高一数学解三角形

下学期高一数学第一章解三角形全章教案1.1第1课时 正弦定理(1)教学目标（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则sin a A c =， sin b B c =， sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b cA B C==． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二．学生活动学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理． 三．建构数学探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？ 证法1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =，sin ADC b=，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a cA C=， 所以sin sin sin a b cA B C ==． 若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =︒-=．同样可得sin sin sin a b cA B C==．综上可知，结论成立．证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在ABC ∆中，有BC BA AC =+．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3）），于是BC AD BA AD AC AD ⋅=⋅+⋅．设AC 与AD 的夹角为α，则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=⋅⋅︒++⋅，其中 ，当C ∠为锐角或直角时，90C α=︒-； 当C ∠为钝角时，90C α=-︒． 故可得sin sin 0c B b C -=，即sin sin b cB C=． 同理可得sin sin a cA C =． 因此sin sin sin a b c A B C==． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．解：因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b cA B C==， 所以sin 10sin 45102sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin1055256sin sin 30a C c A ︒===+︒．因此， b ，c 的长分别为102和5256+．例2．根据下列条件解三角形： （1）3,60,1b B c ==︒=； （2）6,45,2c A a ==︒=．解：（1）sin sin b cB C =，∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯︒===， ,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A ==，∴222a b c =+=．（2）sin sin a cA C=，∴sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===，∴60120C =或， ∴当sin 6sin 756075,31sin sin 60c B C B b C =====+时，； ∴当sin 6sin1512015,31sin sin 60c B C B b C =====-时，； 所以，31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 练习：在ABC ∆中，30a =，26b =，30A =︒，求c 和,B C ．说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习： （1）在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ． （2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．（3）在ABC ∆中，30bc =，1532ABC S ∆=，则A ∠= ． （4）课本第9页练习第1题． 五．回顾小结：1．用两种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．2．初步应用正弦定理解斜三角形． 六．课外作业：课本第9页练习第2题；课本第11页习题1.1第1、6题§1.1.1第2课时 正弦定理(2)教学目标（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； （2）熟记正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式．教学重点，难点利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理． 教学过程 一．问题情境上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？ 二．学生活动学生根据第5页的途径（2），（3）去思考． 三．建构数学证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有(cos ,sin )A c B c B ，(,0)C a ，所以ABC ∆的面积为1sin 2ABC S ac B ∆=．同理ABC ∆的面积还可以表示为1sin 2ABC S ab C ∆=及1sin 2ABC S bc A ∆=，所以111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==． 所以sin sin sin a b c A B C==． 证法2 如下图，设O 是ABC ∆的外接圆，直径2BD R =．（1）如图（2），当A 为锐角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又D A ∠=∠，所以2sin a R A =．（2）如图（3），当A 为钝角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又180A D ∠+∠=︒，可得sin sin(180)sin D A A =︒-=，所以2sin a R A =．（3）当A 为直角时，2a R =，显然有2sin a R A =．所以不论A 是锐角、钝角、直角，总有2sin a R A =．同理可证2sin b R B =，2sin c R C =．所以2sin sin sin a b cR A B C===． 由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径． 由此可得到正弦定理的变形形式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； （2）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 四．数学运用1．例题：例1．根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数． （1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）106a =，203b =45A =︒，求B ； （4）202a =203b =45A =︒，求B ；（5）4a =，33b =，60A =︒，求B ． 解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解． （2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于A 为锐角，而210632=，即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．（4）由于A 为锐角，而22032022031062>>=，即sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．（5）由于A 为锐角，又1034sin 605<︒=，即sin a b A <，∴B 无解． 例2．在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．解：令sin ak A=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C==，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．例3．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)． 分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆． 解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒， 所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒． 又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒． 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．例4．如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON +的最大值和最小值． 解：由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤，αβπβ-αACBD在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6OM OAMAO ππα=∠-+， ∴6sin()6OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：6sin()6ON πα=-，∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值218a， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON +取得最小值215a ． 例5．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=． 证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=， 又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=． 2．练习：（1）在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( D )A ．4:1:1 B ．2:1:1 CD（2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ， b = ，c = ． 五．回顾小结：1．了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法； 2．理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角． 六．课外作业：课本第9页练习第3题；课本第11页习题1.1第2、8题．§1.1.2 第3课时 余弦定理(1)教学目标（1）掌握余弦定理及其证明；（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形． 教学重点，难点（1）余弦定理的证明及其运用；（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形． 教学过程 一．问题情境 1．情境：复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题． 2．问题：在上节中，我们通过等式BC BA AC =+的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式BC BA AC =+数量化吗？二．学生活动如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵BC AB AC +=∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=． 三．建构数学 1． 余弦定理上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理． 2．思考：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．方法1：如图1建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．方法2：若A 是锐角，如图2，由B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则cos AD c A =，所以即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显 然成立．同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．图1 图2 3．余弦定理也可以写成如下形式：bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， acc b a C 2cos 222-+=．4．余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，（1） 已知3b =，1c =，060A =，求a ；A BCcab（2） 已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．解：（1）由余弦定理，得2222202cos 31231cos607a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以 a =（2）由余弦定理，得222222564cos 0.752256b c a A bc +-+-===⨯⨯， 所以，041.4A ≈．例2． ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m =063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 解：由余弦定理，得所以，168()AB m ≈答：,A B 两地之间的距离约为168m ．例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．证：当C 为锐角时，cos 0C >，由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-<+，即 222a b c +>．同理可证，当C 为钝角时，222a b c +<．2．练习：书第15页 练习１，２，３，４ 五．回顾小结：1．余弦定理及其应用2．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；六．课外作业：书第16页１，2，3，4，6，7题§1.1.2 第4课时 余弦定理(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题． 教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如． 教学过程 一．问题情境1．正弦定理及其解决的三角形问题（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角． 2．余弦定理及其解决的三角形问题 （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？解：如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．在ABC ∆中，由余弦定理，得2221.20.52 1.20.5cos(9015) 1.38BC =+-⨯⨯-≈， 所以 1.17()AD BC km =≈． 因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．在ABC ∆中，由正弦定理，得 0sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠∠==≈， 所以 024.4ABC ∠≈所以 00159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈．答：渡船应按北偏西09.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例2． 在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．解：由正弦定理及余弦定理，得222sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab+-==， 所以 22222a a b c b ab+-=，整理得 22b c =因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例3．如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-．证：设AMB α∠=，则0180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AM BM AM BM α=+-．在ACM ∆中，由余弦定理，得22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--．因为01cos(180)cos ,2BM MC BC αα-=-==， 所以2222122AB AC AM BC +=+，因此， 22212()2AM AB AC BC =+-． 例4．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，,a b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos()1A B +=，求：①角C 的度数； ②AB 的长度； ③ABC S ∆．解：①1cos cos(())cos()2C A B A B π=-+=-+=- ∴120C =；②由题设：232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a ， 即10AB =；③ABC S ∆11133sin sin120222222ab C ab ===⋅⋅=．2．练习：（1）书第16页 练习１，２，３，４DCBA（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=， 求BC 的长．（3）在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；（4）已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值； 五．回顾小结：1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式； 3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状． 六．课外作业：书第17页5，8，9，10，11题§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题； （2）掌握求解实际问题的一般步骤． 教学过程 一．问题情境 1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===； B acC ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．（2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；②RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角. （2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了. （4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案. 四．数学运用 1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠.在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=， 则48DBC ∠=.又100DC =， 由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠.在ABC ∆中， 由余弦定理，得3233.95≈， 所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）. 解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）.由正弦定理，得图1-3-1图1-3-2sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速. 解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-， 4415sin 2033233322AC υθυυ⋅⋅∴===. 在ACE ∆中，22520202525cos150333υ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度93/km h υ=. 2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。

高一数学解三角形试题1.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.2.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.3.如图，要测出山上石油钻井的井架的高，从山脚测得m，塔顶的仰角，塔底的仰角，则井架的高为（）A．m B．m C．m D．m【答案】B【解析】依题意，在三角形ABC中，，角B=45°，角BAC=45°-15°=30°，所以由正弦定理得，，故选B。

【考点】正弦定理的应用点评：简单题，利用三角形内角关系，确定角创造了应用正弦定理的条件。

4.有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清．具体如下：在中角所对的边长分别为，已知角，，，求角．若已知正确答案为，且必须使用所有已知条件才能解得，请你选出一个符合要求的已知条件．（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于在中角所对的边长分别为，已知角，，，那么根据正弦定理可知，,由于b<a，则可知角A有两个解，舍去，对于A中，同理可知不成立，对于C，可知A=B,不成立，故选D.【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理以及余弦定理的运用，属于基础题5.如图，在中，，，(1)求；(2)记BC的中点为D，求中线AD的长．【答案】（1）（2）AD【解析】解：（1）由，C是三解形内角，得2分4分---5分（2）在中，由正弦定理 -7分，又在中，，由余弦定理得， 910分本题也可利用向量法。

注意。

【考点】解三角形点评：主要是考查了三角函数的恒等变换以及解三角形的运用属于基础题。

6.在中，．(1)求边长的值；(2)求的面积．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）由正弦定理得……5分（2）由余弦定理 7分8分所以 10分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积。

高一数学下第5章《解斜三角形》解析及答案巩固基础 一、自主梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA=bc a c b 2222-+.3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr(S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA +……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =B bsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.二、点击双基1.在△ABC 中，A=60°，a=433,b=42，则B 等于( )A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对解析：sinB=a A b sin =342324 =22,又∵b<a,∴B<A.∴0°<B<60°.故B=45°.答案：C2.△ABC 中，a=2bcosC ，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 解析：由正弦定理得sinA=2sinBcosC, 即sin(B+C)=2sinBcosC. ∴sin(B-C)=0.又∵-π<B -C<π，∴B-C=0. 答案：A3.设A 是△ABC 最小内角，则sinA+cosA 的取值范围是( )A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］解析：∵0°<A≤60°,∴45°<A+45°≤105°. ∴sinA+cosA=2sin(A+45°)∈(1,2］. 答案：D4.(2006山东潍坊检测)在△ABC 中，cos 22A =c cb 2+(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC的形状为( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析：∵cos 22A =2cos 1A +,∴2cos 1A +=c c b 2+,即cosA=c b.又∵cosA=bc a c b 2222-+,∴c b =bc a c b 2222-+,即a 2+b 2=c 2.∴△ABC 为直角三角形.故选B.答案：B5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.解析：由已知得(b+c)2-a 2=3bc,∴b 2+c 2-a 2=bc.∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A=3π.答案：3π训练思维6、△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,如果a 2=b(b+c),求证:A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边. 证明：用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a 2=b(b+c)中,得 sin 2A=sinB(sinB+sinC)⇒sin 2A-sin 2B=sinBsinC⇒22c o s 1A --22cos 1B-=sinBsin(A+B) ⇒21(cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B)⇒sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B).因为A 、B 、C 为三角形的三内角,所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B. 讲评：利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求解.链接·聚焦7、(1)该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理,由a 2=b(b+c),得 cosA=bc a c b 2222-+=bc c b b c b 2)()(22+-+=b b c 2-,cos2B=2cos 2B-1=2(ac b c a 2222-+)2-1=222)(2)(c c b b c c b ++-1=b bc 2-.所以cosA=cos2B.因为A 、B 是△ABC 的内角,所以A=2B.(2)该题根据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何知识解决?解：由题设a 2=b(b+c),得c b a+=a b , ①做出△ABC,延长CA 到D,使AD=AB=c,连结BD.①式表示的即是DC BC =BC AC,所以△BCD ∽△ABC.所以∠1=∠D.又AB=AD,可知∠2=∠D,所以∠1=∠2. 因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1, 所以A=2B.讲评：近几年的高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.8、（2004全国高考卷Ⅱ）已知锐角△ABC 中,sin(A+B)=53,sin(A-B)=51.(1)求证:tanA=2tanB; (2)设AB=3,求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以(1)为铺垫,解决(2).(1)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51,∴B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51cos cos 52cos sin 51sin cos cos sin 53sin cos cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=2.∴tanA=2tanB.(2)解：2π＜A+B ＜π,∴sin(A+B)=53.∴tan(A+B)=-43,即B A B A tan tan 1tan tan -+=-43.将tanA=2tanB 代入上式整理得2tan 2B-4tanB-1=0,解得tanB=262±(负值舍去).得tanB=262±,∴tanA=2tanB=2+6.设AB 边上的高为CD,则AB=AD+DB=A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB=3得CD=2+6,∴AB 边上的高为2+6.讲评：本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.9、 如图，有两条相交成60°角的直路EF 、MN ，交点是O.起初，阿福在OE 上距O 点3千米的点A 处；阿田在OM 上距O 点1千米的点B 处.现在他们同时以4千米/时的速度行走，阿福沿EF 的方向，阿田沿NM 的方向.(1)求起初两人的距离；(2)用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； (3)什么时候他们两人的距离最短？ 解：(1)∵AB 2=OA 2+OB 2-2OA·OBcos60°=7, ∴起初他们两人的距离是7千米.(2)设他们t 小时后的位置分别是P 、Q ，则AP=4t,BQ=4t. 下面分两种情况讨论:当0≤t≤43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°. ① 当t>43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°. ②由①②综合得PQ 2=48t 2-24t+7,即PQ=724482+-t t .(3)∵PQ 2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4,∴当t=41时，即在第15分钟时他们两人的距离最短.链接·拓展本题还可以转化为坐标运算，从而避免分类讨论.提示：以O 为坐标原点，OE 所在直线为x 轴建立坐标系，则t 时刻P(3-4t,0),Q(21(1+4t), 23(1+4t)).状元训练复习篇10.在△ABC 中，下列三式AB ·>0,BA ·>0,·>0中能够成立的不等式个数( )A.至多1个B.有且仅有1个C.至多2个D.至少2个解析：原条件可转化为cosA>0,cosB>0,cosC>0.而A 、B 、C 是三角形的内角，∴A+B+C=π最多一个钝角. 答案：D11.在△ABC 中，a=80,b=100,A=45°，则此三角形解的情况是( )A.一解B.两解C.一解或两解D.无解 解析：∵bsinA=502,∴a>bsinA. 答案：B12（理）在△ABC 中，若A=60°,b=1,S △ABC =3，则C B A c b a sin sin sin ++++的值为( ) A.3326 B.3392 C.339 D.3313解析：∵S △ABC =21bcsinA,∴51bcsinA=3.∴c=4.∴a 2=b 2+c 2-2bccosA=13.∴a=13.∴C B A c b a sin sin sin ++++=A asin =3132=3392.答案：B13、(文)(2004浙江高考)在△ABC 中,“A ＞30°”是“sinA ＞21”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中,A ＞30°⇒0＜sinA ＜1sinA ＞21;sinA ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B14.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,若三角形的面积S=41(a 2+b 2-c 2),则∠C 的度数是_______________________.解析：由S=41(a 2+b 2-c 2)得21absinC=41·2abcosC.∴tanC=1.∴C=45°.答案：45°15.在△ABC 中,若∠C=60°,则c b a ++c a b +=____________________. 解析：c b a ++c a b+=))((22c a c b bc b ac a +++++=222c bc ac ab bcac b a ++++++. (*)∵∠C=60°,∴a 2+b 2-c 2=2abcosC=ab.∴a 2+b 2=ab+c 2.代入(*)式得22c bc ac ab bcac c ab ++++++=1.答案：116.在△ABC 中，c=22,a>b,∠C=4π,且有tanA·tanB=6,试求a 、b 以及此三角形的面积.思路分析：由已知可求出tanA+tanB,这样便可求得tanA 和tanB 的值，只要求出sinA 、sinB 利用正弦定理可求得a 、b.解：∵tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =-tanC(1-tanAtanB)=-tan 4π(1-6)=5,又∵tanA·tanB=6且a>b,则tanA>tanB.∴tanA=3,tanB=2.而0<A<2π,0<B<2π,∴sinA=10103,sinB=552.由正弦定理得a=C A c sin sin =5106,b=C Bc sin sin =2255222∙=558,S △ABC =21absinC=524.17.(2006北京海淀模拟)(理)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin 2C=3cosC,c=7,又△ABC 的面积为233.求：(1)角C 的大小； (2)a+b 的值.解：(1)由已知得2(1-cos 2C)=3cosC,cosC=21或cosC=-2(舍),在△ABC 中，C=60°.(2)∵S △ABC =21absinC=233,∴21absin60°=233.∴ab=6.又∵c 2=a 2+b 2-2abcosC, ∴(7)2=a 2+b 2-2abcosC. ∴a 2+b 2-ab=7.∴a 2+b 2=13.∴a+b=ab b a 222++=1213+=5.18(文)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为233,且c=7,3cosC-2sin 2C =0.求：(1)角C 的大小； (2)a 、b 的值.解：(1)由已知得2(1-cos 2C)=3cosC,cosC=21或cosC=-2(舍),在△ABC 中，C=60°.(2)∵S △ABC =21absinC=233,∴21absin60°=233.∴ab=6.又∵c 2=a 2+b 2-2abcosC, ∴(7)2=a 2+b 2-2abcosC. ∴a 2+b 2-ab=7.∴a 2+b 2=13.∴a+b=ab b a 222++=1213+=5.∴a=2,b=3或a=3,b=2.加强篇19、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,依次成等比数列，求y=BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围. 解：∵b 2=ac,∴cosB=ac b c a 2222-+=ac acc a 222-+ =21(c a +a c )-21≥21.∴0＜B≤3π,y=B B Bcos sin 2sin 1++=B B B B cos sin )cos (sin 2++=sinB+cosB=2sin(B+4π).∵4π＜B+4π≤127π,∴22＜sin(B+4π)≤1.故1＜y≤2.20.(全新创编题)某城市有一条公路,自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L 在OA 上设一站A,在OB 上设一站B,铁路在AB 部分为直线段,现要求市中心O 与AB 的距离为10 km,问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)解：在△AOB 中,设OA=a,OB=b. 因为AO 为正西方向,OB 为东北方向, 所以∠AOB=135°.则|AB|2=a 2+b 2-2abcos135°=a 2+b 2+2ab≥2ab+2ab=(2+2)ab,当且仅当a=b 时,“=”成立.又O 到AB 的距离为10,设∠OAB=α,则∠OBA=45°-α.所以a=αsin 10,b=)45sin(10α-︒,ab=αsin 10·)45sin(10α-︒=)45sin(sin 10α-︒∙ =)sin 2222(sin 100ααα-=)2cos 1(42sin 42100αα--=2)452sin(2400-︒+α≥22400-, 当且仅当α=22°30′时,“=”成立.所以|AB|2≥22)22(400-+=400(2+1)2,当且仅当a=b,α=22°30′时,“=”成立.所以当a=b='3022sin 10︒=10)22(2++时,|AB|最短,其最短距离为20(2+1),即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10)22(2++km 处,能使|AB|最短,最短距离为20(2-1).教学参考一、教学思路1.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边.具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论.2.用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等.3.在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.4.用向量的数量积求三角形内角时，需通过向量的方向判断向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.二、注意问题1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段,通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景,以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.三、参考资料21已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,y=cotA+)cos(cos sin 2C B A A-+.(1)若任意交换两个角的位置,y 的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y 的最小值.解：(1)∵y=cotA+)cos()](cos[)](sin[2C B C B C B -++-+-ππ=cotA+)cos()cos()sin(2C B C B C B -++-+=cotA+C B CB C B sin sin sin cos cos sin +=cotA+cotB+cotC,∴任意交换两个角的位置,y 的值不变化.(2)∵cos(B-C)≤1,∴y ≥cotA+A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A-+2tan 2A =21(cot 2A +3tan 2A )≥2cot 2tan 3A A ∙ =3.故当A=B=C=3π时,y min =3.讲评：本题的第(1)问是一道结论开放型题,y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题:在△ABC 中,求证:cotA+cotB+cotC≥3.22、在△ABC 中,sinA=C B C B cos cos sin sin ++,判断这个三角形的形状.剖析：判断一个三角形的形状,可由三个内角的关系确定,亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题,就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理,可得a=ab c b a ca b a c cb 22222222-++-++,所以b(a 2-b 2)+c(a 2-c 2)=bc(b+c).所以(b+c)a 2=(b 3+c 3)+bc(b+c).所以a 2=b 2-bc+c 2+bc.所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.讲评：恒等变形是学好数学的基本功,变形的方向是关键.若考虑三内角的关系,本题可以从已知条件推出cosA=0.。

高一数学教案解三角形5篇等腰三角形,看似简单平常,实则魅力无穷.许多关键问题三角问题与等腰三角形密切相关,形变解题中若能根据题意恰当构造,则可使一些三角问题别开生面地得以解决,更给人一种形象直观、流畅清晰、解法优美之感.今天在这里整理了一些，我们一起来呢吧!高一数学教案解三角形1[教学重、难点] 认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形，体会每一类三角形的特点。

[教学准备] 学生、老师剪下附页2中的图2。

[教学过程] 一、画一画，说一说1、学生各自借助三角板或直尺分别画一个锐角、直角、钝角。

2、教师巡查练习境况。

3、学生展示练习，说一说为什么是锐角、直角、钝角?二、分一分 1、小组活动;把附页2中的图2中的三角形需要进行分类，动手前先观察这些三角形的特点，然后小组讨论怎样分后?2、汇报：进行分类的标准和方法。

可以按角来分，可以按边来分。

二、按角分类： 1、观察观察具体来说三角形有什么共同的特点，从而归纳出来三个角都是锐角的'三角形是锐角三角形。

2、观察共同第三类三角形有什么共同的特点，从而归纳出有一个角是直角的三角形是直角三角形3、观测观察第三类三角形有什么互助的特点，从而归纳出有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

三、按边分类： 1、观察这类三角形的边有什么共同的特点，引导学生发现每个三角形中都有两条边，这样三角形的三角形叫等腰三角形，并透露各部分的名称。

2、引导学生发现有的菱形三角形三条边都相等，这样的矩形是等边三角形。

讨论等边三角形是等腰三角形吗?四、填一填：24、25页让学生辨认各种三角形。

五、练一练：第1题：通过“猜三角形游戏”让学生体会到看到一个锐角，不能重新考虑是一个锐角三角形，必须三个角都是锐角总算是九个锐角三角形。

第2题：在点子图上画作三角形第3题:剪一剪。

六、完成26页实践活动。

[板书设计] 三角形的分类按角分类：按边分类：高一数学教案可解三角形2教学目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力;2、了解三角形的高，并能在一般性的三角形中作出中均它们.教学重点：在具体的三角形中作出三角形的低.教学难点：画出钝角三角形的三条高.活动准备：学生预先剪好三种三角形，一副三角板.教学过程：过菱形的一个顶点A，你能画出它的对边BC的垂线吗?试试看，你准行!从而引出新课：1、三角形的高：三角形从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.如图，线段AM是BC边上的高.∵AM是BC边上的高，∴AM⊥BC.做一做：每人准备一个锐角三角形纸片：(1)你能画出这个三角形的高吗?你能用折纸的方法得到它吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系呢?小组讨论交流.结论：锐角三角形的'三条高在正三角形的内部且交于一点.3、议一议：每人画出一个直角三角形和一个钝角三角形.(1)画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关系?(2)你能折出高德帕伦三角形的三条高吗?你能画出它们吗?(3)钝角三角形的三条高交于假脉一点吗?它们所在的直线交于一点吗?小组讨论交流.结论：1、直角三角形的等腰三条高交于直角顶点处.2、钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在四边形的外部.4、练习：如图，(1)共有___________个直角三角形;(2)高AD、BE、CF相对应的底分别是_______，_____，____;(3)AD=3，BC=6，AB=5，BE=4.则S△ABC=___________，CF=_________，AC=_____________.5、小结：(1)锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点.(2)直角三角形的三条高交于直角顶点处.(3)钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的中间层.作业：P127 1、2、3高一数学教案可解三角形3《三角形中位线》教案一、教学目标：1.使学生掌握三角形中位线概念,理解中位线定理,会运用它进行有关论证和计算2.掌握添加辅助线解题的技巧.3.提高中学生分析问题,解决问题的能力,增强学习兴趣.二、教学方法探究式自主学习：以学生的自主探究为主，教职员加以引导启发，在师生的共同探究活动中，完成本课的教学目标，提高学生的能力,使学生更好的适应新课程标准三、教学内容﹑教材重、难点分析：三角形中位线定理的学习是继学习-平行四边形与平行线等分线段定理后的一个新内容,教材首先给出了三角形中位线的定义,并与三角形中线加以区分,接着以同一法的思想探索出三角形中所位线定理,最后是利用中位线定理解答例一所给的环境问题.在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和也常线段倍分等问题.本节课的重点是三角形中位线定理,难点是定理的证明,关键在于如何添加辅助线,在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和也常线段倍分等问题.四、教学内容媒体的选择和设计通过多媒体课件，打开学生的思路,增加课堂的容量,提高课堂效率。

高中数学的解三角形方法大全(总9页) 解三角形的题目在高一数学中是一个重要的内容，以下是一些解三角形题目的技巧：
1.利用三角形内角和定理：三角形内角和为180度。

当已知部分角度时，可以通过180度减去已知角度的和，得到未知角度。

2.利用三角形的相似性：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

利用三角形的相似性可以通过已知的比例关系求解未知的边长或角度。

3.利用三角形的正弦、余弦和正切定理：根据三角形的边长关系和对应的角度，可以利用正弦定理、余弦定理和正切定理计算未知边长或角度。

4.利用勾股定理：如果一个三角形是直角三角形，可以利用勾股定理（a²+b²=c²）求解未知边长。

5.利用海伦公式：如果已知三角形的三个边长，可以使用海伦公式（面积=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s为半周长）求解三角形的面积。

6.利用角平分线定理：通过角平分线定理，可以求解三角形内部的角度或边长。

7.利用相似三角形的高度比：如果两个三角形相似，可以利用相似三角形的高度比来求解未知高度。

以上是一些常用的解三角形的技巧，根据题目的具体内容选择合适的方法。

在解题时，注意将所给的条件和已知信息合理应用，
进行逻辑推理和计算。

多进行练习和积累经验，逐步提高解题的能力。

高一数学解三角形试题答案及解析1.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底部测得一塔顶仰角为另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，求两座塔的高度。

【答案】40米，90米.【解析】绘出几何示意图，寻找角关系，并建关系式.其中，且，建立方程（1）；又因为，且由题可知，建立方程（2）试题解析：连结BO、OD、 AD、 BC，设两塔AB、CD的高分别为x，y米，则在中，则在中，由得， ( 1 ) 5分又在中，在中，.而，所以，即（2） 10分由（1）（2）式解得： x = 40(米)， y = 90(米)答：两座塔的高分别为40米、90米. 14分【考点】正切函数应用.2.已知的三个内角满足：，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】由,,从而有:,再注意到,又,故知是以角C为直角的直角三角形,所以选B.【考点】三角公式.3.在中，满足下列条件的三角形有两个的是（）.A．B．C．D．【解析】选项A:,;又，三角形有一解；同理选项B有一解；选项C:，,所以三角形有一解；选项D:，,所以三角形有两解.【考点】解三角形.4.在中，内角、、所对的边分别为、、，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则有两解；④必存在、、，使成立.其中，正确命题的编号为．（写出所有正确命题的编号）【答案】②③【解析】①根据大边对大角可知,如果是钝角,则此时,显然错误.②当三角形是锐角三角形时,根据正弦函数性质可知;当三角形是钝角三角形时,有,则,因为，所以,此时有,正弦函数性质可知,即.正确.③因为，即，所以必有两解.正确.④根据正切和角公式,可得.则有根据诱导公式有代入上式,则上式若是锐角,则;此时.若是钝角,则;此时.错误.【考点】三角形中边角关系;三角函数性质;三角函数和角,诱导公式的使用.5.△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】,,,是钝角三角形.【考点】三角形的形状判断.6.的三内角成等差数列，且，则= .【解析】因为的三内角成等差数列，所以又，所以=.【考点】三内角成等差数列7.在中三个内角 A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（）A.若则为钝角三角形B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形D.若A、B为锐角且则为钝角三角形【答案】C【解析】,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【考点】三角函数相关性质，余弦定理，向量的数量积.8. ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】．【考点】两角和差的公式．9.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B 点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】1小时【解析】解实际问题，关键在于正确理解题意.本题关键在于正确理解方位角的概念.解三角形问题，需正确选用正余弦定理，本题三角形ADB中可得两角一边，即，因此可利用正弦定理得，解出=，再在中，由余弦定理得=从而得到需要的时间（小时）.试题解析：由题意知海里，3分在中，由正弦定理得 4分=（海里）， 6分又海里 7分在中，由余弦定理得=9分30（海里），10分则需要的时间（小时）。

高一数学解三角形一、三角形的基本概念和性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，由三条边和三个顶点组成。

在解三角形的过程中，我们需要研究三角形的基本概念和性质，以便进行问题的分析和解决。

1. 三角形的分类根据三边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；根据角的大小，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

不同类型的三角形具有不同的特点和性质，在解题过程中需要灵活运用。

2. 三角形的内角和三角形的内角和是一个重要的概念。

对于任意一个三角形，其内角和始终为180°。

这一性质可以帮助我们推导和解决许多三角形相关的问题。

二、三角形的解法在解三角形的问题中，我们可以通过已知条件，使用三角形的解法来求解未知的边长或角度。

1. 余弦定理余弦定理是解三角形问题中常用的一种方法。

对于任意一个三角形ABC，设三边分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC2. 正弦定理正弦定理也是解三角形问题中常用的方法之一。

对于任意一个三角形ABC，设三边分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则正弦定理可以表示为：sinA/a = sinB/b = sinC/c3. 解决实际问题中的应用在实际问题中，我们可以运用三角形的解法来解决各种计算和测量问题。

例如，在测量高楼的高度、角度的测量、物体的距离等问题中，可以利用三角形的解法进行计算。

三、解三角形的实例分析下面通过几个实际问题，来演示如何运用三角形的解法来解决具体问题。

1. 实例一：已知两边及其夹角求第三边假设已知三角形ABC中，边AB的长度为5cm，边AC的长度为8cm，夹角BAC的大小为30°，求边BC的长度。

解题步骤：根据已知条件，利用余弦定理可以求得：BC² = AB² + AC² - 2AB·ACcosBACBC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos30°BC² ≈ 89.44BC ≈ √89.44 ≈ 9.46 cm所以，边BC的长度约为9.46 cm。

高一数学三角函数与解三角形方法总结在高一数学学习中，三角函数与解三角形是一个非常重要的知识点。

通过学习三角函数可以帮助我们了解三角形的性质和关系，而解三角形方法则可以帮助我们求解各种三角形的边长和角度。

本文将对高一数学中的三角函数与解三角形方法进行总结。

一、三角函数的基本概念与性质1.1 正弦函数正弦函数是指在一个直角三角形中，对于某个角的正弦值等于该角对边与斜边的比值。

用数学符号表示为sinθ=a/c（其中θ为角度，a为对边长度，c为斜边长度）。

正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

1.2 余弦函数余弦函数是指在一个直角三角形中，对于某个角的余弦值等于该角邻边与斜边的比值。

用数学符号表示为cosθ=b/c（其中θ为角度，b为邻边长度，c为斜边长度）。

余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

1.3 正切函数正切函数是指在一个直角三角形中，对于某个角的正切值等于该角对边与邻边的比值。

用数学符号表示为tanθ=a/b（其中θ为角度，a为对边长度，b为邻边长度）。

正切函数的定义域为实数集，但要注意避开一些特定角度的值，例如tan90°是不存在的。

1.4 三角函数的基本关系式三角函数有很多基本关系式，例如sin^2θ+cos^2θ=1，tanθ=sinθ/cosθ等。

在解三角形问题中，基本关系式是非常重要的工具，可以帮助我们推导出其他未知量。

二、解三角形方法2.1 解直角三角形直角三角形是最简单的三角形，其中一个角度为90°。

解直角三角形的方法通常有两种：已知一个锐角和斜边，求解两个其他角度和两个其他边长；已知两个角度或一个角度和一个边长，求解其他未知量。

2.2 解一般三角形一般三角形是指除了直角三角形以外的任意三角形。

解一般三角形的关键是利用三角函数的性质以及三角函数之间的关系，常用的方法有正弦定理和余弦定理。

2.2.1 正弦定理正弦定理是用来求解具有一个已知角度和两个已知边长的一般三角形的方法。

8.解三角形中的基本结论与应用一．基本结论1.正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则有2sin sin sin a b cR C===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径).2.正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④RSinC SinB SinA cb a 2=++++.3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =；变形：A bc a c b cos 2222=-+.5.解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理（2）三角形边角不等关系：B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔∠>∠⇔>.6.诱导公式在ABC ∆中的应用（1）()()C B A C B A C B A tan )tan(;cos cos ;sin sin -=+-=+=+；（2）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+二．典例分析例1.在ABC sin cos B c b A =-，则B =（）A．12πB．6πC．4πD．3π解析：根据正弦定理，可知2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，代入原式可得sin sin sin cos A B C B A =-,又A B C π++= ，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B ∴=+=+sin sin cos A B A B =，sin 0A ≠ ，sin 3tan cos 3B B B ∴==，得6B π=.故选：B 例2.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，sin sin 02c A C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，6c =.（1）求ABC 外接圆的面积；（2）若=c ，13AM AB =，求ACM △的周长.解析：（1）∵sin sin 02c A C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos 0c A C =，由正弦定理得：sin sin cos 0C A A C +=，因为sin 0A ≠，所以sin 0C C +=，得tan C =，又0C π<<，故23C π=，∴ABC外接圆的半径112sin 22c R C =⋅==∴ABC 外接圆的面积为12π.（2）由6c =及=c得：b =12s n 2i B ===，∵23C π=，则B 为锐角，∴6B π=，故6A B C ππ=--=.如图所示，在ACM △中，由余弦定理得，(222222cos 22242CM AM AC AM AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯=，解得2CM =，则ACM △的周长为4+.例3（2020新课标Ⅲ卷）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A.B.C.4 D.解析：设,,AB c BC a CA b===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=222145cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴==∴=。

1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即a b c==． 2．利用正弦定理解三角形⑴解三角形：三角形的三个内角和它们的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．⑵利用正弦定理可解下列两类型的三角形：①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．考点1：已知两角和任一边解三角形【例1】 已知两角和任一边解三角形⑴ 已知ABC △中，a b c ，，分别是A B C 、、的对边，c =，60A =︒，45C =︒， 则a =_______.⑵在ABC △中，30B =︒，45C =︒，1c =，则b =_______；三角形的外接圆半径R =_______. ⑶在ABC △中，已知8a =，60B =，75C =，则b =_______.考点2：已知两边和其中一边的对角解三角形【铺垫】根据下列条件解三角形：①601A a b ==，；②3012A a b ===，，；③30610A a c ===，，； ④150105A a c ===，，，其中有唯一解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【例2】已知两边和一边对角解三角形⑴在ABC △中，已知452A a b ===，，B =_______.⑵已知ABC △中，a b c ，，分别是A BC 、、的对边，45a b A ===︒， 则B =_______.⑶已知ABC △，三个内角A B C ，，的对边分别记为a b c ，，，若245c x b B ===︒，，，且这个 三角形有两解，求x 的取值范围．⑷在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若a =2b =，sin cos B B +则角A 的大小为 ．1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：2222222222cos ,2cos ,2cos .c a b ab C b a c ac B a b c bc A ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+- 它的变形为：222222222cos ,2cos ,2cos .2a b c C ab a c b B ac b c a A bc ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩2．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：①已知两边和任意一个内角解三角形；②已知三角形的三边解三角形．考点3：用余弦定理解三角形【铺垫】⑴在ABC △中，5a =，8b =，60C =︒，则c =_______．⑵在ABC △中，222a b c bc =++，则A等于（ ）．【例3】 余弦定理解三角形⑴在ABC △中，5a =，8b =，7c =，则sin C =_______．⑵在ABC △中，已知3sin 5A =，sin cos 0A A +<，a =5b =，则c =______.⑶在ABC △中，若1378cos 14a b C ===，，，则最大角的余弦是( )． 考点4：用余弦定理判断三角形形状【铺垫】在ABC △中，已知5a =，6b =，7c =，则此三角形是一个 三角形． 【例4】 判断三角形形状⑴ 若以34x ，，为三边组成一个直角三角形，则x 的值为 ． ⑵ 若以34x ，，为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为 ． ⑶ 若以34x ，，为三边组成一个钝角三角形，则x 的取值范围为 ． 【追问】已知ABC △中，12AB BC ==，，则C ∠的取值范围是________________⑷ 已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角.求这个三角形三边的长.【拓展】⑴钝角三角形的三边分别是12a a a ++，，，其最大角不超过120，求a 的取值范围. ⑵在ABC △中，若三条边是三条连续的正整数,且最大角是最小角的2倍，求三条边长.1.正弦定理灵活应用：①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = (其中R 为ABC △的外接圆的半径)；②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c A B C =．【铺垫】在ABC △中，若::1:2:3A B C =，则::a b c =______. 【例5】 正余弦定理的综合运用⑴在ABC △中，若sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ） ⑵在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则角C 为（ ）【追问】在ABC △中，若cos cos cos a b cA B C ==，则ABC △是（ ）⑶在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若22a b -=，sin C B =，则A =（ ）【例6】 正余弦定理在平面几何中的应用⑴ 在平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，6AC =，求BD⑵ 在ABC △中，已知4AB =，7AC =，BC 边上的中线72AD =，那么BC = ．⑶ 在ABC △中，已知AB ,cos ABC ∠，AC 边上的中线BD ，求sin A 的值面积公式：()11111sin sin sin 222224a abcS ah a b c r ab C bc A ac B R ==++====．其中r 为ABC △内切圆半径，R 为外接圆半径.【铺垫】 在ABC △中，若5AB =，7BC =,sin B =，求ABC △的面积.【例7】 求面积⑴ 已知ABC △，三个内角,,A B C 的对边分别记为a b c ，，，460b c B ===︒，，求ABC S △．⑵ 已知ABC △，三个内角,,A B C 的对边分别记为a b c ，，，若234a b c ===，，，求ABC S △． ⑶已知：四边形ABCD 内接于圆O ，四边长依次为2,7,6,9，求圆直径.【铺垫】已知ABC △的三边长分别为a b c ，，，且面积()22214ABC S b c a =+-△，则A 等于（ ） 【例8】已知三角形面积解三角形ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，22sin 3cos C C =，c =ABC △的面，求⑴角C 的大小；⑵a b +的值【演练1】 在ABC △中，若2π13b c C ==∠=，，则________a =【演练2】 在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若()222tan a c b B +-，则角B 的值为（ ）．【演练3】 在ABC △中，已知222sin sin sin sin B C A A C --=，则角B 的大小为（ ）【演练4】 在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，1tan 2A =，cos B = 若ABC △最长的边为1，则最短边的长为（ ）．【演练5】 设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =，2b =．⑴ 当30A =︒时，求a 的值；⑵ 当ABC △的面积为3时，求a c +的值．1在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．2在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝3在△ABC 中，若C ＝2B ，求cb的取值范围．4已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b,2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状．5在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) 【例1】 在锐角ABC △中，若6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+的值是 ． 【例2】 设ABC △是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且22ππsin sin sin sin 33A B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴求角A 的值；⑵12AB AC ⋅=，a =b ，c （其中b c <）．【例3】 在ABC △中，a b c ，，分别为内角A ，B ，C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++． ⑴ A 的大小；⑵求sin sin B C +的最大值．【例4】 ABC △中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． 【例5】 甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）【例1】 在△ABC 中，若2222()sin()()sin a b A B a b C +-=-，则△ABC 是（ ）A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形【例2】 在ABC ∆中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.0020,45,80b A C ===B.030,28,60a c B ===C.014,16,45a b A ===D. 012,15,120a c A ===【例3】 在ABC ∆C 中，060,1,sin sin sin ABCa b cA b SA B C++∠===++则= ．【例4】 在锐角ABC ∆中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.【例5】 在ABC △，角,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若三角形的面积14S =()222a b c +-，则∠C 的度数是_______. 【例6】 D 是直角ABC △斜边BC 上一点，AB=AD ，记∠CAD=α，∠ABC=β.(1)．证明sin cos 20αβ+=;（2）．若求β的值. 【例7】 已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，△ABC 外接圆半径为2.（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.【例8】 在ABC △中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，且1cos 3A =（1）求2sin cos22B C A +⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若a =bc 的最大值；。

解三角形说课尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是“解三角形”。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“解三角形”是高中数学必修 5 的重要内容，它是在学生已经学习了三角函数、平面向量等知识的基础上进行的。

这部分内容不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后续学习立体几何、解析几何等知识奠定了基础。

在教材中，通过引入实际问题，引导学生从数学的角度思考和解决问题，从而体会数学在实际生活中的广泛应用。

同时，教材注重培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，通过对三角形的边和角的关系的研究，让学生学会运用正余弦定理等工具来解决问题。

二、学情分析授课对象是高一下学期的学生，他们已经具备了一定的数学基础知识和思维能力。

在学习三角函数和平面向量的过程中，已经积累了一些处理几何问题的经验。

然而，对于解三角形的综合应用，学生可能还存在一定的困难，需要在教学中加以引导和强化。

此外，学生在学习过程中可能会出现对定理的理解不够深入，应用不够灵活等问题。

因此，在教学中要注重引导学生理解定理的本质，通过多种形式的练习，提高学生的解题能力。

三、教学目标1、知识与技能目标掌握正弦定理和余弦定理的内容及推导过程。

能够运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的边长、角度、面积等问题。

2、过程与方法目标通过对定理的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

引导学生经历从实际问题抽象出数学模型的过程，提高学生的数学建模能力。

3、情感态度与价值观目标让学生体会数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

通过合作学习，培养学生的团队协作精神和创新意识。

四、教学重难点1、教学重点正弦定理和余弦定理的内容及应用。

利用正余弦定理解决三角形中的综合问题。

2、教学难点正弦定理和余弦定理的推导过程。

根据已知条件，合理选择定理解决三角形问题。

五、教法与学法1、教法启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和主动性。