判断点估计好坏的三个标准

第三讲点估计的评价标准副教授主讲教师叶宏在前两讲中我们介绍了两种点估计法，发现了点估计的不唯一性，即对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题:应该选用哪一种估计量?用何标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1) 无偏性(3) 一致性(2) 有效性这一讲我们介绍估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值. 我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 这就导致无偏性这个标准.(1) 无偏性θθ=)ˆ(E 则称为的无偏估计.θˆθ),,(ˆ1n X X θ设是未知参数的估计量，若θ.真值∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙),,,(21n X X X 是总体X 的样本,证明: 不论X 服从什么分布(但期望存在),是k μ的无偏估计量.证∑∑====n i k i n i k i k X E n X n E A E 11)(1)1()(例设总体X 的k 阶矩)(k k X E =μ存在，因而ni X E k k i ,,2,1)( ==μ由于k k n n μμ=⋅⋅=1∑==n i k i k X n A 11特别地样本二阶矩∑==n i i X n A 1221是总体二阶矩是总体期望E ( X ) 的X 样本均值无偏估计量)(22X E =μ的无偏估计量例设总体X 的期望与方差存在,X 的样本为),,,(21n X X X (1) 不是D ( X )的无偏估计; ∑=-=n i i n X X n S 122)(1(2) 是D ( X ) 的无偏估计. ∑=--=n i i X X n S 122)(11原样本方差样本修正方差2221)(σσ≠-=nn S E n ()22σ=S E 2221lim ()lim n n n n E S nσσ→∞→∞-==是D ( X )的渐进无偏估计2n S无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性的概念12ˆˆ,θθ一个参数往往有不止一个无偏估计, 若θ都是参数的无偏估计量，我们可以比较的大小来决定谁更优.21)ˆ(θθ-E 和22)ˆ(θθ-E 211)ˆ()ˆ(θθθ-=E D 由于222)ˆ()ˆ(θθθ-=E D (2) 有效性(2) 有效性D ( )< D ( )2ˆθ1ˆθ则称较有效.2ˆθ1ˆθ都是参数的无偏估计量，若有),,(ˆ11n X X θ),,(ˆˆ122n X X θθ==1ˆθ设和θ*1ˆˆ()()D D θθ≤*ˆθ是的任一无偏估计.θ则称为的最小方差无偏估计.θθˆ若321232111254131ˆ)(31ˆX X X X X X ++=++=μμ都是μ的无偏估计量1ˆμ最有效例如X ~ N ( μ,σ2) ,样本是.,,321X X X μμμ==)ˆ()ˆ(21E E 22217225)ˆ(31)ˆ(σμσμ=<=D D 推广i n i i X c ∑==1ˆμ是μ的无偏估计量X X c i ni i 中∑==1ˆμ最有效11n i i c ==∑当时ˆlim ()1n P θθε→∞-<=则称θˆ是参数θ的一致(或相合)估计量.(3) 一致性(相合性)即,0>∀ε一致性估计量仅在样本容量n 足够大时,才显示其优越性.定义设是总体参数θ),,,(ˆˆ21n X X X θθ=θˆ的估计量. 若n →∞时, 依概率收敛于θ,关于一致性的常用结论样本k 阶矩是总体k 阶矩的一致性估计量由大数定律可证明矩法得到的估计量一般为一致估计量为方便鉴别有效性，引进定理： 1lim (),lim ()(,,0)n n nn n n n X X E D θθθθθθ→∞→∞=== 设是未知参数的估计量，若定理 n θθ则是的一个相合估计量.212221~(,),,,1()1n n i i X N X X X S X X n μσσ==--∑ 设总体是的样本则是的一致例估计量.22211()1ni i S X X n σ==--∑是的一致估计量.证明2222(1)(1)1,2(1)n S n S E n D n σσ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()222lim (),lim 0n n E S D S σ→∞→∞⇒==222(1)~(1)n S n χσ-- ()()42222,1E S D S n σσ=∴=-由卡方分布性质知。

6.2 点估计的评价标准1,总体X U （θ，2θ）是未知参数，又1x ,…..,nx为取自该总体的样本，_x 为样本均值。

（1）证明 θ =23x --是参数θ的无偏估计和相和估计；（2）求θ的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相和估计吗？ 解 （1）总体X U(θ，2θ）,则 2123(),()2nE X Var X θθ==-，从而123()2E x θ=, ()212Var x n θ=于是，E （θ ）=_2()3E x =θ，这说明θ =_23x 是参数θ的无偏估计。

进一步，224()091227Var n nθθθ=⨯=→这就证明了θ也是θ的相和估计。

（2）似然函数为(1)()()(2),1()n nL I x x θθθθ=<<<显然()L θ是θ的减函数，且θ的取值范围为()(1)2n xx θ<<，因而θ的最大似然估计为()2n mlexθ=下求mleθ的均值与方差，由于()n x 的密度函数为1()()n f x n x θθ-=-。

1θ=1()n n nx n θ--，（2x θθ<<）,故2112(1)021()(),1()n n n nnn E xdx t dt n x n x t θθθθθθθ--+==+=+-⎰⎰2221222482()(1)(2)(1)()n n nE dx n n n x n x xθθθθ-++==++-⎰22()(2)(1)n n Var n x n θ=++，从而()121()()22(1)n n E E n n x θθθ+==→→+∞+ ，这说明mleθ不是θ的无偏估计，而是θ的渐进无偏估计。

又22()1()()0()44(2)(1)n n V Var n n x n θθ==→→+∞++， 因而mleθ是θ的相和估计。

2，设123,,x x x 是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值μ的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1） 1123111233x x x μ=++ （２） 2123111333x x x μ=++ （３） 3123112663x x x μ=++ 解 先求三统计量的数学期望，1123111111()()()(),236236E E E E x x x μμμμμ=++=++= 2123111111()()()()333333E E E E x x x μμμμμ=++=++= 3123112112()()()()663663E E E E x x x μμμμμ=++=++= 这说明它们都是总体均值μ的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为2σ则222211231111117()()()()4936493618V a r V a r V a r V a r x x x μσσσσ=++=++=222221231111111()()()()9999993Var Var Var Var x x x μσσσσ=++=++=222231231141141()()()()36369363692Var Var Var Var x x x μσσσσ=++=++= 不难看出(1,)(,)L M x L M x += 213()()()Var Var Var μμμ<<。

6.2点估计的评价标注我们已经看到，点估计有各种不同的求法，为了在不同点估计间进行比较选择，就必须对各种点估计的好坏给出评价标准.数理统计中给出了众多的估计量评价标准，对同一估计量实用不同的评价标准可能会得到完全不同的结论，因此在评价某一个估计好坏时首先要说明是在哪一个标准下，否则所论好坏则毫无意义.但不管怎么说，有一个基本标准时所有的估计都应该满足的，它是衡量一个估计是否可行的必要条件，这就是估计的相合性，我们就从相合性开始。

6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。

但如果我们有足够的观测值，根据格里文科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下：定义6.2.1 设θ∈Θ为未知参数，()12,,,n n n x x x θθ∧∧= 是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0ε>，有()ˆlim 0nn P θθε→∞->= 则称ˆnθ为参数θ的相合估计。

相合性被认为是对估计的一个最基本的要求，如果一个估计量，在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度，那么这个估计值是很值得怀疑的。

通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。

证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证。

若把依赖于样本量n 的估计量ˆn θ看作一个随机变量序列，相合性就是ˆnθ依概率收敛于θ，所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质以及各种大数定律。

例6.2.1 设12,,x x 是来自正态总体()2,N μσ的样本，则有辛钦大数定律及依概率收敛的性质知：x 是μ的相合估计；*2s 是2σ相合估计；2s 也是2σ的相合估计。

由此可见参数的相合估计不止一个。

在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。

三点估算法
所谓三点估计法就是把施工时间划分为乐观时间、最可能时间、悲观时间，也就是工作顺利情况下的时间为a，最可能时间，就是完成某道工序的最可能完成时间m，最悲观的时间就是工作进行不利所用时间b。

1.不确定性：最大值和最小值当考虑到不确定性时，某个活动的时间/成本估算，就会有波动。

那就会有两个值：最大和最小。

最大
和最小，可以来自于以往的统计数据，也可以来自专家估算。

2.最可能的值-三角分布但是有时候，最大和最小，差太远，所
以可以估一个最可能的值：最大值和最小值范围内出现最多次数的值，也成为“众数（Mode）”。

毕业论文题目：评价估计量好坏的标准作者：指导教师：职称：副教授院系：理学院数学系专业：信息与计算科学班级：2009级01班日期：2013年06月评价估计量好坏的标准摘要:未知参数的估计通常有很多种，一个好的估计量应该在多次观测中，其观测值围绕被估计参数的真值摆动。

人们总是希望估计量能代替真实参数，为正确评价估计量，要建立判别估计量好坏的标准.根据不同的要求，评价估计量可以有各种各样的标准。

所以，对于一个估计量的优良性进行判别显得尤为重要。

本文主要总结估计量优良性的若干判别准则，如无偏性、有效性、一致性、一致最小方差无偏估计、均方误差，这些常见的判别方法被我们所学习和使用，但是都只是在理论上具有可行性，而在实际生活学习和使用中，并没有人对这些常见的判别方法给出实用性的充分证明。

通过本文的研究，进一步了解了估计量优良性的一些判别准则，为今后更好地学习与应用估计量打下了基础。

关键词:无偏性;一致性;有效性;一致最小方差无偏估计;均方误差The evaluation criterion of the criterion of estimationAbstract: estimates of the unknown parameters usually has many kinds, a good estimation should be in multiple observations, the observations on the true values of parameters are estimated to swing. People always want to replace the real parameter estimation, estimation is evaluated correctly, to establish discriminant estimation quality standards. According to different requirements, evaluation estimator can have a variety of standard. So, is very important for a good estimate of the amount of discrimination is. This paper summarizes the estimator optimality criteria, such as unbiasedness, efficiency, consistency, uniformly minimum variance unbiased estimator, mean square error, these common discriminant method is we have to learn and use, but are only is feasible in theory, but in real life, to learn and use, no one of these discriminant and give a practical method of common fully proved. Through this research, the further understanding of the estimator and benign some criteria, for further study and application of estimation of foundation.Keywords: unbiased; consistency; effectiveness; the uniformly minimum variance unbiased estimate; mean square error目录引言 (1)评价估计量好坏的标准 (2)1 估计量的无偏性 (2)1.1 无偏估计量的定义及定理 (2)1.2 无偏估计量的举例说明 (3)2 估计量的有效性 (4)2.1 有效估计量的定义 (4)2.2 关于有效估计量的举例说明 (5)3 估计量的一致性 (7)3.1 一致估计量的定义 (7)3.2 一致估计量的举例说明 (7)4 一致最小方差无偏估计 (8)4.1 最小方差无偏估计的定义及定理 (8)5 均方误差准则 (10)5.1 均方误差准则的定义 (10)5.2 关于均方误差准则的举例说明 (10)结束语 (11)致谢 (12)参考文献 (13)引言对于评价估计量好坏的标准的研究，国内外更多的是将其依托于一个具体的实验或具体的实际问题中去进行比较研究，如在1982年《数学杂志》中，刘学圃写了一篇名为《一类平稳时间序列谱密估计量的优良性质》文章，又如在《统计与信息论坛》中，写了一篇《系统样本差估计量的优良性》，所以说对其的研究更多的是依据于是研究中，通过其试验来体现一个估计量的优良性.当然，单纯对于评价估计量好坏的研究国内有一篇很是经典的文章—王力宾的《对估计量优劣性评价标准的研究》，他在此文中比较详细地介绍了若干判别准则，大致上分为两类：一类是小样本估计量优良性的若干判别准则，另一类是大样本估计量优良性的判别准则。

简述评价估计量好坏的标准首先，估计量的准确性是评价其好坏的重要标准之一。

一个好的估计量应该尽可能接近真实值，即具有较高的准确性。

在实际应用中，我们可以通过与实际数值的比较来评价估计量的准确性。

如果估计量与实际数值相差较小，则说明该估计量具有较高的准确性；反之，则说明该估计量的准确性较低。

其次，估计量的稳定性也是评价其好坏的重要标准之一。

一个好的估计量应该具有较高的稳定性，即在不同的环境和条件下，估计量的变化应该较小。

在实际应用中，我们可以通过对估计量在不同条件下的表现进行观察和比较来评价其稳定性。

如果估计量在不同条件下变化较小，则说明该估计量具有较高的稳定性；反之，则说明该估计量的稳定性较低。

此外，估计量的可靠性也是评价其好坏的重要标准之一。

一个好的估计量应该具有较高的可靠性，即在重复实验或者观察中，估计量的变化应该较小。

在实际应用中，我们可以通过对估计量在重复实验或者观察中的表现进行观察和比较来评价其可靠性。

如果估计量在重复实验或者观察中变化较小，则说明该估计量具有较高的可靠性；反之，则说明该估计量的可靠性较低。

最后，估计量的有效性也是评价其好坏的重要标准之一。

一个好的估计量应该具有较高的有效性，即能够有效地反映出所要估计的事物或者现象的特征。

在实际应用中，我们可以通过对估计量与所要估计事物或者现象的关系进行观察和分析来评价其有效性。

如果估计量能够有效地反映出所要估计事物或者现象的特征，则说明该估计量具有较高的有效性；反之，则说明该估计量的有效性较低。

综上所述，评价估计量好坏的标准主要包括准确性、稳定性、可靠性和有效性。

在实际应用中，我们需要综合考虑这些标准来评价估计量的好坏，并且根据具体情况进行权衡和选择。

希望本文能够对评价估计量好坏的标准有所帮助。

三点估值法三点估值法是一种用于项目管理和风险评估的方法，它基于统计学原理，通过三个估计值来预测一个事件的概率和结果。

这种方法通常用于处理不确定性较高的情况，以提供更准确和可靠的决策依据。

以下是三点估值法的相关参考内容。

1. 三点估值法的基本原理：- 三点估值法使用三个估计值来确定一个事件的最可能结果。

这些估计值是乐观估计（O），悲观估计（P）和最可能估计（M）。

- 乐观估计是对事件在最有利情况下的结果进行估计，它通常表示事件成功的可能性较高的情况。

- 悲观估计是对事件在最不利情况下的结果进行估计，它通常表示事件失败的可能性较高的情况。

- 最可能估计是对事件在正常情况下的结果进行估计，它是根据过去的经验和专业判断得出的。

2. 三点估值法的计算公式：- 三点估值法使用以下公式来计算一个事件的最可能结果：最可能结果 = (O + 4M + P) / 6- 这个公式将最可能估计值加权平均，权重为4/6，乐观估计值和悲观估计值分别占1/6.3. 三点估值法的优点：- 三点估值法可以提供更准确和可靠的结果预测，因为它综合了悲观和乐观两种情况的考虑。

- 这种方法使决策者能够了解事件发生的概率分布和不确定性程度，从而更好地管理风险。

- 三点估值法可以减少单一估计值带来的误差和主观性，通过加权平均多个估计值来减小偏差。

4. 三点估值法的应用场景：- 三点估值法可以应用于项目管理中的时间和成本估计，帮助项目经理更准确地规划和控制项目进度和预算。

- 这种方法也可以应用于风险评估，通过估计不同风险事件的概率和影响，帮助决策者制定相应的风险应对方案.- 三点估值法还可以用于市场需求和销售预测，通过综合考虑不同影响因素的不确定性，提供更可靠的市场预测结果.总结起来，三点估值法是一种基于统计学原理的方法，通过综合考虑乐观、悲观和最可能估计，提供更准确和可靠的事件结果预测。

它在项目管理和风险评估中具有广泛的应用，能够帮助决策者更好地管理不确定性，并制定相应的决策和措施。

1、【】抽样误差是指A、在调查过程中由于观察、测量等差错所引起的误差B、在调查中违反随机原则出现的系统误差C、人为原因所造成的误差D、随机抽样而产生的代表性误差2、【】下表是一个分组样本:则其样本均值x̅近似为 A、50 B、54 C、62 D、643、【】设A、B为随机事件，且P(B)>0，P(A|B)=1，则必有A、P(A⋃B)>P(A)B、P(A⋃B)=P(A)C、P(A⋃B)>P(B)D、P(A⋃B)=P(B)4、【】总体均值μ置信水平为95%的置信区间为(θ̂1,θ̂2)，其含义是A、总体均值μ的真值以95%的概率落入区间(θ̂1,θ̂2)B、样本均值x̅以95%的概率落入区间(θ̂1,θ̂2)B、区间(θ̂1,θ̂2)包含总体均值μ的真值的概率为95% D、区间(θ̂1,θ̂2)包含样本均值x̅的概率为95%5、【】对正态总体的数学期望μ进行假设检验H0:μ≤μ0，H1:μ≥μ1。

如果显著性水平α=0.05下接受H0，那么在显著性水平α=0.05下A、必接受H0B、必拒绝H0，接受H1C、可能接受也可能拒绝H0D、拒绝H0，可能接受也可能拒绝H16、【】已知某时间数列各期的环比增长速度分别为11%、13%、16%，则该数列的定基增长速度为A、11%×13%×16%B、11%×13%×16%＋1C、111%×113%×116%－1D、111%×113%×116%7、【】移动平均法的主要作用是A、削弱短期的偶然因素引起的波动B、削弱长期的基本因素引起的波动C、削弱季节变动的影响D、预测未来8、【】某市居民以相同的货币在物价上涨后少购商品15%，则物价指数为A、17.6%B、85%C、115%D、117.6%9、【】若所有观察点都落在回归直线y=a+bx上，则x与y之间的相关系数为A、r=0B、r=±1C、−1<r<0D、0<r<110、【】利用某企业1999～2007年商品销售额（单位：万元）的资料，以数列中项为原点，拟合直线趋势方程为y t=610+72t，利用该模型预测该企业2008年的商品销售额为A、970万元B、1042万元C、1330万元D、1402万元二、多选（本大题共5小题，每小题2分）11、【】数据资料搜集方法有A、报告法Ｂ、抽样调查法Ｃ、访问法Ｄ、观察法 E、重点调查法12、【】反映总体各单位标志值差异程度的统计指标包括A、标准差B、全距C、中位数D、标准差系数E、平均差13、【】在进行时间数列分解时，一般把时间数列的构成因素按性质和作用分为A、长期趋势变动Ｂ、季节变动Ｃ、循环波动Ｄ、不规则变动 E、时间变动14、【】若两个相邻时期的环比发展速度皆为102%，则A、这两个时期的定基发展速度相等B、这两个时期的逐期增长量相等C、这两个时期的发展水平相等D、这两个时期的环比增长速度相等E、这两个时期的平均发展速度为102%15、【】下列有关时间数列长期趋势的说法中，正确的有A、若各期数值基本位于一条直线上，宜拟合线性趋势方程B、若各期数值大致按某一相同比率增长，宜拟合指数趋势方程C、若时间数列无明显的线性趋势，呈水平状波动，宜采用一次指数平滑法进行预测D、若时间数列具有明显的曲性趋势，宜采用二次指数平滑法进行预测E、若时间数列具有明显的线性趋势，宜采用三次指数平滑法进行预测16、若事件A 、B 满足A ∪B =Ω，AB =Φ，且P (A )=0.3，则P (B )=__________。

点估计中两种常用方法的比较与分析楚尚坤河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2005级3班摘 要：本文首先介绍矩估计法和极大似然估计法，然后对于同一分布和同一参数，用这两种不同的方法求出矩估计量和极大似然估计量，利用估计量的三条评选标准：无偏性、有效性和一致性来判断哪个估计量在这种情况下与该参数的真实值更相近，从而选择相应的点估计法。

关键词：矩估计 极大似然估计 无偏性 有效性 一致性§1 引言当我们碰到这样的问题：假设总体分布函数的形式已知（它可由理论分析和过去经验得到，或者从抽样数据的直方图和概率纸描点初步估计出），但它的一个或多个参数未知，借助于总体的一个样本值，构造适当的样本函数来估计总体未知参数的问题，我们称之为点估计问题。

点估计是数理统计学中内容很丰富的一个分支，其中两种最常用的构造的估计量的方法是矩估计法和极大似然估计法。

当对于同一分布和同一参数时，先用矩估计法和极大似然估计法分别求得矩估计量和极大似然估计量，然后用无偏性、有效性和一致性对这两个估计量进行衡量，当样本容量足够大时，从而选出一个估计量使得这个估计量既在未知参数的真实值附近，又与未知参数真实值的偏离程度很小，而且随着样本容量n 的增大估计量与被估计参数的偏差越来越小，进而选择相应的点估计法。

§2 相关概念2.1 参数估计所谓参数估计，是指从样本),,,(21n X X X 中提取有关总体X 的信息，即构造样本的函数——统计量),,,(21n X X X g ，然后用样本值代入，求出统计量的观测值12(,,,)n g x x x ，用该值来作为相应待估参数的值。

此时，把统计量),,,(21n X X X g 称为参数的估计量，把),,(,21n x x x g 称为参数的估计值。

2.2 参数估计的类型参数估计问题常有两类：点估计和区间估计。

（1） 点估计：指对总体分布中的参数θ，根据样本),,,(21n X X X 及样本值),,,(21n x x x ，构造一统计量),,,(21n X X X g ，将),,(,21n x x x g 作为θ的估计值，则称),,,(21n X X X g 为θ的点估计量，简称点估计，记为∧θ=),,,(21n X X X g 。