习题选讲

微机原理习题选讲江苏大学机械学院测控系2011年9月存储器数据组织例4-3V AR1 DB 32H, ’ABC’V AR2 DW 1234H,40H, ’AB’DD 12345678HDB ?,11000011BARRY1 DB 2DUP(0,1）ARRY2 DW 2DUP (?,1)本例所定义的数据存储器分配情况如图示。

寻址方式与指令系统1.已知(DS)=1000H,(ES)=2000H,(SS)=1100H,(SI)=1010H,(BX)=0200H,(BP)=0600H,请指出下列指令的源操作数字段是什么寻址方式？源操作数字段的物理地址是什么？（1）MOV AL，[2400H]（2）MOV AX,[BP]（3）ADD AX,ES:[BP+10]（4）MOV AL,[BX+SI+25]解：（1）该指令的源操作数字段是直接寻址方式物理地址PA=（DS）×16+2400H=1000H×16+2400H=12400H （2）该指令的源操作数字段是寄存器间接寻址方式物理地址PA=（SS）×16+(BP)=1100H×16+0600H=11600H（3）该指令的源操作数字段是寄存器相对寻址方式物理地址PA=（ES）×16+(BP)+10=2000H×16+0600H+000AH=2060AH （4）该指令的源操作数字段是寄存器相对基址变址寻址方式物理地址PA=（DS）×16+（BX）+（SI）+25=1000H×16+0200H+1010H+0019H=11229H2.请指出下列指令中得错误：（1）MOV DS，12H （2）MOV AH，400（3）MOV BP，AL （4）MOV AX，[SI][DI]（5）OUT 257H，AL （6）MOV BYTE PTR[BX],1000（7）MOV [BX]，[SI] （8）MOV 4[DI]，02（9）MOV [BX+SI+3]，IP （10）PUSH BH解：（1）不能直接向DS中送立即数（2）400超过了一个字节的范围（3）寄存器类型不匹配（4）SI、DI不能同时使用（5）直接寻址的输出指令中，端口号只能在0~0FFH范围内（6）1000超过了一个字节的范围（7）源和目的操作数不能同时为存储器操作数（8）源操作数与目的操作数的类型不明确（9）IP不能作源和目的操作数（10）PUSH是字操作指令3.请写出如下程序片段中每条算术运算指令执行后标志CF、ZF、SF、OF、PF和AF的状态：MOV AX，7896HADD AL，AHADD AH，ALADD AL，0F2H解：（1）MOV AX，7896H执行后，AX=7896H，即AH=78H，AL=96H，各标志位保持不变。

直线方程综合应用（教材习题选讲）例1☆.已知四边形ABCD 的顶点为(2,222),(2,2),(0,222),(4,2)A B C D +--，求证：四边形ABCD 为矩形。

【证明】：易知(4,22),(4,22)AB DC =--=--， 显然，AB DC =，因此，四边形ABCD 是平行四边形； 又，(2,22)AD =-，因880AD AB ⋅=-+=，故AB AD ⊥ 所以，四边形ABCD 为矩形。

例2☆.已知四边形ABCD 的顶点为(,),(6,1),(3,3),(2,5)A m n B C D ，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形。

【解】：有两种情况，如图（1）D ∠为直角。

此时//AB DC ，AD DC ⊥ 因(6,1),(1,2),(2,5)AB m n DC AD m n =--=-=--，因此有61121(2)2(5)0m nm n --⎧=⎪-⎨⎪--+-=⎩，解得1829,55m n == （2）B ∠为直角。

此时//AD BC ，AB BC ⊥ 因(6,1),(3,2),(2,5)AB m n BC AD m n =--=-=--，因此有25323(6)2(1)0m nm n --⎧=⎪-⎨⎪--+-=⎩，解得8625,1313m n == 故，1829,55m n ==或8625,1313m n ==。

例3☆.经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段总有公共点，找出直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围，并说明理由。

【解】：如图，易知111(2)1,10201PB PA k k -----====---，因此PB 、PA 的倾斜角分别为45和135。

从图形看，过P 的直线的倾斜角如果位于区间(45,135)，则直线与线段AB 无交点，而此时，直线的斜率范围为(,1)(1,)-∞-⋃+∞，因此，要保证过P 的直线与线段AB 始终有公共点，则直线的倾斜角范围为：[0,45][135,180)⋃，斜率范围为[1,1]-yxOABA'P例4☆.在方程0Ax By C ++=中，,,A B C 为何值时，方程表示的直线（1）平行于x 轴 （2）平行于y 轴 （3）与x 轴重合 （4）与y 轴重合【解】：（1）当0,0,0A B C =≠≠时，直线方程为：Cy B =-，直线平行于x 轴；（2）当0,0,0A C B ≠≠=时，，直线方程为：Cx A=-，直线平行于y 轴；（3）当0,0A C B ==≠时，直线方程为：0y =，直线与x 轴重合； （4）当0,0B C A ==≠时，直线方程为：0x =，直线与y 轴重合。

小学六年级上数学习题选讲1.（1）张华写了一本散文集的稿费3600元，按照个人所得税法规定，稿费收入超过800元的部分按20%交纳个人所得税，他应缴税多少元？解：（1）（3600-800）×20%，=2800×0.2，=560（元）；答：他应缴税560元．（2）2010年1月张叔叔将20000元存入银行，定期五年，年利率5.76%，到期后共可取多少元？（按5%缴纳利息税）（2）20000+20000×5.76%×5×（1-5%），=20000+5472，=25472（元）；答：到期后共可取25472元．2李老师要买150本笔记本．在甲商店，看到一种标价为8元的笔记本，李老师感到很满意，问营业员怎么买？营业员说：“每本8元，十本起，可打九折”．到了乙商店，看到同样的笔记本，营业员介绍说：“买十本送一本”．根据以上信息请你算一算，李老师到那家商店购买合算，为什么？解：甲商店：150×8×90%，=1200×90%，=1080（元）乙商店：因为买十本送一本，买137本送13本，所以买137本笔记本所需要的钱数：137×8=1096（元），因为1080元＜1096元，所以李老师到甲商店购买合算；答：李老师到甲商店购买合算．3有一台机器，使用了一种类型的零件1000个，一周内报废的零件在本周末换新零件．在新零件中有10%在第一周末报废，有30%在第二周报废，有60%在第三周末报废，没有能使用四周以上的零件．问（1）新机器中必须在第二周末换新的零件的个数是多少？（2）新机器中必须在第三周末换新零件的个数是多少？答案解：第一周报废：1000×10%=100（个）．第二周末换新的个数有：1000×30%+100×10%=310（个）．第三周末换新的零件有：1000×60%+100×30%+310×10%=661（个）．答：新机器中必须在第二周末换新的零件的个数是310个，新机器中必须在第三周末换新零件的个数是661个4们可以用“肥胖百分数”来表示一个人的胖瘦情况，“肥胖百分数”是用体重（千克）除以身高（分米）的平方．再乘以100%，即肥胖百分数=×100%，一般认为：肥胖百分数在18%～20%的人偏瘦．在20%～24%的人为基本正常，在24%～26%的人偏胖，小明的父亲身高18分米，体重80千克，试判断小明父亲的胖瘦情况．答案解：×100%，=×100%，≈25%；25%在24%～26%，属于偏胖的范围．答：小明的父亲偏胖．5按要求完成下面的任务．（1）把下面的百分数化成小数：56% 0.8% 130% 4% 43.7% 700% 75% 310% （2）把小数化成百分数：4.6 0.3 1.72 0.375 2.05 0.07 ⑩3.125 0.0005 （3）把下面的百分数化成分数：8% 2.5% 40% 60% 125% 150% 32% 45%（4）把下面的分数化成百分数： 1．答案解：（1）56%=0.56，0.8%=0.008，130%=1.3，4%=0.04，43.7%=0.437，700%=7，75%=0.75，310%=3.1；（2）4.6=460%，0.3=30%，1.72=172%，0.375=37.5%，2.05=205%，0.07=7%，3.125=312.5%，0.0005=0.05%；（3）8%=0.08，2.5%=0.025，40%=0.4，60%=0.6，125%=1.25，150%=1.5，32%=0.32，45%=0.45；（4）==5%，1≈1.667=166.7%，≈0.857=85.7%，==5%，=0.625=62.5%，==46%，=0.5=50%，=1.25=125%．6用4000千克大豆榨豆油1440千克，求大豆的出油率．答案解：1440÷4000×100%，=0.36×100%，=36%．答：大豆的出油率是36%．7六年级一班有男同学25名，女同学20名．答案解：根据题意连线如下：8、豆豆今年4岁，是妈妈年龄的．妈妈今年多少岁？解：4÷=26（岁），答：妈妈今年26岁．9花生仁的出油率为38%，要榨380千克花生油大约需要多少千克花生仁？答案解：380÷38%=1000（千克）；答：大约需要1000千克花生仁．10一种手表，原价每块108元，现价81元，便宜了百分之几？答案解：（108-81）÷108，=27÷108，=25%；答：便宜了25%．11一本书售价36元，利润是成本的20%，成本是多少元？答案解：36÷（1+20%），=36÷1.2，=30（元）；答：成本价是30元．12个书包的原价是45元，打八折后的价格是多少元？答案解：45×80%=36（元）；答：打八折后的价格是36元．13一件衣服降价20%出售，现价192元．降价了多少元？解：162÷（1-20%）×20%，=162÷80%×20%，=202.5×20%，=40.5（元）；答：降价了40.5元．14一台液晶电视，降价600元后，卖4400元．降价百分之几？答案解：600÷（600+4400），=600÷5000，=12%；答：降价12%．15实际参加“红色之旅”的学生人数比原计划增加了百分之几？答案解：（1200-1000）÷1000，=200÷1000，=0.2，=20%．答：实际参加“红色之旅”的学生人数比原计划增加了20%．。

可编辑修改精选全文完整版一、在以下两种情况下计算粒子在一维阶跃势()⎩⎨⎧><=0000x V x x v （00>V ）上的反射率R 与折射率T ：00)2,)1V E V E <>解：（1）ψψμE H U H=+∇-=ˆ,2ˆ22 0V E >：令()022V E Ek -==μαμ， 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ ()()00222>=+x x dxx d ，ψαψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ()0,2>=x Ae x x i αψ 由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得 ααα+-=+=k k B k k A ,2 反射率()()222αα+-==k k B R透射率()241αα+=-=k k R T（2）0V E <，()E V -=02μβ 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ()()00222>=-x x dxx d ，ψβψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ ()0,2>=-x Ae x x βψ由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得()()()k i k i B k i A βββ+-=+=1112，反射率12==B R ，透射率01=-=R T二、质量为μ的粒子被约束在半径为r 的圆周上运动。

（1）设立路障 ，进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动πϕϕϕϕϕ2,0,0{)(00<≤∞<≤=V求解粒子能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于情况（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率。

解 1、在路障内，定态Schroedinger 方程为)()(2222ϕψϕϕψE d d I =- （1） 其中2r I μ=，方程（1）的解为00)(ϕϕϕψϕϕ<<+=-ik ik Be Ae （2）其中22IEk =，由,0)0(=ψ得A B -=，代入（2）得 00sin )()(ϕϕϕϕψϕϕ<<=-=-k c e e A ik ik由,0)(0=ϕψ得0ϕπn k =， .,2,1,20222 ==n I n E ϕπ由归一化条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤==⇒=⎰πϕϕϕϕϕπϕϕϕψϕϕϕψϕ200sin 2)(21)(00002n c d2、设t =0时撤去路障，撤去路障后的定态波函数与定态能量为.,2,1,0,2,21)(22 ±±===m Im E e m im m ϕπϕψ 任意时刻的波函数为ϕπϕψim t E imm e eC t n 21),(-∑=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤==∑πϕϕϕϕϕπϕϕπϕψϕ200sin 22)0,(0000mim m e C其中系数⎰⎰===-0000002sin1sin 1ϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕd C d e C im m粒子仍处于基态的几率为324πϕ=C 。

知识网络§1 绝对值型不等式典例精析题型一 解绝对值不等式【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0； 当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解； 当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞). (2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1).【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二 解绝对值三角不等式 【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ).又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ).解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型三 利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果?x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围.【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤x f x 的解集为(－∞，－32]；②当－1＜x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立， 不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤＜1x f x 的解集为?；③当x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧3≥)(1,＞x f x 的解集为[32，＋∞).综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|不满足题设条件. 若a ＜1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-1,≥1),(-2＜1,＜,1,≤,12x a x x a a a x a xf (x )的最小值为1－a .由题意有1－a ≥2，即a ≤－1.若a ＞1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,≥1),(-2,＜＜1,11,≤,12a x a x a x a x a x f (x )的最小值为a －1，由题意有a －1≥2，故a ≥3. 综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ?B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2?－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a－1)2，解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0?(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0，①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}，因为A ?B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}，因为A ?B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1.综上使A ?B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1?1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.§2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例1】 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【证明】 由a ，b ，c 为正数，得lg a ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c 2≥lg ac .而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2＝lg(abc )＝lg a ＋lg b ＋lg c .即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.求证：|ac ＋bd |≤1.【证明】因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，所以|ac ＋bd |≤1. 题型二 用作差法证明不等式【例2】 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ). 【证明】a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2－a 2－b 2－c 2＝[(a －b )2－c 2]＋[(b －c )2－a 2]＋[(c －a )2－b 2].而在△ABC 中，||b －a ＜c ，所以(a －b )2＜c 2，即(a －b )2－c 2＜0.同理(a －c )2－b 2＜0，(b －c )2－a 2＜0，所以a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＜0.故a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n≥(a＋b )2.【证明】因为a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn≥0，所以不等式a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2成立.题型三 用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c ).【证明】因为a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以要证原不等式成立， 即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ] ≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b ).①因为(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )＞0， (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )＞0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f (x )＝x －a (x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a ≥0). (1)求f (x )的单调区间；(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m )n ＜(1＋n )m . 【解析】(1)f ′(x )＝1－a ln(x ＋1)－a ，①a ＝0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数； ②当a ＞0时，f (x )在(－1，aa-1e －1]上单调递增，在[aa -1e －1，＋∞)单调递减. (2)证明：要证(1＋m )n ＜(1＋n )m ，只需证n ln(1＋m )＜m ln(1＋n )，只需证ln(1＋m )m ＜ln(1＋n )n.设g(x)＝ln(1＋x)x(x＞0)，则g′(x)＝x1＋x－ln(1＋x)x2＝x－(1＋x)ln(1＋x)x2(1＋x).由(1)知x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)单调递减，所以x－(1＋x)ln(1＋x)＜0，即g(x)是减函数，而m＞n，所以g(m)＜g(n)，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.§3 不等式的证明(二)典例精析题型一用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证：(a＋2)2＋(b＋2)2≥252.【证明】方法一：(放缩法) 因为a＋b＝1，所以左边＝(a＋2)2＋(b＋2)2≥2[(a＋2)＋(b＋2)2]2＝12[(a＋b)＋4]2＝252＝右边.方法二：(反证法)假设(a＋2)2＋(b＋2)2＜252，则a2＋b2＋4(a＋b)＋8＜252.由a＋b＝1，得b＝1－a，于是有a2＋(1－a)2＋12＜25 2.所以(a－12)2＜0，这与(a－12)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥25 2.【点拨】根据不等式左边是平方和及a＋b＝1这个特点，选用重要不等式a2＋b2≥2(a＋b2)2来证明比较好，它可以将具备a2＋b2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b ＝1，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a 0，a 1，a 2，…，a n －1，a n 满足a 0＝a n ＝0，且有 a 0－2a 1＋a 2≥0， a 1－2a 2＋a 3≥0， …a n －2－2a n －1＋a n ≥0，求证：a 1，a 2，…，a n －1≤0.【证明】由题设a 0－2a 1＋a 2≥0得a 2－a 1≥a 1－a 0. 同理，a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a 2－a 1≥a 1－a 0.假设a 1，a 2，…，a n －1中存在大于0的数，假设a r 是a 1，a 2，…，a n －1中第一个出现的正数. 即a 1≤0，a 2≤0，…，a r －1≤0，a r ＞0，则有a r －a r －1＞0，于是有a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a r －a r －1＞0. 并由此得a n ≥a n －1≥a n －2≥…≥a r ＞0.这与题设a n ＝0矛盾.由此证得a 1，a 2，…，a n －1≤0成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，n ∈N *，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【证明】 方法一：(放缩法)n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2，即n ＜n (n ＋1)＜2n ＋12.所以1＋2＋…＋n ＜a n ＜12[1＋3＋…＋(2n ＋1)].所以n (n ＋1)2＜a n ＜12·(n ＋1)(1＋2n ＋1)2，即n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.方法二：(数学归纳法)①当n ＝1时，a 1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即k (k ＋1)2＜a k ＜(k ＋1)22.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1×2＋2×3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)，所以k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＜a k ＋1＜(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2).而k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＞k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2，(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2)＜(k ＋1)22＋(k ＋1)＋(k ＋2)2＝k 2＋4k ＋42＝(k ＋2)22.所以(k＋1)(k＋2)2＜a k＋1＜(k＋2)22.故当n＝k＋1时，不等式也成立.综合①②知当n∈N*，都有n(n＋1)2＜a n＜(n＋1)22.【点拨】在用放缩法时，常利用基本不等式n(n＋1)＜n＋(n＋1)2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，…，8n(2n－1)2(2n＋1)2，…，S n为其前n项和，计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，观察上述结果推测出计算S n的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜想S n＝(2n＋1)2－1(2n＋1)2(n∈N＋).证明：①当n＝1时，S1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即S k＝(2k＋1)2－1 (2k＋1)2.则S k＋1＝S k＋8(k＋1)(2k＋1)2(2k＋3)2＝(2k＋1)2－1(2k＋1)2＋8(k＋1)(2k＋1)2(2k＋3)2＝(2k＋1)2(2k＋3)2－(2k＋1)2(2k＋1)2(2k＋3)2＝[2(k＋1)＋1]2－1[2(k＋1)＋1]2.即当n＝k＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n∈N＋，等式都成立.题型三用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设a n为n年后该地区森林木材存量.(1)求a n的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a，如果b＝1972a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)【解析】(1)依题意得a1＝a(1＋14)－b＝54a－b，a2＝54a1－b＝54(54a－b)－b＝(54)2a－(54＋1)b，a3＝54a2－b＝(54)3a－[(54)2＋(54＋1)]b，由此猜测a n ＝(54)n a －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54＋1]b ＝(54)n a －4[(54)n －1]b (n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，猜测成立.②假设n ＝k (k ≥2)时猜测成立，即a k ＝(54)k a －4[(54)k －1]b 成立.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫(54)k a －4[(54)k －1]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b ，即当n ＝k ＋1时，猜测仍成立.由①②知，对任意n ∈N ＋，猜测成立.(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a ，所以(54)n a －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ，整理得(54)n ＞5，两边取对数得n lg 54＞lg 5，所以n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0). (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时). (2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如a2＋1＞||a，n(n＋1)＞n；(2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如n(n＋1)＜n＋(n＋1)2；(4)利用常用结论，如k＋1－k＝1k＋1＋k＜12k，1 k2＜1k(k－1)＝1k－1－1k；1 k2＞1k(k＋1)＝1k－1k＋1(程度大)；1 k2＜1k2－1＝1(k－1)(k＋1)＝12(1k－1－1k＋1) (程度小).3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.§4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a1，a2，…，a n都为正实数，证明：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1a n＋a2na1≥a1＋a2＋…＋a n.【证明】方法一：由柯西不等式，有(a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1a n＋a2na1)(a2＋a3＋…＋a n＋a1)≥(a1a2·a2＋a2a3·a3＋…＋a na1·a1)2＝(a1＋a2＋…＋a n)2.不等式两边约去正数因式a1＋a2＋…＋a n即得所证不等式.方法二：不妨设a1≤a2≤…≤a n，则a21≤a22≤…≤a2n，1a1≥1a2≥…≥1a n.由排序不等式有a21·1a2＋a22·1a3＋…＋a2n－1·1a n＋a2n·1a1≥a21·1a1＋a22·1a2＋…＋a2n·1a n＝a1＋a2＋…＋a n，故不等式成立.方法三：由均值不等式有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2na 1＋a 1≥2a n ，将这n 个不等式相加得 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1≥2(a 1＋a 2＋…＋a n )，整理即得所证不等式.【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.【证明】左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，(或左边＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2ba cbc b b a ++++•＋2ba a c a cb a ++++•＋2cb ac a c c b ++++•＝9)所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.题型二 用柯西不等式求最值【例2】 若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝4 (当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合x ＋2y ＋3z ＝2，解得x ＝17，y ＝27，z ＝37)，所以14(x 2＋y 2＋z 2)≥4.所以x 2＋y 2＋z 2≥27.故x 2＋y 2＋z 2的最小值为27.【点拨】 根据柯西不等式，要求x 2＋y 2＋z 2的最小值，就要给x 2＋y 2＋z 2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x ＋2y ＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值.【解析】因为(x2＋2y2＋3z2)[32＋(2)2＋(13)2]≥(3x＋2y·2＋3z·13)2≥(3x＋2y＋z)2，所以(3x＋2y＋z)2≤12，即－23≤3x＋2y＋z≤23，当且仅当x＝－9317，y＝－3317，z＝－317时，3x＋2y＋z取最小值，最小值为－2 3.题型三不等式综合证明与运用【例3】设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.【证明】(1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤x n，由排序原理：顺序和≥反序和得1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋x n·x n≥1·x n＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)x n.①又因为x，x2，…，x n，1为序列1，x，x2，…，x n的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x＋x·x2＋…＋x n－1·x n＋x n·1≥1·x n＋x·x n －1＋…＋x n－1·x＋x n·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋x n≥(n＋1)x n，②将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.③(2)当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞x n.由①②仍然成立，于是③也成立.综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a、b、c，则a＋b＋c＝3，且这三个正三角形面积和S满足：3S＝34(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥34(a＋b＋c)2＝934?S≥334.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.。