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习题选讲

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例题选讲

例题选讲


解答：



四叉树结点的度数均不大于4，结点总数应等于 度为i的结点数(记为ni)之和： N=no+n1+n2+n3+n4 (1) 因为度为 i的结点有i个孩子，而根结点不是任何 结点的孩子，故结点总数为： N=n1+2n2+3n3+4n4+1 (2) 由上面的(1)、(2)式得到： no=n2+2n3+3n4+1=1+20+60+1=82
例1-3

设A是一个线性表（a1,a2,…,an），若采用顺序 存储结构，则在等概率的前提下，平均插入一 个元素需要移动的元素个数为多少？若元素插 在ai和ai+1之间(0≤ i ≤n-1)的概率为
n -i n(n 1) / 2
则平均每插入一个元素所移动的元素的个数又 是多少？
解答：


在等概率的前提下，平均插入一个元素需要移动的 元素个数为：（0+1+2+…+n）/(n+1)=n/2 若元素插在ai和ai+1之间(0≤ i ≤n-1)的概率为 n -i n(n 1) / 2 ，则平均每插入一个元素所移动的元 素的个数为：
例题选讲
线性结构
1线性表

例1-1关于线性表的说法，下面选项正确的是 （ ）。 A. 线性表的特点是每个元素都有一个前驱元素 和一个后继元素 B.线性表是具有n(n≥0)个元素的一个有限序列 C.线性表就是顺序存储的表 D.线性表只能用顺序存储结构实现
例1-2

下面关于线性表的叙述中，错误的是哪一个？ A.线性表采用顺序存储，必须占用一片连续的存 储单元 B.线性表采用顺序存储，便于进行插入和删除操 作 C.线性表采用链式存储，不必占用一片连续的存 储单元 D.线性表采用链式存储，便于插入和删除操作

离散数学习题选讲

离散数学习题选讲
（4） 设 B 为偏序集 < A, ≤ > 的子集，若 B 中存在最大元，则它就是 B 的最小上界，否则
从 A − B 中选择那些向下可达 B 中每一个元素的结点，它们都是 B 的上界，其中的 最小元是 B 的最小上界，类似地可以确定 B 的最大上界。
离散数学习题选讲
第6页共7页
第五章 代数系统的一般性质
如果给定了两个以上的运算，在讨论封闭性时要分别对每个运算讨论。
容易验证本题中的 6 个函数全是实数集 R 上的二元运算，它们的可交换性、结合性、
幺元和零元的判别结果如下：
函数
交换
结合
么元
零元
f1
√
√
为0
×
f2
×
×
×
×
f3
√
√
为1
为0
f4
√
√
×
×
f5
√
√
×
×
f6
√
×
×
×
离散数学习题选讲
第7页共7页
第六章 几个典型的代数系统
有的结点检查完毕，就得
到 G′ 。以本题为例。图（1） 表示 R 的关系图 G 。依次
检查结点 1、2、3、4。从 1 出发，沿环走 2 步仍回
到 1。所以， G′ 中有过 1
的环。从 1 出发，经过 <1,1>和<1,4>，2 步可达
4。所以 G′ 中有从 1 到 4
的边。结点 1 检查完毕。 类似地检查其它 3 个结点。2 步长的路径还有 2→1→1，2→1→4,3→4→1,4→1→1,4→1→4。
前提引入
② ∃y(F ( y) → G( y))
①EG

计算机网络习题选讲三

计算机网络习题选讲三
(4)最多是4094个（不考虑全0和全1的情况）
(5)子网掩码由一连串的1和一连串的0组成，1代表网络号 和子网号，0对应主机号.255.255.0.255变成二进制形式是： 11111111 11111111 00000.可见，是一个有效的子网掩码， 但是不是一个方便使用的解决办法。
(6)194.47.20.129，C类。
(5) 192.4.153.90
试分别计算其下一站。
答：（1）接口0 （2）R2 （3）R4（4） R3 （5）R4
方法：用目标网络号和子网掩码相与，若 结果出现在目的网络中，则转发相应的下 一站，若没有出现在目的网络中，则转发 到默认站（R4）。
注：计算中注意IP地址和掩码最后一个字节 展开成二进制计算。
LAN2，91台主机
LAN3，150台主机
LAN4，3台对LAN3，主机数150，（27-2）<150+1<（28-2）， 所以主机位为8bit，网络前缀为24，分配地址块 30.138.118.0/24。（第24位为0） 对LAN2，主机数91，（26-2）<91+1<（27-2），所 以主机位为7bit，网络前缀为25，分配地址块 30.138.119.0/25。（第24，25位为1 0）
答：一个TCP报文段的数据部分最长为65495字 节。此数据部分再加上TCP首部的20字节，再加 上IP首部的20字节，正好是IP数据报的最大长度 （216-1=65535字节）。当然，若IP首部包含了选 项，则IP首部长度超过20字节，这时TCP报文段 的数据部分的长度将小于65495字节。 即使用户要传输的数据的字节长度超过TCP 报文段中的序号字段可能编出的最大序号，还可 以用TCP来传输。当今的Internet用户速率还不是 很高，且分组的生命期受限。由于TCP序号字段 有32位长，可以循环使用序号。这样，就可保证 当序号重复使用时，旧序号的数据早已通过网络 到达终点了。

线性代数--习题选讲

线性代数--习题选讲

11111000c0 cc1c c 1111c1 1c0cc0 0 0 c 1 0 1 aabb11c111bb111c 0a0aaaabba0cb0b00c0b1b1bc1cca12aabc 1 1 0
00000b11b1ccc1caa a 111101 0b1bb1 a 1c a 0 1 1
10 1
a2 a1 x
证明 按第一列展开, 有
x 1
00
1 0
0x
00
x 1
Dn x 00
(1)n1 an
x 1
00
an1 an2
a2 a1 x
00
xDn1 an x 2 Dn2 an1 x an 右。
00 00
1 0 x 1
1 a1 1
(2)
1 Dn
1 a2
11
证明
1
1
n1
a1a2 an (1 i1 ai )
1
0
0
0
a1
1
0
0
a12
a2 a1
a3 a2
a4 a2
3
a14 (a22 a12 )(a2 a1 ) (a3 a2 ) aia j (a4 a2 )
aia j
i j1
i j1,2,4
D (a2 a1)(a3 a1)(a4 a1)(a3 a2 )(a4 a2 )
1
0
0
a0 0a 原式=a 00 00
00
00
00
a0
(1)n1 0 a
a0
0a n1
00
01 00 00
a0 n1
a0 0a 原式=a 00 00
00
00
00

习题选讲

习题选讲

3．矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知F=5KN， a =1.5m，[σ]= 10MPa，试确 定此矩形截面b/h的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并计算所需 圆木的最小直径d。
Wbh2 b(d2b2)
6
6
令抗弯截面系数取最大值，则： dW 0
db
h/b 2
7.5KN•m
3d 2
2、图示等直杆，杆长为3a，材料的抗拉刚度为EA，受力 如图。杆中点横截面的铅垂位移有四种答案：( B )
（A）0；
（B）Fa/(EA);
F
（C）2 Fa/(EA);
（D）3 Fa/(EA)
2F
3、刚性杆AB的左端铰支，1、2两杆为长度相 等、横截面面积相等的直杆，其弹性横量分别 为E1 和E2，且有 E1 = 2 E2 ，平衡方程与补充方 程可能有以下四种：（ C )
FN1a2FN2a3Fa0FN12FN23F
2l1l22F EN 1A 1lF EN 2A 2lFN1FN2
4、图示平板，两端受均布载荷q 作用，若变形前在板面 划上两条平行线段AB和CD，则变形后：( A )
（A） AB//CD， a角减小；（B） AB //CD，a角不变 （C） AB //CD，a角增大 （D）） AB 不平行于CD
d3
b ,h d,W
3
3
93
m a x M W m a x [] W M [m ] a x d 393 M [m ] a x 0 .2 2 7 m
4、简支梁如图所示，试求梁的最低层纤维的总伸长。 M ( x ) 1 qx (l x ) 2

(x)

6M (x) bh2
应为 B

线性代数习题选讲__ 线性方程组的解的结构_

线性代数习题选讲__ 线性方程组的解的结构_

解 (1) 证明α1,α2,α3是线性无关的. 用反证法. 假设 α1,α2,α3是线性相关的, 那么存在不全为零的常数 k1, k2, k3, 使得
k1α1 k2α2 k3α3 0.
于是
α4 3α1 α2 5α3
与 4 (3 k1) 1 ( 1 k2) 2 (5 k3) 3
是α4表示为α1,α2,α3的线性组合的两种不同的表示方法. 这与题目的条件相矛盾. 因此, 1, 2, 3是线性无关的.
是AX 的解, 那么 A(c11 c22 ctt) c1Aγ1 c2Aγ2 ctAγt c1β c2β ctβ (c1 c2 ct).
因为AX β是非齐次方程组, 所以β 0. 因此,
c1 c2
ct 1.
反过来, 设 因为
c1 c2
ct 1.
A(c11 c22 ctt) c1A1 c2A2 ctAt c1β c2β ctβ (c1 c2 ct) ,
(2) 求方程组AX β的通解.
因为α4 3α1 α2 5α3, 所以向量组α1,α2,α3,α4是 是线性相关的. 又因为 1, 2, 3是线性无关的, 所以
r(A) r{α1,α2,α3,α4} 3. 由此可得, 方程组AX 的导出方程组AX 0的基础 解系由它的一个非零解向量构成.
第 10 讲 线性方程组的解的结构
题10.1 设A (α1,α2,α3,α4)是m4矩阵, α4可以表示 为 1, 2, 3的线性组合
α4 3α1 α2 5α3, 并且表示的方法是唯一的. (1) 证明α1,α2,α3是线性无关的.
(2) 如果β α1 α2 2α3 3α4, 求方程组AX β的通解.
因此,
1 3
1
1
c c

微机原理期末考试习题选讲

微机原理习题选讲江苏大学机械学院测控系2011年9月存储器数据组织例4-3V AR1 DB 32H, ’ABC’V AR2 DW 1234H,40H, ’AB’DD 12345678HDB ?,11000011BARRY1 DB 2DUP(0,1）ARRY2 DW 2DUP (?,1)本例所定义的数据存储器分配情况如图示。

寻址方式与指令系统1.已知(DS)=1000H,(ES)=2000H,(SS)=1100H,(SI)=1010H,(BX)=0200H,(BP)=0600H,请指出下列指令的源操作数字段是什么寻址方式？源操作数字段的物理地址是什么？（1）MOV AL，[2400H]（2）MOV AX,[BP]（3）ADD AX,ES:[BP+10]（4）MOV AL,[BX+SI+25]解：（1）该指令的源操作数字段是直接寻址方式物理地址PA=（DS）×16+2400H=1000H×16+2400H=12400H （2）该指令的源操作数字段是寄存器间接寻址方式物理地址PA=（SS）×16+(BP)=1100H×16+0600H=11600H（3）该指令的源操作数字段是寄存器相对寻址方式物理地址PA=（ES）×16+(BP)+10=2000H×16+0600H+000AH=2060AH （4）该指令的源操作数字段是寄存器相对基址变址寻址方式物理地址PA=（DS）×16+（BX）+（SI）+25=1000H×16+0200H+1010H+0019H=11229H2.请指出下列指令中得错误：（1）MOV DS，12H （2）MOV AH，400（3）MOV BP，AL （4）MOV AX，[SI][DI]（5）OUT 257H，AL （6）MOV BYTE PTR[BX],1000（7）MOV [BX]，[SI] （8）MOV 4[DI]，02（9）MOV [BX+SI+3]，IP （10）PUSH BH解：（1）不能直接向DS中送立即数（2）400超过了一个字节的范围（3）寄存器类型不匹配（4）SI、DI不能同时使用（5）直接寻址的输出指令中，端口号只能在0~0FFH范围内（6）1000超过了一个字节的范围（7）源和目的操作数不能同时为存储器操作数（8）源操作数与目的操作数的类型不明确（9）IP不能作源和目的操作数（10）PUSH是字操作指令3.请写出如下程序片段中每条算术运算指令执行后标志CF、ZF、SF、OF、PF和AF的状态：MOV AX，7896HADD AL，AHADD AH，ALADD AL，0F2H解：（1）MOV AX，7896H执行后，AX=7896H，即AH=78H，AL=96H，各标志位保持不变。

集合论习题选讲


证明：① 先证T具有自反性
x∈A, 由于R是A上自反关系, 所以<x,x>∈R 即<x,x>∈R ∧ <x,x>∈R
由T的定义知：<x,x>∈T 所以T具有自反性
8
② 再证T具有对称性 x,y∈A ,若<x,y>∈T 由T的定义知：<x,y>∈R ∧ <y, x>∈R 即 <y, x>∈R ∧ <x,y>∈R
3
12.设A、B为任意集合，证明：
Hale Waihona Puke (1) (2)P(A)∩P(B) = P(A∩B)
P(A)∪P(B) P(A∪B)
针对（2）举一反例，说明P(A)∪P(B) = P(A∪B)对 某些集合A和B是不成立的 证明：(1) ① 先证 所以 xA ∧ xB 所以 x A∩B, 即 x∈P(A∩B) P(A)∩P(B) P(A∩B) x∈P(A)∩P(B), 则 x∈P(A) ∧ x∈P(B)
6
(3) 举例：
令A={1},B={2} 则 A∪B={1，2} 则P(A)={，{1}}，P(B)={，{2}} 而P(A∪B)={，{1},{2},{1,2}}
显然P(A)∪P(B)= P(A∪B)不成立.
7
13.设R是A上的自反和传递关系，如下定义A上的关系T， 使得 x, y∈A <x, y>∈T <x ,y>∈R ∧ <y, x>∈R 证明：T是A上的等价关系。
5. A=且B≠，则BA= ?
6. 设A={a}，则{{φ},φ}P(P(A)) ？ 7. 设f：N×N→N,f(<x,y>)=xy,则f是满射的 ?

第2讲-直线方程综合问题

直线方程综合应用（教材习题选讲）例1☆.已知四边形ABCD 的顶点为(2,222),(2,2),(0,222),(4,2)A B C D +--，求证：四边形ABCD 为矩形。

【证明】：易知(4,22),(4,22)AB DC =--=--， 显然，AB DC =，因此，四边形ABCD 是平行四边形； 又，(2,22)AD =-，因880AD AB ⋅=-+=，故AB AD ⊥ 所以，四边形ABCD 为矩形。

例2☆.已知四边形ABCD 的顶点为(,),(6,1),(3,3),(2,5)A m n B C D ，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形。

【解】：有两种情况，如图（1）D ∠为直角。

此时//AB DC ，AD DC ⊥ 因(6,1),(1,2),(2,5)AB m n DC AD m n =--=-=--，因此有61121(2)2(5)0m nm n --⎧=⎪-⎨⎪--+-=⎩，解得1829,55m n == （2）B ∠为直角。

此时//AD BC ，AB BC ⊥ 因(6,1),(3,2),(2,5)AB m n BC AD m n =--=-=--，因此有25323(6)2(1)0m nm n --⎧=⎪-⎨⎪--+-=⎩，解得8625,1313m n == 故，1829,55m n ==或8625,1313m n ==。

例3☆.经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段总有公共点，找出直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围，并说明理由。

【解】：如图，易知111(2)1,10201PB PA k k -----====---，因此PB 、PA 的倾斜角分别为45和135。

从图形看，过P 的直线的倾斜角如果位于区间(45,135)，则直线与线段AB 无交点，而此时，直线的斜率范围为(,1)(1,)-∞-⋃+∞，因此，要保证过P 的直线与线段AB 始终有公共点，则直线的倾斜角范围为：[0,45][135,180)⋃，斜率范围为[1,1]-yxOABA'P例4☆.在方程0Ax By C ++=中，,,A B C 为何值时，方程表示的直线（1）平行于x 轴 （2）平行于y 轴 （3）与x 轴重合 （4）与y 轴重合【解】：（1）当0,0,0A B C =≠≠时，直线方程为：Cy B =-，直线平行于x 轴；（2）当0,0,0A C B ≠≠=时，，直线方程为：Cx A=-，直线平行于y 轴；（3）当0,0A C B ==≠时，直线方程为：0y =，直线与x 轴重合； （4）当0,0B C A ==≠时，直线方程为：0x =，直线与y 轴重合。

小学六年级上数学习题选讲--百分数

小学六年级上数学习题选讲1.（1）张华写了一本散文集的稿费3600元，按照个人所得税法规定，稿费收入超过800元的部分按20%交纳个人所得税，他应缴税多少元？解：（1）（3600-800）×20%，=2800×0.2，=560（元）；答：他应缴税560元．（2）2010年1月张叔叔将20000元存入银行，定期五年，年利率5.76%，到期后共可取多少元？（按5%缴纳利息税）（2）20000+20000×5.76%×5×（1-5%），=20000+5472，=25472（元）；答：到期后共可取25472元．2李老师要买150本笔记本．在甲商店，看到一种标价为8元的笔记本，李老师感到很满意，问营业员怎么买？营业员说：“每本8元，十本起，可打九折”．到了乙商店，看到同样的笔记本，营业员介绍说：“买十本送一本”．根据以上信息请你算一算，李老师到那家商店购买合算，为什么？解：甲商店：150×8×90%，=1200×90%，=1080（元）乙商店：因为买十本送一本，买137本送13本，所以买137本笔记本所需要的钱数：137×8=1096（元），因为1080元＜1096元，所以李老师到甲商店购买合算；答：李老师到甲商店购买合算．3有一台机器，使用了一种类型的零件1000个，一周内报废的零件在本周末换新零件．在新零件中有10%在第一周末报废，有30%在第二周报废，有60%在第三周末报废，没有能使用四周以上的零件．问（1）新机器中必须在第二周末换新的零件的个数是多少？（2）新机器中必须在第三周末换新零件的个数是多少？答案解：第一周报废：1000×10%=100（个）．第二周末换新的个数有：1000×30%+100×10%=310（个）．第三周末换新的零件有：1000×60%+100×30%+310×10%=661（个）．答：新机器中必须在第二周末换新的零件的个数是310个，新机器中必须在第三周末换新零件的个数是661个4们可以用“肥胖百分数”来表示一个人的胖瘦情况，“肥胖百分数”是用体重（千克）除以身高（分米）的平方．再乘以100%，即肥胖百分数=×100%，一般认为：肥胖百分数在18%～20%的人偏瘦．在20%～24%的人为基本正常，在24%～26%的人偏胖，小明的父亲身高18分米，体重80千克，试判断小明父亲的胖瘦情况．答案解：×100%，=×100%，≈25%；25%在24%～26%，属于偏胖的范围．答：小明的父亲偏胖．5按要求完成下面的任务．（1）把下面的百分数化成小数：56% 0.8% 130% 4% 43.7% 700% 75% 310% （2）把小数化成百分数：4.6 0.3 1.72 0.375 2.05 0.07 ⑩3.125 0.0005 （3）把下面的百分数化成分数：8% 2.5% 40% 60% 125% 150% 32% 45%（4）把下面的分数化成百分数： 1．答案解：（1）56%=0.56，0.8%=0.008，130%=1.3，4%=0.04，43.7%=0.437，700%=7，75%=0.75，310%=3.1；（2）4.6=460%，0.3=30%，1.72=172%，0.375=37.5%，2.05=205%，0.07=7%，3.125=312.5%，0.0005=0.05%；（3）8%=0.08，2.5%=0.025，40%=0.4，60%=0.6，125%=1.25，150%=1.5，32%=0.32，45%=0.45；（4）==5%，1≈1.667=166.7%，≈0.857=85.7%，==5%，=0.625=62.5%，==46%，=0.5=50%，=1.25=125%．6用4000千克大豆榨豆油1440千克，求大豆的出油率．答案解：1440÷4000×100%，=0.36×100%，=36%．答：大豆的出油率是36%．7六年级一班有男同学25名，女同学20名．答案解：根据题意连线如下：8、豆豆今年4岁，是妈妈年龄的．妈妈今年多少岁？解：4÷=26（岁），答：妈妈今年26岁．9花生仁的出油率为38%，要榨380千克花生油大约需要多少千克花生仁？答案解：380÷38%=1000（千克）；答：大约需要1000千克花生仁．10一种手表，原价每块108元，现价81元，便宜了百分之几？答案解：（108-81）÷108，=27÷108，=25%；答：便宜了25%．11一本书售价36元，利润是成本的20%，成本是多少元？答案解：36÷（1+20%），=36÷1.2，=30（元）；答：成本价是30元．12个书包的原价是45元，打八折后的价格是多少元？答案解：45×80%=36（元）；答：打八折后的价格是36元．13一件衣服降价20%出售，现价192元．降价了多少元？解：162÷（1-20%）×20%，=162÷80%×20%，=202.5×20%，=40.5（元）；答：降价了40.5元．14一台液晶电视，降价600元后，卖4400元．降价百分之几？答案解：600÷（600+4400），=600÷5000，=12%；答：降价12%．15实际参加“红色之旅”的学生人数比原计划增加了百分之几？答案解：（1200-1000）÷1000，=200÷1000，=0.2，=20%．答：实际参加“红色之旅”的学生人数比原计划增加了20%．。

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从而，得到如下变换公式和变换矩阵
0.5 0 1 xv 0.5xw 1 0 0.5 1 ， y 0.5 y 1 w v 0 0 1
9
5
三维图形变换
6、已知在原坐标系中某个平面的方程为 3x 4y 10 0 ，试 求变换矩阵 M ，使该平面方程在新坐标系下变成 z 0 。其中，新 坐标系的 y 方向为 (4, 3, 0) ，且新坐标系的原点 (2,1, 0) 在该平面 上。 平面法向量在原坐标系中的坐标为 (3, 4, 0) ，而在新坐标系 中的坐标为 (0, 0,1) ，所以 (3, 4, 0) 是新坐标系的 z 方向。由 新坐标系的 y 和 z 方向可计算出新坐标系的 x 方向。 ① 使新原点与旧原点重合：T T(2, 1, 0) ② 使新坐标轴与旧坐标轴重合： R 新 y 方向：V (4, 3, 0) 新 z 方向： N (3, 4, 0) 新 x 方向：U V N (0, 0, 25)
8
14、已知窗口为 (0, 0) (10, 10) ，视区为 (1, 1) (6, 6) ，要将窗 口中位于 (xw, yw) 的点映像到视区中坐标为 (xv, yv) 的点， 请构造变换 公式和变换矩阵。 为了使视区与窗口中的对象有同样的相对位置，必须满足
xv 1 xw 0 6 1 10 0 y 1 y 0 v w 6 1 10 0
6
13、在如图所示的方向上，用 s1 和 s2 作为缩 放系数， 请构造完成这种缩放的变换矩阵， 其中 固定点为原点，s1 2 ， s2 3 ，且方向 s1 上两点 的坐标分别为 (2, 1) 和 (6, 4) 。 （1）旋转使 s1 和 s2 的方向分别与 x 和 y 轴重合： R1 将 s1 的 方 向 (6 2, 4 (1)) (4, 3) 单 位 化 ， 得 u (0.8, 0.6) ； 令 v (0.6, 0.8) ，从而
1
完整变换
M M2 Fx M1 0.8 0.6 0 1 0 0 0.8 0.6 0 0.6 0.8 0 0 1 0 0.6 0.8 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0.28 0.96 0 0.96 0.28 0 0 1 0
16
11、求经过平行投影变换后点 P(1,2, 3) 的坐标。已知：观察面 为 z 4 ，投影向量为 (1,1,1) 。 由 (x ' 1, y ' 2, 4 3) u(1,1,1) 可得
则
0.8 0.6 0 0 1 0 R 0.6 0.8 0 0 0 0 0 0 0 1
13
（2）绕坐标轴（ z 轴）完成指定的旋转： Rz() （3）使旋转轴回到原来的方向： R1 完整变换
M R1 Rz(90)R 0.8 0.6 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0.6 0.8 0 0 0 0 0 0 1 0 0.36 0.48 0.8 0 0.48 0.64 1 0 0.8 0.6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0.8 0.6 0 0 0 1 0 0.6 0.8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
10


将U 、V 、 N 单位化，得



u U / |U | (0, 0, 1) v V / |V | (0.8, 0.6, 0) n N / | N | (0.6, 0.8, 0)
0 0 1 0.8 0.6 0 R 0.6 0.8 0 0 0 0 0 0 0 1
2
M T2SRT1 1 0 x s 0 0 cos sin 0 1 0 x 0 0 0 1 y0 0 s 0 sin cos 0 0 1 y 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 s cos s sin x (1 - s cos ) y s sin 0 0 s sin s cos -x 0s sin y0(1 - s cos ) 0 0 1
（2）相对于 x 轴反射：
1 0 0 Fx 0 1 0 0 0 1
（3）使反射轴回到原处： M2
4
0.8 0.6 0 0.8 0.6 0 1 M2 M1 0.6 0.8 0 0.6 0.8 0 0 0 1 0 1 0
令u x (1, 0, 0)
v n ux/ | n ux | (0.6, 0.8, 0)(1, 0, 0)/ |(0.6, 0.8, 0)(1, 0, 0)| (0, 0, 1) u v n (0, 0, 1) (0.6, 0.8, 0) (0.8, 0.6, 0)
湖南科技大学课程教案
（章节、专题首页）
授课教师： 王志喜 职称： 副教授 单位： 计算机学院
课 程 名 称 计算机图形图像技术 章 节 、 专 题 习题选讲 教学目标及基本要求 教 学 重 教 学 难 教 学 内 容 时 间 分 习 点 点 与 配 题
1
习题选讲
4 二维图形变换
6、已知旋转角为 ，缩放系数均为 s ，旋转中心和固定点位 置均为 (x 0, y0) ，请构造该带缩放的旋转变换的变换矩阵（OpenCV 中的函数 cv2DRotationMatrix()就是用来计算这个变换矩阵的） 。 ① 使旋转中心和固定点与原点重合：T1 T(x 0, y0) ② 绕原点旋转： R R() ③ 以原点为固定点缩放： S S(s, s) 。 ④ 使旋转中心和固定点回到原处：T2 T(x 0, y0) 完整变换：
从而
完整变换
11
M RT 0 0.8 0.6 0 0 0.8 0.6 0
1 0 1 0 0.6 0 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0.6 0 1 0.8 0 2 0 0 1
5
பைடு நூலகம்
12、已知旋转角为 60 ，基准点位置为 (1, 2) ，请构造该旋转 变换的变换矩阵 M ，结果至少保留 3 位小数（也可使用无理数） 。 （1）使基准点与原点重合：T1 T(1, 2) （2）绕原点旋转： R R(60) （3）使基准点回到原处：T2 T(1,2) 完整变换
M T2RT1 cos 60 sin 60 0 1 0 1 1 0 1 0 1 2 0 1 2 sin 60 cos 60 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0.5 0.866 2.2321 0.866 0.5 0.134 0 0 1
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10、已知投影向量为V (3, 4,1) ，投影面为 xy 平面，请根据 定义计算该平行投影的变换矩阵。 由 (x ' x, y ' y, 0 z) u(3, 4,1) 可得
x ' x 3u y ' y 4u 0 z u 由 0 z u 得 u z 。
0.8 0.6 0 R 0.6 0.8 0 0 0 1
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（2）缩放： S S(2, 3) （3）反向旋转使 s1 和 s2 的方向回到原始位置： R2 R11 完整变换
M R2SR1 0.8 0.6 0 2.36 0.48 0 0.6 0.8 0 0.48 2.64 0 0 2 0 0 0.8 0.6 0 0 0 3 0 0.6 0.8 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1

于是得到该平行影变换的方程为
x ' x 3z y ' y 4z
原始 z 坐标作为深度信息保存。 从而，变换矩阵为
15
1 0 M 0 0
0 3 1 4 0 1 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 2 0 1 1 0 0 1
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7、已知旋转轴为 AB ，其中 A (0, 0, 0) ， B (3, 4, 0) ，请构 造绕 AB 旋转 90 度的旋转变换。 （1）使旋转轴与 z 轴重合： R 将 AB (3, 4, 0) 单位化，得 n AB/ | AB | (0.6, 0.8, 0)
3
7、确定反射轴为直线 y 3x / 4 的反射变换矩阵的形式。 显然，反射轴通过原点且方向为 (4, 3) 。 （1）使反射轴与 x 轴重合： M1
U (4, 3), V (3, 4), u (0.8, 0.6), v (0.6, 0.8), 0.8 0.6 0 M1 0.6 0.8 0 0 0 1