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函数的间断点和类型

函数的间断点和类型


1
e
x 1 x
0
1
lim f
x 1
(x)
lim
x1
1
x
e 1x
1
所以x 1是函数的第一类间断点,且是跳跃型.
15
sin x
2.设f
(
x)
x a
b
x
sin
1 x
(1) lim f ( x)存在;
x0 x 0 问a, b为何值时, x0
(2) f ( x)在x 0处连续.
x0
解 因为 lim f ( x) 1, lim f ( x) b, 所以
x
x3 x2 x 3 x
lim
x3
lim
1 3 x
1
x x2 x 3 x
x
1
1 x
3 x2
1
2
又 lim ( x2 x 3 x) x ()
22
x 0, ln(1 x) ~ x, m 1 x 1 ~ 1 x
m
求 lim ( 1 2x 1)e2x x0 ln(1 3x)
g[
f
( x)]
1
sgn
x 2
2, 1,
x0 x0
g[ f ( x)]在(,0) (0,)上处处连续
x 0是它的可去间断点. 20
作业
习题1-10 (63页) 1. 2. 3.(1)
21
求 lim( x2 x 3 x) x
x2 x 3 x2 lim
lim
x x2 x 3 x
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
函数的间断点

函数的间断点

分析间断点的左右极限
计算函数在间断点处的左右极限，理解该点处函数值不存在的原因。
对函数间断点的研究展望
深入研究间断点的性质
进一步探索间断点的性质和特 点，如研究间断点处函数值的 性质、左右极限的关系等。
探讨间断点在数学其他分 支中的应用
研究函数间断点在其他数学分 支中的应用，如微积分、实变 函数、复变函数等。
02
函数形态分析
03
求解极限问题
间断点可以作为函数形态分析的 依据，例如判断函数是否具有周 期性、对称性等。
在数学分析中，有时需要通过研 究函数的间断点来求解某些极限 问题。
在微积分中的应用
导数与间断点
函数的导数在间断点处可能不存在，因此研究函数的 间断点有助于理解函数的导数性质。
积分与间断点
在计算定积分时，需要考虑被积函数在积分区间内的 间断点，以确保积分的准确性。
利用极限存在定理判断
总结词
利用极限存在定理来判断函数的间断点，主要依据是函数在某点的极限存在当且仅当该点的左右极限存在且相等。
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则该点的极限也存在，即函数在该点连续；否则，该点是函数的间断点。
利用连续函数的性质判断
总结词
利用连续函数的性质来判断函数的间断点，主要是通过分析函数在某点的极限性质来确定。
开发新的研究方法
寻求新的研究方法，以更有效 地处理函数的间断点问题，如 利用数值计算、计算机模拟等 方法。
拓展应用领域
将函数间断点的理论应用于实 际问题中，如物理学、工程学 、经济学等领域的问题，以促 进数学与实际应用的结合。
感谢您的观看
THANKS
为什么要研究函数的间断点
数学理论完整性
函数的间断点及其类型

函数的间断点及其类型

函数的间断点及其类型
函数的间断点是指在该点处函数的极限不存在或者左右极限
存在但不相等。

间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种类型。

1. 可去间断点：在该点处函数的左右极限都存在且相等，但函数在该点处没有定义。

例如，函数 f(x) = x^2在 x=0 处没有定义，但左右极限都为 0，因此 0 是 f(x)的可去间断点。

2. 跳跃间断点：在该点处函数的左右极限都存在，但不相等。

例如，函数 f(x) = x在 x=0 处的左极限为-1，右极限为 1，因此
0 是 f(x)的跳跃间断点。

3. 无穷间断点：在该点处函数的左右极限至少有一个不存在，或者左右极限都存在但等于正无穷或负无穷。

例如，函数 f(x) = 1/x 在 x=0 处的右极限为正无穷，左极限为负无穷，因此 0 是
f(x)的无穷间断点。

判断一个函数的间断点类型，可以通过计算函数在该点处的左右极限来确定。

如果左右极限都存在且相等，则该间断点为可去间断点；如果左右极限不相等，则该间断点为跳跃间断点；如果至少有一个极限不存在，或者两个极限都存在但等于正无穷或负无穷，则该间断点为无穷间断点。

函数的间断点及其类型ppt课件

函数的间断点及其类型ppt课件


lim x2 x 3 x2 lim
x3
x x2 x 3 x x x2 x 3 x
lim
x3
lim
1 3 x
1
x x2 x 3 x
x
1
1 x

3 x2
1
2
又 lim ( x2 x 3 x) x ()
论
函
数
f
(
x)

x, 1 x,
解 f (0 ) 0, f (0 ) 1,
x 0,在x 0处的连续性.
x 0,
y
f (0 ) f (0 ),
o
x
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
6
例 讨论函数
f
(
x)

2 1,
x,
0 x 1, x1
23
x 0, ln(1 x) ~ x, m 1 x 1 ~ 1 x
m
求 lim ( 1 2x 1)e2x x0 ln(1 3x)
lime2x lim
x0
x0
12x 1 ln(1 3x)
1 lim x0
12x 1 ln(1 3x)
1 (2x) lim 2
x0
x0
1
lim f ( x) lim e x ,
x0
x0
x

0是
f (x)
e

1
x的
第
二
类
间
断
点.
15
1.求函数f ( x)
1
10x
的 间 断 点,
并指出其类型.
《间断点及其分类》课件

《间断点及其分类》课件


分类
第一类间断点
跳跃间断点。
第二类间断点
奇点。
第三类间断点
可去间断点。
跳跃间断点
定义
例子
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等。
f(x) = { x, x < 1 x+ 1, x≥ 1 }
性质
在跳跃间断点处，函数图像的 曲线从一个点跳跃到另一个点， 导致函数值发生突变。
奇点
定义
函数在某一点的极限不存在。
《间断点及其分类》PPT 课件
在学习微积分时，遇到间断点是很常见的。本次课程将帮助你更好地学习间 断点及其分类。
什么是间断点？
定义
在函数图像中，不连续点称为 间断点。它们可以是跳跃间断 点或奇点。
跳跃间断点
奇点
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等，导致函数值发生突 变。如：f(x) = |x|
函数在某一点的极限不存在。 如：f(x) = 1/x
例子
f(x) = 1/x
性质
在奇点处，函数图像无法被连数在某一点的极限存在，但 与函数在该点的值不相等。
例子
f(x) = (x-1)/(x²-1)
性质
在可去间断点处，函数图像在 该点的值可以通过修改函数的 定义来使之与该点的极限相等。
总结
1 定义
间断点是函数图像中不 连续的点。
2 分类
跳跃间断点和奇点为第 一类和第二类间断点。 可去间断点为第三类间 断点。
3 应用
在微积分学习中，间断 点是非常重要的概念， 应充分理解和掌握。
函数间断点精品课件

函数间断点精品课件

解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内是连续的。 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点
(见下图)
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
y
拿了小朋友橡皮 竹笋炒肉 小惩大戒，改正不究
存在,但f ( x 0) f ( x 0), 则称点 x 为函数
0
0
0
f ( x)的跳跃间断点.
例1
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
解 f (1) 1,
f (1 0) 2, f (1 0) 2, lim f ( x) 2 f (1),
间断点的定义及分类

间断点的定义及分类

间断点的定义及分类
函数的间断点是指在该点处函数不连续的点，这些点通常是由于函数在该点处的极限不存在或存在无穷大而引起的。

间断点可以分为以下几类：
- 第一类间断点：在函数在该点处的左右极限都存在的间断点。

- 跳跃间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等时。

- 可去间断点：当函数在该点处的左右极限相等但该点处的函数值不等于极限值时。

- 第二类间断点：在函数在该点处的左右极限至少有一个不存在的间断点。

- 无限间断点：当函数在该点处的左右极限至少有一个为无穷大时。

- 振荡间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等且都不为无穷大时。

除了以上提到的两类间断点外，还有一些特殊类型的间断点，例如：垂直间断点、水平间断点和斜间断点等。

这些间断点的存在性和类型可以根据具体函数的性质和定义来判别。

在研究函数的间断点和类型时，通常需要利用极限的思想和方法来进行判断和证明。

函数的间断点(PPT课件)

函数的间断点(PPT课件)


因为当x >1时，f (x) = x+1 所以
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1
f (x)=x2 2 1 1 f (x)=x+1
x=1 是函数的第一类间断点，
且为跳跃间断点.
小结
如果函数 f (x) 在 x0 点处不连续， 即 x0 是间断点。 可去的间断点---x0点的左右极限 存在且相等 跳跃间断点---x0点的左右极限存 在不相等 无穷间断点---x0点的左右极限至 少有一个等于∞ … …
x x0
称x0是函数 f(x) 的 可去间断点，
2）
x x0
lim f ( x ) lim f ( x )
x x0
称x0是函数 f(x) 的 跳跃间断点，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数的间断 点？
x0 x0
如果x0是函数 f(x) 的 不连续点，即是 x0 函 数的间断点，
1. x0点的左右 极限都存在 （第一类间断点） 2. x0点的左右 极限至少有 一个不存 (第二类间断) 1） lim f ( x ) 或
第一类 间断点 间断点 的分类 第二类 间断点
F(x)
x
3. lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
函数的间断点 ？
x0 x0 如果x0是函数 f(x) 的 不连续点，即 x0 是函 数的间断点，
1）
1. x0点的左右 极限都存在 （第一类间断点） 2. x0点的左右 极限至少有 一个不存 (第二类间断)
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x0 )
间 断 点 的 分 类
《间断点及其分类》课件

《间断点及其分类》课件

2023 WORK SUMMARY
《间断点及其分类》 ppt课件
REPORTING
目录
• 引言 • 间断点的定义及性质 • 第一类间断点 • 第二类间断点 • 间断点的判断方法 • 实例分析
PART 01
引言
课程背景
数学分析中的基本概念
间断点是数学分析中的一个基本概念，是函数在某个点附近的性质发生变化的 点。理解间断点的概念和分类对于进一步学习数学分析有着重要的意义。
详细描述
尖点是函数的一种特殊类型的间断点，在尖点上，函数的左右极限都存在，但不相等， 函数在该点的值也不存在。这种间断点通常发生在函数在某点的导数不存在的情况。
连续但不可导点
总结词
连续但不可导点是指函数在某点处连续，但该点的导数不存在。
详细描述
连续但不可导点通常发生在函数在某点的切线方向不唯一或切线不存在的情况。在这种情况下，虽然函数在该点 是连续的，但由于切线方向的不唯一性或不存在，导致函数在该点不可导。
实际应用背景
间断点理论在许多实际问题中都有应用，如物理、工程、经济等领域。掌握间 断点的知识有助于解决实际问题，提高分析和解决问题的能力。
课程目标
01
掌握间断点的定义和分类
通过本课程的学习，学生应能理解间断点的定义，掌握间断点的分类，
如可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点等。
02
理解间断点的性质和判定方法
详细描述
当函数在某一点的左右极限存在，但不相等，且至少有一个 是无穷大或无穷小，则该点被称为无穷间断点。例如，函数 y = 1/x 在 x = 0 处是一个无穷间断点，因为当 x 趋于 0 时 ，y 趋于无穷大或无穷小。
震荡间断点
总结词
在震荡间断点，函数值在某一方向上呈现周期性震荡。
函数的连续与间断【优质PPT】

函数的连续与间断【优质PPT】

若f(函 x )在 [x 0 ,b 数 ) 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点右 . 连续
定理 函数 f(x)在x0 处连 续 函数 f(x)在x0
处既左连续.又右连续
例2
讨论f函 (x)数 x x 2 2,,
x0, 在 x0处的 x0,
1.跳跃间断点 如果 f(x)在点 x0处,左 右极限
存,在 但 f(x0)f(x0),则称 x为 点函数
0
0
0
f(x)的跳跃.间断点
例4
讨论f(函 x) 1 数 x x ,,
x0,在 x0处的.连 x0,
解 f(00)0, f(00)1,
y
f( 0 0 ) f( 0 0 ),
x0为函数的跳跃间.断点 o
二、函数的间断点及其分类
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三
(1)f(x)在x点 0处有;定义 (2)limf(x)存在 ;
xx0
(3)x l ix0m f(x)f(x0). 如果上述三个要条有件一中个只 ,不 则满 称足 函数 f(x)在点 x0处不连 (或续 间),断 并称x0点 为 f(x)的不连(或 续间 点断 ). 点
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
由定义2知
函f数 (x)在 x0处连 . 续
3.单侧连续
若f(函 x )在 (a ,x 数 0 ] 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点左 ; 连续
函数的间断点

函数的间断点

4
(2) 跳跃间断点
如果 f ( x)在点x0处左右极限都存在, 但f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
例2
讨论函数
f (x)
x, 1 x,
解 f (0 ) 0, f (0 ) 1,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
f (0 ) f (0 ),
解
x2
x2 1 2x
3
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
，
lim
x1
x2 1 x2 2x 3
lim
x1
x1 x3
1， 2
故 x 1 为第一类(可去型)间断点；
而
lim
x3
x
2
x2 1 2x
3
,
故 x 3 为第二类(无穷型)间断点.
8
例6
讨论函数
f
(x)
1 1 e x /(1 x)
虽然初等函数在其定义域上都是连续函数， 但也有许多函数不是连续的.
间断点分类：
1、左右极限都存在的间断点,称第一类间断点：
(1) 可去间断点
如
果
f
(
x
)在
点
x0处
的
极
限
存
在,
但
lim
x x0
f (x)
A f ( x0 ), 或 f ( x)在点x0处无定义，则称点x0
为函数 f ( x)的可去间断点.
间断点
Байду номын сангаас
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
10

高数上第一章154间断点及其分类


利用连续函数的性质求解间断点问题
02
如在闭区间上连续的函数必定有界、介值定理等，可以通过这
些性质来求解间断点问题。
通过补充定义使函数连续
03
对于可去间断点，可以通过补充或修改函数在该点的定义，使
函数在该点连续，从而简化问题的求解过程。
05 间断点在实际问题中应用
物理学中间断点现象解释
01
经典物理中的间断点
复合函数间断点处理技巧
分解复合函数
将复合函数分解为若干个基本初等函 数，分别分析这些基本初等函数的间 断点。
注意定义域变化
在处理复合函数间断点时，要特别注 意各基本初等函数定义域的变化对复 合函数间断点的影响。
判断复合函数间断点
根据基本初等函数的间断点，结合复合函 数的运算性质（如加减、乘除、复合等） ，判断复合函数的间断点及其类型。
根据函数在间断点处的不同表现 ，间断点可分为第一类间断点和 第二类间断点。
第一类间断点（可去、跳跃）
可去间断点
函数在该点处无定义或左右极限不相 等，但极限存在。通过补充或修改函 数在该点的定义，可以使函数在该点 连续。
跳跃间断点
函数在该点处的左右极限都存在但不 相等，且函数在该点处无定义。
第二类间断点（无穷、震荡）
指数函数和对数函数间断点问题探讨
指数函数间断点
指数函数在其定义域内是连续的，因 此没有间断点。但在某些特定情况下 （如底数或指数趋于无穷大时），可 能会出现间断现象。
对数函数间断点
对数函数在其定义域内也是连续的，但 当对数函数的真数趋于零或负无穷大时 ，可能会出现间断现象。此时需要结合 对数函数的定义域和值域进行分析。
高数上第一章154间断点及其分类

§1.5.4间断点及其分类

x[ a ,b ]
y
M
y f ( x)
பைடு நூலகம்
使得 f (c) 。

m
o
a
c
b
x
y 定理 7 的几何意义是：连续曲线弧y f ( x) 与直线
至少有一个交点。
[a, b] 上为常数，结论成立。 证明：若m M ，则f ( x) 在
设m M ，由定理 5，存在 x, x[a, b] ，使得
3
2
例 8．设 f C[a, b] ，证明：若a x1 x2 xk b
1 k （ k 为某一正整数） ，则存在c[a, b] ，使 f (c) f ( xi ) 。 k i1
证明：∵ f C[a, b] ， [ x1, xk ] [ a, b] ，∴ f (x) C [ x1 , x k ] ，
y
y f ( x)
o
a
c
b
x
定理 6 的几何意义是： 若连续曲线弧 y f ( x) 的两个端点 位于 x 轴 的不同侧，则这段曲线弧与 x 轴 至少有一个交点。
定理 7（介值定理） 设 f C[a, b] ，且m min f ( x) ，
x[a,b]
M max f ( x) ，则对任意[m, M ] ，都存在c [a, b] ，
x 1, 1 x 0, 例如： f ( x) 0, x 0 x 1, 0 x 1,
y
1
-1
o
-1
1
在[1, 1] 上无最大值和最小值。
x
定理 6（零点定理） 设 f C[a, b] ，且f (a) f (b) 0 ， 则至少存在一点c(a, b) ，使得 f (c) 0 。
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1
x
解 f (1) 1, f (1 ) 2, = f (1 ) 2, 会不会连续呢？
lim f ( x) 2 f (1), 还是间断点 x1
x 0为函数的第一类可去间断点.
15
例3
讨论函数
f (x)
1
x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0) 0,
xx+
0
9
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y 不见了
y 掉队了
y
另立山头
o x0 y
2 1
x o1
井水不犯河水
xo
x0
x
y
各自为政
o
x0
x
ox
10
3. 间断点的分类
第一类间断点
如果 f (x)在点 x0处间断，且f (x0 ), f (x0 )都存在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点 . 如果 f (x0 ) f (x0 ),则称点 x0为函数 f (x)的可去间断点 .
x 0,
y
f (0 ) 0, f (0 ) 1, 第一类
o
x
f (0 ) f (0 ),
跳跃间断点
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
14
例2 讨论函数
y
2 x, 0 x 1,
f
(x)
1,
x 1
2
1 x, x 1,
1
在x 1处的连续性 ，如果不连续说出它到类型 o
y 1 x
y2 x
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
1 、函数间断点的定义.
2、f ( x )在点 x0 间断的类型:
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
左右极限至少有一 个不存在
19
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
x x0
f (x)
A
f ( x0 )
在某点没定义 极限不存在 极限与函数值不相等
如果上述三个条件中只要有一个不满足,
则称函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为f ( x)的不连续点(或间断点). 3
2、间断点图形举例：函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
y
y
2 1
o x0
√ ②极限不存在
③极限与函数值不相等
o
x0
x
f(x0)有吗？
lim f (x0 )有吗？
xx0
井水不犯河水
8
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
√ ①在某点没定义
√ ②极限不存在
ox
各自为政
③极限与函数值不相等
f(x0)有吗？
lim f (x0)有
xx-0
lim f (x0 )=不存在
lim
x0
y0
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
1. 间断点的定义
函数 f ( x)在点 x0处连续
lim f ( x)
x x0
f ( x0 )
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
① f ( x)在点x0处有定义;
② lim f ( x)=A(存在);
x x0
③
lim
x o1
xo
x0
x
y
y
o
x0
x
o
x
4
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
√ ①在某点没定义
y
②极限不存在
③极限与函数值不相等
o x0
x
不见了
5
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
①在某点没定义
y
②极限不存在
2 1
o1
掉队了
√ ③极限与函数值不相等
f(1)=1
lim f (x) 2
Байду номын сангаасox
12
第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、右极限
f ( x0 ), f ( x0 )至少有一个不存 在, 则称点 x0为 函数 f ( x)的第二类间断点 .
y
y
o
x0
x
ox
左、右极限都不存在
左极限存在，右极限 不存在
例1
判断函数
f
(x)
x, 1 x,
解： f (0) 0,
x 0, 间断点x 0的类型
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 .
11
第一类间断点的特点：左右极限都存在
可去间断点 y
可去间断点 y
跳跃间断点 y
2 1
o x0
x o1
x
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
o
x0
x
o
x0
x
y
f (x0 ) f (x0 )
x
x1
lim f (x) 2 f (1) 1
x1
6
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
①在某点没定义
y
√ ②极限不存在
o
x0
③极限与函数值不相等
f(x0)有定义吗？
x
lim f (x0 )有吗？
xx0
另立山头
7
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
√ ①在某点没定义
§1.5.3 函数的间断点及其类型
p17
复习
y
y
2
2
四个字概括连续函数图像的特点 1
1
是： “紧紧”跟随
o1
xo 1
x
① a-b=0 说明a与b相等的
ab
② a-b→0 说明a与b接近（几乎）相等
（a与b是紧紧挨着的） a b
极限概念当中的“无穷小”是可以描述“紧紧”跟
随函数
f
( x)在点x0处连续
f (0 ) 0, f (0 ) ,
o
x
函数在x 0处不连续，它是为函数的第二类间断点.
16
总结两类间断点:
第一类间断点:
跳跃型,
第二类间断点
可去型
思考：极限与连续之间的关系:
f(x)在x0点存在极限
f(x)在 x0 点连续
17
练习：判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
18