代换（一种简便的方法）
3．利用无穷小与有界量的积（绝处逢生）

函数的连续性(课件

函数的连续性(课件
数学上，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值为$f(x_0)$，即 $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称$f(x)$在点$x_0$处连续。
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指，对于该区间内的任意一点，函数在该点都连续。如 果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
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闭区间上的连续函数满足中值定理， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值相等，则该函数在这个区间内 至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值异号，则该函数在这个区间内 至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小 的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2，当x1趋近于x2时，函数值也趋近于 相同值，则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质， 它表明函数在定义域内的任意两点之间的 变化都是均匀的。一致连续的函数在定义 域内不会出现剧烈的波动或间断，因此其 性质比较稳定。这个性质在解决一些数学 问题时也非常有用，例如求解函数的极限 等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等 式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手 段，将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系

高等数学连续函数的运算

高等数学连续函数的运算

分析
根据题目要求，选择合适的连续函数 性质（如介值性、一致连续性等）， 然后构建辅助函数进行证明或求解。
03 导数在连续函数运算中应 用
导数概念及计算方法回顾
01
02
03
导数的定义
导数描述了函数在某一点 的变化率，即函数值随自 变量变化的快慢程度。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导数 公式、导数的四则运算法 则、复合函数的求导法则 等。
能的极值点$x=1/e$ （不在区间内，舍去）， 接着通过判断$f'(x)$在 区间$[1,e]$上的符号变 化情况得出$f(x)$在区 间$[1,e]$上单调递增， 最后比较区间端点处的 函数值得出最大值和最
04 积分在连续函数运算中应 用
积分概念及计算方法回顾
积分的定义
积分是微积分学与数学分 析里的一个核心概念，通 常分为定积分和不定积分 两种。
$f'(x)=0$求出可能的极 值点$x=1$，最后通过 判断$f'(x)$在$x=1$附 近的符号变化情况得出 $f(x)$在$x=1$处取得
极小值。
例题2
求函数$f(x)=xln x$在 区间$[1,e]$上的最大
值和最小值。
解答
首先求出函数$f(x)$的 导数$f'(x)=ln x + 1$， 然后令$f'(x)=0$求出可
积分的计算方法
包括换元积分法、分部积 分法、有理函数积分法等。
积分的几何意义
定积分可以表示平面图形 的面积、空间立体的体积 等。
积分在求解连续函数面积、体积问题中应用
平面图形的面积
通过定积分可以求解由连续曲线与直线所围成的 平面图形的面积。
空间立体的体积

第7讲函数极限的四则运算及复合函数的极限PPT课件

第7讲函数极限的四则运算及复合函数的极限PPT课件
u u 0
当 0 |u u 0 |时 ,|f(u )a|.
又 x l x i0m (x ) u 0,故对 上 0 ,1 面 0 , 的
当 0 |x x 0 |1 时 ,|u u 0 | |( x ) u 0 | .
设 U ˆ ( x 0 ,2 ) 在 中 ( x ) u 0 ,取 m 1 ,2 } i 则 n ,
分子分母同 时--有理化
lim(2x4)(2x2) x 2( 52x3)2 (x4)
lim2x2lx i2(m 2x2) 2. x 2 52x3 li(m 52x3) 3
x 2
13
例3
求 lim x 1 (x 2 x ). ( ( )) x
解 lim x 1 (x 2 x ) x
lim x 1 (x 2 x )( x 2 x )
x x 0
u u 0
该定理可以推广到其它几种极限过程中去.
10
例设f(x) 1 q,
xp, q
p与q互,质 (即x为有)理
0, x为无.理数
g(u)
1, u0, 0, u0.
l x 0 i f ( x ) m 0 , l u 0 g i ( u ) m 1 ,( x 0 0 u 0 , 0.
f( x ) a a a a a b a,( b 0 ) . g ( x )b bb bbb ( b )
由此你能不能写出极限四则运算公式？ 4
和的极限等于极限的和.
? 乘积的极限等于极限的乘积.
商的极限等于极限的商(分母不为零).
差一点 ! 结论成立的条件.
5
设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则

函数的连续性(课件

函数的连续性(课件

定义：左极限等于右极限等于 函数值
连续函数的另一个定义是左极限和右极限存在且都等于该点的函数值。这意 味着函数在该点处无突变且可以从左右两个方向无限接近结点的函数值。
函数的性质：连续函数与不连 续函数
连续函数具有平滑的曲线，其在定义域内连续。相反，不连续函数会在定义 域上出现断裂、跳跃或间断。
函数的连续性与导数的关系
连续函数具有导数，而不连续函数则未必。导数可以描述函数变化的速率和 斜率。
连续性的局部性质
连续函数具有局部性质，即在定义域上的任何小范围内，函数仍然保持连续。
中值定理
中值定理是连续函数的重要定理之一，它说明在一定条件下，函数在某个区间内的平均变化率等于某一 点的瞬时变化率。
函数的连续性 (课件)
函数的连续性是指函数的某个值与其极限值相等的性质。在个课件中，我 们将介绍函数连续性的定义、性质以及与导数的关系。
什么是函数的连续性？
函数的连续性指的是函数在定义域上没有突变或断裂，可以被描绘为连续的 曲线。连续函数可以无间断地拥有函数值。
定定义：极限存在与函数值相等
连续函数的定义是指函数在某一点的极限存在且等于该点的函数值。换句话说，在函数曲线中那一点没 有突变。

连续函数运算法则

连续函数运算法则

感谢您的观看
THANKS
连续函数的图像具有局部性质，即函数在某一点的性质可以通过 其附近的点的性质来推断。例如，如果函数在某一点连续，则在 该点的附近，函数的值也会接近于该点的函数值。
02
连续函数四则运算法则
加法运算法则
若函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$连续，则它们的和$f(x) + g(x)$也在点$x_0$连续。
连续函数运算法则
目录
• 连续函数基本概念与性质 • 连续函数四则运算法则 • 复合函数连续性判定与运算法则 • 初等函数连续性分析与运算法则 • 分段函数连续性判定与运算法则 • 总结回顾与质
连续函数定义及性质
定义
若函数在某点的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续；若函数在其定义域内每一点都连续，则称该 函数为连续函数。
混淆极限与连续
虽然连续函数在某点的极限值等 于函数值，但并不意味着极限存 在的函数在该点一定连续。
忽视中间值定理的
条件
中间值定理要求函数在闭区间上 连续，且区间端点的函数值不相 等。若忽视这些条件，可能导致 错误的结论。
拓展延伸：非标准分析视角下连续性探讨
非标准分析简介
非标准分析是一种数学分析方法，通过引入无穷小和无穷大等概念，对实数系进行扩展，从而更深入地研究函数的连 续性等性质。
在分段点处，若左右导数存在且相等 ，则函数在该点可导；否则，函数在 该点不可导。
设分段函数$f(x) = begin{cases} x^2, & x leq 1 2x, & x > 1 end{cases}$， 则$f'(x) = begin{cases} 2x, & x leq 1 2, & x > 1 end{cases}$，在$x=1$处， 左右导数存在且相等，因此$f(x)$在 $x=1$处可导。

连续函数与不连续函数的加减乘除

连续函数与不连续函数的加减乘除

连续函数与不连续函数的加减乘除函数是数学中的一个重要概念，可以描述数值之间的关系。

根据函数在特定点处是否连续，可以将函数分为连续函数和不连续函数。

连续函数指的是在定义域上的每个点都存在极限，并且函数在这些点上的极限等于函数在这些点上的函数值。

也就是说，无论我们如何接近函数的某个点，只要我们趋近于该点，函数的值也会趋近于该点处的函数值。

连续函数在图像上没有突变、断裂的现象，可以被连续地画出来。

以一个简单的例子来说明连续函数的加减乘除。

假设有两个连续函数，函数f(x)和函数g(x)。

加法操作指的是将函数f(x)和函数g(x)在每个点上的函数值相加。

减法操作指的是将函数g(x)的函数值从函数f(x)的函数值中相减。

乘法操作指的是将函数f(x)和函数g(x)在每个点上的函数值相乘。

除法操作指的是将函数f(x)的函数值除以函数g(x)的函数值。

连续函数之间的加法、减法、乘法和除法操作具有以下特点：1. 加法操作：对于两个连续函数f(x)和g(x)，它们的和函数h(x)也是连续函数。

这是因为在定义域上的任意点处，h(x)的函数值等于f(x)的函数值加上g(x)的函数值，而函数f(x)和g(x)都是连续函数，所以h(x)的函数值也将连续。

2. 减法操作：对于两个连续函数f(x)和g(x)，它们的差函数h(x)也是连续函数。

这是因为在定义域上的任意点处，h(x)的函数值等于f(x)的函数值减去g(x)的函数值，而函数f(x)和g(x)都是连续函数，所以h(x)的函数值也将连续。

3. 乘法操作：对于两个连续函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数h(x)也是连续函数。

这是因为在定义域上的任意点处，h(x)的函数值等于f(x)的函数值乘以g(x)的函数值，而函数f(x)和g(x)都是连续函数，所以h(x)的函数值也将连续。

4. 除法操作：对于两个连续函数f(x)和g(x)，如果除法的分母g(x)不等于零，并且在定义域上的每个点处，g(x)的函数值不为零，则它们的商函数h(x)也是连续函数。

连续函数与不连续函数的加减乘除

连续函数与不连续函数的加减乘除

标题：深度探讨连续函数与不连续函数的加减乘除导语：在数学的世界里，连续函数与不连续函数是一对重要的概念。

它们在数学分析、微积分、实分析等领域都有着广泛的应用。

本文将从连续函数与不连续函数的定义、特性出发，深入探讨它们在加减乘除运算中的性质和应用。

一、连续函数与不连续函数的定义连续函数和不连续函数是数学分析中的两个重要概念，它们的定义对于理解和运用这些函数至关重要。

根据实际运用，我们得出以下定义：1. 连续函数的定义对于实数域上的函数 f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε成立，则称函数 f(x) 在点 x0 处连续。

就是函数图像在不出现跳跃或者间断的情况下能够一气呵成地画出来。

2. 不连续函数的定义与连续函数相对应的是不连续函数。

如果函数在某点 x0 处不满足连续函数的定义，则称其为不连续函数。

不连续函数包括了跳跃间断、可去间断、无穷间断等多种情况。

二、连续函数与不连续函数的加减乘除在数学分析中，通过对连续函数与不连续函数的加减乘除运算，可以得到一些有趣的性质，这些性质在实际问题中有着重要的应用。

下面我们将分别对加减乘除进行深入探讨。

1. 加法连续函数的加法：若 f(x) 和 g(x) 都在点 x0 处连续，则 f(x) + g(x) 也在点 x0 处连续。

不连续函数的加法：若 f(x) 和 g(x) 中至少有一个在点 x0 处不连续，则 f(x) + g(x) 也在点 x0 处不连续。

2. 减法连续函数的减法：若 f(x) 和 g(x) 都在点 x0 处连续，则 f(x) - g(x) 也在点 x0 处连续。

不连续函数的减法：若 f(x) 和 g(x) 中至少有一个在点 x0 处不连续，则 f(x) - g(x) 也在点 x0 处不连续。

3. 乘法连续函数的乘法：若 f(x) 和 g(x) 都在点 x0 处连续，则 f(x) * g(x) 也在点 x0 处连续。

7函数的连续性省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

7函数的连续性省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
y y f (x)
y
f (x0 0) f (x0 ) f (x0 0)
左连续
右连续
o
x
x0 x x
0, 0, 当 x x0 x 时, 有
f (x) f (x0 ) y
函数 y = f ( x )在点 x0 连续旳两种等价定义:
初等函数旳连续性
一、连续函数旳运算法则 二、初等函数旳连续性
一、连续函数旳运算法则
定理1. 在某点连续旳有限个函数经有限次和 , 差 ,
积 , 商 (分母不为 0) 运算旳成果, 仍是一种在该点
连续旳函数. ( 利用极限旳四则运算法则证明)
例如, sin x , cos x 连续 tan x , cot x 在其定义域内连续
定理3. （连续函数旳复合函数是连续旳）
若函数 u (x)在点 x0 连续，且(x0 ) u0,函数 f (u)
在点 u0 连续，则复合函数 f [(x)] 在点 x0 连续，即
lim
x x0
f
[(x)]
f [ lim (x)] x x0
f [(x0 )]
定理3可修改为下面求复合函数极限旳定理
(x) 1 f (x) g(x)
2
f (x) g(x)
根据连续函数运算法则 , 可知 (x), (x) 也在 [a , b]
上连续 .
二、初等函数旳连续性
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数旳复合函数连续

7. 函数连续与连续函数的运算

7. 函数连续与连续函数的运算

在开区间(a, f

且在a点处右连续，在b点处左连续.
lim 或 f 在(a, b)内连续, 且 xa f ( x ) f (a )
x b
lim f ( x ) f (b)
若 f 在[a, b]上连续, 则记作 f ( x ) C[a, b]
4. 连续函数 在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上 若 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 注意：只有在定义域上连续的函数才是连续函数 例如, (多项式函数) 在 又如, 有理分式函数 上连续 . 在其定义域内连续.
) 只要 Q( x0 ) 0 lim lim x ) x0 ( , ), , 都有 P( x)R( P)( x0 R( x0 continue
x x0 x x0
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例1. 证明函数 证: x ( , )
在
内连续 .
x = 0 为第一类跳跃间断点
例8. 设函数 及可去间断点 解:
有无穷间断点
试确定常数 a 及 b . 为无穷间断点, 所以
ex b lim x 0 ( x a )( x 1)
a0
ex b 为可去间断点 , lim 极限存在 x 1 x ( x 1)
lim(e x b) 0
解:
f (1) 0 ,
x1
lim f ( x) lim cos 1 x） 1 0 , （ （ ） x1 x1 需有 2 lim f ( x) lim- x 1 0 , 处连续,
x 1
即 故
f (1) lim f ( x) lim f ( x)
x0
x , f ( x) 0 当 x 1 时, 1 x x , f ( x) 1 当 x 1 时, 1 x
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第7讲 函数连续性概念及运算性质讲授内容一、函数在一点的连续性定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续．例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为2lim →x ()x f =2lim →x ()()2512f x ==+又如，函数()x f ⎩⎨⎧=0,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=∆，称为自变量x (在点0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为:()()000y y x f x x f y -=-∆+=∆注：自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可以是正数，也可以是0或负数．引进了增量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0=∆→∆y x .由于函数在一点的连续性，也可直接用δε-方式来叙述，即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有()()ε<-0x f x f ，则称函数f 在点0x 连续．例1 证明函数()()x xD x f =)在点0=x 连续，其中()x D 为狄利克雷函数．证：由()00=f 及()1||≤x D ，对任给的0>ε，为使()()()ε<≤=-x x xD f x f 0，只要取εδ=，即可按δε-定义推得f 在0=x 连续．可以证明函数x sin 、conx 、nx 等在任意一点0x 连续.定义2 设函数f 在某()()()00x U x U -+内有定义．若()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛==-+→→000lim lim x f x f x f x f x x x x ,则称f 在点0x 右(左)连续．定理4.1 函数f 在点0x 连续的充要条件是：f 在点0x 既是右连续又是左连续．例2 讨论函数 ()⎩⎨⎧<-≥+=0,22,2x x x x x f 在点0=x 的连续性.解：因为()()22lim lim 0=+=++→→x x f x x ，()()22lim lim 0-=-=+-→→x x f x x ，而()20=f ，所以f 在点0=x 右连续，但不左连续，从而它在0=x 不连续. 二、 间断点及其分类函数f 不连续的点0x 称为函数的间断点，若0x 为函数f 的间断点，则必出现下列情形之一： （i ）f 在点0x 无定义或极限()x f x x 0lim →不存在；（ii ）f 在点0x 有定义且极限()x f x x 0lim →存在，但()x f x x 0lim →()0x f ≠1.可去间断点若()x f x x 0lim →A =而f 在点0x 无定义，或有定义但()A ≠0x f ，则称0x 为f 的可去间断点．例如，函数()xxx g sin =，由于()1lim 0=→x g x ，而g 在0=x 无定义，所以0=x 是函数g 的可去间断点．例如，对上述的()x x x g sin =，定义：∧g )(x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,s i n x x x x ，则∧g 在0=x 连续．2．跳跃间断点 若函数f 在点0x 的左、右极限都存在，但()()x f x f x x x x -+→→≠0lim lim 则称点0x 为函数f 的跳跃间断点．例如，对函数()[]x x f = 当n x = (n 为整数)时有[]1lim -=-→n x nx ，[]n x nx =+→lim ，所以在整数点上函数f 的左、右极限不相等，从而整数点都是函数()[]x x f =的跳跃间断点．可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点．第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在．3．函数的所有其他形式的间断点，即函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第二类间断点． 例如，函数x y 1=，当0→x 时，不存在有限的极限，故0=x 是x y 1=的第二类间断点．函数x1sin在点0=x 处左、右极限都不存在，故0=x 是x1sin 的第二类间断点．又如，对于狄利克雷函数()x D ，其定义域R 上每一点x 都是第二类间断点． 三、区间上的连续函数若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续．例如，函数x y x y c y sin ,,===和x y cos =都是R 上的连续函数．又如函数21x y -=在)1,1(-每一点处都连续，在1=x 为左连续，在1-=x 为右连续，因而它在[]1,1-上连续．若函数f 在区间[]b a ,上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[]b a ,上分段连续．例如，函数[]x y =和][x x y -=在区间]3,3[-上是分段连续的．例3 证明：黎曼函数()()⎪⎩⎪⎨⎧===）内无理数，及（，当，为既约真分数为正整数，，当1010 0,1x q p q p qp x q x R ，在），（10内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续．证：设)1,0(∈ξ为无理数．任给0>ε (不妨设21<ε)，满足ε≥q1的正整数q 显然只有有限个(但至少有一个，如2=q )，从而使()ε≥x R 的有理数)1,0(∈x 只有有限个(至少有一个，如21)，设为n x x ,1取()ξξξξδ---=1,,,min 1n x x ，则对任何()()()1,0;⊂∈δξU x ，当x 为有理数时有()ε<x R ，当x 为无理数时()0=x R 于是，对任何()δξ;U x ∈，总有()()()εξ<=-x R R x R ||，所以()x R 在无理点ξ处连续．现设q p 为 )1,0(内任一有理数，取q 210=ε，对于任何正数δ（无论多么小），在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛δ;q p U 内总可以取到无理数())1,0(∈x ，使得()01ε>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-qq p R x R 所以 ()x R 在任何有理点处都不连续． 四、连续函数的性质定理4.4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,⋅±(这里()00≠x g )也都在点0x 连续．显然，推出多项式函数()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()()x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的．同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点都连续．定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续．证：由于g 在0u 连续，对任给的0>ε，存在01>δ，使得当10δ<-u u 时有()()ε<-0u g u g ． 又由()00x f u =及()x f u =在点0x 连续，故对上述01>δ，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有()()100δ<-=-x f x f u u ．于是对任给的0>ε，存在0>δ，当δ<-0x x 时,有()()()()ε<-0x f g x f g ，所以f g 在点0x 连续． 注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表为()()()()0))(lim (lim 0x f g x f g x f g x x x x ==→→．例4 求()211sin lim xx -→．解：()21s i n x -可看作函数()u u g sin =与()21x x f -=的复合．于是得()()()00sin 1lim sin 1sin lim 2121==-=-→→x x x x ．注：若复合函数f g 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而()0x f a ≠或f 在0x 无定义(即0x 为f 的可去间断点)，又外函数g 在a u =连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有))(lim ())((lim 0x f g x f g x x x x →→=，而且对于→x ∞+，-∞→x 或±→0x x 等类型的极限也是成立的．例5 求极限： ()x x x sin 2lim 10-→；()xxx cos 2lim 2-∞→.解：()112s i n l i m 2s i n 2l i m 100=-=-=-→→xxx x x x ；()202c o s lim 2cos 2lim 2=-=-=-∞→∞→xxx x x x .例6求x x x )1ln(lim 0+→，解：xx x )1ln(lim 0+→=x x x 10)1ln(lim +→=])1(lim ln[10x x x +→=1ln =e例7求证11lim0=-→xa x x 例8 求xx x sin 3)21(lim +→，解：xx x sin 30)21(lim +→=xx xx x sin 6210])21(lim[+→=6e一般地。

对于形如)0)(()()(>x u x u x v 的函数（通常称为幂指函数），如果0)(lim >=a x u ，b x v =)(lim ，那么b x v a x u =)()(lim .。