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高三一轮总复习(人教A版,理)优质课件：3.6简单的三角恒等变换

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高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换课件

高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换课件
第六节 简单的三角恒等变换
1.
的值等于
(
)
解析： tan150 tan(75 75 )
2 tan 75 , 1 tan 75
答案：D
2.如果α∈( (α＋ ) ＝
， )且
，那么sin(α＋
)＋cos ( )
解析：∵sinα＝ <α<π，∴cosα＝ sin( ) cos( ) 2 sin( )
所以 tan( )
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
又0

2
,0

2
, 故0 2
3 , 2
从而由tan(α＋2β)＝－1得
3 2 . 4
1 13 , 且0 , 2.已知cos ,cos( ) 7 14 2
求证: tan 2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左
证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择
“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查
或具有某种关系.
3.“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变 角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调区间求得角.
(2008· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.

高三数学一轮复习 第3章 三角函数第6课时 三角恒等变换精品课件

高三数学一轮复习 第3章 三角函数第6课时 三角恒等变换精品课件

＝cos cos
θ－sin θ＋sin
θ θ
＝11－ ＋ttaann
θ θ
＝11＋ －1212＝3
答案： 3
三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系， 把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的 公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的 方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0rad/s， 故 t 秒转过的弧度数为3π0t， ∴h＝5.6－4.8cos3π0t ，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10.4 m. 由 cos3π0t＝－1，得3π0·T＝π，∴t＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
【变式训练】 3.某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当 年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变 化．
【变式训练】
1.化简：22tacnosπ44x－－x2scions22xx＋＋12π4
解析：
原式＝212·cs4oincso4ππ4s－4－x－xx4·ccooss22xπ4＋－1x
＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x
＝2sicnoπ2s2－2x2x＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
＝12cos α－12sin α＝
3－1 4.
②
又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2. 由①得 α－β＝±π4， 由②得 α＝π6.由 α、β 为锐角，得 β＝51π2. 从而 2β－α＝23π.
cos β＝cos α－12， ③

2025届高三数学一轮复习课件-+简单的三角恒等变换

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)
A．π 3
B．5π 12
C．π6
D．π4
解析 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π，由 cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，得 sinα＝473，
cos(α＋β)＝±1114.若 cos(α＋β)＝1114，则 sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋
解析
sinα －
3
cosα
＝
2
12sinα－
3
2
cosα
＝
2sin
α－π3
＝
m
－
1
，
因
为
－
1≤sinα－π3≤1，所以－2≤2sinα－π3≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，
则 m 的取值范围是[－1，3]．
课堂小结（1分钟）
【通性通法】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是 把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化 后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将 y＝asinx＋bcosx 转化为 y＝ Asin(x＋φ)或 y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函 数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
因为 x∈π4，32π，所以 x－71π2∈－π3，1112π，
所以 sinx－71π2∈－ 23，1，
所以－ 22sinx－71π2∈－ 22， 46，
即函数
f(x)在区间π4，32π上的最大值为
46，最小值为－
2 2.
(2)因为 cosθ＝45，θ∈32π，2π， 所以 sinθ＝－35，所以 sin2θ＝2sinθcosθ＝－2245， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1265－295＝275， 所以 f2θ＋π3＝－ 22sin2θ＋π3－71π2 ＝－ 22sin2θ－π4＝－12(sin2θ－cos2θ) ＝12(cos2θ－sin2θ)＝12×275＋2245＝3510.

高三数学一轮复习 3.6简单的三角恒等变换课件

高三数学一轮复习 3.6简单的三角恒等变换课件

其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.③ D.④⑤
【解析】选C.①错误.α在第一象限时， 在第一或第三象限.
2
当 在第一象限时，sin 1 cos ,当 在第三象限时，
2
2
2
2
sin 1 cos .
2
2
②错误.此式子必须使tan 有意义且1+cos α≠0.即 ≠kπ
2
2
1 cos 2 1 cos 2 1 .
2
2
2
方法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式= 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 cos 2
2
2
2
2
2
1 (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2) 1 (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2)
2
cos 2β＝_________.
【解题视点】(1)利用倍角公式化简. (2)从角、名、形、次数统一等几个方面入手进行化简.
【规范解答】(1)选A.原式＝ 1 1 1 cos 2
22
2
＝ 1 1 cos ＝|sin |.
22
2
因为450°<α<540°，所以225°< <270°.
=sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β- 1
2
=sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β- 1
2
=sin 2β+cos 2β- 1 =1- 1 = 1 .

人教A版高中数学 高三一轮 3-6简单的三角恒等变换 《课件》(共37张PPT)

人教A版高中数学 高三一轮 3-6简单的三角恒等变换 《课件》(共37张PPT)

真题再现
6.(2016天津)已知函数f ( x ) 4 tan x sin( (1)求f ( x )的定义域与最小正周期;
π (1)定义域为 x x kπ,k Z 2

2
x ) cos( x

3
)
3
π π (1) f ( x ) 4 tan x sin x cos x 3 3 2 1 3 4 sin x 2 cos x 2 sin x 3 sin 2 x 3 1 cos 2 x π sin 2 x 3 cos 2 x 2 sin 2 x 3

真题再现
5.(2016北京)在△ABC中, a 2 c 2 b 2
2ac .
(1)求B的大小;(2)求 2 cos A cos C的最大值.
a 2 c 2 b2 2ac 2 (1)由余弦定理, cos B , 2ac 2ac 2 0 B , B
2
x
真题再现
f ( x)
1 1 1 (1 cos x ) sin x 2 2 2 2 sin( x ) 2 4
1 1 sin x cos x 2 2
当x ( , 2 )时, x , 2 4 4 4
真题再现
1.(2014全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值
为 ________. 1
解析 因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x
＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，
－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.

2019版一轮理数(人教版A版)课件：第三章 第六节 简单的三角恒等变换

2019版一轮理数(人教版A版)课件：第三章 第六节 简单的三角恒等变换

3 3 ， ， 2 2
∴f(x)∈[0， 3]．
考点一
考点二
(2)∵f
α π ＝sinα－ ＋ 3 2
A．－cos 1 C. 3 cos 1
原式＝ 1＋cos 2＋1－sin21＝ 2cos21＋cos21 ＝ 3cos21＝ 3cos 1.
解析
答案
考点一
考点二
2sin －1 π 2 (2)若 f(α)＝2tan α－ ，求 f 12的值． α α sin cos 2 2
π －cos α 2sin α 2cos α 4 ∵f(α)＝2tan α－ ＝ ＋ ＝ ，∴f 12＝ 1 cos α sin α sin 2α sin α 2
π π π β π 因为－ <β<0，所以 < － < ， 2 4 4 2 2 又
π β sin4－2＝
3 ， 3
考点一
考点二
所以 所以
π β cos4－2＝
1－sin
2
π β － ＝ 4 2
1 6 1－ ＝ ， 3 3
π β β π π β π cos α＋2 ＝ cos α＋ 4 －4－2 ＝ cos α＋ 4 cos 4－2 ＋ Fra bibliotek26 5
考点一
考点二
利用三角恒等变换进行化简与求值|模型突破 角度 1 角的拆变法解决三角恒等变换 [例 1] 则
π β π 1 π π 3 若 0<α< ，－ <β<0，cos α＋ 4 ＝ ，sin 4－2 ＝ ， 2 2 3 3
β cosα＋2＝(
考点一
考点二

2025版高考数学一轮总复习第四章三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换课件

=
2
3
×
2
2
−
2
1
×
2
2
=
6− 2
.故选C.
4
C.
√
6− 2
4
D.
3+ 2
4
3.（教材题改编）cos 25∘ cos 35∘ − cos 65∘ cos 55∘ =(
A.
√
1
2
B.
3
2
C.−
1
2
)
D.−
3
2
解：cos 25∘ cos 35∘ − cos 65∘ cos 55∘ = cos 25∘ cos 35∘ − sin 25∘ sin 35∘ = cos
（4）∀ ∈ ,2cos2 + cos 2 − 1 = 0.
( ×)
（5） = 3sin + 4cos 的最大值是7.
( ×)
( ×)
2.（教材习题）cos 75∘ =(
1+ 2
A.
2
解：cos 75∘ = cos
)
6+ 2
B.
4
45∘ + 30∘
= cos 45∘ cos 30∘ − sin 45∘ sin 30∘
2 − 1
cos
1
−
2sin
2cos
C2 ：cos 2 =______________=___________=___________.
T2 ：tan 2
2tan
=_______.
1−tan2
2.简单的三角恒等变换
（1）降幂公式.
1−cos 2
sin2 =________.

高三数学(理)一轮总复习(人教通用)课件第3章 第6节 简单的三角恒等变换ppt版本


(2)求sin2α＋sin
sin 2α αcos α－cos
2α－1的值．
解析
角度二：给角求值
2．(2016·衡水中学二调)cos 130°－sin 1170°＝
A．4
B．2
C．－2
D．－4
()
解析： cos
130°－sin
1170°＝cos
130°－sin
110°＝
3sin sin
1100°°c－osco1s0°10°＝2sin121s0in°2－0°30°＝－12s2isnin202°0°＝－4.
考点三 三角恒等变换的综合应用 重点保分型考点——师生共研
[典例引领] (2015·天津高考)已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．
解析
[由题悟法] 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函 数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的 形式再研究其性质，解题时注意观察函数的角、名、结构 等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
3 2 sin
cos 10°
10°
＝2sin
50°·cos cos 10°
50°＝scions11000°°＝ccooss
1100°°＝1.
答案：1
角度三：给值求角 4．(2015·菏泽二模)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，
tan β＝－17，则2α－β＝________.
答案：D
3．化简：sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________.
解析：sin 50°(1＋ 3tan 10°)
＝sin 50°1＋

新课标2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3_6简单的三角恒等变换课件理新人教A版

第六节　简单的三角恒等变换
教 材 回 顾 考 点 突 破
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最新考纲考情考向分析
1.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
2．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.
2cos2α2sin2α。

高考数学一轮复习 3.6 简单的三角变换课件 理 新人教A


(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同 角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条 件求值问题要充分利用条件进行转化求解．
(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系， 不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．
考情分析 预测与备考：2015 年高考仍会以三角变换为基础，考 查三角函数式的求值、三角函数图象性质，难度中等．备考 时应掌握求值问题的解题途径与规律，能快速准确地化成 y ＝Asin(ωx＋φ)的形式，从而研究函数的性质.
基础
知识回顾
感悟教材 · 学与思
(对应学生用书 P79)
1．公式的常见变式
2sin2cos2 cos2
【答案】
1 (1)2
(2)见解析
(1)三角函数式化简的基本原则是化到最简， 一般来说，最后的结果中，函数种类尽可能少、次数尽可能低、 项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等．余弦的二倍 角公式能起到升幂作用，即 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝ 2sin2α，正弦的二倍角公式也能起到升幂的作用，即 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
对于三角函数的图象与性质问题，很大程度上可通过三角恒 等变换，将函数式转化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式，进而解决 函数的最值、周期、奇偶性、单调性以及作函数图象等问题．
考应学生用书 P80)
考点1 三角函数式的化简与证明 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则： (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与
联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使
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＜＜2, ＜ ＜. cos ＜0. 2 2 2 cos cos 2 原式 cos . cos 2 又
方法二：原式=
［(sin cos ) 2 (cos 2 sin 2 )］ (sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2(1 cos) cos )2cos (sin cos ) cos cos 2 2 2 2 2 2 . 2 | cos | cos 2 2
(3)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来
的.( )
(4)公式asin x+bcos x= a 2 b2 sin(x+φ)中φ的取值与a,b
的值无关.( )
【解析】(1)错误.α在第一象限时， 在第一或第三象限.
2
当
在第一象限时，sin 1 cos , 当 在第三象限时， 2 2 2 2
2 1 【解析】选A. cos 2 sin 2 cos
3 2
2cos 2 2sin cos cos 2
=2+2tan α=3.
3.若sin(θ+ )=a,则cos(θ- )等于( 4 4
)
(A)-a
(B)a
(C)1-a
(D)1+a
【解析】选B.
cos( ) cos( ) 4 4
【规范解答】(1)方法一：原式
2sin cos )(sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2cos 2 2 2cos (cos sin )(sin cos ) cos cos 2 2 2 2 2 2 . 2 | cos | cos 2 2 (2cos 2
2
2
答案:［-2,2］
5.计算: cos 10 3sin 10 =______.
1 cos 80 1 3 2( cos 10 sin 10) 【解析】原式 2 2 2sin 2 40 2sin 40 2. 2sin 40
答案:
2
考向 1
三角函数式的化简问题
A
sin 2
1 cos 2 10 , sin . 2 2 5 2 5
2 1 等于( 2.已知 tan 1 , 则 cos 2 sin 2 2 cos
)
A 3 B 6 C 12 D
cos ) 2 2 (π＜α＜
1 sin cos (sin 【典例1】(1)化简：
2 2cos
2π)=_______.
1 2 . (2)化简： 2tan( x)sin 2 ( x) 4 4 2cos 4 x 2cos 2 x
【思路点拨】(1)分子左边利用倍角公式、分母利用半角公式 升幂，整理后可解. (2)利用诱导公式，切化弦，逆用倍角公式降幂可解 .

(sin
下同方法一. 答案:cos α
1 4cos 4 x 4cos 2 x 1 2 原式 2 sin( x) 4 2 cos 2 ( x) 4 cos( x) 4
2cos x 1
2
2
4sin( x)cos( x) 4 4 cos 2 2x 2sin( 2x) 2 cos 2 2x 1 cos 2x. 2cos 2x 2
sin［ ( )］ 2 4 sin( ) a. 4
4.函数f(x)= 3 sin x-cos x的值域是_______. 【解析】由已知得 f x 2( 3 sin x 1 cos x)
2sin(x ), 6 sin(x ) ［ 1,1］ , 6 f x ［ 2, 2］ .
其中sin
b a b
2 2
,cos
a a b
2 2
.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)当α是第一象限角时，sin 1 cos . (
2 2 1 cos 都成立.( (2)对任意角α， tan 2 2 1 cos
)
)
第六节
简单的三角恒等变换
1.半角公式
2sin2α
2cos2α
2α
α
1 2sin 2
2
2cos 2
பைடு நூலகம் 2
1 cos 2

1 cos 2

1 cos 1 cos
2.辅助角公式
a 2 b2 asin x+bcos x=________sin(x+ φ)，
sin
1 cos . 2 2
2
(2)错误.此式子必须使 tan 有意义且1+cos α≠0.即
且α≠2kπ+π,即α≠(2k+1)π(k∈Z). k 2 2
(3)正确.由半角公式推导过程可知正确.
(4)错误.由 cos
a a b
2 2
,sin
【拓展提升】三角函数式化简的原则、要求及方法 (1)化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的则求值. (2)化简要求： ①能求出值的应求出值； ②尽量使三角函数种数最少；
③尽量使项数最少；
④尽量使分母不含三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数.
b a b
2 2
可知φ的取值与a,b ，
的值有关.
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
1.已知cos α= 1 , α∈(π,2π)，则 sin 等于(
5 2
)
10 10 2 5 2 5 B C D 5 5 5 5 【解析】选B.∵α∈(π,2π)， ( , ). 2 2