进位制的转化

计算机内部是以二进制形式表示数据和进行运算的；计算机内的地址等信号常用十六进制来表示，而人们日常又习惯用十进制来表示数据。

这样要表示一个数据就要选择一个适当的数字符号来规定其组合规律，也就是要确定所选用的进位计数制。

各种进位制都有一个基本特征数，称为进位制的“基数”。

基数表示了进位制所具有的数字符号的个数及进位的规律。

下面就以常用的十进制、二进制、八进制和十六进制为例，分别进行叙述。

一．常用的三种计数制1.十进制(Decimal)十进制的基数是10，它有10个不同的数字符号，即0、1、2、3、…、9。

它的计数规律是“逢十进一”或“借一当十”。

处在不同位置的数字符号具有不同的意义，或者说有着不同的“权”。

所谓的“权”就是每一位对其基数具有不同的倍数。

例如，一个十进制数为123．45＝1×102十2×101十3×100十4×10-1十5×10-2等号左边为并列表示法．等号右边为多项式表示法，显然这两种表示法表示的数是等价的。

在右边多项式表示法中，1、2、3、4、5被称为系数项，而102、101、100、10-1、10-2等被称为该位的“权”。

一般来说，任何一个十进制数”都可以采用并列表不法表不如下：N10＝dn-1d n-2…d1d 0. d-1d-2…d-m其中，下标n表示整数部分的位数，下标m表示小数部分的位数，d是0~9中的某一个数，即di∈(0，1，…，9)。

同样，任意一个十进制数N都可以用多项式表示法表示如下：N10＝dn-1×10n-1十…十d1×101十d 0×100十d-1×10-1十…十d-m×10-m 其中，m、n为正整数，di表示第i位的系数，10i称为该位的权。

所以某一位数的大小是由各系数项和其权值的乘积所决定的。

2.二进制(Binary)二进制的基数是2，它只有两个数字符号，即0和1。

一：简述：进位计数制：是人们利用符号来计数的方法。

一种进位计数制包含一组数码符号和两个基本因素。

（1）数码：用不同的数字符号来表示一种数制的数值，这些数字符号称为”数码”。

（2）基：数制所使用的数码个数称为”基”。

（3）权：某数制每一位所具有的值称为”权”。

二：进制转换的理论1、二进制数、十六进制数转换为十进制数：用按权展开法把一个任意R进制数a n a n-1 ...a1a0 . a-1a-2...a-m转换成十进制数，其十进制数值为每一位数字与其位权之积的和。

a n×R n+ a n-1×R n-1+…+ a1×R 1+ a0×R0+ a-1×R-1+ a-2×R-2 + …+ a-m×R-m2、十进制转化成R进制十进制数轮换成R进制数要分两个部分：整数部分：除R取余数，直到商为0，得到的余数即为二进数各位的数码，余数从右到左排列(反序排列)。

小数部分：乘R取整数，得到的整数即为二进数各位的数码，整数从左到右排列(顺序排列)。

3、十六进制转化成二进制每一位十六进制数对应二进制的四位，逐位展开。

4、二进制转化成十六进制将二进制数从小数点开始分别向左（对二进制整数）或向右（对二进制小数）每四位组成一组，不足四位补零。

三、具体实现1、二进制转换成十进制任何一个二进制数的值都用它的按位权展开式表示。

例如：将二进制数(10101.11)2转换成十进制数。

（10101.11）2＝1*24＋0*23＋1*22＋0*21＋1*20＋1*2-1＋1*2-2＝24＋22＋20＋2-1+2-2＝(21.75)102、十进制整理转换成二进制将十进制整数转换成二进制整数采用“除2取倒余法”。

即将十进制整数除以2，得到一个商和一个余数；再将商除以2，又得到一个商和一个余数；以此类推，直到商等于零为止。

每次得到的余数的倒排列，就是对应二进制数的各位数。

一、任意进位制转换为十进制任何一个进位制的名称，例如二进制、八进制、十六进制、六十进制，其名称中的数字无一不是在十进制中的表示。

所以，m 进制向十进制的转换，就是用各个位置的数值乘以对应的m 的各次幂。

以小数点为分界，可分为左右两部分：（1）小数点左侧为整数部分，从右至左位值依次是m 的0次幂、m 的1次幂、m 的2次幂、……；（2）小数点右侧为小数部分，从左至右位值依次是m 的-1次幂、m 的-2次幂、m 的-3次幂、……。

例如，将二进制数100111.01转换成十进制，就是25.39212021212120202121012345=×+×+×+×+×+×+×+×−−再比如，将十六进制数2A.FC 转换成十进制，就是984375.421612161516011622101=×+×+×+×−−二、十进制转换为任意进制将整数部分与小数部分分开，对于整数部分，采用“除m 取余”法，直至商为零为止；对于小数部分，采用“乘m 取整”法，当小数部分为零时停止（可能永远不会停止）。

例如，将39.62将余数倒序排列，就是390.62：数乘以2的积积的整数部分0.62 1.2410.240.4800.480.9600.96 1.9210.92 1.841………………积的整数部分仍按照正序排列，得到0.62对应的二进制数0.10011…。

所以39.62对应的二进制数为100111.10011…。

这是一个无限小数，这也说明了在一个进位制中是有限小数的数在另一种进位制中未必是有限小数。

三、任意进位制之间的转换任意进位制之间的转换，一般方法是先转换为十进制，再转换为所需要的进制。

但是，将m 进制转换为m n 进制，或m n 进制转换为m 进制时，可以使用简便方法。

1、m 进制转换为m n 进制将整数部分从右至左每n 位分为一组，每组分别转换为十进制在转换为m n 进制；将小数部分从左至右每n 位分为一组，最后若不足n 位则用0补齐，每组分别转换为十进制在转换为m n进制。

进位制概念及应用一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意非零自然数n ,我们有n 0=1。

3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2， ，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ， ．如二进位制的计数单位是02，12，22， ，八进位制的计数单位是08，18，28， ．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+ （） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++ ；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++ ；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．如右图所示:1. 将下面的数转化为十进制的数：()21111 ()21010010 ()54301 ()1608B巩固：请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制。

数的进位制预备知识：进位制的基本概念及p 进制化为10进制。

1.．．我们已知道10进制的记数原理。

如一个10进制数1999=910991101023+⨯+⨯+⨯。

一般地，a b c d e =ed c b a +⨯+⨯+⨯+⨯10101010234（其中a,b,c,d,e 均是0—9的数码，且a 0≠）也就是说每个数都可以按．．．．．．．10．．的方幂形式展开．．．．．．．10进制数有以下特点：（1）“10”是这种进位制的基数，逢．．．．10．．进一．．。

（2）表示一个数需要用0，1，2…9 这10个不同的数码。

（3）数码处在不同的位置（数位）表示的意义不同，如在1999中左边第一个9代表900，而左边第二个9代表90。

说每个数都可以按10的方幂形式展开。

2.按照10进制数的特点，我们可以推广到p 进制数。

设p 是不为1的正整数，我们可以选p 为基数，确定p 进制数。

要求（1） 逢p 进一（2） 在p 进制中有0，1，2…(p-1)共p 个数码。

（3） 每个数都能按p 的方幂展开。

如p=5时就是5进制数，在5进制中5为基数，逢5进一，只使用0，1，2，3，4共5个数码。

每个数都能按5的方幂展开，5进制a 记为（a ）5 ，例（12345）5=453215523+⨯+⨯+⨯ 一． 把一个p 进制数转化为10进制数。

一般的一个p 进制数N=（a a a a n 321）p 转化为10进制数，只要 把N 按p 的降幂形式展开即可，然后安通常的十进制数相加就得到所求的十进制数。

即（a a a a n 321）p =a p a p a n n n +⨯+⨯--2211 例1将)7215(12化为10进制。

例2在哪个进制中，10进制数52记为34？例3如果在某个进位制中4466=⨯，那么在这个进位制中76是10进制中的哪个数？。

进位计数制及其转换方法过程详解数制也称计数制,是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。

按进位的原则进行计数的方法,称为进位计数制。

比如，在十进位计数制中,是按照“逢十进一”的原则进行计数的。

常用进位计数制：1、十进制(Decimal notation)，有10个基数：0 ~~ 9 ，逢十进一；2、二进制(Binary notation)，有2 个基数：0 ~~ 1 ，逢二进一；3、八进制(Octal notation)，有8个基数：0 ~~ 7 ，逢八进一；4、十六进制数(Hexdecimal notation)，有16个基数：0 ~~ 9，A，B，C，D，E，F(A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15) ，逢十六进一。

二、进位计数制的基数与位权"基数"和"位权"是进位计数制的两个要素。

1、基数：所谓基数，就是进位计数制的每位数上可能有的数码的个数。

例如，十进制数每位上的数码，有"0"、"1"、"3",…，"9"十个数码，所以基数为10。

2、位权：所谓位权，是指一个数值的每一位上的数字的权值的大小。

例如十进制数4567从低位到高位的位权分别为100、101、102、103。

因为：?4567＝4x103＋5x 102＋6x 101 ＋7x100?3、数的位权表示：任何一种数制的数都可以表示成按位权展开的多项式之和。

比如：十进制数的435．05可表示为：435．05＝4x102＋3x 101＋5x100＋0x10－1 ＋5x 10－2位权表示法的特点是：每一项＝某位上的数字X基数的若干幂次；而幂次的大小由该数字所在的位置决定。

?三、二进制数计算机中为何采用二进制：二进制运算简单、电路简单可靠、逻辑性强。

1、定义：按“逢二进一”的原则进行计数，称为二进制数，即每位上计满2 时向高位进一。