第 单元 判别估计量好坏的标准

估计量的评价标准估计量是统计学中一个非常重要的概念，它在实际应用中有着广泛的用途。

在统计分析中，我们经常需要根据样本数据来估计总体参数，比如平均值、方差、比例等。

而估计量的好坏直接影响到我们对总体参数的准确性和可靠性。

因此，对估计量的评价标准至关重要。

首先，我们来看估计量的无偏性。

一个估计量如果是无偏的，意味着在重复抽样的情况下，估计量的期望值等于总体参数的真值。

这是一个非常重要的性质，因为它保证了估计量在平均意义下是准确的。

如果一个估计量是有偏的，那么在多次抽样的情况下，估计量的平均值会偏离总体参数的真值，这会导致我们对总体参数的估计产生偏差。

其次，我们需要考虑估计量的一致性。

一个一致的估计量是指当样本容量逐渐增大时，估计量趋向于总体参数的真值。

这意味着随着样本容量的增加，估计量的波动会逐渐减小，最终收敛到总体参数的真值附近。

一致性是估计量的重要性质之一，它保证了在大样本情况下，我们可以获得准确的估计。

此外，我们还需要关注估计量的有效性。

一个有效的估计量是指在所有可能的样本中，估计量的方差最小。

换句话说，有效的估计量能够提供最精确的估计，它的估计误差最小。

有效性是评价估计量优劣的重要标准之一，它直接影响到我们对总体参数的精确度。

最后，我们要考虑估计量的置信区间。

一个好的估计量应该能够提供一个置信区间，该区间能够包含总体参数的真值，并且置信水平越高越好。

置信区间是对估计量精确度的一种度量，它告诉我们关于总体参数的估计有多可靠。

总之，对于估计量的评价标准，我们需要考虑其无偏性、一致性、有效性和置信区间的性质。

一个好的估计量应该在这些方面表现出色，从而能够提供准确可靠的总体参数估计。

在实际应用中，我们需要根据具体问题和数据特点来选择合适的估计量，并且对其进行充分的评价和检验，以确保我们得到的估计是准确可靠的。

参数估计一般用样本统计量作为总体参数的点估计值，而样本统计量是一个随机变量，因此就有必要给出评价点估计值好坏的标准。

点估计值好坏的评价标准有以下3个。

1.无偏性
无偏性是指用来估计总体参数的样本统计量的分布是以总体参数真值为中心的，在一次具体的抽样估计中，估计值或大于或小于总体参数，但在多次重复抽样估计的过程中，所有估计值的平均数应该等于待估计的总体参数。

可以证明，样本平均数x是总体均值μ的无偏估计，样本方差[图片]是总体方差σ2的无偏估计。

2.有效性
有效性是指在同一总体参数的两个无偏估计量中，标准差越小的估计量对总体参数的估计越有效。

3.一致性
一致性是指随着样本容量的增加，点估计量的值越来越接近总体参数的真值。

换句话说，一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体参数。

第四章、参数估计1．简述评价估计量好坏的标准答：评价估计量好坏的标准主要有：无偏性、有效性和相合性。

设总体参数θ的估计量有1ˆθ和2ˆθ，如果()1ˆE θθ=，称1ˆθ是无偏估计量；如果1ˆθ和2ˆθ是无偏估计量，且()1ˆD θ小于()2ˆD θ，则1ˆθ比2ˆθ更有效；如果当样本容量n →∞，1ˆθθ→，则1ˆθ是相合估计量。

2.说明区间估计的基本原理答：总体参数的区间估计是在一定的置信水平下，根据样本统计量的抽样分布计算出用样本统计量加减抽样误差表示的估计区间，使该区间包含总体参数的概率为置信水平。

置信水平反映估计的可信度，而区间的长度反映估计的精确度。

3．解释置信水平为95％的置信区间的含义答：总体参数是固定的，未知的，置信区间是一个随机区间。

置信水平为95％的置信区间的含义是指，在相同条件下多次抽样下，在所有构造的置信区间里大约有95％包含总体参数的真值。

4．简述样本容量与置信水平、总体方差、允许误差的关系答：以估计总体均值时样本容量的确定公式为例：()22/22z n E ασ= 样本容量与置信水平成正比、与总体方差成正比、与允许误差成反比。

练习题：●1.解：已知总体标准差σ=5，样本容量n =40，为大样本，样本均值x =25，（1）样本均值的抽样标准差σ5=0.7906 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，于是，允许误差是E =α/2Z 6×0.7906=1.5496。

●2.解：（1）已假定总体标准差为σ=15元，则样本均值的抽样标准误差为x σ15=2.1429（2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，于是，允许误差是E=α/2Z 6×2.1429=4.2000。

（3）已知样本均值为x =120元，置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，这时总体均值的置信区间为±α/2x Z 0±4.2=124.2115.8 可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。

统计学复习笔记第七章 参数估计一、 思考题1． 解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。

估计量也是随机变量。

如样本均值，样本比例、样本方差等。

根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。

2． 简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。

（2)有效性:是指估计量的方差尽可能小。

对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。

（3)一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。

3． 怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。

置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。

有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差(即置信区间），并不说明置信度,也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。

因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”）,有误导读者之嫌.在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现.这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然.4． 解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95％仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率.也就是说,无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95％（的区间）包含参数。

不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0。

95的概率覆盖总体参数.5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。

1. 估计总体均值时样本量n 为2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为其中： 2222)(E z n σα=n z E σα2=▪与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下,置信水平越大，所需要的样本量越大；▪与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；▪与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。

简述点估计中判别估计量的三个优良标准朋友们！你们知道么？在咱们做事情的时候，有时候得挑个合适的方法来搞定问题，就像找对象一样，得看眼缘儿。

今天呢，就给大家聊聊点估计中的“三好”标准，保证让你一听就懂，一学就会，还能乐在其中！首先得提的是“准确度”。

想象一下，你手里有个小球，要估摸着它的重量，这可得靠得住才行。

就好比咱们用秤称东西，得确保秤是准的，误差小到可以忽视不计。

在点估计里，这个“准确度”就像是秤砣，得稳稳当当，不偏不倚，才能让估计结果靠谱。

再来说说“可靠性”，这可是点估计的“铁打的基础”。

就像我们平时买东西，得看商家是不是老牌子，服务好不好，东西是不是真货。

在点估计里，这个“可靠性”就像是我们的直觉和经验，得让我们心里有底，不会出错。

最后就是“有效性”。

咱们做事情总得有点用吧？点估计就得讲究实用，不能光靠感觉走。

就像我们选衣服，得看合不合适，能不能显身材，能不能让人满意。

在点估计里，这个“有效性”就像是我们的分析方法和结论，得经过验证，经得起推敲，才能称得上是好点估计。

你是不是已经对“三好”标准有了初步的了解？别急，咱们还得深入探讨一下。

比如说，在做点估计时，你得先确定一个合适的估计范围，然后在这个范围内挑选出最合适的估计值。

这时候，“准确度”就显得特别重要了，因为只有准确的估计值才能满足你的要求。

再比如，在做点估计时，你可能会遇到一些特殊情况，这时候就需要用到“可靠性”来帮你判断。

比如，如果你手上的数据不够多或者不够稳定，那么你的估计结果可能就不太可靠。

这时候，你就需要通过增加数据、进行验证等方式来提高估计结果的可靠性。

别忘了“有效性”。

在做点估计时，你得确保你的方法和结论是有效的。

这意味着你的估计过程和结论要经得起检验，能够真实地反映实际情况。

这样才能让你的点估计真正发挥作用，为你解决问题提供帮助。

做点估计就像谈恋爱，得找到那个“三好”标准的完美对象。

只有这样，你的点估计才能既准确又可靠，同时还能有效解决问题。

简述评价估计量优良的标准
1. 客观性：优良的评价估计量应该具有客观性，即不受主观因素的影响，能够准确
反映被评估对象的真实情况。

2. 可靠性：评价估计量应该具有良好的可靠性，即在不同条件下多次评估同一对象，得到的评价结果应该是一致的。

3. 有效性：评价估计量应该能够有效地区分不同的被评估对象，能够准确判断其优
劣程度。

4. 易操作性：优良的评价估计量应该具有简单易懂、易操作的特点，使评估者能够
轻松地进行评估。

5. 统一性：评价估计量应该具有统一的评估标准和量表，使不同评估者在评估过程
中能够达成一致的结果。

6. 透明度：评价估计量的评估过程应该是透明的，评估者应该能够清晰地理解评估
的依据和流程。

7. 公正性：评价估计量应该能够公正地对待不同的被评估对象，不受个人偏见或歧
视的影响。

8. 全面性：优良的评价估计量应该能够全面地评估被评估对象的不同方面和维度，
不偏重某一方面。

9. 效度：评价估计量应该具有良好的效度，即能够准确地衡量其所要评估的目标。

这意味着评价估计量能够真实地反映出被评估对象的特征或能力。

10. 可比性：评价估计量应该具有可比性，即不同评估者使用同一量表评估不同被评
估对象时，得出的评价结果应该是可比较的。

估计量的优良标准
一、无偏性
无偏性是指估计量抽样分布的数学期望值等于被估计的总体参数的真实值。

也就是说，无偏性是指估计量能够真实反映总体参数。

在实际应用中，如果一个估计量是无偏的，那么它多次重复抽样所得到的估计值会趋近于总体参数的真实值。

因此，无偏性是估计量的一个重要的优良标准。

二、有效性
有效性是指估计量在所有可能的估计量中拥有最小的方差。

换句话说，有效性是指估计量的离散程度较小，即估计量的值在多次重复抽样中会较为稳定。

在实际应用中，如果一个估计量是有效的，那么它能够提供更准确的估计结果，因为它的方差较小，可以减少估计误差。

三、一致性
一致性是指随着样本容量的增加，估计量的值趋近于总体参数的真实值。

也就是说，一致性是指估计量随着样本容量的增加具有更好
的估计精度。

在实际应用中，如果一个估计量是一致的，那么它可以在较大的样本容量下提供更加准确的估计结果。

四、充分性
充分性是指一个统计量是样本信息量的充分表达。

换句话说，充分性是指一个统计量包含了样本信息中的所有可用信息。

在实际应用中，如果一个统计量是充分的，那么它能够充分利用样本信息进行参数估计，从而提高估计的精度和准确性。

五、简约性
简约性是指估计量的形式简单明了，易于计算和使用。

在实际应用中，如果一个估计量是简约的，那么它可以简化统计推断的复杂度，提高统计推断的效率。

同时，简约性也有助于减少因计算错误而导致的误差。

优良估计量的标准在科学研究和数据分析中，我们经常需要对某些特征或者变量进行估计。

而估计量的好坏直接影响着我们对真实数值的准确度。

因此，确定优良估计量的标准对于科学研究和数据分析具有重要意义。

本文将从偏差、方差和效率三个方面来探讨优良估计量的标准。

首先，偏差是衡量估计量优劣的重要标准之一。

偏差是指估计量的期望值与被估计参数的真实值之间的差异。

一个好的估计量应当具有较小的偏差，即期望值应当接近于真实值。

当估计量的偏差较大时，就会导致估计结果的不准确性，甚至产生错误的结论。

因此，我们在选择估计量时，应当尽量选择偏差较小的估计量。

其次，方差也是衡量估计量优劣的重要标准之一。

方差是衡量估计量离散程度的指标，方差越小，说明估计量的离散程度越小，稳定性越好。

一个好的估计量应当具有较小的方差，即估计值之间的差异应当较小。

当估计量的方差较大时，就会导致估计结果的不稳定，容易受到外部因素的影响。

因此，我们在选择估计量时，应当尽量选择方差较小的估计量。

最后，效率是衡量估计量优劣的重要标准之一。

效率是指在给定偏差的情况下，方差越小的估计量越优秀。

换句话说，一个好的估计量应当在保持一定的准确度的情况下，尽量减小估计值之间的差异。

因此，我们在选择估计量时，应当综合考虑偏差和方差，选择效率较高的估计量。

综上所述，确定优良估计量的标准是一个综合考量偏差、方差和效率的过程。

我们应当在实际应用中，根据具体的情况，选择合适的估计量，以确保估计结果的准确性和稳定性。

希望本文的讨论能够对大家在科学研究和数据分析中选择优良估计量提供一定的帮助。

简述评价估计量的三个标准
评价估计量的三个标准是准确性、一致性和有效性。

准确性是评价估计量的最基本标准，它指的是估计值与真实值之间的接近程度。

一个准确的估计量应该能够尽可能地接近真实值，即估计值与真实值之间的差距应该尽可能地小。

准确性的评价可以通过比较估计值与已知真实值或者通过统计模型的拟合程度来进行。

一致性是评价估计量的另一个重要标准，它指的是估计量的稳定性和可靠性。

一个一致的估计量应该在多次估计中产生相似的结果，即估计值应该具有较小的变异性。

一致性的评价可以通过计算估计值的方差或者标准误来进行。

有效性是评价估计量的第三个标准，它指的是估计量的信息量和实用性。

一个有效的估计量应该能够提供足够的信息，以便进行决策或得出结论。

有效性的评价可以通过计算估计值的置信区间或者预测区间来进行。

除了这三个标准之外，评价估计量还需要考虑其他因素，如偏倚、效率和可解释性等。

偏倚是指估计值的期望与真实值之间的差异，一个无偏的估计量应该具有期望等于真实值的特性。

效率是指估计量的方差最小，即估计量的变异性最小。

可解释性是指估计量是否能够提供
有关估计结果的有效信息，以便进行解释和理解。

综上所述，评价估计量的三个标准是准确性、一致性和有效性。

这些标准可以帮助我们判断和选择适合的估计量，并提高估计结果的可靠性和实用性。

评价估计量的三个标准
评价估计量是统计学中一个重要的概念，它是用来衡量估计量的准确性和可靠性的一种方法。

评价估计量的标准主要有三个：准确性、可靠性和效率。

首先，准确性是指估计量的准确程度，它是衡量估计量的最重要的标准。

准确性可以通过检验估计量的偏差来衡量，偏差越小，准确性越高。

其次，可靠性是指估计量的可靠程度，它是衡量估计量的重要标准。

可靠性可以通过检验估计量的稳定性来衡量，稳定性越高，可靠性越高。

最后，效率是指估计量的效率，它是衡量估计量的重要标准。

效率可以通过检验估计量的计算速度来衡量，计算速度越快，效率越高。

总之，评价估计量的标准主要有三个：准确性、可靠性和效率。

准确性是指估计量的准确程度，可靠性是指估计量的可靠程度，效率是指估计量的效率。

这三个标准是衡量估计量的重要指标，只有当估计量在这三个标准上都达到较高水平时，才能说明估计量是准确可靠的。

第七章 参数估计 第二节 估计量的评判标准【学习目标】1. 熟练验证参数的估计量是否满足无偏性、有效性；2. 了解参数相合性的定义；【学习重点】估计量的三大评判标准——无偏性、有效性、相合性 【学习难点】估计量的三大评判标准——无偏性、有效性、相合性 【学习任务清单】一、课前导学本节内容预备知识，常用统计量的性质、大数定律。

二、学习视频第三十四讲 估计量的三大评判标准1（共6个视频，总时长48分38秒） 视频1 无偏性的背景（10分06秒）重点讲解了对于同一参数，用不同方法来估计，结果是不一样的。

在这些估计中，我们自然地希望挑选一个最“优”的点估计.因此，有必要建立评价估计量优劣的标准.下面介绍几个常用的标准：无偏性、有效性和相合性。

视频2 无偏估计的定义（2分39秒）定义：如果未知参数θ的估计量()12ˆˆ,,,n X X X θθ=的数学期望()ˆE θ存在,且对任意θ∈Θ,都有()ˆE θθ= 则称ˆθ是θ的无偏估计量。

（直观的看法是随机估计变量的中心就是θ）（这部分是重点）。

视频3 例题 无偏性的证明（13分32秒）结论：设样本n X X X ,,,21 是从总体X 的均值μ和方差2σ抽取的,证明:(1)样本均值11ni i X X n ==∑是总体均值μ的无偏估计量；（2）2211()1ni i S x x n ==--∑是总体方差2σ的无偏估计量； (3) 11n k i i X X n ==∑是总体()kE X 的无偏估计量。

提示：在对无偏估计量验证时，往往利用统计量的性质计算会比较简单。

定义：如果未知参数θ的估计量()12ˆˆ,,,n X X X θθ=，()ˆE θθ≠()ˆlim n E θθ→∞= 则称ˆθ是θ的渐进无偏估计量。

视频4 例题 无偏性的不唯一性（8分42秒）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,0,1),( -x x e x f xθθθ (其中参数0>θ未知)，n X X X ,.,,21 是来自总体X 的样本，证明X 与)1(nX 均为参数θ的无偏估计量. 证明思路：θ=)(X E （利用统计量的性质），先求出)1(X 的概率密度可知是服从参数为θn 的指数分布，即nX E θ=)()1(。

估计量的评选标准：无偏性对于同一个参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同.问题：采用哪一个估计量好？设总体X ~F (x ,θ)，其中θ为未知参数，X 1,X 2,…,X n 为来自该总体的样本，为θ的一个估计量.1ˆ(,,)nX X θ当样本(X 1,…,X n )有观测值(x 1,…,x n )时，估计值为估计量是一个随机变量1ˆ(,,)n X X θ1ˆ(,,)n x x θ而当样本(X1,…,X n)有观测值(y1,…,y n)时，估计值为1ˆ(,,)ny y由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值.因此评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果来判断，而必须根据估计量的分布从整体上来做评价.当样本取不同的观测值时，希望相应的估计值在未知参数真值附近摆动，而它的均值与未知参数的真值的偏差越小越好.当这种偏差为0时，就导致无偏性这个标准.θ1ˆθ2ˆθ3ˆθ一、无偏性（Unbiasedness ）则称为θ的无偏估计量（Unbiased Estimator ）.若估计量的数学期望存在，且对任何θ∈Θ，有1ˆˆ(,,)nX X θθ=ˆ()E θθ=ˆθ有偏无偏对于无偏估计量，单次的估计值相对于真值，可能偏大，也可能偏小，它无法说明一次估计所产生的偏差，但反复将这一估计量使用多次，平均来说其偏差为0.无偏估计量仅在多次重复使用时才显示其优越性.无偏估计的意义就是无系统误差.在科学技术中,将称为以作为θ估计的系统误差.ˆ()E θθ-ˆθ例1.设总体X~N(μ,σ2)，其中参数μ, σ2未知，问μ和σ2的最大似然估计量是否是无偏估计？解：参数μ, σ2的最大似然估计分别为由于11ˆ=niiX Xnμ==∑2211ˆ()niiX Xnσ==-∑11ˆ()niiE EX E Xnμ===∑11()=niiEXnμ==∑即：是μ的无偏估计.X22211()(2)n n i i i i i X X X X X X ==-=-+∑∑221112n n ni i i i i X X X X ====-+∑∑∑22112n ni i i i X X X nX ===-+∑∑221112nni i i i X Xn X nX n ===-+∑∑22212nii X nX nX==-+∑221nii X nX==-∑2221111ˆ{()}(())n ni i i i E E X X E X X n n σ===-=-∑∑22211()n ni i i i X X X nX ==-=-∑∑2211()ni i E X nX n ==-∑2211n i i EX EXn ==-∑2211[()][()]ni i i DX EX DX EX n ==+-+∑222211[][]ni n nσσμμ==+-+∑21n n σ-=不是σ2的无偏估计.因为因此，样本方差S 2是σ2的无偏估计.221ˆ, n EX E nμσσ-==所以：是μ的无偏估计；X 2211ˆ()n i i X X n σ==-∑不是σ2的无偏估计.而22221111ˆ()()111n n i i i i n n X X X X S n n n n σ===⋅-=-=---∑∑2ˆσ22221ˆˆ()()111n n n n E E n n n nσσσσ-==⋅⋅=---而例2.设总体X 的k 阶原点矩存在，记其为μk ，X 1,X 2,…,X n 为来自总体X的样本，试证明不论总体服从什么分布，样本k 阶矩是总体k 阶矩μk 的无偏估计量.解：由于因此样本k 阶矩是总体k 阶矩的无偏估计量.11()()n k k i i E A E X n ==∑11()n k i i E X n ==∑11()n k ii E X n ==∑()kkE X μ==11n kk ii A X n ==∑例3.设总体X 的概率密度为其中θ>0为未知参数，X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本.证明：因为故是θ的无偏估计易求得X 的分布函数为试证：和nU =n {min(X 1,X 2,…,X n )}都是θ的无偏估计量./1,0(,)0,x ex f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩X EX EX θ==X /1,0()0,x X e x F x x θ-⎧->=⎨≤⎩先求U 的分布函数12()()(min(,,,))n F u P U u P X X X u =≤=≤121(min(,,,))n P X X X u =->121(,,,)n P X u X u X u =->>>121()()()n P X u P X u P X u =->>>11(1())i nX i F u ==--∏1[1()]nX F u =--独立性对其求导数得到U 的密度函数为：即U 的分布函数为()1[1()]nX F u F u =--1()()[1()]()n U X X f u F u n F u f u -'==-000nu n e u u θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩11[1(1)]000u n u n e e u u θθθ---⎧-->⎪=⎨⎪≤⎩/1,0()0,x X e x F x x θ-⎧->=⎨≤⎩/1,0(,)0,x ex f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩指数分布U 的密度函数为()()UE U ufu du +∞-∞=⎰11000u n e u n u θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,0()0,0nu U n e u f u u θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩0nunu edu θθ+∞-=⎰nθ=由指数分布的性质知：因此，nU 也是θ的无偏估计量.()E U nθ=()()E nU nE U nnθθ===故有：。