二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)(1)

二元一次方程组知识点整理、典型例题总结二元一次方程组一、知识点总结1、二元一次方程：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。

2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

3、二元一次方程组：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组。

4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程组解的情况：①无解，例如：{x+y=1,2x+2y=3}；②有且只有一组解，例如：{x+y=1,2x+y=2}；③有无数组解，例如：{x+y=1,2x+2y=2}。

5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。

6、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数；（2）设：找出能够表示题意两个相等关系，并用字母表示其中的两个未知数；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。

二、典型例题分析例1：二元一次方程组{x=2.2x-3m=1}的解，求m、n的值。

例2：若{nx-my=-5.y=3}，求m、n的值。

例3：方程x+3y=10在正整数范围内有哪几组解？例4：将方程10-2(3-y)=3(2-x)变形，用含有x的代数式表示y。

例5：已知{(m+1)x+(n-1)y}/nm=1是关于x、y的二元一次方程，求nm的值。

例6：若方程2m-13n-2x+5y=7是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值。

例7：（1）用代入消元法解方程组{7x+5y=3.2x-y=-4}。

二元一次方程组 类型总结类型一：二元一次方程的概念及求解例（1）．已知（a－2）x－by|a|－1＝5是关于x、y 的二元一次方程，则a＝______，b＝_____．（2）．二元一次方程3x＋2y＝15的正整数解为_______________．类型二：二元一次方程组的求解例（3）．若|2a＋3b－7|与（2a＋5b－1）2互为相反数，则a＝______，b＝______．（4）．2x－3y＝4x－y＝5的解为_______________．类型三：已知方程组的解，而求待定系数。

例（5）．已知是方程组的解，则m2－n2的值为_________．（6）．若满足方程组的x、y的值相等，则k＝_______．练习：若方程组的解互为相反数，则k 的值为 。

若方程组与有相同的解，则a= ，b= 。

类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。

设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法．例（7）．已知＝＝，且a＋b－c＝，则a＝_______，b＝_______，c＝_______．（8）．解方程组，得x＝______，y＝______，z＝______．练习：若2a＋5b＋4c＝0，3a＋b－7c＝0，则a＋b－c =。

由方程组可得，x∶y∶z是（ ）A、1∶2∶1B、1∶（－2）∶（－1）C、1∶（－2）∶1 D、1∶2∶（－1）说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解．当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。

类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法．例（9）．若，都是关于x、y的方程|a|x＋by＝6的解，则a＋b的值为 （10）．关于x，y 的二元一次方程ax＋b＝y 的两个解是，，则这个二元一次方程是练习：如果是方程组的解，那么，下列各式中成立的是 （ ）A、a＋4c＝2B、4a＋c＝2C、a＋4c＋2＝0D、4a＋c＋2＝0类型六：方程组有解的情况。

二元一次方程组常考题型分类综述(超全
面)精编版
前言
二元一次方程组是中学数学中最基础和核心的概念之一。

在数学竞赛和考试中，二元一次方程组也是一个非常重要的考点，掌握二元一次方程组的解法和应用对学生的高考和升学十分有帮助。

本文将对常见的二元一次方程组题型进行分类和综述，希望对读者有所帮助。

题型分类
- 线性方程组
- 二次项系数相等的方程组
- 系数之和或乘积相等的方程组
- 附加条件的方程组
- 同余方程组
- 参数方程组
- 应用题型
题型解答和应用
- 线性方程组：通过高斯消元法、逆矩阵法、克莱姆法则等方
法求解，应用题中多涉及物品单价、销售利润等问题。

- 二次项系数相等的方程组：通过代数公式或配方法解题，应
用题中多涉及面积和周长的相关问题。

- 系数之和或乘积相等的方程组：通过因式分解或构造法解题，应用题中多涉及水桶注水、人和船渡河等问题。

- 附加条件的方程组：通过加条件方程、联立方程组等方法解题，应用题中多涉及全年销售、人口迁移等问题。

- 同余方程组：通过同余方程组的求解和解的唯一性证明等方
法解题，应用题多涉及小学奥数和计数学等问题。

- 参数方程组：通过参数的求解和解的判定等方法解题，应用
题中多涉及直线和曲线等几何问题。

- 应用题型：通过识别题目中的信息、设定变量和方程等方法
解题，如鸡兔同笼、三角形三边长等问题。

结论
掌握二元一次方程组的解法和应用对学习数学和提高综合素质
都是十分有益的。

通过分类和综述常见的二元一次方程组题型，读
者可以更好地理解和应用二元一次方程组，达到事半功倍的效果。

七年级数学下册《二元一次方程组》的8个类型，专治各类应用题！开学后，大家已经正常学习了。

如何检验孩子的学习情况呢？王老师准备了七年级数学下册《二元一次方程组》的8个类型，收藏学习！《二元一次方程组》的8个类型一、实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。

一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：① 方程两边表示的是同类量；② 同类量的单位要统一；③ 方程两边的数要相等。

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。

3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

二、八大典型例题详解01.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。

典型例题思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。

变式拓展思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。

02.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。

典型例题思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。

变式拓展思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。

（二元一次方程组实际应用〔1〕（列方程解应用题的根本关系量（〔1〕行程问题：速度×时间=路程顺水速度=静水速度—水流速度逆（水速度=静水速度—水流速度（2〕工程问题：工作效率×工作时间=工作量（3〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（4〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间（二元一次方程组解决实际问题的根本步骤（1、审题，搞清量和待求量，分析数量关系.〔审题，寻找等量关系〕（2、考虑如何根据等量关系设元，列出方程组．〔设未知数，列方程组〕（3、列出方程组并求解，得到答案．〔解方程组〕（4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．〔检验,答〕（列方程组解应用题的常见题型（1〕和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量（2〕产品配套问题：加工总量成比例（3〕速度问题：速度×时间=路程（4〕航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类（1．顺流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度+水〔风〕速（2．逆流〔风〕：航速=静水〔无风〕中的速度--水〔风〕速（5〕工程问题：工作量=工作效率×工作时间（一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问（题（6〕增长率问题：原量×〔1＋增长率〕=增长后的量，原量×〔1＋减少率〕（=减少后的量（7〕浓度问题：溶液×浓度=溶质（8〕银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率（9〕利润问题：利润=售价—进价，利润率=〔售价—进价〕÷进价×100%（10〕盈亏问题：关键从盈〔过剩〕、亏〔缺乏〕两个角度把握事物的总量（11〕数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示（12〕几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式（13〕年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的【典题精析】例1〔南京市〕某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得x y 50,6x4y230.x15,解得，35.y故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例2〔四川省眉山市〕某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利〔元〕100250450现在该公司收购了140吨蔬菜，该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨〔两种加工不能同时进行〕．〔1〕如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成以下表格：销售方式全部直接全部粗加工尽量精加工，剩余局部销售后销售直接销售获利〔元〕〔2〕如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，那么应如何分配加工时间？解：〔1〕全部直接销售获利为：100×140=14000〔元〕；全部粗加工后销售获利为：250×140=35000〔元〕；尽量精加工，剩余局部直接销售获利为：450×〔6×18〕＋100×〔140－6×18〕=51800〔元〕.〔2〕设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工.由题意，得x y15,6x16y140.x10,解得，y 5.故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.1、小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的3、〔分配问题〕某幼儿园分萍果，假设每人3个，那么剩2个，假设每人4个，邮票各买了多小？解；设共买x枚10分邮票，y枚20分邮票那么有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，题中的两个相等关系：萍果有y个=总枚数1、10分邮票的枚数可列方程为：+20分邮票的枚数题中的两个相等关系：1、萍果总数可列方程为：2、萍果总数=每人分=3个+2、10分邮票的总价+=全可列方程为：部邮票的总价可列方程为：10X+=4、〔金融分配问题〕需要用多少每千克售元的糖果才能与每千克售元的糖果混合成每千克售糖果为x千克，每千克售元的杂拌糖200千克？解：设每千克售元的糖果为y千克元的2、小兰在玩具工厂劳动，做题中的两个相等关系：4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个元的糖果销售总价+=1、每千克售小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时可列方程为：间？2、每千克售元的糖果重量+=题中的两个相等关系：可列方程为：1、做4个小狗的时间+=3时42分可列方程为：2、+做6个小汽车的时间=3时37分可列方程为：二元一次方程组实际应用〔1〕〔李老师〕姓名：一、和差倍分例1、甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，那么乙盒球就是甲盒球数的6倍，假设从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？例2、我区某学校原方案向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原方案的120%，高中学生捐赠了原方案的115%，问初中学生和高中学生各比原方案多捐赠了图书多少册？例3、(2021年浙江省宁波市)为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民“一户一表〞生活用水阶梯式计费价格表的一局部信息：小王家2021年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元,求a,b的值自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a超过17吨不超过30吨的局部b超过30吨的局部例4、为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，方案撤除一局部旧校舍，建造新校舍，撤除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.方案在年内撤除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了方案的80%，而撤除旧校舍那么超过了方案的10%，结果恰好完成了原方案的拆、建总面积.1〕求：原方案拆、建面积各是多少平方米？2〕假设绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？同步练习：1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，假设设男生人数为x人，女生人数为y人，那么可列方程组为2、甲乙两数的和为10，其差为2，假设设甲数为x，乙数为y，那么可列方程组为3、某工厂现在年产值是150万元，如果每增加1000元的投资一年可增加2500元的产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，那么x,y所满足的方程为4、学校购置35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票x张，乙种票y张，那么列方程组，方程组的解是5、一根木棒长8米，分成两段，其中一段比另一段长1米，求这两段的长时，设其中一段为x米，另一段为y，那么列的二元一次方程组为6、〔2021广东肇庆〕顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人，那么到两地旅游的人数各分别为7、〔2021湖北咸宁〕某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，那么入住单人间和双人间各5个共需元．8、在一次足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在足球比赛的4场比赛中得6分，那么这个队胜了场，平了场，负了场。

初学二元一次方程组的应用，好多同学会遇到会解不会列的尴尬局面。

为此，特把二元一次方程组应用中常见的题型整理出来，希望能对同学们有所帮助。

类型一：行程问题例：甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后3小时相遇可列方程求解。

类型二：工程问题例：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8类型三：商品销售利润问题例：李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？分析：由题意得出两个相等关系为：甲、乙两种蔬菜共10亩和共获利18000元，依次列方程组求解类型四：银行储蓄问题例：小明的爸爸为了给他筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问小明的爸爸两种存款各存入了多少元？分析：利用两种方式共计存了4000元钱以及两笔存款三年内共得利息303.75元得出等式求出即可类型五：生产配套问题例：现用190张铁皮做盒，一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子？分析：本题的等量关系是：制盒身的铁皮+制盒底的铁皮=190张；盒底的数量=盒身数量的2倍．据此可列方程组求解类型六：增长率问题例：某城市现有人口42万人．计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人中增加1.1%，这样全市人口得增加1%，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人？分析：根据题意可得出的等量关系为：现有的城镇人口+现有的农村人口=42万，计划一年后城镇人口增加的数量+农村人口的增加的数量=全市人口增加的数量，然后列出方程组求解类型七：数字问题例：一个两位数的十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，求这个两位数字．分析：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，列方程组求解类型八：几何问题用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边分别折3厘米，补较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？分析：设矩形的长为x，宽为y，则可得x-3=y+3，再由矩形的周长为48，可得出2（x+y）=48，联立方程组求解即可类型九：年龄问题例：今年，小李的年龄是他爷爷的1/5,小李发现，12年后，他的年龄变成爷爷的1/3,求今年小李的年龄．分析：通过理解题意可知本题的等量关系，12年之后他爷爷的年龄x1/3=12年之后小李的年龄．根据这两个等量关系，可列出方程，再求解类型十：方案优化问题例：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．试问：同时购进两种不同型号电视机的方案可以有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由．分析：（1）本题的等量关系是：甲乙两种电视的台数和=50台，买甲乙两种电视花去的费用=9万元．依此列出方程求出正确的方案；（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方。

二元一次方程组应用题的常见类型分析1.自由度为1的问题：这类问题的特点是方程组中的未知数个数和方程个数相等，且存在一个未知数可以任意取值。

例如：已知二元一次方程组2x+y=4，3x-2y=1，求解该方程组的解集。

2.自由度为2的问题：这类问题的特点是方程组中的未知数个数和方程个数相等，且方程组中的每个未知数都可以任意取值。

例如：已知二元一次方程组x+y=2，2x+2y=4，求解该方程组的解集。

3. 带参数的问题：这类问题的特点是方程组中的未知数个数大于方程个数，方程组中存在参数。

例如：已知二元一次方程组 x+2y=a，3x+ay=1，求解该方程组中的参数 a。

4.几何问题：这类问题与几何图形有关，方程组中的未知数通常表示几何图形中的一些量。

例如：已知二元一次方程组x+y=5，x-y=1，求解该方程组表示的直线的交点坐标。

5. 混合问题：即同时涉及了自由度为 1 或 2 的问题和参数问题，通常需要综合运用相关知识来解决。

例如：已知二元一次方程组 x+y=a，3x-2y=1，求 a 的取值范围；已知二元一次方程组 x+2y=a，3x-2ay=1，求 a 的取值范围。

二、解题思路对于以上几种类型的问题，可以采用不同的解题思路和方法：1.代入法：将一个方程的未知数表示为另一个方程的未知数的函数，然后代入到另一个方程中求解。

2.消元法：通过加减乘除等操作，将方程组中的一些未知数消去，从而得到只含一个未知数的方程。

3.参数法：将方程组中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，并引入参数，然后对参数进行求解。

4.几何法：将方程组的两个方程表示为几何图形上的两条直线或曲线，通过图像求解交点坐标。

5.综合运用：将几种解题思路和方法进行综合运用，根据具体问题的特点选取合适的解题方法。

三、解题步骤1.分析问题类型，并确定解题思路和方法。

2.分别列出方程组的各个方程。

3.根据所选解题方法进行相应的计算和推导。

4.求解得出方程组的解集或参数的取值范围。

二元一次方程组知识点汇总及练习(超详细)二元一次方程组知识点梳理及经典练知识点1：二元一次方程组的定义1.二元一次方程1）定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

2）三个条件：①方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。

②含有未知数的项的次数都是1.③二元一次方程的左右两边都必须是等式。

3）含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数均为1.即若ax+by=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1，n=1.2.二元一次方程组1）定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。

2）三个条件：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1.③方程组中每个方程均为整式方程。

3.二元一次方程组的解1）定义：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

2）常考题型：①根据定义判断。

②已知方程组的解，求方程组待定系数（将解代入方程）。

③列方程组求相关字母的值。

知识点2：解二元一次方程组1.代入消元法1）定义：通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。

2）用代入消元法解二元一次方程组的步骤：①从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。

②把①中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数。

③解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值。

④把所求得的一个未知数的值代入①中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。

例：解方程组：2x-7y=83x-8y-10=02.加减消元法1）定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

2）加减消元法解方程步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等。

二元一次方程计算题经典题型二元一次方程是初中阶段数学学习中的一个重要内容，掌握二元一次方程的解题方法有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

下面将通过几个经典题型来介绍二元一次方程的计算方法。

题型一：解二元一次方程组给定方程组：$$ \\begin{cases} 2x + y = 5 \\\\ x - 3y = -7 \\end{cases} $$求方程组的解。

解析：首先我们可以通过消元法或代入法解方程组。

通过消元法将第二个方程乘以2，得到2x−6y=−14，然后将第一个方程与这个方程相加消去x项，得到−5y=−9，解得$y = \\frac{9}{5}$，将y的值代入第一个方程，可以得到x的值为1。

因此，方程组的解为x=1，$y=\\frac{9}{5}$。

题型二：应用题某商店销售苹果和橙子，已知苹果每斤售价为3元，橙子每斤售价为2元，现共售出50斤，收入为130元。

设苹果销售量为x斤，橙子销售量为y斤，则可以建立如下方程组：$$ \\begin{cases} 3x + 2y = 130 \\\\ x + y = 50 \\end{cases} $$求苹果和橙子的销售量各是多少？解析：同样可以通过消元法或代入法来解决此题。

通过消元法将第二个方程改写为y=50−x，代入第一个方程中得到3x+2(50−x)=130，解得x=20，再将x的值代入y=50−x，可以得到y=30。

因此，苹果的销售量为20斤，橙子的销售量为30斤。

题型三：图形解题已知二元一次方程x+y+1=0，表示一条直线AB，A(1,−2)和B(−1,0)是直线上的两点，求这条直线的方程。

解析：首先通过已知两个点的坐标可以确定直线的斜率。

直线的斜率k可以表示为$\\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，代入A(1,−2)和B(−1,0)的坐标得到$k =\\frac{0 - (-2)}{(-1) - 1} = 1$。

二元一次方程组题型归纳二元一次方程组，是中学数学课程中的重要组成部分，也是最基础的知识之一，必须掌握四则运算，能够解决二元一次方程组，这是一项必备的基本能力。

因此，归纳二元一次方程组的题型、解题技巧，对于学生在学习、考试中解决类似题型具有十分重要的意义。

二元一次方程组题型可以归纳为以下几类：一、解一元二次方程组解一元二次方程组时，一般可以先求出其解的表达式，然后做图解法求出解的值。

解方程组时，要注意四种情况：1、可解；2、无确定解；3、重根；4、无实根。

二、把不等式转化为相等式当解决一元二次不等式时，要先转换为一元二次相等式，再求解，出现的结果分为三种：1、无解；2、有解；3、无限解。

三、解一元一次方程组解一元一次方程组时，可以用变量只出现一次的方法来求解，或用消元法，以及用矩阵求解。

四、解析方程组解析方程组的方法有两种：1、用代数的方法求出结论；2、用几何的方法求出结论，即先画出方程组的几何图形，再用相应的理论分析方程组的结果。

五、解不定方程组解不定方程组的方法是在赋值原理的基础上，把不定方程组转换为定方程组，然后再求解。

并列方程组并列方程组是一类特殊的方程组，它由两个或以上的方程组组成，要求求出满足所有方程组的共同解。

实际上，二元一次方程组的解题方法并不难，但是在实际解题中，学生往往面临着各种各样的问题，可能因为没有把握解题方法，也可能因为不能够及时解决问题，而无法正确解出题目。

为了解决这一问题，我们可以采用以下技巧：一、抓住关键，熟悉二元一次方程组的性质在解决二元一次方程组题型时，首先要抓住方程组的关键点，了解方程组的解的性质，如正负性、无穷多个解情况等，才能正确的解决题目。

二、动手试题训练只有通过大量的实际试题训练，才能真正掌握解决二元一次方程组的方法。

实践中可以根据不同情况分析，并用已熟悉的方法解决问题，有效提高解题能力。

三、结合几何图形求解结合几何图形，也可以更快准确地求解方程组的解的性质，或者把不等式转化为相等式。

二元一次方程组经典题型归纳二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：解方程组109101027x y x yy x x y+=++⎧⎨+=++⎩，得14xy=⎧⎨=⎩，因此，所求的两位数是14．点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．二、利润问题例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程组0.920%0.810x y yx y-=⎧⎨-=⎩，解得200150xy=⎧⎨=⎩，因此，此商品定价为200元．点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．三、配套问题例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得120502201x y x y +=⎧⎨⨯=⨯⎩，解之，得20100x y =⎧⎨=⎩． 故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即a b=甲产品数乙产品数； （2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：a b c==甲产品数乙产品数丙产品数． 四、行程问题例4 在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千米，B 到C 的距离也是120千米．分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、y 千米/时，则()3120120x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理，得40120x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得8040x y =⎧⎨=⎩， 因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．五、货运问题典例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x 吨，乙种货物装y 吨，则300621200x y x y +=⎧⎨+=⎩，整理，得3003600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得150150x y =⎧⎨=⎩， 因此，甲、乙两重货物应各装150吨．点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．六、工程问题例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得()41505200125y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩，解得337518x y =⎧⎨=⎩. 点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．《二元一次方程组实际问题》赏析【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.【典题精析】例1（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆.由题意，得⎩⎨⎧=+=+.23046,50y x y x 解得，⎩⎨⎧==.35,15y x 故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例2（2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？解：（1）全部直接销售获利为：100×140=14000（元）；全部粗加工后销售获利为：250×140=35000（元）；尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.（2）设应安排x 天进行精加工， y 天进行粗加工.由题意，得⎩⎨⎧=+=+.140166,15y x y x 解得，⎩⎨⎧==.5,10y x 故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.【跟踪练习】为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元. 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？答案：（1）原计划拆、建面积各是4800平方米、2400平方米；（2）可绿化面积为1488平方米.。

二元一次方程组的12种应用题型归纳类型一：行程问题【例1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时。

{(2.5+2)x +2.5y =363x +(3+2)y =36解得{x =6y =3.6 答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为3.6千米/时。

【例2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求这艘船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘船在静水中的速度为x 千米/时，水流速度为y 千米/时。

{14(x +y)=28020(x −y)=280解得{x =17y =3 答：这艘船在静水中的速度为17千米/时，水流速度为3千米/时。

类型二：工程问题【例】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元。

若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。

解：设甲公司每周的工作效率为x ，乙公司每周的工作效率为y 。

{6x +6y =14x +9y =1 解得{x =110y =115 ∴1÷110=10(周) 1÷115=15(周)∴甲公司单独完成这项工程需10周，乙公司单独完成这项工程需15周。

设甲公司每周的工钱为a 万元，乙公司每周的工钱为b 万元。

{6a +6b =5.24a +9b =4.8 解得{a =35b =415此时10a=6(万元) 15b=4(万元) 6>4答：从节约开支的角度考虑，小明家应选择乙公司。

类型三：商品销售利润问题【例1】李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年种植甲、乙蔬菜各多少亩？解：设李大叔去年种植甲蔬菜x 亩，乙蔬菜y 亩。

二元一次方程组考点解析考点一二元一次方程(组)的解的概念【例1】已知2,1xy==⎧⎨⎩是二元一次方程组8,1mx nynx my+=-=⎧⎨⎩的解,则2m-n的算术平方根为( )A.4B.2D.±2【解析】把2,1xy==⎧⎨⎩代入方程组8,1mx nynx my+=-=⎧⎨⎩得28,2 1.m nn m+=-=⎧⎨⎩解得3,2.mn==⎧⎨⎩所以2m-n=4,4的算术平方根为2.故选B.【方法归纳】方程(组)的解一定满足原方程(组),所以将已知解代入含有字母的原方程(组),得到的等式一定成立,从而转化为一个关于所求字母的新方程(组),解这个方程(组)即可求得待求字母的值.变式练习1.若方程组,ax y bx by a+=-=⎧⎨⎩的解是1,1.xy==⎧⎨⎩求(a+b)2-(a-b)(a+b)的值.考点二二元一次方程组的解法【例2】解方程组：1 28. x yx y=++=⎧⎨⎩，①②【分析】可以直接把①代入②，消去未知数x，转化成一元一次方程求解.也可以由①变形为x-y=1，再用加减消元法求解.【解答】方法一：将①代入到②中，得2(y+1)+y=8.解得y=2.所以x=3.因此原方程组的解为3,2. xy==⎧⎨⎩方法二：1, 28. x yx y=++=⎧⎨⎩①②对①进行移项，得x-y=1.③②+③得3x=9.解得x=3.将x=3代入①中，得y=2. 所以原方程组的解为3,2. xy==⎧⎨⎩【方法归纳】二元一次方程组有两种解法，我们可以根据具体的情况来选择简便的解法.如果方程中有未知数的系数是1时，一般采用代入消元法；如果两个方程的相同未知数的系数相同或互为相反数时，一般采用加减消元法；如果方程组中的系数没有特殊规律，通常用加减消元法.变式练习2.方程组 25,7213x y x y +=--=⎧⎨⎩的解是__________. 3.解方程组：3419,4.x y x y +=-=⎧⎨⎩①②考点三 由解的关系求方程组中字母的取值范围【例3】若关于x 、y 的二元一次方程组31,33x y a x y +=++=⎧⎨⎩①②的解满足x+y<2,则a 的取值范围为( )A.a<4B.a>4C.a<-4D.a>-4【分析】本题运用整体思想，把二元一次方程组中两个方程相加，得到x 、y 的关系，再根据x+y<2,求得本题答案；也可以按常规方法求出二元一次方程组的解，再由x+y<2求出a 的取值范围，但计算量大.【解答】由①+②，得4x+4y=4+a,x+y=1+4a ,由x+y<2，得1+4a <2，解得a<4.故选A. 【方法归纳】通过观察两个方程，运用整体思想解题，这是中考中常用的解题方法.变式练习4.已知x 、y 满足方程组25,24,x y x y +=+=⎧⎨⎩则x-y 的值为__________.考点四 二元一次方程组的应用【例4】某中学拟组织九年级师生去黄山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元.”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5 000元.”小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满.”根据以上对话，解答下列问题：(1)平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？(2)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？【分析】（1）根据题目给出的条件得出的等量关系是60座客车每辆每天的租金-45座客车每辆每天的租金=200元，4辆60座一天的租金+2辆45座的一天的租金=5 000元；由此可列出方程组求解；（2）可根据“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满”以及（1）的结果来求出答案.【解答】（1）设平安公司60座和45座客车每辆每天的租金分别为x 元，y 元.由题意，得200,425000.x y x y -=+=⎧⎨⎩解得900,700.x y ==⎧⎨⎩ 答：平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别为900元和700元.（2）5×900+1×700=5 200(元）.答：九年级师生租车一天共需资金5 200元.1.审题：弄清已知量和未知量；2.列未知数，并根据相等关系列出符合题意的方程；3.解这个方程；4.验根并作答：检验方程的根是否符合题意，并写出完整的答.变式练习5.如图是一个正方体的展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面.如果正方体相对两个面上的代数式的值相等,求x,y的值.6.在某次亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽.车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子的丝巾1 200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？复习测试一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )A.212x yy z+=-+=⎧⎨⎩B.53323x yy x-==+⎧⎨⎩C.512x yxy-==⎧⎨⎩D.2371x yx y-=+=⎧⎨⎩2.方程2x+y=9的正整数解有( )A.1组B.2组C.3组D.4组3.方程组32,3211x yx y-=+=⎧⎨⎩①②的最优解法是( )A.由①得y=3x-2，再代入②B.由②得3x=11-2y，再代入①C.由②-①，消去xD.由①×2+②，消去y4.已知21xy==⎧⎨⎩，是方程组4,ax byax by+=--=⎧⎨⎩的解,那么a，b的值分别为( )A.1,2B.1，-2C.-1,2D.-1,-25.A、B两地相距6 km，甲、乙两人从A、B两地同时出发，若同向而行，甲3 h可追上乙；若相向而行，1 h相遇，A.6336x y x y +=+=⎧⎨⎩B.636x y x y +=-=⎧⎨⎩C.6336x y x y -=+=⎧⎨⎩D.6336x y x y +=-=⎧⎨⎩ 6.足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了( )A.3场B.4场C.5场D.6场7.(2014·抚州)已知a 、b 满足方程组22,26,a b a b -=+=⎧⎨⎩则3a+b 的值为( )A.8B.4C.-4D.-88.方程组24,31,7x y x z x y z +=+=++=⎧⎪⎨⎪⎩的解是( )A.221x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩B.211x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩C.281x y z ⎧=-==⎪⎨⎪⎩D.222x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩9.某车间有90名工人,每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个,已知一个螺栓配套两个螺帽,应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为( )A.50人，40人B.30人，60人C.40人，50人D.60人，30人10.甲、乙二人收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各存5 000元(设两人剩余的钱都存入银行)，则甲、乙两人年收入分别为( )A.15 000元，12 000元B.12 000元，15 000元C.15 000元，11 250元D.11 250元，15 000元二、填空题(每小题4分,共20分)11.已知a 、b12.已知2,1x y ==⎧⎨⎩是二元一次方程组7,1mx ny nx my +=-=⎧⎨⎩的解，则m+3n 的立方根为__________.13.孔明同学在解方程组,2y kx b y x =+=-⎧⎨⎩的过程中,错把b 看成了6,他其余的解题过程没有出错,解得此方程组的解为1,2,x y =-=⎧⎨⎩又已知3k+b=1,则b 的正确值应该是__________. 14.已知|x-8y|+2(4y-1)2+|8z-3x|=0，则x=__________，y=__________，z=__________.15.一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为__________.三、解答题(共50分)16.(10分)解方程组：(1)251x y x y +=-⎧=⎨⎩，①；② (2)1151.x y z y z x z x y +-=+-=+-⎪⎨=⎧⎪⎩，①，②③17.(8分)吉林人参是保健佳品.某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参，甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元.王叔叔用1 200元在此特产商店购买这两种人参共15棵，求王叔叔购买每种人参的棵数.18.(9分)已知方程组53,54x yax y+=+=⎧⎨⎩与方程组25,51x yx by-=+=⎧⎨⎩有相同的解,求a，b的值.19.(11分)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？20.(12分)某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电冰箱，已知该厂家生产三种不同型号的电冰箱，出厂价分别为：甲种每台1 500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元.(1)某商场同时购进其中两种不同型号电冰箱共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)该商场销售一台甲种电冰箱可获利150元，销售一台乙种电冰箱可获利200元，销售一台丙种电冰箱可获利250元，在同时购进两种不同型号的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？参考答案变式练习1.把1,1x y ==⎧⎨⎩代入方程组,ax y b x by a +=-=⎧⎨⎩，得1,1.a b b a +=-=⎧⎨⎩ 整理，得1,1.a b a b -=-+=⎧⎨⎩ ∴(a+b)2-(a-b)(a+b)=12-(-1)×1=2.2.13x y ==-⎧⎨⎩， 3.由②，得x=4+y.③把③代入①，得3(4+y)+4y=19.解得y=1.把y=1代入③，得x=4+1=5.∴原方程组的解为51.x y ==⎧⎨⎩， 4.15.根据题意,得25,5 1.x y x y -=-=+⎧⎨⎩解得3,1.x y ==⎧⎨⎩ 6.设应分配x 名工人生产脖子上的丝巾，y 名工人生产手上的丝巾，由题意得 70,120021800.x y x y +=⨯=⎧⎨⎩解得30,40.x y ==⎧⎨⎩ 答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾. 复习测试1.B2.D3.C4.D5.D6.C7.A8.C9.C 10.C11.6 12.2 13.-11 14.214 34 15.35 16.（1）①+②，得3x=6.解得x=2.把x=2代入②，得y=1.所以原方程组的解为21.x y ==⎧⎨⎩， （2）①+②+③，得x+y+z=17.④④-①，得2z=6,即z=3.④-②，得2x=12,即x=6.④-③，得2y=16,即y=8.所以原方程组的解是683.x y z ⎧⎪=⎩==⎪⎨，，17.设王叔叔购买甲种人参x 棵，乙种人参y 棵.根据题意，得15x y +=⎧⎨，解得5x =⎧⎨，答：王叔叔购买甲种人参5棵，乙种人参10棵.18.解方程组53,25x y x y +=-=⎧⎨⎩，得1,2.x y ==-⎧⎨⎩将x=1,y=-2代入ax+5y=4,得a=14.将x=1,y=-2代入5x+by=1,得b=2.19.设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意得100,23270.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得30,70.x y ==⎧⎨⎩答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶.20.(1)①设购进甲种电冰箱x 台，购进乙种电冰箱y 台，根据题意，得50,1500210090000.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得25,25.x y ==⎧⎨⎩ 故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电冰箱各25台.②设购进甲种电冰箱x 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得50,1500250090000.x z x z +=+=⎧⎨⎩解得35,15.x z ==⎧⎨⎩ 故第二种进货方案是购进甲种电冰箱35台，丙种电冰箱15台. ③设购进乙种电冰箱y 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得 50,2100250090000.y z y z +=+=⎧⎨⎩解得87.5,37.5.y z ==-⎧⎨⎩不合题意，舍去. 故此种方案不可行.(2)上述的第一种方案可获利：150×25+200×25=8 750(元)，第二种方案可获利：150×35+250×15=9 000(元)，因为8 750<9 000，故应选择第二种进货方案，即购进甲种电冰箱35台，乙种电冰箱15台.。

二元一次方程组题型归类题型一概念题：1．方程2x m ＋1＋3y 2n ＝5是二元一次方程，则m ＝______，n ＝______．2．下列各式中，是关于x ，y 的二元一次方程的是( )．(A)2x －y (B)xy ＋x －2＝0 (C)x －3y ＝－1 (D)02=-y x3．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )．(A)⎩⎨⎧=-=+.31,52x y x (B)⎩⎨⎧⋅-==-y x y x 423,1)(2 (C)⎩⎨⎧==+.1,122y y x (D)⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,1y x x y 4．已知(k －2)x ｜k ｜－1－2y ＝1，则k ______时，它是二元一次方程；k ＝______时，它是一元一次方程．5、已知2a y ＋5b 3x 与b 2－4y a 2x 是同类项，那么x ，y 的值是( )．(A)⎩⎨⎧=-=.2,1y x (B)⎩⎨⎧-==.1,2y x (C)⎪⎩⎪⎨⎧⋅-==53,0y x(D)⎩⎨⎧==.0,7y x题型二：消元思想 1．如果⎩⎨⎧==2,1y x 是二元一次方程3mx －2y －1＝0的解，则m ＝______． 2．若⎩⎨⎧==2,1y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-3,0by x y ax 的解，则a ＝______，b ＝______．3．若二元一次方程组⎩⎨⎧=---=-043,1y nx y mx 的解中，y ＝0，则m ∶n 等于( )． (A)3∶4(B)－3∶4 (C)－1∶4 (D)－1∶124．已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+23,4y nx my x 的解是⎩⎨⎧-==,3,1y x 求m ＋n 的值．5．已知⎩⎨⎧-==1,2y x 是二元一次方程mx ＋ny ＝－2的一个解，则2m －n －6的值等于_______．6．若⎩⎨⎧⋅-==1,1y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+124,2a by x b y ax 的解，则a ＝_______，b ＝_______． 7．在式子x 2＋ax ＋b 中，当x ＝2时，其值是3；当x ＝－3时，其值是3；则当x ＝1时，其值是( )．(A)5 (B)3 (C)－3 (D)－1题型三：整数解问题写出二元一次方程2x ＋y ＝5的所有正整数解．1．二元一次方程4x ＋y ＝10共有______组非负整数解．2．二元一次方程x ＋y ＝4有______组解，有_______组正整数解．3．已知二元一次方程x ＋y ＝1，下列说法不正确的是( )．(A)它有无数多组解 (B)它有无数多组整数解(C)它只有一组非负整数解 (D)它没有正整数解4．下列方程组中，只有一组解的是( )．(A)⎩⎨⎧=+=+.033,1y x y x (B)⎩⎨⎧=+=+.333,0y x y x (C)⎩⎨⎧=-=+.333,1y x y x(D)⎩⎨⎧=+=+.333,1y x y x 5、有足够的1元、2元的人民币，需要把面值为10元人民币换成零钱，请你设计几种兑换方案．题型四：非负性1．若｜x －2｜＋(3y ＋2x )2＝0，则yx 的值是______． 2．若等式0|21|)42(2=-+-y x 中的x 、y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,165,84n y x y mx 求2m 2－n ＋41mn 的值．3．若｜x －y －1｜＋(2x －3y ＋4)2＝0，则x ＝______，y ＝______．题型五:换元思想．已知方程6x －3y ＝5，用含x 的式子表示y ，则y ＝______．用含y 的式子表示x ，则x ＝______．题型六：同解问题1．下列方程组中和方程组⎩⎨⎧=+-=732,43y x y x 同解的是( )． (A)⎩⎨⎧=+=.732,11y x x (B)⎩⎨⎧=+=.732,5y x y (C)⎩⎨⎧=+--=.7386,43y x y x (D)⎩⎨⎧-==.43,1y x x ※题型七：多个未知数问题1．如果关于x ，y 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-321,734k y x k y x 的解中，x 与y 互为相反数，求k 的值．2．已知使3x ＋5y ＝k ＋2和2x ＋3y ＝k 成立的x ，y 的值的和等于2，求k 的值．题型八：新定义题19．对于有理数x ，y 定义新运算：x *y ＝ax ＋by ＋5，其中a ，b 为常数．已知1*2＝9，(－3)*3＝2，求a ，b 的值．题型九：整体思想1．若x －y ＝2，则7－x ＋y ＝______．2．已知⎩⎨⎧=+-=++②①.15232,25c b a c b a 求b 的值．题型十：看错题问题1．甲、乙两人同时解方程组⎩⎨⎧-=-=+.23,2y cx by ax 甲正确解得⎩⎨⎧-==;1,1y x 乙因为抄错c 的值，错得⎩⎨⎧-==.6,2y x 求a ，b ，c 的值．题型十一：（消元思想）求比值问题1．若2x －5y ＝0，且x ≠0，则yx y x 5656+-的值是______．2．已知方程组⎩⎨⎧=--=-+01523,0172c a b c b a 其中c ≠0，求c b a c b a -++-的值． ⎩⎨⎧==.7,3c b c a 值为⋅-313、已知x ＝3t ＋1，y ＝2t －1，用含x 的式子表示y ，其结果是( )． (A)31-=x y (B)21+=y x (C)352-=x y (D)312--=x y题型十二：特殊题型1、若方程组⎩⎨⎧=+=+84,42y x my x 的解为正整数，则m 的值为( )．(A)2 (B)4 (C)6 (D) －42．在方程(x ＋2y －8)＋λ(4x ＋3y －7)＝0中，找出一对x ，y 值，使得λ无论取何值，方程恒成立．⎩⎨⎧=-=.5,2y x 3．当k ，m 分别为何值时，关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+-=+=4)12(,x k y m kx y 至少有一组解? k ＝1，m ＝4或k ≠1．。

二元一次方程组常见题型二元一次方程组应用题（分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？解：设到甲工厂的人数为x人，到乙工厂的人数为y人题中的两个相等关系：1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数可列方程为：x-9=2、抽5人后到甲工厂的人数=可列方程为：（行程问题）甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。

二人的平均速度各是多少？解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米题中的两个相等关系：1、同向而行：甲的路程=乙的路程+可列方程为：2、相向而行：甲的路程+ =可列方程为：（百分数问题）某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加工厂1.1％,这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？解：这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人题中的两个相等关系：1、现在城镇人口+ =现在全市总人口可列方程为：2、明年增加后的城镇人口+ =明年全市总人口可列方程为：（1+0.8％）x+ =（分配问题）某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，萍果有y个题中的两个相等关系：1、萍果总数=每人分3个+可列方程为：2、萍果总数= 可列方程为：（浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。

题中的两个相等关系：1、含盐10%的盐水中盐的重量+含盐85%的盐水中盐的重量=可列方程为：10%x+ =2、含盐10%的盐水重量+含盐85%的盐水重量=可列方程为：x+y=（金融分配问题）需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克？解：设每千克售4.2元的糖果为x千克，每千克售3.4元的糖果为y千克题中的两个相等关系：1、每千克售4.2元的糖果销售总价+ =可列方程为：2、每千克售4.2元的糖果重量+ =可列方程为：（几何分配问题）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米题中的两个相等关系：1、小长方形的长+ =大长方形的宽可列方程为：2、小长方形的长=可列方程为：（材料分配问题）一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？解：设题中的两个相等关系：1、制作桌面的木材+ =可列方程为：2、所有桌面的总数：所有桌脚的总数=可列方程为：（和差倍问题）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？解：设个位数字为x ，十位数字为y 。