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1-1-4导数与积分的概念及运算、导数的应用

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1 7 解析：∵f(x)＝ x3－x2－ x， 2 2 3 7 ∴f′(x)＝ x2－2x－ . 2 2 1 7 由 f′(x)＝ (3x－7)(x＋1)＝0 得 x＝－1 或 x＝ . 2 3 当 x<－1 时，f(x)为增函数； 7 当－1<x< 时，f(x)为减函数； 3 7 当 x> 时，f(x)为增函数， 3 计算可得 f(－1)＝f(4)＝2，又－a2≤0，由图象可知 f(－a2)≤f(4)． 答案：A
1
2 3 解析：4(1＋2x)dx＝(x＋x2)|4 q 1＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即 a4＝18＝ · 3
1
⇒q＝3. 答案：3 9．(2009· 山东省高考调研卷)已知函数 f(x)＝3x2＋2x＋1，若1 f(x)dx
- 1
＝2f(a)成立，则 a＝________. 解析： 因为 1 f(x)dx ＝ 1 (3x2 ＋ 2x ＋ 1)dx ＝ (x3 ＋ x2 ＋ x)| 1 －1 ＝ 4 ，所以
- 1 - 1
1 2(3a2＋2a＋1)＝4⇒a＝－1 或 a＝ . 3 1 答案：－1 或 3 1 10．(2009· 山东省高考调研卷)曲线 y＝ ＋2x＋2e2x，直线 x＝1，x＝e x 和 x 轴所围成的区域的面积是________．
1 1 2e 2x e 解析：e ( ＋2x＋2e2x)dx＝e dx＋e 2xdx＋e 2e2xdx＝lnx|e 1＋x |1＋e |1 x x
1 当 x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得 h(x)>0. 1－x2
lnx k lnx k 从而当 x>0，且 x≠1 时，f(x)－x－1＋x>0，即 f(x)> ＋ . x－1 x 1 ( ⅱ ) 设 0<k<1 ，由于当 x ∈ 1，1－k 时， (k－ 1)· (x2 ＋ 1) ＋ 2x>0 ，故 1 1 h′(x)>0.而 h(1)＝0，故当 x∈1，1－k时，h(x)>0，可得 h(x)<0，与 1－x2
1 1 1 1
＝e2e. 答案：e2e 三、解答题：本大题共 2 小题，共 25 分．解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． x 11．(12 分)(2011· 北京)已知函数 f(x)＝(x－k)2e k (1)求 f(x)的单调区间； 1 (2)若对于任意的 x∈(0，＋∞)，都有 f(x)≤e，求 k 的取值范围． x 1 2 2 解：(1)f′(x)＝ (x －k ) e k k 令 f′(x)＝0，得 x＝± k 当 k>0 时，f(x)与 f′(x)的情况如下： x f′(x) f(x) (－x，－k) ＋ ↗ －k 0 4k2e－1 (－k，k) － ↘ k 0 0 (k，＋∞) ＋ ↗
y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y－2＝－2x，即 2x＋y－2＝0
y＝x 由 2x＋y－2＝0
2 x＝3 得 2 y ＝ 3
2 2 ，A3，3，
12 1 S△ABO＝ · ＝ . 23 3 答案：A 2． (2011· 辽宁 )函数 f(x)的定义域为 R ， f(－ 1)＝ 2，对任意 x∈ R， f′(x)>2，则 f(x)>2x＋4 的解集为( A．(－1,1) C．(－∞，－1) ) B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
5． (2011· 山东省高考调研卷)已知函数 f(x)＝x3＋bx2－3x＋1(b∈R)在 x ＝x1 和 x＝x2(x1>x2)处都取得极值， 且 x1－x2＝2， 则下列说法正确的是( A．f(x)在 x＝x1 处取极小值，在 x＝x2 处取极小值 B．f(x)在 x＝x1 处取极小值，在 x＝x2 处取极大值 C．f(x)在 x＝x1 处取极大值，在 x＝x2 处取极小值 D．f(x)在 x＝x1 处取极大值，在 x＝x2 处取极大值 解析：因为 f(x)＝x3＋bx2－3x＋1，所以 f′(x)＝3x2＋2bx－3，由题意 可知 f′(x1)＝0，f′(x2)＝0，即 x1，x2 为方程 3x2＋2bx－3＝0 的两根，所 4b2＋36 以 x1－x2＝ x1＋x2 －4x1x2＝ ，由 x1－x2＝2，得 b＝0.从而 f(x) 3
解析：f(x)>2x＋4，即 f(x)－2x－4>0. 构造 F(x)＝f(x)－2x－4，F′(x)＝f′(x)－2>0. F(x)在 R 上为增函数，而 F(－1)＝f(－1)－2x(－1)－4＝0.x∈(－1，＋ ∞)，F(x)>F(－1)，∴x>－1. 答案：B 3．(2011· 烟台市高三年级诊断性检测)设 a＝π(sinx＋cosx)dx，则(a x
1 1 故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤e时，k 的取值范围是－2，0.
alnx b 12．(13 分)(2011· 课标)已知函数 f(x)＝ ＋ ，曲线 y＝f(x)在点(1， x＋1 x f(1))处的切线方程为 x＋2y－3＝0. (1)求 a，b 的值； lnx k (2)如果当 x>0，且 x≠1 时，f(x)> ＋ ，求 k 的取值范围． x－1 x
cosxx－tanx－1 π ＝ .当 x∈(0， )时，x－tanx<0，故 f′(x)<0，所以 f(x) 2 x 2 π 在(0， )上是减函数，故由 x2>x1 得 y2<y1. 2
答案：B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答 题卡上． 7．(2011· 广东)函数 f(x)＝x3－3x2＋1 在 x＝________处取得极小值． 解析：由 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)＝0，解得 x1＝0，x2＝2 当 x<0 时，f′(x)>0，当 0<x<2 时，f′(x)<0，当 x>2 时，f′(x)>0. ∴当 x＝2 时，f(x)有极小值是 f(2)＝23－3×22＋1＝－3. 答案：2 2 8．(2011· 潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列{an}的首项为 ， 3 且 a4＝4(1＋2x)dx，则公比等于________．
－r
r 6－r ， 令 3－r＝2⇒r＝1， 所以展开式中含 x2 项的系数是(－1)rC6 2 ＝(－1)1C1 6
26－1＝－192，故答案选 B. 答案：B 1 7 4．(2011· 山东省高考调研卷)已知函数 f(x)＝ x3－x2－ x，则 f(－a2)与 2 2 f(4)的大小关系为( A．f(－a2)≤f(4) B．f(－a2)<f(4) C．f(－a2)≥f(4) D．f(－a2)与 f(4)的大小关系不确定 )
(2)由(1)知 f(x)＝
lnx 1 ＋ ，所以 x＋1 x
lnx k k－1x2－1 1 . f(x)－x－1＋x ＝ 22lnx＋ x 1－x
k－1x2－1 考虑函数 h(x)＝2lnx＋ (x>0)， x k－1x2＋1＋2x 则 h′(x)＝ . x2 kx2＋1－x－12 (ⅰ)设 k≤0，则 h′(x)＝ 知，当 x≠1 时，h′(x)<0， x2 而 h(1)＝0，故当 x∈(0,1)时，h(x)>0，可得 1 h(x)>0； 1－x2
0
－
1 6 ) 的二项展开式中含 x2 的系数是( x A．192 C．96
0
)
B．－192 D．－96
解析：因为 a＝π(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| π 0＝ (－cosπ＋sinπ)－(－cos0＋sin0)＝2，所以(a x－ 1 6 )＝ x
1 r 6－r 6－r 6－ r 3 2 x－ 6， 则可知其通项 Tr＋1＝(－1)rCr x － ＝(－1)rCr x 62 62 2 2 x
1＋x a －lnx x b 解：(1)f′(x)＝ － 2. 2 x x＋1
1 由于直线 x＋2y－3＝0 的斜率为－ ，且过点(1,1)， 2
f1＝1， 故 1 f ′ 1 ＝－ 2
解得 a＝1，b＝1.
b＝1， ，即a 1 － b ＝－ . 2 2
2
)
＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，由于 x1>x2，所以 x1＝1，x2 ＝－1，当 x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，所以 f(x)在 x1＝1 处取极小值，极 小值为 f(1)＝－1，在 x2＝－1 处取极大值，极大值为 f(－1)＝3. 答案：B π 6． (2011· 合肥市高三第三次教学质量检测)对任意 x1， x2∈(0， )， x >x ， 2 2 1 y1＝ 1＋sinx1 1＋sinx2 ，y2＝ ，则( x1 x2 A．y1＝y2 B．y1>y2 C．y1<y2 D．y1，y2 的大小关系不能确定 解析：设 f(x)＝ 1＋sinx xcosx－sinx－1 ，则 f ′ ( x ) ＝ x x2 )
高考专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的应用
班级________ 姓名________ 时间：45 分钟 分值：75 分 总得分________
一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题给出 的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上． 1．(2011· 全国)曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为( 1 A. 3 2 C. 3 解析： ) 1 B. 2 D．1
题设矛盾． (ⅲ)设 k≥1， 此时 h′(x)>0， 而 h(1)＝0， 故当 x∈(1， ＋∞)时， h(x)>0， 1 可得 h(x)<0，与题设矛盾． 1－x2 综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)，(k，＋∞)；单调递减区间 是(－k，k)． 当 k<0 时，f(x)与 f′(x)的情况如下：

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导数的定义与计算

导数的定义与计算

导数的定义与计算导数是微积分中的重要概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。

本文将介绍导数的定义和计算方法。

一、导数的定义在数学中，导数可以通过极限的方法来定义。

设函数y=f(x)，若函数在点x处的导数存在且有限，则导数表示为f'(x)，它表示函数f(x)在点x处的变化率。

导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。

通过导数，我们可以研究函数的变化趋势、拐点、极值等重要性质。

二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面将介绍一些常见的计算方法。

1. 函数可导情况下的基本运算法则（1）常数法则：若c为常数，则导数(常数)=0。

（2）幂函数法则：若f(x)=x^n，其中n为常数，则导数f'(x)=nx^(n-1)。

（3）指数函数法则：若f(x)=a^x，其中a为常数，则导数f'(x)=a^x*ln(a)。

（4）对数函数法则：若f(x)=log_a(x)，其中a为常数，则导数f'(x)=1/(x*ln(a))。

（5）三角函数法则：若f(x)=sin(x)，则导数f'(x)=cos(x)。

2. 导数的基本运算法则（1）和差法则：若f(x)=u(x)+v(x)，则导数f'(x)=u'(x)+v'(x)。

（2）积法则：若f(x)=u(x)v(x)，则导数f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

（3）商法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则导数f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。

（4）复合函数法则：若f(x)=g(h(x))，则导数f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。

3. 使用导数计算函数的极值为了找到函数的极值点，我们可以先求得函数的导数，然后解方程f'(x)=0。

解得的x值即为函数的极值点。

三、导数的应用导数是微积分的基本工具，它在许多实际问题中具有广泛的应用。

导数的基本概念与性质知识点总结

导数的基本概念与性质知识点总结

导数的基本概念与性质知识点总结导数是微积分中的一项重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在这篇文章中，我们将介绍导数的基本概念以及它的一些重要性质。

一、导数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率，可以想象成函数曲线在该点处的切线斜率。

设函数y=f(x)，在点x=a处有导数的充分必要条件是：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim表示极限。

这个定义告诉我们，导数可以通过极限的方式来求得。

二、用导数求函数的极值导数在微积分中有着重要的应用，其中一个重要的应用是求函数的极值。

一个函数在某一点的导数为零，说明在该点处函数取得极值。

具体而言，如果函数在某一点的导数为零，且在该点的导数的左右两侧的值符号不同，那么该点即为函数的极值点。

三、导数的四则运算导数具有很多运算特性，这使得我们能够更轻松地对函数进行分析。

导数的四则运算规则如下：1. 常数规则：如果c是常数，f(x)=c，则f'(x)=0。

2. 基本初等函数规则：对于基本初等函数来说，我们可以直接通过求导公式得到它们的导数。

例如，对于常数函数f(x)=c，它的导数为0；对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 和差规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的和（差）的导数等于各自函数的导数之和（差）。

即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。

4. 乘积规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

即(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

5. 商法则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数再减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。

导数与微积分解析与归纳

导数与微积分解析与归纳

导数与微积分解析与归纳微积分是数学中的一个重要分支，通过导数的概念与运算，可以求解方程、研究变化率、描述曲线等。

本文将对导数的定义、性质以及微积分的应用进行详细的解析和归纳。

一、导数的定义与性质导数是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

设函数f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0)，可以按照以下方式进行定义：f'(x0) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗其中，lim表示极限运算，h为自变量的增量。

通过求导数可以得到函数在该点的斜率，进而可以研究曲线的变化情况。

导数具有一些性质，比如线性性、乘法法则、链式法则等。

其中线性性质表明对于函数f(x)和g(x)，以及实数a，有如下等式成立： (af(x))' = af'(x)(f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)乘法法则以及链式法则提供了求解复杂函数导数的方法，使得微积分的应用更加灵活多样。

二、微积分的应用微积分的应用广泛，涵盖了数学、物理、经济等众多领域。

以下是微积分的一些常见应用：1. 曲线的切线与法线：导数描述了曲线在某一点的斜率，因此通过求导数可以求出曲线在特定点的切线方程。

切线是曲线在该点的最佳近似线性模型，具有重要的几何和物理意义。

2. 极值与最优化：通过求解函数的导数，可以确定函数的极值点。

当导数为0时，函数取得极值，进而可以对函数进行最优化设计，例如求解成本最小、利润最大等问题。

3. 函数的图像和变化：导数可以用来研究函数的图像特征，包括函数的增减性、凹凸性、拐点等。

通过分析导数的符号及变化情况，可以了解函数的整体变化趋势。

4. 积分与面积计算：积分是导数的逆运算，可以通过积分求解曲线下的面积、弧长等。

微积分的基本定理提供了将积分与导数联系起来的方法，为求解复杂问题提供了便利。

总结导数是微积分的核心概念，通过对导数的定义与性质的理解，我们可以更深入地掌握微积分的原理与方法。

导数的线性运算与导数的性质运用

导数的线性运算与导数的性质运用

导数的线性运算与导数的性质运用导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

在研究导数的性质时，我们需要了解导数的线性运算以及如何运用导数的性质进行问题的求解。

一、导数的线性运算导数的线性运算指的是对于两个函数进行运算后的导数与分别对两个函数求导后的导数相同。

具体来说，如果f(x)和g(x)是可导函数，c是常数。

1. 导数的和的规则若h(x) = f(x) + g(x)，则h'(x) = f'(x) + g'(x)。

2. 导数的差的规则若h(x) = f(x) - g(x)，则h'(x) = f'(x) - g'(x)。

3. 导数与常数的乘积规则若h(x) = c*f(x)，则h'(x) = c*f'(x)。

4. 导数的常数倍规则若h(x) = c*f(x)，则h'(x) = c*f'(x)。

这些规则使得我们可以对复杂的函数进行简化求导，提高求解效率。

二、导数的性质运用1. 切线与法线导数的几何意义之一是函数图像上一点处的切线斜率。

对于函数f(x)，若f'(x0)=k，则点(x0, f(x0))处的切线斜率为k。

此外，切线斜率的相反数为法线斜率，即垂直于切线的直线斜率。

2. 极值点与最值导数的另一个重要性质是用于确定函数的极值点，即函数的最大值和最小值点。

对于函数f(x)，若f'(x)=0，则x为函数的极值点。

极大值对应曲线上的局部最高点，极小值对应曲线上的局部最低点。

3. 凹凸性与拐点函数的导数还可以用于判断函数的凹凸性和拐点。

对于函数f(x)，若f''(x)>0，则函数在该区间上为凹函数；若f''(x)<0，则函数在该区间上为凸函数。

拐点是函数由凹转为凸或由凸转为凹的点，它对应着函数曲线的一种特殊形态。

这些性质的运用使得我们可以更加深入地理解函数的特性和行为。