例题选讲

例1（鱼的游动路线）（'18）观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是突发性地锯齿状地向上游动和向下滑行。

可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式．设鱼总是在静水中以常速v 运动，鱼在水中净重为w ，向下滑行时的阻力是w 在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w 在运动方向分力与游动所受阻力之和，又设游动的阻力是滑行阻力的k 倍，鱼向下滑行时不消耗能量．（1） 求证：当鱼要从A 点到达处于同一水平线上的B 点时（如图所示），沿折线ACB 运动消耗的能量与沿水平线AB 运动消耗的能量之比)sin(sin sin βαβαλ++=k k（2） 据实际观察，α角约为o 11，k 值约为2，试根据鱼消耗能量最小的准则估算最佳的β角．CB 解：（1）设鱼滑行所受的阻力为1f ，滑动时所受的阻力为2f ，由题意知，⎩⎨⎧==121sin kf f w f α …（'2）于是，鱼沿水平方向游动消耗的能量αsin 11AB kw AB f E ⋅=⋅= …（'2） 鱼沿折线ACB 运动消耗的能量，相当于沿AC 游动消耗的能量为AC k w AC f w E )sin sin ()sin (22βαβ+=+= …（'3）)sin(sin sin sin sin sin 12βαβααβαλ++=+==k AB AC k E E …（'3） (2)鱼从A 移动到B ,要使消耗能量最小,则当α,k 一定时,只要选取适当的β解,使λ最小即可. …（'1）∵)(sin )cos()sin sin ()sin(cos 12βαβαβαβαββλ+++-+=k k d d )(sin )]cos(1[sin 2βαβαα++-=k k …（'3） ∴令0=βλd d ,求得k1)cos(=+βα …（'2） ∵o k 11,2==α ∴最佳的o o o 491160=-=β ． …（'2）例2（标尺的设计） （'12）在石油的生产地和加工厂，为储存原油，常使用大量的水平安置的椭圆柱储油罐，其横向长度为L ，而底面是长轴为a 2，短轴为b 2的椭圆，上端有一注油孔，由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中的余油量。

任意角三角函数三、经典例题导讲[例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的个数是（ ）①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos < A ．1 B.2 C.3 D.4错解：C A < ∴ C A sin sin <，C A tan tan <故选B错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误 正解：法1C A < 在ABC ∆中，在大角对大边，A C a c sin sin ,>∴>法2 考虑特殊情形，A 为锐角，C 为钝角，故排除B 、C 、D ，所以选A . [例2]已知βα,角的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为 . 错解：∵βα,角的终边关于y 轴对称，∴22πβα=++πk 2，（)z k ∈错因：把关于y 轴对称片认为关于y 轴的正半轴对称. 正解：∵βα,角的终边关于y 轴对称 ∴)(,22Z k k ∈+=+ππβα即)(,2z k k ∈+=+ππβα说明：（1）若βα,角的终边关于x 轴对称，则α与β的关系为)(,2Z k k ∈=+πβα（2）若βα,角的终边关于原点轴对称，则α与β的关系为)(,)12(Z k k ∈++=πβα （3）若βα,角的终边在同一条直线上，则α与β的关系为)(,Z k k ∈+=παβ[例3] 已知542cos ,532sin-==θθ，试确定θ的象限. 错解：∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ，∴2θ是第二象限角，即.,222z k k k ∈+<<ππθπ从而.,244z k k k ∈+<<ππθπ故θ是第三象限角或第四象限角或是终边在y 轴负半轴上的角.错因：导出2θ是第二象限角是正确的，由0542cos ,0532sin <-=>=θθ即可确定， 而题中542cos ,532sin -==θθ不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定2θ的大小，即可进一步缩小2θ所在区间.正解：∵0542cos ,0532sin<-=>=θθ，∴2θ是第二象限角， 又由43sin 22532sinπθ=<=知z k k k ∈+<<+,22432ππθππ z k k k ∈+<<+,24234ππθππ，故θ是第四象限角. [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值. 错解：a y x r a y a x 5,3,422=+=∴=-=3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα错因：在求得r 的过程中误认为a >0正解：若0>a ，则a r 5=，且角α在第二象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα 若0<a ，则a r 5-=，且角α在第四象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=∴a a a a a a a a αααα说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解； （2）本题由于所给字母a 的符号不确定，故要对a 的正负进行讨论. [例5] （1）已知α为第三象限角，则2α是第 象限角，α2是第 象限角； （2）若4-=α，则α是第 象限角. 解：（1）α 是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2322ππαππZ k k k ∈+<<+∴,4322ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ当k 为偶数时，2α为第二象限角当k 为奇数时，2α为第四象限角而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上.（2）因为ππ-<-<-423，所以α为第二象限角. 点评：α为第一、二象限角时，2α为第一、三象限角，α为第三、四象限角时，2α为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.[例6]一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为rcm ，则扇形的弧长cm r l )220(-=扇形的面积25)5()220(212+--=⋅-=r r r S 所以当cm r 5=时，即2,10===rl cm l α时2max 25cm S =.点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.[例7]已知α是第三象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。

第十三讲容斥原理（包含与排除）【例题选讲】例题1某班同学今天至少都完成了一门语文或数学作业，已知做完语文作业的有40人，做完数学作业的有45人，两门作业都做完的有36人。

请问：这个班有多少个同学？练习13 -1六(4)班同学在《少年报》和《儿童世界》两种报刊中至少要订阅一份。

其中订阅《少年报》的25人，订阅《儿童世界》的有31人，两种报刊都订阅的有4人，求六(4)有多少学生？例题2某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，1 3人参加作文竞赛，有7人即参加数学竞赛又参加作文竞赛，那么，①只参加数学竞赛的有多少人？②参加竞赛的一共有多少人？③没有参加竞赛的一共有多少人？练习13 -2某班中有30人参加足球与排球活动，参加足球活动的有16人，参加排球活动的有21人。

①求两项活动都参加的共有多少人？②只参加足球活动的有多少人？③只参加排球活动的有多少人？例题3在1 00个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人。

那么既爱好音乐又爱好体育的人最少有多少人？最多有多人？练习13 -4外语学校共有英语、法语、日语教师共2 7人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种语言都能教的有2人，问只能教法语的有多少人？例题5如图13 -5所示，桌面上放置三个两两重叠，形状相同的圆形纸片，它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，三张纸片共同重叠的面积是42平方厘米，那么，图中阴影部分面积的总和等于多少平方厘米？练习13-5图13-6中，A、B、C分别代表面积为10、11、13的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起，盖住桌面的面积是22，且A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是6，4，5，求A、B、C三个图形公共部分（即阴影部分）的面积？例题6某班学生中78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢看小说，该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少？练习13 -6某大学有外语教师130人，其中教英语的有60人，教日语的有55人，教法语的有50人，既教英语又教日语的有20人，既教英语又教法语的有15人，既教日语又教法语的有13人，有7人英语、日语和法语三门课都会教，则不会教这三门课的外语教师有多少人？《容斥原理》自我检测1．某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24人，其中语文、数学都得优的有12人，全班得优的共有多少人？2．某班共50人，参加书法兴趣小组的32人，参加绘画兴趣小组的28人，两种兴趣小组都参加的有1 5人，这个班级还有多少人没有参加这两项兴趣小组？3．育苗小学四年级学生到野外采集标本，采集昆虫标本的有32人，采集植物标本的有27人，两种标本都采集的有7人，全班学生共有多少人？4．工厂有一批工人，每人至少会一门技术，其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人，既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人；三种机床都会开的有19人，求全厂共有多少名工人？5．某小学举行数学、语文、常识三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，语文179人，常识165人。

火车过桥【知识要点】火车过桥是指"全车通过"，即从车头上桥直到车尾离桥才算"过桥"．列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。

【例题选讲】例题1、一列火车长150米，每秒行驶19米，问全车通过420米的大桥，需要多少时间？例题2、一列火车全长255米，每秒行15米，连续通过一条隧道和一座大桥，一共用了41秒，桥长165米，问这条隧道长多少米？例题3、一列货车共43节，每节车身长20米，两节车间隔长1.5米，这列货车平均每分钟前进700米，要穿过1177米长的山洞，需要多少时间？例题4、一列车通过530米的隧道要40秒，以同样的速度通过380米大桥要用30秒，求这列车的速度和车长。

例题5、一列彩车长460米，车速是每分钟50米，另一列彩车长380米，车速是每分钟55米，两列彩车相向而行，从相遇到离开共需要多少分钟？例题6、慢车车身长125米，车速每秒17米，快车车身长140米，车速度每秒22米，慢车在前面行驶，快车在后面从追上到完全超过需要多少时间？例题7、两车相向而行，甲车每秒行16米，乙车每秒行19米，两车错车时，甲车上一乘客看见乙车从车窗经过用7秒，问乙车长多少米？例题8、巨人小学四、五年级同学去参观科技展览。

346人排成两路纵队，相邻两排前后各相距0.5米，队伍每分钟走65米。

现在要过一座889米的桥，从排头两人上桥到排尾两人离开桥，共需多少分？【练习巩固】1、火车车身长300米，它以每小时20千米的速度通过1700米的隧道，需要多少分钟？2、一列火车长600米，从路边的一棵大树旁边经过，用了2分钟，以同样的速度通过一座大桥，即从车头上桥到车尾离桥共用了5分钟，这座大桥长多少米？3、一列火车通过一座长1000米的大桥要用65秒，如果以同样的速度穿过一条730米的隧道则要用50秒，求这列火车的车身长和速度4、两列火车，一列长130米，每秒行23米；另一辆车长250米，每秒行15米，现在两车相向而行，从相遇到离开要几秒钟？。