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第七章 根轨迹法

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根轨迹法

根轨迹法

根轨迹法一、定义：〈①〉()()()01111*0=+++=+∏∏==nj imi ip s z s Ks G 。

其中*K 为根轨迹增益。

开环放大倍数∏∏===nj jmi ipzKK 11*闭环特征方程的根随参数*K 而变化的轨迹，称为根轨迹。

其符合两个条件：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∠+=∠=非最小相位系统或最小相位系统相角条件：幅值条件：,2,121000ππk s G k s G s G〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹 〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹 ②根轨迹条数=Max （n,m ），起点为开环极点（0=g K ），终点为开环零点（∞→g K ）③渐进线条数：（n-m ）条，与实轴交点坐标：mn --=∑∑零点极点1σ与实轴夹角：()mn k -+±=πϕ121。

④分离点与会合点：使0*=dsdK ，并使*K >0的点 ⑤复数极点出射角：∑∑-+︒=量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1801p θ对非最小相位系统∑∑-='量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1p θ 复数零点的入射角：∑∑+-︒=角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1801z θ对非最小相位系统∑∑+-='角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1z θ⑥与虚轴交点：（a ）用劳斯判据确定，用辅助方程求得（b ）ωj s =代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得例1：()()()210++=s s s Ks G解：渐进线（3条）：()()10321-=--+-=σ，()πππϕ,3312=+±=k由()()0211=+++s s s K，则()()21++-=s s s K ，()()026323223*=++-=++-=s s dsss s d ds dK ，得 ⎩⎨⎧-=-==-=385.0,577.1385.0,423.0*22*11K s K s 与虚轴的交点：方法一02323=+++K s s s ，劳斯阵：Ks K sKs s 0123323021-要与虚轴有交点，则有一行全零，即6032=⇒=-K K辅助方程：j s s 20632,12±=⇒=+ 方法二将ωj s =代入特征方程：()()()02323=+++K j j j ωωω2,60320332==⇒=-=-ωωωωK K 虚部：实部：，则与虚部的交点6,22,1=±=K j s 根轨迹如下图例2：()()32220+++=s s s K s G 解：渐进线一条。

根轨迹法的基本法则

根轨迹法的基本法则


为求根轨迹从P3点处的出射角，在其附
近找一个实验点Sa，并认为该点在根轨
迹上，则它应满足幅角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
i 1
P3 s3 a
j j
-1 -2 -3 -4 (2k 1)180o 前提：Sa无限靠近P3
例如，某系统开环零极点分布 如图。现在要判断实轴上的某
P1j 1Fra bibliotek Sai 1
j
点Sa是不是根轨迹上的点. P5 Z2
各开环零、极点的幅角： P2
P4 Z1
P3
0
(sa - z2 ) 0o (sa - p5 ) 0o
(sa - p1) 1 (sa - p2 ) 2
G(s)
K (s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4 一个开环零点：-1
共有四条根轨迹，
实轴上的根轨迹为0→－1 , －4→－∞
渐近线与实轴交点：
n
m

＝
a
i 1
pi z j
j 1
nm

(0) (1
j) (1 4 1
求出重根为： s1、2 = - 2.07
之间找；若求出的重根点在 实轴上但不符合“实轴上根 轨迹”的判断规则就要舍去
法则六 根轨迹的起始角与终止角
复数极点附近根轨迹形态怎样？
在复数极点附近取一个试验点Sa，各零、极点到试 验点Sa的矢量幅角和应满足幅角条件，当Sa点无限 趋近该复数极点时，可求出根轨迹从该点出射方向。
i1
j 1
i1
闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：
绘制根轨迹的基本法则

绘制根轨迹的基本法则

4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。

熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。

法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。

根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。

将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。

法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。

根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。

因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。

实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。

所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。

实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。

因此根轨迹必然对称于实轴。

由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。

特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。

法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。

设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。

图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。

根轨迹法

根轨迹法


绘制根迹的数学依据：
绘制根轨迹的基本法则：

1参数根轨迹 2多回路系统的根轨迹 3正反馈回路根轨迹 4非最小相位系统根轨迹
参数根轨迹：
前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，都是以开环增
益K为可变参数，这是在实际上最常见的情况。上 述以开环增益K 为可变参量绘制的根轨迹称为常规 根轨迹。从理论上讲，可变参量可以选择为系统的 任何参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数 等，这种以K以外的系统其他参量作为可变参量绘 制的根轨迹，称作参数根轨迹，又称广义根轨迹。 用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环 零、极点，时间常数和反馈系数等对于系统性能的 影响。 G(s)=5/s(s+a)
多回路系统的根轨迹：
前面介绍单环系统根迹，不仅适合单环，而
且也适合多环系统。
正反馈回路根轨迹：
前面介绍的绘制根迹的依据、法则，都是针
对负反馈系统的。对于正反馈，前面的依据、 规则，需要作些修改，修改以后的规则，可 被用来画正反馈回路的根迹
非最小相位系统根轨迹：
所谓非最小相位系统:
如果系统的所有极点和零点均位于s左半平面，
根轨迹法
经典控制理论有三种基本分析方法：
1. 时域分析法 2. 根轨迹分析法 3. 频域分析法
根轨迹法定义：

定义1948年，W.R.Evans提出了 一种求特征根的简单方法，并且 在控制系统的分析与设计中得到 广泛的应用。这一方法不直接求 解特征方程，用作图的方法表示 特征方程的根与系统某一参数的 全部数值关系，当这一参数取特 定值时，对应的特征根可在上述 关系图中找到。这种方法叫根轨 迹法。根轨迹法具有直观的特点， 利用系统的根轨迹可以分析结构 和参数已知的闭环系统的稳定性 和瞬态响应特性，还可分析参数 变化对系统性能的影响。在设计 线性控制系统时，可以根据对系 统性能指标的要求确定可调整参 数以及系统开环零极点的位置， 即根轨迹法可以用于系统的分析 与综合。
根轨迹法特点和方法介绍

根轨迹法特点和方法介绍


n
m
pi zi
a
i 1
j 1
nm
a
(2k1)
nm
渐近线
m
n
(s zi )
a1 p j
G(s)H(s) K*
i1 n
(s pj )
j 1 m
b1 z i
j1
i1
K*
sm sn
b1sm1 L a1sn1 L
bm1s bm an1s an
1G (s)H (s)0
smb 1sm 1Lbm 1sbm1 sna1sn 1Lan 1san K *
2
R D (je ) 32 K * 0 2
ID m (j) 3 2 0
K* 6
基本法则（7）——分离点 d
法则7 分离点 d： d K * = 0 或 ds
（对应重根）
n 1
m1
i1 dpi j1 dzj
当K*从0变到∞时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点
称分离点。分离点对应重闭环极点。
G (s)H (s)= K * (s-z 1 )(s-z 2 )....(s-z m ) K *> 0 (s-p 1 )(s-p 2)....(s-p n )
系统的闭环特征方程可以表示为：
1+K *(s-z1)(s-z2)....(s-zm)=0 (s-p1)(s-p2)....(s-pn)
以K*为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程， 相应地，我们称之为典型根轨迹方程。
G (s)H (s)=
K *(s-z1)
(s-p1)(s-p2)(s-p3)(s-p4)
基于相角条件，在复平面上选足够多的试验点，对每
一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点
自动控制原理复习资料七八章

自动控制原理复习资料七八章

第七章根轨迹法根轨迹的概念)15.0()()(+=s s K s H s G )2(2+=s s K K : 开环增益2K(K *): 根轨迹增益根轨迹：是系统某一参数从0变化到无穷时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。

第1步：绘图准备(起点、终点、分支数)当K =0时，特性方程的根就是P(s)的极点。

当K 趋向无穷大时，特征方程的根就是P(s)的零点。

当K 由0变化到无穷大时，特征方程的根轨迹从P(s)的极点开始，终止在P(s)的零点。

注意：一般，n>m ，所以开环传递函数有n 个极点，m 个有限零点和(n-m)个无穷远处的零点。

确定根轨迹的分支数SL （条数）。

SL=n 根轨迹关于s 平面实轴对称 第2步: 确定实轴上的根轨迹段若实轴上某一段右边的开环零点和极点个数之和为奇数，则该实轴段为根轨迹段。

第3步: 确定趋向无穷远处根轨迹段的渐近线 随着参数K 趋于无穷，将有n-m 条根轨迹趋向于无穷远处。

其方向由渐近线确定。

渐近线与实轴夹角及与实轴交点为：第4步: 确定实轴上根轨迹分离点与会合点。

根轨迹离开实轴的点称分离点，一般出现在有两个相邻的实轴上的开环极点之间。

根轨迹到达实轴的点称为会合点，一般出现在两个相邻的实轴上的开环零点之间。

求分离（会合）点直接的方法1是重新整理特征方程，将乘积因子K 与F(s)分离，并将特征方程整理成K=p(s)形式。

通过以下方程求分离（会合）点。

分离角（或会合角）：第5步:确定根轨迹与虚轴的交点 方法一：方法二：第6步:确定根轨迹出射角和入射角例：要求：绘制以K 为参数的根轨迹图，并确定K 的最大取值。

步骤1 ：用极点和零点形式表示特征方程，并标注零点和极点。

极点和零点在s 平面上的分布图，因为极点数目为4，所以有4条根轨迹。

步骤2：在实轴0和－4,-∞和-6之间为根轨迹。

步骤3：渐近线的倾角和交点为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===⨯+=1,601,1800,601801-4)12(k k k k Aφ0)(==ds s dp dsdK步骤4：求分离点（汇合点）分离点在－4和0以及-∞和-6之间，则：j22122141161+++-++++=+σσσσσj 步骤5：与虚轴的交点。

《根轨迹分析法》课件

《根轨迹分析法》课件

《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法，通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。

本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。

2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内，使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。

2.1.2 根轨迹的性质（1）根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹，反映了闭环系统的稳定性。

（2）根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。

（3）根轨迹的分布与系统参数有关，通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。

2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤（1）确定系统开环传递函数。

（2）画出开环传递函数的极点和零点。

（3）根据系统参数的变化，绘制出根轨迹。

（4）分析根轨迹的形状，判断闭环系统的稳定性。

2.2.2 根轨迹的绘制技巧（1）利用软件工具，如MATLAB，自动绘制根轨迹。

（2）手动绘制根轨迹时，注意利用对称性和周期性简化绘制过程。

2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹，可以确定控制器参数，使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。

2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合，从而优化系统的性能。

2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障，为故障诊断提供依据。

3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。

通过学习本课件，您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性，并掌握绘制根轨迹的基本方法。

希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。

科学性：1. 内容准确：课件内容基于控制理论的基本原理，准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。

2. 逻辑清晰：课件从基本概念入手，逐步深入到方法介绍和应用实例，逻辑结构清晰，易于理解。

3. 实例典型：课件中提供了控制系统的实例，帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。

《根轨迹法》课件 (2)

《根轨迹法》课件 (2)


1
求系统开环传递函
2
根据系统的数学模型，求解系统的开环传递
函数。
3
判断系统稳定性
4
通过根轨迹的特征，判断系统的稳定性和性 能。
模型转化
将控制系统建模为开环系统，并确定相关参 数。
绘制根轨迹
根据开环传递函数，绘制系统的根轨迹图。
根轨迹的特征
1 方向与系统极点极值
有关
2 数量与系统阶数相关
3 与闭环系统一一对应
根轨迹的数量与பைடு நூலகம்统的阶数
根轨迹与对应的闭环系统是
根轨迹的方向与系统极点的
相关，阶数越高，根轨迹越
一一对应关系，可以通过根
位置和数量有关。
复杂。
轨迹设计闭环系统。
根轨迹法的应用举例
直流电机转速控制系统
根轨迹法可以用于设计直流电机转 速控制系统，以提高控制精度和稳 定性。
温度控制系统
应用根轨迹法设计温度控制系统， 可以实现精确控制和快速响应。
《根轨迹法》PPT课件 (2)
根轨迹法是一种强有力的控制系统设计工具，通过根轨迹的绘制和分析，可 以帮助工程师解决系统的稳定性和性能问题。
根轨迹法的概念及应用场景
概念
根轨迹法是一种图解分析方法，用于研究系统的稳定性和性能。
应用场景
根轨迹法广泛应用于控制系统设计、机器人控制、电机控制等领域。
根轨迹法的原理及步骤
机器人控制系统
根轨迹法可以用于设计机器人控制 系统，提高机器人的运动精度和稳 定性。
结论
强有力的设计工具
根轨迹法是一种强有力的控制 系统设计工具，可以帮助工程 师解决系统的稳定性和性能问 题。
结合其他设计方法
在实际应用中，必要时需要结 合其他设计方法使用，以达到 更好的效果。
根轨迹法

根轨迹法


特征根：为从-2，0开始，经- 1 （ ）沿线段变化，到 ， 此为根轨迹。
§4-1
根轨迹方程
设传递函数
闭环零点由前向通路零点和反馈通路极点决定 闭环极点由开环零点和极点共同决定
根轨迹方程
特征方程 1+GH = 0 Zj 开环零点“○”,是常数！
m
* 1+K
∏ ( s - zj )
j=1
也是常数！ 根轨迹增益K* ，不是定数，从0 ~ ∞变化
∏ ( s -pi) i=1 开环极点“×”, pi
n
=0
这种形式的特征方程就是根轨迹方程
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n
∑∠(s-zj) －∑∠(s-pj) = (2k+1) π j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
1+K K = = -1 0 1 n (s ) ∏︱ -p︱
r 90 0
p1.2 1 j 为复数开极点 p1 180 0 (( p1 z1 ) ( p1 p 2 )) 出射角： 0 0 0 0
180 (45 90 ) 225
法则7：根轨迹与虚轴交点： 根轨迹与虚轴的交点可令 s=jw代入特征方程求得，也 可利用Routh 判据得到。 根轨迹与虚轴有交点，说明系统稳定性是有条件的。 相交时，说明系统处于临界稳定。 例4： G k ( s ) 特征方程
例2： Gk (s)
n3 k* s( s 1)(s 2) m0 有n m条渐近线
开环极点：p1=0,p2=-1,p3=-2
渐近线与实轴交点：-3/3=-1
夹角：
利用根轨迹的系统校正

利用根轨迹的系统校正


当校正后的根轨迹已通过希望的主导极 点，还需要检验相应的开环增益是否满足 稳态要求。若不满足，则需调节开环增益， 同时保持根轨迹仍通过希望的主导极点。
一、时域性能与期望的闭环极点
1.高阶系统转换为标准二阶系统 找到一对主导复极点，忽略其他非主导
极点和零点的影响。 2.期望的动态性能→期望的主导极点
2.校正原理： 在原点附近放置零极点对，提升低频开环 增益，提高稳态精度。
例 单位反馈系统坡输入时，
1.校核原系统： a. 是I型系统，根据斜坡输入时期望的稳 态误差，设计开环增益的初始值：
由Routh判据可知，这是一个不稳定的系统。
2.画原系统跟轨迹，并确定主导极点
若期望的主导极点不在此根轨迹上说明仅靠调整系统的增益不能满足性能指标要求需要增加适当的校正装置改造系统的根轨迹使其通过希望的主导极点
第七章 反馈控制系统的校正
第3小节 利用根轨迹的系统校正
基于根轨迹校正的一般步骤：
根据给定的瞬态性能指标确定主导极点的 位置； 绘制未校正系统的根轨迹。若期望的主导 极点不在此根轨迹上，说明仅靠调整系统的 增益不能满足性能指标要求，需要增加适当 的校正装置改造系统的根轨迹，使其通过希 望的主导极点；
足：
，单位阶跃输入的稳态
误差
。设计串联校正网络。
1.校核原系统：
a. 包含一个积分环节，能达到零稳态误
差条件，无需校正低频段；
b.由闭环特征方程
，
得：
c. 比期望值小，说明 比期望的大，采用 超前校正改善其动态性能。
2.计算期望的主导极点，并比较校正前后的 跟轨迹。
跟轨迹 向左倾斜
3.配置超前校正网络的零极点： a.取零点为： b.设校正后开环传递函数为：
根轨迹法

根轨迹法

n


m n 长除 s pi z j s nm1 K j 1 渐近线与实轴的交点 i 1 nm
K*≦时，s≦，取前两项
改写为模和相角的形式
n m
s
nm
p z 两边开（n－m）次方
a＝
i 1 i
k 1)180 (2 j 1 p a z K e n＝m s n m 1＋
四个开环极点： 一个开环零点:
p1 0, p2 1 j, p3 1 j, p4 4
z 1
n-m=4-1=3
渐近线与实轴交点：
(0) (1 j ) (1 j ) (4) (1) 5 i 1 j 1 a＝ nm 4 1 3 渐近线与实轴正方向的夹角：
法则1 根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；若开环零点数 少于开环极点个数，则有 n-mn条根轨迹终止于无穷远处。 m 根轨迹方程
K

起点:K*=0
n
(s z ) (s p )
i 1 i j 1 n j
m
( s pi ) K (s z j ) 0

z
i 1 n j 1
m
i
p
j
4.3 绘制根轨迹的基本法则
1、根轨迹的起点和终点 2、根轨迹的分支数、连续性和对称性 3、实轴上的根轨迹 4、根轨迹的渐近线 5、根轨迹的分离点 6、根轨迹的起始角和终止角 7、根轨迹与虚轴的交点 8、闭环特征方程根之和与根之积
4.3.1绘制根轨迹的基本法则

s

1 nm
j (2 k 1) nm
பைடு நூலகம்

根轨迹分析方法

第五章根轨迹分析方法 (2)第一节 概 述 (2)一、根轨迹概念 (2)二、闭环零、极点和开环零、极点之间的关系 (4)三、根轨迹方程 (5)第二节 根轨迹的绘制方法 (7)第三节 广义根轨迹 (31)一、参数根轨迹 (31)二、零度根轨迹 (33)三、纯滞后系统的根轨迹 (36)1. 直接法 (37)2. 有理函数近似法 (39)第四节 基于根轨迹的系统性能分析 (41)一、开环极点对控制质量的影响 (41)1. 时间常数的变化 (41)2. 开环极点的增减对系统性能的影响 (42)二、开环零点对控制质量的影响 (43)1. 开环零点位置的变化 (43)2. 开环零点的增减 (44)三、增益K的选取 (44)第五节 基于根轨迹的系统补偿器设计 (45)一、超前补偿器的设计 (46)二、滞后补偿器的设计 (49)第六节 小 结 (50)第五章 根轨迹分析方法在前面的章节中，已经介绍了系统闭环特征方程的根在S 平面上的位置直接决定闭环系统的稳定性和一些重要动态特性的概念，由此产生了两个问题：一是如何通过闭环系统特征根的分布来全面了解闭环系统的动态特性；二是如何通过对闭环系统的动态特性要求来决定闭环特征根的合理分布，进而确定控制器的结构和参数。

前者是分析问题而后者是设计问题，本章通过一种几何方法来解决这两个问题。

求解闭环系统特征方程的特征根显然是一个典型的代数问题，自然可以通过严格的代数方程求解（即解析方法）解决。

然而，实际问题中，当方程阶次增高时，解析方法难以实现或求解工作量巨大。

为了兼顾求解代数特征根方程的工作量和精度两个方面，W.R.Evans 在1948年的论文“控制系统的集合分析”中提出了一种特征根求解的几何图示方法，并在此后的几十年中得到了广泛的应用，这就是根轨迹分析方法。

随着计算机技术的发展和计算数学的完善，尤其是CAD 软件的广泛应用，避免了传统的根轨迹方法需要手工作图的繁琐计算，使得该方法更易使用和普及。

绘制根轨迹的基本法则PPT课件


分离点的坐标d是可由如下方法确定：
(1)公式法（凑试法）
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
12
第12页/共85页
(2)重根法
闭环特征方程： 1 K * M (s) 0
N (s)
即： N(s) K *M (s) 0
F(s) N(s) K *M (s)
F(s) N(s) K *M (s) 0 F (s) N (s) K *M (s) 0
30
第30页/共85页
【例单位负反馈系统开环传递函数如下，绘制其根
轨迹
K* GK (s) s(s 3)(s2 2s 2)
解：1）绘制零极点分布
（1）(,2)有根轨迹，且有会合点，分离角为 90
1
1
1
2.5
2
d 2 d 1 j d 1 j
1.5
d 2 2 3.414
1
d=-3.414
0.5
p1=-1+j
Imaginary Axis
尝试其它方法
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
20
Real Axis
模值条件：
n
(s pj )
K*
j1 m
(s z j )
i1
29
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绘制根轨迹基本步骤
• 计算开环极点、零点，并标注 • 确定根轨迹分支数 • 确定根轨迹起点和终点 • 确定实轴上的根轨迹 • 确定渐近线 • 确定分离点或会合点 • 确定初始角和终止角 • 确定与虚轴的交点 • 计算要求的参数

第7章 根轨迹法


＝ s1 s1 4 s1 p1 s1 p1 1.9 2.9 3.86.0 126
（9）分离点由下式确定： K p( s) s( s 4)(s 4 j 4)(s 4 j 4) 其中s在 4和0之间取值。
dK 分离点也可由解析法确 定： 0 s ? ds 请同学们自己试一试。
s 1.5时取最大值
（ ）出射角和入射角： 10
m n 出射角： p (2k 1)180 i j i 1 j 1, j p m n i j 入射角： z (2k 1)180 i 1, i z j 1 复极点p1处的出射角： 1＝180 90 90 135 135 225
第7章 根轨迹法
• • • • • • • 7.1 引言 7.2 根轨迹的概念 7.3 根轨迹画法规则1与过程 7.4 根轨迹画法规则2与过程 7.5 基于根轨迹的控制系统分析 7.6 PID对控制系统的影响分析 7.7 广义根轨迹
•
1. 2.
7.1 引言
1948年由W.B.Evans提出的一种简便、近似的图示法； 展示了当系统参数变化时，闭环系统特征根在S平面上的变化轨迹, 当待定参数变化时特征根随之变化，这个根的变化轨迹就形成根 轨迹； 闭环系统的稳定性和动态性能取决于闭环极点特征方程的根,它利 用开环传递函数描绘出闭环特征根的变化轨迹； 根轨迹法是线性系统分析和设计的一种常用的工程方法，用来研 究根轨迹的变化规律以及和闭环系统性能间的关系的方法，称为 控制系统根轨迹分析法； 当系统参数变化时不需要重复求解。
3 当K 时，系统的另一闭环根 s 6, 它位于极点p 4的左侧。 为 2
n 步骤5：确定根轨迹的条数。 根轨迹起始于极点，终 止于零点，因此根轨迹 的条数为：, m
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熟练掌握利用计算机绘制根轨迹图 充分认识根轨迹在系统分析和参数设计中的 重要作用，并能熟练利用根轨迹进行系统性能 分析和参数选择。 熟悉PID控制器的控制作用
参阅教材第7章，P281--325 具备利用根轨迹分析设计系统的能力
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i 1 j 1
— 相角条件
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二、其它参数变化时的根轨迹
第七章 根轨迹法
R(s )
K
1 s( s a )
Y (s )
不是以K而是以a为参数的根轨迹 系统特征方程： 变形后：
K 1 KG( s ) 1 0 s( s a )
( 2) 2( 4) ( 1) 9 A 3 41 3
渐近线与实轴的夹角: 60o , k 0 2k 1 o A 180 180o , k 1 41 60o , k 1
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A

n p nz


j 1
i 1
n M
例2 . 四阶系统的特征方程式如下：
1 GH ( s ) 1 K ( s 1) s( s 2)( s 4)2
绘出根轨迹以确定增益K的影响。 第1步：绘图准备(起点、终点、分支数) 第2步: 确定实轴上的根轨迹段。
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第2步: 确定实轴上的根轨迹段。
第七章 根轨迹法
若实轴上某一段右边的开环零点和极点个数之和为奇数， 则该实轴段为根轨迹段。
例1. 二阶系统
P( s) 2( s 2) s( s 4)
1 K ( s 1) 2 1 GH ( s ) 1 0 1 s( s 1) 4
G( s) H ( s)
K s z1 s z m s p1 s p2 s pn
m n
K
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
1
G ( s ) H ( s ) ( s z i ) ( s p j ) ( 2k 1)
2 K ( s 2) 1 0 s( s 4)
Z= - 2, p1= 0, p2= - 4
-4
-2
-4
-2
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第3步: 确定趋向无穷远处根轨迹段的渐近线。 第七章 根轨迹法 随着参数K趋于无穷，将有n-M条根轨迹趋向于无穷远处。 其方向由渐近线确定。渐近线与实轴夹角及与实轴交点为： ( 2k 1) n M A 180 , k 0,1,2, ( p j ) ( zi ) n M P ( s )的极点 P ( s )的零点
第七章 根轨迹法
第七章 根轨迹法
The Root Locus Method
本章主要内容：
根轨迹的概念
教学目标：
深刻理解根轨迹的概念及在系统分析设计中 的作用
绘制根轨迹的一般 方法 利用根轨迹进行系 统分析与设计 计算机辅助分析 设计实例
熟练掌握手工绘制根轨迹草图的方法并熟练 绘制给定系统根轨迹图
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第5步: 确定根轨迹与虚轴的交点。
第七章 根轨迹法
如果根轨迹与虚轴相交时，表明特征方程有共轭虚根，可以 用如下方法求得此交点及参数K值 方法１：让Routh表出现全零行，求出系统的K值，同时由辅助方 程求得共轭虚根值。 j
第七章 根轨迹法
(s z ) (s p )
i 1 i i 1 n i
m
K 称为根轨迹参数，在其变化时，
T ( s) G( s) 1 G( s) H ( s)
闭环特征根随之不同，且根为复数。 — 根轨迹方程 — 幅值条件
q( s ) 1 G( s ) H ( s ) 0 G( s ) H ( s ) 1 1 j 0 e j ( 2 k 1)
ds ds 0
第七章 根轨迹法
-2 -1
0
求分离（会合）点的方法2是求 解以下方程，其中zi 为开环零点， pi为开环极点，σ为分离（会合） 点。
n 1 1 z p i 1 i 1 i i M
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-4
-2 -1
0
第七章 第3步: 确定趋向无穷远处根轨迹段的渐近线（续） 根轨迹法
例2 . 四阶系统的特征方程式如下：
1 GH ( s ) 1 K ( s 1) s( s 2)( s 4)2
绘出根轨迹以确定增益K的影响。 -4
-3 -2 -1 0
第3步：有3条趋向无穷远处根轨迹段的渐近线。 渐近线的交点:
第4步: 确定实轴上根轨迹分离点与会合点。 根轨迹离开实轴的点称分离点，一般出现在 有两个相邻的实轴上的开环极点之间。根轨迹 到达实轴的点称为会合点，一般出现在两个相 邻的实轴上的开环零点之间。 -4 求分离（会合）点直接的 方法1是重新整理特征方程， 将乘积因子K与F(s)分离，并 将特征方程整理成K=p(s)形 式。通过以下方程求分离 （会合）点。 dK dp( s )
d s( s 2)( s 3) ( s 3 5 s 2 6 s ) ( s 1)( 3 s 2 10s 6) ( ) 0 2 ds ( s 1) ( s 1) s 3 4s 2 5s 3 0
s( s 2)( s 3) Fra bibliotekK ( s 1)
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手工快速绘制根轨迹草图的7个步骤 第1步：绘图准备(起点、终点、分支数) （1）写出特征方程： 1+G(s)H(s)=0
第七章 根轨迹法
并整理成： 1＋KP(s)=0 以便使关心的参数K与其它项相 乘 （2）将P(s)写成n个极点和M个零点的因子相乘形式 （3）将P(s)的极点(起点)和零点（终点）标在s平面上。 当K=0时，特性方程的根就是P(s)的极点。而当K趋向无穷大 时特征方程的根就是P(s)的M个零点和n-M个无穷远处的零点。 当K由0变化到无穷大时，特征方程的根轨迹从P(s)的极点开 始而终止在P(s)的零点和无穷远处的零点。 （4）确定根轨迹的分枝数SL。SL=n （5）根轨迹关于s平面实轴对称
由根轨迹知分离点位于(-2，-3)之间，解上述方程得：s=－2.465 Q：分离点处增益K的值？ A：把分离点代入幅值条件可得。
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例3
三阶系统
1 z i 1 i
M
K ( s 1) 1 G( s ) H ( s ) 1 0 第七章 根轨迹法 s( s 2)( s 3)
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2、根轨迹方程
K ( s 1)( s 2 1 2 s 1) G ( s ) H ( s ) G 1 K s (T1 s 1)(T s 2 2T2 s 1)
2 2 2 2 2 2
1 p i 1 i
n
方法2：解方程：
1 1 1 1 1 1 1 1 0 s1 s s 2 s 3 s1 s s 2 s 3
由根轨迹知分离点位于(-2，-3)之间，解上述方程得：s=－2.465 College of Automatic Control Engineering , CUIT
分离角（或会合角）：
第七章 根轨迹法
( 2k 1) b l
例3 三阶系统，求分离点
会合（或分离）的根轨迹 的条数
分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角 方法1：重新整理特征方程为：
1 G( s ) H ( s ) 1 K ( s 1) 0 s( s 2)( s 3)
相角条件
7.2 绘制根轨迹的一般方法 绘制根轨迹的方法：
1）按基本法则（以下讲述）手工绘制； 2）用Matlab绘制： rlocus(sys) rlocfind(sys)
第七章 根轨迹法
>> num=1;den=conv([1 1],[1 5]); >> sys=tf(num,den); >> rlocus(sys) >> rlocfind(sys) Select a point in the graphics window selected_point = -2.9917 + 0.5435i ans = 4.2953
→s2＋as＋K=0
as 1 2 0 s K
于是当在根s1处满足 ： s 2 K 1 幅值条件 1
s1 (s1 j K s1 j K ) 180 ,540 .
a s1
根s1就是系统的闭环根。
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7.1 根轨迹的概念
第七章 根轨迹法
通过前面几章的学习可以看到：控制系统的稳定性、动态性 能与系统闭环特征根在s 平面的位置密切相关。 一方面通过闭环特征根位置可以确定系统是否稳定及稳定的 程度、确定系统性能指标；（系统分析） 另一方面，通过调整系统结构或参数以改变特征根的位置， 使系统满足一定的性能要求。（系统设计） 研究在给定系统参数发生变化时，其特征根在s平面上的位 置变化规律对系统分析和设计十分重要和有意义。这一过程就 是根轨迹法。 根轨迹法是一种图解法，通过作图获取系统性能或参数的 定量信息。 根轨迹法是由Evans在1948年最先提出，在控制工程实践 中不断完善和广泛应用。