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点估计法优劣评价标准

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简述评价点估量好坏的标准

简述评价点估量好坏的标准

简述评价点估量好坏的标准
评价点估量好坏的标准包括：
1. 准确性：估量值要尽可能接近真实值，能够反映出实际情况。

2. 可靠性：估量值要稳定，多次估量结果相同或相近，具有可重复性和可比性。

3. 敏感性：估量值对影响结果的各因素要敏感，能够指出影响结果的主要因素。

4. 简便性：估量方法要简单易用，不需要专门的设备或工具。

5. 经济性：估量方法的成本要低廉，可以在可承受的范围内完成。

6. 灵活性：估量方法要能够适用于不同的情况和变化，具有一定的适应性。

7. 可解释性：估量结果要能够清晰地解释，上下文逻辑要完整。

2.3点估计的评价标准(1)

2.3点估计的评价标准(1)
2.3 点估计的优良性准则
均方误差 ˆ 评价一个估计 X 好坏的一个度量标准是该估 ˆ ˆ 计 X 偏离实际参数的绝度偏差 X 。 ˆ 偏离值 X 小的估计比偏离值大的要好。 但是，这个标准在实际中不可取，因为： ˆ 1） X 是随机变量，因为样本X 是随机的； ˆ 2） 是未知的，算不出 X 的具体数值。


例2.3.1 设总体X 的期望和方差分别为， 2， X 1 , , X n是总体X 的一个样本，则样本均值X 和样本方差S 2分别是参数， 2的无偏估计。 证明：因为 1 1 n 1 n E X E X i EX i n , n n i 1 n i 1 1 n 2 1 n ES 2 E ( X i X )2 E X i nX 2 n 1 i 1 n 1 i 1 1 n EX i2 nEX 2 n 1 i 1 2 1 2 2 2 n( ) n n 1 n 2
* 2
但是，对估计的仅有无偏性 要求是不够的。因为 1)无偏估计不一定存在。 2)偏估计不一定存在 设X B n, ,0 1，参数g 没有无偏估计。 若T ( X )是g 的无偏估计，则ET ( X ) g ( ). n i 1 n i 而 T (i ) 1 ET ( X ) g ( ) , 1 i 0 i n n i n i 1 即 T (i ) 1 1 0， i 0 i 由于上式左端是关于的一个n+1次多项式，无论
i 1 i 1 n n
ˆ 能否确定ci使得估计量的方差最小？ ˆ ˆ 解：首先是的无偏估计，因为Ｅ＝。 ˆ ˆ 其次 Var 2 ci2 , 欲使 Var 达到最小，只需在

判断点估计好坏的三个标准

判断点估计好坏的三个标准

参数估计一般用样本统计量作为总体参数的点估计值，而样本统计量是一个随机变量，因此就有必要给出评价点估计值好坏的标准。

点估计值好坏的评价标准有以下3个。

1.无偏性
无偏性是指用来估计总体参数的样本统计量的分布是以总体参数真值为中心的，在一次具体的抽样估计中，估计值或大于或小于总体参数，但在多次重复抽样估计的过程中，所有估计值的平均数应该等于待估计的总体参数。

可以证明，样本平均数x是总体均值μ的无偏估计，样本方差[图片]是总体方差σ2的无偏估计。

2.有效性
有效性是指在同一总体参数的两个无偏估计量中，标准差越小的估计量对总体参数的估计越有效。

3.一致性
一致性是指随着样本容量的增加，点估计量的值越来越接近总体参数的真值。

换句话说，一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体参数。

§7.2点估计的评价标准

§7.2点估计的评价标准

智商
组别
甲组
人数
n
6
智商平均数
x
78
Ch7-70
样本标准差
s
19
乙 组 46
99
16
由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一
代的智力？若有影响，推断其影响程度有 多大?
提示 前一问题属假设检验问题
后一问题属区间估计问题
f
(x;θ )
=
⎧1
⎪⎨θ
−x
eθ
x > 0,
θ > 0 为常数
⎪⎩ 0
x≤0
( X1, X 2 ,", X n ) 为 X 的一个样本
证明 X 与 n min{X1, X 2 ,", X n} 都是θ 的无偏
估计量
证
X ~ E⎜⎝⎛θ1 ⎟⎠⎞
E(X ) =θ
故 E(X ) = E(X ) = θ
解
D(X)
=θ2
n
，D(nmin{X1,
X2,",
Xn})
=θ 2
所以,X 比n min{ X1, X 2 ,", X n} 更有效.
Ch7-58
例6 设总体 X，且 E( X )=μ , D( X )=σ 2
( X1, X 2 ,", X n )为总体 X 的一个样本
∑ (1)
设常数
ci
≠1 n
− lnθ
−
x
θ
Ch7-64
⎡∂
⎢⎣∂θ
ln
f
( x,θ
)
⎤ ⎥⎦
2
=
⎢⎣⎡−
1
θ
+x
θ2
⎤2 ⎥⎦

6-2点估计的评价标准

6-2点估计的评价标准

n
n
Var(ˆ1 ) ci2Var(xi ) 2 ci2
n
i 1n
n
i 1
利用柯西不等式 ( aibi )2 ( ai2 )( bi2 ) ,其中等号成立的充要条件是
i 1
i 1
i 1
a1 b1 a2 b2 an bn
而 1
n
ci
2
1 (
n
ci2 )(
n
1) n
判断一致性的三个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k阶矩的 相合估计. 即矩估计具有相合性 由辛钦大数定律可证
2. 设ˆn是 的一个估计, 且
定理1
lim
n
E(ˆn
)
lim
n
Var
(ˆn
)
0
定理2 则 ˆn 是 的相合估计量.
用切贝雪夫不 等式证明
3. 若ˆn1 ,ˆn2 ,....,ˆnk 分别是 1,2 ,....,k 的相合
例11. 设 X ~ U (0,θ), x1, x2,…, xn 是 X 的一个
样本, 则由前可知：θ的最大似然估计是x(n).
由于
Ex(n)
n
n 1
所以x(n)不是θ的无偏估计, 而是渐近无偏估计.
但修正后可得θ的一个无偏估计:
ˆ 1
n
n
1
x(
n
)
另由矩法估计可知 ˆ2 2x 也是θ的无偏估计,
n
Var (ˆi )
1
2
n1
n
Var j 1
(
x
j
)
2
n1
ji
. 因此, x比 ˆi的方差小, 因而x比ˆi要优

高等数学-概率8.1 估计量的优劣标准

高等数学-概率8.1 估计量的优劣标准

参数估计：根据样本估计出总体的未知参数。
概括为两类方法： （一）点估计 ——以某个统计量的值作为 总体中未知参数的估计值。 1、矩估计； 2、极大似然估计。 （二）区间估计 ——把总体的未知参数确定 在某一置信区间内。
第八章参数估计 第一节 获得估计量的方 法——点估计
从前面的概述中我们看到: 对于同一个参数可以有几种不同的估计方 法,可能得到不同的估计量。 问题：该采用哪一个估计量好呢？ 这就需要讨论估计量的优良性准则，牵涉 到以下两个方面的内容： (1) 如何拟定某种合适的，衡量估计量优良性 的标准； (2) 在给定的标准下，如何找出那个最好的估 计？
一、 无偏性 假设总体分布的参数为. ˆ ˆ ( X , X ,, X )简记 是的一个估计.
1 2 n
注意!它是一个统计量.从而是随机变量. 对于样本X1,X2 , ,Xn不同的取值,它也会取 ˆ 不同的值.如果 的均值等于未知参数, 即 E[ ( X , X ,, X )] ˆ
1 ˆ Var( i ) n 1
2 n
Var( X
j 1 ji
j
)

2
n 1
ˆ ˆ 我们看到 X比 i的方差小, 因而X比 i 要优. ,
这表明,当我们用样本均值去估计总 体均值时,使用全体样本总比不使用全体 样本要好.
二、 均方误差准则 ˆ 用估计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ), 去估 计,其误差为: ˆ .它随样本X1,X2 , ,Xn 的值而定,也是随机的,即:
ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是随机变量· 由于它是随机变量,我们通常是通过对 它求均值来看看误差有多大. 我们要注意:为了防止求均值时正误差 和负误差相互抵消,我们先将其平方再求均 值,并将其称为均方误差,记为MSE(),即 ˆ) : E ( ) 2 ˆ MSE (

7-3点估计的优劣标准

7-3点估计的优劣标准

数理统计
设总体X的均值 例1 设总体 的均值
未知, 未知,
X 1 ,… , X n是取自
n 1 n 的样本, 于X的样本,则统计量 X = ∑ X i , Y = ∑ ai X i , X 1 的样本 n i =1 i =1 n 的无偏估计量, 为常数, 均为 的无偏估计量,其中 a1,…, an为常数,且 ∑ ai = 1
未知, 未知,
( X 1 ,… , X n )为来自 的样本,则 X 是 为来自X的样本 的样本,
的优效估计量. 的优效估计量.
数理统计
估计量的无偏性,有效性是在样本容量 一定的 估计量的无偏性,有效性是在样本容量n一定的 条件下来考虑的,实践证明,样本容量 越大越能精 条件下来考虑的,实践证明,样本容量n越大越能精 确地估计未知参数,因此自然想到,随着样本容量 确地估计未知参数,因此自然想到,随着样本容量n 的无限增大, 的无限增大,一个好的估计量与被估计的参数任意接 近的可能性会越大.由此得出一致性的概念. 近的可能性会越大.由此得出一致性的概念.
这就产生无偏性这个标准是未知参数的估计量若数理统计例如用样本均值作为总体均值的估计时虽无法说明一次估计所产生的偏差但这种偏差随机地在0的周围波动对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差设总体x的均值未知是取自于x的样本则统计量均为的无偏估计量其中为常数且数理统计所以无偏估计以方差小者为好这就引进了有效性这一概念都是参数的无偏估计量我们可以比较数理统计二有效性都是参数的无偏估计量若对任意且至少对于某个上式中的不等号成立设总体x的均值未知是取自于x的样本则统计量作为的估计量更有效当总体的概率密度函数关于参数且微分和积分次序可以交换时有以下罗克拉默不等式
数理统计
常用的几条标准是: 常用的几条标准是:

点估计优势的评价标准

点估计优势的评价标准
在介绍估计量优良性的准则之前, 必须强调 指出： 评价一个估计量的好坏, 不能仅仅依据一次 试验的结果, 而必须由多次试验结果来衡量 . 这是因为估计量是样本的函数, 是随机变量. 因此, 由不同的观测结果, 就会求得不同的参数估 计值. 因此一个好的估计, 应在多次试验中体现出 优良性 .
一、无偏性
如何决定两者谁最优？
可以考察两个统计量的方差.
ˆ ˆ D 1 E 1
ˆ E 2 ˆ D 2 2
2
显然, 无偏估计以方差小者为好, 这就引进
了有效性这一概念 .
二、有效性
ˆ ˆ ˆ ˆ 设1 1 X 1 , , X n 和 2 2 X 1 , , X n 都是 参本值会得到不 同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附 近摆动，而它的期望值最好等于未知参数的真值.
ˆ 定义1 设 X 1 , X 2 , , X n 为未知参数的一个 ˆ 估计,若 的数学期望存在,且 ˆ E ,

ˆ 则成 为的一个无偏估计.
一个参数往往有不止一个无偏估计, 如 设总体X的期望为m, X1, X2, ..., Xn是抽取样本.
1 显然, X X i 也是m 的无偏估计, n i 1
n
1 1 X1 + X 3不是m 的无偏估计, 3 3
问题 一个参数往往有不止一个无偏估计, 若
ˆ ˆ 1和 2都是参数的无偏估计量,
一个参数往往有不止一个无偏估计,
1 X i , i 1,2,, n;
如 设总体X的期望为m, X1, X2, ..., Xn是抽取样本.
E X i E X m , i 1,2,, n
X i是m的无偏估计.

2.3 点估计的优良性准则

2.3 点估计的优良性准则

计量，满足如下条件： 1）集合

x ; f ( x, ) 0与参数 无关；
2）f ( x; ) 存在， 并且可以在 f ( x; )dx 的积分号下对 求 偏 导 ，
g ( )
存
在
，
DT
，
0 I ( ) = E (
ln f ( X ; ) 2 )
EX i ( i 1, , n) ，可见 1 n EX EX i ， n i 1
w EX w ． EX i i i
i 1 i 1 n n
~ (2) 比较 X 和 X 的有效性．设 DX i 2 ( i 1,2, , n) ．由
X 1 , X 2 ,, X n 是总体 X 的一个样本 . 试证明不论总体服从
1 n k 什么分布， k 阶样本矩 M k = X i n i 1
是总体的 k 阶矩 k 无
偏估计量。 证:
X 1 , X 2 ,, X n 与 X 同分布，故有
k E( X k i )=E( X )= k ,
还可以证明 I ( ) 的另一表达式，它有时用起来更方便：
2 ln f ( X ; ) I ( ) E 2
特别当 g ( ) 时，
D T
1 nI ( )
注： I ( ) 与 I ( g ( )) 有区别，
第 7 页 共 12 页
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2.3 点估计的优良性准则
ˆ1 ) , E ( ˆ 2 ) , E( ˆ3 ) , E( ˆ4 ) E(
ˆ1 , ˆ2, ˆ 3 为 的无偏估计量. 则
2 , 3
例 1．设总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )( k 1) 存在，又设

6.2点估计的评价标准

6.2点估计的评价标准

6.2点估计的评价标注我们已经看到，点估计有各种不同的求法,为了在不同点估计间进行比较选择，就必须对各种点估计的好坏给出评价标准.数理统计中给出了众多的估计量评价标准,对同一估计量实用不同的评价标准可能会得到完全不同的结论，因此在评价某一个估计好坏时首先要说明是在哪一个标准下,否则所论好坏则毫无意义。

但不管怎么说，有一个基本标准时所有的估计都应该满足的，它是衡量一个估计是否可行的必要条件，这就是估计的相合性,我们就从相合性开始。

6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量,因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。

但如果我们有足够的观测值,根据格里文科定理,随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下：定义6。

2.1 设θ∈Θ为未知参数，()12,,,n n n x x x θθ∧∧=是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0ε>，有()ˆlim 0nn P θθε→∞->= 则称ˆnθ为参数θ的相合估计。

相合性被认为是对估计的一个最基本的要求,如果一个估计量，在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度,那么这个估计值是很值得怀疑的。

通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。

证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证。

若把依赖于样本量n 的估计量ˆn θ看作一个随机变量序列，相合性就是ˆnθ依概率收敛于θ，所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质以及各种大数定律。

例6.2.1 设12,,x x 是来自正态总体()2,N μσ的样本，则有辛钦大数定律及依概率收敛的性质知:x 是μ的相合估计；*2s 是2σ相合估计；2s 也是2σ的相合估计。

由此可见参数的相合估计不止一个。

在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。

定理 6。

点估计的优良性 共16页PPT资料

点估计的优良性 共16页PPT资料
了罗-克拉美不等式的下界，即
D
T



q 2
nI
则称T为q 的有效估计量。
其实，罗-克拉美不等式所规定的下界不是整个无 偏估计的下界，而是无偏估计类中的一个子集----正规无偏估计类的方差下限。
定义3.4 设T为q 的一个无偏估计量，称
eT


q2
nI DT

为T的有效率。
为了下面计算的方便，我们给出信息量 I 的
另一种表示法。
性质 IE2lnf2,
本节前面的推导以及例题均假设总体X为连续 随即变量，其实，罗-克拉美不等式以及有效估计量 的定义对离散型的总体也是成立的。
定理3.3 设总体X 的概率函数或概率密度函数 f x,
正则性条件：设总体 X 的概率密度函数为 f x, ， 其中参数 未知，f x, 关于 可导，且 的取值
与f x, 的非零区域无关，即 x f x,0与 无
关。X1,X2, ,Xn是来自总体 的样本。为了将问题
一般化，我们考虑 的函数 q 的无偏估计量
俗地讲，统计量 X是对样本 X 的一个“加工”或压缩
（其维数由n降为k），其目的是为了“去粗取精”，使之形
式更加简单，使用更加方便。
n
例如，样本均值与样本方差 X n1 Xi 1 ，
S2
n
n1
2
Xi X
2 ，1,2
i1
；这是经常用到的统计量，
是一个i21维向量，而通常样本容量n要大得多。自然要问，
点估计的优良性
林春艳 山东财经大学统计学院
点估计的优良性
对于未知参数 ，我们前面讲了两种估计方法： 矩估计和极大似然估计。一般来讲，用这两种估计 方法得到的估计量是不一样的，那么这里就有一个 优劣问题。判断一个估计量的优劣一般有三种标准： 一、无偏性 二、有效性 三、相合性（一致性）

7.2 点估计的评价标准

7.2 点估计的评价标准

是方差 2的无偏估计量, 则常数c等于( A. 1 4 B. 1 2
) C. 2 D. 4
2.(2006 - 7)若 为未知参数的估计量, 且满足E ( ) , 则称 是的( A.无偏估计量 B.有偏估计量 C.渐近无偏估计量 D.一致估计量
)
3.(2007 -10)设总体X ~ N ( , 2 ), x1 , x2 , x3为来自X 的样本, 则当常数a __ 时, ˆ 1 1 x1 ax2 x3是未知参数的无偏估计. 4 2
1 1 x1 x2 kx3为的 2 3
ˆ 4.(2008 1)设总体X ~ N ( ,1), ( x1 , x2 , x3 )为其样本, 若估计量 无偏估计量, 则k _______ .
ˆ1 , ˆ 2是总体 5.(2008 - 4)设总体是X ~ N( , 2),x1 , x2 , x3是总体的简单随机样本, ˆ1 参数的两个估计量, 且 的估计量是 ___ .
E ( X ) , D( X )

2
所以, X 是θ 的无偏估计量. 易知 Z min { X i } 服从参数为θ/n的指数分布,故
1i n
n
,
E (Z )

n
,
于是,
E (nZ ) ,
D(nZ ) n D( Z ) n 2 , n
ˆ) 称为用 ˆ 来估计 的系统误差.因此, E (
无偏估计就是说无系统误差.
【例1】设总体X存在均值μ 与方差σ 2>0,则 1、样本均值 X 是总体均值μ 的无偏估计; 2、样本方差 S 2 是总体方差σ 2的无偏估计. 〖解〗因为
n n 1 1 1 E ( X ) E X i E ( X i ) , n i 1 n i 1 n i 1

简述点估计中判别估计量的三个优良标准

简述点估计中判别估计量的三个优良标准

简述点估计中判别估计量的三个优良标准哎呀，这可是个大问题啊！不过别着急，我来看看怎么解决。

我们得明确什么是点估计中判别估计量的三个优良标准。

简单来说，就是我们在估计一个值的时候，要尽量准确、可靠、简洁。

具体来说呢？1. 准确第一个标准就是准确啦！这个不用多说了吧？我们在估计的时候，尽量要让结果接近真实值。

比如说，我们要估计一下某个班级有多少人，我们可以先看看大概有多少人，然后再根据实际情况进行调整。

如果我们估计的结果和真实值相差太大，那就不能算是准确的估计了。

2. 可靠第二个标准就是可靠啦！这个也很重要哦！我们在估计的时候，要尽量让结果稳定、可信。

比如说，我们要预测明天的天气，不能今天看了一下云层很厚就说是暴雨天，过几天看了一下阳光明媚就说是晴天吧？这样的估计肯定是不可靠的。

我们要做的是根据历史数据、气象知识等多方面因素综合判断，给出一个相对准确的预测结果。

3. 简洁第三个标准就是简洁啦！这个也很关键哦！我们在估计的时候，要尽量用简单的方法、最少的步骤来得到结果。

比如说，我们要计算一个人的体重，不能先让他站上秤，再让他蹲下秤，最后让他跳起来秤三次才能得到结果吧？这样的方法不仅麻烦，而且还容易出错。

我们应该采用一些简便的方法，比如直接称一次或者用公式计算等等。

现在我们已经知道了点估计中判别估计量的三个优良标准：准确、可靠、简洁。

那么接下来怎么办呢？我们可以通过以下几个步骤来进行点估计：1. 收集数据我们需要收集相关的数据。

比如说，我们要估计一个班级有多少人，就需要先调查一下这个班级的学生人数；如果我们要预测明天的天气，就需要查看历史天气数据等等。

只有收集到足够的数据，才能进行后续的分析和估计。

2. 分析数据收集到数据之后，我们需要对这些数据进行分析。

比如说，我们可以统计一下每个学生的身高、体重等信息；或者查看一下过去几天的天气情况等等。

通过分析数据，我们可以得出一些有用的信息和结论。

3. 建立模型根据前面的数据收集和分析过程，我们可以建立一个数学模型来描述这个问题。

判断点估计优良的三个标准

判断点估计优良的三个标准

判断点估计优良的三个标准
大家好，我是本文的主要编写者。

在本文中，我将讨论“判断点估计优良的三个标准”的主题。

首先，对于点估计来说，准确度是最重要的标准。

如果把点估计看作一种量化投资工具，那么它就像一把可以帮助投资者发现适合投资机会的宝剑，靠准确度来控制投资产品的出入。

很明显，如果点估计的准确度高，可以有效的帮助投资者进行投资，节约时间，降低损失，获得更多收益。

因此，准确性是判断点估计优良的首要标准。

其次，可用性是一个重要的标准。

可用性的核心是指点估计的易用性和易于理解性，即投资者在使用时，能够轻松上手，快速理解点估计，从而快速实现投资目标。

如果点估计不可用，不管其他性能有多出色，都无法实现投资目标，因此可用性也是判断点估计优良的重要标准。

最后，安全性也是一个重要的判断标准。

目前，点估计在投资过程中扮演着重要的角色，许多投资者在投资时都会使用点估计；但是，由于现代社会网络技术的发展，越来越多的人从事网络活动，黑客也利用这些技术对系统进行攻击，如果点估计系统存在安全漏洞，将面临严重的安全风险，无法抵御网络突发事件。

因此，安全性也是判断点估计优良的重要标准。

通过以上的分析，我们可以将判断点估计优良的三个标准总结为：准确度、可用性和安全性。

当点估计具备这三个标准时，则可以认定它是优良的。

本文就以“判断点估计优良的三个标准”为主题，讨论了准确性、可用性和安全性三个重要标准，以此作为判断点估计优良的参考标准，希望对投资者及相关从业者有所帮助。

判断点估计优良性的标准

判断点估计优良性的标准

判断点估计优良性的标准
点估计优良性的标准一般有以下几点：
1.估计结果的数据完整性：估计结果应包含所有可用数据，且数
据的完整性不能被忽略；
2.精确度：统计学中的有效性表明，估计的结果应具有足够的精
确度，因此估计结果应能够评估其近似精确度；
3.稳健性：估计在不同情况下的稳定性、鲁棒性等，可以通过对
偏差](delta)和变量两者间的关系以及特定模型上的偏差差异来判断；
4.可比性：估计结果应具有可比性，当不同的估计结果具有相似
的准确性时，应该考虑估计的模型的可比性
5.模型的简单性：较为简单的模型，一般来说，具有很好的估计
能力；
6.可解释性：估计的结果应该是可以被人们理解的，其结果也应
该具有明确的逻辑性；
7.可遵循性：估计结果应具有可遵循性，可以比较多个估计结果，从而得出最终的任务优良度。

判断点估计好坏的标准

判断点估计好坏的标准

判断点估计好坏的标准
点估计是统计学中重要的一种估计方法，是用一个确定的数据点来估计参数的值。

用点估计的结果来衡量估计的好坏，一般会有两个方面考虑：一是点估计的准确度；二是点估计的一致性。

首先，点估计的准确度。

较好的点估计应该是接近真实参数值的值，差别越小表明点估计效果越好，反之，参数估计效果越差。

一般来说，准确度较好的点估计能精确地体现出参数的可靠性。

其次，点估计的一致性。

在对比点估计结果时，一致性也是一个非常重要的考量因素，从这个角度看，一致性越强的点估计效果就越好。

一致性的好坏可以通过使用检验统计学的技术来评价，例如t检验，F检验等。

从技术上来讲，一致性较好的点估计能更有效地体现出参数的稳定性。

总之，判断点估计的好坏，一般可以从两个方面考虑：一是点估计的准确度；二是点估计的一致性。

准确度越高的点估计能更精确地反应参数的真实性，而一致性越强的点估计则能更有效地体现参数的稳定性。

因此，综合评价两个方面，才能准确判断点估计的好坏。

第六专题 点估计的优良性

第六专题 点估计的优良性
e T nI D T
q
2
为T的有效率。
信息量 I 的另一种表示法。 2 ln f , 性质 I E



2

Lnf x, 证明：因为 f 两端对 求偏导数，
x, dx 0
2 2
由以上例题可以看出，无偏 估计可以不唯一，需要引进 新的评价标准，常用的有有 效性。
二、有效性与有效估计量
无偏性只是估计量的一个评价标准，当无偏 估计不惟一时，我们应当考虑另外的评价标准， 有效性就是其中一个。
定义2
设总体 X 服从某种分布 F x, ， 为未知参数， X1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本，若 ˆ 1 X1 , X 2 ,, X n 与 ˆ2 X1 , X 2 ,, X n 都是 的无偏估 ˆ ˆ 计，且对一切 ，都有 D D ，则称 ˆ1 ˆ 比 2 有效。也就是说，在 的无偏估计中，方 差越小越有效。
设 n是 的一个无偏估计，若
lim n
n
则 n 是 的相合估计。
证明： X Tn 因为ETn (n ) 令 所以E (Tn ) 0( n ) 0 P ( Tn ) 1 D (Tn )
由于ET q 即 T ( x 1 , x2 ,..., xn ) f ( xi , ) dx1...dxn q ( ) (随机变量函数的期望） (*) 令 f ( xi , ) exp{Ln f ( xi , )} exp{ Lnf ( xi , )} 对（*）式两端分别对 求导数，得
2

Lnf x, f 2

点估计的基本思想及评价标准

点估计的基本思想及评价标准
r
由方程α r (θ1 ,..., θ k ) =
Ar , r = 1, 2,...k
ˆ 解得 θ r
ˆ = θ r ( X 1 ,..., X k )(r = 1, 2,...k )
常见分布参数的矩估计量
X X X X X ˆ b (1, p ), p = X ˆ P ( λ ), λ = X U (0, θ ), θˆ = 2 X ˆ= 1 e ( λ ), λ X 2 ˆ N ( µ , σ ), µ = X , σ
n →∞ 1 n
判断公式:
ˆ lim Dθ ( x1 ,..., xn ) = 0
n →∞ n →∞
ˆ lim b(θ ) = lim[ Eθ ( x1 ,..., xn ) − θ ] = 0
n →∞
谢谢！ 谢谢！
2
= β2
最大似然估计原理：似然函源自：L(θ1 ,..., θ k ) = ∏ f ( xi ;θ1 ,...,θ k )
i =1
n
似然函数是把联合分布中的样本观察值( x1 ,..., xn ) 看成 θ1 ,..., θ k 的函数。 似然的意思就是“好像是”，即“好像是” 这样一组 θ1 ,...,θ k 使得结果 ( x1 ,..., xn ) 发生了。
似然函数
求解方法： 列出似然函数 写出对数自然函数（如果可以） 求导，令导数为0 求出最大似然估计量
评选估计量的标准
无偏性： 若
θˆ ( x1 ,...xn ) 的数学期望存在且 ˆ Eθ ( x1 ,...xn ) = θ 则称 ˆ 为无偏估计量。 θ ( x ,...x )
1 n
无偏估计的含义是估计参数与真实参数的误 差的平均值为0，即只有随机误差，没有系统 误差。

第一节 点估计及其优良性

第一节 点估计及其优良性

例 : X是的无偏估计量 , 但 0时, X 估计
2 2
2就是有偏的
E ( X ) D( X ) E ( X )
2 2

2
n

2
2
ˆ ˆ ( X ,, X )， ˆ ˆ ( X ,, X ) 2. 有效性：若 1 1 1 n 2 2 1 n ˆ ) D( ˆ ). 都是的无偏估计量；若 D(
1 n
ˆ ( x , , x ) 我们称 ( X 1 ,, X n )为的估计量 ；称 1 n 为 估计值 。
二、 估计量的优良性
ˆ ˆ ( X ,, X )的数学期望存在， 1. 无偏性：若 1 n ˆ . 且E
ˆ是的无偏估计量。 则称
无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 .
第七章 参数估计
§7.1点估计及其优良性
一、 点估计
设总体X的分布函数F ( x; )的形式为已知， 是待估参数。
X1 X n是X的一个样本， x1 xn是相应的样本值。
点估计问题：
构造一个适当的统计量 ( X 1 ,, X n )，用它的观察值 ˆ ( x ,, x )来估计未知参数。
1 2
ˆ 较 ˆ 有效。 则称 1 2
当n 1且 2 0时, D( X ) 因此X 较X 1有效
2
n
D( X 1 ) 2 ,
例:总体X的均值与方差2都存在，X1，X2， X3 是取自总体 X 的样本。已知总体均值 的两 3 1 1 1 1 ˆ1 Xi 与 个无偏估计量 ˆ X X X 3
ˆ 1比 ˆ 2更有效 所以
3*、一致性（相合性） 我们不仅希望一个估计量是无偏的，且具有
较小的方差（无偏性与有效性是在样本容量n 固定的情况下建立起来的评判法则），还希望 当样本容量无限增大时，即观察次数无限增多 时，估计量在某种意义下越来越接近于被估参 数的真值，这就是一致性的要求。
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点估计法优劣评价标准
点估计法是一种常见的统计方法，用于估计某个未知的参数。

在评价点估计法的优劣时，我们可以考虑以下标准：
1. 准确性：
准确性是衡量点估计法估计结果与真实值之间的差异大小的标准。

如果估计结果与真实值之间的差异很小，则说明该方法准确性高。

为了评估准确性，我们可以使用如均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）等指标。

2. 可靠性：
可靠性是指点估计法在多次重复估计时能够稳定地得到合理结果的特性。

如果一个方法在多次重复估计时得到的结果不稳定，那么这个方法的可靠性就比较低。

为了评估可靠性，我们可以使用如置信区间、偏差和方差等指标。

3. 鲁棒性：
鲁棒性是指点估计法在面对异常数据、缺失数据或错误假设时的稳健性。

如果一个方法在面对这些情况时结果仍然合理，那么它的鲁棒性就比较高。

为了评估鲁棒性，我们可以使用如Z-score、IQR等指标来衡量数据分布的异常值。

4. 效率：
效率是指点估计法在计算上的复杂度和速度。

如果一个方法需要大量的计算资源和时间来得到结果，那么它的效率就比较低。

为了评估效率，我们可以使用如计算时间、所需的计算资源等指标。

5. 解释性：
解释性是指点估计法得到的结果能够被理解和解释的程度。

如果一个方法得到的结果难以理解和解释，那么它的解释性就比较低。

为了评估解释性，我们可以考虑如结果呈现的清晰度、直观性等指标。

综上所述，对于点估计法的优劣评价，我们需要综合考虑准确性、可靠性、鲁棒性、效率和解释性等多个方面。

通过对这些标准的评估，我们可以全面了解点估计法的性能，并选择最适合我们数据和需求的点估计法。