导数与积分的概念及运算、导数的应用

第一节 导数的概念及运算 定积分 考试要求

1．了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．

5．了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义．

[知识排查·微点淘金]

知识点1 导数的概念

一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limx→0_f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limx→0 ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limx→0ΔyΔx＝limx→0_f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．

[微思考]

f′(x)与f′(x0)有什么．

提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0.

知识点2 导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是：在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

[微思考]

直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？

提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点．

[微提醒] 1．“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．

2．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

高考数学中的微积分基本规则及应用

微积分是一门理论与应用相结合的学科，它在数学中扮演着重要的角色。在高考数学中，微积分是一个非常重要的考试科目，考生需要掌握一些基本规则和应用。本文将详细地介绍高考数学中的微积分基本规则及应用。

一、导数

导数是微积分中的一个基本概念，也是高考数学中的重点考查内容。导数表达了一个函数在某一点的变化率。导数的计算需要使用极限的概念，公式如下：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

导数的定义可以用来求一些函数的变化率，比如说在某一点处的速度、加速度等。同时，导数还可以用来求函数的最值。

二、微分

微分是导数的一个重要应用，也是高考数学中的另一个重点考察内容。微分表示函数f(x)在某一点x=a处的变化量，公式如下：

$$\Delta y=f'(a) \Delta x$$

微分在实际应用中有很广泛的用途，比如说在物理中，微分可以用来表示速度、加速度等。在金融学中，微分可以用来计算较小的利率变化和弹性。

三、积分

积分是微积分中的另一个重要概念，也是高考数学中的重点考察内容。积分表示函数f(x)在某一区间[a,b]上的面积，公式如下：

$$\int_a^b f(x) dx$$

积分有很广泛的应用，比如说在物理中，积分可以用来计算路径、作用力等。在经济学中，积分可以用来计算总利润、总成本等。

四、微积分的应用

微积分有很广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用。

1. 最大值与最小值

导数可以用来求函数的最大值和最小值。如果在x=a处，导数f'(a)=0，则函数f(x)在x=a处取得极值。如果f''(a)>0，则函数f(x)在x=a处取得极小值；如果f''(a)<0，则函数f(x)在x=a处取得极大值。

2. 曲线图形

通过构造函数f(x)的一阶导数和二阶导数可以了解这个曲线图形的一些特征。例如，f'(x)>0表示函数f(x)在这个区间上单调递增，f''(x)<0表示函数f(x)在这个区间上是凸函数，f''(x)>0表示函数f(x)在这个区间上是凹函数。

第一节 变化率与导数、导数的计算

考纲要求：1.了解导数概念的实际背景．

2．理解导数的几何意义．

3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x的导数．

4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为ΔyΔx＝fx1－fx2x1－x0＝fx0＋Δx－fx0Δx.

当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数．通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0 fx1－fx0x1－x0＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)导数的几何意义

函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义．

(3)函数的导函数

一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．

2．导数公式及运算法则

(1)导数公式表

原函数 导函数

f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xn(n∈Q) f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex