最新-习题选讲-1

1 / 13第一讲 习题解答习题1-11 计算下列极限计算下列极限① ()1lim 11,0pn n p n →∞⎡⎤⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式解：原式==()1111110lim lim 110ppp n n n n n n→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()01p x x p ='=+= ② ()sin sin limsin x ax a x a →--解：原式解：原式==()()()()sin sin sin sin limlim sin x ax a x a x ax a x a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x a x a ='= ③ 11lim 1mnx x x →--，,m n 为自然数解：原式解：原式==()()111111lim 11mmn x nx x x x nxx mx x →==--'⋅=⋅=--'④ ()lim 21,0nnna a →∞⋅-> 解：原式()()1ln 21lim ln 211limln 21limn x n nx a e a n a nxn e ee→∞→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪⎝⎭--→∞====()()()()0ln 21ln 21ln 21lim2ln 20xa a xxa axx e ee a ---→'-====⑤ lim ,0x ax a a x a x a →->-解：原式解：原式==lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x ax a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x aax x ax aa a a a x →->-解：原式lim lim x a x a a x a x x a x a x a x a a a a a x a a xx a a x →→---==⋅---()lim x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a a x →----=⋅-- lim x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a x a a x →⎛⎫---=-⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭lim x a a a a a x a a a a a x a x a a a a a x a x a x a x a x a a x→⎛⎫----=-⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭ ()()()()1ln 1x a a y a a y a x a x a a a x a a ===⎛⎫'''=-⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭ln a a a a =⋅⑦ ()()101011sin limsin x tgxxx →+--解：原式解：原式==()()101011sin limsin x tgxxx xx→+--⋅()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg xxx→⎛⎫+-+---=-⎪ ⎪⎝⎭()()()()101011sin x x tgx x ==''=+--20=⑧ ()11lim mk m n i n i kn n -→∞=⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，m 为自然数为自然数 解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()()11111lim 12m kkmn i i x i mk k n i i x in→∞===⎛⎫+-⎪+'⎝⎭=⋅=⋅+=∑∑ 2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()000202lim hf x h f x f x h h→+-+-。

第一讲 习题解答习题1-11 计算下列极限① ()1lim 11,0p n n p n →∞⎡⎤⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式=()1111110lim lim 110ppp n n n n n n→∞→∞⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()01p x x p ='=+= ② ()sin sin limsin x a x a x a →--解：原式=()()()()sin sin sin sin limlimsin x a x a x a x a x ax a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x ax a ='= ③1x →，,m n 为自然数 解：原式=11x x n m→='==④()lim 21,0nn a →∞>解：原式()()10ln 21lim ln 211limln 1lim n x n x a e a n nxn ee e →∞→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪⎝⎭-→∞====()()()()0ln 21ln 21ln 21lim2ln 20x a a xx a a xx e ee a ---→'-====⑤ lim,0x ax a a x a x a→->- 解：原式=limx a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a ax a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0xaa xxax a a a a a x →->-解：原式limlim x a x aa x a x x a x a x a x a a a a a x aa x x a a x→→---==⋅---()lim x aa aa a x ax ax a a a a a x ax aa x→----=⋅-- lim xaaaa a x ax a x a a a a a x a x a x a a x →⎛⎫---=-⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭lim xaaaa a x a a a a a x a x a a a a a x a x ax a x a x a a x →⎛⎫----=-⋅⋅ ⎪ ⎪----⎝⎭()()()()1ln 1x aa y aa y a x a x a a a x a a ===⎛⎫'''=-⋅⋅ ⎪⎪-⎝⎭ln aa a a =⋅ ⑦ ()()101011sin limsin x tgx x x→+--解：原式=()()101011sin limsin x tgx x xx x→+--⋅()()()()1010101001101sin 1sin 0lim x tgx tg x x x →⎛⎫+-+---=-⎪ ⎪⎝⎭()()()()101011sin x x tgx x ==''=+--20=⑧ ()11lim m k m n i n i kn n -→∞=⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，m 为自然数 解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()()110111lim 12mkk m n i i x i mk k n i i x i n→∞===⎛⎫+- ⎪+'⎝⎭=⋅=⋅+=∑∑2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()00022limh f x h f x f x h h→+-+-。

小学六年级上数学习题选讲1.（1）张华写了一本散文集的稿费3600元，按照个人所得税法规定，稿费收入超过800元的部分按20%交纳个人所得税，他应缴税多少元？解：（1）（3600-800）×20%，=2800×0.2，=560（元）；答：他应缴税560元．（2）2010年1月张叔叔将20000元存入银行，定期五年，年利率5.76%，到期后共可取多少元？（按5%缴纳利息税）（2）20000+20000×5.76%×5×（1-5%），=20000+5472，=25472（元）；答：到期后共可取25472元．2李老师要买150本笔记本．在甲商店，看到一种标价为8元的笔记本，李老师感到很满意，问营业员怎么买？营业员说：“每本8元，十本起，可打九折”．到了乙商店，看到同样的笔记本，营业员介绍说：“买十本送一本”．根据以上信息请你算一算，李老师到那家商店购买合算，为什么？解：甲商店：150×8×90%，=1200×90%，=1080（元）乙商店：因为买十本送一本，买137本送13本，所以买137本笔记本所需要的钱数：137×8=1096（元），因为1080元＜1096元，所以李老师到甲商店购买合算；答：李老师到甲商店购买合算．3有一台机器，使用了一种类型的零件1000个，一周内报废的零件在本周末换新零件．在新零件中有10%在第一周末报废，有30%在第二周报废，有60%在第三周末报废，没有能使用四周以上的零件．问（1）新机器中必须在第二周末换新的零件的个数是多少？（2）新机器中必须在第三周末换新零件的个数是多少？答案解：第一周报废：1000×10%=100（个）．第二周末换新的个数有：1000×30%+100×10%=310（个）．第三周末换新的零件有：1000×60%+100×30%+310×10%=661（个）．答：新机器中必须在第二周末换新的零件的个数是310个，新机器中必须在第三周末换新零件的个数是661个4们可以用“肥胖百分数”来表示一个人的胖瘦情况，“肥胖百分数”是用体重（千克）除以身高（分米）的平方．再乘以100%，即肥胖百分数=×100%，一般认为：肥胖百分数在18%～20%的人偏瘦．在20%～24%的人为基本正常，在24%～26%的人偏胖，小明的父亲身高18分米，体重80千克，试判断小明父亲的胖瘦情况．答案解：×100%，=×100%，≈25%；25%在24%～26%，属于偏胖的范围．答：小明的父亲偏胖．5按要求完成下面的任务．（1）把下面的百分数化成小数：56% 0.8% 130% 4% 43.7% 700% 75% 310% （2）把小数化成百分数：4.6 0.3 1.72 0.375 2.05 0.07 ⑩3.125 0.0005 （3）把下面的百分数化成分数：8% 2.5% 40% 60% 125% 150% 32% 45%（4）把下面的分数化成百分数： 1．答案解：（1）56%=0.56，0.8%=0.008，130%=1.3，4%=0.04，43.7%=0.437，700%=7，75%=0.75，310%=3.1；（2）4.6=460%，0.3=30%，1.72=172%，0.375=37.5%，2.05=205%，0.07=7%，3.125=312.5%，0.0005=0.05%；（3）8%=0.08，2.5%=0.025，40%=0.4，60%=0.6，125%=1.25，150%=1.5，32%=0.32，45%=0.45；（4）==5%，1≈1.667=166.7%，≈0.857=85.7%，==5%，=0.625=62.5%，==46%，=0.5=50%，=1.25=125%．6用4000千克大豆榨豆油1440千克，求大豆的出油率．答案解：1440÷4000×100%，=0.36×100%，=36%．答：大豆的出油率是36%．7六年级一班有男同学25名，女同学20名．答案解：根据题意连线如下：8、豆豆今年4岁，是妈妈年龄的．妈妈今年多少岁？解：4÷=26（岁），答：妈妈今年26岁．9花生仁的出油率为38%，要榨380千克花生油大约需要多少千克花生仁？答案解：380÷38%=1000（千克）；答：大约需要1000千克花生仁．10一种手表，原价每块108元，现价81元，便宜了百分之几？答案解：（108-81）÷108，=27÷108，=25%；答：便宜了25%．11一本书售价36元，利润是成本的20%，成本是多少元？答案解：36÷（1+20%），=36÷1.2，=30（元）；答：成本价是30元．12个书包的原价是45元，打八折后的价格是多少元？答案解：45×80%=36（元）；答：打八折后的价格是36元．13一件衣服降价20%出售，现价192元．降价了多少元？解：162÷（1-20%）×20%，=162÷80%×20%，=202.5×20%，=40.5（元）；答：降价了40.5元．14一台液晶电视，降价600元后，卖4400元．降价百分之几？答案解：600÷（600+4400），=600÷5000，=12%；答：降价12%．15实际参加“红色之旅”的学生人数比原计划增加了百分之几？答案解：（1200-1000）÷1000，=200÷1000，=0.2，=20%．答：实际参加“红色之旅”的学生人数比原计划增加了20%．。

可编辑修改精选全文完整版一、在以下两种情况下计算粒子在一维阶跃势()⎩⎨⎧><=0000x V x x v （00>V ）上的反射率R 与折射率T ：00)2,)1V E V E <>解：（1）ψψμE H U H=+∇-=ˆ,2ˆ22 0V E >：令()022V E Ek -==μαμ， 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ ()()00222>=+x x dxx d ，ψαψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ()0,2>=x Ae x x i αψ 由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得 ααα+-=+=k k B k k A ,2 反射率()()222αα+-==k k B R透射率()241αα+=-=k k R T（2）0V E <，()E V -=02μβ 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ()()00222>=-x x dxx d ，ψβψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ ()0,2>=-x Ae x x βψ由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得()()()k i k i B k i A βββ+-=+=1112，反射率12==B R ，透射率01=-=R T二、质量为μ的粒子被约束在半径为r 的圆周上运动。

（1）设立路障 ，进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动πϕϕϕϕϕ2,0,0{)(00<≤∞<≤=V求解粒子能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于情况（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率。

解 1、在路障内，定态Schroedinger 方程为)()(2222ϕψϕϕψE d d I =- （1） 其中2r I μ=，方程（1）的解为00)(ϕϕϕψϕϕ<<+=-ik ik Be Ae （2）其中22IEk =，由,0)0(=ψ得A B -=，代入（2）得 00sin )()(ϕϕϕϕψϕϕ<<=-=-k c e e A ik ik由,0)(0=ϕψ得0ϕπn k =， .,2,1,20222 ==n I n E ϕπ由归一化条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤==⇒=⎰πϕϕϕϕϕπϕϕϕψϕϕϕψϕ200sin 2)(21)(00002n c d2、设t =0时撤去路障，撤去路障后的定态波函数与定态能量为.,2,1,0,2,21)(22 ±±===m Im E e m im m ϕπϕψ 任意时刻的波函数为ϕπϕψim t E imm e eC t n 21),(-∑=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤==∑πϕϕϕϕϕπϕϕπϕψϕ200sin 22)0,(0000mim m e C其中系数⎰⎰===-0000002sin1sin 1ϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕd C d e C im m粒子仍处于基态的几率为324πϕ=C 。

第一讲 集合一、基础知识定义1 有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作或．A ()n A 定义2 若M 为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M 为集族．设A 为有限集，由A 的若干子集构成的集合称为集合A 的一个子集族．若，则由A 的所有子集构成A n =的子集构成的子集族的阶为．2n 定义3 若，且，则这些子集的I A A A n = 21),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= 全集叫I 的一个-划分，n 叫做划分的长度．若A 为有限集，是集合n 12{,,,}n I A A A = A 的一个划分，则有．12n A A A A =+++ 定义4 设是集合A 的非空子集族，如果，那12{,,,}n I A A A = 12n A A A A = 么称I 为集合A 的一个n-覆盖．定理1 集合运算的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1） （2）；);()()(C A B A C B A =)()()(C A B A C B A =（3） （4）();U U U C A C B C A B = ().U U U C A C B C A B = 定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法n 1m 中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有2m n n m 种不同的方法．n m m m N +++= 21定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不n 1m 2m 同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有n n m 种不同的方法．n m m m N ⋅⋅⋅= 21定理4 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理5 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+mn )1(>n n 个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有1+m m n 一个抽屉放有无穷多个元素．定理6 容斥原理：用表示集合A 的元素个数，则：A ,B A B A B A -+=，C B A C B C A B A C B A C B A +---++=此结论可以推广到个集合的情况，即n 111n n i i i j i j k i i j i j k n i AA A A A A A =≠≤<<≤==-+∑∑∑∑ .)1(11 n i i n A =--+-定理7 设是集合A 的一个覆盖，，且I 中每r 个元素的交非12{,,,}k I A A A = A n =空，而每r+1个元素的交集为空集，则且．rk C n ≤1(1,2,,)r i k A n C i k -≤-= 定理8 设集合A ＝{1，2，…，n}，是集合A 的子集族，且F 中任12{,,,}k F A A A = 意两个元素互不包含，则F 中元素个数．,(1)i j A A i j k ≤<≤2[]n n k C ≤二、例题选讲例1 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，I B A = 求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，中的每个元素恰属于I B A , 其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个．1024210=例2 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非},,3,2,1{n I =k k A A A ,,,21 空，并且再添加I 的任何一个其它子集后将不再具有该性质，求的值．k 【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同12-n 在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，k 12-≤n k k 若有一对子集未出现，设为C I A 与A ，并设，则，从而可以在个∅=1A A 1I A C A ⊆k 子集中再添加，与已知矛盾，所以．综上，．I C A 12-≥n k 12-=n k 例3 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记，{1,2,3,,100},{1100,22}I A x x x x ==≤≤ 且能被整除(记为），由容斥原理，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A ，所以不能被2，3，5整除的数有7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡个．26=-C B A I 例4 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S 满足题目条},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==912=S 件，所以最少含有912个元素．例5 集合{1，2，…，3n }可以划分成个互不相交的三元集合，其中，n },,{z y x z y x 3=+求满足条件的最小正整数.n 【解】 设其中第个三元集为则1+2+…+i ,,,2,1},,,{n i z y x i i =∑==n i i zn 1,43所以．当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有∑==+n i i z n n 142)13(3n n 388≥n n ，所以，当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，138+n 5≥n 5=n {9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5．n 例6 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值．i A .201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i n 【解】 .16min =n 设B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有．若不然，数出现次（i A k 4≤k m k），则在出现的所有中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是4>k .123>k m i A 1，就有集合{1，}，其中，121,,,b m a a },,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a 61,≤≤∈i A a i 为满足题意的集合．必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以i a .4≤k 20个中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以．当时，如i A 16≥n 16=n 下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}．三、练习题1．{1,2,3,4,5,6,7,8,9},,,{2},()(){1,9},I I I A I B I A B C A C B =⊆⊆== ，则___________．(){4,6,8}I C A B = ()I A C B = 解：{3，5，7}，提示用韦恩图。

达标检测2国家的政权组织形式题组一人民代表大会制1．我国宪法第二条明确规定，“中华人民共和国的一切权力属于人民”。

我国人民当家作主的重要途径和最高实现形式是()A．人民代表大会制度B．人民民主专政的国家性质C．中国共产党的领导D．人民代表大会2．我国的人民代表大会制度与西方的议会制、总统制同属于民主共和制，但它们具有本质上的区别，这种区别在于所体现的()A．阶级属性不同B．国家主权不同C．权力授受关系不同D．国家政权运行方式不同3．人民代表大会制度同国家、人民的命运息息相关，因此，在任何时候、任何情况下，都要毫不动摇地坚持和完善人民代表大会制度，发挥其优势和功能。

这是因为()①人民代表大会制度决定着国家的其他具体制度②人民代表大会是中国人民当家作主的重要途径和最高实现形式③人民代表大会制度决定了我国人民当家作主的地位④人民代表大会制度是中国社会主义政治文明的重要制度载体A．①③B．②③C．①④D．②④题组二民主共和制和君主立宪制4．A国总理在实施经济改革过程中，遭遇到议会的不信任案。

为此总理提请总统解散议会，进行议会选举，由新组成的议会来决定总理的去留。

根据材料可以判断出()①A国的政府对总统负责②A国的总统只是虚位，没有实际的权力③A国实行君主立宪制④A国的政府由议会产生，对议会负责A．②③B．①②C．③④D．②④5．当前世界，英国和美国是政体比较典型的国家。

英国是君主立宪制，美国是民主共和制。

这两种政体的主要区别有()①立法机关与行政机关的关系不同②国家元首的产生方式不同③国体与政体的关系不同④政府的国家机构的职责不同A．①②B．③④C．①③D．②④6．(2023·济南市章丘区第四中学高二期末)某校举办网上模拟联合国活动，其中一场是为欧洲疫情问题寻找解决方案。

由甲、乙、丙、丁四位同学分别扮演的英、美、法、德外交官都对一项方案表示了异议。

下面是他们的发言，具有合理性的是()A．甲：“我们很难接受该方案，这方案一定会被国王陛下否决。